八年级数学上册公式法时新版新人教版
2024年人教版八年级数学上册教案及教学反思第14章14.3.2 公式法(第2课时)
第十四章整式的乘法与因式分解14.3 因式分解14.3.2 公式法第2课时一、教学目标【知识与技能】1.在掌握了因式分解意义的基础上，会运用平方差公式和完全平方公式对比较简单的多项式进行因式分解.【过程与方法】1.经历探索利用完全平方公式进行因式分解的过程,感受逆向思维的意义,掌握因式分解的基本步骤.2.在运用公式法进行因式分解的同时，培养学生的观察、比较和判断能力以及运算能力，用不同的方法分解因式可以提高综合运用知识的能力.【情感、态度与价值观】1.培养学生逆向思维的意识,同时培养学生团队合作、互帮互助的精神.2.进一步体验“整体”的思想，培养“换元”的意识.二、课型新授课三、课时第2课时，共2课时。
四、教学重难点【教学重点】运用完全平方公式法进行因式分解.【教学难点】观察多项式的特点，判断是否符合公式的特征和综合运用分解的方法，并完整地进行分解.五、课前准备教师：课件、直尺、矩形图片等。
学生：三角尺、练习本、铅笔、钢笔。
六、教学过程（一）导入新课我们知道，因式分解与整式乘法是反方向的变形，我们学习了因式分解的两种方法：提取公因式法、运用平方差公式法.现在，大家自然会想，还有哪些乘法公式可以用来分解因式呢？（出示课件2）（二）探索新知1.创设情境，探究运用完全平方公式分解因式教师问1：什么叫因式分解？（出示课件4）学生回答：把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做把这个多项式因式分解，也叫把这个多项式分解因式.教师问2：我们已经学过哪些因式分解的方法？学生回答：提公因式法、平方差公式：a2–b2=(a+b)(a–b)教师问3：把下列各式分解因式：(1)ax4－a；(2)16m4－n4.学生回答：(1)ax4－a=a(x2+1)(x+1)(x-1)；(2)16m4－n4=(4m2+n)(2m+n)(2m-n).教师问4：结合上题思考因式分解要注意什么问题？学生回答：①一提二看三检查；②分解要彻底.教师问5：我们学过的乘法公式除了平方差公式之外，还有哪些公式？请写出来.学生回答：完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2教师讲解：这节课我们就来讨论如何运用完全平方公式把多项式因式分解.教师问6：你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积吗？（出示课件5）学生讨论后拼出下图：教师问7：这个大正方形的面积可以怎么求？学生回答：（a+b）2=a2+2ab+b2教师问8：将上面的等式倒过来看，能得到什么呢？学生回答：a2+2ab+b2=（a+b）2（出示课件6）教师问：观察这两个多项式：a2+2ab+b2；a2–2ab+b2，请回答下列各题：（出示课件7）(1)每个多项式有几项？学生回答：三项(2)每个多项式的第一项和第三项有什么特征？学生回答：这两项都是数或式的平方，并且符号相同.(3)中间项和第一项，第三项有什么关系？学生回答：是第一项和第三项底数的积的±2倍.教师讲解：我们把a²+2ab+b²和a²–2ab+b²这样的式子叫做完全平方式.教师问9：把下列各式分解因式：(1)a2＋2ab＋b2；(2)a2－2ab＋b2.学生回答：(1)a2＋2ab＋b2=（a+b）2；(2)a2－2ab＋b2=（a-b）2.教师问10：将整式乘法的平方差公式反过来写即是分解因式的平方差公式.同样道理，把整式乘法的完全平方公式反过来写即分解因式的完全平方公式.能不能用语言叙述呢？学生回答后，师生共同讨论后解答如下：两个数的平方和，加上(或减去)这两数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.即a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2.教师问11：下列各式是不是完全平方式？如果是，请分解因式.(1)a2－4a＋4；(2)x2＋4x＋4y2；(3)4a2＋2ab＋14b2；(4)a2－ab＋b2；(5)x2－6x－9；(6)a2＋a＋0.25.学生讨论后回答如下：(1)a2－4a＋4；是，原式=（a-2）2 (2)x2＋4x＋4y2；不是(3)4a2＋2ab＋14b2；是，原式=（2a+12b）2(4)a2－ab＋b2；不是(5)x2－6x－9；不是(6)a2＋a＋0.25.是，原式=（a+0.5）2教师问12：根据学习用平方差公式分解因式的经验和方法，分析和推测什么叫做运用完全平方公式分解因式？能够用完全平方公式分解因式的多项式具有什么特点？学生讨论后回答，师生共同归纳如下：①三项式；②两项为两个数的平方和的形式；③第三项为加(或减)这两个数的积的2倍.总结点拨：（出示课件8）完全平方式: a²±2ab+b²完全平方式的特点：1.必须是三项式(或可以看成三项的)；2.有两个同号的数或式的平方；3.中间有两底数之积的±2倍.简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.（出示课件9）凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方形式，便实现了因式分解.两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.例1：分解因式：（出示课件12）(1)16x2+24x+9；(2)–x2+4xy–4y2.师生共同解答如下：（1）分析：(1)中，16x2=(4x)2，9=3²，24x=2·4x·3，所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即16x2 + 24x +9= (4x)2+2·4x·3+ 32.解：(1)16x2+ 24x +9= (4x)2 + 2·4x·3 + 32= (4x + 3)2；(2)中首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形为–(x2–4xy+4y2)，然后再利用公式分解因式.(2)–x2+ 4xy–4y2=–(x2–4xy+4y2)=–(x–2y)2.例2：如果x2–6x+N是一个完全平方式，那么N是( )（出示课件15）A . 11 B. 9 C. –11 D. –9师生共同解答如下：解析：根据完全平方式的特征，中间项–6x=2x×(–3)，故可知N=(–3)2=9.答案：B总结点拨：（出示课件16）本题要熟练掌握完全平方公式的结构特征，根据参数所在位置，结合公式，找出参数与已知项之间的数量关系，从而求出参数的值.计算过程中，要注意积的2倍的符号，避免漏解．例3：把下列各式分解因式：（出示课件18）(1)3ax2+6axy+3ay2 ；(2)(a+b)2–12(a+b)+36.师生共同解答如下：分析：(1)中有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解因式；(2)中将a+b 看成一个整体，设a+b=m，则原式化为m2–12m+36.解: (1)原式=3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y)2；(2)原式=(a+b)2–2·(a+b) ·6+62=(a+b–6)2.总结点拨：利用公式把某些具有特殊形式(如平方差式，完全平方式等)的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.（出示课件19）例4：把下列完全平方式分解因式：（出示课件21）(1)1002–2×100×99+99²；(2)342＋34×32＋162.师生共同解答如下：解：(1)原式=(100–99)²=1(2)原式＝(34＋16)2＝2500.总结点拨：本题利用完全平方公式分解因式，可以简化计算.例5：已知:a 2+b 2+2a –4b+5=0，求2a 2+4b –3的值.（出示课件23） 师生共同解答如下：分析：从已知条件可以看出，a 2+b 2+2a –4b+5与完全平方式有很大的相似性(颜色相同的项)，因此可通过“凑”成完全平方式的方法，将已知条件转化成非负数之和等于0的形式，从而利用非负数的性质来求解.（出示课件24）解：由已知可得(a 2+2a+1)+(b 2–4b+4)=0即(a+1)2+(b –2)2=0∴ 2a 2+4b –3=2×(–1)2+4×2–3=7总结点拨：遇到多项式的值等于0、求另一个多项式的值，常常通过变形为完全平方公式和(非负数的和)的形式，然后利用非负数性质来解答．（三）课堂练习（出示课件27-31）1.下列四个多项式中，能因式分解的是( )A ．a 2＋1B ．a 2–6a ＋9C ．x 2＋5yD ．x 2–5y2.把多项式4x 2y –4xy 2–x 3分解因式的结果是( )A ．4xy(x –y)–x 3B ．–x(x –2y)21020a b +=⎧∴⎨-=⎩12a b =-⎧∴⎨=⎩C．x(4xy–4y2–x2) D．–x(–4xy＋4y2＋x2)3.若m＝2n＋1，则m2–4mn＋4n2的值是________．4.若关于x的多项式x2–8x＋m2是完全平方式，则m的值为_________ ．5. 把下列多项式因式分解.(1)x2–12x+36; (2)4(2a+b)2–4(2a+b)+1;(3) y2+2y+1–x2;6. 计算：(1) 38.92–2×38.9×48.9＋48.92.（2）20142-2014×4026+201327. 分解因式:(1)4x2＋4x＋1；(2)1x2–2x＋3.3小聪和小明的解答过程如下：小聪: 小明:他们做对了吗？若错误，请你帮忙纠正过来.8. (1)已知a–b＝3，求a(a–2b)＋b2的值；(2)已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值．参考答案：1.B2.B3.14. ±45. 解：(1)原式=x2–2·x·6+62=(x–6)2;(2)原式=[2(2a+b)]²–2·2(2a+b)·1+1²=(4a+2b–1)2;(3)原式=(y+1)²–x²=(y+1+x)(y+1–x).6. 解：(1)原式＝(38.9–48.9)2＝100.(2)原式=20142-2×2014×2013+20132=（2014-2013）2=17. 解: (1)原式＝(2x)2＋2•2x•1＋1＝(2x+1)2(2)原式＝13(x2–6x＋9)＝13(x–3)28. 解：(1)原式＝a2–2ab＋b2＝(a–b)2.当a–b＝3时，原式＝32＝9.(2)原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2. 当ab＝2，a＋b＝5时，原式＝2×52＝50.（四）课堂小结今天我们学了哪些内容:a2±2ab＋b2＝(a±b)2一提，二看，三检查。
人教版数学八年级上册 公式法(第1课时)
探究新知
素养考点 3 利用因式分解求整式的值
例3 已知x2–y2＝–2，x＋y＝1，求x–y，x，y的值．
解：∵x2–y2＝(x＋y)(x–y)＝–2，
x＋y＝1①，
∴x–y＝–2②. 联立①②组成二元一次方程组，
方法总结：在与x2–y2， x±y有关的求代数式
或未知数的值的问题中，
x
解得：
y
A．a2＋(–b)2
B．5m2–20mn
C．–x2–y2
D．–x2＋9
2. 将多项式x–x3因式分解正确的是( D )
A．x(x2–1)
B．x(1–x2)
C．x(x+1)(x–1)
D．x(1+x)(1–x)
3.若a+b=3，a–b=7，则b2–a2的值为(A )
A．–21 B．21 D．10
C．–10
巩固练习
用平方差公式进行简便计算:
(1)38²–37²
(2)213²–
87²
解(：3)(12)293²8–²–13771²² =((348)+9317×)(389–37)
=75
(2) 213²–87² =(213+87)(213–87) =300×126=37800
(3) 229²–171²
=(229+171)(229–171) =400×58=23200
课堂检测
拓广探索题
(1)992–1能否被100整除吗？ (2)n为整数，(2n+1)2–25能否被4整除？
解：(1)因为 992–1=(99+1)(99–1)=100×98，
所以992–1能被100整除.
(2)原式=(2n+1+5)(2n+1–5) =(2n+6)(2n–4) =2(n+3) ×2(n–2)=4(n+3)(n–2).
最新人教版八年级上册数学第十四章整式的乘法与因式分解第12课时 公式法(1)
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★13.分解因式:
(1)(x2+1)2－2(x2+1);
(1)(x2+1)(x+1)(x－1)
(2)a2(x+y)2－b2(x+y)2.
(2)(x+y)2(a+b)(a－b)
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(3)4x2－1;
(4)－a4+9.
(3)(2x+1)(2x－1)
(4)(3+a2)(3－a2)
2
2
2
(2)(3a+2b)(3a－2b)
小结:用整体思想正确确定平方差公式中的a和b.
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11.运用公式法分解因式:
1 2
(1)a －9b ;
1
(1) a+ b
3
2
2 2
(2)4x y －1;
1
a－ b
(1)(2x+a+b)(a－b)
(2)p2(p－1)－(p－1).
(2)(p－1)2(p+1)
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精典范例
6.【例1】下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( D )
A.a2+(－b)2
B.5m2－20mn
C.－x2－y2
D.－x2+9
小结:清楚2－2 = ( + )(－)的结构是关键.
第十四章 整式的乘法与因式分解
第12课时
公式法(1)
数学
目
录
01
学习目标
02
知识要点
03
对点训练
04
精典范例
05
变式练习
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学习目标
人教版八年级上册数学《公式法》整式的乘法与因式分解PPT课件(第2课时)
因此x=-5是原分式方程的解.
随堂练习
1.下列方程是分式方程的是（ B ）
A.
一元一次方程
B.
C. x2-1=0
D. 2x+1=3x 一元二次方程
一元一次方程
2.（2020·海南中考）分式方程 的解是（
A. x=-1
B. x=1 C. x=5
x-2=3
D. x=2
x=5
） C
解分式方程时，不要忘记检验哦.
用平方差公式分解因式 由于整式的乘法与因式分解是方向相反的变形，把整 式乘法的平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2的等号两边互换位 置，就得到了 a2-b2=(a+b)(a-b)
语言叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这 两个数的差的积.
用完全平方公式分解因式 把整式乘法的完全平方公式 (a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2 的等号两边互换位置，就可以得到 a2+2ab+b2=(a+b)2，a2-2ab+b2=(a-b)2. 语言叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数 的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.
分析：将b2看成一个整体a，则原式变形为(b2)2-b2-12，
可以看作a2-b-12.
1 -4
b4-b2-12 =(b2-4)(b2+3) =(b+2)(b-2)(b2+3).
13 1×3+1×(-4)=-1
2.（2020·乐山）已知y≠0，且x2-3xy-4y2=0，则 的值是
__4_或__-_1__.
分析：因为x2-3xy-4y2=0， 即(x-4y)(x+y)=0， 可得x=4y或x=-y， 所以 =4或 =−1.
14.3.2公式法 课件 2024—2025学年人教版数学八年级上册
（1）x2 （ ）xy+25y2； (2) 9a2 36ab ( ) .
14.已知a，b，c为三角形的三边，且a2 b2 c2 ab bc ac 0
判断此三角形的形状.
15.证明：无论a，b为何值，a2 b2 6a 10b 40 的值都大于0.
(1)a2b2 10ab 25;
(2) 16m2 40mn 25n2 ;
(3) x2 y2 8xy3 16 y4;
(4) x4 6x2 y2 9 y4 ;
(5) (m n)2 8(m n) 16 ; (6) (x y)2 4xy ;
(7) x2 4x 4;
(8) m2 12m 36 ;
16.若x 2z 3y，求 x2 9 y2 4z2 4xz 的值.
(3) x2 2x 1 ;
(6) 1 x2 x 1； 4
(9) a2 1 ab 1 b2 ; 24
(12) a2b2 6ab 9
2.把下列各式分解因式：
（1）a2 12a 36； (3) 9x2 12xy 4 y2 ; (5) 3x2 6xy 3y2； (7)(a b)2 6(a b) 9; (9) x4 2x2 1 ;
把（a-b）看作一个整体，这个多项式恰好是
（a-b）与5的平方，及（a-b）与5的乘积的2
倍，这样就可以利用完全平方公式分解因式了.
解：(1)m2 10mn 25n2 (m)2 2 (m)(5n) (5n)2 (m 5n)2
（3）(a b)2 1（0 a b） 25 (a b)2 2 5(a b) 52 (a b 5)2
(4)
x2 4x
2
8
x2 4x
人教版初中数学八年级上册14.3.2公式法(教案)
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“完全平方公式在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
2.思维与发展：通过公式法的学习，培养学生逻辑思维和抽象思维能力，提升解决问题的策略和方法。
3.实践与探究：鼓励学生运用完全平方公式解决实际问题，激发学生的探究精神，培养学以致用的实践能力。
4.合作与交流：在小组讨论和练习环节，培养学生团队合作意识，提高沟通与交流能力。
5.情感与态度：培养学生对数学学科的兴趣和热情，增强自信心，形成积极向上的学习态度。
举例：针对难点，教师可以采取以下教学方法：
-通过图形（如平方图）来直观展示完全平方公式的来源，帮助学生理解公式背后的数学意义。
-提供不同难度的练习题，从简单的识别和应用开始，逐步过渡到需要综合运用多种数学知识的复杂题目。
-在学生练习时，教师巡回指导，及时发现并纠正学生对完全平方公式理解上的误区，如错误的公式应用或计算错误。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-完全平方公式的记忆与理解：强调公式a² + 2ab + b² = (a + b)²和a² - 2ab + b² = (a - b)²的结构，以及它们在因式分解中的应用。
-公式法解题步骤：明确使用完全平方公式分解因式的步骤，包括识别多项式的结构特征、应用公式进行分解、简化表达式。
3.举例说明完全平方公式的应用，如：x² + 6x + 9 = (x + 3)²，x² - 6x + 9 = (x - 3)²。
人教版数学八年级上册 14.3.2 公式法 (第1课时) 运用平方差公式因式分解导学案(含答案)
人教版数学八年级上册14.3.2 公式法（第1课时）运用平方差公式因式分解导学案（含答案）14.3.2公式法第1课时运用平方差公式因式分解学习目标1.进一步理解因式分解的意义.2.理解平方差公式的意义,弄清公式的形式和特征,会运用平方差公式分解因式.3.通过对比整式乘法和分解因式的关系,进一步发展逆向思维能力.学习策略1.结合实例掌握平方差公式形式和特征；2.牢记平方差公式.学习过程一.复习回顾：1.什么叫因式分解？2.平方差公式的内容？二.新课学习：知识点：利用平方差公式分解因式1.计算下列各式：(1) (a＋5)(a－5)；(2) (4m＋3n)(4m－3n).【答案】(1)(a＋5)(a－5)＝a2－52＝a2－25.(2)(4m＋3n)(4m－3n)＝(4m)2－(3n)2＝16m2－9n2.2.根据第1题的结果，利用数学“互逆”的思想分解因式：(1)a2－25；(2)16m2－9n2.【答案】(1)a2－25＝a2－52＝(a＋5)(a－5).(2)16m2－9n2＝(4m)2－(3n)2＝(4m＋3n)(4m－3n).3.观察上述两个问题特征，我们可以得出两个数的平方差，等于这两个数的与这两个数的的，即a2-b2=.【答案】和；差；积；(a+b)(a-b)三.尝试应用：例1（1）4a2-9 （2）（3x﹣2）2﹣（2x+7）2解：（1）4a2-9=（2a+3）（2a-3）（2）（3x﹣2）2﹣（2x+7）2＝[（3x﹣2）+（2x+7）][（3x﹣2）﹣（2x+7）]＝（5x+5）（x﹣9）＝5（x+1）（x﹣9）；例2 （1）101×99 (2) 30.8×29.2．(1)101×99＝（100+1）×（100﹣1）＝1002﹣12＝10000﹣1＝9999．(2)原式＝（30﹣0.8）（30+0.8）＝302﹣0.82＝900﹣0.64＝899.36．四.自主总结：a2-b2=(a+b)(a-b).即：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.五.达标测试一、选择题1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是()A.a2+(﹣b)2B.5m2﹣20mnC.﹣x2﹣y2D.﹣x2+92. 分解因式x4﹣1的结果是()A.(x+1)(x﹣1)B.(x2+1)(x2﹣1)C.(x2+1)(x+1)(x﹣1)D.(x+1)2(x﹣1)23. 如图，已知R=6.75，r=3.25，则图中阴影部分的面积为(结果保留π)()A.3.5πB.12.25πC.27πD.35π4.因式分解x2y-4y的正确结果是()A.y(x+2)(x-2)B.y(x+4)(x-4)C.y(x2-4)D.y(x-2)25.在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图甲），把余下的部分拼成一个长方形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（）A．（a+2b）（a-b）=a2+ab-2b2 B．a2-b2=（a+b）（a-b）C．（a+b）2=a2+2ab+b2 D．（a-b）2=a2-2ab+b2二、填空题6. 因式分解：9（x+y）2﹣（x﹣y）2＝．7. 若m2-n2=6，且m-n=2，则3m+3n=__________.8. 小明抄在作业本上的式子x ﹣9y2（“ ”表示漏抄的指数），不小心漏抄了x的指数，他只知道该数为不大于5的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，请你帮小明写出这个整式分解因式的结果：．三、解答题9. 因式分解：（1）a4-16a2；（2）（m2+m）2-（m+1）2．10.如图，在一块边长为a的正方形纸板的四周，各剪去一个边长为b （b＜）的正方形．（1）用代数式表示阴影部分的面积；（2）利用因式分解的方法计算，当a=15.4，b=3.7时，求阴影部分的面积．参考答案1.D2.C3.D 解析：根据环形面积=大圆的面积-小圆的面积，然后代入数据计算.πR2-πr2=π(6.752-3.252)=π(6.75+3.25)(6.75-3.25)=35π.4.A 解析：先提取公因式y，再根据平方差公式进行因式分解即可求得答案.x2y-4y=y(x2-4)=y(x2-22)=y(x+2)(x-2).5. B 解析：因为图甲中阴影部分的面积=a2-b2，图乙中阴影部分的面积=（a+b）（a-b），而两个图形中阴影部分的面积相等，所以a2-b2=（a+b）（a-b）．6. 4（2x+y）（x+2y）．解：原式＝[3（x+y）]2﹣（x﹣y）2＝（3x+3y+x﹣y）（3x+3y﹣x+y）＝（4x+2y）（2x+4y）＝4（2x+y）（x+2y）．7. 9 解析：因为m2-n2=6，且m-n=2，所以m2-n2=（m+n）（m-n）=2（m+n）=6，所以m+n=3，所以3m+3n=3（m+n）=3×3=9．8.解析：①当＝2时，x2﹣9y2＝（x+3y）（x﹣3y），②当＝4时，x4﹣9y2＝（x2+3y）（x2﹣3y），综上所述整式分解因式的结果：（x+3y）（x﹣3y）或（x2+3y）（x2﹣3y）．6.（2n-1）（2n+1）=（2n）2-19.解：（1）a4-16a2；=a2（a2-16）=a2（a+4）（a-4）；（2）（m2+m）2-（m+1）2=（m2+m+m+1）（m2+m-m-1）=（m+1）2 （m+1）（m-1）=（m+1）3（m-1）．10.解：（1）阴影的面积a2-4b2，（2）当a=15.4，b=3.7时，原式=（a+2b）a-2b）=（15.4+7.4）（15.4-7.4）=22.8×8=182.4．。
八年级数学人教版上册第14章整式的乘除与因式分解14.4.2公式法(第1课时图文详解)
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
5.（东阳·中考） 因式分解：x3-x=___. 【解析】x3-x=x(x2-1)=x(x+1)(x-1) 答案: x(x+1)(x-1)
6.（盐城·中考）因式分解: x2 9 =______.
【解析】 原式=（x+3）(x-3). 答案:（x+3）(x-3).
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
1.什么是因式分解？
把一个多项式分解成几个 整式的积的形式.
如果一个多项式的 各项，不具备相同的 因式，是否就不能分 解因式了呢？
2.什么是提公因式法分解因式?
在一个多项式中，若各项都含有相同的因式，即公 因式，就可以把这个公因式提出来，从而将多项式 化成几个因式乘积的形式.
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
1.（杭州·中考）分解因式 m3 – 4m =
.
【解析】m3 – 4m =m(m+2)(m-2). 答案：m(m+2)(m-2) 2.（黄冈·中考）分解因式:x2-x=_____. 【解析】原式=x（x-1）. 答案: x（x-1）.
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
【解析】（1）不正确. 本题错在对分解因式的概念不清，左边是多项式的形式，
右边应是整式乘积的形式，但（1）中右边还是多项式的形 式，因此，最终结果是未对所给多项式进行因式分解. （2）不正确.错误原因是因式分解不彻底， 因为a2－1还能继续分解成（a+1）（a－1）. 应为a4－1=（a2+1）（a2－1）=（a2+1）（a+1）（a－ 1）.
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
7.利用因式分解计算： 1002-992+982-972+962-952+… +22-12 【解析】原式=（100+99)(100-99)+(98+97)(98-97） +…
人教版八年级数学上册《公式法》整式的乘法与因式分解PPT精品课件
-1
1
-2
1×(-2)+1×(-1)=-3
(2)
1
-2
1
5
1×5+1×(-2)=3
解：(1) x2-3x+2=(x-1)(x-2)； (2) x2+3x-10=(x-2)(x+5).
随堂练习
x(x+2)(x+3)
1.（2019·淄博）分解因式：x3+5x2+6x=___________.
分析：x3+5x2+6x
(1)当多项式的各项有公因式时，应先提取公因式；当
多项式的各项没有公因式时（或提取公因式后），若
符合平方差公式或完全平方公式，就利用公式法分解
因式；
(2)当不能直接提取公因式或用公式法分解因式时，可
根据多项式的特点，把其变形为能提取公因式或能用
公式法的形式，再分解因式；
(3)当乘积中的每一个因式都不能再分解时，因式分解
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公
因式提取出来，将多项式写成公因式与另外一个因式
的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
提公因式法一般步骤：
(1)确定公因式：先确定系数，再确定字母和字母的指
数；
(2)提公因式并确定另外一个因式：用多项式除以公因
式，所得的商就是提公因式后剩下的另一个因式；
1
2
=x(x2+5x+6)
1
3
=x(x+2)(x+3).
1×3+1×2=5
2.（2019·威海）分解因式：2x2-6x+4=__________.
2(x-1)(x-2)
八年级数学上册 14.3.2 公式法教案 (新版)新人教版(1)
14.3.2 公式法（3）4a2+2ab+14b2=（2a）2+2×2a·12b+（12b）2=（2a+12b）2（6）a2+a+0.25=a2+2·a·0.5+0.52=（a+0.5）2（2）、（4）、（5）都不是．方法总结：分解因式的完全平方公式，左边是一个二次三项式，其中有两个数的平方和还有这两个数的积的2倍或这两个数的积的2倍的相反数，符合这些特征，就可以化成右边的两数和（或差）的平方．从而达到因式分解的目的．例题解析出示投影片[例1]分解因式：（1）16x2+24x+9 （2）-x2+4xy-4y2[例2]分解因式：（1）3ax2+6axy+3ay2（2）（a+b）2-12（a+b）+36学生有前一节学习公式法的经验，可以让学生尝试独立完成，然后与同伴交流、总结解题经验．[例1]（1）分析：在（1）中，16x2=（4x）2，9=32，24x=2·4x·3，所以16x2+14x+9是一个完全平方式，即解：（1）16x2+24x+9=（4x）2+2·4x·3+32=（4x+3）2．（2）分析：在（2）中两个平方项前有负号，所以应考虑添括号法则将负号提出，然后再考虑完全平方公式，因为4y2=（2y）2，4xy=2·x·2y．所以：解：-x2+4xy-4y2=-（x2-4xy+4y2）=-[x2-2·x·2y+（2y）]2=-（x-2y）2．练一练：出示投影片把下列多项式分解因式：（1）6a-a2-9；（2）-8ab-16a2-b2；（3）2a2-a3-a；（4）4x2+20（x-x2）+25（1-x）2Ⅲ．随堂练习课本P198练习1、2．Ⅳ．课时小结学习因式分解内容后，你有什么收获，能将前后知识联系，做个总结吗？（引导学生回顾本大节内容，梳理知识，培养学生的总结归纳能力，最后出示投影片，给出分解因式的知识框架图，使学生对这部分知识有一个清晰的了解）Ⅴ．课后作业课本P198练习15．5─3、5、8、9、10题．板书设计教学反思____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ §公式法一、用完全平方公式分解因式．分解因式→公式法→a2±2ab+b2垐?噲?（a2±b2）←多项式乘多项式←整式乘法，两数平方和加（或减）两数积的2倍＝两数和（或差）的平方．二、例题解析：[例1]（略）[例2]（略）三、练一练：（1）、（2）、（3）、（4）．四、小结。
八年级数学上册运用公式法(第5教时)(人教版)
运用公式法（第五教时）一、教学目标知识目标综合运用完全平方公式分解因式。
能力目标1.进一步培养学生的观察能力。
2.进一步培养学生的综合运用数学知识的能力。
二、重点、难点与关键重点熟练掌握公式的形式和特点。
难点会用公式将复杂的多项式因式分解。
关键判断多项式是否含有符合公式特征的因式。
三、教学过程（一）复习1.完全平方公式是什么？什么样的式子是完全平方式？2.把下列各式分解因式：(1)x 2-4xy+4y 2 (2)-4a 2+12am-9m 2 (3)41a 2-a+1 (4)(x+y)2-4(x+y)+4 (5)(x-y)2-8(x-y)(x+y)+16(x+y)2（二）新课讲解1.例题分析例6：把下列各式分解因式(1)2x 2-4x+2 （2）2x 2+x+81 分析：这两个多项式都不是完全平方式，但只要提公因式后都可变为完全平方式。
解：(1)2x 2-4x+2=2（x 2-2x+1）=2(x-1)2(2) 2x 2+x+81=2(x 2+16121+x )=2[x 2+2)41(412+⋅⋅x ]=2(x+41)2说明：提出81也可以。
请同学们试一试。
练习：把下列各式分解因式(1)3x 2-6x+3 (2)22212+-x x (3)20a 2b 2-20ab+5 (4)-2x 2+4xy-2y 2 (5)222719231y xy x +- (6)4(a+b)2+16(a+b)+16例7：把下列各式分解因式(1)3ax 2+6axy+3ay 2 (2)2p 3-52p 2+501p 分析：很显然，这两题有公因式，应先提公因式。
解：(1) 3ax 2+6axy+3ay 2 =3a(222y xy x ++)=3a(x+y)2(2)2p 3-52p 2+501p=2(1001512+-p p )=2[22)101(1012+⋅⋅-p p ] =2(p-101)2 提问：提出501如何做？ 练习：把下列各式分解因式(1)a 3+2a 2+a (2)-49x 2y-y+14xy (3) 4(a-b)x 2+8(b-a)xy+4(a-b)y 2 (4)m 3-6m 2+9m (5)-1.5t-6t 2-6t 3 (6)(a-2b)3-8(2b-a)2+16(a-2b)2.小结当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。
人教版八年级数学上册14.3.2《公式法》 课件第1课时(共17张PPT)
探究新知
4．将 a2 b2 (a b)(a b) 用文字语言表述， 并说明公式中的字母a，b可以表示什么？
（1）(a b)2 c2 a2 2ab b2 c2 ；
不正确． 对分解因式的概念不清，左边是多项式的形 式，右边应是整式乘积的形式，但右边还是多项 式的形式，因此，最终结果是未对所给多项式进 行因式分解.
课堂练习
（2）a4 1 (a2 )2 1 (a2 1)(a2 1) ．
不正确． 因式分解不彻底．
3．因式分解应进行到每一个因式不能分解为止． 4．计算中应用因式分解，可使计算简便．
课堂小结
本图片资源介绍了用平方差公式分解因式，适用于公 式法的教学.若需使用，请插入图片【知识点解析】 用平方差公式分解因式.
课堂小结
本图片资源介绍了因式分解的一般步骤，适用于因式 分解的教学.若需使用，请插入图片【知识点解析】 因式分解的一般步骤.
（1）x2 4 与多项式和 （2）a2 36 进行因式
分解？
（1）x2 4 x2 22 (x 2)(x 2) ； （2） a2 36 a2 62 (a 6)(a 6) ．
例题解析
【例1】分解因式：
（1）4x2 9 ； （2） (x p)2 (x q)2 ．
解：（1）4x2 9 (2x)2 32 (2x 3)(2x 3) ； （2）(x p)2 (x q)2 [(x p)+(x q)][(x p) (x q)] (2x p q)( p q) ．
文字语言表述：两个数的平方差，等于这两个数 的和与这两个数的差的积．字母a 、b可以表示任何 数、单项式或多项式．
人教版数学八年级上册第十四章14.公式法课件
(1)m2－14m＋49；
(2)9x2－24xy＋16y2.
解：原式＝m2－2·7·m＋72 解：原式＝(3x)2－2·3x·4y＋(4y)2
=(m－7)2.
=(3x-4y)2.
课堂导练
典型例题 【例1】分解因式： （1）x2+16x+64; 解：原式=x2+2×8x+82
=（x+8）2.
（2）（x+y）2-10（x+y）+25. 解：原式=（x+y-5）2.
思路点拨：直接利用完全平方公式进行因式分解即可.
举一反三 1.分解因式： （1）9x2-6x+1； 解：原式=（3x-1）2.
（2） （x-1）2-2（x-1）+1. 解：原式=（x-1-1）2
=（x-2）2.
典型例题 【例2】分解因式： （1）x（x+4）+4; 解：原式=x2+4x+4
=（x+2）2.
举一反三
3.分解因式：
（1）-3ma2+12ma-12m; （2）2x2y-8xy+8y. 解：原式=-3m（a2-4a+4） 解：原式=2y（x2-4x+4）
=-3m（a-2）2.
=2y（x-2）2.
典型例题
【例4】分解因式：
(1)（x2-6）2-6（x2-6）+9； (2)16y4-8x2y2+x4.
解：原式=（x2-6-3）2
解：原式=（4y2-x2）2
=（x2-9）2
=［（2y+x）（2y-x）］2
=（x+3）2（x-3）2.
平方差公式和完全平方公式来
解答.
八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解14-3因式分解14-3-2公式法第2课时新人教版
9．利用因式分解计算： (1)2372＋2×237×363＋3632； 解：原式＝(237＋363)2＝6002＝360000； (2)652＋552－110×65. 解：原式＝(65－55)2＝100.
10．加上下列单项式后，仍不能使4x2＋1成为 一个整式的完全平方式的是( D ) A．4x4 B．4x C．－4x D．2x
16．阅读下列分解因式的过程： x2＋2ax－3a2
＝x2＋2ax＋a2－a2－3a2(先加上a2，再减去a2) ＝(x＋a)2－4a2(运用完全平方公式) ＝(x＋a＋2a)(x＋a－2a)(运用平方差公式) ＝(x＋3a)(x－a)
像上面那样通过加减项配出完全平方式后再把 二次三项式分解因式的方法，叫做配方法．请 你用配方法分解下面多项式： (1)m2－4mn＋3n2； (2)x2－4x－12.
8．分解因式： (1)4x2＋y2－4xy； 解：原式＝(2x－y)2；
(2)－9a2＋12ab－4b2； 解：原式＝－(3a－2b)2；
(3)4m2－2mn＋14 n2； 解：原式＝(2m－12 n)2； (4)3ax2＋6axy＋3ay2；
解：原式＝3a(x＋y)2； (5)－4a2－20ab－25b2.
11．无论x，y取任何值，多项式x2＋y2－2x－4y ＋6的值总是( A )
A．正数
B．负数
C．非正数 D．非负数
12．如图，有三种卡片，其中边长为a的正方 形卡片1张，长为a，宽为b的长方形卡片6张， 边长为b的正方形卡片9张，用这16张卡片拼 成一个大正方形，则这个大正方形的边长 为 a＋3b ．
13．分解因式： (1)(x2＋1)2－4x2； 解：原式＝(x＋1)2(x－1)2； (2)(x－y)2－4(x－y－1)； 解：原式＝(x－y－2)2； (3)－a4b4＋8a2b2－16. 解：原式＝－(a2b2－4)2.
人教版八年级数学上册课件：14.3.2公式法(第一课时)
(3)证明这个规律的正确性．
(3)设两奇数为2m+1和2n+1，则 (2m+1)2-(2n+1)2 =(2m+2n+2)(2m-2n) =4(m+n+1)(m-n)． 当m、n同为奇数或偶数时，4(m-n)一定为8的倍数； 当m、n为一奇一偶时，m+n+1为偶数， 4(m+n+1)一定为8的倍数． 综上，任意两奇数的平方差是8的倍数．
(2x+5y)(2x-5y)
12．已知a、b、c为△ABC的三边长，且满足a2c2b2c2=a2b2-a4，则△ABC的形状是 等腰三角．形
13．老师在黑板上写出几个算式： 52-32=8×2，92-72=8×4，152-32=8×27， 王华接着又写了两个具有同样规律的算式： 112-52=8×12，152-72=8×22，… (1)请再写出两个具有上述规律的算式(不同于上面算式)； (2)用文字写出上述算式的规律；
(2)m3-m； 解：原式=m(； 解：原式=(4m2+3n)(4m2-3n);
(4)3ax2-3ay2； 解：原式=3a(x+y)(x-y);
(5)(x+2)2-9． 解：原式=(x+5)(x-1)．
10．将下列各式因式分解． (1)(2x+3)2-25x2; 解：原式=(2x+3+5x)(2x+3-5x) =(7x+3)(3-3x) =-3(x-1)(7x+3);
4、All that you do, do with your might; things done by halves are never done right. ----R.H. Stoddard, American poet做一切事都应尽力而为，半途而废永远不行6.17.20216.17.202110:5110:5110:51:1910:51:19
最新人教版八年级数学上册 14.3.2 公式法(第2课时)
（3）中间项和第一项、第三项有什么关系？ 中间项第一项和第三项底数的积的±2倍.
新课讲解
完全平方式：a 2 2ab b 2
完全平方式的特点：
1.必须是三项式（或可以看成三项）； 2.有两个同号的数或式的平方； 3.中间有两底数之积的±2倍.
新课讲解
简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央. 凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式.将 这样的三项式写成完全平方形式，便实现了因式分解.
a2
± 2ab
+b2 =(a ± b)²
+尾2 (首±尾)2
首 2 ± 2× 首 × 尾
两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积
的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.
新课讲解
对照 a² ±2ab+b² =(a±b)² ，填空： 1. x² +4x+4= ( x )² +2· ( x )· ( 2 )+( 2 )² =( x + 2 )² 2.m² -6m+9=( m )² - 2·(m ) · ( 3 )+( 3 )² =(m - 3 )² 3.a² +4ab+4b² =( a )² +2·( a ) · ( 2b )+( 2b )² =( a + 2b )²
分析：(1)中有公因式3a，应先提出公因式，再进
一步分解；
(2)中，将a+b看成一个整体，设a+b=m，则 原式化为完全平方式m2-12m+36. 解：(1)原式=3a（x2+2xy+y2） =3a（x+y）2. (2)原式=(a+b)2-2· (a+b) · 6+62 =(a+b-6)2.
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作 业
【选做题】 教材第119页习题14.图形的面积写出一 个等式吗? 牛牛文档分 享(a+b)2
a2+2ab+b2
可得a2+2ab+b2=(a+b)2.
两数的平方和加上(或减去)这两数的积的
两倍,等于这两数和(或者差)的平方.形如 a2±2ab+b2的多项式称为完全平方式. 牛牛文档分 享例1 分解因式：
(1)16x2+24x+9; (2)-x2+4xy- 4y2.
(1)分析:在(1)中, 16x2=(4x)2,9=32,24x=2·4x·3,所以 16x2 +24x+9是一个完全平方式,即: 16x2+24x+9=(4x)2+2·4x·3+32
a2+ a±b)2=a2±2ab+b2与 a2±2ab+b2=(a±b)2都叫做完全平
方公式,前者是用来进行多项式的 乘法运算,后者是#43;b2=(a±b)2分解因式
时要抓住公式特点:公式左边是一个 二次三项式,右边是二项式的平方, 当左边是两数的平方和加上这两数 的积的2倍时,右边就是这两个数的 和的平方的形式,当左边是两个数平 方的和与这两个数积的2倍的差时, 右边就是这两个数的差的平方的形
B.(x+2)2
C.(x-4)2
D.(x-2)2
解析:首末两项能写成两个数的平方的形 式,中间项是这两个数的积的2倍,所以能 用完全平方公式进行因式分
解的是 ( D )
A.x2+x+1
B.x2+2x-1
C.x2-1
(2)分析:在(2)中两个平方项前有 负号,所以应考虑用添括号法则将负 号提出,然后再考虑完全平方公式,因 为4y2 =(2y)2,4xy=2·x·2y. 所以:-x2+4xy-4y2 =-(x2-4xy+4y2) =-[x2-2·x·2y+(2y)2]
a2+ (a-b)(a+b),故选项错误; B.正确;C.(a+b)2=a2+2ab+b2,等号不成立, 故选项错误;D.x2y+xy2+xy =xy(x+y+.
(1)a2-4ax+4a ; (2)(x2-1)2+6(1-x2)+9 .
D.x2-6x+9
解析:A,B,C不符合完全平 方公式法分解因式的式子特点, 故选项错误;D.x2-6x+9=(x-3)2,
故D选项正确.故选D. 牛牛文档分 享3.下列因式分解正确的是 ( B )
A.a2-b2=(a-b)2 B.16a2-8ab+b2=(4a-b)2 C.a2+ab+b2=(a+b)2 D.x2y+xy2+xy=xy(x+y)
例2 分解因式： (1) 3ax2 +6axy+3ay2; (2)(a+b)2 -12(a+b)+36.
(1)中有公因式3a,应先提出公因式,再进 一步分解;(2)中,将a+b看作一个整体,设 a+b=m,则原式化为完全平方式 m2 -12mப#43;6axy+3ay2 =3a(x2+2xy+y2) =3a(x+y)2项的多项式, 要掌握这一公式的形式和特点.
运用公式法分解因式的关键是弄清各 公式的形式和结构,选择适当的公式进行因 式分解,公式中的字母可以是解因式
下列各式是不是完全平方式?
(1)a2 -4a+4;
(2)x2 +4x+4y2;
1
(3)4a2 +2ab+ 4b2; (4)a2 -ab+b2;
(5)x2 -6x-9;
(6)a2+a+0.25.
完全平方公式的特点是左边是一个二 次三项式,其中有两个数的平方和与这两个 数的积的2倍或这两个数的积的2倍的相反 数,符合这些特征,就可以化成右边的两数
解析: (1)直接提取公因式a,进而得出 答案即可;(2)直接利用完全平方公式分 解因式,进而利用平方差公式分解因式.
解:(1)a2-4ax+4a=a(a-4x+4). (2)(x2-1)2+6(1-x2)+9 =(x2-1-3)2=(x+2)2·(x-2)2. 牛牛文档分 享式,仅一个符号不同.
牛牛文档分 享3.要注意平方差公式的综合应用,分解到 每一个因式都不能再分解为止.
对于因代数式x2-4x+4分解因式,下列结果中正
确的是 ( D )
A.(x+2)(x-2)