12磁场习题点评

二、运动电荷的磁场
电量q，速度v的粒子产生的磁场
B = µ0 qv × r0 4π r2
+θ v r ×B
大小：B =
µ0 4π
qv sinθ
r2
方向：与v和r0成右手螺旋(注意电荷的正负)
作矩形安培环路 abcd
°I⋅°⋅°⋅°⋅°⋅bc°⋅°⋅°⋅°⋅°⋅°⋅°⋅°⋅°⋅da°⋅°⋅°⋅B°⋅°⋅
B
(1)F = F = IL Bsinθ =... =0.283N I
AB AB
AB
B
方向：垂直于AB指向背离圆心方向。
A
O
(2)磁力矩M = pm × B
磁矩pm = ISn,n的方向与电流成右手螺旋
此处n与B同向，M = pmB sinθ = 0
3. 带电刚性细杆AB，电荷线密度为λ，绕垂直于直线的
a 4π r
4π
a
(2)a >> b,带电细杆AB可视作点电荷
B
=
µ0qv 4π a2
=
µ0λbωa 4π a2
=
µ0λbω 4π a
方向：垂直于细杆转动平面与转动方向成右手螺旋
等效于圆形电流
O
+
dI = dq = λdr dB = µ0dI
T 2π ω
2r
∫ ∫ B = dB = µ 0ω λ a +b dr = µ 0ω λ ln a + b
筒内部的磁感应强度。
解：
ω σR
a
b
°I⋅°⋅°⋅°⋅°⋅°⋅°⋅°⋅°⋅°⋅°⋅°⋅°⋅°⋅°⋅°⋅°⋅°⋅°⋅
B
a
b
⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗
c
d
c
d
∫ Bidl = ∫ Bidl + ∫ Bidl + ∫ Bidl + ∫ Bidl
abcd
ab
bd
dc
ac
∫= ab Bdl = Bab = µ0ΣI
12 磁场
——习题点评
一、选择题
1. 在磁感应强度为B的均匀磁场中作一半径为r的半 球面S，S边线所在平面的法线方向单位矢量与B的 夹角为α，则通过半球面S的磁通量为[ D ]
Fra Baidu bibliotek∵ ∫ BidS = Φ + Φ = 0
半球
底
Φ = ∫ BidS = BiS = π r2B cosα 底
∴Φ = −Φ = −π r2B cosα
面，已知此柱形曲面的轴与载流导线的轴平行且相 距3a (如图)，则在圆柱侧面S上的积
分 ∫∫ s B ⋅dS = 0 。
2a
5a 3a
l
I
∫ BidS = ∫ BidS + ∫ BidS = 0
总
侧
底
0
0
3. 一质点带有电荷q =8.0×10−19 C，以速度 v = 3.0×105m⋅s−1 在半径为 R = 6.00×10-8m 的圆周上作匀速圆周运动，该 带电质点在轨道中心所产生的磁感应强度B
圈在同一平面内，若长直导线固定不动，则载流三 角形线圈将: 向着长直导线平移
如果∆ABC处于均匀磁场中
则FACB = FAB = −FBA
此处∆ABC处于非均匀磁场中
导线BA所在处的磁感应强度强于 导线ACB所在处的磁感应强度
×
A
I1
I2
C
B
⇒ F 向着长直导线的方向 合
5. 有一无限长通有电流、宽度为a、厚度不计的扁平 铜片，电流I在铜片上均匀分布，在铜片外与铜片共 面、离铜片右边缘b处的P点 (如图所示) 的磁感应强 度的大小为[ B ]
F = ∫ Idl × B = I (∫ dl ) × B
Idl dF
I
B
L AB
= ILAB × B
I
A
B
大小：F = ILB sinθ
方向：与LAB和B成右手螺旋
由由此此可可见见，，在在均均匀匀磁磁场场中中的的任任意意一一段段弯弯曲曲导导线线与与 两两端端点点间间载载有有同同样样电电流流的的直直导导线线所所受受的的力力相相同同
轴O 以角速度ω匀速转动(O点在细杆AB延长线上)，求：
(1) O点的磁感应强度Bo ；
(2) 若a>>b，求 B o 。
Oa
(1)dB
=
µ0 4π
dqv sin 90 r2
=
µ0 4π
λdrωr
r2
=
µ0 4π
λωdr
r
r
A
dr
b
ωB
∫ ∫ B = dB = a+b µ0 λωdr = µ0λω ln a + b
半球
底
S
α
nB
2. 边长为l的正方形线圈，分别用图示两种的方式通
以电流I (其中ab、cd与正方形共面)，在这两种情况
下，线圈在其中产生的磁感应强度大小分别为[ C ]
a
l
Ib
l
I
× B1
θ2
θ1
×B2 I
cd
B1
=
µ0 I 4π l
(cosθ1 − cosθ2 )× 4 = 2
2µ0 I πl
2
4. 两根长直导线通有电流I ，图示有三种环路；在
每种情况下，∫ B ⋅ dl 等于：
µ0 I (对于环路a);
0 (对于环路b);
b
cc
I
I
2µ0I (对于环路c)。
a
5. 如图所示，在真空中有一半径为a的3/4圆弧形的 导线，其中通以稳恒电流I，导线置于均匀外磁场B 中，且 B与导线所在平面垂直，则该载流导线 bc 所
B2 = 0
3. 下列哪一条曲线能确切描述载流圆线圈在其轴线 上任意点所产生的随x的变化关系(x坐标轴垂直于圆 线圈平面，原点在圆线圈中心O。)[ C ]
线圈的轴
O
x
电流
B
B
B
(A)
x
(B)
x
B
B
x (C)
x (D)
( ) B = 2
µ0 IR 2
R2 + x2
32
x (E)
4. 如图所示，无限长直载流导线与正三角形载流线
I = q = 2π Rabσ = Rabσω
T
2π ω
⇒ B = µ0Rσω
方向沿轴线，和圆筒的旋转方向成右手螺旋
解2：
ωR
σ
a
I = q = 2π Raσ = Raσω
T
2π ω
B
=
µ0nI
=
µ0
1 a
Raσω
=
µ0 Rσω
任任意意形形状状载载流流导导线线在在均均匀匀磁磁场场中中所所受受的的力力
受的磁力大小为
。
c
a
2a
I
Oa b
B
F = F = Il × B = 2IaB
bc
bc
三、计算题
1. 已知均匀磁场，其磁感应强度 B = 2.0wb⋅m−2 ，
方向沿x轴方向，如图所示，试求：
(1) 通过图中abOc面的磁通量； (2) 通过图中bedO面的磁通量； (3) 通过图中acde面的磁通量。
4π a r 4π
a
若a>>b,AB可视作点电荷，到O的距离为a
I = q = λb B = µ 0 I = µ 0 λ bω
T 2π ω
2a
4π a
a
r
A
b
dr
ωB
方向：垂直于细杆转动平面与转动方向成右手螺旋
4. 如图所示，一半径为R的均匀带电无限长直圆筒，电荷
面密度为σ，该筒以角速度ω绕其轴线匀速旋转，试求圆
= 6.67×10-6T ;该带电质点轨道运动的磁矩 Pm= 7.2×10-21Am2 。(µ0 = 4π ×10−7 H ⋅ m−1)
B
=
µ0 4π
qv × r0 R2
⇒
B
=
µ0 4π
qv sin 90 R2
= ...
+
I
=
q T
=
q
2π R
B
=
µ0 I
2R
=
µ0qv 4π R2
v
Pm = IS = ...
情况下，线框内的磁通量
。
取向内为线框的正法线方向
I
线框处于非均匀磁场中
b
x
Φ = ∫ B ⋅ dS = ∫ BdS cos 0
b
dx
a
∫= 2b µ0I adx = µ0Ia ln 2
b 2π x
2π
2. 一半径为a的无限长直载流导线，沿轴向均匀地 流有电流I 。若做 一个半径为R=5a、高为l的柱形曲
ae 5
Φ3 = BiS3 = B⋅S3 ⋅cosθ =... =0.240Wb
2 . 一线圈由半径为0.2m的1/4圆弧和相互垂直的二 直线组成，通以电流2A，把它放在磁感应强度为 0.5T的均匀磁场中(磁感应强度 B的方向如图所示)。 求：(1)线圈平面与磁场垂直时，圆弧 AB所受的磁 力；(2)线圈所受的磁力矩。
∫ 1.磁通量：Φ m = B ⋅ dS
y
b 30cm e
40 cm
a
θ 50 cm
B
θ
30cm O
n
dx
2.规定：闭合曲面的法线方向向外！ z c
(1)Φ1 = BiS1 = BS cos1800 = ... = −0.240Wb
(2)Φ2 = BiS2 = BS2 cos 900 = 0
(3)cosθ = ab = 4
如图，绕行方向为逆 时针。
⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗
单位长度上的匝数 n
∫ B ⋅ dl = ∫b B ⋅ dl + ∫c B ⋅ dl + ∫ d B ⋅ dl + ∫ a B ⋅ dl
L
a
b
c
d
∑ = 0 + 0 + Bcd + 0=µ0 I= µ0ncdI
B = µ0nI 方向由右手螺旋法则确定
∫ ∫ dB =
B=
µ0dI
2π (a+b− x)
a
dB =
0 2π
µ0
(a
I
a +
dx b−
x
)
O
I
x dx
a
b P
= µ0I ln a + b 2π a b
二、填空题
1. 在一根通有电流I的长直导线旁，与之共面地放着 一个长，宽各为a和b的矩形线框，线框的长边与载 流长直导线平行，且二者相距为b，如图所示，在此
无限长螺线管内部为均匀磁场。