直角三角形性质应用(讲义及答案)

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直角三角形性质应用(讲义)

➢ 课前预习

1. 根据图中给出的边长及角度信息,在横线上补全下列直角三角形的边长.

1

1

45°

30°

2

30°

45°

23

2. 下列是不完整的弦图结构,请补全弦图.

➢ 知识点睛

直角三角形性质梳理: 1. 从边与角的角度来考虑

①直角三角形两锐角_______,且任一直角边长小于_______.

②勾股定理:直角三角形两直角边的______等于斜边的____;

勾股定理逆定理:如果三角形两边的______等于__________,那么这个三角形是_______三角形.

2. 添加一些特殊的元素(中线或30°角)

①直角三角形斜边上的中线等于______________; 如果一个三角形____________________________,那么这个三角形是直角三角形.

②30°角所对的直角边是_____________________;

在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这 条直角边所对的锐角等于_____________.

3. 特殊的直角三角形

A

C

B 45°

1130°

2

3

4

2

1

1

B

C

A

B

C

A B C

A

a 2+

b 2=c

2

C

B

A

C B A β

α

C

A A B

C

A

B

C C

B

A

2m

m

A

B

C

30°

4. 垂直(多个)

①等面积法

ab=ch

D h C B

A

c b

a

h h=h 1+h 2+h 3

h 3

h 2h 1

A

C

B

②弦图结构

外弦图(赵爽弦图) 内弦图(毕达哥拉斯图)

➢ 精讲精练

1. 如图,在Rt △ABE 中,∠B =90°,延长BE 到C ,使EC =AB ,分别过点C ,E 作BC ,

AE 的垂线,两线相交于点D ,连接AD .若AB =3,DC =4,则AD 的长为___________.

E D

C B

A

A E

D

C

B

第1题图 第2题图

2. 如图,在△ABC 中,点D ,E 分别在AC ,AB 边上,若DE =m ,BC =n ,且∠EBC 与∠

DCB 互余,则BD 2+CE 2=__________(用含m ,n 的式子表示).

3. 如图,在△ABC 中,∠C =2∠B ,点D 是BC 上一点,AD =5,且AD ⊥AB ,点E 是BD

的中点,AC =6.5,则AB 的长为______.

A

B

C D

E F

E

C B A

第3题图 第4题图

4. 如图,在△ABC 中,∠ACB =90°,点E 为AB 的中点,点D 在BC 上,且AD =BD ,

AD ,CE 相交于点F .若∠B =20°,则∠DFE 等于( ) A .70°

B .60°

C .50°

D .40°

5. 已知△ABC 的周长是24,M 是AB 的中点,MC =MA =5,则△ABC 的面积是

__________.

6. 在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点,分别沿斜边中点与这两点的连线

剪去两个三角形,剩下的部分是如图所示的直角梯形,其中三边长分别为2,4,3,则原直角三角形纸片的斜边长是( ) A .10

B

.C .10

D .10

4

3

2

4

32

7. 如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =BC ,点D 在AC 上,若∠CBD =30°,则

AD

DC

=_________. D

C

B A

8. Rt △ABC 和Rt △DEF 按如图方式放置,A ,B ,D 在同一直线上,EF ∥AD ,∠CAB =

∠EDF =90°,∠C =45°,DE =8,EF =16,则BD =__________.

C

A

E

F

A

D

B

E

C

第8题图 第9题图

9. 如图,在四边形ABCD 中,对角线AC ,BD 相交于点E ,

∠BDA =90°,∠CBE =30°,∠CEB =45°,AE =4EC ,BC =2,则BE =__________,CD =__________.

10. 如图,在Rt △ABC 中,∠ABC =90°,AB =2,BC =3,以斜边AC 为边作正方形ACDE ,

连接BE ,则BE 的长为________.

E

D

B A

E

D

C B

A

O

第10题图 第11题图

11. 如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,以斜边AB 为边向外作正方形ABDE ,且正方形

的对角线交于点O ,连接OC ,已知AC =5,OC

=,则另一直角边BC 的长为__________.

12. 如图,以Rt △ABC 的斜边BC 为一边在△ABC 的同侧作正方形BCDE ,设正方形的

中心为O ,连接AO ,如果AB =4,AO

=AC 的长为__________.

E

C

A

B D

O

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