常见的一些排列、组合模式和解法

66P 55P 55P !

666616⋅=⋅P P !6!76677-=-P P )

(28807204!646614种=⨯=⋅=⋅P P 常见的一些排列、组合模式和解法

（一）优待排列：

参加排列的某个特殊元素需优先照顾，排列在某些特殊位置上，例如该元素一定要排列在队首、队尾或中间等；或者要求该元素不能排在某些特殊位置上。这种排列称为优待排列。

[例] 7个人并坐照相，⑴如果某一人必须坐在中间，有几种坐法？⑵如果某两人必

须坐在两端（左右不限）有几种坐法？⑶如果某一人不能坐在中间，也不能坐两端，有多少种坐法？

解：⑴

某人必须坐在中间，他就固定不变了，剩下的实际是6个人的全排列： 即：= 6! = 720（种）

⑵

设甲坐在左端、乙坐在右端，这样甲、乙就固定不变了，这时是剩余5

个人的全排列，即 种坐法，又因甲、乙两人可互换位置，因

此：2 = 240（种）

⑶

若某一人不能坐在中间的情况：

解法一： 解法二：

若某一人即不能坐中间，也不能坐两端：

解优待排列问题的关键是抓住某个特殊元素（往往有些特殊要求）优先加以安排处理，然后再考虑其它一般元素的处理，从而解决问题。

[思考] 分配5个人分别担任5种不同的工作，如果甲不能担任第一种工作，

同时乙

66P 22P 55P 不能担任第5种工作，问有多少种分法？3

3*41*41P P P

（二）集团排列：

参加排列的几个元素要求排在一起，称之为集团排列问题。

[例] 7个人并坐照相，如果某两人必须坐在一起，有多少种坐法？

解：因某两人必须坐在一起，不妨把这两人看作是一个人，这样原问题转化为6个人的全排列，有 种坐法，再考虑这两人的排列有种坐法。

解集团排列问题的关键是将要求排列在一起的元素看作一个元素（整体或集团），参加其它元素的排列，然后，再考虑这个整体内部的排列数。

（三）间隔排列：

若参加排列的元素要求相互间隔，即一个隔一个地排列，则称之为间隔排列。

[例] 某校绿化组买来各不相同的5棵梧桐树和3棵白玉兰种成一行，以美化校园，

要求3棵白玉兰不能相邻，问有多少种不同的种法？

解：若用“□”表示梧桐树，用“※”表示白玉兰可插入位置，则有

※ □ ※ □ ※ □ ※ □ ※ □ ※

梧桐树的种植没有限制，有种种法；而白玉兰不能相邻种植，只能在“※”位置种埴：

间隔排列的解法一般是先把无限制条件的元素作全排列，然后再在它们之间、之前、之后的空档处，插入不能相邻的元素，这样就把问题转化为排列、组合的基本问题。

[思考] 某班庆国庆晚会有16个节目，现需编排一张节目表，要求某5个节目中的

任何两个不得相邻，问有多少种排法？

（四）分配问题：

[例] 有9本不同的书，⑴分给三人，每人各得3本，有多少种分法？⑵分给三人，

甲得1本，乙得2本，丙得4本，有多少种分法？⑶分给三人，一人得1

本，)

(144072026622种=⨯=⋅P P )

(144005536种=⋅P P

)

(1680333639种=C C C 333639

C C C 33P )(3780

462819种=C C C )(22680

33462819种=P C C C )(6005515个=P P 一人得2本，一人得4本，有多少种分法？

解：⑴

书是平均分配的，每人3本，先拿或后拿都可以得到3本不同的书，就是

说，在种分法中，已包括了三人交换得书的可能情况，不需再乘以 ⑵

⑶ 此题与⑵的主要区别在于任何人都可得1本，也可得2本，还可得4本，即甲、乙、丙三人的“位置”还可进行交换。

解分配问题的关键是抓住“顺序”两字，分辨在什么情况下与顺序有关（用排列），在什么情况下与顺序无关（用组合）。

[思考] 把6个人分成三组，⑴每组2人，有几种分法？⑵每组2人，并分别到三个不同的课外小组去活动，有几种分法？⑶一组1人，一组2人，一组3人，并分别到三个老师家去访问，有几种分法？

（五）数字问题：

[例] 由1，2，3，4，5，6六个数字，可以组成多少个比213456大的没有重复数字的数？

解：

根据题意可知：2，3，4，5，6五个中，任一个数字均可放在十万数位上，其余的位置由余下来的数字作全排列，共有：

再排除213456本身，即可得解：599（个）

[思考] 在3000到8000之间有多少个没有重复数字，且能被5

整除的数？

!8)8,8(P 2

1*81*91*61P P P P 排列按照元素的排列方式又可分为三种排列：

⑴线排列；

⑵圆排列；

⑶重排列。

一、线排列：

先考察一个简单的问题，有红、蓝、白三只球，要放到编号为1，2，…，10的十个盒子中，如果每个盒子只能装一只球，问把球放到盒子中的不同放法的种类。

分析：每次放一只球，不妨依此顺序：放红球→放蓝球→放白球。

放红球的方法有10种（红球可放在10个盒子的任一个中）

放蓝球的方法有9种（红球可放在9个盒子的任一个中）

放白球的方法有8种（红球可放在8个盒子的任一个中）

根据乘法原理：这些球的不同放法总共有10×9×8=720（种）

根据上例，不难推广到一般，得到线排列的定义：

从n 个不同的元素中，取r 个按次序排列，称为从n 中取r 个排列，记为P(n, r)。显然，P(n, r)=n(n-1)(n-2)…(n-r+1)=n!/(n-r)!

其中，当r=0时，一个元素也不取，算作是取0个元素的一种排列，即P(n, 0)=1；当r=n 时，有P(n, n)=n!，即n 的全排列；而把0

[例] 在五天之内安排三次考试，且不允许一天内有两次考试，那末一共有多少种安

排法？

解：不妨把三次考试看作是三只颜色不同的球，五天看作是五个编号不同的盒子， P(5, 3)=5×4×3=60

[思考] 确定各位数中不重复的四位十进制数的个数。

二、圆排列：

从集合S={a 1, a 2, a 3, …, a n }的n 个不同元素中，取出r 个元素按照某种次序（如逆时针）排成一个圆圈，称这样的排列为圆排列。

需要注意的是，一个圆排列旋转可得另一个圆排列，这两个圆排列是相同的，例如取出r 个元素a 1, a 2, a 3, …, a r 的圆排列，可以旋转得出r 个线排列，即：

a 1a 2a 3…a r , a 2a 3…a r a 1, a 3a 4…a n a 1a 2, a r a 1a 2…a r －1

这r 个线排列在圆排列中只能算一个。一个圆排列可以产生r 个线排列，而总共有P(n, r)个线排列，因此圆排列的个数为：P(n, r) / r = n! / (r (n-1)!)

[例] 有8人围圆桌就餐，问有多少种就座方式？如果有两人不愿坐在一起，又有多