直角三角形性质应用(讲义)

直角三角形性质应用
➢ 课前预习
1. 根据图中给出的边长及角度信息，在横线上补全下列直角三角形的边长．
1
1
45°
30°
2
30°
45°
23
2. 下列是不完整的弦图结构，请补全弦图．
➢ 知识点睛
直角三角形性质梳理：
1. 从边与角的角度来考虑
①直角三角形两锐角_______，且任一直角边长小于_______．
②勾股定理：直角三角形两直角边的______等于斜边的____； 勾股定理逆定理：如果三角形两边的______等于__________，那么这个三角形是_______三角形．
2. 添加一些特殊的元素（中线或30°角）
①直角三角形斜边上的中线等于______________； 如果一个三角形____________________________，那么这个三角形是直角三角形．
②30°角所对的直角边是_____________________；
在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这 条直角边所对的锐角等于_____________．
3. 特殊的直角三角形
A
C B 45°
1
130°
2
3
4
2
1
1
C
A
B
C
A B C
A
4. 垂直（多个）
①等面积法
a 2+
b 2=c
2
C
B
A
C B A
β
α
C
A A B
C
A
B
C C
B
A
2m
m
A
B
C
30°
ab=ch
D h C B
A
c b
a
h h=h 1+h 2+h 3
h 3
h 2h 1
A
C
B
②弦图结构
外弦图（赵爽弦图） 内弦图（毕达哥拉斯图）
➢ 精讲精练
1. 如图，在Rt △ABE 中，∠B =90°，延长BE 到C ，使EC =AB ，分别过点C ，E 作
BC ，AE 的垂线，两线相交于点D ，连接AD ．若AB =3，DC =4，则AD 的长为___________．
E D
C B
A
A
E
D
C
B
第1题图 第2题图
2. 如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AC ，AB 边上，若DE =m ，BC =n ，且∠EBC
与∠DCB 互余，则BD 2+CE 2=__________（用含m ，n 的式子表示）．
3. 如图，在△ABC 中，∠C =2∠B ，点D 是BC 上一点，AD =5，且AD ⊥AB ，点E
是BD 的中点，AC =6.5，则AB 的长为______．
A
B
C F
E
C B A
第3题图 第4题图
4. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，点E 为AB 的中点，点D 在BC 上，且AD =BD ，
AD ，CE 相交于点F ．若∠B =20°，则∠DFE 等于（ ） A ．70°
B ．60°
C ．50°
D ．40°
5. 已知△ABC 的周长是24，M 是AB 的中点，MC =MA =5，则△ABC 的面积是
__________．
6. 在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的
连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2，4，3，则原直角三角形纸片的斜边长是（ ） A ．10
B
．C ．10
或
D ．10
或
4
3
2
4
32
7. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =BC ，点D 在AC 上，若∠CBD =30°，则
AD
DC
=_________． D
C
B A
8. Rt △ABC 和Rt △DEF 按如图方式放置，A ，B ，D 在同一直线上，EF ∥AD ，∠
CAB =∠EDF =90°，∠C =45°，DE =8，EF =16，则BD =__________．
C
B
A
E
D
F
A D
B
E
C
第8题图 第9题图
9. 如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点E ，
∠BDA =90°，∠CBE =30°，∠CEB =45°，AE =4EC ，BC =2，则BE =__________，CD =__________．
10. 如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =2，BC =3，以斜边AC 为边作正方形
ACDE ，连接BE ，则BE 的长为________．
E
D
C
B A
E
D
C B
A
O
第10题图 第11题图
11. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，以斜边AB 为边向外作正方形ABDE ，且
正方形的对角线交于点O ，连接OC ，已知AC =5，OC
=，则另一直角边BC 的长为__________．
12. 如图，以Rt △ABC 的斜边BC 为一边在△ABC 的同侧作正方形BCDE ，设正方
形的中心为O ，连接AO ，如果AB =4，AO
=那么AC 的长为__________．
【参考答案】
➢ 课前预习
1.
3
，3
；2
，2
；3
2. 略
➢ 知识点睛
1. ①互余，斜边长
②平方和，平方；平方和，第三边的平方，直角 2. ①斜边的一半，一边上的中线等于这边长的一半
②斜边的一半；30°
3.
①11:
12
，12:345:: ➢ 精讲精练
1.
2. 22m n +
3. 12
4. B
5. 24
6.
C
7.
1-+8.
12-9.
1+
10.
11. 7 12. 8
直角三角形性质应用（随堂测试）
1. 如图，在Rt △ABC 中，AC ⊥BC ，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，DE ⊥AD ，交
AB 于点E ，M 为AE 的中点，连接DM ．若AD
=CD
，则DM 的长为_____________．
第1题图 第2题图
2. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，以Rt △ABC 的斜边
AB 为一边在△ABC 的同侧作正方形ABDE ，对角线AD ，
O
D
C
E
A
M
E C
B A
BE相交于点O，连接OC．若AC=5，AB=13，则OC的长为___________．
【参考答案】
1. 2
2.。