二次规划实验举例
工程优化设计-线性及二次规划
xp=bq/aq= min{bjp/ajp, ajp>0, jB}; 最先到零：xj=bjp-xpajp=0 写成一维搜索格式是: Xk+1=Xk+xpdk, dk=(-a’, 0,…,0,1,0,…,0)T.
x=[B-1b-B-1NxN, xN]=[B-1b, 0]+[-B-1NxN, xN] =Xk + [-B-1NxN, xN] =Xk+xpdk xN=[0 … 0 xp 0 … 0]T =xp[0…0 1 0…0]T=xpep dk=[-B-1Nep, 0 … 1 …0 ]
单纯形方法用逐步消去法替代Bk求逆.
为什么叫单纯形算法？ 标准形式: min f(x)=cTx=c1x1+c2x2+…+cnxn s.t. Ax= a1x1+a2x2+…+anxn=b x0, xRn, ARmn 标准形式中的约束定义的可行域是“n维空间中n-m维单纯形”, 即为n维空间中m维线性流形与第一象限的交。
2.1 基本解
令 xN=0, xT= [B-1b xT= [B-1b
0] 为基本解.
2.2 基本可行解
0]0 为基本可行解.
2.3 基本解个数 随着B的构成列不同, 可得不同的基本解, 从n列中 选取m列的选择方案有Cnm=n!/[m!(n-m)!]个. 除去|B|=0的情况, 基本解个数最多是Cnm.
xq 0 a 0
xB-q 0 0 I
xN-p cN-p mT N’
xp
-f
右端项
cp 1 np
1 0 0
c b2 b’
xq xB-q
xB+ NxN = b
线性规划与二次规划
表中数据项意义: 0*xB + cNTxN – f = c 基变 量 -f
线性规划与二次规划的应用
投资组合优化
定义：在给定风险 水平下，最大化预 期收益或最小化风 险
应用场景：股票、 债券等金融资产 组合
目标：实现资产 保值增值，降低 风险
方法：利用二次 规划算法进行优 化求解
电力系统优化
二次规划用于解决电力系统中的无功优化问题，提高电力系统的稳定性和经济性。 通过二次规划，可以优化电力系统的运行方式，降低线损，提高输电效率。 二次规划在电力系统中的应用还包括负荷预测、机组组合、经济调度等方面。
实例：如某公司 需要将产品从多 个产地运往多个 销售地，如何安 排运输工具和运 输路线使得总成 本最低。
分配问题
定义：将有限的资源按照一定的约束条件分配给各个部门或个体，使得总效益最大
应用场景：资源分配、生产计划、物流调度等
线性规划模型：通过线性方程组表示约束条件和目标函数，求解最优解
实例：某公司有10台机器，需要生产3种产品，每种产品需要不同数量的机器，如何分配机器 使得总产量最大
算法原理：基于 K u h n - Tu c k e r 条 件和梯度下降法， 通过迭代更新可 行解，逐渐逼近 最优解。
算法步骤：初始 化可行解，计算 目标函数的梯度 和约束条件的雅 可比矩阵，迭代 更新可行解，直 到满足收敛条件。
算法优势：内点 法具有全局收敛 性和多项式时间 复杂性，适用于 大规模优化问题。
感谢您的观看
灵活性
线性规划的灵活性：适用于多种问题，如生产计划、资源分配等 二次规划的灵活性：适用于凸优化问题，如最小二乘法、约束最小化等
线性规划的局限性：对于非线性问题，需要转化为线性问题，可能损失精度 二次规划的局限性：对于非凸问题，可能陷入局部最优解，而非全局最优解
单纯形法
定义：单纯形法是一种求解线 性规划问题的迭代算法
序贯二次规划-西安交通大学
(5-41a) (5-41b) (5-41c)
C=(c1 , c2 , , cn )T b=(b1 , b2 , , bm )T
q11 q12 , , q1n q q , , q 21 22 2n Q= M M M M qn1 qn2 , , qnn n a11 a12 , , a1n a a , , a 21 22 2n A= M M M M an1 an2 , , ann
5-53
5-54
Company name
jt2 j =0
i AiT bi 0 jxj 0
i 1, 2,..., m j 1, 2,..., n
2. 二次规划的求解--Lagrange乘子技术
这样函数L稳定点的必要条件可归纳为 c j j dij xi ij ai 0
(i 1, 2, L , m) ( j 1, 2, L , l )
(5-34)
约束条件是二次的
Company name
1. SQP法简介
x K 1 x K = x K 1 x K
i 1 n 2
Company name
5-43
函数L的稳定点的必要条件 : n L c j i aij j 0 x j j 1 L 2i si 0 s j L 2 j t j 0 t j L AiT x si2 bi 0 j L x j t2 j 0 j
1. 1 SQP法简介--只有等式约束
min s.t. 1 f ( x)T x+ xT Q k x 2 gi ( x K ) xT gi ( x K ) 0 hj ( x K ) xT hi ( x K ) 0
二次规划
从一个准互补基本可行解到另一个准互补基本可 行解的转换，直至得到互补基本可行解。 初始解：人工变量为进基变量，选离基变量使之 成为准互补基本可行解。
z0 max{ qi | i 1,...., m n} qs z 0, w q ez0 q eqs 0
主元选择规则：
若wi(zi)离基，则zi(wi)进基。 离基变量按最小比值原则选取。
用Lemke方法求解：
2 min f ( x) x12 x1 x2 2 x2 x1 10 x2
3 x1 2 x2 x 0 s.t. 1 x2 0
w1 9 w2 0 w 3 16 z1 0 z 2 0 z3 0 z 10 0
x L ( x, ) 0 L ( x, ) 0
Q R H A : R S A 0
T T 1
H AT x c 0 b A
x Qc R T b
可行下降方向
若x点的某一方向 ， d 则称d为x的可行下降方向。
既是该点的可行方向， 又是该点的下降方向
§5.5.1 Zoutendijk（约坦狄克）可行 方向法
I. 线性约束情形 II. 不等式约束情形 III.一般约束情形
待解决的问题
搜索方向的确定
搜索步长的确定 初始点的确定
线性约束情形
6
0 0 26 / 5 0 9/5 0 14 / 5
0 0 0 13 / 14 33 / 14 0 3/ 2
最优化二次规划
实验结果分析
迭代次数与计算时间
收敛性
记录并分析不同算法在求解各个问题实例 时的迭代次数和计算时间，评估算法的收 敛速度和计算效率。
观察并记录算法的收敛情况，包括是否收 敛、收敛速度如何等，以评估算法的稳定 性和可靠性。
1 2 3
图像处理
在图像处理中，利用二次规划方法进行图像去噪 、增强和分割等操作，提高图像质量。
机器学习
在支持向量机（SVM）、逻辑回归等机器学习算 法中，运用二次规划求解最优分类超平面或回归 模型参数。
运筹学
在物流、供应链管理等运筹学问题中，通过二次 规划求解最优的运输路径、库存策略等方案。
05 二次规划的数值实验与案例分析
模型建立与求解
模型建立
根据实际问题背景，建立相应的二次规划数学模型，包括确定目标函数、约束条件以及决 策变量等。
求解方法
二次规划问题的求解方法主要包括解析法、数值法和智能优化算法等。其中解析法适用于 小规模问题，数值法如内点法、有效集法等适用于中等规模问题，智能优化算法如遗传算 法、粒子群算法等适用于大规模复杂问题。
06 二次规划的发展趋势与挑战
CHAPTER
研究现状与发展趋势
理论研究
随着计算机技术的发展，二次规划的理论研究不断深入，包括算法 的收敛性、稳定性、复杂性等方面的研究。
应用领域拓展
二次规划在金融、经济、工程、管理等领域的应用不断拓展，如投 资组合优化、生产计划安排、物流运输等问题中。
算法改进与优化
适用范围
适用于具有不等式约束的二次规划问题。
其他方法
二次规划资料
向。
内点法的改进
• 修正内点法：引入正则化项，提高内点法的稳定性和收敛性。
• 梯度投影法：利用梯度的投影性质，简化内点法的计算。
• 并行内点法：利用多核处理器并行计算，提高计算速度。
修正牛顿法
修正牛顿法原理
• 基本思想：引入正则化项，使得海森矩阵具有更好的条件数。
• 更新公式：^(k+1) = ^k - ^(-1)^k - ^(-1)，其中为步长因子。
• 敏感性分析图：绘制模型结构与最优解的关系图，直观
的可行域，从而影响最优解的值和位置。
展示模型结构变化对最优解的影响。
06
二次规划问题的拓展与推广
多目标二次规划问题
多目标二次规划问题
• 定义：多目标二次规划问题是一类求解多个目标函数的二次规划问题，目标函数
之间可能存在冲突或权衡。
• 决策变量：多目标二次规划问题需要求解一组决策变量的最优值。
非线性二次规划问题
• 定义：非线性二次规划问题是一类目标函数或约束条件为非线性函数的二次规划
问题。
• 决策变量：非线性二次规划问题需要求解一组决策变量的最优值。
• 目标函数：非线性二次规划问题的目标函数是一个非线性二次多项式函数，通常
表示为最小化形式。
非线性二次规划问题的求解方法
• 转化为线性问题：通过变量替换或线性化方法，将非线性二次规划问题转化为线性
参数变化对最优解的影响
敏感性分析的方法
• 目标函数系数变化：目标函数系数的变化会影响最优解
• 参数扫描：遍历参数取值范围，观察最优解的变化情况。
的值和位置。
• 敏感性分析图：绘制参数与最优解的关系图，直观展示
• 约束条件变化：约束条件的变化会影响最优解的可行域，
二次规划问题的一个解法及几点注记
二次规划问题的一个解法及几点注记二次规划问题是指在线性规划模型中，目标函数和约束条件均为二次函数的问题。
常见的解法有坐标下降法和半正定性法。
下面是关于二次规划问题的一个解法（坐标下降法）及几点注记。
解法：坐标下降法是一种求解二次规划问题的迭代算法。
基本思路是不断地求解当前点的搜索方向，然后在这个方向上移动，直到找到最优解为止。
具体步骤如下：1.设定初始点 x0，并求出当前点的目标函数值 f(x0)。
2.求解当前点 x0 的搜索方向 d0。
3.设定步长 t，求出下一个点 x1 = x0 + t * d0。
4.求出下一个点 x1 的目标函数值 f(x1)，并与当前点 x0的目标函数值 f(x0) 进行比较。
5.若 f(x1) < f(x0)，则接下来以 x1 为当前点，重复步骤 2-5；若 f(x1) ≥ f(x0)，则退出迭代。
注记：1.坐标下降法的关键在于如何求解当前点的搜索方向d0。
一般来说，当前点的搜索方向 d0应该是当前点的二次梯二次规划问题的一个解法及几点注记：继续上文：注记：1.坐标下降法的关键在于如何求解当前点的搜索方向d0。
一般来说，当前点的搜索方向 d0应该是当前点的二次梯度的负方向，即 d0 = -∇2f(x0)。
2.坐标下降法的收敛速度取决于步长 t的取值。
常用的方法有常数步长法和自适应步长法。
常数步长法是指固定步长t，而自适应步长法是指根据当前点的目标函数值变化情况来调整步长 t。
3.坐标下降法的收敛性是指随着迭代次数的增加，目标函数的值会逐渐降低。
但是，坐标下降法并不能保证收敛到全局最优解，只能保证收敛到局部最优解。
4.坐标下降法的迭代次数一般较多，但是每次迭代的计算量较小，因此坐标下降法适用于线性规划问题规模较大的情况。
希望这些内容能为你的学习提供帮助！。
第五讲---线性规划与二次规划
z [A eq , b eq ] 0 t t0
雷达信号处理国防科技重点实验室Leabharlann 5.2 线性规划的标准形式
求最大值的线性规划
max c x c1 x1 c2 x2 cn xn n
T x
T max c x n x
s.t., Ax b A eq x b eq
I i 1 J
b y ij ij i 1 j 1
I J
min b T y
标准化
s.t ., Ay c y0
s.t., yij rj ,
j 1, 2, , J i 1, 2, , I
e1 e1 r1 e1 r e e e yij 0, i 1, 2, , I ; j 1, 2, , J 2 2 2 2 T b [b11 , b12 ,, b1J , b21 ,, b2 J ,, bI 1 ,, bIJ ] , r e e e J J J ，c J T A s1 1 0 0 y [ y11 , y12 ,, y1J , y21 ,, y2 J ,, yI 1 ,, yIJ ] s 0 1 0 2 1是元素全是1 的J 维行向量 0是J维行向量 0 1 0 sI e j 是第j个元素为1 ，其它元素是0的J维行向量 雷达信号处理国防科技重点实验室
优化变量：设每天食物 Fi 的量分别是 xi
花费代价： C bi xi
i 1
ji
m
营养约束：
a
i 1
m
xi c j , j 1, 2, , N
第16讲 二次规划
其中 xB ∈ R m , xN ∈ R n−m .
AB 可逆， 对应 A 的分解为 A = 使得 AB 可逆，则等式约束可写 AN
成：
T T AB xB + AN xN = b ，
(3)
− 的存在， 由于 AB1的存在，故知 − T xB = AB 1 (b − AN xN ) .
模型的建立
设投资的期限是一年，可供选择的金融资产数为 。设此n中 设投资的期限是一年，可供选择的金融资产数为n。设此 中 金融资产的年收益为随机变量ξ = (ξ1 , ξ 2 ,⋯ , ξ n ) ' 。由于我们 金融资产的年收益为随机变量 主要关心投资的分配比例，不妨设投资总数为1个单位，用 个单位， 主要关心投资的分配比例，不妨设投资总数为 个单位 于第j中投资的资金比例为 于第 中投资的资金比例为 w j ( j = 1, 2, ⋯ , n ) ， 令
w= (w , w2,⋯, wn)' 1
称为投资组合向量，显然应有： 称为投资组合向量，显然应有：
n
∑
w
j = 1
j
= 1
也是一个随机变量， 投资一年的收益 w ' ξ 也是一个随机变量，期望收益为
E(w'ξ ) = E(ξ1)w1 + E(ξ2 )w2 +,⋯, +E(ξn )wn
马库维茨建议用随机变量 风险的度量， 风险的度量，即
ˆ ˆ ˆ 正定,则由(5) (5)式 可得唯一解: ∗ 如果 G 正定,则由(5)式,可得唯一解: xN = −G −1 g N .
代入(4)式可得对应的 ∗ 代入(4)式可得对应的 xB . (4)
从而问题的最有解： 从而问题的最有解：
二次规划
2013-2014（1）专业课程实践论文题目：二次规划一、算法理论二次规划是非线性优化中的一种特殊情形,它的目标函数是二次实函数，约束函数都是线性函数。
由于二次规划比较简单，便于求解(仅次于线性规划)， 并且一些非线性优化问题可以转化为求解一系列的二次规划问题，因此二次规划的求解方法较早引起人们的重视，成为求解非线性优化的一个重要途径。
二次规划的算法较多，本论文仅介绍求解一般约束凸二次规划的有效集方法。
考虑一般二次规划 1min 2.. 0,{1,,} 0,{1,,}T T T i i Ti i x Hx c x s t a x b i E l a x b i I l m ⎧+⎪⎪⎪-=∈=⎨⎪-≥∈=+⎪⎪⎩有效集方法的最大难点是事先一般不知道有效集()*x S ，因此只有想办法构造一个集合序列去逼近它。
即从初始点0x 出发，计算有效集()0x S ，解对应的等式约束子问题。
重复这一做法，得到有效集序列(){}k x S ， ,1,0=k ，使之()()*x S x S k →，以获得原问题的最优解。
我们分六步来介绍有效集方法的算法原理和实施步骤。
第一步 选定初始值。
给定初始可行点n R x ∈0，令0=k 。
第二步 求解子问题。
确定相应的有效集()k k x I E S =，求解子问()1min 2..0,T Tk k T i kq d d Hd g d s t a d i S ⎧=+⎪⎨⎪=∈⎩ 得到极小点k d 和拉格朗日乘子向量k λ。
若0≠k d 转入步三；否则转步二。
第三步检验终止准则。
计算拉格朗日乘子k k k g B =λ 其中()()k i k k kk k k k S i a A H A AT H A B c Hx g ∈==+=---,,,111，令()(){}i k t k λλmin =。
若()0≥t k λ，则k x 是全局极小点，停算。
否则若()0<t k λ，则令{}t S S k k \=，转步一。
二次规划
的唯一整体最优解.
证明:任意的可行解x
令p x * x.
A x* A x b
T T
A xb
T
nm
A p0
T
p Zu, u R
1 T T q ( x) ( x * p ) G ( x * p) g ( x * p) 2 q( x*) u ( Z GZ )u 2
Av 0
列满秩
与假设
v0
矛盾
( p, v) 0
K是非奇异的.
r 定理: 假设 A 为列满秩矩阵， A m , 若投影 Hesse阵 Z T GZ 正定，则满足方程组
KKT对x* , * 中x*是
min s.t
G T A
A x * g 0 * b
性条 件
例
2 2 2 min q x x1 x2 x3
s.t
x1 x2 x3 1 x2 x3 1
1 2 3
x2 x3 1 x1 2 x3
4 5
q ( x) x1 x2 x3
2 2
2
4 x32 ( x3 1) 2 x32
A* g Gx* * , 只需考虑该方程组的前 m 行就可以给出 * 1 * * AB g B GBB xB GBN xN
^
相应的最优Lagrange乘子 * 可由下式确定，
G正半定
^
G不定、负定、负半定
^
G正半定
( I GG ) g 0 问题有界
^ ^ ^
* T ˆ xB AB T b AB T AN G 1 g ˆ * * 1 ˆ ˆ G正定 xN G g x * x ˆ ˆ G 1 g N
实验3二次规划Lemke方法
（2）保持准互补性，若 wi （或 zi ）是离基变量，则 zi （或 wi ）是进基
实验硬件及软件平台： 计算机 MATLAB
实验步骤： （1）理解 Lemke 方法思想。 （2）根据实验步骤画出流程图。 （3）编写程序 （4）上机调试程序。 （5）分析实验结果。
2
实验内容（包括实验具体内容、算法分析、源代码等等）： 流程图：
0
r, m
n
p,
p
m
i0 ,
1 pp
2
s0
p,p+m i0 ,
3
0 i,0 h,0 s
i 1i
J Bi ~ p
i i1
>
J Bi ~ 2 p i p i1
>
1 h
i1 s s
<
i~ p
=
h~0
2
s s0 k1
k1
else kk=kk+1; temp=0; for i=1:mB if B(i,nB)<temp temp=B(i,nB); inb=i; end end N(inb)=inb+mB;
end B(inb,:)=B(inb,:)/B(inb,inb+mB); for k=1:mB
if k~=inb B(k,:)=B(k,:)-B(k,inb+mB)/B(inb,inb+mB)*B(inb,:);
end end end end
5
运行结果：
6
实验结果与讨论： 这次实验没有多大难度，一切进行都是那么顺利。
指导教师意见：
签名：
年月日
7
实验报告
二次城市规划
二次城市规划摘要：随着城市社会经济的快速发展以及外部市场环境日新月异，引起城市用地性质的持续调整。
灰色用地的概念引入对城市用地开发、用地潜力的挖掘具有积极的作用。
针对灰色用地提出的二次城市规划作为一种动态的城市规划方法，不仅提高了规划的弹性，而且灰色用地的开发和利用也满足了城市发展的需求。
关键词：灰色用地、工业用地改造、可持续发展用地、二次城市规划1、概述1.1灰色用地概念及意义某些地区由于外部环境不够成熟、未来发展的不确定性等因素，使其具备灰色的特性，不能按照正常的总体规划将土地利用规划一步落实到位，可以先赋予其将来易置换的用地功能，待时机成熟，再将其转换成其它用地性质，此类地块统称为“灰色用地”。
灰色用地不是不去确定地块的性质，而是让它在市场经济的调控下来转变自身的用地性质，使其更好地适应市场经济，使土地在各个阶段都能发挥最大的经济效益。
灰色用地是社会发展与经济增长导致的必然产物，是适应市场经济条件下理性规划的产出，它的出现适应了土地可持续发展的要求，在考虑当地人文和市场的条件下，以较短的时间（10-20年）作为灰色用地的限期，以适应当地当时的规划背景，保持土地价值的最优。
1.2灰色用地与二次城市规划灰色用地的出现推进了城市规划创新，要求城市规划必须适应市场经济发展，要求城市用地在不同发展阶段效益最大化且功能多样化，以动态的思想来规划，适应城市社会经济可持续发展的要求。
二次规划是为了保持土地的使用价值与社会经济水平相平衡，在一次规划时超前考虑与二次规划的衔接，避免重复开发的浪费，同时盘活土地存量，以此适应市场经济条件下的城市规划。
用二次规划的方法来实践灰色用地的理论，以此达到土地利益最大化和经济的可持续发展的目标。
图1灰色用地与二次规划关系图1.3灰色用地开发案例分析1.3.1案例一：南京1912特色街区&上海新天地----被动性灰色用地规划南京1912特色街区是由民国总统府遗址建筑群转换为目前南京的集餐饮、娱乐、休闲、观光、聚会为一体，文化、品位于一身的时尚休闲商业区及知名品牌的展示地。
二次规划
二次规划是特殊的非线性规划，它形式简单，既可以 使用求解非线性规划的一般方法求解，又有特定的解法； 此外，二次规划在实际中有着广泛的应用，例如著名的支 持向量机，在本质上就是一个二次规划问题．本节着重介 绍凸二次规划问题的一些性质和求解方法．
9.6.1 二次规划的基本概念与基本性质
* T i i *
m l
很 明 显 A ( x x ) =0 ， 而
i 1 * i T i *
m
i m 1
A
* i
m l
T i
( x x* ) 可 以 写 成 两 部 分 之 和 ，分 别 是
根 据 x* 处 起 作 用 约 束 和 不 起 作 用 不 等 式 约 束 下 标 分 别 求 和 ， 由 （ 9-56 ） 和 x H 可以推出
T 1 T ( AB ) AN F , I
(9-71)
并 且 秩 ( F)= n -m ， 因 此
T 1 T G G ( A BB BN T 1 B ) AN (9-72) G N F GF ( AN AB , I ) G I NB G NN 由于 F 是列满秩的，并且 G 正定，因此 G N 也是正定的，对称性显然． 定 理 9-5 表 明 对 于 等 式 约 束 的 严 格 凸 二 次 规 划 问 题 ，可 以 用 直 接 消
9.6.2 等式约束二次规划问题
本小节讨论等式约束二次规划问题
min
f ( x)
1 T x Gx r T x, 2
(9-58)
s.t. AT x b,
其 中 ，G 为 n n 阶 对 称 矩 阵 ， r 为 n 维 列 向 量 ， A 为 n m 阶 矩 阵 ， n m 且 秩 ( A )= m ， 即 矩 阵 A 是 列 满 秩 的 ．
求解二次规划问题
实验2求解二次规划问题LINDO 可以求解二次规划（QP ）问题。
例如：⎪⎩⎪⎨⎧<=+>++-+=7.011.19.02.1..4.03min 22y y x y x t s yxy y x f由LAGRANGE 乘子法，得()()()7.011.19.02.14.0322-+-++-+-+-+y C y x B y x A y xy y x ，分别对x 、y 求偏导，得到两个约束条件：4.09.0202.16->++-->+--C B A x y B A y x在LINDO 中输入下列命令： MIN X+Y+A+B+C ST6X-Y-1.2A+B>02Y-X-0.9A+B+C>-0.4 1.2X+0.9Y>1.1 X+Y=1 Y<0.7 END QCP 4注释：MIN X+Y+A+B+C 一句只代表变量的出场顺序；QCP 4 一句代表前4行不是原问题真正的约束，原问题真正的约束从第5行开始。
LINDO 运行后输出以下结果：STATUS OPTIMALQP OPTIMUM FOUND AT STEP 7OBJECTIVE FUNCTION V ALUE1) 1.355556V ARIABLE V ALUE REDUCED COST X 0.666667 0.000000 Y 0.333333 0.000000A 10.888889 0.000000B 9.400000 0.000000C 0.000000 0.366667ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES2) 0.000000 -0.6666673) 0.000000 -0.3333334) 0.000000 -10.8888895) 0.000000 9.4000006) 0.366667 0.000000NO. ITERATIONS= 7这个结果说明：LINDO求解此二次规划问题（QP）共用7步迭代得到最优解fmin = 1.355556，X = 0.666667，Y = 0.333333。
求解二次规划问题的拉格朗日及有效集方法样本
求解二次规划问题的拉格朗日及有效集方法——最优化方法课程实验报告学院: 数学与统计学院班级: 硕2041班姓名: 王彭学号:指导教师: 阮小娥同组人: 钱东东资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。
求解二次规划问题的拉格朗日及有效集方法摘要二次规划师非线性优化中的一种特殊情形, 它的目标函数是二次实函数, 约束函数都是线性函数。
由于二次规划比较简单, 便于求解( 仅次于线性规划) , 而且一些非线性优化问题能够转化为求解一些列的二次规划问题, 因此二次规划的求解方法较早引起人们的重视, 称为求解非线性优化的一个重要途径。
二次规划的算法较多, 本文仅介绍求解等式约束凸二尺规划的拉格朗日方法以及求解一般约束凸二次规划的有效集方法。
关键字: 二次规划, 拉格朗日方法, 有效集方法。
【目录】摘要................................................ 错误!未定义书签。
1 等式约束凸二次规划的解法.......................... 错误!未定义书签。
1.1 问题描述.................................... 错误!未定义书签。
1.2 拉格朗日方法求解等式约束二次规划问题........ 错误!未定义书签。
1.2.1 拉格朗日方法的推导.................... 错误!未定义书签。
1.2.2 拉格朗日方法的应用.................... 错误!未定义书签。
2 一般凸二次规划问题的解法.......................... 错误!未定义书签。
2.1 问题描述.................................... 错误!未定义书签。
2.2 有效集法求解一般凸二次规划问题.............. 错误!未定义书签。
2.2.1 有效集方法的理论推导.................. 错误!未定义书签。
9.6 二次规划
xB
A
T B
1
b
A
T N
xN
将此代入f x , 则可将等式约束二次规划转化
为下列无约束优化问题：
min
xN Rnm
1 2
x
T N
Gˆ
x
N
rˆT
xN
cˆ
其中Gˆ G NN G NB(ABT )1 ANT AN AB1G BN AN AB1G BB(ABT )1 ANT
rˆ rN AN AB1rB GNB AN AB1GBB ( ABT )1b
cˆ
1 2
bT
AB1G BB
(
ABT
)1b
rBT
(
ABT
)1b
例 9-10 用直接消去法求解凸二次规划
min f (x) x12 x22 x32 s.t. x1 2x2 x3 4,
x1 x2 x3 2.
如果Gˆ 正定，则可求出无约束问题的最优解为
x
* N
Gˆ 1rˆ ,
代入可确定对应的
min f x 1 xTGx rT x 9.6
2
s.t AkT x bk , k E Ik 容易证明：(9.6)与下面二次规划等价：
min
q
d
1 2
d
T Gd
gkT
d
9.7
s.t AkT d 0,k E Ik
其中x xk d , g k f xk G xk r
分析: 当d k 0 时，xk 为(9.6)的最优解， 若对应 Ik的 Lagrange乘子非负，
在 xk1 处增加了一个有效约束，I k 1 I k t.
二次规划的有效集算法
Step1: 给出 x1, 确定I1 , k 1;
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最优化算法实验指导书
2.二次规划求解
例1 求解下面二次规划问题
21212221x 6x 2x x x x 2
1)x (f min
---+= sub.to 2x x 21≤+
2x 2x 21≤+-
3x x 221≤+
21x 0,x 0≤≤ 解：x f x H x 2
1)x (f '+'= 则⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2111H ，⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--=62f ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=21x x x 在MA TLAB 中实现如下：
>> H = [1 -1; -1 2] ;
>> f = [-2,-6];
>> A = [1 1; -1 2; 2 1];
>> b = [2; 2; 3];
>> lb = zeros(2,1);
>> [x,fval,exitflag,output,lambda] = quadprog(H,f,A,b,[ ],[ ],lb)
Warning: Large-scale method does not currently solve this problem formulation, switching to medium-scale method.
> In C:\MATLAB6p5\toolbox\optim\quadprog.m at line 213
Optimization terminated successfully.
x =
0.6667
1.3333
fval =
-8.2222
exitflag =
1
output =
iterations: 3
algorithm: 'medium-scale: active-set'
firstorderopt: []
cgiterations: []
lambda =
lower: [2x1 double]
upper: [2x1 double]
eqlin: [0x1 double]
ineqlin: [3x1 double]
例 1123 2212123min 246y x x x x x =+---
..s t 1232131232
3
4
,,0x x x x x x x x x +≤+≤+≤≥
（1）标准形式：
由 2212123246y x x x x x =+---
22121231(22)2462
x x x x x =+--- 知 200020000H ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
为半正定矩阵，约束不必改动。
（2）在编辑窗口建立一个存放各种信息的M 文件，
在MA TLAB 中实现如下：
>> H = [2 0 0;0 2 0;0 0 0];
>> f = [-2 -4 -6];
>> A = [1 1 0; 0 1 1; 1 0 1];
>> b = [2; 3; 4];
>> C =[];
>> d=[];
>> xm=[0; 0; 0];
>> xM=[];
>> x0=[0,0,0];
>> [x,y]=quadprog(H,f,A,b,C,d,xm,xM,x0)
Warning: Large-scale method does not currently solve this problem formulation, switching to medium-scale method.
> In C:\MATLAB6p5\toolbox\optim\quadprog.m at line 213
Optimization terminated successfully.
x =
1.0000
0.0000
3.0000
y =
-19
例1124 22212131123min ()()246y x x x x x x x x =+++----
..s t 1232131231232
3
4 3.5
,,0
x x x x x x x x x x x x +≤+≤+≤++=≥
（1）标准形式：
由 2221231213123
22246y x x x x x x x x x x =++++--- 22212312131231(22244)2462
x x x x x x x x x x =++++--- 知 222220202H ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
为不定矩阵，约束不必改动。
（2）在编辑窗口建立一个存放各种信息的M 文件，
在MA TLAB 中实现如下：
>> H = [2 2 2;2 2 0;2 0 2];
>> f = [-2 -4 -6];
>> A = [1 1 0; 0 1 1; 1 0 1];
>> b = [2; 3; 4];
>> C=[1 1 1];
>> d=[3.5];
>> xm=[0; 0; 0];
>> xM=[];
>> [x,y]=quadprog(H,f,A,b,C,d,xm,xM,x0)
Warning: Large-scale method does not currently solve this problem formulation, switching to medium-scale method.
> In C:\MATLAB6p5\toolbox\optim\quadprog.m at line 213
Optimization terminated successfully.
x =
0.5000
1.0000
2.0000
y =
-8.7500
作业布置：5.11 5.12。