07_小波与小波变换
7章 小波与小波变换
其中D0是指定得非负数值, D(u, v) = [(u − M / 2) 2 + (v − N / 2) 2 ]1/ 2
2、高斯高通滤波器(GHPF)： 高斯高通滤波器(GHPF)： (GHPF)
截止频率距原点的距离为D 的传递函数如下: 截止频率距原点的距离为 0 的GHPF的传递函数如下 的传递函数如下
2011年3月22日 第7章 小波与小波变换 11/46
7.1 小波介绍
小波(wavelet)是什么 是什么 小波
在有限时间范围内变化且其平均值为零的数学函数 具有有限的持续时间和突变的频率和振幅 在有限的时间范围内， 在有限的时间范围内，它的平均值等于零
2011年3月22日
第7章 小波与小波变换
2011年3月22日
第7章 小波与小波变换
20/46
7.1 小波介绍 续8) 小波介绍(续
小波理论与工程应用
Inrid Daubechies于1988年最先揭示了小波变换和滤波 器组(filter banks)之间的内在关系，使离散小波分析 变成为现实 Ronald Coifman和Victor Wickerhauser等著名科学家在 把小波理论引入到工程应用方面做出了极其重要贡献 在信号处理中，自从Stephane Mallat和Inrid Daubechies发现滤波器组与小波基函数有密切关系之 后，小波分析在信号(如声音和图像)处理中得到极其 广泛的应用
x+ y
2011年3月22日
第7章 小波与小波变换
6/46
1.巴特沃思低通滤波器(BLPF): 1.巴特沃思低通滤波器(BLPF): 巴特沃思低通滤波器 n级(n取2）巴特沃思低通滤波器 级 取 ）巴特沃思低通滤波器(BLPF)的传递函数为： 的传递函数为： 的传递函数为
一看就懂的小波变换ppt
8
8
[32.5,0, 0.5,0.5,31,-29,27,-25]
Haar小波反变换：
1 1 1 0 1 0 0 0 32.5 64
1
1
1
0 -1
0
0
0
0
2
1 1 -1 0 0 1 0 0 0.5 3
1 1 -1 1 -1 0
0 1
0 -1 00
0 1
0 0
0.5
31
61 60
傅立叶变换： Of M log2 M
小波变换：
Ow M
设有信号f(t):
其傅里叶变
换为F(jΩ):
即：
f (t) 1 F ( j)e jtd
2
பைடு நூலகம் =
1
0. 8
0. 6
0. 4
0. 2
0 -0. 2 -0. 4 -0. 6
Ψ（t）
-0. 8
-1 0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
+
1
0. 8
0. 6
二维金字塔分解算法
令I(x,y)表达大小为M N旳原始图像，l(i)表达相对于分析
小波旳低通滤波器系数，i=0,1,2,…,Nl-1， Nl表达滤波器L旳 支撑长度； h(i)表达相对于分析小波旳高通滤波器系数，
i=0,1,2,…,Nh-1， Nh表达滤波器H旳支撑长度，则
IL x,
y
1 Nl
1.2 二维小波变换（二维多尺度分析）
二维小波变换是由一维小波变换扩展而来旳，二维尺度 函数和二维小波函数可由一维尺度函数和小波函数张量 积得到，即：
小波变换课件
消失矩性质
消失矩定义：小波变换在高频部分具有快速衰减的特性
消失矩性质与信号处理：在信号处理中，消失矩性质使得小波变换能够有效地提取信号的 高频成分
消失矩与多分辨率分析：消失矩性质是实现多分辨率分析的关键，能够同时获得信号在不 同尺度上的信息
消失矩的应用：在图像处理、语音识别、信号去噪等领域，消失矩性质都有着广泛的应用
图像去噪：小波变换能够将噪声与 图像信号进行分离，从而去除噪声
语音处理
小波变换在语音 信号处理中的应 用
小波变换在语音 识别和合成中的 应用
小波变换在语音 增强和去噪中的 应用
小波变换在语音 编码和压缩中的 应用
其他应用领域
信号处理 图像处理 语音处理 模式识别
小波变换的优缺点分析
小波变换的优点
用的特征信息
图像处理：小波变换在图像 处理中也有广泛的应用，如
图像压缩、去噪、增强等
图像处理
图像压缩：小波变换能够去除图像 中的冗余信息，实现高效的图像压 缩
图像融合：将多个图像的小波系数 进行融合，可以得到一个新的、包 含多个图像信息的图像
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图像增强：通过调整小波系数，可 以突出图像的某些特征，提高图像 的视觉效果
多维小波变换算法：介绍多维小波变换的基本原理和算法实现，包括多维小波变换 的定义、性质、算法流程等。
多维小波变换在图像处理中的应用：介绍多维小波变换在图像处理中的应用，包括 图像压缩、图像去噪、图像增强等。
多维小波变换的优缺点：介绍多维小波变换的优缺点，包括优点如多尺度分析、方 向性、时频局部化等，以及缺点如计算量大、需要选择合适的小波基等。
数学表达式：对于任意实数a，如果f(t)的小波变换为Wf(s,a)，则f(t-a)的小波变换仍为 Wf(s,a)
《小波变换》课件
离散小波变换
定义
离散小波变换是对连续小波变换 的离散化，即将时间和频率轴进 行离散化，使小波变换能够应用 于数字信号处理。
原理
离散小波变换通过将信号进行离 散化，将连续的小波变换转换为 离散的运算，从而能够方便地应 用于数字信号处理系统。
应用
离散小波变换在图像压缩、数字 水印、音频处理等领域有广泛应 用，能够提供较好的压缩效果和 数据隐藏能力。
小波变换的应用拓展
图像处理
研究小波变换在图像压缩、去噪、增强等方面的应用，提高图像 处理的效果和效率。
语音信号处理
将小波变换应用于语音信号的降噪、特征提取等方面，提高语音 识别的准确率。
医学成像
利用小波变换对医学成像数据进行处理，提高医学影像的质量和 诊断准确率。
小波变换的算法优化
快速小波变换算法
《小波变换》ppt课 件 (2)
THE FIRST LESSON OF THE SCHOOL YEAR
目录CONTENTS
• 小波变换概述 • 小波变换的基本原理 • 小波变换的算法实现 • 小波变换在图像处理中的应用 • 小波变换的未来发展与挑战
01
小波变换概述
小波变换的定义
小波变换是一种数学分析方法，它通 过小波基函数的平移和伸缩，将信号 分解成不同频率和时间尺度的分量。
提供较好的特征提取和分类能力。
01
小波变换的算法实 现
常用的小波基函数
Haar小波
Daubechies小波
是最简单的小波，具有快速变换的特性， 但缺乏连续性和平滑性。
具有紧支撑性和良好的数学特性，广泛应 用于信号处理和图像处理。
Morlet小波
具有振荡性，适用于分析非平稳信号。
小波分析整理 第三章 小波变换ppt课件
.
a b
.
小波函数的范数不变性： a(t)b 0 2 R a(t)b 2 d tR (t)2 dt(t)0 2
此式表明： ( t ) 经过平移与伸缩以后，其模量没有 改变。
在不同的尺度a 时，ψa b (t) 终能和母函数ψ(t) 有着相同的能量 。
当a<1时， ( t ) 被拉宽且振幅被压低， ab (t) 含有表现低 频分量的特征；当a>1时， ( t ) 被压窄且振幅被拉
高， ab (t )含有表现高频分量的特征。
(2t)
(2t 3)
a2
0
1 1.5
3
6
t
a 1 a1
2
(t)
0
1
(1 t) 2
0
1
(t 3)
3
6
t
( 1 t 3) 2
R
可以反映局部频率特性，但是窗函数一经设定，没有 自适应能力，不能满足低频部分需要时窗宽、频窗窄， 高频部分需要时窗窄、频窗宽的要求。
为此，定义窗函数的一般形式为：
w ~ab(t)a1/2(a tb) （ 其 他 形 式 w ~ a b(t)a 1 /2 (t ab )
它是经过平移和放缩的结果。
.
小波函数的频域特性： ^a(b)a1/2eib/a^(a) 此式表明， ( t ) 经过平移和伸缩以后得到的新
函数 a b (t )的频域特性随参数a的变化而变化。
.
2、小波变化的回复公式推导
任何一种变换应该是可逆的。为推导小波变换的
回复公式，先得推出与Fourier变换中类似的乘积
公式。
在Fourier变换中，有公式：2 1 R F [f(t)]F _[g(t)]dRf(t)_ g(t)dt
小波变换理论与方法ppt课件
其中 g,t (t) g(t )eit g(t )eit ，窗口函数g(t)起着时
限作用，eit 起着频限作用。该变化具有不变化宽度（由时间 宽度决定）和不变的窗口面积4g∆g∆
10
短时傅里叶变换示意图
11
cos(440 t) x(t) cos(660 t)
傅里叶变换傅里叶变换小波变换小波变换小波变换的一些应用小波变换的一些应用1822年法国数学家傅里叶jfourier发表的研究热传导理论的热的力学分析提出每一个周期函数都可以表示成三角函数之和奠定了傅里叶级数的理论基础
1
主要内容
1. 傅里叶变换 2. 小波变换 3. 小波变换的一些应用
2
一 傅里叶变换
E(|Wn(j,t)|2)=0
D(|Wn(j,t)|2)= Ψ t 2
j
26
3.1.1小波包去噪步骤
① 选择小波基并确定最佳分解的层次,对信号 进行小波包分解; ② 对步骤(1)获得的小波包树,选择一定的嫡标准,计算最优树; ③ 估计阈值,并应用该阈值对最优树的小波包系数进行阈值量化; ④ 将经量化处理的小波包系数,重构回原始信号。
Gabor变换的基本思想为：取时间函数 g(t) 1/ e4 t2/2 作为窗口函 数，然后用 g(t ) 通待分析函数相乘，τ是时间延迟，是窗函数 g(t)的中心，窗函数根据τ进行时移，然后再进行傅里叶变换：
Gf (, ) f (t)g(t )eitdt f (t), g,t (t)
小波包阈值消噪有两个关键点：1、如何估计阈值；2 如何利用阈值量 化小波包系数。
27
熵的确定
熵：用来确定最优树的标准，熵值越小，对应的小波包基越好。
1）香农熵：约定0log(0)=0，则香农熵定义为： Es si2 logsi2
小波变换课件
小波变换的基本思想是将信号分 解成一系列的小波函数，每个小 波函数都有自己的频率和时间尺
度。
小波变换通过平移和缩放小波函 数，能够适应不同的频率和时间 尺度，从而实现对信号的精细分
析。
小波变换的特点
01
02
03
多尺度分析
小波变换能够同时分析信 号在不同频率和时间尺度 上的特性，提供更全面的 信号信息。
图像去噪
利用小波变换去除图像中的噪声，提高图像的清晰度和质 量。
在小波变换中，噪声通常表现为高频系数较大的值，通过 设置阈值去除这些高频系数，可以达到去噪的效果。去噪 后的图像能够更好地反映原始图像的特征和细节。
图像增强
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
利用小波变换增强图像的某些特征，突出显示或改善图像的某些部分。
通过调整小波变换后的系数，可以增强图像的边缘、纹理等特定特征。这种增强 方式能够突出显示图像中的重要信息，提高图像的可读性和识别效果。
在信号处理、图像处理、语音识别等 领域有广泛应用。
特点
能够同时分析信号的时域和频域特性 ，具有灵活的时频窗口和多分辨率分 析能力。
离散小波变换
定义
离散小波变换是对连续小波变换 的离散化，通过对小波函数的离 散化处理，实现对信号的近似和
细节分析。
特点
计算效率高，适合于数字信号处理 和计算机实现。
应用
在信号处理、图像处理、数据压缩等领域有广泛应用，如语音压缩、图像压缩 、数据挖掘等。
CHAPTER 04
小波变换在图像处理中的应用
图像压缩
利用小波变换对图像进行压缩，减少存储空间和传输带宽的 需求。
通过小波变换将图像分解为不同频率的子带，去除高频细节 ，保留低频信息，从而实现图像压缩。压缩后的图像可以通 过逆小波变换重新构造，保持图像质量的同时减小数据量。
小波变换ppt课件
自适应压缩
在此添加您的文本16字
小波变换的自适应性质使得它在压缩过程中能够根据信号 的特性进行动态调整，进一步提高压缩效率。
信号去噪
有效去噪 多尺度分析 自适应去噪
小波变换能够检测到信号中的突变点，从而在去噪过程 中保留这些重要特征，同时去除噪声。
小波变换的多尺度分析能力使其在去噪过程中能够同时 考虑信号的全局和局部特性，实现更准确的去噪效果。
小波变换的算法优化
1 2
小波变换算法的分类
介绍不同类型的小波变换算法，如连续小波变换、 离散小波变换等。
算法优化策略
探讨如何优化小波变换算法，以提高计算效率和 精度。
3
算法实现技巧
介绍实现小波变换算法的技巧和注意事项。
小波变换在实际应用中的挑战与解决方案
01
小波变换在信号处理中的应用
介绍小波变换在信号处理领域的应用，如信号去噪、特征提取等。
小波变换ppt课件
• 小波变换概述 • 小波变换的基本原理 • 小波变换的算法实现 • 小波变换在信号处理中的应用 • 小波变换在图像处理中的应用 • 小波变换的未来发展与挑战
01
小波变换概述
小波变换的定义
01
小波变换是一种信号处理方法， 它通过将信号分解成小波函数的 叠加，实现了信号的多尺度分析 。
02
小波变换在图像处理中的应用
探讨小波变换在图像处理领域的应用，如图像压缩、图像增强等。
03
实际应用中的挑战与解决方案
分析小波变换在实际应用中面临的挑战，并提出相应的解决方案。
THANKS
感谢观看
离散小波变换具有多尺度、多方向和自适应的特点，能够提供信号或图像在不同尺 度上的细节信息，广泛应用于信号降噪、图像压缩和特征提取等领域。
小波变换的基本概念和原理
小波变换的基本概念和原理小波变换是一种数学工具，用于分析信号的频谱特性和时域特征。
它在信号处理、图像处理、数据压缩等领域有着广泛的应用。
本文将介绍小波变换的基本概念和原理。
一、什么是小波变换？小波变换是一种将信号分解为不同频率的成分的数学工具。
它类似于傅里叶变换，但不同之处在于小波变换不仅能提供频域信息，还能提供时域信息。
小波变换使用一组称为小波基函数的函数族，通过对信号进行连续或离散的变换，将信号分解为不同尺度和频率的成分。
二、小波基函数小波基函数是小波变换的基础。
它是一个用于描述信号特征的函数，具有局部性和可调节的频率特性。
常用的小波基函数有Morlet小波、Haar小波、Daubechies 小波等。
这些小波基函数具有不同的性质和应用场景，选择适当的小波基函数可以更好地适应信号的特征。
三、小波分解小波分解是将信号分解为不同尺度和频率的过程。
通过对信号进行连续或离散的小波变换，可以得到小波系数和小波尺度。
小波系数表示信号在不同尺度和频率下的能量分布，而小波尺度表示不同尺度下的信号特征。
小波分解可以将信号的局部特征和全局特征分离开来，为信号分析提供更多的信息。
四、小波重构小波重构是将信号从小波域恢复到时域的过程。
通过对小波系数进行逆变换，可以得到原始信号的近似重构。
小波重构可以根据需要选择保留部分小波系数，从而实现信号的压缩和去噪。
五、小波变换的应用小波变换在信号处理、图像处理、数据压缩等领域有着广泛的应用。
在信号处理中，小波变换可以用于信号去噪、特征提取、模式识别等任务。
在图像处理中，小波变换可以用于图像压缩、边缘检测、纹理分析等任务。
在数据压缩中，小波变换可以将信号的冗余信息去除，实现高效的数据压缩和存储。
六、小波变换的优势和局限性小波变换相比于傅里叶变换具有一些优势。
首先，小波变换可以提供更多的时域信息，对于非平稳信号和瞬态信号具有更好的分析能力。
其次，小波变换可以实现信号的局部分析，对于局部特征的提取和分析更为有效。
小波变换定义公式
小波变换定义公式1. 什么是小波变换？小波变换是一种数学方法，可以将任意复杂的信号分解成一系列基本的波形组成的信号组。
这些基本的波形组成的信号组称为小波基，而小波变换则是将信号转换到小波基上的过程。
小波变换通过将不同频率的信号分解成频率范围更窄的信号，从而提供了一种能够描述信号局部特征的方法。
2. 小波变换的定义公式设 x(t) 是一个连续时间信号，小波变换将信号转换到小波基上，得到小波系数 C(a,b)：C(a,b)=∫x(t)ψ*ab(t) dt其中，ψ*ab(t) 是小波基函数，表示尺度为a，时移为b的小波基的共轭，a 和 b 分别表示尺度和位置参数，T 表示时间域上的范围。
3. 小波变换的特点和优势与傅里叶变换和短时傅里叶变换相比，小波变换具有以下特点和优势：（1）小波变换能够对非平稳信号进行分析，具有较好的时频局部性，能够提取信号短时的局部特征。
（2）小波变换能够对信号的高频部分和低频部分进行分离，具有较好的分辨率性。
（3）小波基函数无需是正交的，因此可选择适合不同信号处理需求的小波基函数。
（4）小波变换具有数据压缩和降噪的功能，可以有效地去除信号中的噪声和冗余信息。
4. 小波变换在实际应用中的应用小波变换在信号处理、图像处理和语音处理等方面具有广泛的应用。
例如，在信号处理中，小波变换可用于地震信号处理、生物信号处理和语音信号处理等方面；在图像处理中，小波变换可用于图像压缩、图像增强和边缘检测等方面；在语音处理中，小波变换可用于语音压缩、语音识别和语音增强等方面。
总之，小波变换作为一种有效的信号分析方法，在实际应用中发挥着重要的作用，对于提高信号处理的效率和精度都具有重要的意义。
小波分解和小波变换
小波分解和小波变换小波分解和小波变换是一种信号解析的数学方法，可以将信号分解成多个不同的频率和幅度的成分，从而更好地了解信号的特性。
小波分解和小波变换的应用广泛，在信号处理、图像处理、数据分析和物理学等领域中都有重要的应用。
一、小波分解小波分解是指将信号分解成一组不同频率和幅度的分量，其中小波函数被用来作为分解的基函数。
这些小波函数可以有不同的特性，例如有限长度和平滑度等。
通常情况下，小波函数是由一个母小波函数递归生成得到的。
小波分解的基本步骤如下：1.选择一个小波基函数，并确定其尺度和位移参数。
2.将这个小波函数与信号进行卷积。
3.将卷积结果分为两部分，一部分是高频成分，另一部分是低频成分。
4.重复以上步骤，递归地对低频成分进行分解，直到无法再进行分解。
小波分解的结果是一个小波系数数组，其中每个小波系数表示了对应频率和振幅的成分的大小。
二、小波变换小波变换是指将信号在小波基函数下的分解。
它将信号分解成不同的频率和振幅成分的过程，可以用于信号去噪、数据压缩和特征提取等应用。
4.对低频成分进行下采样，得到一个新的序列。
三、小波分析的优点相对于傅里叶变换和小波变换，小波分析有一些明显的优点：1.小波分析可以适应各种信号类型，包括非平稳信号和非线性信号。
2.小波分析可以分析信号中的时空分布，而傅里叶变换只能分析信号中的频率分布。
3.小波分析可以将信号分解成有限的、宽带的频率组件，而傅里叶变换需要使用无限多的单色波组成信号。
4.小波分析可以快速地处理并行信号，因为它可以进行高效的多尺度分解。
小波分析在许多领域中都有广泛的应用，例如信号处理、图像处理、音频处理、数据压缩和特征提取等。
以下是一些常见的应用：1.信号去噪：小波分析可以有效地去除信号中的噪声和干扰。
2.数据压缩：小波分析可以将信号分解成有限的频率组件，从而能够进行高效的数据压缩。
3.图像处理：小波分析可以使用不同的小波基函数对图像进行分解，从而能够进行图像去噪、特征提取和边缘检测等处理。
小波变换简介PPT课件
47
X = waverec2(C,S,'wname')
reconstructs the matrix X based on the multi-level wavelet decomposition structure [C,S]
10
幅度
频率
时间窗
时间
时域加窗分析
时间
时频平面划分示意图
11
窗口傅立叶变换
12
窗口傅立叶变换
另一个缺点是：无论怎样离散化，都不能 使Gabor变换成为一组正交基；
而傅立叶变换经离散化后可得到按正交函 数展开的傅立叶级数。
13
1909: Alfred Haar
Alfred Haar对在函数空间中寻找一个与傅立叶类似 的基非常感兴趣。1909年他发现并使用了小波， 后来被命名为哈尔小波(Haar wavelets)
C 0
Wf
(a,b)a,b(t)dbda2a
a,b(t)
1 (t b)
aa
28
小波系数的意义
Wf (a,b)表示信号与尺度为a小波的相关程 度。小波系数越大，二者越相似。
F() f(t)ejtdt
W f(a,b)f(t) a,b(t)dt
29
连续小波变换的简单步骤
选择尺度为a确定的小波，与信号开始的 一段比较；
A = appcoef2(C,S,'wname',N)
最新小波变换与小波滤波讲学课件
子（scale）和平移（position）的函数。
16
基本小波函数ψ()的缩放和平移操作
(1) 缩放。就是压缩或伸展基本小波， 缩放系数越
小， 则小波越窄
f (t)
f (t)＝ (t)； scale＝ 1
O
t
f (t) O
f (t)＝ (2t)； scale＝ 0.5
FT将信号分解成一系列不同频率正弦波的叠加，小 波分析是将信号分解成一系列小波函数的叠加。而这 些小波函数都是由一个母小波函数经过平移与尺度伸 缩得来的。
用不规则的小波函数来逼近尖锐变化的信号显然要 比光滑的正弦曲线要好，同样，信号局部的特性用小 波函数来逼近显然要比光滑的正弦函数来逼近要好。
15
t
f (t) O
小波的缩放操作t
f (t)＝ (4t)； scale＝ 0.25
基本小波函数ψ()的缩放和平移操作 17
(2) 平移。小波的延迟或超前。在数学上,函数f(t)延 迟k的表达式为f(t-k)，
(a) 小波函数ψ(t)； (b) 位移后的小波函数ψ(t-k)
18
1.5 小波变换的步骤
21
1.5 小波变换的步骤
小波尺度和信号频率的关系
大尺度 小尺度
信号的低频 信号的高频
22
1.6 离散小波变换（DWT）
在每个可能的缩放因子和平移参数下计算小波 系数，其计算量相当大，将产生惊人的数据量，而且 有许多数据是无用的。
如果缩放因子和平移参数都选择为2j（j>0且为
整数）的倍数， 即只选择部分缩放因子和平移参数 来进行计算， 就会使分析的数据量大大减少。
圆，轻巧又便宜的蒲扇。 蒲扇流传至今，我的记忆中，它跨 越了半 个世纪 ，
小波变换与小波变换编码原理
成。 (3)
为另一大类：有限宽度，其它地方为 0。由 正脉冲 ，负脉冲 及 零 组
这一类可分为三个不同尺度，以 表示尺度，有
。
时，4 个正脉冲，4 个负脉冲，在
中，没有“零”，且
；
时，2 个正脉冲，2 个负脉冲，在
中，有 4 个“零”，且
；
3
时，1 个正脉冲，1 个负脉冲，在
中，有 6 个“零”，且
据量；这些上层信息仅是低频分量，附加上去便于分析而已。
2. 拉普拉斯金字塔[8] 继续上小节的内容，但从金字塔的上层向下考虑。如果有了上一层 ，能否反推下一
层 呢？答案是否定的，因为 中不含“细节”，想反推必须补充细节。要补充的细节就
是拉普拉斯金字塔的某一层。
定义“放大算子”
，它对 进行内插放大，得到放大的图 ，即
在介绍小波变换之前，我们先来学习几个与多分辨率分析相关的变换。
3.1.1 Haar 变换
Haar 变换是“紧支、二进、正则、归一小波变换”的一个实例。Haar 变换的基函数（族）
1
图 3.1 Haar 变换的基函数 hk (x) ， k = 0 ~ 7
从图 3.1 可以发现：
(1)除
外，基函数的波形都是矩形脉冲对，即均呈
。
(4)同一尺度下的基函数有平移； 表示平移的位置（平移量）。
尺度越大时，平移步长也大，以二进制方式增长。以 为单位步长，
时，具有 4
步长的平移量，即每当 增加 1 时， x 的平移量为 ；
时，具有 2 步长的平移量，即
每当 增加 1 时，x 的平移量为 ，此时
区间。
。两种情形下的平移量都正好覆盖
(5)“基函数”的高度则从 起，尺度以二进制每“缩小”一档，即宽度除以 2，高度则
小波变换课件 第6章 连续小波变换
第6章 连续小波变换6.1 小波及连续小波变换● 定义6.1 设函数12()()()t L R L R ψ∈ ，并且ˆ(0)0ψ=，既()0t dtψ+∞-∞=⎰，则称为一个基本小波或母小波。
对母小波()t ψ做伸缩平移得,()a b t b t a ψ-⎛⎫=⎪⎝⎭（6-1） 称为,()a b t ψ小波函数，简称小波。
其中0a ≠,b 、t 均为连续变量：1） a 为尺度因子，b 为平移因子。
变量a 反映了函数的宽度，b 反映了小波在t 轴上的平移位置，小波函数,()a b t ψ是基本小波函数()t ψ先b 做移位再由a 做伸缩，,a b 不断变化产生的一组函数，又称作小波基函数，或小波基。
2） 母小波的能量集中在原点，小波函数,()a b t ψ的能量集中在b 点。
3）一般，尺度因子0a >，作用是使小波()t ψ做伸缩，a 越大，()t aψ越宽，既小波的持续时间随aa 变化时保持小波,()ab t ψ的能量相等，既2,()a b t ψ2()t ψ=（保范性质）。
● 定义 6.2 设12()()()t L R L R ψ∈ ，且满足条件2ˆ()c d ψψωωω+∞-∞=<∞⎰（6-2） 则称()t ψ为允许小波，上式为允许条件。
由c ψ<+∞知，ˆ(0)0ψ=，既()0t dt ψ+∞-∞=⎰，因此允许小波一定是基本小波；反之，若()t ψ满足1()(1)(0)t c t εψε--≤+>，且ˆ(0)0ψ=，其中c 是一个常数，则式（6-2）成立。
这表明允许条件与()0t dt ψ+∞-∞=⎰几乎是等价的。
从小波的定义知，小波要求由振荡性，既包含着某些频率特征，还要求具有一定的局部性，既它在一定的区间上恒等于零或很快收敛到零。
● 设()t ψ是一个基本小波，,()b a t ψ是连续小波函数，对于()f t 2()L R ∈，其连续小波变换定义为(,)f WT ab ()*t b f t dt a ψ+∞-∞-⎛⎫=⎪⎝⎭,,a b f ψ= （6-3）其中，0a ≠,b 、t 均为连续变量，*()t ψ表示()t ψ的共轭。
第7章-小波变换ppt课件
第七章 频域处理
波和小波－波与小波之间的差异
上部两条曲线是频率不 同的余弦波，持续宽度 相同。底下的两条是沿 着轴向频率和位置都不 相同的小波。最古老又 最简单的小波 －Haar小 波 ，它的基向量都是由 一个函数通过平移和伸 缩来产生的。
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第七章 频域处理
生动的例子：小波和音乐
乐谱可以看作描绘了一个二维的时频空间。频率(音高)从层次的底部向上 增加，而时间(以节拍来测度)则向右发展。乐章中每一个音符都对应于一 个将出现在这首歌的演出记录中的小波分量(音调猝发)。每一个小波持续 宽度都由音符(为四分之一音符、半音符等)的类型来编码。
该式表示小波变换是信号f(x)与被缩放和平移的小波函数ψ() 之积在信号存在的整个期间里求和的结果。CWT的变换结果是许 多小波系数C，这些系数是缩放因子（scale）和平移（positon） 的函数。
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第七章 频域处理
基本小波函数ψ()的缩放和平移操作含义如下：
(1) 缩放——压缩或伸展基本小波， 缩放系数越小， 则小 波越窄，如图所示。
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第七章 频域处理
2. 离散小波变换 （ Discrete Wavelet Transform ，DWT）
如果缩放因子和平移参数都选择为2j（j>0且为整数）的倍 数， 即只选择部分缩放因子和平移参数来进行计算，会使分析 的数据量大大减少。使用这样的缩放因子和平移参数的小波变 换称为双尺度小波变换（Dyadic Wavelet Transform），它是离 散小波变换（Discrete Wavelet Transform， DWT）的一种形式。 通常离散小波变换就是指双尺度小波变换。
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第七章 频域处理
离散小波变换的有效方法是使用滤波器， 该方法是Mallat 于1988年提出的，称为Mallat算法。
小波与小波变换
第3章小波与小波变换(征求意见稿)清华大学计算机科学与技术系智能技术与系统国家重点实验室林福宗，2001-9-25小波是近十几年才发展起来并迅速应用到图像处理和语音分析等众多领域的一种数学工具，是继110多年前的傅立叶(Joseph Fourier)分析之后的一个重大突破，无论是对古老的自然学科还是对新兴的高新技术应用学科都产生了强烈冲击。
小波理论是应用数学的一个新领域。
要深入理解小波理论需要用到比较多的数学知识。
本章企图从工程应用角度出发，用比较直观的方法来介绍小波变换和它的应用，为读者深入研究小波理论和应用提供一些背景材料。
3.1 小波介绍3.1.1 小波简史傅立叶理论指出，一个信号可表示成一系列正弦和余弦函数之和，叫做傅立叶展开式。
用傅立叶表示一个信号时，只有频率分辨率而没有时间分辨率，这就意味我们可以确定信号中包含的所有频率，但不能确定具有这些频率的信号出现在什么时候。
为了继承傅立叶分析的优点，同时又克服它的缺点，人们一直在寻找新的方法。
20世纪初，哈尔(Alfred Haar)对在函数空间中寻找一个与傅立叶类似的基非常感兴趣。
1909年他发现了小波，并被命名为哈尔小波(Haar wavelets)，他最早发现和使用了小波。
20世纪70年代，当时在法国石油公司工作的年轻的地球物理学家Jean Morlet提出了小波变换WT(wavelet transform)的概念。
进入20世纪80年代，法国的科学家Y.Meyer和他的同事开始为此开发系统的小波分析方法。
Meyer于1986年创造性地构造出具有一定衰减性的光滑函数，他用缩放(dilations)与平移(translations)均为j2(j≥0的整数)的倍数构造了2L(R)空间的规范正交基，使小波得到真正的发展。
小波变换的主要算法则是由法国的科学家Stephane Mallat在1988年提出[1]。
他在构造正交小波基时提出了多分辨率的概念，从空间上形象地说明了小波的多分辨率的特性，提出了正交小波的构造方法和快速算法，叫做Mallat算法[1]。
第7章小波与小波变换
3、小波重构 第7章小波与小波变换章 小波与小
波变换
14
7.1 小波介绍——小波分析(续1)
➢ 1986：Y.Meyer
法国科学家Y.Meyer与其同事创造性地构造出具 有一定衰减性的光滑函数，用于分析函数
用缩放(dilations)与平移(translations)均为2 j(j≥0 的整数)的倍数构造了L2(R)空间的规范正交基， 使小波分析得到发展
第7章小波与小波变换章 小波与小
在不同的时间有不同的频率分析—引入小波
第7章小波与小波变换章 小波与小
波变换
3
7.1 小波介绍
小波简史
➢ 小波变换 (wavelet transform)是什么
老课题：函数的表示方法 新方法：Fourier－Haar－wavelet transform
傅里叶 哈尔 小波变换
➢ 1807: Joseph Fourier
具有这些频率的信号出现在什么时候 2、要考虑所有时间域的信息，不能反映局部信息
的特征
第7章小波与小波变换章 小波与小
波变换
5
7.1 小波介绍
➢ 1909: Alfred Haar
Alfred Haar对在函数空间中寻找一个与傅立叶类似 的基非常感兴趣。1909年他发现并使用了小波，后 来被命名为哈尔小波(Haar wavelets)
它被誉为数学显微镜 . 它在时域和频域同时具有良好的局部化性质,在时
频两域都具有表征信号局部特征的能力.
第7章小波与小波变换章 小波与小
波变换
13
7.1 小波介绍——小波分析
小波分析/小波变换
---变换目的是获得时间和频率域之间的相互关系
1、小波变换
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2011年3月9日
7.1 小波介绍——小波分析(续4) ∗ DWT得到的小波系数、缩放因子和时间关系，见图7-5
∗ 图(a)是20世纪40年代使用Gabor开发的短时傅立叶变换(short time Fourier transform，STFT)得到的 ∗ 图(b)是20世纪80年代使用Morlet开发的小波变换得到的
∗ 小波包分解树(wavelet packet decomposition tree)
∗ 用下述方法分解形成的树：不仅对信号的低频分量连续进行 分解，而且对高频分量也进行连续分解，这样不仅可得到许 多分辨率较低的低频分量，而且也可得到许多分辨率较低的 2011年3月9日 18/46 高频分量，见图7-8
∗ 两个过程
7.1 小波介绍——小波分析(续11)
图7-10 小波重构方法
图7-11 升采样的方法
第7章 小波与小波变换 23/46 2011年3月9日
∗ 重构滤波器
7.1 小波介绍——小波分析(续12)
∗ 滤波器关系到能否重构出满意的原始信号。在信号的分 解期间，降采样会引进畸变，这种畸变叫做混叠(aliasing)。 这就需要在分解和重构阶段精心选择关系紧密但不一定 一致的滤波器才有可能取消这种混叠 低通分解滤波器(L)和 高通分解滤波器(H)以 及重构滤波器(L'和H') 构成一个系统，这个 系统叫做正交镜像滤 波器(quadrature mirror filters，QMF)系统，如 图7-12所示
第7章 小波与小波变换
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∗ 1945: Gabor
7.1 小波介绍(续5)
∗ 开发了STFT (short time Fourier transform)
STFT (τ , ω ) = ∫ s (t ) g (t − τ )e − jωt dt where: s (t ) = signal g (t )= windowing function windowing
图7-1 正弦波与小波——部分小波
第7章 小波与小波变换 4/46 2011年3月9日
7.1 小波介绍(续2) 小波简史
小波变换 (wavelet transform)是什么
老课题：函数的表示方法 新方法：Fourier－Haar－wavelet transform
1807: Joseph Fourier
A表示信号的近似值 (approximations) (approximations)，大的缩放 因子产生的系数，表示信 号的低频分量 D表示信号的细节值(detail)， 小的缩放因子产生的系数， 表示信号的高频分量
图7-6 双通道滤波过程
第7章 小波与小波变换
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2011年3月9日
7.1 小波介绍——小波分析(续6)
多媒体技术基础(第3版)
第7章 小波与小波变换
林福宗 清华大学 计算机科学与技术系 linfz@ 2008年9月
第7章 小波与小波变换目录 7.3 哈尔小波变换 7.1 小波介绍
7.1.1 小波简史 7.1.2 小波概念 7.1.3 小波分析 7.1.4 小波定义
∗ 小波分解树与小波包分解树
∗ 由低通滤波器和高通滤波器组成的树
∗ 原始信号通过一对滤波器进行的分解叫做一级分解。信号的 分解过程可以迭代，即可进行多级分解。
∗ 小波分解树(wavelet decomposition tree)
∗ 用下述方法分解形成的树：对信号的高频分量不再继续分解， 而对低频分量连续进行分解，得到许多分辨率较低的低频分 量，见图7-7
傅立叶理论指出，一个信号可表示成一系列正弦 和余弦函数之和，叫做傅立叶展开式
第7章 小波与小波变换
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2011年3月9日
7.1 小波介绍(续3)
F (ω ) = ∫
+∞ −∞
f (t )e − jωt dt
+∞ −∞
1 f (t ) = 2π
∫
F (ω ) e jωt
where e − jωt = cos ωt − j sin ωt
只有频率分辨率而没有时间分辨率 可确定信号中包含哪些频率的信号，但不能 确定具有这些频率的信号出现在什么时候
第7章 小波与小波变换
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7.1 小波介绍(续4)
∗ 1909: Alfred Haar
∗ Alfred Haar对在函数空间中寻找一个与傅立叶类似的基非常感兴 趣。1909年他发现并使用了小波，后来被命名为哈尔小波(Haar wavelets)
7.1 小波介绍
∗ 在有限时间范围内变化且其平均值为零的数学函数
∗ 具有有限的持续时间和突变的频率和振幅 ∗ 在有限的时间范围内，它的平均值等于零
第7章 小波与小波变换
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2011年3月9日
7.1 小波介绍(续1) ∗ 部分小波
∗ 许多数缩放函数和小波函数以开发者的名字命名，例如，
∗ Moret小波函数是Grossmann和Morlet在1984年开发的 ∗ db6缩放函数和db6小波函数是Daubechies开发的
2011年3月9日
7.1 小波介绍(续7)
∗ 1988：Mallat算法
∗ 法国科学家Stephane Mallat提出多分辨率概念，从空间上 形象说明小波的多分辨率的特性，并提出了正交小波的构 造方法和快速算法，称为Mallat算法[1] ∗ 该算法统一了在此之前构造正交小波基的所有方法，其地 位相当于快速傅立叶变换在经典傅立叶分析中的地位
2011年3月9日 第7章 小波与小波变换 13/46
7.1 小波介绍——小波分析(续2)
∗ CWT的变换过程示例， 见图7-3，可分如下5步
1. 小波ψ (t)和原始信号f(t)的 开始部分进行比较 2. 计算系数C——该部分信号 与小波的近似程度；C值越 高表示信号与小波相似程 度越高 3. 小波右移k得到的小波函数 为ψ (t-k) ，然后重复步骤1 和2，……直到信号结束 4. 扩展小波，如扩展一倍， 得到的小波函数为ψ (t/2) 5. 重复步骤1~4
第7章 小波与小波变换
7.1 小波介绍——小波分析(续7)
图7-7 小波分解树
第7章 小波与小波变换 19/46 2011年3月9日
7.1 小波介绍——小波分析(续8)
S = A1 + AAD3 + DAD3 + DD2
图7-8 三级小波包分解树
2011年3月9日
第7章 小波与小波变换
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2011年3月9日 第7章 小波与小波变换
图7-3 连续小波变换的过程
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7.1 小波介绍——小波分析(续3) ∗ 连续小波变换用下式表示
C ( scale, position) = ∫
+∞ −∞
f (t )ψ ( scale, position, t )dt
该式含义：小波变换是信号f(t)与被缩放和平移的小波函数Ψ之 积在信号存在的整个期间里求和 CWT变换的结果是许多小波系数C ，这些系数是缩放因子(scale) 和位置(position)的函数
第7章 小波与小波变换
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7.1 小波介绍——小波分析 ∗ 小波分析/小波变换
变换目的是获得时间和频率域之间的相互关系 ∗ 小波变换
∗ 对一个函数在空间和时间上进行局部化的一种数学变换
∗ 通过平移母小波(mother wavelet)获得信号的时间信息 通过缩放母小波的宽度(或称尺度)获得信号的频率特性 ∗ 对母小波的平移和缩放操作是为计算小波的系数，这些系数代表局部 信号和小波之间的相互关系 ∗ 提供了频率域的信息，但丢失了时间域的局部化信息
∗ 对比傅立叶变换
∗ 小波分析中常用的三个基本概念
∗ 连续小波变换 ∗ 离散小波变换 ∗ 小波重构
第7章 小波与小波变换
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2011年3月9日
7.1 小波介绍——小波分析(续1)
∗ 连续小波变换(continuous wavelet transform，CWT)
∗ 傅立叶分析
∗ 用一系列不同频率的正弦波表示一个信号 ∗ 一系列不同频率的正弦波是傅立叶变换的基函数
图7-5 离散小波变换分析图
第7章 小波与小波变换 16/46 2011年3月9日
7.1 小波介绍——小波分析(续5) ∗ 执行DWT的有效方法
∗ 用Mallat在1988年开发的滤波器，称为Mallat算法[1] ∗ DWT的概念见图7-6。S表示原始的输入信号；通过两个互补的滤 波器产生A和D两个信号
7.1 小波介绍——小波分析(续9)
注意：在使用滤波器对真实的数字信号进行变换时， 得到的数据将是原始数据的两倍
例如，如果原始信号的数据样本为1000个，通过滤波之后每 一个通道的数据均为1000个，总共为2000个。于是,根据尼奎 斯特(Nyquist)采样定理就提出了采用降采样(downsampling)的 方法，即在每个通道中每两个样本数据中取一个，得到的离 散小波变换的系数(coefficient)分别用cD和cA表示，见图7-9
7.4 规范化算法 7.5 二维哈尔小波变换
7.5.1 二维小波变换举例 7.5.2 二维小波变换方法
7.2 哈尔函数
7.2.1 哈尔基函数 7.2.2 哈尔小波函数 7.2.3 函数的规范化 7.2.4 哈尔基的结构
第7章 小波与小波变换
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2011年3月9日
∗ 小波(wavelet)是什么
STFT的时间-频率关系图
第7章 小波与小波变换 8/46 2011年3月9日
7.1 小波介绍(续6) ∗ 1980：Morlet