2019研究生数学考试数三真题

2019年全国硕士研究生入学统一考试
（数学三）试题及答案
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

1.当0→x 时，若tan x x -与k x 是同阶无穷小，则k =（ ） （A ）1
（B ）2 （C ）3 （D ）4
2.已知方程5
50x x k -+=有3个不同的实根，则k 的取值范围是（ ） （A ）)4,(--∞
（B ）),4(+∞
（C ）)4,4(-
（D ））
，44(- 3.已知微分方程x
ce by y a y =+'+''的通解为x e e x C C y x
++=-)(21，则a ，b ，c 依次为（ ）
（A ）1, 0, 1
（B ）1, 0, 2
（C ）2, 1, 3
（D ）2, 1, 4
4.若
∑∞
=1
n n un 绝对收敛，1
n
n v n ∞
=∑
条件收敛，则（ ） （A ）
∑∞
=1n n
n v
u 绝对收敛
（B ）
∑∞
=1n n
n v
u 绝对收敛
（C ）
∑∞
=1
n n
n v
u 收敛 （D ）
∑∞
=1
n n
n v
u 发散
5.设A 是4阶矩阵，A*为A 的伴随矩阵，若线性方程组Ax=0的基础解系中只有2个向量，则=)(*
A r （ ） （A ）0
（B ）1
（C ）2
（D ）3
6.设A 是3阶实对称矩阵，E 是3阶单位矩阵，若E A A 22
=+，且4=A ，则二次型Ax x T
的规范形为（ ）
（A ）222
123y y y ++
（B ）2
32
221y y y -+ （C ）2
32
221y y y --
（D ）2
32
22
1y y y ---
7.设A ，B 为随机事件，则P(A)=P(B)的充分必要条件是（ ） （A ）()()()P A
B P A P B =+
（B ）)()()(B P A P AB P = （C ）)()(A B P B A P =
（D ）)()(AB P AB P =
8.设随机变量X 和Y 相互独立，且都服从正态分布),(2σμN ，则=}1-P{＜Y X （ ） （A ）与μ无关，与σ2有关
（B ）与μ有关，与σ2无关
（C ）与μ、σ2都有关
（D ）与μ、σ2都无关
二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。

9. 11
1
lim(
)1223
(1)
n n n n →∞
+++
=+ 。

10.曲线)2
32
(cos 2sin π
π
＜
＜x x x x y -+=的拐点坐标为 。

11.已知函数dt t x f x
⎰
+=
1
41)(，则⎰=1
2)(dx x f x 。

12.以P A , P B 分别表示A, B 两个商品的价格，设商品A 的需求函数
22
2500B B A A P P P P Q A +--=，则当P A =10, P B =20时，商品A 的需求量对自身价格弹性
)0(＞AA AA ηη为 。

13.已知矩阵.101101111012⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=a b a A ，若线性方程组Ax=b 有无穷多解，则a= 。

14.设随机变量X 的概率密度为，
其他
＜＜⎪⎩⎪⎨⎧=,02
0,2)(x x
x f F(X)为X 的分布函数，EX 为X 的数学期望，则=-}1)({EX X F P ＞ 。

三、解答题：15~23小题，共94分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（15）（本题满分10分）
已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤+=，
＞0,1,
0,)(2x xe x x x f x x
求)(x f '，并求)(x f 的极值。

16.（本题满分10分）
设函数),(v u f 具有2阶连续偏导数，函数),(),(y x y x f xy y x g -+-=，求
22222
.g g g
x x y y ∂∂∂++∂∂∂∂
17.（本题满分10分）
设函数)(x y 是微分方程2
221x e x
xy y =-'满足条件e y =)1(的特解。

（1）求)(x y ；
（2）设平面区域)}(0,21),{(x y y x y x D ≤≤≤≤=，求D 绕x 轴旋转所得旋转体的体积。

18.（本题满分10分）
求曲线)0(sin ≥=-x x e y x
与x 轴之间图形的面积。

【
19.（本题满分10分）
设)2,1,0(121
=-=
⎰n dx x x
a n
n
（1）证明：数列{}n a 单调减少，且；
),3,2(2
1
2 =+-=-n a n n a n n （2）求.lim
1
-∞→n n
n a a
20.（本题满分11分）
已知向量组2123=(1,1,4),(1,0,4),(1,2,3)
T T T
I a ααα==+：
T T 2T
123=(1,1,a+3),=(0,2,1-a),=(1,3,a +3)II βββ：
若向量组Ⅰ与向量组Ⅱ等价，求a 的取值，并将β3用α1, α2, α3线性表示。

21.（本题满分11分）
已知矩阵22122002A x --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭与21001000B y ⎛⎫ ⎪=- ⎪
⎪⎝⎭
相似
（1）求x, y ；
（2）求可逆矩阵P ，使得1
.P AP B -=
22.（本题满分11分）
设随机变量X 与Y 相互独立，X 服从参数为1的指数分布，Y 的概率分布为
(1),(1)1(01).P Y p P Y p p =-===-＜＜令Z XY
=
（1）求 Z 的概率密度；
（2）p 为何值时，X 与Z 不相关； （3）X 与Z 是否相互独立； 23.（本题满分11分）
设总体X 的概率密度为2(;)A f x e σσ⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩
22()2,0,x x x μσμμ--≥＜，其中μ是已知参数，0σ＞是未知参数，A 是常数，12,,
,n X X X 是来自总体X 的简单随机样本。

（1）求A ；
（2）求2
σ的最大似然估计量。