浙教版数学八年级下册 特殊的平行四边形
浙教版-八下数学-特殊平行四边形
浙教版 八下数学 特殊平行四边形1、矩形的性质以及判定性质：1）矩形具有平行四边形所具有的一切性质. 2）矩形的四个角都是直角. 3）矩形的对角线相等.判定方法：1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形. 2）有三个角是直角的四边形是矩形. 3）对角线相等的平行四边形是矩形.注意：其他还有一些判定矩形的方法，但都不能作为定理使用.已知：如图，平行四边形ABCD 各角的平分线分别相交于点E ，F ，G ，•H ，•求证：•四边形EFGH 是矩形．2、菱形的性质以及判定性质：1）菱形具有平行四边形所具有的一切性质. 2）菱形的四条边都相等.3）菱形的对角线互相垂直并且每条对角线平分一组对角.4）菱形的面积等于对角线乘积的一半.（如果一个四边形的对角线互相垂直，那么这个四边形的面积等于对角线乘积的一半）判定方法：1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形 2）四条边都相等的四边形是菱形.3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 4）对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形.注意：其他还有一些判定菱形的方法，但都不能作为定理使用.如图,在ABCD 中,O 是对角线AC 的中点,过点O 作AC 的垂线与边AD 、BC 分别交于E 、F,求证:四边形AFCE 是菱形.CBEDAOF3、正方形的性质以及判定性质：1）正方形具有平行四边形、矩形、菱形所具有的一切性质.判定方法；1）定义：有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形是正方形. 2）矩形+有一组邻边相等 3）菱形+有一个角是直角注意：其他还有一些判定正方形的方法，但都不能作为定理使用.例1：如图,在△ABC 中,AB=AC,D 是BC 的中点,DE ⊥AB,DF ⊥AC,垂足分别是E,F.求证:(1)△BDE ≌△CDF; (2)∠A=90°时,四边形AEDF 是正方形.M NOD CBACBEDAF例2：如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,M、N分别为AD、BC的中点,E、F分别是BM、CM的中点.(1)求证:四边形MENF是菱形;(2)若MENF是正方形,那么梯形的高与底边BC有何关系?MFENDCBA专项练习：1.在下列命题中，真命题是（）Ａ．两条对角线相等的四边形是矩形Ｂ．两条对角线互相垂直的四边形是菱形Ｃ．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形Ｄ．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形2.已知菱形的两条对角线长为10cm和24cm, 那么这个菱形的周长为______________, 面积为_______________.3.将两张长10cm宽3cm的长方形纸条叠放在一起, 使之成60度角, 那么重叠部分的面积的最大值为________________.4.一个菱形面积为80, 周长为40, 那么两条对角线长度之和为__________.5.顺次连接一个特殊四边形的中点, 得到一个菱形. 那么这个特殊四边形是___________.6.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，OF⊥BC，CE⊥BD，OE：BE=1：3，OF=4，求∠ADB的度数和BD的长。
浙教版初中数学八年级下册第五单元《特殊平行四边形》(标准难度)(含答案解析)(含答案解析)
浙教版初中数学八年级下册第五单元《特殊平行四边形》（标准难度）（含答案解析）考试范围：第五单元； 考试时间：120分钟；总分：120分，第I卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 如图，E，F，G，H分别是四边形ABCD四条边的中点，要使四边形EFGH为矩形，四边形ABCD应具备的条件是( )A. AD//BCB. AC=BDC. AC⊥BDD. AD=AB2. 如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P是AD上一动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF的值为( )A. 4B. 4.4C. 4.8D. 53. 平行四边形的四个内角平分线相交所构成的四边形一定是( )A. 一般平行四边形B. 一般四边形C. 对角线垂直的四边形D. 矩形4. 如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB=5，AD=12，则OM+OB的长为( )A. 7B. 8C. 9D. 105. 如图：已知菱形ABCD的顶点B(−2,0)，且∠ABC=60∘，点A在y轴的正半轴上.按以下步骤作图： ①以点B为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边AB、BC于点M、N; ②分别以点M(N为圆心，大于12MN的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点P; ③作射线BP，交菱形的对角线AC于点E，则点E的坐标为( )A. (1,√3)B. (1,2)C. (12,1) D. (12,√3)6. 如图，已知点E、F、G、H分别是菱形ABCD各边的中点，则四边形EFGH是( )A. 正方形B. 矩形C. 菱形D. 平行四边形7. 如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，则MP+PN的最小值是( )A. 12B. 1C. √2D. 28. 如图，菱形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，若AC=6，菱形ABCD 的面积为24，则OE长为( )A. 2.5B. 3.5C. 3D. 49. 如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE为正三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC 上取一点P，使PD+PE最小，则这个最小值为( )A. √3B. 2√3C. 2√6D. 3√210. 如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC，BD交于点O.添加一个条件使这个四边形成为一种特殊的平行四边形，则以下说法错误的是( )A. 添加“AB//CD”，则四边形ABCD是菱形B. 添加“∠BAD=90°”，则四边形ABCD是矩形C. 添加“OA=OC”，则四边形ABCD是菱形D. 添加“∠ABC=∠BCD=90°”，则四边形ABCD是正方形11. 如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点．则下列说法：①若AC=BD，则四边形EFGH为矩形；②若AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形；③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等．其中正确的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 412. 如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB的中点，点P从点E出发，沿E→A→D→C移动至终点C.设P点经过的路径长为x，△CPE的面积为y，则下列图象能大致反映y与x函数关系的是( )A. B.C. D.第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13. 矩形的三个顶点坐标分别是(−2,−3)，(1,−3)，(−2,−4)，那么第四个顶点坐标是____________．14. 如图，菱形ABCD和菱形BEFG的边长分别是5和2，∠A=60∘，连结DF，则DF的长为．15. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在线段BO上，连接AE，若CD= 2BE，∠DAE=∠DEA，EO=1，则线段AE的长为______．16. 如图，定义：若菱形AECF与正方形ABCD的两个顶点A，C重合，另外两个顶点E，F在正方形ABCD的内部，则称菱形AECF为正方形ABCD的内含菱形．若正方形的周长为16，其内含菱形的边长是整数，则内含菱形的周长为________；若正方形的面积为18，其内含菱形的面积为6，则内含菱形的边长为________．三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。
浙教版八年级下册 4.2 平行四边形性质 课件(共20张PPT)
∴ AB∥CD，AD∥BC （平行四边形的定义）
∴ ∠A+∠B=180° ∠C+∠B=180°
∠A+∠D=180° ∠C+∠D=180°
（两直线平行，同旁内角互补）
推论： 平行四边形邻角互补.
做一做 1.已知在□ABCD中，∠A=55°.求其余内角的度
数.
2.已知平行四边形相邻两条边的长度之比为3:2， 周长为20cm，求平行四边形各条边长.
新课讲解
验证 平行四边形的对角相等.
平行四边形的对边相等.
D
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，
C
求证：∠A＝∠C，∠ABC＝∠CDA．
AB＝CD， AD＝BC.
A
B
新课讲解
D
C
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ ∠A＝∠C，∠B＝∠D．
A
B
（平行四边形的对角相等）
AB＝CD，AD＝BC．
（平行四边形的对边相等）
∴AD-AE=CB-CF 即 DE=BF
∵∠BAD=∠DCB，∠EAF=∠FCE （平行四边形对角相等）
∴∠BAD-∠EAF=∠DCB-∠FCE 即∠BAF=∠DCE
做一做
已知：如图，在□ABCD中，E是CD上一点，BE=BC.
求证：AD=BE，∠A=∠ABE.
DE
C
A
B
新课讲解 与三角形的稳定性相反，四边形具有不稳定性.
BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F.
求证：BE=DF.
A
D
E
F
B
C
拓展提高
1.学校买了四棵树，准备栽在花园里，已经 栽了三棵（如图），现在学校希望这四棵树 能组成一个平行四边形，你觉得第四棵树应 该栽在哪里？
第5章 特殊平行四边形 知识讲解-浙教版八年级数学下册
特殊平行四边形教学目标1.理解矩形、菱形、正方形的概念.2.掌握矩形、菱形、正方形的性质定理与判定定理.3.了解平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系.知识梳理一、矩形1.概念：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2.性质（1）矩形具有平行四边形的一切性质；（2）矩形的四个角都是直角；（3）矩形的对角线相等；（4）矩形是轴对称图形，有两条对称轴且都是过对边中点的直线；（5）矩形是中心对称图形，其对角线的交点是对称中心.3.判定（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线相等的平行四边形是矩形.【注】①若易证一个四边形为平行四边形，则再证一角为直角或对角线相等，即可证得该四边形是矩形；①对角线相等的四边形不一定是矩形（如等腰梯形），只有对角线相等且互相平分的四边形是矩形.二、菱形1.概念：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2.性质（1）菱形具有平行四边形的一切性质；（2）菱形的四条边都相等；（3）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（4）菱形是轴对称图形，有两条对称轴，对称轴为对角线所在的直线；（5）菱形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.3.判定（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）四条边都相等的四边形是菱形；（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形.4.菱形的面积菱形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.三、正方形1.概念：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.2.性质：正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形和菱形，所以正方形具有它们的一切性质.（1）正方形的四个角都是直角，四条边都相等；（2）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；（3）正方形是轴对称图形，有四条对称轴，它们是两条对角线所在的直线以及过对边中点的直线；（4）正方形是中心对称图形，两条对角线的交点为对称中心.3.判定（1）定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形；（2）有一个角是直角的菱形是正方形；（3）有一组邻边相等的矩形是正方形；（4）对角线相等的菱形是正方形；（5）对角线互相垂直的矩形是正方形.【注】①以菱形和矩形的判定为基础，可以引申出更多正方形的判定方法，如对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形等.解题时可根据实际情况灵活选择；①矩形判定条件＋菱形判定条件=正方形判定条件；①证明正方形的一般步骤是：先证明四边形是矩形或菱形，再根据以上判定方法证明是正方形.四、四边形与特殊平行四边形的关系1.从属关系2.从概念分析联系与区别五、中点四边形：顺次连接各边中点所得的四边形（拓展）【注】（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形. （2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.。
浙教版初中八年级下册数学精品教学课件 第五章 特殊平行四边形5.2 菱形
2.菱形的定义有双重应用：（1）根据定义，可知菱形是特殊的平行四边形，邻边相等；（2）菱形的定义可作为判定菱形的一个依据.
示例
平行四边形与菱形的关系
.
1.菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
注意： 菱形是特殊的平行四边形，它是平行四边形的边特殊化之后的图形.
,,,,即.∴点<m></m>到<m></m>的距离为<m></m>.
典例1 如图,在中, , 是边 上的中线, , 分别是 , 的中点.求证：四边形是菱形．
证明： 是边 上的中线，是 的中点.
又 是 的中点，是的中位线，
<m>同理，可得DFAB,∴四边形AEDF是平行四边形.∵E,F分别是AB,AC的中点，∴AE=AB,AF=AC.又∵AB=AC,∴AE=AF,∴四边形AEDF是菱形.
菱形的面积=对角线乘积的一半.
.
菱形的面积=对角线乘积的一半.推导过程（方法不唯一）：
典例4已知一个菱形的边长为2,较长的对角线长为<m></m>,则这个菱形的面积是_____．
[解析]依题意画出图形，如图，则，，，∴OA=AC=2OA=2,∴.
知识点5 菱形的判定定理 重点
判定方法
符号语言
考点2：菱形的判定，通常会和菱形的性质一起考查.
选择题、解答题
考点3：菱形的性质与判定与图形变换结合，考查难度较大，较综合.
填空题、解答题
考点1 菱形的性质
典例7[衢州中考]已知：如图，在菱形中，点，分别在边，上，且，连结，．求证：．
证明：∵四边形是菱形，，.在与中，，．
考点2 菱形的判定
(word版)浙教版数学八年级下《第章特殊平行四边形》精品教案
第6章特殊平行四边形与梯形教案一、矩形1、有一角是直角的平行四边形是矩形2、矩形的四个角都是直角；3、矩形的对角线相等。
4、矩形判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形5、矩形判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形6、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半二、菱形1、把一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2、定理1:菱形的四条边都相等3、菱形的对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角.4、菱形的面积等于菱形的对角线相乘除以25、菱形判定定理1：四边都相等的四边形是菱形6、菱形判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
三、正方形1、有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形2、性质：（1）四个角都是直角，四条边相等（2）对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角3、判定：（1）一组邻边相等的矩形是正方形（2）有一个角是直角的菱形是正方形四、梯形1、一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
2、等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。
3、直角梯形：一腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。
4、①等腰梯形是轴对称图形，对称轴是连接两底中点的直线。
②等腰梯形同一底上的两个内角相等，两条对角线相等。
5、在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。
6、作出下列梯形常用的辅助线五、综合1、下列判定正确的是（）A、对角线互相垂直的四边形是菱形B、两角相等的四边形是等腰梯形C、四边相等且有一个角是直角的四边形是正方形D、对角线相等且互相垂直的四边形是正方形2、平行四边形的各个内角平分线若能围成一个四边形，则这个四边形一定是（）A、正方形B、矩形C、菱形D、平行四边形顺次连接矩形各边中点所得的四边形是_______________；顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形是____________________.下列图形不符合“既是中心对称图形，又是轴对称图形”的是（）A、线段B、半圆C、矩形D、菱形3、下列说法中错误．．的是（）A、四个角相等的四边形是矩形B、四条边相等的四边形是正方形C、对角线相等的菱形是正方形D、对角线互相垂直的矩形是正方形下列性质，矩形没有而菱形有的是（）A、对角线互相垂直B、对角线互相平分C、对角线相等D、以上都不对4、下列判断错误的是（）A、对角线相等的平行四边形是矩形B、对角线互相垂直平分且相等的四边形是菱形C、对角线垂直且相等的四边形是正方形D、对角线平分一个内角的平行四边形是菱形1、在线段、角、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形中，是轴对称图形的是。
八年级数学下册 第五章 特殊平行四边形 5.1 矩形(第1课时)课件 (新版)浙教版
平行四边形的性质？
1.边: 平行四边形两组对边分别平行. 平行四边形两组对边分别相等.
2.角: 平行四边形两组对角分别相等,邻角互补. 3. 对角线: 平行四边形对角线互相平分.
4.从对称看: 平行四边形中心对称图形.
合作学习
用6根火柴棒首尾相接摆成一个平行四边形（如图）
议一议
①
（1）能摆成多少个不同的平行四边形？它们有 什么共同特点？ （2）在这些平行四边形中，有没有面积最大的一 个平行四边形？说出你的理由 （3）这个面积最大的平行四边形的内角有什么特 点？量一量对角线的长度，你又发现了什么?
四边形？说出你的理由
有一个面积最大的平行四边形。设一根火柴棒的长为1个单位，平行 四边形的面积是底边乘以高。当平行四边形的一个角是直角时，它 的高为1，面积为2，而对于其他情况，平行四边形的高都小于1， 因此面积都小于2.所以有一个角是直角时，这个平行四边形的面积 最大。
合作学习 用六根棒所围成的平行四边形
思考：△AOB可以由△COD经过一次怎样的图 形变换得到？
追问：对称中心在哪里？
对角线有几条？在哪里？
l
A
E
D
O
B
F
C
★ 1.矩形具有而一般平行四边形不具有
的性质是（ A ）
A.对角线相等 B.对边相等
C.对角相等
D.对角线互相平分
★ 2.下面性质中，矩形不一定具有的（D）
A.对角线相等 B.四个角相等 C.是轴对称图形 D.对角线互相垂直
改变这个平行四边形的形状,能得到面积最大 的平行四边形吗?
合作学习
用6根火柴棒首尾相接摆成一个平行四边形（如图）
议一议
（1）能摆成多少个不同的平行①四边形？它们有什么共同
A4版打印浙教版八年级下册数学第五章 特殊平行四边形含答案
浙教版八年级下册数学第五章特殊平行四边形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，矩形的顶点在反比例函数的图象上，且点坐标为，点坐标为，则的值为（）A.3B.7C.12D.212、如图，△ABC中，AB=6，AC=4，以BC为对角线作正方形BDCF，连接AD，则AD长不可能是（）A.2B.4C.6D.83、如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为（﹣4，0），点B在y轴上，若反比例函数y＝（k≠0）的图象过点C，则该反比例函数的表达式为（）A.y＝B.y＝C.y＝D.y＝4、如图，在正方形ABCD中，取AD的中点E，连接EB，延长DA至F，使EF=EB，以线段AF为边作正方形AFGH，交AB于点H，则的值是( )A. B. C. D.5、菱形、矩形、正方形都具有的性质是（）A.对角线相等B.对角线互相垂直C.对角线互相平分D.对角线平分一组对角6、下列各命题正确的是（）A.各角都相等的多边形是正多边形.B.有一组对边平行的四边形是梯形. C.对角线互相垂直的四边形是菱形. D.有一边上的中线等于这边一半的三角形是直角三角形.7、如图，菱形ABCD的边AD⊥y轴，垂足为点E，顶点A在第二象限，顶点B在y轴的正半轴上，反比例函数y= （k≠0，x＞0）的图象同时经过顶点C，D．若点C的横坐标为5，BE=3DE，则k的值为（）A. B. C.3 D.58、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）A.对角线相等B.对角线互相平分C.对角线互相垂直D.对角线互相平分且相等9、如图，在中，作以为内角，四个顶点都在边上的菱形时，如下的作图步骤是打乱的．①分别以点，为圆心，大于的长为半径在的两侧作弧，两弧相交于点，；②作直线分别交，于点，，连接，；③分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于内一点，连接并延长交边于点；④以点为圆心，小于长为半径作弧，分别交，于点，．则正确的作图步骤是（）A.②④①③B.④③②①C.②④③①D.④③①②10、如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连结AE，如果∠ADB=30°，则∠E的度数是（）A.45°B.30°C.20°D.15°11、如图所示，∠DAB=∠DCB=90°．CB=CD，且AD=3，AB=4，则AC的长为（）A. B.5 C. D.712、在周长为的正方形中，点是边的中点，点为对角线上的一个动点，则的最小值为（）A.2B.C.D.13、正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）A.对角线相等B.对角线互相垂直C.对角线互相平分D.对角线平分一组对角14、如图，面积为S的菱形ABCD中，点O为对角线的交点，点E是线段BC的中点，过点E作EFLBD于F，EG⊥AC于G ，则四边形EFOG的面积为（）．A. SB. SC. SD. S15、如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，点的对应点为，与相交于点，则下列结论不一定成立的是（）A. 是等腰三角形B.C. 平分D.折叠后的图形是轴对称图形二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，连接AC，O是AC的中点，M是AD 上一点，且MD＝1，P是BC上一动点，则PM﹣PO的最大值为________.17、如图，△ABC中，∠B=90°，AB=4， BC=3，点D是AC上的任意一点，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则EF的最小值是________。
浙教版初中八年级下册数学精品教学课件 第五章 特殊平行四边形 5.3 正方形
2.正方形的定义有双重应用：
（1）根据定义，可知正方形是特殊的平行四边形，邻边相等；
（2）正方形的定义可作为判定正方形的一个依据
示例
四边形于平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系
.
1.正方形：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
考点2 正方形的判定
典例5[2022·绍兴中考]如图，在平行四边形中，，，，是对角线上的动点，且，，分别是边，边上的动点．下列四种说法：
①存在无数个平行四边形；
②存在无数个矩形；
③存在无数个菱形；
④存在无数个正方形．其中正确的个数是()
C
A.B.C.D.
[解析]连结，，且令，，相交于点，如图.
②先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；
③先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角．
知识点3正方形的性质重点
1.正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，所以正方形同时具有矩形和菱形的所有性质.
性质定理
符号语言
图示
正方形的四个角都是直角，四条边相等.
∵四边形是正方形，，.
.
正方形的对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角.
典例4[2022·泰州中考]如图，正方形的边长为2，为与点不重合的动点，以为一边作正方形．设，点，与点的距离分别为，，则的最小值为()
A.B.C.D.
[解析]如图，连结,.
∵四边形是正方形，，.∵四边形是正方形，，，，，.
，∴当点，，，在同一条直线上时，的值最小，最小值为的长，即的最小值为的长.在中，,的最小值为.
知识点2 正方形的基本判定方法 重点
正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形和菱形，要判定一个四边形是正方形，
浙教版八年级数学下册第5章专题十二 特殊四边形中的动点问题
专题
∴△ADE≌△CDG. ∴AE＝CG. ∴AC＝AE＋CE＝CG＋CE. ∵AC＝ 2AB， ∴CE＋CG＝ 2AB.
专题
∵EM⊥BC，EN⊥CD，∴∠EMC＝∠ENC＝90°， ∴∠NEC＝45°，∴NE＝NC， ∴四边形EMCN是正方形． ∴EM＝EN，∠NEM＝90°. ∴∠MEF＋∠FEN＝90°. ∵四边形DEFG是矩形，∴∠DEF＝90°. ∴∠DEN＋∠NEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF.
专题
在△DEN 和△FEM 中， ∠ END＝NEEM＝，∠FME， ∠DEN＝∠FEM， ∴△DEN≌△FEM. ∴ED＝EF， ∴矩形 DEFG 是正方形．
专题
又∵EF⊥AC， ∴四边形AFCE为菱形． ∴AF＝CF. 设AF＝CF＝x cm，则BF＝(8－x)cm. 在Rt△ABF中，由勾股定理，得AB2＋BF2 ＝AF2，即42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5. ∴AF＝5 cm.
专题
(2)动点P，Q分别从A，C两点同时出发 ，沿△AFB和 △CDE各边匀速运动一周，即点P自A→F→B→A停止， 点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，已知点P的 速度为5 cm/s，点Q的速度为4 cm/s，运动时间为t s， 当以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形 时，求t的值．
专题
若以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形， 则PC＝QA. ∵四边形ABCD为矩形， ∴AB＝CD＝4 cm，AD＝BC＝8 cm. ∵AF＝CF＝5 cm，点P的速度为5 cm/s，点Q的速度 为4 cm/s，运动时间为t s，
专题
∴PC＝PF＋FC＝PF＋FA＝5t cm，QA ＝(AD＋CD)－(QD＋CD)＝(12－4t)cm. ∴5t＝12－4t，解得 t＝43. 故当以 A，C，P，Q 四点为顶点的四边 形是平行四边形时，t 的值为43.
浙教版初中数学八年级下册--第5章 特殊平行四边形 小结课件
如果题目中的矩形变为正方形，结论又会变为什么？
A
B
O
A
B
O
D P
C
图一
D
C
P
图二
判断题
1）、一组对边平行，另一组对边相等的的四边
形是平的四边形是矩形。（ x） 3）、一组邻边相等的的矩形是正方形。（√ ） 4）、对角线互相垂直的四边形是菱形。（ x）
5）、两条对角线互相平分的四边形是平行四边
相等，每条对角线平分
一组对角
中心对称图形
三、特殊四边形的常用判定方法
平行 （1）两组对边分别平行；（2）两组对边分别相等；（3）两组对角 四边形 分别相等; （4）对角线互相平分； （5）一组对边平行且相等
（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
菱
（2）四条边都相等的四边形是菱形；
形
（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
.
解:（3) AB=AC时且∠BAC≠60° ，
平行四边形ADFE时菱形。
AB=AC且∠BAC=150°时，F 平行四边形ADFE是正方形。
D
A
E
60°
60°
B
C
2, 如图，矩形纸片ABCD中，AB=3厘米，BC=4厘米，现 将A、C重合，使纸片折叠压平， 设折痕为EF。试确定重叠部分△AEF的面积。
同理OF=OC ∴ OE=OF
(2)当O为AC的中点时, 四边形AECF是矩形
∵ OA=OC OE=OF ∴ 四边形AECN是平行四边形 ∵ OE=OC=OF ∴ AC=EF ∴ 四边形AECN是矩形
A
M E
B
O FN
D C
2. 菱形纸片ABCD中，两条对角线AC= ， BD= 4 。 （1）求菱形ABCD的面积；
浙教版初中八年级下册数学精品教学课件 第五章 特殊平行四边形 5.1 矩形
解析]∵四边形是矩形，∴由矩形的中心对称性易知，，.
知识点4 矩形的判定 重点
文字语言
符号语言
图示
定义
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
在中，，是矩形.
.
判定定理1
有三个角是直角的四边形是矩形.
在四边形中，，∴四边形是矩形.
.
判定定理2
对角线相等的平行四边形是矩形.
典例2如图，矩形中，点是边上一点，连结，若，，则的长为()
C
A.B.C.D.
[解析]∵四边形是矩形，，.在中，，.
典例3如图，矩形的顶点的坐标为，则长为()
A
A.B.C.D.
[解析]如图，连结，∵点的坐标为，.∵四边形是矩形，.
例题点拨已知点的坐标，可构造直角三角形（或用两点间的距离公式）求的长，再由矩形对角线相等可得，即可求解．
第5章 特殊平行四边形
5.1 矩形
学习目标
1.掌握矩形的概念，理解矩形与长方形、正方形的关系.2.掌握矩形的性质定理“矩形的四个角都是直角”.3.掌握矩形的性质定理“矩形的对角线相等”.4.掌握矩形的对称性，并能准确描述对称轴.5.掌握矩形的判定定理“有三个角是直角的四边形是矩形”.6.掌握矩形的判定定理“对角线相等的平行四边形是矩形”.7.灵活运用矩形的性质和判定方法解决问题.
（2）解：当时，四边形为矩形.理由：∵线段为的中位线，，，.由（1），得四边形是平行四边形，∴四边形为矩形．
（1）求证：四边形是矩形.
（2）你所证明结论的依据是______________________________，该依据的逆命题是____命题（填“真”或“假”）．
对角线相等的平行四边形是矩形
真
证明：（1）∵四边形是平行四边形，，.又，，即，∴四边形为平行四边形.，，∴四边形为矩形.
浙教版数学八年级下册平行四边形及其性质课件
∴CE= 1 AC=2，BD=2BE
BC F
2
（平行四边形对角线互相平分）
∴ BE BC 2 CE 2 13（勾股定理）
∴BD=2BE= 2 13 你还有别的方法吗?
2.如图：平行四边形ABCD中, AC、BD相交于点O, AB=8, 则以下两条线段长能作为平行四边形的对角线
的长的是（D）
A. 4, 12 B. 6, 8 C. 8, 26 D. 12, 20
3、已知O是□ABCD两条对角线的交点，若已知AB＝ 5，
△AOB的周长比△BOC的周长短3，则BC＝_____8.
DF
C
O
A
EB
DCEຫໍສະໝຸດ DFOA F
D
C E B
C
O
FA
O B
A
B
E
过对角线交点的任一条直线将平行四边形的面
积两等分
有一块平行四边形的草地，学校想在中间留 一条小路，把它分成面积相等的两块，请你来 想想，可以怎样分？有多少种分法？
有无数种分法，分割线只要过对角线的交点
一块草地中间有一水井，为了浇水的方便，经过 水井修一条小路，并且把草地分成面积相等的两 部分，同学们，你能画出小路的位置吗？
O
∵ 四边形ABCD是平行四边形 A
EB
∴OD=OB (平行四边形的对角线互相平分）
在△DOF和△BOE中
∠ODF=∠OBE
OD=OB ∠DOF=∠BOE
∴△DOF≌△BOE（ASA） ∴OE=OF 改变直线EF的位置，OE=OF还成立吗?
这些图形中被直线EF分割而成的 两部分面积有怎样的数量关系？
4、如图，□ABCD的两条对角线相交于点O.
（1）图中有多少对全等三角形？请把它们写出来； （2）图中有多少对面积相等的三角形?
数学课件浙教版八年级下平行四边形
平行四边形的性质
对边平行
平行四边形的对边平行，即如果$AB parallel CD$，则$BC parallel AD$。
对角相等
对角线互相平分
平行四边形的对角线互相平分，即线 段$AC$和$BD$相交于点$O$，且 $AO = OC$，$BO = OD$。
平行四边形的对角相等，即$angle A = angle C$，$angle B = angle D$。
数学课件浙教版八年级 下平行四边形
目录
• 平行四边形的定义与性质 • 平行四边形的判定 • 平行四边形的面积与周长 • 平行四边形的应用 • 习题与解答
01
平行四边形的定义与性质
平行四边形的定义
平行四边形的定义
平行四边形是一个平面图形，由两组 相对边平行组成。
平行四边形的表示方法
通常用大写字母表示平行四边形的顶点， 如$ABCD$，其中$AB$和$CD$是相对 边。
形。
对角线互相平分
03
如果一个四边形的对角线互相平分，则该四边形是平行四边形。
平行四边形的判定方法三
两组对角相等
如果一个四边形的两组对角相等，则该四边形是平行四边形 。
一组对角相等
如果一个四边形的一组对角相等，则该四边形是平行四边形 。
03
平行四边形的面积与周长
平行四边形的面积计算
01
02
03
05
习题与解答
基础习题
基础习题1
已知平行四边形ABCD中， ∠A=60°，∠B=120°，则∠C的度
数为多少？
基础习题2
在平行四边形ABCD中，已知 AB=5，BC=3，则CD的长度是
多少？
基础习题3
第5章特殊平行四边形期末复习课件浙教版八年级数学下册
专题二 菱形的判定与性质
【例 2】 (2023 春·杭州市滨江区期末)已知：如图，在菱
形 ABCD 中，过顶点 D 作 DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为 E，
F，连结 EF.
(1)求证：△DEF 为等腰三角形.
(2)若∠DEF＝66°，求∠A 的度数.
【解析】 (1)∵四边形 ABCD 是菱形，∴AD＝CD，∠A＝∠C.∵DE⊥BA，DF⊥CB，
浙教版 八年级下册
第5章 特殊平行四边形
《特殊平行四边形》期末复习
知识整理
特殊平行 四边形
专题一 矩形的判定与性质
【例 1】 (2023 春·杭州市上城区期末)在▱ ABCD 中，E，F 为 BC 上的两点，
且 BE＝CF，AF＝DE. (1)求证：△ABF≌△DCE.
(2)求证：▱ ABCD 是矩形.
专题三 正方形的判定与性质
【例 3】 如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD 平分∠ACB， DE⊥BC，DF⊥AC，E，F 是垂足，那么四边形 CEDF 是正方形吗？ 请说明理由.
(例 3)
【解析】 四边形 CEDF 是正方形.理由如下：∵∠ACB＝90°，CD 平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，∴DE＝DF，∠ECF＝∠CED ＝∠CFD＝90°，∴四边形 CEDF 是矩形.又∵DE＝DF，∴矩形 CEDF 是正方形.
180°－∠B＝48°.
归纳
1.菱形的性质：①菱形的四条边都相等；②菱形的对角线互相垂直， 并且每条对角线平分一组对角；③菱形既是轴对称图形，又是中心 对称图形；④菱形的面积等于对角线乘积的一半.
2.菱形的判定方法：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四 条边相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱 形；④对角线互相垂直平分的四边形是菱形.
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特殊的平行四边形
1、平行四边形ABCD中，若∠A的补角与∠B互余，则∠D的度数是。
2、平行四边形ABCD的周长是18，三角形ABC的周长是14，则对角线AC的长是。
3、矩形ABCD中，点E为边AB上的一点，过点E作直线EF垂直对边CD于F，
若S AEFD：S BCFE=2：1，则DF：FC= 。
4、矩形的两条对角线的一个交角为60 o，两条对角线的和为8cm，则这个矩形的一条较短边为
cm。
120 ,且平分这个内角的对角线长为8cm，则这个菱形的周长为。
5、菱形的一个内角为
6、若正方形的一条角平分线m，则这个正方形的面积为。
7、矩形的一条角平分线分长边为5cm和4cm两部分，则此面积为。
8、正方形ABCD的边BC的延长线上取一点E，使CE=AC，AE与CD交于
点F，则∠AFC= 。
9、如图，矩形纸片ABCD中，AB＝2cm，点E在BC上，且AE＝EC.若将纸片沿
AE折叠，点B恰好与AC上的点'B重合，则AC＝cm。
10、平行四边形的一边长为10cm，那么这个平行四边形的两条对角线长可以是
（）A、4cm和 6cm B、6cm和 8cm C、20cm和 30cm D、8cm 和12cm
11、给定不在同一直线上的三点，则以这三点为顶点的平行四边形有（）
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
12、如图，AE∥BD， BE∥DF， AB∥CD，下面给出四个结论
（1）AB=CD （2）BE=DF （3）S ABDC=S BDFE（4）S△ABE=S△DCF
其中正确的有（） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
13’平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，下列条件中，不能判定它为
菱形的是（） A、AB=AD B、AC⊥BD C、∠A=∠D D、CA平分∠BCD
14、如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC=3：2，则∠BDE的度数为（）
A、36o
B、18o
C、27o
D、9o
15、平行四边形的周长为20cm ，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，AE=2 cm，AF=3 cm，求平行四边形ABCD的
面积。
16、如图，菱形ABCD 中，BE ⊥AD ，BF ⊥CD ，E 、F 为垂足，AE=ED ，求∠EBF 的度数。
17、如图，以△ABC 的边AB 、AC 为边的等边三角ABD 和等边三角形ACE ，四边形ADFE 是平行四边形
（1） 当∠BAC 满足什么条件时，四边形ADFE 是矩形？
（2） 当∠BAC 满足什么条件时，平行四边形ADFE 不存在
（3） 当△ABC 分别满足什么条件时，平行四边形ADFE 是菱形，正方形？
18.如图，将一张矩形纸片（矩形ABCD ）按如图方式折叠，使顶点B 和D 重合，折痕为EF .
（1）连接EB ，求证：四边形EBFD 是菱形；
（2）若AB =3，BC =9，求重叠部分三角形DEF 的面积。
19、如图（1），在△ABC 和△EDC 中，AC ＝CE ＝CB ＝CD ，∠ACB ＝∠ECD ＝ 90，
AB 与CE 交于F ，ED 与AB 、BC 分别交于M 、H ．(1)求证:CF ＝CH ；
(2)如图(2)，△ABC 不动，将△EDC 绕点C 旋转到∠BCE = 45时，试判断
四边形ACDM 是什么四边形？并证明你的结论．
20如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =90°，AD =•24cm ，•AB =•8cm ，•BC =26cm ，动点P 从A 点开始沿AD 边以1cm /s 的速度向点D 运动，动点Q 从C 点开始沿CB •边以3cm /s 的速度向点B
运动，D
A B A 1C
E F
P，Q分别从A，C同时出发，当其中一个动点到达终点时，•另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t（s）．
（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形？
（2）当t为何值时，四边形PQCD是平行四边形？
21.如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.
⑴求证：△AMB≌△ENB；
⑵①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；
②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；
3 时，求正方形的边长.
⑶当AM＋BM＋CM的最小值为1
3、芜湖国际动漫节期间，小明进行了富有创意的形象设计。
如图1，
他在边长为1的正方形ABCD内作等边三角形BCE,并与正方形的对角线
交于F、G点，制成如图2的图标。
则图标中阴影图形AFEGD的面积=_____．
5、如图，已知M、N两点在正方形ABCD的对角线BD上移动，∠MCN=45°，连结
AM、AN，并延长分别交BC、CD于E、F两点，则∠CME+∠CNF=__________.
【例2】在四边形ABCD中，E为边AB上一点，△ADE和△BCE是等边三角形，AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N，求证：四边形PQMN为菱形。
【类题训练】
1、如图所示，在△ABC中，点O是AB边上的一个动点，过点O作直线MN⊥BC，
•设直线MN交∠ABC的平分线于点E，交∠ABC的外角平分线于点F．
（1）求证：EO=FO；
（2）当点O运动到何处时，四边形AEBF是矩形？请证明你的结论．
3、已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE = AF．连接AC交EF于点O，延
长OC至点M，使OM = OA，连接EM、FM．判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．【例4】如图2-37所示．正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E，F，
使DE=AD，DF=BD，连接BF分别交CD，CE于H，G．求证：△GHD
是等腰三角形．
【类题训练】
1、已知：如图，以正方形ABCD的对角线为边作菱形AEFC，B在FE的延长线上．
求证：AE、AF把∠BAC三等分．
初中数学试卷。