专题：直线参数方程中t的意义理解(高中数学精华)
2017_18学年高中数学第二章参数方程三直线的参数方程教学案
三 直线的参数方程[对应学生用书P27]1．直线的参数方程(1)过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α(t 为参数)(2)由α为直线的倾斜角知α∈[0，π)时，sin α≥0. 2．直线参数方程中参数t 的几何意义参数t 的绝对值表示参数t 所对应的点M 到定点M 0的距离． (1)当M 0M ―→与e (直线的单位方向向量)同向时，t 取正数． (2)当M 0M ―→与e 反向时，t 取负数，当M 与M 0重合时，t ＝0.[对应学生用书P27][例1] 已知直线l 的方程为3x －4y ＋1＝0，点P (1,1)在直线l 上，写出直线l 的参数方程，并求点P 到点M (5,4)的距离．[思路点拨] 由直线参数方程的概念，先求其斜率，进而由斜率求出倾斜角的正、余弦值，从而得到直线参数方程．[解] 由直线方程3x －4y ＋1＝0可知，直线的斜率为34，设直线的倾斜角为α，则tan α＝34，sin α＝35，cos α＝45.又点P (1,1)在直线l 上，所以直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋45t ，y ＝1＋35t (t 为参数)．因为3×5－4×4＋1＝0，所以点M 在直线l 上．由1＋45t ＝5，得t ＝5，即点P 到点M 的距离为5.理解并掌握直线参数方程的转化，弄清参数t 的几何意义，即直线上动点M 到定点M 0的距离等于参数t 的绝对值是解决此类问题的关键．1．设直线l 过点A (2，－4)，倾斜角为5π6，则直线l 的参数方程为________________．解析：直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos5π6，y ＝－4＋t sin 5π6(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－32t ，y ＝－4＋12t (t 为参数)．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－32t ，y ＝－4＋12t (t 为参数)2．一直线过P 0(3,4)，倾斜角α＝π4，求此直线与直线3x ＋2y ＝6的交点M 与P 0之间的距离．解：设直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋22t ，y ＝4＋22t ，将它代入已知直线3x ＋2y －6＝0， 得3(3＋22t )＋2(4＋22t )＝6. 解得t ＝－1125，∴|MP 0|＝|t |＝1125.[例2] 已知直线l 经过点P (1,1)，倾斜角α＝π6，(1)写出直线l 的参数方程．(2)设l 与圆x 2＋y 2＝4相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积．[思路点拨] (1)由直线参数方程的概念可直接写出方程；(2)充分利用参数几何意义求解．[解] (1)∵直线l 过点P (1,1)，倾斜角为π6，∴直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos π6，y ＝1＋t sin π6，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝1＋12t 为所求．(2)因为点A ，B 都在直线l 上，所以可设它们对应的参数为t 1和t 2，则点A ，B 的坐标分别为A (1＋32t 1,1＋12t 1)，B (1＋32t 2,1＋12t 2)， 以直线l 的参数方程代入圆的方程x 2＋y 2＝4整理得到t 2＋(3＋1)t －2＝0，① 因为t 1和t 2是方程①的解，从而t 1t 2＝－2. 所以|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝|－2|＝2.求解直线与圆或圆锥曲线有关的弦长时，不必求出交点坐标，根据直线参数方程中参数t 的几何意义即可求得结果，与常规方法相比较，较为简捷．3．直线l 通过P 0(－4,0)，倾斜角α＝π6，l 与圆x 2＋y 2＝7相交于A 、B 两点．(1)求弦长|AB |； (2)求A 、B 两点坐标．解：∵直线l 通过P 0(－4,0)，倾斜角α＝π6，∴可设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋32t ，y ＝t 2.代入圆方程，得(－4＋32t )2＋(12t )2＝7. 整理得t 2－43t ＋9＝设A 、B 对应的参数分别t 1和t 2， 由根与系数的关系得t 1＋t 2＝43，t 1t 2＝9 ∴|AB |＝|t 2－t 1|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝2 3.解得t 1＝33，t 2＝3，代入直线参数方程 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋32t ，y ＝12t ，得A 点坐标(12，332)，B 点坐标(－52，32)．4.如图所示，已知直线l 过点P (2,0)，斜率为43，直线l 和抛物线y2＝2x 相交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为M ，求：(1)P ，M 间的距离|PM |； (2)点M 的坐标．解：(1)由题意，知直线l 过点P (2,0)，斜率为43，设直线l 的倾斜角为α，则tan α＝43，cos α＝35，sin α＝45，∴直线l 的参数方程的标准形式为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋35t ，y ＝45t(t 为参数)． *∵直线l 和抛物线相交，∴将直线l 的参数方程代入抛物线方程y 2＝2x 中， 整理得8t 2－15t －50＝0，Δ＝152＋4×8×50＞0. 设这个二次方程的两个根为t 1，t 2，由根与系数的关系得t 1＋t 2＝158，t 1t 2＝－254.由M 为线段AB 的中点， 根据t 的几何意义，得|PM | ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22＝1516.(2)因为中点M 所对应的参数为t M ＝1516，将此值代入直线l 的参数方程的标准形式(*)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋35×1516＝4116，y ＝45×1516＝34，即M ⎝⎛⎭⎪⎫4116，34.[对应学生用书P28]一、选择题1．直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t 2，y ＝2－32t ，M 0(－1,2)和M (x ，y )是该直线上的定点和动点，则t 的几何意义是( )A ．有向线段M 0M 的数量B ．有向线段MM 0的数量C ．|M 0M |D ．以上都不是解析：参数方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋－12－t ，y ＝2＋32－t答案：B2．曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t 2＋2，y ＝t 2－1(t 是参数)，则曲线是( )A ．线段B ．双曲线的一支C ．圆D ．射线解析：由y ＝t 2－1得y ＋1＝t 2，代入x ＝3t 2＋2， 得x －3y －5＝0(x ≥2)．故选D. 答案：D3．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3t ，y ＝－1＋t(t 为参数)上对应t ＝0，t ＝1两点间的距离是( )A ．1 B.10 C ．10D ．2 2解析：因为题目所给方程不是参数方程的标准形式，参数t 不具有几何意义，故不能直接由1－0＝1来得距离，应将t ＝0，t ＝1分别代入方程得到两点坐标(2，－1)和(5,0)，由两点间距离公式来求出距离，即－2＋－1－2＝10.答案：B4．若直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)相切，那么直线倾斜角α为( )A.π6 B.π4 C.π3D.π6或5π6解析：直线化为y x＝tan α，即y ＝tan α·x ， 圆方程化为(x －4)2＋y 2＝4， ∴由|4tan α|tan 2α＋1＝2⇒tan 2α＝13， ∴tan α＝±33，又α∈[0，π)，∴α＝π6或5π6. 答案：D 二、填空题5．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋22t ，y ＝－3－22t (t 为参数)上到点M (2，－3)的距离为2且在点M 下方的点的坐标是________．解析：把参数方程化成标准形式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－22－t ，y ＝－3＋22－t ，把－t 看作参数，所求的点在M (2，－3)的下方，所以取－t ＝－2，即t ＝2，所以所求点的坐标为(3，－4)．答案：(3，－4)6．若直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－35t ，y ＝45t(t 为参数)，则直线l 的斜率为______．解析：由参数方程可知，cos θ＝－35，sin θ＝45.(θ为倾斜角)．∴tan θ＝－43，即为直线斜率．答案：－437．已知直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋kt (t 为参数)，l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝s ，y ＝1－2s (s 为参数)，若l 1∥l 2，则k ＝____________；若l 1⊥l 2，则k ＝________.解析：将l 1，l 2的方程化为普通方程，得l 1：kx ＋2y －4－k ＝0，l 2：2x ＋y －1＝0， l 1∥l 2⇒k 2＝21≠4＋k1⇒k ＝4.l 1⊥l 2⇒(－2)·(－k2)＝－1⇒k ＝－1.答案：4 －1 三、解答题8．设直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋3t ，y ＝10－4t(t 为参数)．(1)求直线的普通方程；(2)将参数方程的一般形式化为参数方程的标准形式． 解：(1)把t ＝x －53代入y 的表达式 得y ＝10－x －3，化简得4x ＋3y －50＝0，所以直线的普通方程为4x ＋3y －50＝0. (2)把参数方程变形为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5－35－5t ，y ＝10＋45－5t ，令t ′＝－5t ，即有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5－35t ′，y ＝10＋45t ′(t ′为参数)为参数方程的标准形式．9．已知斜率为1的直线l 过椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点，交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长度．解：因为直线l 的斜率为1，所以直线l 的倾斜角为π4.椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点为(3，0)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋22t ，y ＝22t (t 为参数)，代入椭圆方程x 24＋y 2＝1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋22t 24＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22t 2＝1，整理，得5t 2＋26t －2＝0. 设方程的两实根分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝－265，t 1·t 2＝－25，|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2652＋85＝85， 所以弦AB 的长为85.10．已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos θ，y ＝2＋4sin θ(θ为参数)，直线l 经过定点P (3,5)，倾斜角为π3.(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的标准方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|PA |·|PB |的值． 解：(1)曲线C ：(x －1)2＋(y －2)2＝16，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝5＋32t (t 为参数)．(2)将直线l 的参数方程代入圆C 的方程可得t 2＋(2＋33)t －3＝0，设t 1，t 2是方程的两个根，则t 1t 2＝－3，所以|PA ||PB |＝|t 1||t 2|＝|t 1t 2|＝3.。
(压轴题)高中数学高中数学选修4-4第二章《参数方程》测试题(包含答案解析)(1)
一、选择题1．在直角坐标系xOy 中，曲线C ：22x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）上的点到直线l ：230x y -+=的距离的最小值为（ ）A ．23B ．223C ．233D ．22．已知22451x y +=，则25x y +的最大值是（ ） A ．2 B ．1C ．3D ．93．在参数方程cos sin x a t y b t θθ=+⎧⎨=+⎩，(0θπ<，t 为参数)所表示的曲线上有,B C 两点，它们对应的参数值分别为1t ，2t ，则线段BC 的中点M 对应的参数值是（ ） A ．122t t - B ．122t t + C ．122t t - D ．122t t + 4．曲线的离心率是（ ）A ．B ．C ．2D ．5．已知点()1,2A -，()2,0B ，P 为曲线2334y x =-上任意一点，则AP AB ⋅的取值范围为（ ） A ．[]1,7B ．[]1,7-C ．1,33⎡+⎣D ．1,323⎡-+⎣6．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为()y 4t?x t t 为参数=⎧⎨=+⎩，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为=424πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则直线l 和曲线C 的公共点有 A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个7．已知抛物线的参数方程为2x 4t y 4t ⎧=⎨=⎩，若斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，则线段AB 的长为( )A ．22B ．42C ．8D ．48．若曲线2sin301sin30x t y t =-︒⎧⎨=-+︒⎩（t 为参数）与曲线22ρ=相交于B ，C 两点，则BC 的值为（ ）A ．27B ．60C ．72D ．309．已知点(),P x y 在曲线2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数，且[),2θππ∈）上，则点P 到直线21x t y t =+⎧⎨=--⎩（t 为参数）的距离的取值范围是( )A ．3232,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．0tan 60x = C ．(2,22⎤⎦D ．:::2x r r q q q e αα==10．圆ρ=r 与圆ρ=-2rsin （θ+4π）（r ＞0）的公共弦所在直线的方程为（ ） A ．2ρ（sin θ+cos θ）=r B ．2ρ（sin θ+cos θ）=-rC ．2ρ（sin θ+cos θ）=rD ．2ρ（sin θ+cos θ）=-r 11．在极坐标系下，已知圆的方程为，则下列各点在圆上的是 （ ）A ．B ．C ．D ．12．极坐标cos ρθ=和参数方程12x ty t=--⎧⎨=+⎩（t 为参数）所表示的图形分别是A ．直线、直线B ．直线、圆C ．圆、圆D ．圆、直线二、填空题13．在平面直角坐标系xOy 中，O 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），过点(02)且倾斜角为α的直线l 与O 交于A ，B 两点．则α的取值范围为_________14．已知点B 在圆O ：2216x y +=上，()2,2,A OM OA OB =+，若存在点N 使得MN 为定长，则点N 的坐标是______． 15．直线1413x ty t=+⎧⎨=--⎩（t 为参数）的斜率为______.16．点(),M x y 是椭圆222312x y +=上的一个动点，则2m x y =+的最大值为______17．设直线315:{45x tl y t=+=（t 为参数），曲线1cos :{sin x C y θθ==（θ为参数），直线l 与曲线1C 交于,A B 两点，则AB =__________.18．已知椭圆C 的方程为2212x y +=，若F 为C 的右焦点，B 为C 的上顶点，P 为C 上位于第一象限内的动点，则四边形OBPF 的面积的最大值为__________． 19．曲线1C 的极坐标方程2cos sin ρθθ=，曲线2C 的参数方程为31x ty t =-⎧⎨=-⎩，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则曲线1C 上的点与曲线2C 上的点最近的距离为__________．20．设(,0)M p 是一定点，01p <<，点(,)A a b 是椭圆2214xy +=上距离M 最近的点，则()==a f p ________.三、解答题21．已知直线5:12x l y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的坐标方程为2cos ρθ=． （1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点M的直角坐标为(，直线l 与曲线C 的交点为A 、B ，求AB 的值．22．已知直线l的参数方程为12{2x ty ==(t 为参数)，曲线C 的参数方程为4cos {4sin x y θθ==(θ为参数)． (1)将曲线C 的参数方程化为普通方程；(2)若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求线段AB 的长．23．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程：1221x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴（取相同单位长度）建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为：2cos 0ρθ+=．（1）将直线l 的参数方程化为普通方程，圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求圆C 上的点到直线l 的距离的最小值，并求出此时点的坐标． 24．已知曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以直角坐标系的原点o 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是：12cos sin 6θθρ+=（Ⅰ）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程：（Ⅱ）点P 是曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值与最小值.25．在平面直角坐标系xOy 中，直线1l ：cos ,sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，π02α<<），曲线1C ：2cos 4+2sin x y ββ=⎧⎨=⎩,（β为参数），1l 与1C 相切于点A ，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求1C 的极坐标方程及点A 的极坐标； （2）已知直线2l ：()6R πθρ=∈与圆2C：2cos 20ρθ-+=交于B ，C 两点，记AOB ∆的面积为1S ，2COC ∆的面积为2S ，求1221S S S S +的值. 26．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为32t x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.（t 为参数）.以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为24cos 30p ρθ-+=.（1）求l 的普通方程及C 的直角坐标方程； （2）求曲线C 上的点P 到l 距离的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】设曲线C上点的坐标为()2t ，利用点到直线的距离公式表示出距离，即可求出最小值. 【详解】设曲线C上点的坐标为()2t ， 则C 上的点到直线l的距离2233d===，即C 上的点到直线1． 故选：C. 【点睛】本题考查参数方程的应用，属于基础题.2．A解析：A 【分析】设1cos 2x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则2cos sin 4x πααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，利用三角函数有界性得到最值.【详解】22451x y +=，则设1cos 2x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ，则2cos sin 4x πααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭当4πα=，即4x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故选：A 【点睛】本题考查了求最大值，利用参数方程1cos 25x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩是解题的关键. 3．D解析：D 【解析】 【分析】根据参数的几何意义求解即可。
人教版高中数学选修4-4课件：第二讲三直线的参数方程
解：由题意知 F(1，0)，
x＝1－ 22t，
则直线的参数方程为
(t 为参数)，
y＝
2 2t
代入抛物线方程得( 22t)2＝4(1－ 22t)， 整理得 t2＋4 2t－8＝0，由一元二次方程根与系数的 关系可得 t1＋t2＝－4 2，t1t2＝－8，由参数 t 的几何意义 得 |AB|＝|t1－t2|＝ （t1＋t2）2－4t1t2＝ 64＝8.
x＝3＋ 22t，
解：设直线的参数方程为
y＝4＋
2 2t
(t 为参数)，
将它代入已知直线 3x＋2y－6＝0 得 3(3＋ 22t)＋ 24＋ 22t＝6，解得 t＝－115 2，
则|MP0|＝|t|＝115 2.
[迁移探究] (变换条件，改变问法)过抛物线 y2＝4x
的焦点 F 作倾斜角为34π的直线，它与抛物线交于 A，B 两点，求这两点之间的距离．
4．设直线 l 过点 A(2，－4)，倾斜角为56π，则直线 l 的参数方程是________________．
x＝2＋tcos56π，
解析：直线
l
的参数方程为 y＝－4＋tsin
5 (t 6π
为参
x＝2－ 23t， 数)，即y＝－4＋12t (t 为参数)．
x＝2－ 23t，
答案： y＝－4＋12t
[思考尝试·夯基]
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)直线 y＝2x＋1 的参数方程是xy＝＝2t－t－11，(t 为参 数)．( )
x＝－1＋2t ，
(2)直线的参数方程为 y＝2＋
23t
(t 为参数)，M0(－
1，2)和 M(x，y)是该直线上的定点和动点，则|t|的几何意
直线参数方程中参数t的几何意义及简单应用
直线参数方程中参数t的几何意义及简单应用直线参数方程中的参数t表示直线上任意一点的位置。
具体地，如果直线参数方程为：
x = x1 + at
y = y1 + bt
其中x1、y1、a、b都是已知常数，那么对于任意一个实数t，都可以通过代入上述方程得到直线上的一个点(x,y)。
也就是说，t
代表了直线上的点与起始点(x1,y1)之间的相对位置。
在实际应用中，我们可以根据直线参数方程来求解直线上的点之间的距离、直线的斜率、直线与平面的交点等问题。
例如，若要求直线上点A(x1+at1, y1+bt1)与点B(x1+at2, y1+bt2)之间的距离，可以利用两点间距离公式：
AB = √[(x2-x1) + (y2-y1)]
其中x1 = x1+at1, y1 = y1+bt1, x2 = x1+at2, y2 = y1+bt2。
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专题：直线参数方程中t的意义理解(高中数学精华)
专题:直线参数方程中的几何意义几点分析与解析一． 知识点概述：★若倾斜角为α的直线过点)(00y x M ，，t 为参数，则该直线的参数方程可写为★若直线过点M ，直线与圆锥曲线交于两点P 、Q ，则|MP|、|MQ|的几何意义就是：||||||||21t MQ t MP ==，； |MP|+|MQ|的几何意义就是：=+||||MQ MP |t ||t |21+；|MP|·|MQ|的几何意义就是：||||||21t t MQ MP ⋅=⋅；|PQ|的几何意义就是：2122121214)(|||PQ ||||PQ |t t t t t t t t ⋅-+=-=-=，即.★若过点M )(00y x ，、倾斜角为α的直线l 与圆锥曲线交于A 、B 两点，则弦的中点坐标公式为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+=+++=+=2)sin ()sin (22)cos ()cos (2201021'201021'ααααt y t y y y y t x t x x x x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+++=+=++=+++=+=)(22)()(2)(22)()(2212022012021'211021011021't t p y t p y t p y y y y t t p x t p x t p x x x x ，21p p ，为常数，均不为零 (其中中点M 的相应参数为t ，而221t t t +=，所以中点坐标也为：⎩⎨⎧+=+=t p y y t p x x 2010) ★若过点M )(00y x ，、倾斜角为α的直线l 与圆锥曲线交于A 、B 两点，且M 恰为弦AB 中点，则中点M 的相应参数：221t t t +==0 （因为⎩⎨⎧+=+=tp y y t p x x 200100，而21p p ，均不为0，所以t=0） 体会一：教学中一定要讲清楚直线参数方程的推导过程，并且一定要强调其中参数T 的由来。
【高中数学】参数方程和极坐标方程常考题型及解题方法归纳
参数方程和极坐标方程常考题型及解题方法归纳一、根据直线参数方程中ｔ的几何意义求与距离有关的问题经过点Ｐ（ｘ０，ｙ０），倾斜角为α的直线ｌ的参数方程为ｘ＝ｘ０＋ｔｃｏｓαｙ＝ｙ０＋ｔｓｉｎ烅烄烆α（ｔ为参数），参数ｔ的几何意义是：直线上定点Ｐ到动点Ｍ的有向线段，ｔ表示参数ｔ对应的点Ｍ到定点Ｐ的距离，即｜ｔ｜＝｜ＰＭ｜．若Ａ，Ｂ为直线ｌ上两点，其对应的参数分别为ｔ１与ｔ２，则有：①ＡＢ＝｜ｔ１－ｔ２｜；②当Ａ，Ｂ在点Ｐ的同侧时，ｔ１与ｔ２同号；当Ａ，Ｂ分别在点Ｐ的两侧时，ｔ１与ｔ２异号．需要注意的是：有时候直线的参数方程也可写为ｘ＝ｘ０＋ａｔｙ＝ｙ０＋烅烄烆ｂｔ（ｔ为参数），如果ａ２＋ｂ２≠１，则参数ｔ没有上述几何意义．例１ 在直角坐标系中，以原点为极点，ｘ轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线Ｃ：ρｌｌ与ｌ的普通方程；（２）若ＰＭ，ＭＮ，ＰＮ成等比数列，求ａ的值．分析 （１）利用ｘ＝ρｃｏｓθ，ｙ＝ρｓｉｎθ即可将曲线Ｃ的极坐标方程转化为直角坐标方程，在直线ｌ的参数方程中消去参数ｔ即可得直线ｌ的普通方程；（２）将直线ｌ的参数方程代入曲线Ｃ的直角坐标方程，利用参数的几何意义结合韦达定理即可建立关于ａ的方程求解．解 （１）由ρｓｉｎ２θ＝ａｃｏｓθ得ρ２ ｓｉｎ２θ＝ａρｃｏｓθ，可得曲线Ｃ的平面直角坐标方程ｙ２＝ａｘ（ａ＞０）．由直线ｌ的参数方程消去参数ｔ，可得直线ｌ的普通方程为ｘ－ｙ－１＝０．（２）设点Ｍ，Ｎ对应的参数分别为ｔ１，ｔ２，则ＰＭ＝ｔ１，ＰＮ＝ｔ２，ＭＮ＝ｔ１－ｔ２．将ｘ＝－１＋槡２２ｔ，ｙ＝－２ ＋槡２２ｔ代入ｙ２＝ａｘ，得ｔ２－（槡４ ２ ＋槡２ａ）ｔ＋８＋２ａ＝０．所以Δ＝（槡４ ２ ＋槡２ａ）２－４（８＋２ａ）＝２ａ２＋８ａ＞０，ｔ１＋ｔ２＝槡４ ２ ＋槡２ａ，ｔ１ｔ２＝８＋２ａ．由ＰＭ，ＭＮ，ＰＮ成等比数列，可以得到ｔ１－ｔ２２＝ｔ１ｔ２，所以（ｔ１＋ｔ２）２－４ｔ１ｔ２＝ｔ１ｔ２，即（槡４ ２ ＋槡２ａ）２－５（８＋２ａ）＝０，解得ａ＝１（ａ＝－４舍去）．例２ （２０１５年高考湖南卷）已知直线ｌ：ｘ＝５ ＋槡３２ｔｙ ＝槡３＋１２烅烄烆ｔ（ｔ为参数），以坐标原点为极点，ｘ轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线Ｃ的极坐标方程为ρ＝２ｃｏｓθ．（Ⅰ）将曲线Ｃ的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设点Ｍ的直角坐标为（５，槡３），直线ｌ与曲线Ｃ的交点为Ａ，Ｂ，求｜ＭＡ｜·｜ＭＢ｜的值．分析 （Ⅰ）利用ρ２＝ｘ２＋ｙ２，ｘ＝ρｃｏｓθ即可将已知条件中的极坐标方程转化为直角坐标方程；（Ⅱ）注意到点Ｍ在直线ｌ上，将直线ｌ的参数方程代入圆的直角坐标方程，利用参数的几何意义结合韦达定理即可求解．解 （Ⅰ）ρ＝２ｃｏｓθ等价于ρ２＝２ρｃｏｓθ，将ρ２＝ｘ２＋ｙ２，ρｃｏｓθ＝ｘ代入即得曲线Ｃ的直角坐标方程为ｘ２＋ｙ２－２ｘ＝０．（Ⅱ）结合直线ｌ的参数方程，注意到点Ｍ在直线ｌ上，且（槡３２）２＋（１２）２＝１，可设点Ｍ，Ｎ对应的参数分别为ｔ１，ｔ２，则ＭＡ＝｜ｔ１｜，ＭＢ＝｜ｔ２｜，所以ＭＡ·ＭＢ＝ｔ１ｔ２． 将直线ｌ的参数方程代入曲线Ｃ的直角坐标方程，整理得ｔ２ ＋槡５ ３ｔ＋１８＝０，则ＭＡ·ＭＢ＝ｔ１ｔ２＝１８．例３ 已知圆锥曲线Ｃ：ｘ＝２ｃｏｓαｙ＝ｓｉｎ｛α（α为参数）和定点Ａ（０，，槡３），Ｆ１，Ｆ２是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点Ｏ为极点，以ｘ轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（１）求直线ＡＦ２的极坐标方程；（２）经过点Ｆ１且与直线ＡＦ２垂直的直线ｌ交此圆锥曲线于Ｍ，Ｎ两点，求ＭＦ１－ＮＦ１的值．解 （１）消去参数α即可将曲线Ｃ的方程化为普通方程ｘ２４＋ｙ２＝１，从而可求得Ｆ１（－槡３，０），Ｆ２（槡３，０），于是可得直线ＡＦ２的普通方程为ｘ＋ｙ－槡３＝０，利用互化公式化为极坐标方程为ρｃｏｓθ＋ρｓｉｎθ＝槡３．（２）由（１）可得ｋＡＦ２＝－１，所以直线ｌ的倾斜角为４５°，从而可得直线ｌ的参数方程为ｘ＝－槡３ ＋槡２２ｔｙ ＝槡２２烅烄烆ｔ（ｔ为参数），代入椭圆Ｃ的直角坐标方程：ｘ２４＋ｙ２＝１，得５ｔ２－槡２ ６ｔ－２＝０，设点Ｍ，Ｎ对应的参数分别为ｔ１，ｔ２，注意到点Ｍ，Ｎ，Ｆ１都在直线ｌ上且点Ｍ，Ｎ在点Ｆ１两侧，所以｜ＭＦ１｜－｜ＮＦ１｜＝｜ｔ１＋ｔ２｜＝槡２ ６５．评注 对于直线上与定点距离有关的问题，利用直线参数方程中参数ｔ的几何意义，能避免通过解方程组求交点坐标的繁琐运算，使解题过程得到简化．二、利用参数方程求最值和取值范围利用曲线的参数方程求解两曲线间的最值问题，是解决这类问题的常用方法，优点是解题过程比较简洁．为此，需要熟悉常见曲线的参数方程、参数方程与普通方程的互化以及参数方程的简单应用．例４ 已知曲线Ｃ１：ｘ＝８ｃｏｓｔｙ＝２ｓｉｎ｛ｔ（ｔ为参数），以坐标原点为极点，ｘ轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线Ｃ２的极坐标方程为ρ＝７ｃｏｓθ－ｓｉｎθ．（１）将曲线Ｃ１的参数方程化为普通方程，将曲线Ｃ２的极坐标方程化为直角坐标方程．（２）设Ｐ为曲线Ｃ１上的点，点Ｑ极坐标为（２槡２，π４），求ＰＱ的中点与曲线Ｃ２上的点的距离的最小值．分析 （１）利用参数方程和普通方程之间的关系进行互化即可，（２）先把点Ｑ的极坐标化为直角坐标，设出点Ｐ的参数形式的直角坐标（ｔ为参数），进而得到ＰＱ的中点Ｍ的直角坐标，可用公式得到点Ｍ到直线Ｃ２的距离ｄ的表达式（用参数ｔ表示），再求最值即可．解 （１）由曲线Ｃ１的参数方程消去参数ｔ得曲线Ｃ１的普通方程ｘ２６４＋ｙ２４＝１．由曲线Ｃ２的极坐标方程得ρｃｏｓθ－ρｓｉｎθ＝７，于是可得它的直角坐标方程为ｘ－ｙ－７＝０．（２）由点Ｑ的极坐标（槡２ ２，π４）可得它的直角坐标为（２，２），设Ｐ（８ｃｏｓｔ，２ｓｉｎｔ），则ＰＱ的中点Ｍ的直角坐标为（４ｃｏｓｔ＋１，ｓｉｎｔ＋１），所以，点Ｍ到直线Ｃ２的距离ｄ＝４ｃｏｓｔ－ｓｉｎｔ－７槡２＝槡１７ｃｏｓ（ｔ＋φ）－７槡２，其中φ为锐角，且ｔａｎφ＝１４．当ｃｏｓ（ｔ＋φ）＝１时，ｄ取得最小值ｄｍｉｎ＝槡７ ２ －槡３４２．所以，ＰＱ的中点Ｍ与曲线Ｃ２上的点的距离的最小值为槡７ ２ －槡３４２．例５ （２０１４年全国卷Ⅰ）已知曲线Ｃ：ｘ２４＋ｙ２９＝１，直线ｌ：ｘ＝２＋ｔｙ＝２－２｛ｔ（ｔ为参数）．（Ⅰ）写出曲线Ｃ的参数方程和直线ｌ的普通方程；（Ⅱ）过曲线Ｃ上任一点Ｐ作与ｌ夹角为３０°的直线，交ｌ于点Ａ，求｜ＰＡ｜的最大值与最小值．分析 （Ⅰ）利用椭圆的普通方程及直线的参数的特征进行互化即可；（Ⅱ）由椭圆的参数方程建立｜ＰＡ｜的三角函数表达式，再求最值．图１解 （Ⅰ）曲线Ｃ的参数方程为ｘ＝２ｃｏｓθｙ＝３ｓｉｎ｛θ（θ为参数），直线ｌ的普通方程为２ｘ＋ｙ－６＝０．（Ⅱ）如图１，在曲线Ｃ上任意取一点Ｐ（２ｃｏｓθ，３ｓｉｎθ），它到直线ｌ的距离为：ｄ＝槡５５４ｃｏｓθ＋３ｓｉｎθ－６，则｜ＰＡ｜＝ｄｓｉｎ３０°＝槡２ ５５｜５ｓｉｎ（θ＋α）－６｜，其中α为锐角，且ｔａｎα＝４３．当ｓｉｎ（θ＋α）＝－１时，｜ＰＡ｜取得最大值，最大值为槡２２ ５５；当ｓｉｎ（θ＋α）＝１时，｜ＰＡ｜取得最小值，最小值为槡２ ５５．例６ （２０１５年高考陕西卷）在直角坐标系ｘΟｙ中，直线ｌ的参数方程为ｘ＝３＋１２ｔｙ ＝槡３２烅烄烆ｔ（ｔ为参数）．以原点为极点，ｘ轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙Ｃ的极坐标方程为ρ＝槡２ ３ｓｉｎθ．（Ⅰ）写出⊙Ｃ的直角坐标方程；（Ⅱ）Ρ为直线ｌ上一动点，当Ρ到圆心Ｃ的距离最小时，求Ρ的直角坐标．分析 （Ⅰ）利用ｘ＝ρｃｏｓθ，ｙ＝ρｓｉｎθ，由⊙Ｃ的极坐标方程可得它的直角坐标方程；（Ⅱ）先设点Ρ的参数坐标，可得ΡＣ的函数表达式，再利用函数的性质可得ΡＣ的最小值，进而可得Ρ的直角坐标；或将直线ｌ的方程化为普通方程，再求过圆心且垂直于直线ｌ的直线方程，联立两方程可解得点Ｐ的直角坐标．解 （Ⅰ）由ρ＝槡２ ３ｓｉｎθ，得ρ２ ＝槡２ ３ρｓｉｎθ，从而，⊙Ｃ的直角坐标方程为ｘ２＋ｙ２ ＝槡２ ３ｙ，即ｘ２＋（ｙ－槡３）２＝３．（Ⅱ）设Ｐ（３＋１２ｔ，槡３２ｔ），又Ｃ（０，槡３），则｜ＰＣ｜＝（３＋１２ｔ）２＋（槡３２ｔ －槡３）槡２＝ｔ２＋槡１２，易知：当ｔ＝０时，ΡＣ取得最小值，此时Ρ点的直角坐标为（３，０）．评注 将曲线的参数方程化为普通方程的关键是消去其中的参数，常用的技巧有：代入消参、加减消参、整体消参、平方后加减消参等．如果题目中涉及圆、椭圆上的动点求相关最值（范围）问题时，可考虑用其参数方程设出点的坐标，将问题转化为函数问题来解决，可以使解题的过程更简洁．例７ （２０１６年全国卷Ⅱ理科第２０题）已知椭圆Ｅ：ｘ２ｔ＋ｙ２３＝１的焦点在ｘ轴上，Ａ是Ｅ的左顶点，斜率为ｋ（ｋ＞０）的直线交Ｅ于Ａ，Ｍ两点，点Ｎ在Ｅ上，ＭＡ⊥ＮＡ．（Ⅰ）当ｔ＝４，ＡＭ＝ＡＮ时，求△ＡＭＮ的面积；（Ⅱ）当２ ＡＭ＝ＡＮ时，求ｋ的取值范围．分析 （Ⅰ）先结合已知条件设出直线ＡＭ的参数方程，代入椭圆方程，可求得ＡＭ，进而求得△ＡＭＮ的面积；（Ⅱ）设出直线ＡＭ、ＡＮ的参数方程（以直线ＡＭ的倾斜角α为参数），代入椭圆方程，用ｔ和α表示｜ＡＭ｜和｜ＡＮ｜，再利用２ ＡＭ＝ＡＮ将ｔ表示为ｋ的函数，结合ｔ＞３，可求得ｋ的取值范围．解 （Ⅰ）当ｔ＝４，ＡＭ＝ＡＮ时，可得点Ａ（－２，０），ｋ＝１．设直线ＡＭ的参数方程为ｘ＝－２＋槡２２ｍｙ ＝槡２２烅烄烆ｍ（ｍ为参数），代入椭圆方程，整理得７２ｍ２－槡６ ２ ｍ＝０，故ＡＭ ＝槡１２ ２７，所以Ｓ△ＡＭＮ＝１２ＡＭ·ＡＮ＝１４４４９．（Ⅱ）设直线ＡＭ的倾斜角为α，又点Ａ（－槡ｔ，０），可设直线ＡＭ的参数方程为ｘ＝－槡ｔ＋ｍｃｏｓαｙ＝ｍｓｉｎ烅烄烆α（ｍ为参数），代入椭圆方程，整理得（３ｃｏｓ２α＋ｔ ｓｉｎ２α）ｍ２－６ｔｃｏｓα·ｍ＝０，所以ＡＭ＝６ｔｃｏｓα３ｃｏｓ２α＋ｔ ｓｉｎ２α．因为ＭＡ⊥ＮＡ，故直线ＡＮ的倾斜角为α＋π２，同理可得：ＡＮ＝６ｔｃｏｓ（α＋π２）３ｃｏｓ２（α＋π２）＋ｔ ｓｉｎ２（α＋π２）＝６ｔｓｉｎα３ｓｉｎ２α＋ｔ ｃｏｓ２α．由２ ＡＭ＝ＡＮ，ｋ＝ｔａｎα，代入化简得ｔ＝６ｋ２－３ｋｋ３－２．又因为椭圆Ｅ：ｘ２ｔ＋ｙ２３＝１的焦点在ｘ轴上，所以ｔ＞３，即６ｋ２－３ｋｋ３－２＞３，解得３槡２＜ｋ＜２．所以，ｋ的取值范围是（３槡２，２）．评注 本题属于圆锥曲线试题，常规思路是利用直角坐标直接求解，过程比较复杂．利用直线的参数方程来求解本题，使问题的求解过程变得简洁．三、利用极坐标中ρ的几何意义求有关距离或相关问题我们知道，极坐标中的ρ为极径，表示曲线上一点与原点Ｏ之间的距离，因此，与原点Ｏ有关的距离、面积等问题都可考虑运用极坐标中ρ的几何意义来解决，这是一种有效的解题策略，很多时候比化为直角坐标运算更简便．例８ （２０１５年高考全国卷Ⅱ）在直角坐标系ｘＯｙ中，曲线Ｃ１：ｘ＝ｔｃｏｓα，ｙ＝ｔｓｉｎα｛，（ｔ为参数，ｔ≠０），其中０≤α＜π，在以Ｏ为极点，ｘ轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线Ｃ２：ρ＝２ｓｉｎθ，曲线Ｃ３：ρ＝２ 槡３ｃｏｓθ．（Ⅰ）求Ｃ２与Ｃ１的交点的直角坐标；（Ⅱ）若Ｃ２与Ｃ１相交于点Ａ，Ｃ３与Ｃ１相交于点Ｂ，求ＡＢ的最大值．分析 （Ⅰ）可将曲线Ｃ２与Ｃ１的极坐标方程化为直角坐标方程后联立求交点的直角坐标，也可以直接联立极坐标方程求得交点的极坐标，再化为直角坐标；（Ⅱ）分别联立Ｃ２与Ｃ１、Ｃ３与Ｃ１的极坐标方程，求得Ａ，Ｂ的极坐标，由极径的概念用α表示出ＡＢ，转化为求关于α的三角函数的最大值．解 （Ⅰ）曲线Ｃ２的直角坐标方程为ｘ２＋ｙ２－２ｙ＝０，曲线Ｃ３的直角坐标方程为ｘ２＋ｙ２ －槡２ ３ｘ＝０．联立两方程解得：ｘ１＝０，ｙ１＝０烅烄烆，ｘ２＝槡３２，ｙ２＝３２烅烄烆，所以，Ｃ２与Ｃ１的交点的直角坐标为（０，０）和（槡３２，３２）．（Ⅱ）曲线Ｃ１的极坐标方程为θ＝α（ρ∈Ｒ，ρ≠０），其中０≤α＜π．于是可得：点Ａ的极坐标为（２ｓｉｎα，α），点Ｂ的极坐标为（槡２ ３ｃｏｓα，α）．所以ＡＢ＝２ｓｉｎα－槡２ ３ｃｏｓα＝４｜ｓｉｎ（α－π３）｜，又０≤α＜π，所以，当α＝５π６时，ＡＢ取得最大值，最大值为４．评注 如果用直角坐标来处理本题，计算量较大．例９ （２０１６年全国卷Ⅱ理科第２３题）在直线坐标系ｘＯｙ中，圆Ｃ的方程为（ｘ＋６）２＋ｙ２＝２５．（Ⅰ）以坐标原点为极点，ｘ轴正半轴为极轴建立极坐标系，求Ｃ的极坐标方程；（Ⅱ）直线ｌ的参数方程是ｘ＝ｔｃｏｓα，ｙ＝ｔｓｉｎα｛，（ｔ为参数），ｌ与Ｃ交于Ａ，Ｂ两点，｜ＡＢ｜＝槡１０，求ｌ的斜率．分析 （Ⅰ）利用ρ２＝ｘ２＋ｙ２，ｘ＝ρｃｏｓθ可得Ｃ的极坐标方程；（Ⅱ）先将直线ｌ的参数方程化为极坐标方程，再利用弦长公式可求得ｌ的斜率．解 （Ⅰ）由ｘ＝ρｃｏｓθ，ｙ＝ρｓｉｎθ可得Ｃ的极坐标方程ρ２＋１２ρｃｏｓθ＋１１＝０．（Ⅱ）在（Ⅰ）中建立的极坐标系中，直线ｌ的极坐标方程为θ＝α（ρ∈Ｒ），与Ｃ的极坐标方程联立得ρ２＋１２ρｃｏｓα＋１１＝０．设点Ａ，Ｂ所对应的极径分别为ρ１，ρ２，则ρ１＋ρ２＝－１２ｃｏｓα，ρ１ρ２＝１１，所以｜ＡＢ｜＝｜ρ１－ρ２｜＝（ρ１＋ρ２）２－４ρ１ρ槡２＝１４４ｃｏｓ２α－槡４４．又｜ＡＢ｜＝槡１０，所以１４４ｃｏｓ２α－槡４４ ＝槡１０，解得ｃｏｓ２α＝３８，故ｔａｎα＝±槡１５３，所以，直线ｌ的斜率为槡１５３或－槡１５３．例１０ （２０１５年高考全国卷Ⅰ理科第２３题）在直角坐标系ｘＯｙ中，直线Ｃ１：ｘ＝－２，圆Ｃ２：（ｘ－１）２＋（ｙ－２）２＝１，以坐标原点为极点，ｘ轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求Ｃ１，Ｃ２的极坐标方程；（Ⅱ）若直线Ｃ３的极坐标方程为θ＝π４（ρ∈Ｒ），设Ｃ２与Ｃ３的交点为Ｍ，Ｎ，求△Ｃ２ＭＮ的面积．分析 （Ⅰ）根据公式ｘ＝ρｃｏｓθ，ｙ＝ρｓｉｎθ，ｘ２＋ｙ２＝ρ２即可求得Ｃ１，Ｃ２的极坐标方程；（Ⅱ）联立直线Ｃ３和圆Ｃ２的极坐标方程得到关于ρ的方程，可求得ＭＮ，进而可求出△Ｃ２ＭＮ的面积．解 （Ⅰ）因为ｘ＝ρｃｏｓθ，ｙ＝ρｓｉｎθ，所以，可求得：Ｃ１的极坐标方程为ρｃｏｓθ＝－２，Ｃ２的极坐标方程为ρ２－２ρｃｏｓθ－４ρｓｉｎθ＋４＝０．（Ⅱ）将Ｃ３的极坐标方程θ＝π４代入Ｃ２的极坐标方程ρ２－２ρｃｏｓθ－４ρｓｉｎθ＋４＝０，得ρ２ －槡３ ２ρ＋４＝０，解得ρ１＝槡２ ２，ρ２＝槡２，所以，ＭＮ＝ρ１－ρ２＝槡２．又因为Ｃ２的半径为１，∠Ｃ２ＭＮ＝π４，所以△Ｃ２ＭＮ的面积为Ｓ＝１２×槡２×１×ｓｉｎπ４＝１２．评注 过坐标原点、倾斜角为θ０的直线的极坐标方程为θ＝θ０，其上两点Ｐ（ρ１，θ０），Ｑ（ρ２，θ０）间的距离为ＰＱ＝ρ１－ρ２．【一点感悟】参数方程和极坐标虽然是选考内容，也应得到充分的重视，如果能够将它们和普通方程有机联系，相互补充，可以优化解题思路，简化计算过程，减少运算量，提高解题的效率．。
高中数学《参数方程-直线的参数方程》课件
-1-
2.1
直线的参数方程
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首 页
课程目标
1.掌握直线参数方程的标准形
式,理解参数 t 的几何意义.
2.能依据直线的几何性质,写出
它的两种形式的参数方程,体会
参数的几何意义.
3.能利用直线的参数方程解决
简单的实际问题.
学习脉络
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
3π
4
3π
= -1 + cos ,
4
3π (t
= 2 + sin
4
解:因为 l 过定点 M,且 l 的倾斜角为 ,
所以它的参数方程是
即
2
t,
2
(t
2
+ t
2
= -1=2
为参数).
为参数).①
把①代入抛物线方程,得 t2+ 2t-2=0.
解得 t1=
- 2+ 10
- 2- 10
,t2=
5
= 1 + t,
=
为参数).
因为 3×5-4×4+1=0,所以点 M 在直线 l 上.
4
5
由 1+ t=5,得 t=5,即点 P 到点 M 的距离为 5.
因为 3×(-2)-4×6+1≠0,所以点 N 不在直线 l 上.
由两点间距离公式得|PN|= (1 + 2)2 + (1-6)2 = 34.
π
6
即 α= 或
5π
3
时,|PA||PB|最小,其最小值为
1
6
2 1+4
6
人教版高中数学《利用t的几何意义求解距离问题》
则
x1x1x2x2132
AB 1 k 2 (x1 x2 )2 4x1x2 14
A
t2 B t1
P
AB t1 t2
t1 P A t2
B
AB t2 t1
t2 t1
t1 t2
6 极点 O 为原点，极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系． （1）求直线 OP 的参数方程和曲线 C 的直角坐标方程； （2）若直线 OP 与曲线 C 交于 A 、 B 两点，求 1 1 的值．
PA PB
解：Q 2 cos 2 2 cos2 2 sin2 又Q x cos , y sin
t2 2
2t 4 0
y
1
2t 2
设t1、t2分别为A、B所对应的参数， 则t1t1t2t242 2
t2 2 2t 4 0 则t1t1t2t242 2
① PA PB t1 t2 t1t2 4
t1
A
P
B t2
② PA PB tt11 t2t2 t1 t2 t1 t2 2 4t1t2 2 6
直线 l 与曲线 C 的交点为 A ， B ，求| AB | 的值.
2
解：将l
:
x
t 2
代入x2 +y2 4 y 0，得 :
y
1
2t 2
设t1、t2分别为A、B所对应的参数，则t1t1t2t23 2
AB t1 t2 t1 t2 2 4t1t2 14
直线过点(2,0)，倾斜角为
6
l3：x
y
直线的参数方程中t的几何意义总结
直线的参数方程中t的几何意义总结直线的参数方程中t的几何意义总结直线是平面几何中的基本图形之一，其参数方程是直线研究中常用的一种表达方式。
在直线的参数方程中，t代表着自变量，其具有较为重要的几何意义。
下面将从不同角度出发，对直线参数方程中t的几何意义进行总结。
一、t表示直线上某一点到起点距离所占总距离的比例在平面直角坐标系中，设直线L过点A(x1,y1)和B(x2,y2)，则L的参数方程为：x = x1 + t(x2 - x1)y = y1 + t(y2 - y1)其中0≤t≤1。
这时，我们可以将t理解为从A到B这条线段上任意一点P到A点距离与AB长度之比。
例如当t=0.5时，P点距离A点和B点的长度相等，即P点处于AB 中点M处；当t=0时，P点位于A点处；当t=1时，P点位于B点处。
因此，在L的参数方程中，t表示了从起始端点到任意一点所需走过路程与整条直线长度之比。
二、t表示向量AB与向量AP夹角余弦值在向量学中，向量的夹角是指两个向量之间的夹角，其余弦值可以用点积公式来表示。
在直线参数方程中，我们可以将t理解为从起点A到任意一点P所对应的向量AP与直线L上已知向量AB之间的夹角余弦值。
设向量AB=(x2-x1,y2-y1)，向量AP=(x-x1,y-y1)，则有：cosθ = (AB·AP) / (|AB|×|AP|)= [(x2-x1)(x-x1)+(y2-y1)(y-y1)] / [(x2-x1)²+(y2-y1)²]^(1/2) × [(x-x1)²+(y-y1)²]^(1/2)其中θ为向量AB与向量AP之间的夹角。
因此，在直线参数方程中，t也可以表示从起始点A出发到任意一点P所对应的向量与已知向量之间的夹角余弦值。
三、t表示平面上一条射线上某个点到起点距离在平面几何中，射线是由一个端点和以该端点为原点的半直线组成的。
高中数学极坐标系与参数方程---直线参数方程
1 t sin
t cosα代入x α
y
3
0中，
1 t cosα t sinα 3 0 t 4
cosα sin α
| PN || t ||
4
|
cosα sin α
4
| PM | | PN | | 2(cosα sin α) | | cosα sin α |
8
t1 t2 2 2 sin α
tP
t1 t2 2
2 sin α
P在l上
P(
x,
y)满足x y
2
sin 2
α
cos α 2 sin
2
α
x
y
2 sin 2α 2 2 2
22
cos
, 2α
(α为参数，α
（π，3π）) 44
在平面直角坐标系
xOy中，曲线
C1过点P(a,1),
其参数方程为
bt a2 b2
在直角坐标系
xOy中，曲线 C的参数方程为
x
y
2 cosθ ,
4sin θ
(θ为参数）.直线l的参数方程为
x
y
1 t cos 2 t sin
α ,
α
(t为参数）.
(1)求C和l的直角坐标方程 .
(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为 （1,2），求l的斜率.
消参
(1)C
t1 t2 2 2 t1t2 2 8a
a
1 36
0,
符合题意
t1 2t2
t1 t2 t1t2
2 2 2 8a
a
9
0,
t1 2t2
4
符合题意
在平面直角坐标系
直线参数方程t的几何意义
直线参数方程t的几何意义
1 几何意义
直线参数方程t是一种数学表达式，描述的是一条直线上所有点的位置。
它很好地表现出空间中的直线，是一种非常实用的空间表达方式。
直线参数方程t的广义形式如下：
t（X,Y）= X * Cosα + Y * Sinα – a
其中X,Y是一个直线上的点的极坐标，a是表达直线的参数，α是一个系数。
该系数α描述的是以原点为基准，水平方向为0°时，直线与水平方向的偏角，也叫斜率角或偏角。
但凡参数t的系数a和α都一定，则t可以表达出特定一条直线，从中可以看出t“=0”这条直线本身。
当
t“>0”或者“<0”时，表示一个空间中到该直线上某一点的距离，当t“=0”时，表示在直线上某一点的位置。
因此，直线参数方程t的几何意义就是用它来描述一条直线以及距离该直线距离的具体数值。
空间中任意一点到该直线距离可由t值来确定，如果t值等于0，就表示该点在该直线上。
这样就可以将直线参数方程t用来描述空间中任意一条直线，该方法非常方便、实用。
第04讲-直线参数t的几何意义-2020届一轮复习数学套路之极坐标与参数方程(解析版)
第四讲 直线参数t 的几何意义1．直线的参数方程(1)过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数为00cos (sin x x t t y y t αα=+⎧⎪⎨=+⎪⎩为参数）(2)由α为直线的倾斜角知α∈[0，π)时，sin α≥0. 2．直线参数方程中参数t 的几何意义参数t 的绝对值表示参数t 所对应的点M 到定点M 0的距离．(1)当0M M u u u u u r与e (直线的单位方向向量)同向时，t 取正数．(2)当0M M u u u u u r与e 反向时，t 取负数，(3)当M 与M 0重合时，t ＝0.3.经过点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为为参数）t t y y t x x (sin cos 00⎩⎨⎧+=+=αα若A ，B 为直线l 上两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到： (1)t 0=t 1＋t 22； (2)|PM |=|t 0|=t 1＋t 22； (3)|AB |=|t 2－t 1|； (4)|PA |·|PB |=|t 1·t 2|（5）212121212121212()4,0,0t t t t t t t t PA PB t t t t t t ⎧-=+-<⎪+=+=⎨+>⎪⎩当当（注：记住常见的形式，P 是定点，A 、B 是直线与曲线的交点，P 、A 、B 三点在直线上） 【特别提醒】(1)直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且其几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离，即|M 0M |=|t |.(2)直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为12,t t ，则弦长12l t t =-；知识解读考向一 参数t 的系数的平方和为1【例1】已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos θ，y ＝2＋4sin θ(θ为参数)，直线l 经过定点P (3,5)，倾斜角为π3.(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的标准方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|PA |·|PB |的值．【答案】（1）见解析 （2）3【解析】(1)曲线C ：(x －1)2＋(y －2)2＝16，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝5＋32t(t 为参数)．(2)将直线l 的参数方程代入圆C 的方程可得t 2＋(2＋33)t －3＝0，设t 1，t 2是方程的两个根，则t 1t 2＝－3，所以|PA ||PB |＝|t 1||t 2|＝|t 1t 2|＝3. 学科&网【举一反三】1.已知曲线C 1的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=， C 2的参数方程为32(32x t t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数）（1）将曲线C 1与C 2的方程化为直角坐标系下的普通方程； （2）若C 1与C 2相交于A 、B 两点，求AB .【答案】(1)曲线C 1的普通方程y 2=4x ,C 2的普通方程x+y-6=0 ；（2）AB 【解析】（1）曲线C 1的普通方程为y 2=4x ， 曲线C 2的普通方程为x+y-6=0（2）将C 2的参数方程代入C 1的方程y 2=4x，得23=43-+（）（）整理可得260t +-=，由韦达定理可得12126t t t t +=-=-12AB t t =-==2.已知曲线C 的极坐标方程是4sin 0ρθ-=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 过点M （1，0），倾斜角为34π. （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的参数方程； （Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求MA MB +的值. 【答案】（Ⅰ）曲线C 的直角坐标方程为：x 2+(y-2)2=4，直线l的参数方程为1(x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）因为曲线C 的极坐标方程是4sin 0ρθ-=即曲线C 的直角坐标方程为：x 2+(y-2)2=4直线l 的参数方程31+t cos 4(3sin 4x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）即1(x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）（Ⅱ）设点A 、B 对应的参数分别为t 1，t 2将直线l 的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得22(1)2)4-+-=整理，得210t -+=，由韦达定理得12121t t t t +== 因为t 1t 2>0，所以1212MA MB t t t t +=+=+=考向二 t 系数平方和不等于1【例2】在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C 的参数方程为12{22x t y t=+=-（t 为参数），以O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴，曲线2C 的极坐标方程为： 22cos sin θρθ=. （Ⅰ）将曲线1C 的方程化为普通方程；将曲线2C 的方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）若点()1,2P ，曲线1C 与曲线2C 的交点为A B 、，求PA PB +的值.【答案】(Ⅰ) 12:30,:C x y C +-= 22y x =；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ） 1:3C x y +=，即： 30x y +-=；222:sin 2cos C ρθρθ=，即： 22y x =（Ⅱ）方法一：由t 的几何意义可得C 1的参数方程为12(t 22x ty t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数）代入22:2C y x =得26240t t ++=∴1262t t +=-，∴1262PA PB t t +=+=. 方法二：把1:3C x y +=代入22:2C y x =得2890x x -+=所以128x x +=， 129x x = 所以()221212*********PA PB x x x x +=+-++-=⨯-+-()()1221128262x x =⨯-+-=⨯-=【举一反三】1.在平面直角坐标系xOy 中，直线的参数方程为3(3x tt y t⎧=⎪⎨⎪=-⎩为参数）数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为cos ρθ=. （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）设点3,0)，直线l 与曲线C 交于不同的两点A 、B ，求MA MB ⋅的值. 【答案】（1）直线l 330x y +-=，【总结套路】直线参数t 几何意义运用最终版套路 第一步--化：曲线化成普通方程，直线化成参数方程；第二步--查：检查直线参数t 的系数平方和是否为1，如果是，进行第三步；如果否，则先化1.2202200022(t a b y t a x x t x x at a b t y y bt b y y t a b ±+⎧=+⎪=+⎧+⎪⎪−−−−−→⎨⎨=+⎪⎪⎩=+⎪+⎩前的系数同时除以保证中的的系数为正数为参数） 第三步--代：将直线的参数方程代入曲线的普通方程，整理成关于t 的一元二次方程：02=++c bt at第四步--写：写出韦达定理：a c t t a b t t =-=+2121,曲线C 的直角坐标方程(x-2)2+y 2=4； （2）3MA MB ⋅=-【解析】（1）直线l30y +-= 因为曲线C 的极坐标方程为cos ρθ=. 所以曲线C 的直角坐标方程(x-2)2+y 2=4；(2)点在直线l 上，且直线l 的倾斜角为120°，可设直线的参数方程为：12(x t t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）代入到曲线C 的方程得：30t +-=，由韦达定理得12122,t t t t +==-由参数的几何意义知123MA MB t t ⋅==。
高中数学微专题教学探析
高中数学微专题教学探析对老师而言，“微专题”不仅促进教师专业成长，还可以更好了解学生对知识掌握的情况。
对学生而言，“微专题”能提高他们的解题能力，有助思维发展，感受数学的魅力，增加对数学的兴趣。
学生拿了一道关于直线的参数方程的题目以及参考答案过来，问道：“老师，为什么算线段|AB|的长时，|t1t2|这里要乘以5？”这个是非标准形式的参数方程，但是这个倾斜角并不是特殊角，所以不知道这条直线倾斜角的正弦值和余弦值，从而无法写出直线的标准方程，这样子就没有书本上说的几何意义，那到底怎么做呢？答案上为什么最后还要乘以呢？具体的问题和解答如下：问题：已知直线参数方程为，它与曲线交于A ，B 两点，求|AB|的长。
解：把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得设A ，B 对应的t1、t2，则，所以，线段|AB|的长为因为这一道题以及学生出现的情况，我设计了一个关于探究直线的参数方程中t 几何意义的微专题。
一、微专题的教学设计直线的参数方程主要解决线段的长度以及线段与线段之间的问题，利用直线的参数方程中参数t的几何意义，能够大大地减少计算量。
同时，这也要结合转化思想和数学结合的思想，下面是探究直线非标准形式下参数方程的几何意义的微专题过程。
问题1：已知直线参数方程为它与曲线交于A，B两点，求|AB|的长。
分析：我们发现，根据直线参数方程的标准式下|t|的几何意义，利用公式和韦达定理可以解得|AB|的长度。
解：把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得设A、B 对应的t1、t2 ，则，所以，线段的长为问题2：已知直线参数方程为（t为参数），它与曲线交于A，B两点，求|AB|的长。
分析：我们可以发现，所以这不是标准形式。
如果我们知道直线的一个点和倾斜角，我们可以写出直线参数方程的标准形式。
消参后得到直线的普通方程为，得到线上一点坐标（-1，2），倾斜角为，从而写出標准的参数方程。
接下来的解答同问题1一样。
高中数学选修4-4-参数方程
参数方程知识集结知识元参数方程知识讲解1．参数方程的概念【知识点的认识】参数方程的定义在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标（x，y）都是某个变数t的函数，即，并且对于t的每一个允许值，由该方程组所确定的点M（x，y）都在这条曲线上，那么此方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数．对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程F（x，y）＝0叫做普通方程．2．参数方程化成普通方程【知识点的认识】参数方程和普通方程的互化由参数方程化为普通方程：消去参数，消参数的方法有代入法、加减（或乘除）消元法、三角代换法等．如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f（t），把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g（t），那么就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．3．直线的参数方程【知识点的认识】直线、圆锥曲线的普通方程和参数方程轨迹普通方程参数方程直线y﹣y0＝tan α（x﹣x0）（t为参数）圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（θ为参数）椭圆（θ为参数）+＝1（a＞b＞0）双曲线（θ为参数）﹣＝1抛物线y2＝2px（p＞0）（t为参数）【解题思路点拨】1．选取参数时的一般原则是：（1）x，y与参数的关系较明显，并列出关系式；（2）当参数取一值时，可唯一的确定x，y的值；（3）在研究与时间有关的运动物体时，常选时间作为参数；在研究旋转物体时，常选用旋转角作为参数；此外，也常用线段的长度、倾斜角、斜率、截距等作为参数．2．求曲线的参数方程常常分成以下几步：（1）建立直角坐标系，在曲线上设任意一点P（x，y）；（2）选择适当的参数；（3）找出x，y与参数的关系，列出解析式；（4）证明（常常省略）．3．根据直线的参数方程标准式中t的几何意义，有如下常用结论：（1）若M1，M2为l上任意两点，M1，M2对应t的值分别为t1，t2，则|M1M2|＝|t1﹣t2|；（2）若M0为线段M1M2的中点，则有t1+t2＝0；（3）若线段M1M2的中点为M，则M＝t M＝．一般地，若点P分线段M1M2所成的比为λ，则t P＝．4．直线的参数方程的一般式（t为参数），是过点M0（x0，y0），斜率为的直线的参数方程．当且仅当a2+b2＝1且b≥0时，才是标准方程，t才具有标准方程中的几何意义．将非标准方程化为标准方程是（t′∈R），式中“±”号，当a，b同号时取正；当a，b异号时取负．5．参数方程与普通方程互化时，要注意：（1）不是所有的参数方程都能化为普通方程；（2）在化参数方程为普通方程时变量的范围不能扩大或缩小；（3）把普通方程化为参数方程时，由于参数选择的不同而不同，参数的选择是由具体的问题来决定的．6．在已知圆、椭圆、双曲线和抛物线上取一点可考虑用其参数方程设定点的坐标，将问题转化为三角函数问题求解．7．在直线与圆和圆锥位置关系问题中，涉及距离问题探求可考虑应用直线参数方程中参数的几何意义求解．8．在求某些动点的轨迹方程时，直接寻找x，y的关系困难，甚至找不出时，可以通过引入参数，建立动点的参数方程后求解．4．圆的参数方程【知识点的认识】直线、圆锥曲线的普通方程和参数方程轨迹普通方程参数方程直线y﹣y0＝tan α（x﹣x0）（t为参数）圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（θ为参数）椭圆（θ为参数）+＝1（a＞b＞0）双曲线（θ为参数）﹣＝1抛物线y2＝2px（p＞0）（t为参数）【解题思路点拨】1．选取参数时的一般原则是：（1）x，y与参数的关系较明显，并列出关系式；（2）当参数取一值时，可唯一的确定x，y的值；（3）在研究与时间有关的运动物体时，常选时间作为参数；在研究旋转物体时，常选用旋转角作为参数；此外，也常用线段的长度、倾斜角、斜率、截距等作为参数．2．求曲线的参数方程常常分成以下几步：（1）建立直角坐标系，在曲线上设任意一点P（x，y）；（2）选择适当的参数；（3）找出x，y与参数的关系，列出解析式；（4）证明（常常省略）．3．根据直线的参数方程标准式中t的几何意义，有如下常用结论：（1）若M1，M2为l上任意两点，M1，M2对应t的值分别为t1，t2，则|M1M2|＝|t1﹣t2|；（2）若M0为线段M1M2的中点，则有t1+t2＝0；（3）若线段M1M2的中点为M，则M0M＝t M＝．一般地，若点P分线段M1M2所成的比为λ，则t P＝．4．直线的参数方程的一般式（t为参数），是过点M0（x0，y0），斜率为的直线的参数方程．当且仅当a2+b2＝1且b≥0时，才是标准方程，t才具有标准方程中的几何意义．将非标准方程化为标准方程是（t′∈R），式中“±”号，当a，b同号时取正；当a，b异号时取负．5．参数方程与普通方程互化时，要注意：（1）不是所有的参数方程都能化为普通方程；（2）在化参数方程为普通方程时变量的范围不能扩大或缩小；（3）把普通方程化为参数方程时，由于参数选择的不同而不同，参数的选择是由具体的问题来决定的．6．在已知圆、椭圆、双曲线和抛物线上取一点可考虑用其参数方程设定点的坐标，将问题转化为三角函数问题求解．7．在直线与圆和圆锥位置关系问题中，涉及距离问题探求可考虑应用直线参数方程中参数的几何意义求解．8．在求某些动点的轨迹方程时，直接寻找x，y的关系困难，甚至找不出时，可以通过引入参数，建立动点的参数方程后求解．例题精讲参数方程例1.直线l的参数方程为（t为参数）．圆C的参数方程为（θ为参数），则直线l被圆C截得的弦长为___．例2.已知圆C的参数方程为（θ为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ=1，则直线l截圆C所得的弦长是___．例3.在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知抛物线C的极坐标方程为ρcos2θ=4sinθ（ρ≥0），直线l的参数方程为（t为参数），设直线l与抛物线C的两交点为A、B，点F为抛物线C的焦点，则|AF|+|BF|=___．当堂练习填空题练习1.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．圆C的参数方程是=（θ为参数），直线l与圆C交于两个不同的点A、B，当点P在圆C上运动时，△PAB面积的最大值为___练习2.参数方程（θ∈R）所表示的曲线与x轴的交点坐标是_______练习3.设直线的参数方程为（t为参数），点P在直线上，且与点M0（-4，0）的距离为2，若该直线的参数方程改写成（t为参数），则在这个方程中P点对应的t值为____．练习4.设a∈R，直线ax-y+2=0和圆（θ为参数）相切，则a的值为___。
高中数学 第二讲 参数方程 三 直线的参数方程学案(含解析)4-4
三直线的参数方程1．直线的参数方程（1)过点M0（x0,y0）,倾斜角为α的直线l的参数为错误!（t为参数)．（2）由α为直线的倾斜角知,α∈已知直线l的方程为3x－4y＋1＝0，点P（1，1)在直线l上，写出直线l的参数方程，并求点P到点M(5,4）的距离．由直线参数方程的概念，先求其斜率，进而由斜率求出倾斜角的正弦值、余弦值，从而得到直线参数方程．由直线方程3x－4y＋1＝0可知，直线的斜率为错误!,设直线的倾斜角为α，则tan α＝错误!，sin α＝错误!，cos α＝错误!.又点P(1，1)在直线l上，所以直线l的参数方程为错误!(t为参数）．因为3×5－4×4＋1＝0，所以点M在直线l上．由1＋错误!t＝5，得t＝5，即点P到点M的距离为5.理解并掌握直线参数方程的转化,弄清参数t的几何意义，即直线上动点M到定点M0的距离等于参数t的绝对值，是解决此类问题的关键．1．一直线过P0(3,4）,倾斜角α＝错误!,求此直线与直线3x＋2y＝6的交点M与P0之间的距离．解：由题意设直线的参数方程为错误!（t为参数），将它代入已知直线3x＋2y－6＝0，得3错误!＋2错误!＝6。
解得t＝－错误!，∴｜MP0｜＝|t|＝错误!。
2．已知直线l的参数方程为错误!求直线l的倾斜角．解:将参数方程化成另一种形式错误!若2t为一个参数,则错误!在α∈已知直线l经过点P(1，1），倾斜角α＝错误!，(1）写出直线l的参数方程；(2)设l与圆x2＋y2＝4相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积．（1)由直线参数方程的概念可直接写出方程；(2)充分利用参数几何意义求解．(1）∵直线l过点P（1，1)，倾斜角为错误!，∴直线的参数方程为错误!即错误!(t为参数)为所求．(2）∵点A,B都在直线l上，所以可设它们对应的参数为t1和t2，则点A，B的坐标分别为A错误!，B错误!，将直线l的参数方程代入圆的方程x2＋y2＝4整理得到t2＋（错误!＋1)t－2＝0,①又∵t1和t2是方程①的解，从而t1t2＝－2。
第04讲-直线参数t的几何意义-2020届一轮复习数学套路之极坐标与参数方程(解析版)
第四讲 直线参数t 的几何意义1．直线的参数方程(1)过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数为00cos (sin x x t t y y t αα=+⎧⎪⎨=+⎪⎩为参数）(2)由α为直线的倾斜角知α∈[0，π)时，sin α≥0. 2．直线参数方程中参数t 的几何意义参数t 的绝对值表示参数t 所对应的点M 到定点M 0的距离．(1)当0M M u u u u u r与e (直线的单位方向向量)同向时，t 取正数．(2)当0M M u u u u u r与e 反向时，t 取负数，(3)当M 与M 0重合时，t ＝0.3.经过点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为为参数）t t y y t x x (sin cos 00⎩⎨⎧+=+=αα若A ，B 为直线l 上两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到： (1)t 0=t 1＋t 22； (2)|PM |=|t 0|=t 1＋t 22； (3)|AB |=|t 2－t 1|； (4)|PA |·|PB |=|t 1·t 2|（5）212121212121212()4,0,0t t t t t t t t PA PB t t t t t t ⎧-=+-<⎪+=+=⎨+>⎪⎩当当（注：记住常见的形式，P 是定点，A 、B 是直线与曲线的交点，P 、A 、B 三点在直线上） 【特别提醒】(1)直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且其几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离，即|M 0M |=|t |.(2)直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为12,t t ，则弦长12l t t =-；知识解读考向一 参数t 的系数的平方和为1【例1】已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos θ，y ＝2＋4sin θ(θ为参数)，直线l 经过定点P (3,5)，倾斜角为π3.(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的标准方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|PA |·|PB |的值．【答案】（1）见解析 （2）3【解析】(1)曲线C ：(x －1)2＋(y －2)2＝16，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝5＋32t(t 为参数)．(2)将直线l 的参数方程代入圆C 的方程可得t 2＋(2＋33)t －3＝0，设t 1，t 2是方程的两个根，则t 1t 2＝－3，所以|PA ||PB |＝|t 1||t 2|＝|t 1t 2|＝3. 学科&网【举一反三】1.已知曲线C 1的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=， C 2的参数方程为32(32x t t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数）（1）将曲线C 1与C 2的方程化为直角坐标系下的普通方程； （2）若C 1与C 2相交于A 、B 两点，求AB .【答案】(1)曲线C 1的普通方程y 2=4x ,C 2的普通方程x+y-6=0 ；（2）AB 【解析】（1）曲线C 1的普通方程为y 2=4x ， 曲线C 2的普通方程为x+y-6=0（2）将C 2的参数方程代入C 1的方程y 2=4x，得23=43-+（）（）整理可得260t +-=，由韦达定理可得12126t t t t +=-=-12AB t t =-==2.已知曲线C 的极坐标方程是4sin 0ρθ-=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 过点M （1，0），倾斜角为34π. （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的参数方程； （Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求MA MB +的值. 【答案】（Ⅰ）曲线C 的直角坐标方程为：x 2+(y-2)2=4，直线l的参数方程为1(x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）因为曲线C 的极坐标方程是4sin 0ρθ-=即曲线C 的直角坐标方程为：x 2+(y-2)2=4直线l 的参数方程31+t cos 4(3sin 4x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）即1(x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）（Ⅱ）设点A 、B 对应的参数分别为t 1，t 2将直线l 的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得22(1)2)4-+-=整理，得210t -+=，由韦达定理得12121t t t t +== 因为t 1t 2>0，所以1212MA MB t t t t +=+=+=考向二 t 系数平方和不等于1【例2】在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C 的参数方程为12{22x t y t=+=-（t 为参数），以O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴，曲线2C 的极坐标方程为： 22cos sin θρθ=. （Ⅰ）将曲线1C 的方程化为普通方程；将曲线2C 的方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）若点()1,2P ，曲线1C 与曲线2C 的交点为A B 、，求PA PB +的值.【答案】(Ⅰ) 12:30,:C x y C +-= 22y x =；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ） 1:3C x y +=，即： 30x y +-=；222:sin 2cos C ρθρθ=，即： 22y x =（Ⅱ）方法一：由t 的几何意义可得C 1的参数方程为12(t 22x ty t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数）代入22:2C y x =得26240t t ++=∴1262t t +=-，∴1262PA PB t t +=+=. 方法二：把1:3C x y +=代入22:2C y x =得2890x x -+=所以128x x +=， 129x x = 所以()221212*********PA PB x x x x +=+-++-=⨯-+-()()1221128262x x =⨯-+-=⨯-=【举一反三】1.在平面直角坐标系xOy 中，直线的参数方程为3(3x tt y t⎧=⎪⎨⎪=-⎩为参数）数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为cos ρθ=. （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）设点3,0)，直线l 与曲线C 交于不同的两点A 、B ，求MA MB ⋅的值. 【答案】（1）直线l 330x y +-=，【总结套路】直线参数t 几何意义运用最终版套路 第一步--化：曲线化成普通方程，直线化成参数方程；第二步--查：检查直线参数t 的系数平方和是否为1，如果是，进行第三步；如果否，则先化1.2202200022(t a b y t a x x t x x at a b t y y bt b y y t a b ±+⎧=+⎪=+⎧+⎪⎪−−−−−→⎨⎨=+⎪⎪⎩=+⎪+⎩前的系数同时除以保证中的的系数为正数为参数） 第三步--代：将直线的参数方程代入曲线的普通方程，整理成关于t 的一元二次方程：02=++c bt at第四步--写：写出韦达定理：a c t t a b t t =-=+2121,曲线C 的直角坐标方程(x-2)2+y 2=4； （2）3MA MB ⋅=-【解析】（1）直线l30y +-= 因为曲线C 的极坐标方程为cos ρθ=. 所以曲线C 的直角坐标方程(x-2)2+y 2=4；(2)点在直线l 上，且直线l 的倾斜角为120°，可设直线的参数方程为：12(x t t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）代入到曲线C 的方程得：30t +-=，由韦达定理得12122,t t t t +==-由参数的几何意义知123MA MB t t ⋅==。
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专题:直线参数方程中的几何意义几点分析与解析一． 知识点概述：★ 若倾斜角为α的直线过点)(00y x M ，，t 为参数，则该直线的参数方程可写为为参数，t t y y t x x ⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00 ★ 若直线过点M ，直线与圆锥曲线交于两点P 、Q ，则|MP|、|MQ|的几何意义就是：||||||||21t MQ t MP ==，； |MP|+|MQ|的几何意义就是：=+||||MQ MP |t ||t |21+；|MP|·|MQ|的几何意义就是：||||||21t t MQ MP ⋅=⋅；|PQ|的几何意义就是：2122121214)(|||PQ ||||PQ |t t t t t t t t ⋅-+=-=-=，即.★ 若过点M )(00y x ，、倾斜角为α的直线l 与圆锥曲线交于A 、B 两点，则弦的中点坐标公式为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+=+++=+=2)sin ()sin (22)cos ()cos (2201021'201021'ααααt y t y y y y t x t x x x x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+++=+=++=+++=+=)(22)()(2)(22)()(2212022012021'211021011021't t p y t p y t p y y y y t t p x t p x t p x x x x ，21p p ，为常数，均不为零 (其中 中点M 的相应参数为t ，而221t t t +=，所以中点坐标也为：⎩⎨⎧+=+=t p y y t p x x 2010 ) ★ 若过点M )(00y x ，、倾斜角为α的直线l 与圆锥曲线交于A 、B 两点，且M 恰为弦AB 中点，则中点M 的相应参数：221t t t +==0 （因为⎩⎨⎧+=+=t p y y t p x x 200100，而21p p ，均不为0，所以t=0）体会一：教学中一定要讲清楚直线参数方程的推导过程，并且一定要强调其中参数T 的由来。
实际上由新课程标准人教A 版数学选修课本中坐标系与参数方程的内容我们知道，平面内过定点),(000y x p 、倾斜角为α的直线l 的参数方程的标准形式为⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数），其中t 表示直线l 上以定点0p 为起点，任意一点P （x ，y ）为终点的有向线段P P 0的数量，当P 点在0p 上方时t 为正，当P 点在0p 下方时t 为负。
体会二：教学中必须要强调参数T 的几何意义及两个结论的引导应用示范。
实际上在教学中我们知道，由直线参数方程的推导过程及向量模的几何意义等知识，很容易得参数t 具有如下的两个重要结论： 如果我们假设直线l 上两点A 、B 所对应的参数分别为B A t t 和，则：第一：A 、B 两点之间的距离为B A B A B A t t t t t t AB •-+=-=4)(||||2，特别地，A 、B 两点到0p 的距离分别为.|||,|B A t t 第二：A 、B 两点的中点所对应的参数为2B A t t +，若0p 是线段AB 的中点，则0=+B A t t ，反之亦然。
在解决坐标系与参数方程这一选考题，特别是直线的参数方程与曲线的参数方程或是极坐标方程有关的内容的题目，最典型的是涉及直线与圆锥曲线相交所得的弦和弦长、或是求一点到某点的距离为定值、求弦的中点等有关方面的题目时，如果我们能够充分利用参数t 的上述两个重要结论的话，我们的解题速度和解题正确率、得分率将得到的大大提高，我们的解题水准也必将得到巨大的提升。
1、例如在求解与距离有关的题目时我们可以用结论一：例1、直线l 过点)0,4(0-P ，倾斜角为6π，且与曲线C ：7=ρ相交于A 、B 两点。
（1）求弦长AB. （2）求A P 0和B P 0的长 （3）A P 0•B P 0解：（1）因为直线l 过点)0,4(0-P ，倾斜角为6π，所以直线l 的参数方程为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=6sin 06cos 4ππt y t x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=t y t x 21234，（t 为参数），而曲线C 是圆722=+y x ，于是将直线的参数方程代入圆C 的方程，得7)21()234(22=++-t t ，整理得09342=+-t t 有参数T 的几何意义设A 、B 所对应的参数分别为21,t t ，则3421=+t t ，921=t t ，所以||||21t t AB -=.324)(21221=-+=t t t t（2）解：由第一问解方程09342=+-t t 得，3,3321==t t ，有参数的几何意义同理可得A P 033||1==t ，B P 0.3||2==t（3）由于是由第一问的求解过程可知A P 0B P 0=921=t t2、再如在求解与点的坐标有关的题目时可以用结论二：例2、已知直线l 过点)8,4(0P ，倾斜角为3π，求出直线l 上到点0P 的距离为5的点的坐标。
解：因为直线l 过点)8,4(0P ，倾斜角为3π，所以直线l 的参数方程为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=3sin 83cos 4ππt y t x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 238214，（t 为参数）， （1） 设直线l 上与已知点)8,4(0P 相距为5的点为P 点，且P 点对应的参数为t ，则||0P P 5||==t ，所以5±=t ，将t 的值代入（1）式，当t ＝5时，M 点的坐标为)2358,213(+； 当t ＝－5时，M 点的坐标为)2358,23(-， 综上，所求P 点的坐标为)2358,213(+或)2358,23(-. 点评：若使用直线的普通方程，利用两点间的距离公式求P 点的坐标需要将直线方程代入曲线方程，消元后再用根与系数的关系，中点坐标公式来求解，相当麻烦，而我们使用直线的参数方程，充分利用参数t 的几何意义求P 点的坐标就显得比较容易。
3、解决有关弦的中点问题时也可以用性质二例3、过点)0,1(0P ，倾斜角为4π的直线l 和曲线线⎩⎨⎧==22ty t x 相交于M 、N 两点，求线段MN 的中点P 的坐标。
解：直线l 过点)0,1(0P ，倾斜角为4π，所以直线l 的参数方程为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 22221，（t 为参数），因为直线l 和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程 x y 22=中，得：)221(2)22(2t t +=，整理得022212=--t t ， 06)2(214)2(2>=-⨯⨯--=∆，设这个二次方程的两个根为21,t t ， 由韦达定理得2221=+t t ，由P 为线段MN 的中点，根据t 的几何意义，得2221=+=t t t p ，易知中点M 所对应的参数为2=M t ，将此值代入直线的参数方程得，M 点的坐标为（2，1） 点评：对于上述直线l 的参数方程，M 、N 两点对应的参数为21,t t ，则它们的中点所对应的参数为.221t t t +=将参数值代入直线参数方程后很快就可得到答案，这将十分方便快捷。
再如例4：过双曲线116922=-y x 的右焦点F 作倾斜角为︒45的直线L 与双曲线交于A,B 两点，M 是AB 的中点，求|MF|。
如果用传统的解法则是解：方法一 依题意a =3,b =4,c =5 所以F(5，0)，又直线l 的倾斜角为45度 所以k=1 5-=∴x y l 的方程为5x y 116y 9x 22-==-和联立 0369x 90x 7:2=-+得 7805x y 7452x x x M M21M -=-=-=+=∴2760|MF |=∴整个解答过程将会比较繁琐，因为传统的解法必须要将直线方程与曲线方程联立，消元后用根与系数的关系及终点坐标公式才能求解。
解法2：依题意l 的参数方程为：116y 9x t 22y t 225x 22=-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=代入0512t 2160t 72=-+得 27802||||21=+=∴t t MF小结： 方法二：用参数方程求解，且灵活运用参数t 的几何意义，使求解过程变得简洁， 不容易出错，如果我们在教学中能多引导学生从这些方面思考，那么我们教起来轻松，学生学起来也将会更容易。
体会三：两个性质在用的过程中要注意参数T 取非单位向量时候的处理转化。
从上面的例子不难看出，这两个性质的确好用，但是我们在教学中一定要要注意下面例子中的问题就需要对参数T 所取的单位长度作转化： 例如：已知曲线的方程是)4cos(2πθρ+=，直线L 的方程是⎩⎨⎧+-=-=t y t x 3141若直线与曲线相交与A 、B 两点，求AB 弦长。
解法1：解：直线方程可以化简为：0143=-+y x ，而曲线的方程可化简为：022=+-+y x y x 将直线方程代入曲线方程，消去一个未知数y 后可得关于x 的一元二次方程，由点到直线的距离公式及，弦心距，半径，半弦长之间构成直角三角形可以解得57=AB解法2：将直线的参数方程代入曲线方程，则可以得到一个关于t 的一元二次方程：07252=-t t 如果还是用以前的有参数t 的几何意义的话将会求得AB 的弦长为25702574)(||||22=-=•-+=-=BA B A B A t t t t t t AB这一结果与上述结果为何会不一样呢？两种解法所得的结果是哪一种对呢？当然答案是第一种解法的对，实际上这就是在推导直线的参数方程时一定要注意到直线参数方程中参数T 的几何意义的问题，实际上，在上述题目中我们的参数T 是选取了模为5的向量当作了单位向量，而非模为1的向量为单位向量，但是在解题过程中多数同学甚至是老师也不会注意到这一细节，所以在涉及到直线参数方程，曲线的极坐标方程的问题时我们一定要注意到直线参数方程中参数T 的几何意义的探究，如上题中的直线方程⎩⎨⎧+-=-=t y t x 3141中由于直线的参数方程标准形式⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x 中t 的系数无论是ααcos sin 还是，都只能在][1,1-上取值一旦t 的前面的系数超过了区间][1,1-则要考虑参数t 是多少个单位长度为单位向量。
于是在上面的解答中我们只要在257=AB 的基础上乘以直线参数方程⎩⎨⎧+-=-=t y t x 3141中t 的模5即可以得到正确答案即575257=⨯=AB 。
如果我们能在我们在教学中注意到了这样的问题，点清了问题的实质所在。
也就是强调解释清楚了参数T 的几何意义，并用适当的例子进行了纠错练习，那么学生的学习效果必然是好的。