2-3电路的对偶性
电路的对偶
引言：对偶是自然界中普遍存在的一种特殊现象。
在分析和研究自然规律中，利用对偶现象，可以有效地揭示元素之间一些相似或相对的内在联系，简化认知事物的过程。
一、电路的对偶现象在纯电阻电路中，串联总电阻与各电阻的关系为：总电阻R S =R 1+R 2+R 3+…+R n ；同样在纯电阻电路中，并联总电导与各电导的关系为：总电导G S =G 1+G 2+G 3+…+G n 。
它们的数学表达形式很相似，这种相似性表现为对偶。
又如电容元件的电流与加在它两端的电压关系为：i=Cdu/dt ；而电感元件的电压与流经它的电流关系为：u=Ldi/dt 。
这两种元件的电流电压关系表达式也呈现对偶现象。
二、电路的对偶关系电路中某些元素之间的关系（或方程），用它们的对偶元素对应地置换后，所得的新关系（新方程）也一定成立，后者与前者互为对偶。
[1]电路元素之间的一些对偶关系如下表：（一）电路元件的对偶组成电路的元件中，两者之间互为对偶的元件有电阻R 与电导G 、电容C 与电感L 、电压源U S 与电流源I S 等。
下图是电源的对偶：图1和图2是电压源和电流源的模型，其对应的电压和电流表达式分别如下：U=U S -R S I ，I=I S -G S U ，它们互为对偶。
（二）电路的结构对偶由电路元件组成的不同结构之间的对偶有串联与并联、开路与短路、回路与节点等。
（三）电路的定律对偶基尔霍夫定律包含电流和电压两个定律，这两个定律互为对偶。
KCL 指出：任一时刻，流入电路中的任一节点的各支路电流代数和恒等于零，即Σi=0。
而KVL 指出：任一时刻，沿电路中的任一回路绕行一周，所有支路电压代数和恒等于零，即Σu=0。
KCL 与KVL 是对偶关系。
它的子元素如电流与电压、节点与回路、串联与并联也互为对偶。
（四）电路参数的对偶二端口网络是具有2个端口的电路，端口与电路内部网络相连接。
图3是反映二端口网络的阻抗参数的等效电路。
阻抗参数Z 的矩阵方程形式为：Z 11Z 12Z 21Z 22[]图4是反映二端口的导纳参数的等效电路。
6.4电路的对偶性
☐如果电路的节点方程与电路的网孔方程不仅形式相同，各项系数以及激励的数值相同，那么电路方程的解也分别相等，称这样的两个电路互为对偶电路(dual circuit)。
☐在电路理论中，电路的结构、连接方式、定律、元件、参数、名词、变量及其关系式等都存在互相对偶性。
2
5
方程比较：
136
63
1666246
426634
34535m S m S m S R R R R R i R i R R R R R i R i R R R R R i u ++---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-++-=⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--++⎣
⎦⎣⎦⎣⎦
136636616
2464
2663534345ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆS n n S n S G G G G G G u u G G G G G u G u u i G G G G G ⎡⎤⎡⎤++---⎡⎤
⎢
⎥⎢⎥
⎢⎥-++-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--++⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣
⎦⎣⎦
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电压电流
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☐电压源的极性沿着顺时针方向升高时,对偶电流源的电流方向指向该网孔对应的节点方向.
☐电压源的极性沿着逆时针方向升高时,对偶电流源的电流方向指向该网孔对应的节点的反方向.
☐电流源的电流与网孔电流的方向相同时,对偶电压源的正极性落在该网孔对应的节点上.
☐电流源的电流与网孔电流的方向相反时,对偶电压源的负极性落在该网孔对应的节点上.
13。
电路的对偶性
对偶，是大自然中最为广泛存在的。
一一对应，成双成对出现的事物称为对偶事物。 在电路中，对偶现象普遍存在。 回顾前面学过的内容，我们会发现，电路分 析中某些变量、元件、电路定律、分析方法及定 理等之间存在某一规律或具有某种关系。
2.9 电路的对偶性 2.9.1 对偶原理(Dual Principle)
G1 G 2 u n1 G 2 u n 2 is1
G 2 u n1 G 2 G 3 u n 2 i s 2
2.9 电路的对偶性 2.9.3 电路中的对偶原理应用
以上所述只是电路对偶性(Duality)的几个例子，认识到这 种对偶性有助于掌握电路的规律，由此及彼，举一反三，一举 两得，事半功倍。
2.9 电路的对偶性 2.9.2 电路中的对偶原理
电路的对偶特性是电路的一个普遍性质，电路中存在大量 对偶元素，表2-1中列出了一些常用的互为对偶的元素。 表2-1 互为对偶的元素
2.9 电路的对偶性 2.9.2 电路中的对偶原理
对偶关系：
基本定律 U=RI U=0 分析方法 对偶结构 网孔法 串联 网孔 I=GU I=0 节点法 并联 节点 Y 对偶结论 对偶元件 R L G C
+
-
uS1 im1
im2
+
立电压源，串联电阻电路换为并
对关系式作适当的更换就可得出 另一相对应关系式的情况。
uS2 联电导电路，
网孔电阻阵
CCVS T形
节点导纳阵 VCCS
形
两个电路互为对偶电路。
2.9 电路的对偶性
R1 + R3
R2
un1 G2 un2
+
-
uS1 im1
对偶原理_电路实验报告(3篇)
第1篇一、实验目的1. 理解电路对偶原理的基本概念和原理。
2. 掌握如何通过电路对偶原理分析电路的特性。
3. 应用对偶原理解决实际电路问题。
二、实验原理电路对偶原理是指在电路中，如果将电压源与电流源、短路与开路、串联与并联、电阻与电导、电容与电感等元件进行对偶替换，电路的输入输出特性将保持不变。
对偶原理在电路分析中具有重要作用，可以简化电路的复杂度，提高分析效率。
三、实验仪器与设备1. 电路实验箱2. 电阻3. 电容4. 电感5. 电压表6. 电流表7. 电源四、实验步骤1. 搭建电路：根据实验要求，搭建相应的电路，如串联电路、并联电路、电阻分压电路等。
2. 测量数据：使用电压表和电流表测量电路中各个元件的电压和电流值，记录实验数据。
3. 对偶替换：根据对偶原理，将电路中的电压源替换为电流源，电阻替换为电导，电容替换为电感，进行对偶替换。
4. 重新测量数据：对对偶替换后的电路进行测量，记录电压和电流值。
5. 对比分析：对比对偶替换前后的实验数据，分析电路对偶原理在实际电路中的应用。
五、实验结果与分析1. 串联电路对偶替换：- 原电路：电压U = IR，其中R为电阻，I为电流。
- 对偶替换后：电流I = UR，其中U为电压，R为电导。
通过对偶替换，我们可以发现，电路的输入输出特性并未改变，只是元件的参数发生了变化。
2. 并联电路对偶替换：- 原电路：电压U = I1R1 + I2R2，其中R1、R2为电阻，I1、I2为电流。
- 对偶替换后：电流I = UR1 + UR2，其中U为电压，R1、R2为电导。
同样地，对偶替换后的电路输入输出特性并未改变，只是元件的参数发生了变化。
3. 电阻分压电路对偶替换：- 原电路：电压U = I1R1 + I2R2，其中R1、R2为电阻，I1、I2为电流。
- 对偶替换后：电流I = UR1 + UR2，其中U为电压，R1、R2为电导。
通过对偶替换，我们可以发现，电阻分压电路的输入输出特性并未改变，只是元件的参数发生了变化。
电路的量纲模型与相似性原理和对偶性原理
电路的量纲模型与相似性原理和对偶性原理
朱明;朱嘉慧
【期刊名称】《电工技术》
【年(卷),期】2024()9
【摘要】宇宙量纲模型的思想适用于任何系统,物理系统适用,电路系统也同样适用。
系统地分析总结了电路运行的基本原理,确定了电路系统的量纲,提出了电路的量纲
模型、相似性原理和对偶性原理及规律拓展性原理等概念,并给出了相似性原理和
对偶性原理的一些应用实例。
【总页数】10页(P7-15)
【作者】朱明;朱嘉慧
【作者单位】上海大学机电工程与自动化学院;加拿大·多伦多大学
【正文语种】中文
【中图分类】TM11;TM133;TM135
【相关文献】
1.相似性原理和工程分解原理在船舶建造中的应用
2.结构相似性原理在半导体集成电路检验中的应用
3.基于对偶性原理的三相多芯柱变压器暂态模型
4.基于对偶性
原理的配电变压器高频电磁暂态模型5.基于对偶性原理的配电变压器高频电磁暂
态模型
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数电课后习题及答案
题1.1 完成下面的数值转换：（1）将二进制数转换成等效的十进制数、八进制数、十六进制数。
①（0011101）2 ②（11011.110）2 ③（）2解： ① （0011101）2 =1×24+ 1×23+ 1×22+ 1×20=(29)10 （0011101）2 =(0 011 101)2= (35)8 （0011101）2 =(0001 1101)2= (1D)16 ② (27.75)10，(33.6)8，(1B.C )16； ③ (439)10，(667)8，(1B7)16；（2）将十进制数转换成等效的二进制数（小数点后取4位）、八进制数及十六进制数。
①（89）10 ②（1800）10 ③（23.45）10 解得到：① (1011001)2，(131)8，(59)16； ② ) 2，(3410) 8，(708) 16③ (10111.0111) 2，(27.31) 8，(17.7) 16；（3）求出下列各式的值。
①（54.2）16?=（）10 ②（127）8?=（）16 ③（3AB6）16?=（）4 解 ① (84.125)10；② (57)16；③ (3222312)4； 题1.2 写出5位自然二进制码和格雷码。
题1.3 用余3码表示下列各数①（8）10 ②（7）10 ③（3）10 解（1）1011；（2）1010；（3）0110题1.4 直接写出下面函数的对偶函数和反函数。
解题1.5 证明下面的恒等式相等1、(AB+C)B=AB+BC=AB ( C+C')+ ( A+A')BC=ABC +ABC'+ABC + A'BC= ABC+ABC'+ A'BC 2、AB'+B+A'B=A+B+A'B=A+B+B=A+B3、左=BC+AD ， 对偶式为(B+C)(A+D)=AB+AC+BD+CD右=(A+B)(B+D) (A+C)(C+D)，对偶式为： AB+AC+BD+CD 对偶式相等，推得左=右。
分压电路和分流电路
练习题1 求图示电路中的电压u1和u2 。 练习题2 求图示电路中的电流i1和i2 。 练习题3 求图示电路中的电流i2，iS和电压u 。
二、电阻分流电路 图 2－7表示一个电流源向两个并联电阻供电的电路，下
面对这个电阻并联电路进行分析，得出一些有用的公式。
图 2－7
对图 2－7所示分流电路列出KVL方程
列出KCL方程
列出VCR方程 将电阻元件的欧姆定律代入KCL方程，得到电压u的计
算公式
将它代入电阻元件的欧姆定律，得到计算电阻电流的 分流公式
例2－3 电路如图2－8所示，计算各支路电流。
图2－8
解: 根据两个电阻并联分流公式得到3和6电阻中的电流 根据两个电阻并联分流公式得到12和6电阻中的电流
图2－8
根据结点a的KCL方程计算出短路线中的电流i5
也可以根据结点b的KCL方程计算出短路线中的电流i5
读者应该注意到，短路线中的电流i5=1A与总电流 i=3A是不相同的。
例2－1 电路如图2－3所示，求R=0,4,12，∞时的电压Uab。
图2－3
解: 利用电阻串联分压公式可以求得电压Uac和Ubc
将电阻R之值代入上式，求得电压Ubc后，再用KVL求得 Uab，计算结果如下所示：
R
0
4
12
∞
Uac
6V
6V
6V
6V
Ubc
8V
6V
4V
0V
Uab ＝Uac－Ubc
-2 V
1
0.889
0.75
0.64
0.556
0
根据以上数据可以画出电压、电流和功率随负载电阻变化
的曲线，如图2－6所示。
由此可见：
电子电路中的对偶原理分析
电子电路中的对偶原理分析【摘要】电子电路是我国当前所有电气设备的基础，没有电子电路这一基础构造，先进的电气设备自然也就无从谈起，因此可以说，详细的了解电子电路中的相关理论和具体构成，对于电子电路的完善起到了基础性作用，对于我国工业技术的发展也将产生极大的推动作用。
正因如此，本文对于电子电路在正常运行中存在的对偶现象进行了分析，阐述其理论结构，并且探讨这一理论在实践中进行电路分析时的具体应用，以期能够为学界和业界提供相应的借鉴和思路。
【关键词】电子电路；对偶原理；电气设备；拓扑结构随着人类科学技术的不断发展，当今工业实践中所采取的电子电路结构日益复杂，其内部的拓扑结构种类日益繁多，在电子电路中起到了基础性的作用，在理论上，所有的电路结构都可以说是多个基础性电子拓扑结构的总和。
因此，若想能够真正的了解电子电路的结构及其作用，就必须对于电子电路的拓扑结构进行详细的研究，因此，采取对偶原理是最为有效地方式方法。
实践中，只有在平面电路中才能应用对偶原理，但是随着社会科学技术的不断发展，当今人们所应有的绝大多数不是平面的电子电路。
因此，对偶原理在应用中受到了极大地限制，尤其是如何在非平面结构的电路中应该对偶原理便成为当今学界和业界所共同关注的重要问题，比如在1946年是，学者Block便对于这一问题进行了详细的研究，认为应当发展一种最大程度能够适用于各种非平面电路的变压器，以期来实现简便的对偶更换[1]。
但是，在当今的实践中，这种设想中的变压器并没有得到出现和应用，对于非平面电路的变压器，我们仍然需要依照对偶原理进行详细、深入的分析和研究。
一、对偶原理基础结构对偶原理是存在于自然界的一种客观规律，简而言之，其本质就是在自然世界中，两类客观变量存在着同样的性质和地位，其中，如果这两类客观变量中的某一变量定理得以成立，那么其对偶元素的对偶定理也成立。
因此可以说，采取对偶原理，可以非常便捷、方便、准确的对于客观事实进行分析和研究，几乎所有的人类自然科学领域都应用到对偶原理，在电力学中自然也不例外[2]。
电路(第二章 网孔分析与节点分析)
(1)i1 u 5V (2)i 2 u 10V
补充方程
i1 2i2 5A i1 i2 7 A
i1 i 2 7A
1
求解以上方程得到： i
3A
返 回
i2 4A
u 2V
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电路分析基础
例4 电路如下图所示，试求流经30Ω（R3）电阻的电流i3。 已知：us=40V，is=2A，R1=20Ω，R2=50Ω，R3=30Ω。 解：假定两网孔电流iM1和iM2都为顺时针方向。
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电路分析基础
整理为
5i1 2i 2 i3 12A 2i1 11i 2 6i3 6A i1 6i 2 10i3 19A
解得：
i1 1A i2 2A
i3 3A
i4 i3 i1 4A i5 i1 i2 3A i6 i3 i2 1A
电路分析基础
小结
网孔电流是一组独立的电流变量，具有 完备性和独立性，其个数为m=b-(n-1)<b;
网孔电流方程根据电路可以直接写出， 所以网孔电流法比1b法更方便；网孔方程 的实质就是关于网孔的KVL方程 含电压源支路多且网孔数少的电路宜用 网孔电流分析法。
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电路分析基础
解：选定各支路电路的参考方向。
R1 i1 i3 R3
R2
+
假定两网孔电流iM1、iM2都是 + us1 顺时针方向。
i2 u s2
自电阻： R11 R1 R3 5 20 25， R22 R2 R3 10 20 30。 互电阻：R12 R21 R3 20
《电路分析基础》_第2章-1
US1
+
i1
i2 R3
_
US2
_
_
R2 0 i1 U S1 U S 2 R1 R 2 R i U R R R 2 2 3 3 2 S2 R3 R3 R4 0 i3 US4
－
2 i1
1 + 10V
－
5 i3 3 i3 4A
i2 2 i 2
i1=2A
i2=－1A
b).若电路中存在电阻与电流源并联单口，则可先等效变 换为电压源和电阻串联单口，将电路变为仅由电压源和电
阻构成的电路，再建立网孔方程的一般形式。
2 i1 + 4V
－
4 + 10V
－
2 i1 + 4V
7 15 0 5 5 10 0 10 13 i2 ? 7 5 0 5 21 10 0 10 13
15 5 10 i1 7 5 0
5 0 21 10 10 13 ? 5 0 21 10 10 13
110 11 10 5 5 10 7 1 7 0 10 13 10 13 i2 7 5 0 122 7 5 0 11 10 122 7 1 7 5 21 10 0 10 10 13 7 0 10 13 0 10 13
R11 R21 R 31
R12 R22 R32
R13 i1 u S 11 R23 i2 u S 22 i u R33 3 S 33
其中：
RKK称为网孔K的自电阻，它们分别是各网孔内全部 电阻的总和，恒为正号。 例如 R11= R1+ R4+ R5 ,
对偶问题实例
对偶问题实例1. 一个数的对偶是它的相反数。
例如，5的对偶是-5，-3的对偶是3。
2. 在电路设计中，对偶问题可以描述一个电路中输入和输出的对调。
例如，一个电路输入A和B，输出C，对偶问题可以描述输入C，输出A和B。
3. 在线性规划中，对偶问题是原始问题的一个转换形式。
原始问题是最小化一个线性目标函数的约束下的线性不等式，对偶问题是最大化一个线性函数的约束下的线性不等式。
4. 在图论中，对偶问题可以描述一个图的对偶。
例如，一个图的对偶是指将图的节点转换为边，边转换为节点的新图。
5. 在机器学习中，对偶问题是通过对原始问题中的变量进行替换得到的优化问题。
对偶问题通常更容易求解，并且可以提供一些原始问题无法提供的洞察。
6. 在计算几何中，对偶问题可以用来描述平面上的点集和直线集之间的对应关系。
例如，一个点集的对偶是指它包含平面上所有连接它的直线的交点。
7. 在控制系统中，对偶问题可以描述系统的稳定性和性能的关系。
例如，在PID控制器设计中，对偶问题可以转化为一个H∞优化问题，以最大程度的减小系统的灵敏度和扰动的影响。
8. 在量子力学中，对偶问题可以描述一对互为对偶变量的测量结果之间的关系。
例如，位置和动量是量子力学中的对偶变量，它们的测量结果满足一种不确定性原理。
9. 在金融学中，对偶问题可以描述一个投资组合的风险和收益之间的权衡。
例如，一个投资者希望最小化投资组合的风险，同时最大化收益，对偶问题可以帮助他找到最优的权衡点。
10. 在优化问题中，对偶问题可以描述一个问题的对偶形式。
对偶问题通常用于验证原始问题的解的有效性，或者提供原始问题无法提供的问题信息。
《电路基础》第10讲 特勒根定理和互易定理
10ix 5 ix 0.5A
5
二、 互易定理
互易定理表明： 对于一个仅含线性电阻的二端口电路NR， 在只有一个激励源的情况下，当激励与响应互换位置时，同一 激励所产生的响应相同。
互易定理有三种形式： 形式一： 若uS1= uS2 ，则i2= i^1
6
证明
形式一： 若uS1= uSFra bibliotek ，则i2= ^i1
第10讲 特勒根定理、互易定理、电路的对偶性
一、 特勒根定理
1、特勒根定理一 ：（又称功率定理）：
对于任意一个具有b条支路和n个节点的集中参数电路， 设 各支路电压、 支路电流分别为uk、 ik(k=1， 2， …， b)， 且各 支路电压和电流取关联参考方向，则对任何时间t，有
b
ukik 0
k 1
支路吸收的功率
特勒根定理一： 是功率守恒的具体体现
1
证明：
- u2 +
+ i1 u_1
i2 u+_6
i3 + u3 _
i4 + u4 _
i6
i5
i7 + u7 _
+ _u5
p1 u1i1 … p7 u7i7
p2 u2i2
p1 p2 p3 ... p7
u1i1 u2i2 ... u7i7
们的支路电压分别为uk和支路电流分别为ik(k=1，2， …， b) 且 各支路电压和电流取关联参考方向， 则对任意时刻t，有
b
uk ik 0
k 1
b
uk ik 0
k 1
具有功率的量纲， 但不表示任何支路的功 率率，，称称为为拟拟功功率率。
特勒根定理一是当特勒根定理二中电路N与 ^N为同一电路的特3 例。
第二章 电阻电路的等效变换
R R2 R1 R3 4 2 6 12
由图(b)电路可求得电阻RL的电流和电压分别为：
i uS 15V 1A R RL 12 3
u RLi 3 1A 3V
例2－3电路如图2－7(a)所示。已知iS1=10A, iS2=5A, iS3=1A, G1=1S, G2=2S和G3=3S，求电流i1和i3。
u2
R3i1
(R2
R3
)i2
对电阻三角形联接的三端网络，外加两个电流源i1 和i2，将电流源与电阻的并联单口等效变换为一个
电压源与电阻的串联单口，得到图(b)电路，由此得
到
i12
R31i1 R23i2 R12 R23 R31
uu12
R31i1 R31i12 R31 (i1 i12 ) R23i12 R23i2 R23 (i2 i12 )
例2－2 图(a)所示电路。已知uS1=10V, uS2=20V, uS3=5V, R1=2, R2=4, R3=6和RL=3。求电阻RL的电流和电压。
解:为求电阻RL的电压和电流，可将三个串联的电压 源等效为一个电压源，其电压为
uS uS2 uS1 uS3 20V 10V 5V 15V
R3
R12
R23 R31 R23
R31
(2 13)
由此 解得
R2
R12
R12 R23 R23
R31
(2 14)
R2
R3
R23 (R12
R31 )
电路分析基础各章节小结
“电路分析基础”教材各章小结第一章小结：1.电路理论的研究对象是实际电路的理想化模型，它是由理想电路元件组成。
理想电路元件是从实际电路器件中抽象出来的，可以用数学公式精确定义。
2.电流和电压是电路中最基本的物理量，分别定义为电流tqidd=，方向为正电荷运动的方向。
电压qwudd=，方向为电位降低的方向。
3.参考方向是人为假设的电流或电压数值为正的方向，电路理论中涉及的电流或电压都是对应于假设的参考方向的代数量。
当一个元件或一段电路上电流和电压参考方向一致时，称为关联参考方向。
4.功率是电路分析中常用的物理量。
当支路电流和电压为关联参考方向时，ui p=；当电流和电压为非关联参考方向时，uip-=。
计算结果0>p表示支路吸收（消耗）功率；计算结果<p表示支路提供（产生）功率。
5.电路元件可分为有源和无源元件；线性和非线性元件；时变和非时变元件。
电路元件的电压-电流关系表明该元件电压和电流必须遵守的规律，又称为元件的约束关系。
（1）线性非时变电阻元件的电压-电流关系满足欧姆定律。
当电压和电流为关联参考方向时，表示为u=Ri；当电压和电流为非关联参考方向时，表示为u=－Ri。
电阻元件的伏安特性曲线是u-i平面上通过原点的一条直线。
特别地，R→∞称为开路；R＝0称为短路。
（2）独立电源有两种电压源的电压按给定的时间函数u S(t)变化，电流由其外电路确定。
特别地，直流电压源的伏安特性曲线是u-i平面上平行于i轴且u轴坐标为U S的直线。
电流源的电流按给定的时间函数i S(t)变化，电压由其外电路确决定。
特别地，直流电流源的伏安特性曲线是u-i平面上平行于u轴且i轴坐标为I S的直线。
（3）受控电源受控电源不能单独作为电路的激励，又称为非独立电源，受控电源的输出电压或电流受到电路中某部分的电压或电流的控制。
有四种类型：VCVS、VCCS、CCVS和CCCS。
6.基尔霍夫定律表明电路中支路电流、支路电压的拓扑约束关系，它与组成支路的元件性质无关。
李瀚荪《电路分析基础》笔记和典型题(含考研真题)详解(网孔分析和节点分析)
第2章网孔分析和节点分析2.1 复习笔记一、网孔分析法1.网孔分析（1）概念①定义网孔分析法是以网孔电流作为求解的对象来分析电路的一种方法，又叫网孔电流法。
②网孔电流网孔电流是一种沿着网孔边界流动的假想电流，如图2-1中的所示。
图2-1 网孔电流③网孔电流方程具有m个网孔的电路，网孔方程的形式应为（2）求解步骤①选定网孔电流，为每一个网孔列写一个KVL方程；②通过欧姆定律解出方程中的支路电压；③写出以网孔电流为变量的方程组，就可解出网孔电流。
（3）难点分析①含有电流源的情况a．含有电流源和电阻的并联组合，可经等效变换成为电压源和电阻的串联组合再列回路方程；b．存在无伴电流源，且无伴电流源仅处于一个回路时，该回路的电流就是电流源电流；把无伴电流源的电压作为未知量，同时增加一个回路电流的附加方程。
②含有受控电压源的情况a．将受控电压源作为独立电压源列出回路电流方程；b．再把受控电压源的控制量用回路电流表示；c．将用回路电流表示的受控源电压移至方程的左边。
2.互易定理互易定理：在只含一个电压源，不含受控源的线性电阻电路中，若在支路x中的电压源u z，在支路y中产生的电流为i y，，则当电压源由支路x移至支路y时将在支路x中产生电流i y。
二、节点分析1．概念（1）定义节点分析是以节点电压作为求解对象的分析方法，又叫节点电压法。
（2）节点电压节点的节点电压是指该节点到参考节点的电压降。
如图2-2所示。
图2-2 节点分析法用图（3）节点方程对具有（n－1）个独立节点的电路，节点方程的形式为2.难点分析（1）电路中含有无伴电压源的情况①电压源的一端连接点作为参考点，另一端的结点电压已知，无需再列方程；②把无伴电压源的电流作为附加变量列入KCL方程，增加结点电压与无伴电压源电压之间的关系。
（2）电路中含有受控电源的情况①含有受控电流源时，先把它当作独立电流源，再把控制量用结点电压表示；②含有有伴受控电压源时，把控制量用有关结点电压表示并变换为等效受控电流源；③含有无伴受控电压源，参照无伴独立电压源的处理方法。
电路对偶定理实验报告
一、实验目的1. 理解电路对偶定理的基本概念和适用条件。
2. 验证电路对偶定理在电路分析中的应用。
3. 提高对电路分析方法的理解和实际操作能力。
二、实验原理电路对偶定理是电路分析中的一个重要定理，它表明两个电路，如果它们的元件及其参数相对应地互为对偶，那么它们的电流和电压响应也将互为对偶。
电路对偶定理的表达式为：I1/V1 = I2/V2其中，I1、I2分别为两个电路中的电流，V1、V2分别为两个电路中的电压。
三、实验仪器与设备1. 电路实验箱2. 电流表3. 电压表4. 万用表5. 电阻、电容、电感等基本元件6. 计算器四、实验步骤1. 根据实验要求，搭建两个电路，一个为原电路，另一个为对偶电路。
原电路应包含电阻、电容、电感等基本元件，对偶电路则应包含相应的对偶元件。
2. 使用电流表和电压表分别测量原电路和对偶电路中的电流和电压。
3. 记录实验数据，包括电流和电压的数值。
4. 根据实验数据，计算原电路和对偶电路中各支路的电流和电压的比值。
5. 对比原电路和对偶电路的电流和电压比值，验证电路对偶定理。
五、实验数据与分析实验数据如下：原电路：支路1：电流I1 = 2A，电压V1 = 10V支路2：电流I2 = 1A，电压V2 = 5V对偶电路：支路1：电流I1' = 1A，电压V1' = 5V支路2：电流I2' = 2A，电压V2' = 10V计算电流和电压比值：原电路电流比值：I1/V1 = 2/10 = 0.2原电路电压比值：V1/V2 = 10/5 = 2对偶电路电流比值：I1'/V1' = 1/5 = 0.2对偶电路电压比值：V1'/V2' = 5/10 = 0.5通过对比原电路和对偶电路的电流和电压比值，可以发现它们之间存在对偶关系。
即原电路的电流比值等于对偶电路的电压比值，原电路的电压比值等于对偶电路的电流比值。
六、实验结论通过本次实验，验证了电路对偶定理的正确性。
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解：将两个电位用两个电压源 替代，得到图(b)所示电路。 当电位器滑动端移到最下 端时，a点的电位为
1k 24V 12V 10V 1k 10k 1k 当电位器滑动端移到最上端时，a点的电位为 Va U cd 12V
10k 1k Va U bd 12V 24V 12V 10V 1k 10k 1k 当电位器滑动端由下向上逐渐移动时，a点的电位将从
ik Gk i
k
分压公式
uk
Rk
Rk
k 1
n
u
分流公式
G
k 1
n
当两个电阻并联时，常常用电阻参数表示的分流公式：
R2 i1 i R1 R2 ＋
R1 i2 i R1 R2 ＋
注意：当电流i1或i2的参考方向改变时，上面两个公式中 应该增加一个负号。
例1-12 图(a)所示电路为双电源直流分压电路。 试求电位器滑动端移动时，a点电位Va的变化范围。
i
k 1
n
k
0
3．基尔霍夫电压定律(KVL)陈述为：对于任何集总参数电
路，在任一时刻，沿任一回路或闭合结点序列的各段电 压的代数和等于零。其数学表达式为
u
k 1
n
k
0
4．一般来说，二端电阻由代数方程f(u,i)=0来表征。线性 电阻满足欧姆定律(u=Ri)，其特性曲线是u-i平面上通过 原点的直线。 5．电压源的特性曲线是u-i平面上平行于i轴的垂直线。电 压源的电压按给定时间函数uS(t)变化，其电流由uS(t)和 外电路共同确定。
Rb=Rg+R5+R4+R3=2k+5.4k+540+54=7994。 当电表指针满偏转的电流 Ig=37.5A时，万用电表的电 流 I=50mA。 对图(b)所示电路，用两个电阻并联时的分流公式
Rb Ia I Ig I Ra R b
求得
Ra R1 R 2 Ig I Ig Rb
对偶电路的电路方程是对偶的，由此导出的各种公式和结果 也是对偶的。例如对图(a)和(b)电路可导出以下对偶公式
u ( R1 R2 )i u i R1 R2 R1 u1 u R1 R2 R2 u2 u R1 R2
i (G1 G2 )u i u G1 G2 G1 i1 i G1 G2 G2 i2 i G1 G2
§2－3电路的对偶性
本节通过对分压电路和分流电路的讨论，介绍电路对 偶性概念。
分 压 电 路
分 流 电 路
KCL:
KVL: VCR:
i=i1=i2
u=u1+u2 u1=R1i1 u2=R2i2 u＝uS
KVL:
KCL: VCR:
u=u1=u2
i=i1+i2 i1=G1u1 i2=G2u2 i=iS
代入数值
37.5 10 6 R1 R2 7994 6 3 6 50 10 37.5 10
电表工作在500 mA量程时的电路模型如图(c)所示，其
中Ra=R1以及Ra+Rb= R1+ R2+ R3+ R4+ R5+ Rg=8 000。用 分流公式
Ra R1 Ig I 500 mA 37.5μA Ra Rb 8000
求得
8000 R1 37.5μA 0.6 500 mA
最后得到 R1=0.6，R2=6-0.6=5.4。
摘
要
1．实际电路的几何尺寸远小于电路工作信号的波长时，可 用电路元件连接而成的集总参数电路(模型)来模拟。基
尔霍夫定律适用于任何集总参数电路。
2．基尔霍夫电流定律(KCL)陈述为：对于任何集总参数电 路，在任一时刻，流出任一结点或封闭面的全部支路电 流的代数和等于零。其数学表达式为
这两个电路的2b方程存在着一种对偶关系: 1. 拓扑对偶
如果将某个电路KCL方程中电流换成电压，就得到另
一电路的 KVL方程；将某个电路KVL方程中电压换成电 流，就得到另一电路的 KCL方程。这种电路结构上的相似 关系称为拓扑对偶。
2. 元件对偶 将某个电路VCR方程中的u换成i, i换成u，R换成G，G 换成R等，就得到另一电路元件的VCR方程。这种元件 VCR方程的相似关系，称为元件对偶。 3. 对偶电路 若两个电路既是拓扑对偶又是元件对偶，则称它们是 对偶电路。上图(a)和图(b)就是对偶电路。
-10V到+10V间连续变化。
例l-13 某MF－30型万用电表测量直流电流的电原理图如 下图 (a)所示，它用波段开关来改变电流的量程。 今发现线绕电阻器R1 和R2 损坏。问应换上多大数值
的电阻器，该万用电表才能恢复正常工作?
解: 电表工作在50mA量程时的电路模型如图(b)所示。
其中： Ra=R1+R2 以及
9．由电阻和电压源构成的电路，可以用b个支路电流作为 变量，列出b个支路电流法方程，它通常由(n-1)个结点 的 KCL方程和(b-n+1)个网孔的KVL方程构成。 10．两个电阻串联时的分压公式和两个电阻并联时的分流 公式为
uk
Rk
R
k 1
n
u
ik
Gk
k
G
k 1
n
i
k
6．电流源的特性曲线是u-i平面上平行于u轴的水平线。电 流源的电流按给定时间函数iS(t)变化，其电压由iS(t)和
外电路共同确定。 7．对于具有b条支路和n个结点的连通电路，有(n-1)个线
性无关的 KCL方程，(b-n+1)个线性无关的KVL方程和 b个支路特性方程。 8．任何集总参数电路的电压、电流都要受KCL、KVL和 VCR方程的约束。直接反映这些约束关系的2b方程是 最基本的电路方程，它们是分析电路的基本依据。