圆与多边形知识总结

一、圆的知识点总结

确定圆的条件

1. 圆的确定

确定一个圆有两个基本条件：①圆心(定点)，确定圆的位置；②半径(定长)，确定圆的大小．只有当圆心和半径都确定时，圆才能确定．

2. 过已知点作圆

⑴经过点A的圆：以点A以外的任意一点O为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点A的圆，这样的圆有无数个．

⑵经过两点A B

、的圆：以线段AB中垂线上任意一点O作为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点A B

、的圆，这样的圆也有无数个．

⑶过三点的圆：若这三点A B C

、、共线时，过三点的圆不存在；若A B C

、、三点不共线时，圆心是线段AB与BC的中垂线的交点，而这个交点O是唯一存在的，这样的圆有唯一一个．

n≥个点的圆：只可以作0个或1个，当只可作一个时，其圆心是其中不共线三点⑷过n()4

确定的圆的圆心．

3. 定理：不在同一直线上的三点确定一个圆．

注意：⑴”不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆；

⑵”确定”一词的含义是”有且只有”，即”唯一存在”．

4. 三角形的外接圆

⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．

⑵三角形外心的性质：

①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；

②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.

⑶锐角三角形外接圆的圆心在它的内部；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处(即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半)；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部.

（一）圆的基本性质

1、圆的确定：不在同一直线上的三个点确定一个圆．

2、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条劣弧（或优弧）、两条弦、两条弦的弦心距得到的四组量中有一组量相等，那么它们所对应的其余三组量也分别相等。

3、垂径定理：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条

弦所对的弧。

推论：①平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

②平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧；

点与圆的位置关系

点与圆的位置关系有：点在圆上、点在圆内、点在圆外三种，这三种关系由这个点到圆心

的距离与半径的大小关系决定．

设O

⊙的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则有：

点在圆外⇔d r>；

点在圆上⇔d r=；

点在圆内⇔d r<.

直线与圆的位置关系

一、直线和圆的位置关系的定义、性质及判定

从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示：

二、切线的性质及判定

1．切线的性质：

定理：圆的切线垂直于过切点的半径．

推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．

推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．

2．切线的判定：

定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；

距离法：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；

定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

3．切线长和切线长定理：

⑴切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．

⑵切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连

线平分两条切线的夹角．

①切线的判定定理

设OA 为⊙O 的半径，过半径外端A 作l ⊥OA ，则O 到l 的距离d=r ，∴l 与⊙O 相切．因此，我们得到：切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

注：定理的题设①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个条件缺一不可．结论是“直线是圆的切线”．举例说明：只满足题设的一个条件不是⊙O 的切线．

l A

l

A

l

证明一直线是圆的切线有两个思路：（1）连接半径，证直线与此半径垂直；（2）作垂线，证垂足在圆上

②切线的性质定理及其推论

切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．

我们分析：这个定理共有三个条件：一条直线满足：（1）垂直于切线（2）过切点 （3）过圆心

T

A

定理：①过圆心，过切点⇒ 垂直于切线 O A 过圆心， O A 过切点A ，则OA AT ⊥

②经过圆心，垂直于切线⇒过切点

()()12AB M AB MT ⎫⎪

⇒⎬⊥⎪⎭

过圆心为切点

③ 经过切点，垂直于切线⇒过圆心

()()12AM MT AM M ⊥⎫⎪

⇒⎬⎪⎭

过圆心为切点

三、三角形内切圆

1． 定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．

2． 多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．

3．直角三角形的内切圆半径与三边关系

O

F E

D C B

A

C

B

A C

B

A

c

b

a

c

b

a

（1） （2）

图（1）中，设a b c ，，分别为ABC ∆中A B C ∠∠∠，，的对边，面积为S

则内切圆半径（1）s r p =，其中()1

2

p a b c =++；

图（2）中，90C ∠=︒，则()1

2r a b c =+-

（二） 直线与圆、圆与圆的位置关系 1、 直线与圆的位置关系

切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这个条半径的直线是圆的切线. 2、 圆与圆的位置关系

定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。 定理：相切两圆的连心线经过切点。 （三）三角形的内心和外心 （1）三角形的外心： （2）三角形的内心： （四）正多边形与圆

正多边形与圆

知识点

多边形是正多边形多边形各角相等多边形各边相等

圆周角相等弦相等⇒⎭

⎬⎫⎩⎨⎧⇒⎭⎬⎫⎩⎨⎧⇒弧相等

1. 判断一个多边形是不是正多边形，除根据定义来判断外，还可以根据的定理来判定.即依次连结圆的)3(≥n n 等分点，所得的多边形是正多边形.

2. 正多边形和圆的关系：只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多

边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆.