直线参数方程t的几何意义

利用直线参数方程t 的几何意义

1、直线参数方程的标准式

(1)过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 的参数方程是

⎩

⎨

⎧+=+=αα

sin cos 00t y y t x x （t 为参数）t 的几何意义：t 表示有向线段P P 0的数量，P(y x ,) P 0P=t ∣P 0P ∣=t 为直线上任意一点.

(2)若P 1、P 2是直线上两点，所对应的参数分别为t 1、t 2，

则P 1P 2=t 2－t 1∣P 1P 2∣=∣t 2－t 1∣

(3)若P 1、P 2、P 3是直线上的点，所对应的参数分别为t 1、t 2、t 3

则P 1P 2中点P 3的参数为t 3＝221t

t +,∣P 0P 3∣=2

21t t +

(4)若P 0为P 1P 2的中点，则t 1＋t 2＝0，t 1·t 2<0 2、直线参数方程的一般式

过点P 0(00,y x )，斜率为a

b

k =的直线的参数方程是

⎩⎨

⎧+=+=bt

y y at

x x 00（t 为参数） 点击直线参数方程： 一、直线的参数方程

问题1：（直线由点和方向确定）

求经过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 的参数方程. 设点P(y x ,)是直线l 上任意一点，（规定向上的 方向为直线L 的正方向）过点P 作y 轴的平行线，过 P 0作x 轴的平行线，两条直线相交于Q 点. 1)当P P 0与直线l 同方向或P 0和P 重合时，

P 0P ＝|P 0P|则P 0Q ＝P 0Pcos αQP ＝P 0Psin α

2)当P P 0与直线l 反方向时，P 0P 、P 0Q 、QP 同时改变符号 P 0P ＝－|P 0P|P 0Q ＝P 0Pcos αQP ＝P 0Psin α仍成立 设P 0P ＝t ，t 为参数，

又∵P 0Q ＝0x x -，0x x -＝tcos α QP ＝0y y -∴0y y -=tsin α

即⎩⎨⎧+=+=α

αsin cos 00t y y t x x 是所求的直线l 的参数方程 ∵P 0P ＝t ，t 为参数，t 的几何意义是：有向直线l 上从已知点P 0(00,y x )到点

P(y x ,)的有向线段的数量，且|P 0P|＝|t| ①当t>0时，点P 在点P 0的上方； ②当t ＝0时，点P 与点P 0重合； ③当t<0时，点P 在点P 0的下方；

特别地，若直线l 的倾斜角α＝0时，直线

⎧+=0t

x

x ④当t>0时，点P 在点P 0的右侧；

⑤当t ＝0时，点P 与点P 0重合；

⑥当t<0时，点P 在点P 0的左侧；

问题2：直线l 上的点与对应的参数t 是不是一对应关系？

我们把直线l 看作是实数轴，

以直线l 向上的方向为正方向，以定点P 0 为原点，以原坐标系的单位长为单位长，

这样参数t 便和这条实数轴上的点P 建立了

一一对应关系. 问题3：P 1、P 2为直线l 12则P 1P 2＝？，∣P 1P 2∣=？

P 1P 2＝P 1P 0＋P 0P 2＝－t 1＋t 2＝t 2－t 1，∣P 1P 2∣=∣t 2－t 1∣ 问题4：若P 0为直线l 上两点P 1、P 2的中点，P 1、P 2参数分别为t 1、t 2，则t 1、t 2之间有何关系？ 根据直线l 参数方程t 的几何意义， P 1P ＝t 1，P 2P ＝t 2，∵P 0为直线l

上两点P 1、P 2的中点，∴|P 1P|＝|P 2P|

P 1P ＝－P 2P ，即t 1＝－t 2,t 1t 2<0

一般地，若P 1、P 2、P 3是直线l 上的点，

所对应的参数分别为t 1、t 2、t 3，P 3为P 1、P 2的中点 则t 3＝2

21t t +（∵P 1P 3＝－P 2P 3,根据直线l 参数方程t 的几何意义，

∴P 1P 3=t 3－t 1,P 2P 3=t 3－t 2,∴t 3－t 1=－(t 3－t 2,)）

性质一：A 、B 两点之间的距离为||||21t t AB -=，特别地，A 、B 两点到0M 的距离分别为.|||,|21t t

性质二：A 、B 两点的中点所对应的参数为

2

2

1t t +，若0M 是线段AB 的中点，则 021=+t t ，反之亦然。

在解题时若能运用参数t 的上述性质，则可起到事半功倍的效果。

应用一：求距离

例1、直线l 过点)0,4(0-P ，倾斜角为6

π

，且与圆722=+y x 相交于A 、B 两点。 （1）求弦长AB. （2）求A P 0和B P 0的长。

解：因为直线l 过点)0,4(0-P ，倾斜角为

6

π

，所以直线l 的参数方程为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧+=+-=6sin 06cos 4π

πt y t x ，即⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧=+-=t y t x 2123

4，（t 为参数），代入圆方程，得 7)2

1

()234(22=++

-t t ，整理得09342=+-t t （1）设A 、B 所对应的参数分别为21,t t ，所以3421=+t t ，921=t t ， 所以||||21t t AB -=.324)(21221=-+=t t t t （2）解方程09342=+-t t 得，3,3321==t t ， 所以A P 033||1==t ，B P 0.3||2==t

应用二：求点的坐标

例2、直线l 过点)4,2(0P ，倾斜角为6

π

，求出直线l 上与点)4,2(0P 相距为4的点的坐标。

解：因为直线l 过点)4,2(0P ，倾斜角为

6

π

，所以直线l 的参数方程为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧+=+=6sin 46cos 2ππt y t x ，即⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧+=+=t

y t x 214232，（t 为参数），（1） 设直线l 上与已知点)4,2(0P 相距为4的点为M 点，且M 点对应的参数为t ，则

||0M P 4||==t ，所以4±=t ，将t 的值代入（1）式，

当t ＝4时，M 点的坐标为)6,322(+； 当t ＝－4时，M 点的坐标为)2,322(-， 综上，所求M 点的坐标为)6,322(+或)2,322(-.

点评：若使用直线的普通方程，利用两点间的距离公式求M 点的坐标较麻烦，而使用直线的参数方程，充分利用参数t 的几何意义求M 点的坐标较容易。