直角三角形性质应用(讲义及答案)
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直角三角形性质应用(讲义)
➢ 课前预习
1. 根据图中给出的边长及角度信息,在横线上补全下列直角三角形的边长.
1
1
45°
30°
2
30°
45°
23
2. 下列是不完整的弦图结构,请补全弦图.
➢ 知识点睛
直角三角形性质梳理: 1. 从边与角的角度来考虑
①直角三角形两锐角_______,且任一直角边长小于_______.
②勾股定理:直角三角形两直角边的______等于斜边的____;
勾股定理逆定理:如果三角形两边的______等于__________,那么这个三角形是_______三角形.
2. 添加一些特殊的元素(中线或30°角)
①直角三角形斜边上的中线等于______________; 如果一个三角形____________________________,那么这个三角形是直角三角形.
②30°角所对的直角边是_____________________;
在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这 条直角边所对的锐角等于_____________.
3. 特殊的直角三角形
A
C
B 45°
1130°
2
3
4
2
1
1
B
C
A
B
C
A B C
A
a 2+
b 2=c
2
C
B
A
C B A β
α
C
A A B
C
A
B
C C
B
A
2m
m
A
B
C
30°
4. 垂直(多个)
①等面积法
ab=ch
D h C B
A
c b
a
h h=h 1+h 2+h 3
h 3
h 2h 1
A
C
B
②弦图结构
外弦图(赵爽弦图) 内弦图(毕达哥拉斯图)
➢ 精讲精练
1. 如图,在Rt △ABE 中,∠B =90°,延长BE 到C ,使EC =AB ,分别过点C ,E 作BC ,
AE 的垂线,两线相交于点D ,连接AD .若AB =3,DC =4,则AD 的长为___________.
E D
C B
A
A E
D
C
B
第1题图 第2题图
2. 如图,在△ABC 中,点D ,E 分别在AC ,AB 边上,若DE =m ,BC =n ,且∠EBC 与∠
DCB 互余,则BD 2+CE 2=__________(用含m ,n 的式子表示).
3. 如图,在△ABC 中,∠C =2∠B ,点D 是BC 上一点,AD =5,且AD ⊥AB ,点E 是BD
的中点,AC =6.5,则AB 的长为______.
A
B
C D
E F
E
C B A
第3题图 第4题图
4. 如图,在△ABC 中,∠ACB =90°,点E 为AB 的中点,点D 在BC 上,且AD =BD ,
AD ,CE 相交于点F .若∠B =20°,则∠DFE 等于( ) A .70°
B .60°
C .50°
D .40°
5. 已知△ABC 的周长是24,M 是AB 的中点,MC =MA =5,则△ABC 的面积是
__________.
6. 在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点,分别沿斜边中点与这两点的连线
剪去两个三角形,剩下的部分是如图所示的直角梯形,其中三边长分别为2,4,3,则原直角三角形纸片的斜边长是( ) A .10
B
.C .10
或
D .10
或
4
3
2
4
32
7. 如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =BC ,点D 在AC 上,若∠CBD =30°,则
AD
DC
=_________. D
C
B A
8. Rt △ABC 和Rt △DEF 按如图方式放置,A ,B ,D 在同一直线上,EF ∥AD ,∠CAB =
∠EDF =90°,∠C =45°,DE =8,EF =16,则BD =__________.
C
A
E
F
A
D
B
E
C
第8题图 第9题图
9. 如图,在四边形ABCD 中,对角线AC ,BD 相交于点E ,
∠BDA =90°,∠CBE =30°,∠CEB =45°,AE =4EC ,BC =2,则BE =__________,CD =__________.
10. 如图,在Rt △ABC 中,∠ABC =90°,AB =2,BC =3,以斜边AC 为边作正方形ACDE ,
连接BE ,则BE 的长为________.
E
D
B A
E
D
C B
A
O
第10题图 第11题图
11. 如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,以斜边AB 为边向外作正方形ABDE ,且正方形
的对角线交于点O ,连接OC ,已知AC =5,OC
=,则另一直角边BC 的长为__________.
12. 如图,以Rt △ABC 的斜边BC 为一边在△ABC 的同侧作正方形BCDE ,设正方形的
中心为O ,连接AO ,如果AB =4,AO
=AC 的长为__________.
E
C
A
B D
O