立体几何知识点汇总完整版

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立体几何知识点总结完整版

【2013考纲解读】

1、平面的概念及平面的表示法，理解三个公理及三个推论的内容及作用，初步掌握性质与推论的简单应用。

2、空间两条直线的三种位置关系，并会判定。

3、平行公理、等角定理及其推论，了解它们的作用，会用它们来证明简单的几何问题，掌握证明空间两直线平行及角相等的方法。

4、异面直线所成角的定义，异面直线垂直的概念，会用图形来表示两条异面直线，掌握异面直线所成角的范围，会求异面直线的所成角。

5.理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘;了解空间向量的基本定理，理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算;掌握空间向量的数量积的定义及其性质，掌握用直角坐标计算空间向量数量积公式.

6.了解多面体、凸多面体、正多面体、棱柱、棱锥、球的概念.掌握棱柱,棱锥的性质,并会灵活应用,掌握球的表面积、体积公式;能画出简单空间图形的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图.

7.空间平行与垂直关系的论证.

8. 掌握直线与平面所成角、二面角的计算方法，掌握三垂线定理及其逆定理，并能熟练解决有关问题,进一步掌握异面直线所成角的求解方法，熟练解决有关问题.

9.理解点到平面、直线和直线、直线和平面、平面和平面距离的概念会用求距离的常用方法（如：直接法、转化法、向量法）.对异面直线的距离只要求学生掌握作出公垂线段或用向量表示的情况）和距离公式计算距离。

【知识络构建】

【重点知识整合】 1．空间几何体的三视图

(1)正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图； (2)侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图； (3)俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图． 几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图． 2．斜二测画水平放置的平面图形的基本步骤

(1)建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的Ox ，Oy ，建立直角坐标系；

(2)画出斜坐标系，在画直观图的纸上(平面上)画出对应的Ox ′，Oy ′，使∠x ′Oy ′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平平面；

(3)画对应图形，在已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中画成平行于x ′轴，且长度保持不变；在已知图形中平行于y 轴的线段，在直观图中画成平行于y ′轴，且长度变为原来的一半；

(4)擦去辅助线，图画好后，要擦去x 轴、y 轴及为画图添加的辅助线(虚线)． 3.体积与表面积公式:

(1)柱体的体积公式:V =柱Sh ;锥体的体积公式: V =锥1

3

Sh ; 台体的体积公式: V =

棱台1()3h S SS S ''++;球的体积公式: V =球34

3

r π. (2)球的表面积公式: 2

4S R π=球. 【高频考点突破】

考点一空间几何体与三视图

1．一个物体的三视图的排列规则是：俯视图放在正视图的

下面，长度与正视图的长度一样，侧视图放在正视图的右面，高度与正视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样．即“长对正、高平齐、宽相等”．

2．画直观图时，与坐标轴平行的线段仍平行，与x轴、z轴平行的线段长度不变，与y轴平行的线段长度减半．

例1、将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为()

解析：如图所示，点D1的投影为点C1，点D的投影为点C，点A的投影为点B.

答案：D

【方法技巧】该类问题主要有两种类型：一是由几何体确定三视图；二是由三视图还原成几何体．解决该类问题的关键是找准投影面及三个视图之间的关系．抓住“正侧一样高，正俯一样长，俯侧一样宽”的特点作出判断.

考点二空间几何体的表面积和体积

常见的一些简单几何体的表面积和体积公式：

圆柱的表面积公式：S＝2πr2＋2πrl＝2πr(r＋l)(其中r为底面半径，l为圆柱的高)；

圆锥的表面积公式：S＝πr2＋πrl＝πr(r＋l)(其中r为底面半径，l为母线长)；

圆台的表面积公式：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)(其中r和r′分别为圆台的上、下底面半径，l 为母线长)；

柱体的体积公式：V ＝Sh (S 为底面面积，h 为高)； 锥体的体积公式：V ＝1

3

Sh (S 为底面面积，h 为高)；

台体的体积公式：V ＝1

3(S ′＋S ′S ＋S )h (S ′、S 分别为上、下底面面积，h 为高)；

球的表面积和体积公式：S ＝4πR 2，V ＝4

3

πR 3(R 为球的半径)．

例 2、如图所示，某几何体的正视图是平行四边形，侧视图和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为

( )

A ．6 3

B ．9 3

C ．12 3

D ．18 3

解析：由三视图可还原几何体的直观图如图所示．此几何体可通过分割和补形的方法拼凑成一个长和宽均为3，高为3的长方体，所求体积V ＝3×3×3＝9 3.

答案：B 【方法技巧】

1．求三棱锥体积时，可多角度地选择方法．如体积分割、体积差、等积转化法是常用的方法．

2．与三视图相结合考查面积或体积的计算时，解决时先还原几何体，计算时要结合平面图形，不要弄错相关数量．

3．求不规则几何体的体积常用分割或补形的思想将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解．

4．对于组合体的表面积要注意其衔接部分的处理.

考点三球与空间几何体的“切”“接”问题

1．长方体、正方体的外接球其体对角线长为该球的直径．

2．正方体的内切球其棱长为球的直径．

3．正三棱锥的外接球中要注意正三棱锥的顶点、球心及底面正三角形中心共线．

4．正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.

例3、一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的外接球的表面积为________．

【方法技巧】1．涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题化归为平面问题．

2．若球面上四点P、A、B、C构成的线段P A、PB、PC两两垂直，且P A＝a，PB＝b，PC＝c，则4R2＝a2＋b2＋c2(R为球半径)．可采用“补形”法，构造长方体或正方体的外接球去处理．