机械振动与波习题

波动方程
原点的振动方程
u 原点的振动方程
yO A cos(t )
波动方程
（2）写出距P点为b的Q点的振动方程 Y
l b
Y P u Q O P
b
O
X
Q u
X
将 x l b代入
将 x b代入
b yQ A cos[ ( t ) ] u
b yQ A cos[ ( t ) ] u
C.两个相互垂直同频率的振动：椭圆 D.两个相互垂直不同频率的振动：李萨如图
6、阻尼振动，受迫振动，共振。
二、机械波
1.平面简谐波波动方程：
X轴正向传播： X轴负向传播：
相距
x 两质点的相位差：

2

x
波形图：t 时刻，各质点的位移。
2.描写波动的物理量及其关系
周期：T 波长： 3. 波的能量 由波源决定 波速：u 由介质决定
X
（课堂练习） 6. 如图为沿x轴传播的平面余弦波在t 时刻的波形图 （ 1）若沿X轴正向传播，确定各点的振动位相
（2）若沿X轴负向传播，确定各点的振动位相
Y u
Y a .
a
c
b
O
b
c X t
a 0
b

2
3 c 2
（2）若沿X轴负向传播，确定各点的振动位相 u Y
( t 2) ] 2

（课堂练习）5.图示为一平面简谐波在t=0时刻的波形图
求（1）波动方程 （2）P处质点的振动方程 解：设原点处质点的振动方程为
Y
u=0.08m/s P . 0.02
yo A cos(t ) -0.04 0.04 P点的振动方程 2 1 T u 0.08 令x= 0.02 m u 2 2 4 T
解：设该波的波动方程为：
O
a
b u X
求解的关键是求出波速u 及原点的初位相
方法：解析法。 由题意知t=1.0s时
所以
同理
得
注意a点落后于b点，故同一时刻（t=1.0s)a点的位相 取 / 2时，b点的位相只能取－ / 3（还考虑了 10cm 以及 xb xa 10cm 的条件。）



2
( s 1 )
t 0 ) cos( 2 0 ) 0 2 2
0
3
2 , 2
t 2, v 0 0
0

2
2.一平面简谐波沿X轴负向传播，波长为，P点处质点
的振动规律如图 （1）求出P处质点的振动方程 （2）求此波的波动方程 （3）若图中d=/2，求O处质点的振动方程

t=0 X
o
· x x = A cos( t + )
参考圆
3、简谐运动的能量 A.动能： B.势能：
C.特点：机械能守恒
4、求解简谐运动的方法 A、解析法 B、振动曲线求法
C、旋转矢量求法
D、能量求法
5. 简谐振动的合成
A. 同方向同频率：
多个：用旋转矢量合成
B.同方向不同频率：拍
拍频为：
D
O y(cm) 4
-40 -20
B (a) x(cm)
o (b)
x ) SI制），传到隔 10. 有一平面波 y 2 cos 600 ( t （ 330 板的两个小孔A、B上，A、B 两点的间距1， 若A、B
传出的子波传到C点恰好相消。求C点到A点的距离。
x ) 解： y 2 cos 600 ( t 330 x 2 cos 2 (300t ) 1.1 所以， 1.1m 相消条件：r2 r1 ( 2k 1) 2
由 t =0, y=0 , v＜0 知： 2 y0 4 cos(4t )( cm )
2
-40
-20
o (b)
x(cm)
（2） 向右传播的波动方程
x y 4 cos[4 ( t ) ]( cm ) 80 2
（3）反射波的波动方程
2OB x y 4 cos[4 ( t ) ] 80 2 x 4 cos[4 ( t ) ]( cm ) 80 2
波动方程

1
d
.
t
x d y A cos[ ( t ) ] 2 u u t xd A cos[2 ( ) ] 4

O
P
X
（3）O 处的振动方程 x=0, d= /2
得yO A cos

2
t
3.一简谐波沿x轴正向传播，t=T/4的波形如图所示，若振动
余弦函数表示，且各点振动的初相取 —到之间，求o,a,b, c,d各点的初相。 解：沿波线方向位相逐点落后 由旋转矢量得 Y Y a u
Y
a
a
源自文库
b
c
O
.
b
c X
t
a 0
b

2
3 c 2
7.如图有一平面简谐波在空间传播，已知P点的振动方程为
yP A cos(t )
（1）分别就图中的两种坐标写出其波动方程
（2）写出距P点为b的Q点的振动方程 Y Y
l b
b
O
P u
Q
X
O P
Q
X
l yO A cos[ ( t ) ] u
解： （1） 由旋转矢 量图： = O t=0 t= /2 = /2
Y t=1 O
y .
1 d
t
y P A cos( t ) 2

O
P
X
（2）波动方程：
t 时刻原点O 的振动为 y O
t- d/u 时刻P 点的振动.
原点的振动方程为：
d yO A cos[ ( t ) ] 2 u
A
r1
r2
C
B
k=0,1,2….
（1）
2 由几何关系有： r2
r 1
2 1
A
r1
C
(r2 r1 )( r2 r1 ) 1 B 1 2 r2 r1 （ 2） r2 r1 ( 2k 1)
所以
r2
由（1）、（2）式可得：
( 2k 1) 2 2 1 1 2 ( 2k 1) 4 r1 [ ] 2 ( 2k 1) 2 ( 2k 1)
uT
能量密度：
平均能量密度：
dW 能流： P wuS dt
平均能流： P wuS
1 A2 2 uS 2
能流密度：
3. 惠更斯原理、波的衍射
4. 波叠加原理、波的干涉与驻波
相干条件：同方向振动，同频率，相位差恒定。
相位差： 加强条件：
减弱条件： 驻波： 两列振幅相同、相向传播的相干波叠加形成驻波。 波腹与波节相间，相邻两波节（或波腹）间距为 能量无传播。 2 同段质点同相，相邻段质点反相。
1 1 1.12 4 r 0.634m K=0时， 1 1.1
t=2s时O点位相 波动方程
.P
O X
t 2 2 2
（2）P点振动方程
x= /2
y P A cos[ 2u
x y A cos[ ( t ) 2 ] u 2 2u x A cos[ (t 2 ) ] u 2
注意：波动方程与原点有关，振动方程与原点无关。
8.一平面简谐波沿x正方向传播，振幅A＝10cm，圆频 1 率 7s 当t=1.0s时，位于x=10cm处的质点a经过 平衡位置向y轴负方向运动。此时,位于x=20cm处的质 点b的位移为5cm, 且向y轴正方向运动。设该波波 长 10cm ，试求该波的波动方程。
机械振动与波习题课
一、机械振动小结
1.简谐运动的特征与规律
A. 动力学特征：
B.运动学特征：
C.规律：
2.描写简谐运动的基本物理量及其关系 A.振幅： A
B.角频率、频率和周期：
C.初相位： 由系统决定角频率： 由初始条件确定 A和
：
！！简谐运动可以用旋转矢量表示
A t+ A

t=t
a u
取
故得波动方程为
O
b X
9. 题中图a表示一水平轻绳，左端D为振动器，右端固定 于B点。t0时刻振动器激起的简谐波传到O点。其波形如 图b所示。已知OB＝2.4m，u=0.8m/s. 求：（1）以t0为 计时零点，写出O点的谐振动方程；（2）取O 点为原 点，写出向右传播的波动方程；（3）若B 处有半波损 失，写出反射波的波动方程（不计能量损失）。 2 D O 解：（1）由 B u 2 2 y(cm) (a) 得 u 80 4 40 4
半波损失：波疏介质→波密介质 入射波在界面处反射时位相发生突变的现象。
三、例题：
1. 沿X轴负向传播的平面谐波在t＝2秒时的波形
曲线如图所示，波速u＝0.5m/s，则原点O点的振 动表达式为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 。
y(m)
0.5 -
2 2
.P 1
2
u

O
cos(
x(m)

a
b
c
O
b .
c
d
X
t=0 t=T/4
O
d O a
2
b 0
c

2
d
4.如图所示为一平面简谐波在t=2s时刻的波形图 求（1）波动方程 （已知A、u、） y u A-
（2）P点处质点的振动方程 解（1）设原点处质点的振动方程为
yo A cos(t )