直角三角形性质应用练习
直角三角形的性质练习题
直角三角形的性质练习题一、选择题1. 在直角三角形ABC中，角A为90°，且满足AB = 3，AC = 4，BC = 5，那么∠B的度数是：A) 30°B) 45°C) 60°D) 90°2. 直角三角形PQR中，∠P = 90°，PR = 5，RQ = 12，那么∠Q的度数是：A) 30°B) 45°C) 60°D) 90°3. 若一个直角三角形的一个锐角的度数是30°，那么另一个锐角的度数是：A) 30°B) 45°C) 60°D) 90°4. 若三角形ABC是直角三角形，其中∠A = 90°，AB = 8，AC = 15，则BC的长度为：A) 7B) 9C) 17D) 245. 直角三角形XYZ中，∠X = 90°，XY = 5，YZ = 12，则∠Y的正弦值是：A) 5/12B) 12/13C) 5/13D) 12/5二、填空题1. 直角三角形ABC中，∠C = 90°，AC = 7，BC = 24，则AB的长度为 ________。
2. 设直角三角形XYZ中，∠Y = 90°，XY = 6，则YZ的长度为________。
3. 直角三角形PQR中，PR = 5，RQ = 12，则∠P的度数为________。
4. 若直角三角形ABC中，∠B = 90°，AB = 14，则AC的长度为________。
5. 若直角三角形XYZ中，∠Y = 90°，XY = 9，则∠Z的度数为________。
三、解答题1. 已知直角三角形ABC，其中∠A = 90°，AB = 5，AC = 12，求BC的长度。
解析：根据直角三角形的性质，可使用勾股定理求解。
根据勾股定理，若AC、BC、AB分别表示直角三角形ABC的三条边的长度，则有AC² = AB² + BC²。
直角三角形性质应用(勾股定理、互余、特殊角)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：从边与角的角度来考虑直角三角形的性质都有哪些？问题2：勾股定理及勾股定理逆定理的内容分别是什么？问题3：通过回忆勾股定理和勾股定理逆定理的内容，考虑勾股定理和勾股定理逆定理的使用前提分别是什么？问题4：使用公式法和割补法，常常借助特殊角，常见的特殊角有哪些？一般需要怎么处理？问题5：含30°角的直角三角形的三边比是__________；含45°角的直角三角形的三边比是__________．直角三角形性质应用（勾股定理、互余、特殊角）一、单选题(共6道，每道13分)1.如图，已知AB⊥CD，△ABD，△BCE都是等腰直角三角形，如果CD=8，BE=3，则AC=( )A.8B.5C.3D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：等腰直角三角形2.如图，下列说法：①若∠ACB=90°，AD=BD，则AD=BD=CD；②若∠ACB=90°，AD=CD，则AD=BD=CD；③若∠ACB=90°，BD=CD，则AD=BD=CD．其中正确的个数是( )A.0B.1C.2D.3答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：直角三角形两锐角互余3.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，则AD与BD的关系是( )A.AD=3BDB.AD=2BDC.2AD=3BDD.AD=4BD答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：含30°角的直角三角形4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，DE是线段AB的垂直平分线，交AB于点D，交AC于点E，连接EB，若AE=4，则BC的长是( )．A. B.C. D.4答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：含30°角的直角三角形5.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D是BC的中点，DE⊥AB于E，若AE=4cm，则CD的长为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：含30°角的直角三角形6.如图，已知在△AED中，∠AED=90°，AE=ED，等腰Rt△ABC的面积是1，AB=2AD，∠BAE=30°，AC与DE相交于点F，则△ADF的面积为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：含45°角的直角三角形二、填空题(共2道，每道11分)7.已知：如图，在△ABC中，∠A=40°，∠B=80°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE于F，则∠EDF=____度．答案：20解题思路：试题难度：知识点：直角三角形两锐角互余8.如图，在△ABC中，CE平分∠ACB交AB于E，过E作EF∥BC交∠ACD的平分线于F，EF 交AC于M，若CM=5，则____．答案：100解题思路：试题难度：一颗星知识点：勾股定理。
直角三角形性质应用练习
直角三角形性质和应用练习班级姓名一、填空题1、“内错角相等，两直线平行〞的逆命题 :.2、“直角三角形两锐角互余〞逆定律(填：“有〞或“没有〞)。
3、在RtA ABC中，ZA=30°那么Z B=60°最直接的理由是;4、在Rt△中，斜边长为6cm,那么斜边上的中线为cm.5、在RtAABC 中，/C=90度，/ B=15度，那么Z A= ____ 皮6、在RtAABC 中,ZC=90o, Z A=30o, AB=10cm，贝U BC=cm。
7、如图，在△ ABC中，AB=AC =10, CE=4, M观AB的垂直平■分线，BE = ________8、如图，RtAABC 中，/ BAC=90o , AD 是上的中线，AB=12,AC=5那么AD = —9、如图：OC是Z AOB的平分线，点P是OC上的一点，PD± OA, PE± OB,垂足分别为点D、E,假设PD+PE=6,那么PE=.第7题第8题第9题10、到一条线段二端点距离相等的点的轨迹是....................................11、在Rt△ ABC中，ZC=90 假设a=5, b=12,那么c= 12、A(2,-3)和B(4,2)二点，那么AB =二、选择题1、下歹0定理中，没有逆定理的是................................ ( )A、两直线平行，同旁内角互补。
B、等边对等角。
C、全等三角形对应角相等。
D、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形2、如图，/ BCA=90, CDL AB,那么图中与Z A 互余的角有〔 〕个A. 1个 8 2个 G 3个 口 4个3、如图，在 RtAABC 中，ZACB=90° , CD 、CE, 分别是斜边AB 上的高与中线，CF 是Z ACB 的平 分线。
那么Z 1与Z 2的关系是〔〕 A. Z1<Z2 B. Z 1 = Z2;C. Z1>Z2三、计算和证明1、：CD 垂直平分线段AB, E 是CD 上一点，分别联结 CA 、CB 、EA 、EB. 求证：Z CAE=Z CBE.3、：如图，在△ ABC 中,AB = AC ,求：/ BAC 的度数4、在直角三角形ABC 中,假设Z C=90° , D 是BC 边上的 B N 一点，且 AD=2CD , 那么ZADB 的度数是〔 〕 DA. 100° B . 110° C. 120° D. 150° C AAC 丁 D,E ，假设/ A=400，那么 / EBC=(A:150B:20° C:30° D:无法判断。
专题2.6含30°的直角三角形的性质【十大题型】-2024-2025学年八年级数学上(1)[含答案]
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专题2.6含30°的直角三角形的性质【十大题型】【苏科版】专题2.6 含30°的直角三角形的性质【十大题型】【题型1 由含30°的直角三角形的性质求线段长度】【题型2 由含30°的直角三角形的性质求角度】【题型3 由含30°的直角三角形的性质求面积】【题型4 由含30°的直角三角形的性质求最值】【题型5 由含30°的直角三角形的性质求坐标】【题型6 由含30°的直角三角形的性质进行证明】【题型7 由含30°的直角三角形的性质解决折叠问题】【题型8 由含30°的直角三角形的性质解决旋转问题】【题型9 由含30°的直角三角形的性质解决动点问题】【题型10 含30°的直角三角形的性质的实际应用】知识点：含30°的直角三角形的性质在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半．【题型1 由含30°的直角三角形的性质求线段长度】【例1】（23-24八年级·山东济宁·期末）1．如图，在等边ABC V 中，点D E 、分别在边BC AC 、上，且AE CD =，BE 与AD 相交于点P ，BQ AD ^于点Q ．(1)求证：BE AD =；(2)若4PQ =，求BP 的长．【变式1-1】（23-24八年级·黑龙江牡丹江·期中）2．在等边三角形ABC V ，若AB 边上的高CD 与边BC 所夹得角为30°，且3BD =，则ABC V 的周长为（ ）A ．18B ．9C ．6D ．4.5【变式1-2】（23-24八年级·山东泰安·期末）3．如图所示，ABC V 是等边三角形，D 为AC 的中点，DE AB ^，垂足为E ．若3AE =，则ABC V 的边长为（ ）A ．12B ．10C ．8D ．6【变式1-3】（2024八年级·江苏·专题练习）4．如图，在ABC V 中，60ABC Ð=°，以AC 为边在ABC V 外作等边ACD V ，过点D 作DE BC ^．若 5.4AB =，3CE =，则BE = ．【题型2 由含30°的直角三角形的性质求角度】【例2】（2024·吉林长春·八年级期末）5．如图所示，把两块完全相同的等腰直角三角板如图所示的方式摆放，线段AC 在直线MN 上．若点F 恰好是线段AB 中点，则AFD Ð的大小为 °．【变式2-1】（23-24八年级·湖北武汉·期中）6．如图，在ABC V 中，45ACB Ð=°，点M 为边BC 上的动点，当2AM CM +最小时，则CAM Ð的度数为（ ）A ．60°B ．45°C ．30°D ．15°【变式2-2】（2024八年级·江苏·专题练习）7．如图，ABC V 中，AC BC =，且点D 在ABC V 外，D 在AC 的垂直平分线上，连接BD ，若30DBC Ð=°，12ACD Ð=°，则A Ð= °．【变式2-3】（2024·安徽·八年级期末）8．已知在等腰ABC V 中，AD BC ^，垂足为点D ，12AD BC =，则C Ð的度数有（ ）A ．5种B ．4种C ．3种D ．2种【题型3 由含30°的直角三角形的性质求面积】【例3】（2024·山东聊城·八年级期末）9．如图，在ABC V 中，90ABC Ð=°，60BAC Ð=°，以点A 为圆心，以AB 的长为半径画弧交AC 于点D ，连接BD ，再分别以点B ，D 为圆心，大于12B D 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交BD 于点M ，交BC 于点E ，连接DE ，则:CDE ABC S S △△的值是（ ）A ．1:2B 3C ．2:5D ．1:3【变式3-1】（23-24八年级·重庆·期末）10．如图，在Rt ABC △中，90A Ð=°，点D 是AB 上一点，且6,15BD CD DBC ==Ð=°，则BCD △的面积为（ ）A ．9B ．12C ．18D ．6【变式3-2】（23-24八年级·辽宁辽阳·期末）11．如图，在ABC V 中，90,30C B Ð=°Ð=°，D 是BC 上一点，连接AD ，若AD 平分BAC Ð，设ADB V 和ADC △的面积分别是1S ，2S ，则12:S S =（ ）A ．1:1B ．2:1C ．3:1D ．3:2【变式3-3】（23-24八年级·湖南永州·期中）12．如图，在ABC V 中，6AB =，将ABC V 绕点B 按逆时针方向旋转30°后得到111A B C △，求阴影部分的面积．【题型4 由含30°的直角三角形的性质求最值】【例4】（23-24八年级·湖北荆门·期末）13．如图，CA ^直线l 于点A ，4CA =，点B 是直线l 上一动点，以CB 为边向上作等边MBC △，连接MA ，则MA 的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【变式4-1】（23-24八年级·黑龙江齐齐哈尔·期末）14．如图，已知60AOB Ð=°，OC 平分AOB Ð，点P 在OC 上，PD OA ^于点D ，6OP =，点E 是射线OB 上的动点，则PE 的最小值为（ ）A ．4B ．2C ．5D ．3【变式4-2】（23-24八年级·江苏苏州·期中）15．如图，边长为6的等边三角形ABC 中，M 是高CH 所在直线上的一个动点，连接MB ，将线段BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接HN ．则在点M 运动过程中，线段HN 长度的最小值是 ．【变式4-3】（23-24八年级·浙江金华·期末）16．如图，在等腰三角形ABC 中，4AB AC ==，30BAC Ð=°，AG 是底边BC 上的高，在AG 的延长线上有一个动点D ，连接CD ，作150CDE Ð=°，交AB 的延长线于点E ，CDE Ð的角平分线交AB 边于点F ，则在点D 运动的过程中，线段EF 的最小值( )A ．6B ．4C ．3D ．2【题型5 由含30°的直角三角形的性质求坐标】【例5】（23-24八年级·北京朝阳·期末）17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，Rt OAB V 的斜边OB 在x 轴上，30ABO Ð=°，若点A 的横坐标为1，则点B 的坐标为 ．【变式5-1】（23-24八年级·湖南长沙·期中）18．如图，等边ABC V 的三个顶点都在坐标轴上，()30A -，，过点B 作BD AB ^，交x 轴于点D ，则点D 的坐标为 ．【变式5-2】（2024·山东泰安·八年级期末）19．如图，在平面直角坐标系中，点O 的坐标为()00，，点M 的坐标为()30，，N 为y 轴上一动点，连接MN ．将线段MN 绕点M 逆时针旋转60°得到线段MK ，连接NK OK ，．求线段OK 长度的最小值（ ）A ．32B C ．2D ．【变式5-3】（23-24八年级·广东东莞·期末）20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 的坐标是(0,1)，以OA 为边在右侧作等边三角形1OAA ，过点1A 作x 轴的垂线，垂足为点1O ，以11O A 为边在右侧作等边三角形112O A A ，再过点2A 作x 轴的垂线，垂足为点2O ，以22O A 为边在右侧作等边三角形223O A A L ，按此规律继续作下去，得到等边三角形202120212022O A A ，则点2021A 的纵坐标为 ．【题型6 由含30°的直角三角形的性质进行证明】【例6】（23-24八年级·山东烟台·期末）21．在Rt ABC △中，90ACB Ð=°，30BAC Ð=°，AD 平分BAC Ð，交BC 于点D ．(1)用尺规作出线段AD 的垂直平分线交AD 于点M ，交AB 于点N ．（保留作图痕迹，不写作法）；(2)在（1）的条件下，求证：12CD AN =．【变式6-1】（23-24八年级·重庆江津·期中）22．如图，在等腰ABC V 中，AC BC =，4ACB B =∠∠，点D 是AC 边的中点，DE AC ^，交AB 于点E ，连接CE ．(1)求BCE Ð的度数；(2)求证：3AB CE =．【变式6-2】（2024八年级·江苏·专题练习）23．如图，在ABC V ，90ACB Ð=°，30A Ð=°，AB 的垂直平分线分别交AB 和AC 于点D E ，．(1)若6cm AC =，求CE 的长度；(2)连接CD ，请判断BCD △的形状，并说明理由．【变式6-3】（23-24八年级·安徽阜阳·开学考试）24．如图，已知在等边三角形ABC 中，D ，E 分别是边BC ，AC 上的点，且AE DC =，连接AD ，BE 相交于点P ，过点B 作BQ AD ^，Q 为垂足，求证：2BP PQ =．【题型7 由含30°的直角三角形的性质解决折叠问题】【例7】（23-24八年级·山东济宁·期末）25．如图，三角形纸片ABC 中，90BAC Ð=°，4AB =，30C Ð=°．沿过点A 的直线将纸片折叠（折痕为AF ），使点B 落在边BC 上的点D 处；再折叠纸片，使点C 与点D 重合，折痕交AC 于点E （折痕为EG ），则FG 的长是（ ）A ．3B ．4C ．6D ．8【变式7-1】（23-24八年级·湖北武汉·期中）26．如图所示，在ABC V 中，9030C A Ð=°Ð=°，，将BCE V 沿BE 折叠，使点C 落在AB边D 点，若6cm EC =，则AC =（ ）cm ．A ．12B ．16C ．18D ．14【变式7-2】（2024·山东滨州·八年级期末）27．如图，点O 是矩形纸片ABCD 的对称中心，E 是BC 上一点，将纸片沿AE 折叠后，点B 恰好与点O 重合．若3BE =，则折痕AE 的长为 ．【变式7-3】（23-24八年级·广西南宁·阶段练习）28．如图，在ABCD Y 中，将ADC △沿AC 折叠后，点D 恰好落在DC 的延长线上的点E 处．若602B AB Ð=°=，，则BC 为 ．【题型8 由含30°的直角三角形的性质解决旋转问题】【例8】（23-24八年级·陕西西安·阶段练习）29．如图，在ABC V 中，90C Ð=°，30ABC Ð=°，5cm AC =，将ABC V 绕点A 逆时针旋转至AB C ¢¢△的位置，点B 的对应点为点B ¢，点C 的对应点C ¢恰好落在边AB 上．设旋转角为a ．(1)a 的度数为 °；(2)求ABB ¢V 的周长．【变式8-1】（2024·新疆乌鲁木齐·三模）30．如图，将ABC V 绕点A 旋转得到ADE V ，若90B Ð=°，30C Ð=°，2AB =，则AE 的长为 ．【变式8-2】（2024八年级·浙江·专题练习）31．如图，AB C ¢¢△是ABC V 绕点A 旋转180°后得到的，已知90B Ð=°，1AB =，30C Ð=°，则CC ¢的长为 ．【变式8-3】（2024·河北秦皇岛·八年级期末）32．如图，在等边ABC V 中，10AB =，P 为BC 上一点（不与点B ，C 重合），过点P 作PM BC^于点P ，交线段AB 于点M ，将PM 绕点P 顺时针旋转60°，交线段AC 于点N ，连接MN ，有三位同学提出以下结论：嘉嘉：PNC △为直角三角形．淇淇：当2AM =时，7AN =．珍珍：在点P 移动的过程中，MN 不存在平行于BC 的情况．下列说法正确的是（ ）A ．只有嘉嘉正确B ．嘉嘉和淇淇正确C ．淇淇和珍珍正确D ．三人都正确【题型9 由含30°的直角三角形的性质解决动点问题】【例9】（23-24八年级·湖南岳阳·期中）33．如图：ABC V 是边长为3cm 的等边三角形，动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s ，当点P 到达B 时，P 、Q 两点停止运动，当点P 到达B 时，P 、Q 两点停止运动．设点P 运动的时间为(s)t ．当t 为 时，PBQV 是直角三角形．【变式9-1】（23-24八年级·山西晋中·期中）34．如图，在ABC V 中，90,30,8cm B A AC Ð=°Ð=°=，动点P 、Q 同时从A 、C 两点出发，分别在AC 、BC 边上匀速移动，它们的速度分别为2cm /s,1cm /s P Q v v ==，当点P 到达点C 时，P 、Q 两点同时停止运动，设点P 的运动时间为s t ．(1)当t 为何值时，PCQ △为等边三角形？(2)当t 为何值时，PCQ △为直角三角形？【变式9-2】（2024八年级·全国·专题练习）35．已知：如图，ABC V 是边长3cm 的等边三角形，动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB BC 、方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s ，当点P 到达点B 时，P 、Q 两点停止运动，设点P 的运动时间为s t ．(1)当动点P 、Q 同时运动2s 时，则BP = cm ，BQ = cm ．(2)当动点P 、Q 同时运动s t 时，分别用含有t 的式子表示；BP = cm ，BQ = cm ．(3)当t 为何值时，PBQ V 是直角三角形？【变式9-3】（23-24八年级·辽宁朝阳·期末）36．如图，在ABC V 中，60A Ð=°，4cm AB =，12cm AC =．动点P 从点A 开始沿AB 边以1cm/s 的速度运动，动点Q 从点C 开始沿CA 边以3cm/s 的速度运动．点P 和点Q 同时出发，当点P 到达点B 时，点Q 也随之停止运动．设动点的运动时间为()s 04t t <<，解答下列问题：(1)用含t 的代数式表述AQ 的长是______．(2)在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使APQ △是直角三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【题型10 含30°的直角三角形的性质的实际应用】【例10】（23-24八年级·安徽合肥·期末）37．如图①，设计一张折叠型方桌，其示意图如图②，若50cm AO BO ==，30cm CO DO ==．现将桌子放平，两条桌腿需要叉开的角度AOB Ð应为120°，则AB 距离地面CD 的高为 cm ．【变式10-1】（23-24八年级·广西玉林·期中）38．某游乐场部分平面图如图所示，点C 、E 、A 在同一直线上，点D 、E 、B 在同一直线上，DB AB ^．测得A 处与E 处的距离为70m ，C 处与E 处的距离为35m ，90C Ð=°，30BAE Ð=°．(1)请求出旋转木马E 处到出口B 处的距离；(2)判断入口A 到出口B 处的距离与海洋球D 到过山车C 处的距离是否相等？若相等，请证明；若不相等，请说明理由．【变式10-2】（23-24八年级·河北廊坊·期末）39．如图，嘉琪想测量一座古塔CD 的高度，在A 处测得15CAD Ð=°，再往前行进60m 到达B 处，测得30CBD Ð=°，点 A ，B ，D 在同一条直线上，根据测得的数据，这座古塔CD 的高度为（ ）A ．40mB ．30mC ．D ．50m【变式10-3】（23-24八年级·山东济宁·期中）40．图①所示的是某超市入口的双翼闸门，如图②，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A 与B 之间的距离为7cm ，双翼的边缘80cm AC BD ==，且与闸机侧立面夹角30ACP BDQ Ð=Ð=°，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度．1．(1)见解析(2)8【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、含30°角的直角三角形的性质、等边三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）证明ABE CAD V V ≌即可得证；（2）求出30PBQ Ð=°，再根据含30°角的直角三角形的性质即可得出答案．【详解】（1）证明：∵ABC V 为等边三角形，∴60AB AC BAC C =Ð=Ð=°，，在ABE V 和CAD V 中AB AC BAE ACD AE CD =ìïÐ=Ðíï=î，∴()SAS V V ≌ABE CAD ，∴BE AD =．（2）解：∵ABE CAD V V ≌，∴ABE CAD Ð=Ð，∴60BPQ ABP BAP CAD BAP BAC Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=Ð=°，又∵BQ AD ^，∴90BQP Ð=°，∴18030PBQ BPQ BQP Ð=°-Ð-Ð=°，∴2BP PQ =，又∵4PQ =，∴8BP =．2．A【分析】由30度角的性质可求出26BC AB ==，然后利用等边三角形的性质求解即可．【详解】解：如图，∵CD AB ^，∴90CDB Ð=°．∵30BCD Ð=°，3BD =，∴26BC AB ==．∵ABC V 是等边三角形，∴ABC V 的周长为6318´=．故选A ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握含30度角的直角三角形的性质是解答本题的关键．3．A【分析】本题主要考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°；在直角三角形中30°角所对应的边是斜边的一半是解题的关键．根据题意可知60A Ð=°，在直角三角形ADE 中求得AD 的长，即可求得AC 的长．【详解】解：∵ABC V 是等边三角形，D 为AC 的中点，DE AB ^，垂足为点E ．若3AE =，∴在直角三角形ADE 中，60A Ð=°，90AED Ð=°，30ADE Ð=°，∴26AD AE ==，又∵D 为AC 的中点，∴212AC AD ==，∴等边三角形ABC 的边长为12，故选：A ．4．7.8【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，正确地作出辅助线，构造全等三角形和含有30°角的直角三角形是解决问题的关键．过点C 作CP AB ^于P ，根据60ABC Ð=°得120BAC BCA Ð+Ð=°，再根据等边三角形性质得AC CD =，60ACD Ð=°，则120DCE BCA Ð+Ð=°，由此得BAC DCE Ð=Ð，据此可依据“AAS ”判定APC △和CED △全等，从而得3AP CE ==，则 2.4BP AB AP =-=，进而在根据直角三角形性质得2 4.8BC BP ==，据此可得BE 的长．【详解】解：过点C 作CP AB ^于P ，如图所示：60ABC Ð=°Q ，180120BAC BCA ABC \Ð+Ð=°-Ð=°，ACD QV 为等边三角形，AC CD \=，60ACD Ð=°，180120DCE BCA ACD Ð+Ð=°-Ð=°Q ，BAC DCE \Ð=Ð，CP AB ^Q ，DE BC ^，90APC CED \Ð=Ð=°，在APC △和CED △中，90APC CED BAC DCEAC CD Ð=Ð=°ìïÐ=Ðíï=î，(AAS)APC CED \V V ≌，3AP CE \==，5.43 2.4BP AB AP \=-=-=，在Rt BCP △中，60ABC Ð=°，30BCP \Ð=°，22 2.4 4.8BC BP \==´=，4.837.8BE BC CE \=+=+=．故答案为：7.85．15【分析】本题考查了三角形中位线，含30°的直角三角形，平行线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．过点F 作CD 的垂线，垂足为H ，先证明FH 为ABC V 的中位线，和45B HFA Ð=Ð=°，再根据直角三角形中30°所对的直角边为斜边的一半即可得出30FDH Ð=°，继而求出HFD Ð，以及AFD Ð的度数．【详解】过点F 作CD 的垂线，垂足为H ，如图：∵点F 恰好是线段AB 中点，FH AC ^，90BCA Ð=°，∴BC FH ∥，2BC FH =，∴45B HFA Ð=Ð=°，∵两块等腰直角三角板完全相同，∴BC FD =，∴2BC FD FH ==，∵90FHD Ð=°，∴30FDH Ð=°，∴60HFD Ð=°，∵45B HFA Ð=Ð=°，∴604515AFD HFD HFA Ð=Ð-Ð=°-°=°，故答案为：15．6．D【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，垂线段最短，三角形内角和定理的应用，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质．在BC 下方作30BCN Ð=°，过点A 作AF CN ^于点F ，过点M 作ME CN ^于点E ，根据含30度角的直角三角形的性质得出12ME CM =，根据()12222AM CM AM CM AM ME æö+=+=+ç÷èø，两点之间线段最短，且垂线段最短，得出当A 、M 、E 三点共线，且AE CN ^时，AM ME +最小，即2AM CM +最小，求出此时CAM Ð的度数即可．【详解】解：在BC 下方作30BCN Ð=°，过点A 作AF CN ^于点F ，过点M 作ME CN ^于点E ，如图所示：则12ME CM =，∴()12222AM CM AM CM AM ME æö+=+=+ç÷èø，∵两点之间线段最短，且垂线段最短，∴当A 、M 、E 三点共线，且AE CN ^时，AM ME +最小，即2AM CM +最小，∴当点E 在点F 时，2AM CM +最小，∵90AFC Ð=°，453075ACE ACB BCE Ð=Ð+Ð=°+°=°，∴=9075=15CAF а-°°，即此时15CAM Ð=°．故选：D ．7．72【分析】过C 作CM BD ^，交BD 的延长线于M ，过D 作DN AC ^于N ，证明()Rt Rt HL DNC DMC V V ≌，得12DCM ACD Ð=Ð=°，求出ACB Ð的度数，则根据等腰三角形的内角和，可求出A Ð的度数．【详解】解：如图，过C 作CM BD ^，交BD 的延长线于M ，过D 作DN AC ^于N ，∵点D 在AC 的垂直平分线上，∴DN 垂直平分AC ，∴12NC AC =，∵AC BC =，∴12NC BC =，在Rt BMC △中，30DBC Ð=°，∴12CM BC =，∴CM CN =，在Rt DNC △和Rt DMC V 中，∵CD CD CN CM =ìí=î，∴()Rt Rt HL DNC DMC V V ≌，∴12DCM ACD Ð=Ð=°，∵30DBC Ð=°，∴60MCB Ð=°，∴6012236ACB Ð=°-°´=°，又∵AC BC =，∴()118036722A Ð=´°-°=°，故答案为：72．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质,含30°角直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题时要熟知等腰三角形的两个底角相等，需要作辅助线，构建全等三角形，利用全等三角形的对应角相等．8．A【分析】根据题意分两种情况：AD 落在ABC V 内部和AD 落在ABC V 外部，然后分别根据等腰三角形的概念和三角形内角和定理求解即可．【详解】（1）当AD 落在ABC V 内部时，①如图，当AB AC =时，∵AD BC ^，12AD BC =，∴AD BD DC ==，即45C Ð=°．②如图，当AB CB =时，∵AD BC ^，12AD BC =，∴12AD AB =．∴30B Ð=°，∴()()11180180307522C B Ð=´°-Ð=´°-°=°③如图，当AC BC =时，∵AD BC ^，12AD BC =，∴12AD AC =．∴30C Ð=°．（2）当AD 落在ABC V 外部时，④当AB AC =时，此时不存在．⑤如图，当AB CB =时，∵AD BC ^，12AD BC =，∴12AD AB =．∴30ABD Ð=°，则11301522C ABD Ð=Ð=´°=°．⑥如图，当AC BC =时，∵AD BC ^，12AD BC =，∴12AD AC =．∴30ACD Ð=°，则18030150ACB Ð=°-°=°，即150C Ð=°．综上，C Ð的度数可能为15°，30°，45°，75°，150°，共5种可能，故选：A ．【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，含30°角直角三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是根据题意分情况讨论．9．D【分析】先根据30°角的直角三角形的性质得到12AB AC =，证明()SAS ABE ADE △≌△，再根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．【详解】解：∵90ABC Ð=°，60BAC Ð=°，∴90906030C BAC Ð=°-Ð=°-°=°，∴12AB AC =，由题意得：AB AD =，AP 平分BAC Ð，∴BAE DAE Ð=Ð，在ABE V 与ADE V 中，AB AD BAE DAE AE AE =ìïÐ=Ðíï=î，∴()SAS ABE ADE △≌△，∴ABE ADE S S =△△，∵12AD AB AC ==，∴AD CD =，∴ADE CDE S S =V V ，∴3ABC CDE S S =△△，∴:1:3CDE ABC S S =△△．故选：D ．【点睛】本题考查作图—基本作图，直角三角形两锐角互余，30°角的直角三角形，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，等底同高的三角形面积相等．掌握基本作图及全等三角形的判定和性质是解题的关键．10．A【分析】本题考查等边对等角，三角形的外角，含30度角的直角三角形，根据等边对等角结合三角形的外角，求出30ADC Ð=°，进而求出AC 的长，利用三角形的面积公式求出BCD △的面积即可．【详解】解：∵6,15BD CD DBC ==Ð=°，∴15DCB B Ð=Ð=°，∴30ADC B BCD Ð=Ð+Ð=°，∵90A Ð=°，∴132AC CD ==，∴BCD △的面积为1163922BD AC ×=´´=；故选A ．11．B【分析】本题考查了直角三角形的性质，等角对等边，三角形的面积等知识，先求出30BAD CAD Ð=Ð=°，得出AD BD =， 从而1122CD AD BD ==，然后根据三角形面积公式可得结论．【详解】解：∵90,30C B Ð=°Ð=°，∴903060BAC Ð=°-°=°．∵AD 平分BAC Ð，∴1302BAD CAD BAC Ð=Ð=Ð=°，∴B BAD Ð=Ð，∴AD BD =， ∴1122CD AD BD ==，∴1211::2:122S S BD AC CD AC =××=．故选B ．12．9【分析】根据旋转的性质得到11ABC A BC V V ≌，16A B AB ==，所以1A BA V 是等腰三角形，依据130A BA Ð=°得到等腰三角形的面积，由图形可以知道1111A BA A BC ABC A BA S S S S S =+-=V V V V 阴影，最终得到阴影部分的面积．本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．运用面积的和差关系解决不规则图形的面积是解决此题的关键．【详解】解：在ABC V 中，6AB =，将ABC V 绕点B 按逆时针方向旋转30°后得到111A B C △，∴11ABC A BC V V ≌16A B AB \==，\1A BA V 是等腰三角形，130A BA Ð=°，如图，过1A 作1A D AB ^于D ，则11132A D AB ==，116392A BA S \=´´=△，又1111A BA A BC ABC A BA S S S S S =+-=V V V V Q 阴影，11A BC CBA S S =V V ，19A BA S S \==V 阴影．13．B【分析】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．以AC 为边作等边三角形ACE ，连接ME ，过点A 作AF ME ^于点F ，证明(SAS)BCA MCE V V ≌，由全等三角形的性质得出BA ME =，90BAC MEC Ð=Ð=°，由直角三角形的性质可得出答案．【详解】解：如图，以AC 为边作等边三角形ACE ，连接ME ，过点A 作AF ME ^于点F ，MBC QV 和ACE △为等边三角形，BC CM \=，AC CE =，60BCM ACE Ð=Ð=°，BCA MCE \Ð=Ð，在BCA V 和MCE △中，BC MC BAC MCE AC CE =ìïÐ=Ðíï=î，(SAS)BCA MCE \V V ≌，BA ME \=，90BAC MEC Ð=Ð=°，906030AEF \Ð=°-=°，B Q 是直线l 的动点，M \在直线ME 上运动，MA \的最小值为AF ，4AE AC ==Q ，122AF AE \==．故选：B14．D【分析】题考查了垂线段最短以及角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质及垂线段最短的实际应用．过P 作PH OB ^，根据垂线段最短即可求出PE 最小值．【详解】解∶∵60AOB Ð=°，OC 平分AOB Ð，∴30AOC Ð=°，∵PD OA ^，6OP =，∴132PD OP ==，过P 作PH OB ^于点H ，∵PD OA ^，OC 平分AOB Ð，∴3PD PH ==，∵点E 是射线OB 上的动点，∴PE 的最小值为3，故选：C ．15．32【分析】取BC 的中点，连接MG ，根据等边三角形的性质和旋转可以证明MBG NBH V V ≌，可得MG NH =，根据垂线段最短，当MG CH ^时，MG 最短，即HN 最短，进而根据30度角所对直角边等于斜边的一半即可求得线段HN 长度的最小值．本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．【详解】解：如图，取BC 的中点，连接MG ，Q 线段BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，60MBH HBN \Ð+Ð=°，又ABC QV 是等边三角形，60ABC \Ð=°，即60MBH MBC Ð+Ð=°，HBN GBM \Ð=Ð，CH Q 是等边三角形的高，12BH AB \=，BH BG \=，又BM Q 旋转到BN ，BM BN \=，(SAS)MBG NBH \△≌△，MG NH \=，根据垂线段最短，当MG CH ^时，MG 最短，即HN 最短，此时160302BCH Ð=´°=°，116322CG BC ==´=，1322MG CG \==，32HN \=．\线段HN 长度的最小值是32．故答案为：3216．D 【分析】此题考查了全等三角形的判定即性质，等腰三角形的三线合一的性质，角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质．作DM AB ^于M ，作DN AC ^于N ，证明()ASA MDE NDC V V ≌，推出DE DC =，再证明()SAS EDF CDF V V ≌，推出EF CF =，得到当CF AB ^时CF 有最小值，即EF 有最小值，由30BAC Ð=°，4AC =，求出CF ．【详解】解：作DM AB ^于M ，作DN AC ^于N ，AB AC =Q ， AG BC ^，AG \平分BAC Ð，即AD 平分BAC Ð，DM AB ^Q ，DN AC ^，DM DN \=，30BAC Ð=°Q ，90AMD AND Ð=Ð=°，150MDN Ð\=° ，150CDE Ð=°Q ，150MDE CDM ÐÐ\=°- NDC Ð=，(ASA MDE NDC \V V ≌)，DE DC \=，DF Q 平分CDE Ð，EDF CDF \Ð=Ð，连接CF ，DF DF =Q ，()SAS EDF CDF \V V ≌，EF CF \=，\当CF AB ^时CF 有最小值，即EF 有最小值，此时，30BAC Ð=°Q ，4AC =，\122CF AC ==，故选：D ．17．()4,0【分析】本题主要考查了含30度角直角三角形的特征，解题的关键是掌握含30度角的直角三角形，30度角所对的边是斜边的一半．过点A 作x 轴的垂线，垂足为点C ，先得出30OAC Ð=°，则22OA OC ==，进而得出24OB OA ==，即可解答．【详解】解：过点A 作x 轴的垂线，垂足为点C ，∵Rt OAB V 中30ABO Ð=°，∴60AOB Ð=°，∵AC OB ^，∴30OAC Ð=°，∵点A 的横坐标为1，∴1OC =，∴22OA OC ==，∵30ABO Ð=°，∴24OB OA ==，∴点B 的坐标为()4,0，故答案为：()4,0．18．()90，【分析】本题考查了坐标与图形，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质．利用等边三角形的性质求得AB 的长，再利用含30度角的直角三角形的性质求得AD 的长，继而求得OD 的长，即可求解．【详解】解：∵ABC V 是等边三角形，且BO AC ^，∴60AO OC BAC =Ð=°，，∵()30A -，，∴3AO =，∴26AB AC AO ===，∵BD AB ^，∴90ABD Ð=°，∴30ADB Ð=°，∴212AD AB ==，∴9OD AD OA =-=，∴点D 的坐标为()90，．故答案为：()90，．19．A【分析】如图所示，将MOK V 绕点M 顺时针旋转60度得到MQN △，连接OQ ，由旋转的性质可得60OK NQ OM QM OMQ ===°，，∠，证明OMQ V 是等边三角形，得到60QOM OQ OM =°=∠，，推出30NOQ Ð=°；由垂线段最短可知，当NQ y ^轴，NQ 最小，即OK 最小，此时点N 与点N ¢重合，由此即可得到答案．【详解】解：如图所示，将MOK V 绕点M 顺时针旋转60度得到MQN △，连接OQ ，由旋转的性质可得60OK NQ OM QM OMQ ===°，，∠，∴OMQ V 是等边三角形，∴60QOM OQ OM =°=∠，，∴30NOQ Ð=°，∵点M 的坐标为()30，，∴3OQ OM ==，由垂线段最短可知，当NQ y ^轴，NQ 最小，即OK 最小，此时点N 与点N ¢重合，∴1322OK NQ OQ ===最小值最小值，故选A ．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．20．202112【分析】此题主要考查了点的坐标，等边三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，理解在直角三角形中， 30°的角所对的边等于斜边的一半是解决问题的关键．首先根据点A 的坐标及等边三角形的性质得111,60,OA OA AOA ==Ð=°进而得1130,A OO Ð=°再根据直角三角形的性质得 11111,22A O OA ==点1A 的纵坐标为 12，依次类推得到点n A 的纵坐标为 12næöç÷èø即可解题．【详解】∵点A 的坐标是()0,1，1OAA V 是等边三角形，111,60OA OA AOA \==Ð=°，1111906030A OO AOO AOA \Ð=Ð-Ð=°-°=°，11A O x ^Q 轴,∴在11Rt A OO V 中, 1130,A OO Ð=°则 1111122A O OA ==，∴点1A 的纵坐标为 12，同理：2221111,22A O A O æö==ç÷èø 3332211,22A O A O æö==ç÷èø 4443311,22A O A O æö==ç÷èø...，以此类推， 12n n n A O æö=ç÷èø，∴点2A 的纵坐标为 21,2æöç÷èø点 A ₃的纵坐标为31,2æöç÷èø点 A ₄的纵坐标为 41,2æöç÷èø……，以此类推，点n A 的纵坐标为 12n æöç÷èø，∴点 2021A 的纵坐标为 202120211122æö=ç÷èø．故答案为： 202112．21．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据尺规作一条线段垂直平分线的方法，进行作图即可；（2）过D 点作DE AB ^于E 点，连接DN ，由角平分线的性质和定义得到1152BAD BAC ==°∠，DC DE =，再由线段垂直平分线的性质得到NA ND =，进而得到30DNE NDA NAD Ð=Ð+Ð=°，则12DE DN =，由此即可证明结论．【详解】（1）解：如图，MN 为所求作的线段AD 的垂直平分线；（2）证明：过D 点作DE AB ^于E 点，连接DN ，∵30BAC Ð=°，AD 平分BAC Ð，DC AC ^，DE AB ^，∴1152BAD BAC ==°∠，DC DE =，∵MN 是AD 的垂直平分线，∴DN AN =，∴15NDA NAD Ð=Ð=°，∴30DNE NDA NAD Ð=Ð+Ð=°，在Rt DNE △中，12DE DN =，∵DN AN =，DC DE =，∴12CD AN =．【点睛】本题主要考查了，尺规作一条线段的垂直平分线，角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质．22．(1)90BCE °Ð=；(2)证明见解析．【分析】（1）证明ECD EAD V V ≌，可得A ECD Ð=Ð，设B x Ð=，可得2BEC x Ð=，得出23180x x x ++=°，解得30x =°，则BCE Ð可求出；（2）由直角三角形的性质可得2BE CE =，AE CE =，则结论可得出．【详解】（1）解： Q 点D 是AC 边的中点，DE AC ^，90EDC EDA \Ð=Ð=°，DC DA =，ED ED =Q ，()SAS ECD EAD \V V ≌，A ECD \Ð=Ð，设B x Ð=，∵AC BC =，B A x \Ð=Ð=，2BEC A ECA x \Ð=Ð+Ð=，4ACB B Ð=ÐQ ，3BCE x \Ð=，180B BEC BCE Ð+Ð+Ð=°Q ，23180x x x \++=°，解得30x =°，90BCE \Ð=°；（2）解：30B Ð=°Q ，90BCE Ð=°，2BE CE \=，CE AE =Q ，3AB BE AE CE \=+=．【点睛】考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握运用基础知识是解题的关键．23．(1)2cm(2)等边三角形，理由见解析【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质、含30°角的直角三角形，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．（1）连接BE ，由垂直平分线的性质可求得30CBE ABE A Ð=Ð=Ð=°，在Rt BCE V 中，由直角三角形的性质可证得2BE CE =，则可得出结果；（2）由垂直平分线的性质可求得AD BD =，根据含30°角的直角三角形可得12BC AB =，因此BCD △为等腰三角形，进一步由题意可知60ABC Ð=°，即可证明BCD △为等边三角形．【详解】（1）解：如图，连接BE ，DE Q 是AB 的垂直平分线，AE BE \=，30ABE A \Ð=Ð=°，30CBE ABC ABE \Ð=Ð-Ð=°，在Rt BCE V 中，2BE CE =，2AE CE \=，6cm AC =Q ，2cm CE \=．（2）BCD △是等边三角形，理由如下：连接CD ，DE Q 垂直平分AB ，∴D 为AB 中点，AD BD \=，在Rt ABC △中，30A Ð=°，12BC AB =∴，AD BD BC \==，又60ABC Ð=°Q ，∴BCD △是等边三角形．24．见详解【分析】根据全等三角形的判定定理SAS 可判断两个三角形全等；根据全等三角形的对应角相等，以及三角形外角的性质，可以得到30PBQ Ð=°，根据直角三角形的性质即可得到．本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质以及含30度角直角三角形的性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键．【详解】解：ABC QV 为等边三角形．AB AC \=，60BAC ACB Ð=Ð=°，在BAE V 和ACD V 中，AE CD BAC ACB AB AC =ìïÐ=Ðíï=î，(SAS)BAE ACD \V V ≌，ABE CAD \Ð=Ð，BPQ ÐQ 为ABP V 外角，60BPQ BAD ABE CAD BAD BAC \Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=Ð=°，BQ AD ^Q ，30PBQ \Ð=°，2BP PQ \=．25．B【分析】根据折叠的性质可得，BF FD =，CG GD =，即12FG BC =，再由30°角所对的直角边是斜边的一半，即可求解，本题考查了折叠的性质，含30°角的直角三角形的性质，解题的关键是：熟练掌握折叠的性质．【详解】解：由折叠可知，BF FD =，CG GD =，12FG BC \=，在ABC V 中，90BAC Ð=°，4AB =，30C Ð=°，2248BC AB \==´=，118422FG BC \==´=，故选：B ．26．C【分析】本题主要考查了折叠的性质，含30°角的直角三角形的直角．理解直角三角形中30°角所对边是斜边的一半是解题的关键．【详解】解：根据折叠的性质6cm DE EC ==，90EDB C Ð=Ð=°，∴90EDA Ð=°，∵30A Ð=°，∴212cm AE DE ==，∴18cm AC AE EC =+=，故选C ．27．6【分析】此题考查了中心对称，矩形的性质，以及翻折变换，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．由折叠的性质及矩形的性质得到OE 垂直平分AC ，得到AE EC =，根据AB 为AC 的一半确定出30ACE Ð=°，进而得到OE 等于EC 的一半，求出EC 的长，即为AE 的长．【详解】解：由题意得：AB AO CO ==，即2AC AB =，且OE 垂直平分AC ，AE CE \=，30ACB Ð=°，在Rt OEC △中，30OCE Ð=°，12OE EC BE \==，3BE =Q ，3OE \=，6EC =，则6AE =，故答案为：6．28．4【分析】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质，三角形内角和定理，含30°的直角三角形．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．由折叠的性质与题意可得，=90ACD а，由ABCD Y ，可知260BC AD CD AB D B ===Ð=Ð=°，，，则18030CAD ACD D Ð=°-Ð-Ð=°，24AD CD ==，进而可求BC 的值．【详解】解：由折叠的性质可得，=90ACD а，∵ABCD Y ，∴260BC AD CD AB D B ===Ð=Ð=°，，，∴18030CAD ACD D Ð=°-Ð-Ð=°，∴24AD CD ==，∴4BC =，故答案为：4．29．(1)60(2)30cm【分析】本题主要考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握旋转的性质．（1）根据90C Ð=°，30ABC Ð=°，求出903060BAC Ð=°-°=°，即可求出结果；（2）根据直角三角形的性质得出210cm AB AC ==，根据旋转得出60BAB ¢Ð=°，AB AB ¢=，证明ABB ¢V 是等边三角形，求出结果即可．【详解】（1）解：∵在ABC V 中，90C Ð=°，30ABC Ð=°，∴903060BAC Ð=°-°=°，根据旋转可知：60BAB BAC a =Ð=Ð=¢°；（2）解：∵90C Ð=°，30ABC Ð=°，5cm AC =，∴()22510cm AB AC ==´=，∵将ABC V 绕点A 逆时针旋转a 角度至AB C ¢¢△的位置，∴60BAB ¢Ð=°，AB AB ¢=，∴ABB ¢V 是等边三角形，∴ABB ¢V 的周长是()331030cm AB =´=．30．4【分析】由直角三角形的性质可得24AC AB ==，由旋转的性质可得4AE AC ==．本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．【详解】解：90B Ð=°Q ，30C Ð=°，24AC AB \==，Q 将ABC V 绕点A 旋转得到ADE V ，4AE AC \==，故答案为：431．4【分析】本题考查了旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，根据题意得出2AC =，进而根据旋转的性质，即可求解．【详解】在Rt ABC △中，1AB =，30C Ð=°，∴22AC AB ==．。
直角三角形性质练习题
直角三角形性质练习题一、选择题1. 在直角三角形中，斜边的长度总是（）A. 等于两直角边长度之和B. 大于两直角边长度之和C. 小于两直角边长度之和D. 等于两直角边长度之差2. 直角三角形的勾股定理表述为：直角三角形的斜边的平方等于（）A. 两直角边的平方和B. 两直角边的平方差C. 两直角边的和的平方D. 两直角边的差的平方3. 如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边的长度是（）A. 5B. 6C. 7D. 84. 直角三角形的内角和为（）A. 120°B. 150°C. 180°D. 360°5. 直角三角形的高是指（）A. 从直角顶点向斜边作垂线段B. 从直角顶点向对边作垂线段C. 从斜边顶点向直角边作垂线段D. 从对边顶点向斜边作垂线段二、填空题6. 直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，根据勾股定理，c²=________。
7. 若直角三角形的一条直角边为5，斜边为13，则另一条直角边的长度为________。
8. 在直角三角形中，若一个角为30°，则另一个非直角的锐角为________。
9. 直角三角形的面积公式为________。
10. 如果直角三角形的斜边长度为10，一条直角边为6，那么另一条直角边的长度为________。
三、计算题11. 已知直角三角形的两条直角边分别为6cm和8cm，求斜边的长度。
12. 一个直角三角形的斜边长度为17cm，若已知其中一条直角边为15cm，求另一条直角边的长度。
13. 一个直角三角形的高为4cm，底边为6cm，求这个三角形的面积。
14. 一个直角三角形的斜边长度为20cm，其中一条直角边为xcm，另一条直角边为(20-x)cm，求x的值。
15. 已知一个直角三角形的斜边长度为25cm，其中一条直角边的长度为15cm，求这个三角形的周长。
四、解答题16. 证明直角三角形的内角和为180°。
直角三角形性质应用(直角 中点)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：从边与角的角度来考虑直角三角形的性质都有哪些？问题2：遇到斜边上的中点怎么想？问题3：直角三角形斜边上的中线等于__________；如果一个三角形__________________，那么这个三角形是直角三角形．直角三角形性质应用（直角+中点）一、单选题(共7道，每道12分)1.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，斜边BC上的高AD=5cm，斜边BC上的中线AE=8cm，那么△ABC的面积为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：直角三角形斜边中线等于斜边一半2.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，EF过点C且平行于AB．若∠BCF=35°，则∠ACD的度数是( )A.35°B.45°C.55°D.65°答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：直角三角形斜边中线等于斜边一半3.如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为( )A.20B.14C.13D.10答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：直角三角形斜边中线等于斜边一半4.如图，∠ABC=∠ADC=90°，E是AC的中点，若∠BCD=75°，则∠BDE=( )A.25°B.20°C.15°D.10°答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：直角三角形斜边中线等于斜边一半5.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，点E，F分别是对角线AC，BD的中点，则下列结论成立的是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：等腰三角形三线合一性质6.如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是( )A.2.5B.C. D.2答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：直角三角形斜边中线等于斜边一半7.如图，BD，BE是Rt△ABC斜边AC上的中线与高线．已知AB=4，BC=3，则AD:DE:EC等于( )A.5:3:4B.25:9:16C.25:7:18D.3:2:1答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：等积公式二、填空题(共1道，每道16分)8.如图，在四边形ABCD中，BC⊥AC于点C，BE⊥AD于点E，∠BAC=60°，点G是AB的中点，已知，则GE的长是____．答案：1解题思路：试题难度：知识点：含30°的直角三角形。
直角三角形练习题
直角三角形练习题直角三角形是三角形中最基本的一种形式，由于其特殊性质，我们可以通过使用三角函数来解决各种与直角三角形相关的问题。
本文将提供一些直角三角形的练习题，通过解答这些问题，将更好地理解直角三角形的性质与应用。
1. 给定一个直角三角形，已知两个边长分别为5cm和12cm，求解第三边的长度。
解答：由勾股定理可得，直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。
设斜边长度为c，则有5² + 12² = c²，解得c = √(5² + 12²) =√(25 + 144) = √169 = 13。
因此，第三边的长度为13cm。
2. 在一个直角三角形中，已知一条直角边的长度为8cm，斜边的长度为17cm，求解另一条直角边的长度。
解答：同样利用勾股定理，设另一直角边的长度为b，则有b² + 8²= 17²，解得b = √(17² - 8²) = √(289 - 64) = √225 = 15。
因此，另一条直角边的长度为15cm。
3. 已知一个直角三角形的一条直角边的长度为3cm，斜边的长度为7cm，求解第二条直角边的长度。
解答：同样应用勾股定理，设另一直角边的长度为a，则有a² + 3²= 7²，解得a = √(7² - 3²) = √(49 - 9) = √40 = 2√10。
因此，第二条直角边的长度为2√10 cm。
4. 在一个直角三角形中，已知一条直角边的长度为10cm，第二条直角边的长度为24cm，求解斜边的长度。
解答：应用勾股定理，设斜边的长度为c，则有10² + 24² = c²，解得c = √(10² + 24²) = √(100 + 576) = √676 = 26。
因此，斜边的长度为26cm。
【2021中考数学】直角三角形中30度角的性质应用含答案
2021年中考复习小专题突破训练：直角三角形中300角的性质应用1．如图，在△ABC中，∠B＝30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB．若BE＝2，则AE的长为（）A．B．1C．D．22．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜6），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为（）A．2B．2.5或3.5C．3.5或4.5D．2或3.5或4.53．如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN＝1，则BC的长为（）A．4B．6C．D．84．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，AD⊥AB，交BC于点D，AD＝4，则BC的长为（）A．8B．4C．12D．65．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB交BC于点D，E为AB上一点，连接DE，则下列说法错误的是（）A．∠CAD＝30°B．AD＝BD C．BD＝2CD D．CD＝ED6．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（）A．3.5B．4.2C．5.8D．77．如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AD⊥BC于D，BE是∠ABC的平分线，且交AD于P，如果AP＝2，则AC的长为（）A．2B．4C．6D．88．如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AEFG的位置，此时点D恰好与AF的中点重合，AE交CD于点H，若BC＝，则HC的长为（）A．4B．C．D．69．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点E是AC上的点，且∠1＝∠2，DE垂直平分AB，垂足是D，如果EC＝3cm，则AE等于（）A．3cm B．4cm C．6cm D．9cm10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线交AB于点D，垂足为E，当AB ＝10，∠B＝30°时，△ACD的周长为（）A．12B．14C．15D．1611．如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h 是（）A．m B．4 m C．4m D．8 m12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则BD的长度是（）A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm13．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD 的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长是（）A．2B．4C．5D．14．如图，在等边三角形ABC中，BC＝2，D是AB的中点，过点D作DF⊥AC于点F，过点F作EF⊥BC于点E，则BE的长为（）A．1B．C．D．15．如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，CD⊥AB，垂足为D，CD＝1，则AB的长为（）A．2B．C．D．16．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，AD＝8，BC的长是（）A．16B．24C．30D．3217．如图，已知等边三角形ABC的边长为3，过AB边上一点P作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，取P A＝CQ，连接PQ，交AC于M，则EM的长为．18．如图，在边长为4的等边△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，EF⊥AC于点F，G为EF的中点，连接DG，则DG的长为．19．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB，交BC于点D，若CD ＝1，则BD＝．20．在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD＝BC，则△ABC的顶角的度数为．21．等腰三角形腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的顶角为度．22．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，若AD＝6，则CD＝．23．如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN＝1，则BC的长为．24．如图，∠AOB＝30°，OC平分∠AOB，P为OC上一点，PD∥OA交OB于点D，PE ⊥OA于E，OD＝4cm，则PE＝．25．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，若MN＝2，则NF＝．26．已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD＝BC，则△ABC底角的度数为．27．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC＝3，则BD的长度为．28．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC交BC于点D，AD＝3，则BC ＝．29．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D为△ABC外一点，连接BD、AD、CD，∠ADC＝60°，BD＝5，DC＝4，则AD＝．30．如图，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝120°，BD⊥BC交AC于点D，BD＝1，则AC 的长．31．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝15°，AB的垂直平分线与AC交于点D，与AB交于点E，连接BD．若AD＝14，则BC的长为．32．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，CD＝5，则AD＝．33．如图（1），Rt△AOB中，，∠AOB的平分线OC 交AB于C，过O点作与OB垂直的直线ON．动点P从点B出发沿折线BC﹣CO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，运动时间为t秒，同时动点Q从点C出发沿折线CO ﹣ON以相同的速度运动，当点P到达点O时P、Q同时停止运动．（1）求OC、BC的长；（2）设△CPQ的面积为S，求S与t的函数关系式；（3）当P在OC上Q在ON上运动时，如图（2），设PQ与OA交于点M，当t为何值时，△OPM为等腰三角形？求出所有满足条件的t值．34．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线MN分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点M、N，且OM＝6cm，∠OMN＝30°，等边△ABC的顶点B与原点O重合，BC边落在x轴的正半轴上，点A恰好落在线段MN上，如图2，将等边△ABC从图1的位置沿x轴正方向以1cm/s的速度平移，边AB、AC分别与线段MN交于点E、F，在△ABC平移的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2cm/s的速度沿折线B→A→C运动，当点P达到点C时，点P停止运动，△ABC也随之停止平移．设△ABC平移时间为t（s），△PEF的面积为S（cm2）．（1）求等边△ABC的边长；（2）当点P在线段BA上运动时，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（3）点P沿折线B→A→C运动的过程中，是否在某一时刻，使△PEF为等腰三角形？若存在，求出此时t值；若不存在，请说明理由．35．如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∠ABC的角平分线BE交AC于点E．点D为AB上一点，且AD＝AC，CD，BE交于点M．（1）求∠DMB的度数；（2）若CH⊥BE于点H，证明：AB＝4MH．36．已知∠MAN，AC平分∠MAN．（1）在图1中，若∠MAN＝120°，∠ABC＝∠ADC＝90°，求证：AB+AD＝AC；（2）在图2中，若∠MAN＝120°，∠ABC+∠ADC＝180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．37．如图，在平行四边形ABCD中，AE是BC边上的高，点F是DE的中点，AB与AG关于AE对称，AE与AF关于AG对称．（1）求证：△AEF是等边三角形；（2）若AB＝2，求△AFD的面积．38．如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M，（1）求证：M是BE的中点．（2）若CD＝1，DE＝，求△ABD的周长．39．图1所示的是某超市入口的双翼闸门，如图2，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A 与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度．40．如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，点M、N分别是BC、DE的中点．（1）猜想，MN与DE的位置关系，并证明；（2）若∠A＝60°，求的值．参考答案1．解：∵在△ABC中，∠B＝30°，BC的垂直平分线交AB于E，BE＝2，∴BE＝CE＝2，∴∠B＝∠DCE＝30°，∵CE平分∠ACB，∴∠ACB＝2∠DCE＝60°，∠ACE＝∠DCE＝30°，∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝90°．在Rt△CAE中，∵∠A＝90°，∠ACE＝30°，CE＝2，∴AE＝CE＝1．故选：B．2．解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2cm，∴AB＝2BC＝4（cm），∵BC＝2cm，D为BC的中点，动点E以1cm/s的速度从A点出发，∴BD＝BC＝1（cm），BE＝AB﹣AE＝4﹣t（cm），若∠BED＝90°，当A→B时，∵∠ABC＝60°，∴∠BDE＝30°，∴BE＝BD＝（cm），∴t＝3.5，当B→A时，t＝4+0.5＝4.5．若∠BDE＝90°时，当A→B时，∵∠ABC＝60°，∴∠BED＝30°，∴BE＝2BD＝2（cm），∴t＝4﹣2＝2，当B→A时，t＝4+2＝6（舍去）．综上可得：t的值为2或3.5或4.5．故选：D．3．解：∵在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，∴∠AMN＝∠NMC＝∠B，∠NCM＝∠BCM＝∠NMC，∴∠ACB＝2∠B，NM＝NC，∴∠B＝30°，∵AN＝1，∴MN＝2，∴AC＝AN+NC＝3，∴BC＝6，故选：B．4．解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°，∵AB⊥AD，∴BD＝2AD＝2×4＝8，∠B+∠ADB＝90°，∴∠ADB＝60°，∵∠ADB＝∠DAC+∠C＝60°，∴∠DAC＝30°，∴∠DAC＝∠C，∴DC＝AD＝4∴BC＝BD+DC＝8+4＝12，故选：C．5．解：∵在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠BAD＝30°，∴∠CAD＝∠BAD＝∠B，∴AD＝BD，AD＝2CD，∴BD＝2CD，根据已知不能推出CD＝DE，即只有D错误，选项A、B、C的答案都正确；故选：D．6．解：根据垂线段最短，可知AP的长不可小于3；∵△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，∴AB＝6，∴AP的长不能大于6．故选：D．7．解：∵△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，∴∠ABC＝60°．又∵BE是∠ABC的平分线，∴∠EBC＝30°，∴∠AEB＝∠C+∠EBC＝60°，∠C＝∠EBC，∴∠AEP＝60°，BE＝EC．又AD⊥BC，∴∠CAD＝∠EAP＝60°，则∠AEP＝∠EAP＝60°，∴△AEP的等边三角形，则AE＝AP＝2，在直角△AEB中，∠ABE＝30°，则EB＝2AE＝4，∴BE＝EC＝4，∴AC＝CE+AE＝6．故选：C．8．解：由旋转的性质可知：AC＝AF，∵D为AF的中点，∴AD＝AC，∵四边形ABCD是矩形，∴AD⊥CD，∴∠ACD＝30°，∵AB∥CD，∴∠CAB＝30°，∴∠EAF＝∠CAB＝30°，∴∠EAC＝30°，∴AH＝CH，∴DH＝AH＝CH，∴CH＝2DH，∵CD＝AD＝BC＝6，∴HC＝CD＝4．故选：A．9．解：∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∴∠2＝∠A，∵∠1＝∠2，∴∠A＝∠1＝∠2，∵∠C＝90°，∴∠A＝∠1＝∠2＝30°，∵∠1＝∠2，ED⊥AB，∠C＝90°，∴CE＝DE＝3cm，在Rt△ADE中，∠ADE＝90°，∠A＝30°，∴AE＝2DE＝6cm，故选：C．10．解：∵DE是线段BC的垂直平分线，∠ACB＝90°，∴CD＝BD，AD＝BD．又∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴AC＝AB，∴△ACD的周长＝AC+AB＝AB＝15，故选：C．11．解：过C作CM⊥AB于M则CM＝h，∠CMB＝90°，∵∠ABC＝150°，∴∠CBM＝30°，∴h＝CM＝BC＝4m，故选：B．12．解：在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠B＝30°（同角的余角相等），∵AD＝3cm，在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm，在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm．∴BD＝AB﹣AD＝12﹣3＝9cm，故选：C．13．解：∵AB＝AC，AD是△ABC的中线，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝×120°＝60°，∵AE是∠BAD的角平分线，∴∠DAE＝∠EAB＝∠BAD＝×60°＝30°，∵DF∥AB，∴∠F＝∠BAE＝30°，∴∠DAE＝∠F＝30°，∴AD＝DF，∵∠B＝90°﹣60°＝30°，∴AD＝AB＝×10＝5，∴DF＝5，故选：C．14．解：∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠C＝60°，AB＝AC＝BC＝2，∵DF⊥AC，FE⊥BC，∴∠AFD＝∠CEF＝90°，∴∠ADF＝∠CFE＝30°，∴AF＝AD，CE＝CF，∵点D是AB的中点，∴AD＝1，∴AF＝，CF＝，CE＝，∴BE＝BC﹣CE＝2﹣＝，故选：C．15．解：在Rt△ACD中，∠A＝45°，CD＝1，则AD＝CD＝1，在Rt△CDB中，∠B＝30°，CD＝1，则BD＝，故AB＝AD+BD＝+1．故选：D．16．解：∵AB＝AC，∠C＝30°，∴∠B＝30°，又∵AB⊥AD，∴∠ADB＝60°，∴∠DAC＝30°，∴AD＝DC＝8，∵AD＝8，∠B＝30°，∠BAD＝90°，∴BD＝16，∴BC＝BD+DC＝8+16＝24．故选：B．17．解：过P作PF∥BC交AC于F，如图所示：∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，∴∠PFM＝∠QCM，∠APF＝∠B＝60°，∠AFP＝∠ACB＝60°，∠A＝60°，∴△APF是等边三角形，∴AP＝PF＝AF，∵PE⊥AC，∴AE＝EF，∵AP＝PF，AP＝CQ，∴PF＝CQ，在△PFM和△QCM中，，∴△PFM≌△QCM（AAS），∴FM＝CM，∵AE＝EF，∴EF+FM＝AE+CM，∴AE+CM＝ME＝AC，∵AC＝3，∴ME＝，故答案为：．18．解：连接DE，∵在边长为4的等边△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝2，且DE∥AC，BD＝BE＝EC＝2，∵EF⊥AC于点F，∠C＝60°，∴∠FEC＝30°，∠DEF＝∠EFC＝90°，∴FC＝EC＝1，故EF＝＝，∵G为EF的中点，∴EG＝，∴DG＝＝．故答案为：．19．解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°，AD平分∠CAB，∴∠BAD＝30°，∴BD＝AD＝2CD＝2，故答案为2．20．解：①BC为腰，∵AD⊥BC于点D，AD＝BC，∴∠ACD＝30°，如图1，AD在△ABC内部时，顶角∠C＝30°，如图2，AD在△ABC外部时，顶角∠ACB＝180°﹣30°＝150°，②BC为底，如图3，∵AD⊥BC于点D，AD＝BC，∴AD＝BD＝CD，∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAD，∴∠BAD+∠CAD＝×180°＝90°，∴顶角∠BAC＝90°，综上所述，等腰三角形ABC的顶角度数为30°或150°或90°．故答案为：30°或150°或90°．21．解：①如图，∵BD是△ABC的高，AB＝AC，BD＝AB，∴∠A＝30°，②如图，∵CD是△ABC边BA上的高，DC＝AC，∴∠DAC＝30°，∴∠BAC＝180°﹣30°＝150°，故答案为：30或150．22．解：∵∠C＝90°，∠ABC＝60°，∴∠A＝30°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABD＝∠A＝30°，∴BD＝AD＝6，∴CD＝BD＝6×＝3．故答案为：3．23．解：∵在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，∴∠AMN＝∠NMC＝∠B，∠NCM＝∠BCM＝∠NMC，∴∠ACB＝2∠B，NM＝NC，∴∠B＝30°，∵AN＝1，∴MN＝2，∴AC＝AN+NC＝3，∴BC＝6，故答案为6．24．解：过P作PF⊥OB于F，∵∠AOB＝30°，OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC＝15°，∵PD∥OA，∴∠DPO＝∠AOP＝15°，∴PD＝OD＝4cm，∵∠AOB＝30°，PD∥OA，∴∠BDP＝30°，∴在Rt△PDF中，PF＝PD＝2cm，∵OC为角平分线，PE⊥OA，PF⊥OB，∴PE＝PF，∴PE＝PF＝2cm．故答案为：2cm．25．解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，∴∠C＝∠B＝（180°﹣∠A）＝30°，连接AN，AM，∵AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，∴BM＝AM，CN＝AN，∴∠MAB＝∠B＝30°，∠C＝∠NAC＝30°，∴∠AMN＝∠B+∠MAB＝60°，∠ANM＝∠C+∠NAC＝60°，∴AM＝AN，∴△AMN是等边三角形，∵MN＝2，∴AN＝2＝CN，在Rt△NFC中，∠C＝30°，∠NFC＝90°，CN＝2，∴NF＝CN＝1，故答案为：1．26．解：分四种情况进行讨论：①当AB＝AC时，∵AD⊥BC，∴BD＝CD，∵AD＝BC，∴AD＝BD＝CD，∴底角为45度；②当AB＝BC时，∵AD＝BC，∴AD＝AB，∴∠ABD＝30°，∴∠BAC＝∠BCA＝75°，∴底角为75度．③当AC＝BC时，∵AD＝BC，AC＝BC，∴∠C＝30°，∴∠BAC＝∠ABC＝（180°﹣30°）＝75°；④点A是底角顶点，且AD在△ABC外部时，∵AD＝BC，AC＝BC，∴AD＝AC，∴∠ACD＝30°，∴∠BAC＝∠ABC＝×30°＝15°，故答案为15°或45°或75°．27．解：∵∠C＝90°，∠ADC＝60°，∴∠DAC＝30°，∴CD＝AD，∵∠B＝30°，∠ADC＝60°，∴∠BAD＝30°，∴BD＝AD，∴BD＝2CD，∵BC＝3，∴CD+2CD＝3，∴CD＝，故答案为：2．28．解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∵AD⊥AC，∴∠DAC＝90°，又∠C＝30°，∴CD＝2AD＝6，∵∠BAC＝120°，∠DAC＝90°，∴∠BAD＝30°，∴∠DAB＝∠B，∴BD＝AD＝3，∴BC＝BD+CD＝9，故答案为：9．29．解：将△ABD绕点A逆时针旋转120°得到△ACE，∴∠DAE＝120°，AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝30°，∵∠ADC＝60°，∴∠CDE＝90°，∵EC＝BD＝5，DC＝4，∴DE＝＝＝3，作AF⊥DE于F，∴DF＝DE＝，∵在Rt△ADF中，cos30°＝，∴AD＝＝＝，故答案为．30．解：∵BA＝BC，∠ABC＝120°，∴∠A＝∠C＝30°，∵DB⊥BC，∴∠DBC＝90°，∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝30°，∴∠A＝∠ABD，∵BD＝1，∴AD＝BD＝1，∵CD＝2BD＝2，∴AC＝AD+DC＝1+2＝3，故答案为3．31．解：∵DE为线段AB的垂直平分线，∴BD＝AD＝14，∴∠BCD＝2∠A＝30°，∵∠ACB＝90°，∴BC＝BD＝7，故答案为：7．32．解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝60°，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠CBD＝∠ABC＝30°，即在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，故∠A＝∠ABD＝30°，∴AD＝BD＝2CD＝10（含30度角的直角三角形的性质），故答案为：10．33．（1）解：∵∠A＝90°，∠AOB＝60°，OB＝2，∴∠B＝30°，∴OA＝OB＝，由勾股定理得：AB＝3，∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC＝30°＝∠B，∴OC＝BC，在△AOC中，AO2+AC2＝CO2，∴+（3﹣OC）2＝OC2，∴OC＝2＝BC，答：OC＝2，BC＝2．（2）解：①当P在BC上，Q在OC上时，0＜t＜2，则CP＝2﹣t，CQ＝t，过P作PH⊥OC于H，∠HCP＝60°，∠HPC＝30°，∴CH＝CP＝（2﹣t），HP＝（2﹣t），∴S△CPQ＝CQ×PH＝×t×（2﹣t），即S＝﹣t2+t；②当P在OC上，Q在ON上时2＜t＜4，过P作PG⊥ON于G，过C作CZ⊥ON于Z，∵CO＝2，∠NOC＝60°，∴CZ＝，CP＝t﹣2，OQ＝t﹣2，∠NOC＝60°，∴∠GPO＝30°，∴OG＝OP＝（4﹣t），PG＝（4﹣t），∴S△CPQ＝S△COQ﹣S△OPQ＝×（t﹣2）×﹣×（t﹣2）×（4﹣t），即S＝t2﹣t+．④当t＝4时，P在O点，Q在ON上，如图（3）过C作CM⊥OB于M，CK⊥ON于K，∵∠B＝30°，由（1）知BC＝2，∴CM＝BC＝1，有勾股定理得：BM＝，∵OB＝2，∴OM＝2﹣＝＝CK，∴S＝PQ×CK＝×2×＝；综合上述：S与t的函数关系式是：S＝；．（3）解：如图（2），∵ON⊥OB，∴∠NOB＝90°，∵∠B＝30°，∠A＝90°，∴∠AOB＝60°，∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC＝30°，∴∠NOC＝90°﹣30°＝60°，①OM＝PM时，∠MOP＝∠MPO＝30°，∴∠PQO＝180°﹣∠QOP﹣∠MPO＝90°，∴OP＝2OQ，∴2（t﹣2）＝4﹣t，解得：t＝，②PM＝OP时，此时∠PMO＝∠MOP＝30°，∴∠MPO＝120°，∵∠QOP＝60°，∴此时不存在；③OM＝OP时，过P作PG⊥ON于G，OP＝4﹣t，∠QOP＝60°，∴∠OPG＝30°，∴GO＝（4﹣t），PG＝（4﹣t），∵∠AOC＝30°，OM＝OP，∴∠OPM＝∠OMP＝75°，∴∠PQO＝180°﹣∠QOP﹣∠QPO＝45°，∴PG＝QG＝（4﹣t），∵OG+QG＝OQ，∴（4﹣t）+（4﹣t）＝t﹣2，解得：t＝综合上述：当t为或时，△OPM是等腰三角形．34．解：（1）∵直线MN分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点M、N，OM＝6cm，∠OMN ＝30°，∴∠ONM＝60°，∵△ABC为等边三角形∴∠AOC＝60°，∠NOA＝30°∴OA⊥MN，即△OAM为直角三角形，∴OA＝OM＝×6＝3cm．（2）∵OM＝6cm，∠OMN＝30°，∴ON＝2，MN＝4．∵△OMN∽△BEM，∴＝，∴＝，BE＝，当点P在BE上时，PE＝BE﹣PB＝﹣2t＝，∵∠A＝60°，∠AFE＝30°，∴EF＝AE＝（3﹣BE）＝（3﹣）＝t，∴△PEF的面积S＝×EF×PE＝×t×，即S＝＝﹣（0＜t＜）；当点P在AE上时，PE＝PB﹣BE＝2t﹣＝，∵∠A＝60°，∠AFE＝30°，∴EF＝AE＝（3﹣BE）＝（3﹣）＝t，∴△PEF的面积S＝×EF×PE＝×t×，即S＝＝（＜t≤）；（3）存在，有4种情况：①当点P在线段AB上时，点P在AB上运动的时间为s，∵△PEF为等腰三角形，∠PEF＝90°，∴PE＝EF，∵∠A＝60°，∠AFE＝30°，∴EF＝AE＝（3﹣BE）＝（3﹣）＝t，∴＝t或＝t，解得t＝或＞（故舍去），②当点P在AF上时，若PE＝PF时，点P为EF的垂直平分线与AC的交点，此时P为直角三角形PEF斜边AF的中点，∴PF＝AP＝2t﹣3，∵点P从△ABC的顶点B出发，以2cm/s的速度沿折线B→A→C运动，∴0＜t＜3，在直角三角形中，cos30°＝＝＝，解得：t＝2，若FE＝FP，AF＝＝＝t，则t﹣（2t﹣3）＝t，解得：t＝12﹣6；③当PE＝EF，P在AF上时无解，④当P点在CF上时，AP＝2t﹣3，AF＝t，则PF＝AP﹣AF＝t﹣3＝EF，所以t﹣3＝t，解得t＝12+6＞3，不合题意，舍去．综上，存在t值为或12﹣6或2时，△PEF为等腰三角形．35．（1）解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵BE是∠ABC的角平分线，∴∠ABE＝∠CBE＝30°，∵∠A＝30°，AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝75°，∴∠DMB＝∠ADC﹣∠ABE＝45°；（2）证明：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴AB＝2BC，∵CH⊥BE，∠CBE＝30°，∴BC＝2CH，∴AB＝4CH，在Rt△CHM中，∠CMH＝45°，∴CH＝MH，∴AB＝4MH．36．（1）证明：∵∠MAN＝120°，AC平分∠MAN，∴∠CAD＝∠CAB＝60°．又∠ABC＝∠ADC＝90°，∴AD＝AC，AB＝AC，∴AB+AD＝AC．（2）解：结论仍成立．理由如下：作CE⊥AM、CF⊥AN于E、F．则∠CED＝∠CFB＝90°，∵AC平分∠MAN，∴CE＝CF．∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADC+∠CDE＝180°∴∠CDE＝∠ABC，在△CDE和△CBF中，，∴△CDE≌△CBF（AAS），∴DE＝BF．∵∠MAN＝120°，AC平分∠MAN，∴∠MAC＝∠NAC＝60°，∴∠ECA＝∠FCA＝30°，在Rt△ACE与Rt△ACF中，则有AE＝AC，AF＝AC，则AD+AB＝AD+AF+BF＝AD+AF+DE＝AE+AF＝AC+AC＝AC．∴AD+AB＝AC．37．解：（1）∵AE是BC边上的高，∴AE⊥BC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴AE⊥AD，即∠DAE＝90°，∵点F是DE的中点，即AF是Rt△ADE的中线，∴AF＝EF＝DF，∵AE与AF关于AG对称，∴AE＝AF，则AE＝AF＝EF，∴△AEF是等边三角形；（2）记AG、EF交点为H，∵△AEF是等边三角形，且AE与AF关于AG对称，∴∠EAG＝30°，AG⊥EF，∵AB与AG关于AE对称，∴∠BAE＝∠GAE＝30°，∠AEB＝90°，∵AB＝2，∴BE＝1、DF＝AF＝AE＝，则EH＝AE＝、AH＝，∴S△ADF＝××＝．38．解：（1）连接BD，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝BC＝AC，∵D为AC的中点，∴∠DBC＝ABC＝30°，∵CD＝CE，∴∠E＝∠CDE，∵∠E+∠CDE＝∠ACB＝60°，∴∠E＝30°，∴∠DBC＝∠E，∴BD＝ED，∴DM⊥BE，∴M是BE的中点；（2）由题意可知，BD＝DE＝，∵D为AC的中点，∴AD＝CD＝1，AB＝AC＝2CD＝2，则△ABD的周长AB+AD+BD＝3+．39．解：如图所示，过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则Rt△ACE中，AE＝AC＝×54＝27（cm），同理可得，BF＝27cm，又∵点A与B之间的距离为10cm，∴通过闸机的物体的最大宽度为27+10+27＝64（cm），答：当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为64cm．40．（1）证明：MN⊥DE，理由是：连接EM、DM，∵BD⊥AC，CE⊥AB，点M是BC的中点，∴EM＝BC，DM＝BC，∴ME＝MD，又点N是DE的中点，∴MN⊥DE；（2）解：∵MD＝ME＝BM＝CM，∴∠BME+∠CMD＝180°﹣2∠ABC+180°﹣2∠ACB＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB），∵∠A＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣60°＝120°，∴∠BME+∠CMD＝360°﹣2×120°＝120°，∴∠DME＝60°，∴△MED是等边三角形，∴＝．。
直角三角形的性质和判定（1）（教案练习）
1.2.1直角三角形的性质与判定练习题一、选择题1.如图，带阴影的矩形面积是（）平方厘米．A．9 B．24 C．45 D．512、已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（）．A．12B．7＋7C．12或7＋7D．以上都不对3.等腰三角形的腰长为10，底长为12，则其底边上的高为（）A．13 B．8 C．25 D．644.如果一个直角三角形的两条直角边分别为n2﹣1，2n（n＞1），那么它的斜边长是（）A．2n B．n+1 C．n2﹣1 D．n2+15.已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）A．25 B．7 C．5和7 D．25或76.将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是（）．A．h≤17cm B．h≥8cmC．15cm≤h≤16cm D．7cm≤h≤16cm7.如图，在长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A．6cm2 B．8cm2 C．10cm2 D．12cm2二、填空题8.在直角三角形ABC中，斜边AB=2，则AB2+AC2+BC2= ．9.如图，△ABC中，AC＝6，AB＝BC＝5，则BC边上的高AD＝______．10.如图，四边形ABCD是正方形，AE垂直于BE，且AE=3，BE=4，阴影部分的面积是．11.直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为 cm．12.如图，△ABC中，∠C=90°，AB垂直平分线交BC于D．若BC=8，AD=5，则AC等于．三、解答题13.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和是多少？14. 如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线，CD=5 cm，求AB的长.15.去年某省将地处A、B两地的两所大学合并成了一所综合性大学，为了方便A、B两地师生的交往，学校准备在相距2.732km的A、B两地之间修筑一条笔直公路（即图中的线段AB），经测量，在A地的北偏东60°方向、B地的西偏北45°方向C处有一个半径为0.7km的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？（3≈1.732）答案：1. C分析：根据勾股定理先求出直角边的长度，再根据长方形的面积公式求出带阴影的矩形面积．解：∵=15厘米，∴带阴影的矩形面积=15×3=45平方厘米．故选C．2.C（提示：因直角三角形的斜边不明确，结合勾股定理可求得第三边的长为5或7，所以直角三角形的周长为3＋4＋5＝12或3＋4＋7＝7＋7）故选C；3. B分析：先作底边上的高，由等腰三角形的性质和勾股定理即可求出此高的长度．解：作底边上的高并设此高的长度为x，根据勾股定理得：62+x2=102，解得：x=8．故选B．4. D分析：根据勾股定理直接解答即可．解：两条直角边与斜边满足勾股定理，则斜边长是：===n2+1．故选D．5. D分析：分两种情况：①当3和4为直角边长时；②4为斜边长时；由勾股定理求出第三边长的平方即可．解：分两种情况：①当3和4为直角边长时，由勾股定理得：第三边长的平方，即斜边长的平方=32+42=25；②4为斜边长时，由勾股定理得：第三边长的平方=42﹣32=7；综上所述：第三边长的平方是25或7；故选：D ．6. D （提示：筷子在杯中的最大长度为22815+＝17cm ，最短长度为8cm ，则筷子露在杯子外面的长度为24－17≤h ≤24－8，即7cm ≤h ≤16cm ，）故选D ．7. A分析：首先根据翻折的性质得到ED=BE ，再设出未知数，分别表示出线段AE ，ED ，BE 的长度，然后在Rt △ABE 中利用勾股定理求出AE 的长度，进而求出AE 的长度，就可以利用面积公式求得△ABE 的面积了．解：∵长方形折叠，使点B 与点D 重合，∴ED=BE ，设AE=xcm ，则ED=BE=（9﹣x ）cm ，在Rt △ABE 中，AB 2+AE 2=BE 2，∴32+x 2=（9﹣x ）2，解得：x=4，∴△ABE 的面积为：3×4×=6（cm 2）．故选：A ．8.分析：由三角形ABC 为直角三角形，利用勾股定理根据斜边AB 的长，可得出AB 的平方及两直角边的平方和，然后将所求式子的后两项结合，将各自的值代入即可求出值． 解：∵△ABC 为直角三角形，AB 为斜边，∴AC 2+BC 2=AB 2，又AB=2，∴AC 2+BC 2=AB 2=4，则AB 2+BC 2+CA 2=AB 2+（BC 2+CA 2）=4+4=8．故答案为：89. 3.6（提示：设DC ＝x ，则BD ＝5－x ．在Rt △ABD 中，AD 2＝52－（5－x ）2，在Rt △ADC 中，AD 2＝62－x 2，∴52－（5－x ）2＝62－x 2，x ＝3.6．故AD ＝226.36-＝4.8）；10. 分析：在直角三角形ABE 中，由AE 与BE 的长，利用勾股定理求出AB 的长，由正方形面积减去直角三角形面积求出阴影部分面积即可．解：∵AE⊥BE，∴∠AEB=90°，在Rt△ABE中，AE=3，BE=4，根据勾股定理得：AB==5，则S阴影=S正方形﹣S△ABE=52﹣×3×4=25﹣6=19，故答案为：19．11.分析：设直角三角形的三边边长分别为2n﹣2，2n，2n+2，由勾股定理得：两直角边的平方和等于斜边的平方，据此列出关于n的方程，求出符合题意n的值，即求出了直角三角形的三边长，之后求出周长即可．解：设直角三角形的三边边长分别为2n﹣2，2n，2n+2．由勾股定理得：（2n﹣2）2+（2n）2=（2n+2）2，解得：n1=4，n2=0（不合题意舍去），即：该直角三角形的三边边长分别为6cm，8cm，10cm．所以，其周长为6+8+10=24cm．12.分析：根据线段垂直平分线的性质可求得BD的长，从而求得CD的长，再根据勾股定理即可求得AC的长．解：∵AB垂直平分线交BC于D，AD=5，∴BD=AD=5，∵BC=8，∴CD=BC﹣BD=3，∴AC==4，故答案是：4．13.分析：根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，发现：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积．解：由图形可知四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积，故正方形A ，B ，C ，D 的面积之和=49cm 2．故答案为：49cm 2． 14.解：.∵在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BD 是∠ABC 的平分线，∴∠ABD=∠CBD=30°.∴AD=DB.又∵Rt △CBD 中，CD=5 cm ，∴BD=10 cm.∴BC=22BD CD -=22105-=53(cm).∴AB=2BC=103 cm.15. 解 如图所示，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为点D ，由题意可得∠CAB ＝30°，∠CBA ＝45°，在Rt △CDB 中，∠BCD ＝45°，∴∠CBA ＝∠BCD ，∴BD ＝CD ．在Rt △ACD 中，∠CAB ＝30°，∴AC ＝2CD ．设CD ＝DB ＝x ，∴AC ＝2x ．由勾股定理得AD ＝22CD AC -＝224x x -＝3x ．∵AD ＋DB ＝2.732，∴3x ＋x ＝2.732，∴x ≈1．即CD ≈1＞0.7，∴计划修筑的这条公路不会穿过公园．。
直角三角形性质的应用练习题(含答案)
专题6：直角三角形性质的应用【典例引领】例：如图，在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D，E分别在AC，BC上，且CD=CE．（1）如图1，求证：∠CAE=∠CBD；（2）如图2，F是BD的中点，求证：AE⊥CF；（3）如图3，F，G分别是BD，AE的中点，若AC=2√2，CE=1，求△CGF的面积．【强化训练】1．在正方形ABCD中，E是边CD上一点（点E不与点C、D重合），连结BE．（感知）如图①，过点A作AF⊥BE交BC于点F．易证△ABF≌△BCE．（不需要证明）（探究）如图②，取BE的中点M，过点M作FG⊥BE交BC于点F，交AD于点G．（1）求证：BE=FG．（2）连结CM，若CM=1，则FG的长为．（应用）如图③，取BE的中点M，连结CM．过点C作CG⊥BE交AD于点G，连结EG、MG．若CM=3，则四边形GMCE的面积为．2．综合与实践：如图1，将一个等腰直角三角尺ABC的顶点C放置在直线l上，∠ABC=90°，AB=BC，过点A作AD⊥l于点D，过点B作BE⊥l于点E．观察发现：（1）如图1．当A，B两点均在直线l的上方时，①猜测线段AD，CE与BE的数量关系，并说明理由；②直接写出线段DC，AD与BE的数量关系；操作证明：（2）将等腰直角三角尺ABC绕着点C逆时针旋转至图2位置时，线段DC，AD与BE又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，并写出证明过程；拓广探索：（3）将等腰直角三用尺ABC绕着点C继续旋转至图3位置时，AD与BC交于点H，若CD=3，AD=9，请直接写出DH的长度．3．如图①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点E在AC上（且不与点A，C重合），在△ABC的外部作△CED，使∠CED=90°，DE=CE，连接AD，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．（1）请直接写出线段AF，AE的数量关系；（2）将△CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图②，连接AE，请判断线段AF，AE的数量关系，并证明你的结论；（3）在图②的基础上，将△CED绕点C继续逆时针旋转，请判断（2）问中的结论是否发生变化？若不变，结合图③写出证明过程；若变化，请说明理由．4．如图①，△ABC与△CDE是等腰直角三角形，直角边AC、CD在同一条直线上，点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，连接AE、BD．（1）猜想PM与PN的数量关系及位置关系，请直接写出结论；（2）现将图①中的△CDE绕着点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到图②，AE与MP、BD分别交于点G、H．请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）若图②中的等腰直角三角形变成直角三角形，使BC=kAC，CD=kCE，如图③，写出PM与PN的数量关系，并加以证明．5．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点E是直线BC上一点，连接AE，过点C作CF⊥AE于点F，连接BF．如图①，当点E在BC上时，易证AF﹣CF=√2BF（不需证明），点E在CB的延长线上，如图②：点E在BC的延长线上，如图③，线段AF，CF，BF之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．专题6：直角三角形性质的应用【典例引领】例：如图，在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D，E分别在AC，BC上，且CD=CE．（1）如图1，求证：∠CAE=∠CBD；（2）如图2，F是BD的中点，求证：AE⊥CF；（3）如图3，F，G分别是BD，AE的中点，若AC=2√2，CE=1，求△CGF的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）S△CFG=78．【解析】（1）直接判断出△ACE≌△BCD即可得出结论；（2）先判断出∠BCF=∠CBF，进而得出∠BCF=∠CAE，即可得出结论；（3）先求出BD=3，进而求出CF=32，同理：EG=32，再利用等面积法求出ME，进而求出GM，最后用面积公式即可得出结论．【解答】（1）在△ACE和△BCD中，{AC＝BC∠ACB＝∠ACB＝90°CE＝CD，∴△ACE≌△BCD，∴∠CAE=∠CBD；（2）如图2，在Rt△BCD中，点F是BD的中点，∴CF=BF，∴∠BCF=∠CBF，由（1）知，∠CAE=∠CBD，∴∠BCF=∠CAE，∴∠CAE+∠ACF=∠BCF+∠ACF=∠BAC=90°，∴∠AMC=90°， ∴AE ⊥CF ； （3）如图3，∵AC=2√2， ∴BC=AC=2√2， ∵CE=1， ∴CD=CE=1，在Rt △BCD 中，根据勾股定理得，BD=√CD 2+BC 2=3， ∵点F 是BD 中点， ∴CF=DF=12BD=32，同理：EG=12AE=32，连接EF ，过点F 作FH ⊥BC ， ∵∠ACB=90°，点F 是BD 的中点， ∴FH=12CD=12，∴S △CEF =12CE•FH=12×1×12=14，由（2）知，AE ⊥CF ，∴S △CEF =12CF•ME=12×32ME=34ME ，∴34ME=14， ∴ME=13，∴GM=EG-ME=32-13=76， ∴S △CFG =12CF•GM=12×32×76=78．【强化训练】1．在正方形ABCD 中，E 是边CD 上一点（点E 不与点C 、D 重合），连结BE ． （感知）如图①，过点A 作AF ⊥BE 交BC 于点F ．易证△ABF ≌△BCE ．（不需要证明） （探究）如图②，取BE 的中点M ，过点M 作FG ⊥BE 交BC 于点F ，交AD 于点G ． （1）求证：BE=FG ．（2）连结CM ，若CM=1，则FG 的长为 ．（应用）如图③，取BE的中点M，连结CM．过点C作CG⊥BE交AD于点G，连结EG、MG．若CM=3，则四边形GMCE的面积为．【答案】（1）证明见解析；（2）2，9.【解析】【分析】感知：利用同角的余角相等判断出∠BAF=∠CBE，即可得出结论；探究：（1）判断出PG=BC，同感知的方法判断出△PGF≌CBE，即可得出结论；（2）利用直角三角形的斜边的中线是斜边的一半，应用：借助感知得出结论和直角三角形斜边的中线是斜边的一半即可得出结论．【解答】感知：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠BCE=∠ABC=90°，∴∠ABE+∠CBE=90°，∵AF⊥BE，∴∠ABE+∠BAF=90°，∴∠BAF=∠CBE，在△ABF和△BCE中，{∠BAF=∠CBEAB=BC∠ABC=∠BCE=90°，∴△ABF≌△BCE（ASA）；探究：（1）如图②，过点G作GP⊥BC于P，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠A=∠ABC=90°，∴四边形ABPG是矩形，∴PG=AB ，∴PG=BC ，同感知的方法得，∠PGF=∠CBE ， 在△PGF 和△CBE 中， {∠PQF =∠CBEPQ =BC∠PFG =∠ECB =90° ， ∴△PGF ≌△CBE （ASA ）， ∴BE=FG ；（2）由（1）知，FG=BE ， 连接CM ，∵∠BCE=90°，点M 是BE 的中点， ∴BE=2CM=2， ∴FG=2， 故答案为：2．应用：同探究（2）得，BE=2ME=2CM=6， ∴ME=3，同探究（1）得，CG=BE=6， ∵BE ⊥CG ，∴S 四边形CEGM =12CG×ME=12×6×3=9，故答案为：9．2．综合与实践：如图1，将一个等腰直角三角尺ABC 的顶点C 放置在直线l 上，∠ABC =90°，AB =BC ，过点A 作AD ⊥l 于点D ，过点B 作BE ⊥l 于点E ． 观察发现：（1）如图1．当A ，B 两点均在直线l 的上方时， ①猜测线段AD ，CE 与BE 的数量关系，并说明理由； ②直接写出线段DC ，AD 与BE 的数量关系； 操作证明：（2）将等腰直角三角尺ABC 绕着点C 逆时针旋转至图2位置时，线段DC ，AD 与BE 又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，并写出证明过程； 拓广探索：（3）将等腰直角三用尺ABC 绕着点C 继续旋转至图3位置时，AD 与BC 交于点H ，若CD =3，AD =9，请直接写出DH 的长度．【答案】（1）①AD+CE=BE．理由见解析；②DC+AD=2BE；（2）CD−AD=2BE；证明见解析；（3）DH的长度为32．【分析】（1）过点B作BF⊥AD，根据已知条件结合直角三角形性质证明ΔCBE≅ΔABF，从而得到四边形DEBF为正方形，最后得出①AD+CE=BE，直接写出②DC+AD=2BE（2）过点B作BG⊥AD，先证明ΔBCE≅ΔBAG，证明四边形DEBG为正方形，根据正方形的性质求解（3）过点B作BF⊥AD，证明ΔBAF≅ΔBCE，四边形DEBF为正方形，再求解.【解答】解：（1）①AD+CE=BE．理由如下：如图，过点B作BF⊥AD，交DA的延长线于点F，∵BE⊥l，BF⊥AD，∴∠BEC=∠F=90°．又∵AD⊥l∴∠FDE=90°∴四边形DEBF为矩形．∴∠FBE=90°．又∵∠ABC=90°，∴∠ABC−∠ABE=∠FBE−∠ABE．即∠CBE=∠ABF．在ΔCBE和ΔABF中，{∠CBE=∠ABF,∠CEB=∠AFB=90°,CB=AB,∴ΔCBE≅ΔABF(AAS)．∴CE=AF，BE=BF．又∵四边形DEBF为矩形，∴四边形DEBF为正方形．∴BE=DE=FD=FB．∴AD+CE=AD+AF=FD=BE．②DC+AD=2BE．（2）如图，过点B作BG⊥AD，交AD延长线于点G，∵BE⊥l，BG⊥AD，∴∠BEC=∠G=90°．又∵AD⊥l，∴∠GDE=90°．∴四边形DEBF为矩形．∴∠GBE=90°．又∵∠ABC=90°，∴∠ABC−∠ABE=∠GBE−∠ABE，即∠CBE=∠ABG．在ΔBCE和ΔBAG中，{∠CBE=∠ABG,∠CEG=∠AGB=90°,CB=AB,∴ΔBCE≅ΔBAG(AAS)．∴CE=AG，BE=BG．又∵四边形DEBG为矩形，∴四边形DEBG为正方形．∴DE=BE=GB=DG．∵CD=CE+DE，∴CD=AG+BE=AD+DG+BE=AD+2BE．∴CD−AD=2BE．（3）如图，过点B作BF⊥AD，交DA于点F，同理可证，ΔBAF≅ΔBCE，四边形DEBF为正方形．∴CE=AF，ED=BE=DF．∵CD=CE−ED，∴CD=AF−BE=AD−DF−BE=AD−2BE．∴AD−CD=2BE．∵CD=3，AD=9，∴BE=ED=3，CE=CD+ED=6．∵DH∥EB，∴DHEB =CDCE．∴DH3=36．∴DH=32．3．如图①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点E在AC上（且不与点A，C重合），在△ABC的外部作△CED，使∠CED=90°，DE=CE，连接AD，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．（1）请直接写出线段AF，AE的数量关系；（2）将△CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图②，连接AE，请判断线段AF，AE的数量关系，并证明你的结论；（3）在图②的基础上，将△CED绕点C继续逆时针旋转，请判断（2）问中的结论是否发生变化？若不变，结合图③写出证明过程；若变化，请说明理由．【答案】(1)AF=√2AE；（2）AF=√2AE，证明详见解析；（3）结论不变，AF=√2AE，理由详见解析.【分析】（1）如图①中，结论：AF=√2AE，只要证明△AEF是等腰直角三角形即可．（2）如图②中，结论：AF=√2AE，连接EF，DF交BC于K，先证明△EKF≌△EDA再证明△AEF是等腰直角三角形即可．（3）如图③中，结论不变，AF=√2AE，连接EF，延长FD交AC于K，先证明△EDF≌△ECA，再证明△AEF 是等腰直角三角形即可．【解答】（1）如图①中，结论：AF=√2AE．理由：∵四边形ABFD是平行四边形，∴AB=DF，∵AB=AC，∴AC=DF，∵DE=EC，∴AE=EF，∵∠DEC=∠AEF=90°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴AF=√2AE．（2）如图②中，结论：AF=√2AE．理由：连接EF，DF交BC于K．∵四边形ABFD是平行四边形，∴AB∥DF，∴∠DKE=∠ABC=45°，∴EKF=180°﹣∠DKE=135°，∵∠ADE=180°﹣∠EDC=180°﹣45°=135°，∴∠EKF=∠ADE，∵∠DKC=∠C，∴DK=DC，∵DF=AB=AC，∴KF=AD，在△EKF和△EDA中，{EK=DK∠EKF=∠ADEKF=AD，∴△EKF≌△EDA，∴EF=EA，∠KEF=∠AED，∴∠FEA=∠BED=90°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴AF=√2AE．（3）如图③中，结论不变，AF=√2AE．理由：连接EF，延长FD交AC于K．∵∠EDF=180°﹣∠KDC﹣∠EDC=135°﹣∠KDC，∠ACE=（90°﹣∠KDC）+∠DCE=135°﹣∠KDC，∴∠EDF=∠ACE，∵DF=AB，AB=AC，∴DF=AC在△EDF和△ECA中，{DF=AC∠EDF=∠ACEDE=CE，∴△EDF≌△ECA，∴EF=EA，∠FED=∠AEC，∴∠FEA=∠DEC=90°，∴△AEF是等腰直角三角形，4．如图①，△ABC与△CDE是等腰直角三角形，直角边AC、CD在同一条直线上，点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，连接AE、BD．（1）猜想PM与PN的数量关系及位置关系，请直接写出结论；（2）现将图①中的△CDE绕着点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到图②，AE与MP、BD分别交于点G、H．请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）若图②中的等腰直角三角形变成直角三角形，使BC=kAC，CD=kCE，如图③，写出PM与PN的数量关系，并加以证明．【答案】（1）PM=PN，PM⊥PN，理由见解析；（2）理由见解析；（3）PM=kPN；理由见解析【分析】（1）由等腰直角三角形的性质易证△ACE≌△BCD，由此可得AE=BD，再根据三角形中位线定理即可得到PM=PN，由平行线的性质可得PM⊥PN；（2）（1）中的结论仍旧成立，由（1）中的证明思路即可证明；（3）PM=kPN，由已知条件可证明△BCD∽△ACE，所以可得BD=kAE，因为点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点，所以PM=BD，PN=AE，进而可证明PM=kPN．【解答】（1）PM=PN，PM⊥PN，理由如下：∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，∴AC=BC，EC=CD，∠ACB=∠ECD=90°．在△ACE和△BCD中，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE=BD，∠EAC=∠CBD，∵点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，∴PM=BD，PN=AE，∴PM=PM，∵∠NPD=∠EAC，∠MPN=∠BDC，∠EAC+∠BDC=90°，∴∠MPA+∠NPC=90°，∴∠MPN=90°，即PM⊥PN；（2）∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，∴AC=BC，EC=CD，∠ACB=∠ECD=90°．∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE．∴∠ACE=∠BCD．∴△ACE≌△BCD．∴AE=BD，∠CAE=∠CBD．又∵∠AOC=∠BOE，∠CAE=∠CBD，∴∠BHO=∠ACO=90°．∵点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点，∴PM=BD，PM∥BD；PN=AE，PN∥AE．∴PM=PN．∴∠MGE+∠BHA=180°．∴∠MGE=90°．∴∠MPN=90°．∴PM⊥PN．（3）PM=kPN∵△ACB和△ECD是直角三角形，∴∠ACB=∠ECD=90°．∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE．∴∠ACE=∠BCD．∵BC=kAC，CD=kCE，∴=k．∴△BCD∽△ACE．∴BD=kAE．∵点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点，∴PM=BD，PN=AE．∴PM=kPN．5．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点E是直线BC上一点，连接AE，过点C作CF⊥AE于点F，连接BF．如图①，当点E在BC上时，易证AF﹣CF=√2BF（不需证明），点E在CB的延长线上，如图②：点E在BC的延长线上，如图③，线段AF，CF，BF之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．【答案】证明AF=CF+√2BF．如图②中，结论：CF﹣AF=√2BF．理由见解析；②如图③中，结论：CF+AF=√2BF．理由见解析.【分析】如图①中，作BH⊥BF交AF于H．只要证明△BAH≌△BCF，即可解决问题.①如图②中，结论：CF－AF＝√2BF．作BH⊥BF交AF于H．只要证明△BAH≌△BCF，即可解決问題.②如图③中，结论：CF＋AF＝√2BF，只要证明△BAH≌△BCF，即可解決问题.【解答】证明：如图①中，作BH⊥BF交AF于H．∵∠ABC=∠FBH，∴∠FBC=∠ABH，∵∠EFC=∠EBA=90°，∠CEF=∠AEB，∴∠ECF=∠EAB，在△BAH和△BCF中，，∴△BAH≌△BCF，∴AH=CF，BH=BF，∵∠FBH=90°，∴△BFH是等腰直角三角形，∴FH=BF，∵FH=AF﹣AH=AF﹣CF，∴AF﹣CF=BF，∴AF=CF+BF．①如图②中，结论：CF﹣AF=BF．理由：作BH⊥BF交AF于H．∵∠ABC=∠FBH，∴∠FBC=∠ABH，∵∠AFC=∠ABC=90°，∴∠CEF+∠FCB=90°，∠AEB+∠BAH=90°∴∠ECF=∠EAB，在△BAH和△BCF中，，∴△BAH≌△BCF，∴AH=CF，BH=BF，∵∠FBH=90°，∴△BFH是等腰直角三角形，∴FH=BF，∵FH=AH﹣AF=CF﹣AF，∴CF﹣AF=BF．②如图③中，结论：CF+AF=BF．理由：作BH⊥BF交AF于H．∵∠ABC=∠FBH，∴∠FBC=∠ABH，∵∠AFC=∠ABC=90°，∴∠BCF+∠BAF=180°，∵∠BAF+∠BAH=180°∴∠BCF=∠BAH，在△BAH和△BCF中，，∴△BAH≌△BCF，∴AH=CF，BH=BF，∵∠FBH=90°，∴△BFH是等腰直角三角形，∴FH=BF，∵FH=AH+AF=CF+AF，∴CF+AF=BF．。
初中数学直角三角形斜边中线性质应用专项练习题(附答案详解)
初中数学直角三角形斜边中线性质应用专项练习题（附答案详解）1．如图，在ABC 中，∠B=60°，CD 为AB 边上的高，E 为AC 边的中点，点 F 在BC 边上，∠EDF=60°，若 BF=3，CF=5，则AC 边的长为 ．2．如图,在矩形ABCD 中,∠BAD 的平分线交BC 于点E ,交DC 的延长线于点F .（1）若AB =2,AD =3,求EF 的长；（2）若G 是EF 的中点,连接BG 和DG ,求证：DG =BG .3．如图所示，在ABC ∆中，BD AC ⊥于D ，CE AB ⊥于E ，点M ，N 分别是BC ，DE 的中点，求证：MN DE ⊥.4．△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，CD=BD ，∠1=∠2，求证：CM ⊥AD 。
5．如图所示，ABC ∆中，90BAC ∠=︒，延长BA 到D ，使12AD AB =，点E 是AC 的中点，求证：2BC DE .6．如图所示，CDE ∆中，135CDE ∠=︒，CB DE ⊥于V ，EA CD ⊥于A ，求证：2CE AB =.7．如图所示，四边形ACBD 中，90ADB ACB ∠=∠=︒，60DBC ∠=︒，点E 是AB 的中点，求DCE ∠的度数.8．如图所示，90DBC BCE ∠=∠=︒，M 为DE 的中点，求证：MB MC =.9．如图所示，ABC ∆中，,90,AB AC BAC D =∠=为BC 延长线上一点，过D 作DE AD ⊥，且DE AD =，求DBE ∠的度数．10．如图所示，ABC ∆中，,90,AB AC BAC D =∠=是AC 的中点，,DE DF DE ⊥交BA 的延长线于点,E DF 交AC 的延长线于点F ，求证：BE AF =．11．如图所示，ABC ∆中，,90,AB AC BAC D =∠=为BC 的中点，G 为AC 上一点，AE BG ⊥于点E ，连结DE ．求证：2BE AE DE -=．12．如图所示，BCD ∆和BCE ∆中，90BDC BEC ∠=∠=︒，O 为BC 的中点，BD ，CE 交于A ，120BAC ∠=︒，求证：DE OE =.13．如图所示，E ，F 分别是正方形ABCD 的边AD ，CD 上的两个动点，且AE DF =，BE 交AF 于点H ，2AB =，连DH .求线段DH 长度的最小值.14．如图所示，ABC ∆中，2B A ∠=∠，CD AB ⊥于D ，E 为AB 的中点，求证：2BC DE =.15．如图所示，四边形ACBD 中，90ADB ACB ∠=∠=︒，60DBC ∠=︒，点E 是AB 的中点，求CE CD的值.16．如图，正方形ABCD 中，对角线AC 上有一点P ，连接BP 、DP ，过点P 作PE ⊥PB 交CD 于点E ，连接BE ．（1）求证：BP=EP；（2）若CE=3，BE=6，求∠CPE的度数；（3）探究AP、PC、BE之间的数量关系，并给予证明．参考答案1．【解析】【分析】如图（见解析），先根据直角三角形的性质、勾股定理得出,4D B F D ==，再根据等边三角形的判定与性质得出4,60DH BDH =∠=︒，然后根据三角形的中位线定理、平行线的性质得出60EHD BDH ∠=∠=︒，从而可得EHD B ∠=∠，BDF HDE ∠=∠，最后根据三角形全等的判定定理与性质得出DE DF ==据此根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得．【详解】如图，过点D 作DG BC ⊥于点G3,5BF CF ==8BC BF CF ∴=+=在Rt BCD 中，60B ∠=︒，9030BCD B ∠=︒-∠=︒142BD BC ∴== 在Rt BDG 中，60B ∠=︒，9030BDG B ∠=︒-∠=︒12,2BG BD DG ∴====1GF BF BG ∴=-=，DF ==取BC 的中点H ，连接DH 、EH142DH BH BC BD ∴==== BDH ∴是等边三角形60BDH ∴∠=︒点E 是AC 边的中点∴EH 是ABC 的中位线//EH AB ∴60EHD BDH ∴∠=∠=︒60EHD B ∴∠=∠=︒又60BDF FDH BDH ∠+∠=∠=︒，60HDE FDH EDF ∠+∠=∠=︒BDF HDE ∴∠=∠在HDE 和BDF 中，EHD B DH DB HDE BDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()HDE BDF ASA ∴≅13DE DF ∴==则在Rt ACD △中，12DE AC =，即2213AC DE == 故答案为：213．【点睛】本题考查了直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、三角形的中位线定理等知识点，通过作辅助线，构造等边三角形和全等三角形是解题关键． 2．（1）EF 2；（2）见解析【解析】【分析】（1）由AE 平分∠BAD ，可得∠DAF ＝45°，从而∠F ＝45°，可证△ADF ，△ECF 都是等腰直角三角形，求出CF 的长，最后根据勾股定理即可求出EF 的长；（2）连结CG ，易证∠BEG ＝∠DCG ＝135°，根据“SAS ”可证△BEG ≌△DCG ，从而可得DG ＝BG .【详解】解：（1）在矩形ABCD 中∵AE 平分∠BAD ,∴∠DAF ＝45°, ∴∠F ＝45°，∴△ADF，△ECF都是等腰直角三角形，∴DF＝AD＝3, CF＝DF－CD= 1.在Rt△CEF中,∴EF＝2.（2）连结CG,∵G是EF中点,∴CG⊥EF,∠ECG＝∠CEF＝45°.∴∠BEG＝∠DCG＝135°.∴EG＝12EF＝CG.∵AB＝BE＝CD,∴BE＝CD.∴△BEG≌△DCG,∴DG＝BG.【点睛】本题考查了矩形的性质，角平分线的定义，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，以及全等三角形的判定与性质，证明△ADF，△ECF都是等腰直角三角形是解（1）的关键，证明△BEG≌△DCG是解（2）的关键.3．见解析【解析】【分析】连接ME、MD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得MD=ME=12BC，再根据等腰三角形三线合一的性质证明即可；【详解】证明：连结MD ，ME ，点M 分别是Rt EBC ∆和Rt DBC ∆斜边的中点，MD ME ∴==1BC 2，又N 是DE 的中点， MN DE ∴⊥.【点睛】本题主要考查直角三角形和等腰三角形的性质，遇到直角三角形斜边上的中点时，往往连结斜边上的中线.利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得DM =EM 是解题的关键． 4．见解析.【解析】【分析】 过点C 作CE ⊥AB 交AB 于点E ，交AD 于点F ，AD 与CM 交于点G ，根据∠B=∠BCE=45°，CD=BD ，∠1=∠2证明△CDF ≌△BDM ，得到CF=BM ，然后再由AC=BC 及通过SAS 证明△ACF ≌△CBM ，得到∠CAF=∠BCM ，再根据角之间的等量代换可证明∠CFG+∠ECM=90°，问题得证.【详解】证明：过点C 作CE ⊥AB 交AB 于点E ，交AD 于点F ，AD 与CM 交于点G ，∵AC=BC ，∠ACB=90°，∴∠B=∠BCE=45°，在△CDF 和△BDM 中，，∴△CDF ≌△BDM （ASA ），∴CF=BM ，在△ACF 和△CBM 中，，∴△ACF ≌△CBM （SAS ），∴∠CAF=∠BCM，∵∠BCM +∠ECM =∠CAF+∠EAF=45°，∴∠ECM =∠EAF，∵∠AFE=∠CFG，且∠AFE+∠EAF=90°，∴∠CFG+∠ECM=90°，即∠CGF=90°，∴CM⊥AD.【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线，寻找合适的全等三角形是解题关键，有一定难度．5．见解析【解析】【分析】可知EF是△ABC的中位线，根据三角形中位线的性质，可得EF∥AB，EF=12AB，又由AD=12AB，即可得AD=EF，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形AEFD是平行四边形．DE=AF，由在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E边BC的中点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可求得AF=12BC．所以DE=2BC.【详解】证明：取BC的中点F，连EF，AF，∵点E、F分别为边BC，AC的中点，即EF是△ABC的中位线，∴EF∥AB，EF=12 AB，即EF∥AD，∵AD=12 AB，∴EF=AD，∴四边形AEFD是平行四边形；∴AF=DE.∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E边BC的中点，∴AF=12 BC，∵四边形AFED是平行四边形，∴BC=2DE.【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线的性质、直角三角形斜边上的中线的性质.灵活运用中点的有关性质解题是解题关键.6．见解析【解析】【分析】取CE的中点F，连接AF、BF，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AF=EF=BF=CF，根据三角形的内角和等于180°求出∠ACE+∠BEC=45°，然后求出∠AEC+∠BCE=135°，再根据等腰三角形两底角相等求出∠BFC+∠AFE=90°，然后求出∠AFB=90°，从而判断出△ABF是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的2可得AF=2AB，然后证明即可．【详解】证明：如图，取CE的中点F，连接AF、BF，∵CB⊥DE，EA⊥CD，∴AF=EF=BF=CF=12 CE，在△CDE中，∵∠CDE=135°，∴∠ACE+∠BEC=180°-135°=45°，∴∠AEC+∠BCE=（90°-∠ACE）+（90°-∠BEC）=180°-45°=135°，∴∠BFC+∠AFE=（180°-2∠BCE）+（180°-2∠AEC）=360°-2（∠AEC+∠BCE）=360°-2×135°=90°，∴∠AFB=180°-（∠BCF+∠AFE）=180°-90°=90°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴AF=22AB，∴CE=2AF=2×22AB=2AB，即CE=2AB．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟记各性质是解题的关键，作出图形更形象直观．7．30【解析】【分析】连接DE，根据直角三角形的性质得到DE=12AB=BE，CE=12AB=BE，根据三角形的外角性质计算即可；【详解】证明：连接DE，∵∠ACB=∠ADB=90°，E是AB的中点，∴DE=12AB =BE ，CE =12AB =BE ， ∴ED =EC ，∠EDB =∠EBD ，∠ECB =∠EBC ，∴∠DEC =∠AED +∠AEC =2∠DBC =120°，∵ED =EC ，∴∠DCE =12×（180°-120°）=30°； 【点睛】本题主要考查直角三角形和等腰三角形的性质，遇到直角三角形斜边上的中点时，往往连结斜边上的中线.利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得DE =CE 是解题的关键． 8．见解析【解析】【分析】延长BM 交CE 于N ，易得DBM ENM ∆∆≌，BM =MN ，由直角三角形斜边中线性质可得CM =MN =BM .【详解】证明：延长BM 交CE 于N ，∵90DBC BCE ∠=∠=︒，∴CE ∥DB ，∴∠D =∠E ，在DBM ∆和ENM ∆中D=E DM=EMDMB=EMN ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩∴DBM ENM ∆∆≌，BM MN =∴，∵∠BCE =90°，12CM BN BM ∴==． 【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是正确作出辅助线．构造直角三角形.9．45°【解析】【分析】分别过点A 、E 分别作于AF BD ⊥于F ，EG BD ⊥于G ，由等腰直角三角形的性质可得AF BF CF ==，由同角的余角相等得FAD FDE ∠=∠，结合已知可证ADF DEG ∆∆≌ ，由全等三角形的对应边相等得DF=EG ，AF=DG ，则EG FD FG GD FG AF FG BF BG ==+=+=+= ，即△BEG 为等腰直角三角形,即可得DBE ∠的度数．【详解】解：分别过点A 、E 分别作于AF BD ⊥于F ，EG BD ⊥于G ，则AF BF CF ==，90FAD ADF ADF FDE ∠+∠=∠+∠=︒，∴FAD FDE ∠=∠，AD DE ⊥ AD DE =，ADF DEG ∴∆∆≌，DF EG ∴=，AF DG =，EG FD FG GD FG AF FG BF BG ∴==+=+=+=，∴△BEG 为等腰直角三角形,45DBE BEG ∴∠=∠=︒．故答案为45°. 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，本题中作辅助线证出△BEG 为等腰直角三角形是解题的关键．10．详见解析【解析】【分析】连结AD ，根据等腰直角三角形的性质得AD ⊥BC ，AD=BD ，由同角的余角相等得B FAD ∠=∠ ，证明BDE ADF ∆∆≌ ，即可得出结论．【详解】证明：连结AD ，AB AC =，90BAC ∠=︒，BD DC = AD BC ∴⊥AD BD ∴=90B BAD BAD FAD ∠+∠=∠+∠=︒B FAD ∴∠=∠BDE BDA ADE ∠=∠+∠ FDA FDE ADE ∠=∠+∠ 90BDA FDE ∠=∠=︒ BDE FDA ∴∠=∠BDE ADF ∴∆∆≌BE AF ∴=.【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．11．详见解析【解析】【分析】连结AD ，过点D 作DF DE ⊥交BG 于点F ，由等腰直角三角形的性质可得AD BD =，AD ⊥BC ，由等角的余角相等得ADE BDF ∠=∠，DAE DBF ∠=∠，根据ASA 可证出ADE BDF ∆∆≌ ，由全等三角形的对应边相等得AE=BF ，DE=DF ，则△EDF 为等腰直角三角形，即可得BE 2EF BF BE AE DE ∴=-=-=.【详解】 证明：连结AD ，过点D 作DF DE ⊥交BG 于点F ，∵,90,AB AC BAC D =∠=为BC 的中点，∴AD BD =，AD ⊥BC ，∵DF DE ⊥，∠BAC=90°，AE BG ⊥∴ADE BDF ∠=∠，DAE DBF ∠=∠， ∴ADE BDF ∆∆≌（ASA ）∴AE=BF ，DE=DF ，∵DF DE ⊥∴2EF DE =∴BE EF 2BE AE BF DE -=-==. 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，本题中求证ADE BDF ∆∆≌是解题的关键．12．见解析【解析】【分析】连接OD.因为∠BDC=∠BEC=90°，O 为BC 的中点；所以有OE OD =OB=OC ，进而∠COD=2∠CBD ，∠BOE=2∠BCE ；又因为∠BAC=120°；所以有∠CBD+∠BCE=60°，∠COD+∠BOE=120°；所以∠DOE=60°；从而证得△DOE 是等边三角形，所以DE=OE.【详解】连OD ，∵O为BC的中点，∵OE OD=OB=OC，∴∠COD=2∠CBD,∠BOE=2∠BCE.∵∠BAC=120°，∴∠CBD+∠BCE=60°，∴∠COD+∠BOE=120°，∴∠DOE=60°，∴△DOE是等边三角形，∴DE=OE.【点睛】此题考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质及三角形外角的性质，解答此题的关键是要掌握分析题中的各种信息条件，找到相应的知识来解决问题，然后根据以往做题经验找出解决问题的方法.13．DH51【解析】【分析】根据正方形性质可得AB=DA，∠BAD=∠ADF=90°，又根据AE=DF，利用SAS可证得△ABE≌△DAF，于是∠ABE=∠DAF；由于∠DAF+∠BAH=∠ABE+∠BAH=90°，从而∠AHB=90°，取AB的中点O，连接OH、OD，则OH=12AB=1，在Rt△AOD中，根据勾股定理计算出OD的值；根据三角形的三边关系，可得OH+DH＞OD，于是当O、D、H三点共线时，DH的长度最小为OD-OH，据此解答.【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=DA，∠BAD=∠ADF=90°，又∵AE=DF，∴∠ABE=∠DAF.∴∠DAF+∠BAH=∠ABE+∠BAH=90°，∴∠AHB=90°，取AB的中点O，连OH、OD，∴112OH AB==，225OD OA AD=+=，在OHD∆中有DH OD OH>-，即51DH>-.故O、H、D三点共线时DH最小，∴DH最小值为51-.【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理及三角形三条边的关系，确定出点H的位置是解答本题的关键.14．见解析【解析】【分析】取AC中点F，连接EF、DF，则EF为△ABC的中位线，结合条件可得到∠FEA=2∠A，结合直角三角形的性质可得到∠FDE=∠EFD，得到DE=EF，可得出结论．【详解】证明：取AC的中点F，连EF，DF，则EF为中位线，∴∠FEA=∠B=2∠A ，在直角三角形ACD 中，F 是斜边BC 的中点，∴DF=CF=AF ，∴∠FDA=∠A ，即有2∠FDA=∠FEA ，∵∠FEA=∠FDA+∠DFE ，∴∠DFE=∠FDA ，∴DE=EF ，∴BC=2DE ．【点睛】本题考查了三角形中位线的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，三角形外角的性质，等腰三角形的判定等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键.15．33CE CD = 【解析】【分析】根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，可得出DE=CE=BE ，根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质可求出30DCE ∠=︒，过E 作EM CD ⊥于M ，设1EM =，可求出CE 、CM 、CD 的值.【详解】证明：连结DE ，在Rt △ACB 和Rt △ADB 中，∵E 是AB 的中点，∴12DE AB =，12CE AB =， ∴DE CE EB ==，∴2DEA DBE ∠=∠，2AEC EBC ∠=∠，∴2120DEC DBC ∠=∠=︒，30DCE ∠=︒.过E 作EM CD ⊥于M ，设1EM =，则2CE =，CM =，∴CD =，∴CE CD =【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键.16．（1）证明见解析；（2）∠EBC=30°；（3）BE 2＝AP 2+PC 2，理由见解析.【解析】【分析】（1）利用正方形的性质得出△CBP ≌△CDP ，得出BP ＝DP ，利用四边形的内角和，得出EP ＝DP ，从而得出结论；（2）取BE 的中点F ，得出△CEF 是等边三角形，利用撒尿行内角和定理，得出∠EPC ＝30°； （3）过点P 作PC /⊥AC ，得出△BPC ≌△EPC /, 近而得出四边形ABEC /为平行四边形，在Rt △APC /中，利用勾股定理得出结论即可.【详解】（1）∵ 四边形ABCD 是正方形，∴CB ＝CD ，AC 平分∠BCD ， 即 ∠BCP ＝∠DCP ， 又CP 是公共边 所以△CBP ≌△CDP ∴ BP ＝DP , ∠PBC ＝∠PDC∵ ∠BPE －∠BCE ＝90°，∠BPE +∠BCE +∠PBC +∠PEC ＝360°∴∠PBC +∠PEC ＝90°∵ ∠PED +∠PEC ＝90°∴∠PED ＝∠PBC ∴∠PED ＝∠PDC ∴EP ＝DP ,∴ BP ＝DP ．（2）取BE 的中点F ，连CF ，则CE ＝CF －EF ＝3, ∴△CEF 是等边三角形，则∠BEC ＝60°，∵∠BCE ＝90°，∴∠EBC +∠BEC ＝90°, ∴∠EBC ＝30°, ∵∠EBC +∠BCP ＝∠PEB +∠EPC , ∠PEB ＝∠BCP ＝45°∴∠EBC ＝∠EPC ＝30°﹒（3）过点P作PC/⊥AC，交CD的延长线于C/,得△BPC≌△EPC/, CP＝C/P,BC＝EC/, ∵AB＝BC，∴AB＝EC/∵AB∥EC/∴四边形ABEC/为平行四边形，∴AC/＝BE,∵在Rt△APC/中，C/A2＝AP2+C/P2∴BE2＝AP2+PC2﹒。
直角三角形的性质应用(弦图)(人教版)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：古人采用拼图的方法证明勾股定理，比较著名的是赵爽弦图和毕达哥拉斯弦图，补全下列弦图．问题2：根据特殊直角三角形的三边关系，求出下列直角三角形的斜边长，并记忆背诵．问题3：如图，在直线上依次摆放着七个正方形．已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，3，5，正放置的四个正方形的面积分别为则______________.以下是问题及答案，请对比参考:问题1：古人采用拼图的方法证明勾股定理，比较著名的是赵爽弦图和毕达哥拉斯弦图，补全下列弦图．答：问题2：根据特殊直角三角形的三边关系，求出下列直角三角形的斜边长，并记忆背诵．答：问题3：如图，在直线上依次摆放着七个正方形．已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，3，5，正放置的四个正方形的面积分别为则.答：直角三角形的性质应用（弦图）（人教版）一、单选题(共7道，每道14分)1.如图所示是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为64，小正方形的面积为9，若用x，y表示直角三角形的两直角边，下列四个说法：①，②，③，④．其中正确的是( )A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：弦图2.如图，过正方形ABCD的顶点B作直线，分别过点A，C作直线的垂线，垂足分别为E，F．若AE=2，CF=3，则AB的长为( )A.5B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：弦图3.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，以斜边AC为边作正方形ACDE，连接BE，则BE的长是( )A.10B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：弦图4.如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形和一个小正方形，若直角三角形较长的直角边为4，小正方形的面积为9，现向大正方形内随机撒一枚幸运小星星，则小星星落在小正方形内的概率为( )A. B. C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：弦图5.勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是将图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为( )A.90B.100C.110D.121答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：等腰直角三角形的性质6.如图，四边形ABCD为正方形，O为AC，BD的交点，△DCE为直角三角形，∠CED=90°，∠DCE=30°，若，则正方形ABCD的面积为( )A.5B.4C.3D.2答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：等腰直角三角形的性质7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=10，CD是射线，∠BCF=60°，点D在AB上，AF，BE分别垂直于CD（或延长线）于F，E，则EF的长为( )A.5B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：等腰直角三角形的性质第11页共11页。
直角三角形的性质和判定（教案练习）
1.2.2直角三角形的性质与判定练习题一、选择题1.一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5米，消防车的云梯最大升长为13米，则云梯可以到达该建筑物的最大高度是( )A.12米B.13米C.14米D.15米2.如图，小明在广场上先向东走10米，又向南走40米，再向西走20米，又向南走40米，再向东走70米.则小明到达的终止点与原出发点的距离是( )A.90米B.100米C.120米D.150米3.在长、宽、高分别为12 cm、4 cm、3 cm的木箱中，放一根木棒，能放进去的木棒的最大长度为( )A.5 cmB.12 cmC.13 cmD.153 cm4.如图，一个高1.5米，宽3.6米的大门，需要在相对的顶点间用一条木板加固，则这条木板的长度是( )A.3.8米B.3.9米C.4米D.4.4米5.如图，是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（）A．5≤a≤12 B．5≤a≤13 C．12≤a≤13 D．12≤a≤156.为迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小刘搬来一架高2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米高的墙上，则梯脚与墙角距离应为（）A．0.7米B．0.8米C．0.9米D．1.0米7.一根旗杆在离地面12米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部5米处．旗杆折断之前有米．A．23米B．15米C．25米D．22米8.如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面3尺．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为6尺，则水是（）尺．A．3.5 B．4 C．4.5 D．5二、填空题9.如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B200 m，结果他在水中实际游了520 m，该河流的宽度为__________m.10.如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm，若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为________cm.11.如图，王大伯家屋后有一块长12m，宽8m的矩形空地，他在以长边BC为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴A处的一棵树上，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长则不超过米。
湘教版数学八年级下册1.1 第2课时 含30°角的直角三角形的性质及其应用 练习
第2课时 含30°角的直角三角形的性质及其应用基础题知识点1 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 1．如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，∠A ＝60°，AC ＝10，则AB 的长度为(D)A ．2B ．3C ．4D ．52．已知△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，最短边BC ＝4 cm ，则最长边AB 的长是(D)A ．5 cmB ．6 cmC ．7 cmD ．8 cm3．(邵阳中考)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 为AB 的中点，DE ⊥AC 于点E ，∠A ＝30°，AB ＝8，则DE 的长度是2.4．如图，在Rt △ADB 中，∠ADB ＝90°，∠A ＝30°，F 是AB 的中点，FD ＝3，则BD ＝3．5．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，其周长为3＋33，AC ＝3，求BC 的长．解：在Rt △ABC 中， ∠C ＝90°，∠A ＝30°， ∴AB ＝2BC.∵AB ＋BC ＋AC ＝33＋3，AC ＝3，∴2BC ＋BC ＋3＝33＋3，即3BC ＝3 3. ∴BC ＝ 3.知识点2 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30° 6．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝1，AB ＝2，∠A 的度数为(A)A ．30°B ．45°C ．60°D ．75° 7．在△ABC 中，如果∠A ＋∠B ＝∠C ，且AC ＝12AB ，那么∠A ＝60°．8．如图，已知∠1＝∠2，AD ＝BD ＝4，CE ⊥AD ，2CE ＝AC ，求CD 的长．解：∵CE ⊥AD ， ∴∠AEC ＝90°. 在Rt △AEC 中， ∵2CE ＝AC ，∴∠1＝∠2＝30°.∵AD ＝BD ＝4， ∴∠B ＝∠2＝30°.∴∠ACD ＝180°－30°×3＝90°. ∴CD ＝12AD ＝2.知识点3 含30°锐角的直角三角形性质的应用9．如图，一棵树在一次强台风中于离地面4米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵树在折断前的高度为12米．10．如图，已知某船于上午8点在A 处观测小岛C 在北偏东60°方向上．该船以每小时40海里的速度向东航行到B 处，此时测得小岛C 在北偏东30°方向上．船以原速度再继续向东航行2小时到达小岛C 的正南方D 点．求船从A 到D 一共走了多少海里？解：由题意知∠CAD ＝30°，∠CBD ＝60°，∠BDC ＝90°， ∴∠ACB ＝∠CBD －∠CAD ＝30°. ∴AB ＝BC.在Rt △BCD 中，∠CBD ＝60°， ∴∠BCD ＝30°. ∴AB ＝BC ＝2BD.∵船从B 到D 走了2小时，船速为每小时40海里， ∴BD ＝80海里．∴AB ＝BC ＝160海里．∴AD ＝160＋80＝240(海里)．答：船从A 到D 一共走了240海里．中档题11．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，∠B ＝30°，点P 是BC 边上的动点，则AP 的长不可能是(D)A ．3.5B ．4.2C ．5.8D ．712．等腰三角形的顶角是一个底角的4倍，如果腰长为10 cm ，那么底边上的高为(B)A ．10 cmB ．5 cmC ．6 cmD ．8 cm13．(湖北中考)如图，在△ABC 中，∠B ＝30°，BC 的垂直平分线交AB 于点E ，垂足为D ，CE 平分∠ACB.若BE ＝2，则AE 的长为(B)A. 3B ．1C. 2D ．214．等腰三角形一腰上的高与腰之比为1∶2，则等腰三角形顶角的度数为(C)A ．30°B ．60°或120°。
直角三角形的性质练习题
直角三角形的性质练习题直角三角形的性质练习题直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角度为90度。
它具有一些独特的性质和特点，我们可以通过练习题来加深对这些性质的理解和应用。
下面是一些直角三角形的性质练习题，希望能够帮助你更好地掌握这一知识点。
1. 在一个直角三角形ABC中，角A为90度，边AC的长度为5，边BC的长度为12。
求边AB的长度。
解析：根据勾股定理，直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方。
设边AB的长度为x，则有x^2 = 5^2 + 12^2，即x^2 = 25 + 144，解得x =√169，即x = 13。
所以边AB的长度为13。
2. 在一个直角三角形DEF中，角D为90度，边DE的长度为9，边DF的长度为15。
求角E的度数。
解析：根据正弦定理，对于一个三角形，任意两边的比值等于其对应角的正弦值的比值。
设角E的度数为x，则有sin(x) = 9/15，即sin(x) = 3/5。
查表可得sin(x) = 0.6，所以x = arcsin(0.6)。
计算得x约等于36.87度。
所以角E的度数约为36.87度。
3. 在一个直角三角形GHI中，角G为90度，边GI的长度为10，角H的度数为30度。
求边GH的长度。
解析：根据正弦定理，对于一个三角形，任意两边的比值等于其对应角的正弦值的比值。
设边GH的长度为x，则有sin(30) = x/10，即1/2 = x/10。
解得x = 5。
所以边GH的长度为5。
4. 在一个直角三角形JKL中，角J为90度，边JK的长度为8，边KL的长度为6。
求角K的度数。
解析：根据余弦定理，对于一个三角形，任意一边的平方等于其他两边的平方和减去两倍的这两边的长度乘积与这两边夹角的余弦值的乘积。
设角K的度数为x，则有8^2 = 6^2 + KL^2 - 2*6*KL*cos(x)。
化简得64 = 36 + KL^2 -12KL*cos(x)。
整理得KL^2 - 12KL*cos(x) = 28。
1.2.1 直角三角形的性质与判定同步练习(答案版)
1.2.1 直角三角形的性质与判定1．若△ABC的三边长a，b，c满足(a－b)(a2＋b2－c2)＝0，则△ABC是(D) A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形2．下列说法中错误的是(D)A．任何一个命题都有逆命题B．一个真命题的逆命题可能是真命题C．一个定理不一定有逆定理D．任何一个定理都没有逆定理3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，如果∠A＝50°，则∠DCB等于(A)A．50°B．45°C．40°D．25°4．【2020·绍兴】如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，将BC绕点B顺时针旋转θ(0°＜θ＜90°)，得到BP，连接CP，过点A作AH ⊥CP交CP的延长线于点H，连接AP，则∠PAH的度数(C)A．随着θ的增大而增大B．随着θ的增大而减小C．不变D．随着θ的增大，先增大后减小【点拨】由旋转的性质可得BP＝BC，又BA＝BC，则BC＝BP＝BA，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求∠BPC＋∠BP A＝135°＝∠CP A，由三角形的外角的性质可求∠P AH＝135°－90°＝45°，故选C.【答案】C5．【2020·威海】七巧板是大家熟悉的一种益智玩具．用七巧板能拼出许多有趣的图案．小李将一块等腰直角三角形硬纸板(如图①)切割七块，正好制成一副七巧板(如图②)．已知AB＝40 cm，则图中阴影部分的面积为(C)A．25 cm2 B.1003cm2C．50 cm2D．75 cm26．【2020·河北】如图，从笔直的公路l旁一点P出发，向西走6 km到达l；从点P出发向北走6 km也到达l.下列说法错误的是(A)A．从点P向北偏西45°走3 km到达lB．公路l的走向是南偏西45°C．公路l的走向是北偏东45°D．从点P向北走3 km后，再向西走3 km到达l7.【中考·黄冈】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD＝2，CE＝5，则CD＝(C)A．2 B．3 C．4 D．23【点拨】延长CE至F，使EF＝CE，连接AF，可得△CEB≌△FEA，∴∠B＝∠FAE，BC＝AF.∵∠ACB＝90°，∴∠B＋∠BAC＝90°.∴∠FAE＋∠BAC＝90°，即∠CAF＝90°.可得△ABC≌△CFA.∴AB＝CF.∵AE＝12AB，CE＝12CF，∴AE＝CE＝5.∵AD＝2，∴DE＝3.在Rt△CDE中，CD＝CE2－DE2＝4.【答案】C8．如图，在△ABC中，AC＝8，∠ABC＝60°，∠C＝45°，AD⊥BC，垂足为D，∠ABC的平分线交AD于点E，则AE的长为(C)A．43 2 B．2 2C．83 2 D．32【点拨】∵AC＝8，∠C＝45°，AD⊥BC，∴AD＝CD＝4 2.又∵∠ABC＝60°，BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠DBE＝∠DAB＝30°，∴BE＝AE＝2DE，∴AE＝23AD＝823.【答案】C9．【中考·东营】如图，圆柱的高AB＝3，底面直径BC＝3，现有一只蚂蚁想从A处沿圆柱表面爬到C处捕食，则它爬行的最短距离是(C)A．31＋πB．32 C.34＋π22D．31＋π210.【2020·重庆A】如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC相交于点G，连接BE交AD 于点F.若DG＝GE，AF＝3，BF＝2，△ADG的面积为2，则点F到BC的距离为(B)A.55 B.255 C.455 D.433点拨】由题意知AD 垂直平分BE ，先求出△ABD 的面积，再根据三角形的面积公式求出DF ，然后根据勾股定理求出BD ，设点F 到BD 的距离为h ，根据12BD ·h＝12BF ·DF 即可解决问题．【答案】B11．【中考·包头】已知下列命题：①若a b >1，则a >b ；②若a ＋b ＝0，则|a |＝|b |；③等边三角形的三个内角都相等；④底角相等的两个等腰三角形全等．其中原命题与逆命题均为真命题的有( A )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．【中考·黔西南州】一直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为( D )A ．5 B. 5 C.7 D ．5或7【点拨】因为已知的两条边未指明是直角边还是斜边，所以需对两条边分类讨论．当3和4为直角边长时，则第三边为斜边，由勾股定理得第三边长为5；当3为直角边长，4为斜边长时，第三边为直角边，由勾股定理得第三边长为7.故选D.本题易因没有分类讨论，直接将3和4作为直角边长去求斜边的长而出错．二．填空题13.命题“全等三角形对应角相等”的逆命题是___“对应角相等的三角形是全等三角形”,它是一个____假___(选填“真”或“假”)命题.14．在直角三角形中，一个锐角比另外一个锐角的3倍还多10°，则这两个角分别为___20°和70°_______．15．如图，在△ABC中，CE平分△ACB，CF平分△ACD，且EF△BC交AC于M，若CM＝5，则CE2＋CF2＝_100_______．16.(教材P18T5变式)如图，一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A 点沿纸箱表面爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是___10_____．17．如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B 落在CD边上的点B′处，点A的对应点为点A′，且B′C＝3，CN的长=__4____解析：设CN＝x，则B′N＝BN＝9－x.在Rt△B′CN中，根据勾股定理，得B′N2＝CN2＋B′C2，即(9－x)2＝x2＋32，解得x＝4.故CN的长为4.三．计算证明题18．如图，在△ABC中，∠B＞∠A，CD是∠ACB的平分线，CE是AB边上的高．(1)若∠A＝40°，∠B＝72°，求∠DCE的度数；(2)试写出∠DCE与∠A，∠B之间的数量关系，并证明．解：(1)∵∠A＝40°，∠B＝72°，∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝68°.∵CD是∠ACB的平分线，∴∠BCD＝12∠ACB＝34°.又∵CE⊥AB，∠B＝72°，∴∠BCE＝18°.∴∠DCE＝∠BCD－∠BCE＝16°.（2）：∠DCE＝12(∠B－∠A)．(2)证明：∠DCE＝90°－∠CDE＝90°－(∠A＋∠ACD)＝90°－⎝ ⎛⎭⎪⎫∠A ＋12∠ACB ＝90°－[∠A ＋12×(180°－∠A －∠B )]＝90°－(∠A ＋90°－12∠A －12∠B )＝12(∠B －∠A )19．【中考·内蒙古】如图，已知△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠ECD ＝90°，D 为AB 边上一点．求证：(1)△ACE ≌△BCD ； (2)2CD2＝AD2＋DB2.（1）证明：∵△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，且∠ACB ＝∠DCE ＝90°，∴AC ＝BC ，CD ＝CE ，∠ECD －∠ACD ＝∠ACB －∠ACD .∴∠ACE ＝∠BCD .在△ACE 和△BCD 中，⎩⎨⎧AC ＝BC ，∠ACE ＝∠BCD ，CE ＝CD ，∴△ACE ≌△BCD (SAS)．（2）解：∵△ACB 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，∴∠B ＝∠BAC ＝45°.∵△ACE ≌△BCD ，∴AE ＝BD ，∠CAE ＝∠B ＝45°.∴∠DAE ＝∠CAE ＋∠BAC ＝45°＋45°＝90°.∴AD2＋AE2＝DE2.又∵AE ＝DB ，DE2＝CD2＋CE2＝2CD2，∴2CD2＝AD2＋DB2.20．(中考·柳州)如图，在△ABC 中，D 为AC 边的中点，且DB ⊥BC ，BC ＝4，CD ＝5.求：(1)DB 的长；(2)△ABC 中BC 边上的高．图1 图2解：（1）∵DB ⊥BC ，BC ＝4，CD ＝5，∴DB ＝52－42＝3.（2）：如图2，延长BD 至点E ，使DE ＝BD ，连接AE ，∴BE ＝2BD ＝6.∵D 是AC 的中点，∴AD ＝DC . 在△BDC 和△EDA 中，⎩⎨⎧CD ＝AD ，∠CDB ＝∠ADE ，BD ＝ED ，∴△BDC ≌△EDA (SAS)．∴∠CAE ＝∠BCD .∴AE ∥BC .∵DB ⊥BC ，∴BE ⊥AE .∴BE的长度等于△ABC中BC边上的高．∴△ABC中BC边上的高为6.21．【2019·枣庄】在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于点D.(1)如图①，点M，N分别在AD，AB上，且∠BMN＝90°，当∠AMN＝30°，AB＝2时，求线段AM的长；(2)如图②，点E，F分别在AB，AC上，且∠EDF＝90°，求证：BE＝AF；(3)如图③，点M在AD的延长线上，点N在AC上，且∠BMN＝90°，求证：AB＋AN＝2AM.【点拨】通过构造全等三角形更容易找出线段间的数量关系．解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∠ABC＝∠ACB＝45°，∠BAD＝∠CAD＝45°.∴AD＝BD＝CD.∵AB＝2，∴AD＝BD＝CD＝ 2.∵∠AMN＝30°，∠BMN＝90°，∴∠BMD＝180°－90°－30°＝60°.∴∠MBD＝30°.∴BM＝2DM.由勾股定理得BM2－DM2＝BD2，即(2DM)2－DM2＝(2)2，解得DM ＝63.∴AM ＝AD －DM ＝2－63.证明：（2）∵AD ⊥BC ，∠EDF ＝90°，∴∠BDE ＋∠ADE ＝90°，∠ADF ＋∠ADE ＝90°.∴∠BDE ＝∠ADF .由(1)知∠B ＝∠DAF ，BD ＝AD .在△BDE 和△ADF 中，⎩⎨⎧∠B ＝∠DAF ，BD ＝AD ，∠BDE ＝∠ADF ，∴△BDE ≌△ADF (ASA)．∴BE ＝AF .证明：如上图，过点M 作ME ∥BC ，交AB 的延长线于点E ，∵AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝90°.∵ME ∥BC ，∴∠AME ＝∠ADB ＝90°.由(1)知∠EAM ＝∠NAM ＝45°，∴∠E ＝∠EAM ＝∠NAM ＝45°.∴ME ＝MA .∴AE ＝2AM .∵∠AME ＝90°，∠BMN ＝90°，∴∠BME ＋∠AMB ＝90°，∠NMA ＋∠AMB ＝90°.∴∠BME ＝∠NMA .在△BME 和△NMA 中，⎩⎨⎧∠E ＝∠NAM ，ME ＝MA ，∠BME ＝∠NMA ，∴△BME ≌△NMA (ASA)．∴BE ＝AN .∴AB ＋AN ＝AB ＋BE ＝AE ＝2AM .22．【2020·苏州】问题1：如图①，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝90°，P 是BC 上一点，P A ＝PD ，∠APD ＝90°.求证：AB ＋CD ＝BC .问题2：如图②，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝45°，P 是BC 上一点，P A ＝PD ，∠APD ＝90°.求AB ＋CD BC 的值．【思路点拨】易证△BAP ≌△CPD ，可得BP ＝CD ，AB ＝PC ，可得结论；证明：（1）∵∠B ＝∠APD ＝90°，∴∠BAP ＋∠APB ＝90°，∠APB ＋∠DPC ＝90°，∴∠BAP ＝∠DPC .又∵P A ＝PD ，∠B ＝∠C ，∴△BAP ≌△CPD ，∴BP ＝CD ，AB ＝PC ，∴BC ＝BP ＋PC ＝AB ＋CD . 【思路点拨】过点A 作AE ⊥BC 于E ，过点D 作DF ⊥BC 于F ，由(1)知EF ＝AE ＋DF ，由等腰直角三角形性质可求解．（2）解：如上图，过点A 作AE ⊥BC 于E ，过点D 作DF ⊥BC 于F .由(1)可知，EF ＝AE ＋DF ，∵∠B ＝∠C ＝45°，AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，∴∠B ＝∠BAE ＝45°，∠C ＝∠CDF ＝45°，∴BE ＝AE ，CF ＝DF ，AB ＝2AE ，CD ＝2DF ，∴BC ＝BE ＋EF ＋CF ＝2(AE ＋DF )，∴AB ＋CD BC ＝2（AE ＋DF ）2（AE ＋DF ）＝22.。
直角三角形性质应用作业及答案
直角三角形性质应用（作业） 1. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AB 的垂直平分线DE交BC 的延长线于F ，若∠F =30°，DE =1，则EF 的长是（ ） A ．3 B ．2 C ．3 D ．12. 如图，在△ABC 中，CF ⊥AB 于F ，BE ⊥AC 于E ，M 为BC的中点，EF =7，BC =10，则△EFM 的周长是（ ） A ．17 B ．21 C ．24 D ．27EFDBCACMBEFA第1题图 第2题图3. 如图，△ABC 为等边三角形，D 为BC 边上一点，DE ⊥AB于点E ，DF ⊥AC 于点F ，DE +DF =3，则△ABC 的周长为（ ）A ． 6B ．63C ．8D ．434. 如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BD 是∠ABC 的平分线，CD ＝5cm ，则AB ＝_________．DF E CBA第3题图 第4题图ABCD5. 将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB =14cm ，则阴影部分的面积是________cm 2．6. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＞AD ，AB =4，AN 平分∠DAB ，DM ⊥AN ，垂足为M ，CN ⊥AN ，垂足为N ，则DM +CN =______．E N MDCBA第5题图 第6题图7. 如图，AB =AC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，∠BAC =120°，BC =6cm ，则DE +DF =_______． 8. 如图所示，△ABC 中，CE 平分∠ACB 交AB 于E ，过E 作EF ∥BC 交∠ACD 的平分线于F ，EF 交AC 于M ，若CM =5，则CE 2+CF 2=__________．FED CBA AM F EDCB第7题图 第8题图 9. 如图，在四边形ABCD 中，AB =8，BC =1，∠DAB =30°，∠ABC =60°，四边形ABCD 的面积为53，求AD 的长．DCBAAC EDBF 30°45°10. 已知等边△ABC 和点P ，设点P 到△ABC 三边AB 、AC 、BC的距离分别是h 1、h 2、h 3，△ABC 的高为h ，若点P 在边BC 上（图1），此时h 3=0，可得结论h 1+h 2+h 3=h ，请你探索以下问题：当点P 在△ABC 内（图2）和点P 在△ABC 外（图3）这两种情况时，h 1、h 2、h 3与h 之间有怎样的关系？请写出你的猜想，并简要说明理由．DF D PE C BAP EFCBAAD E CPB图1 图2 图3【参考答案】1. B2. A3. B4. 103cm5. 4926. 227. 38. 1009. 2310. （图2） h 1+h 2+h 3=h ，（图3）h 1+h 2 h 3=h。
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E N
M D
C
B
A 直角三角形性质和应用练习
班级 姓名 一、填空题 1、“内错角相等，两直线平行”的逆命题： ________. 2、“直角三角形两锐角互余” 逆定律(填:“有”或“没有”)。
3、在Rt ΔABC 中，∠A=30°则∠B=60°最直接的理由是 .
4、 在Rt Δ中，斜边长为6cm ，则斜边上的中线为 cm.
5、在Rt △ABC 中,∠C=90度,∠B=15度,则∠A=______度
6、在Rt △ABC 中，∠C=90º，∠A=30º，AB=10cm ，则BC=_____cm 。
7、如图，在△ABC 中，AB=AC =10，CE=4，MN 是AB 的垂直平分线， BE =
8、如图，已知Rt △ABC 中，∠B AC=90º ，AD 是上的中线,AB=12,AC=5
那么AD = ，
9、如图：OC 是∠AOB 的平分线，点P 是OC 上的一点，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，
垂足分别为点D 、E ，若PD+PE =6，则PE = .
第7题 第8题 第9题
10、到一条线段二端点距离相等的点的轨迹是 ____.
11、在Rt △ABC 中，∠C=90°若a=5，b=12，则c=__________
12、已知A(2,-3)和B(4,2)二点，那么AB = ___________
二、选择题
1、下列定理中，没有逆定理的是 ……………………………… （ ） A 、两直线平行，同旁内角互补。
B 、等边对等角。
C 、全等三角形对应角相等。
D 、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
D
2
1
P C
A
B
E
O
D
C
B
A
E N M
D
C B A 2、如图，∠B C A =90，C
D ⊥A B ，则图中与∠A 互余的角
有（ ）个
A ．1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个
3、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 、CE ，
分别是斜边AB 上的高与中线，CF 是∠ACB 的平分线。
则∠1与∠2的关系是（ ）
A ．∠1<∠2
B ．∠1=∠2;
C ．∠1>∠2
D ．不能确定
4、在直角三角形ABC 中，若∠C=90°，D 是BC 边上的 一点，且AD=2CD ， 则∠ADB 的度数是（ ）
A ．100°
B ．110°
C ．120°
D ．150°
5、三角形ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线MN 交AB ，
AC 于D,E ，若∠A=400，则∠EBC=（ ）。
A:150 B:200 C:300 D:无法判断。
6、已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）
A 、25
B 、14
C 、7
D 、7或25
三、计算和证明
1、已知：CD 垂直平分线段AB ，E 是CD 上一点，分别联结CA 、CB 、EA 、EB . 求证：∠CAE =∠CBE .
3、已知:如图,在△ABC 中,AB = AC , 点D 在BC 上 , ∠DAC = 90°, AD = 2
1
CD.
求：∠BAC 的度数
E C B D A A D
5、如图，在△ABC 中，∠B=∠C ，D 、E 分别是BC 、AC 的中点，AB=6，求DE 的长。
6、已知：∠ABC=∠ADC=90度，E 是AC 中点。
求证：（1）ED=EB （2）图中有哪些等腰三角形？
7、如图，铁路上A ，B 两点相距25km ，C ，D 为两村庄，DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，已知DA=15km ，CB=10km ，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，使得C ，D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在离A 站多少km 处？
A
D
E
B
C
第7题图。