对偶电路及其在求解电路问题中的应用

2. 电路的对偶关系及其分类
2.1. 对偶因素及其对应
在电路中，电路的连接方式、定律、元件、参数、名词、变量及其关系都存在互相 对偶性。这些互相对偶的“内容“成为“对偶因素” 。如戴维南电路与诺顿电路， 串联与并联，KCL 与 KVL，电阻与电导等。 对偶因素对应关系如表 1 所示 表 1 对偶因素对应关系表 对偶因素 电压 KCL 电阻 电荷 电流源 开路 VCCS VCVS 节点 参考节点 电流 KVL 电导 磁通 电压源 短路 CCVS CCCS 网孔 外网孔 戴维南定理 互易定理 1 电容 诺顿定理 互易定理 2 电感 割集 树枝 基本割集 T 形电路 自电阻 互电阻 对偶因素 回路 连枝 基本回路 π形电路 自电导 互电导
对偶电路及其在求解电路问题中的应用
姓名：周琳 班级：F1003006 学号：5100309339 指导老师：何迪
摘要： 本文主要介绍了电路的对偶特性及其应用。 文章对于电路元件的对偶特性进行了分析， 简要介绍了对偶电路和对偶原理， 给出了对偶电路的一般画法， 并结合实例阐明了对偶电路 在求解电路问题中的应用。 Abstract:This composition mainly focus on the duality of the circuit and its applications. The passage analyses the duality of the circuit element , simply introduces the dual circuit and duality principle, offers the ways to get the duality circuit of a given circuit, and gives examples to show how duality circuit can be used to solve practical problems.
1. 电路的对偶性 1.1. 对偶性
对偶性是自然界的一个普遍规律，很多物理现象都是以对偶的形式呈现的，物理中 的对偶原理表示为“如果描述两种物理过程的方程具有相同的物理形式，那么它们 解的数学形式也是相同的” 。不仅在物理中，数学中、电路中对偶性也是很重要的一 个方面。对偶型的应用对于解决问题带来了诸多方便。
回路 2：
Im2 = Is3
回路矩阵方程为
⎛ R1 + R2 ⎜ ⎝ 0
−R2 ⎞ ⎛ I m1 ⎞ ⎛ U s1 − U s 2 ⎞ ⎟=⎜ ⎟ ⎟⎜ 1 ⎠ ⎝ I m2 ⎠ ⎝ I s3 ⎠
对电路 � N 列些节点方程有 节点 1：
�U + G � (U − U ) = I �−I � G 1 n1 2 n1 n2 S1 S2
节点 2：
U n2 = U s3
节点矩阵方程为
� +G � ⎛G 1 2 ⎜ ⎜ 0 ⎝
�−I �⎞ � ⎞ ⎛ U n1 ⎞ ⎛ I −G S1 S2 2 = ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ U 1 ⎠ ⎝ n2 ⎠ ⎝ U S 3 ⎠
如果两个电路元件参数值满足
�, R = G � ,U = I � ,U = I �, I = U � S3 R1 = G 1 2 2 S1 S1 S1 S2 S3
串联
并联
阻抗
导纳
2.2. 对偶关系的分类
2.1 中的对偶因素可分为以下几类： 1、拓扑结构的对偶：串联和并联，戴维南电路和诺顿电路，T 形电路和π形电路， 节点与网孔，基本割集和基本回路，树枝和连枝等 2、电路元件的对偶：电阻与电导，电压源与电流源，电容与电感 VCCS 与 CCVS 等 3、电路定理的对偶：互易定理 1 和 2，戴维南定理和诺顿定理 4、参数的对偶：电荷和磁通，阻抗和容抗
过其的电流为 io; 对于节点 1， 3： 其公共支路为以电阻 R， 流过其电流方向与回路 Im1 参考方向一致， 故节点 1，3 间为一电导，两端典雅为 u，正极与节点 1 相连； 对于节点 1，4：其公共支路为以戴维南电路，对偶成分为诺顿支路，回路 Im1 参考 方向与电压源电压升方向一致，故对偶的诺顿支路电流源流入节点 1 对于 2，3：其公共支路为一电阻，对偶成分为电导，Im3 与其两端电压 u 电压升方 向一致，故对偶的电流流入节点 3； 对于 2，4：其公共支路为一电阻，对偶成分为电导； 对于 3，4：其公共支路为以受控电流源，对偶成分为受控电压源，由于 im4 与受控 电流源电流方向一致，故对偶的受控电压源正极与节点 4 相连。 将各个支路的对偶成分结合在一起，记得到图 4（d）所示的对偶电路； （4） 分别列取原电路的回路矩阵方程和对偶电路的节点矩阵方程，验证对偶电路的正确 性： 对于原电路图 5（a ）
从原电路对偶电路有四个节点，由降阶矩阵可知节点 1 的方程为
U n1G1 + (U n1 − U n 3 )G 5 = I1 − I 2 ，由此可知
节点 1，3 之间有电导 G5，节点 1，4 之间有电导 G1，电流源 I 1 流入节点 1，电流源 I 2 流出节点 1，继续对剩余节点分析，即可得到图 4（ b）所示对偶电路
1.2. 对偶电路
R1
R2
uS1
uS 2
图（a ）
R3 iS 3
ˆ G 2 ˆS1 i ˆ G 1
iˆS 2
图（ b）
ˆ G 3
ˆS 3 u
图 1 互为对偶电路的两个电路 N， � N 下面通过上面的电路 N 和 � N 来说明电路的对偶性 对电路 N 列写回路方程有 回路 1：
R1 I m1 + R2 ( I m1 − I m 2 ) = U s1 − U s 2
�
元件 以《电路基础》第二章习题 2.30 电路图为例
（a ）
（b） 图 4 习题电路图及其对偶电路图
图 4（a ）的降阶网孔矩阵方程为
0 ⎛ R1 + R 5 ⎜ R3 + R4 ⎜ 0 ⎜ − R5 − R4 ⎝
−R 5 ⎞ ⎛ I m1 ⎞ ⎛ U1 − U 2 ⎞ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − R4 ⎟ ⎜ I m 2 ⎟ = ⎜ U 2 + U 3 − U 4 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ R4 + R5 ⎟ ⎠ ⎝ Im3 ⎠ ⎝ U 4 ⎠
所以当 M= A ，Us=Is 时，有 Im=Un,即两个电路解相同，电路互相对偶
�
3.2. 对偶电路的求取
3.2.1. 矩阵方法
由 3.1 可知，如果两个电路的 M= A ，则这两个电路互为对偶电流。则对于不含受控源的电 路可由矩阵方法求得其对偶电路。具体操作为： a. b. c. 列出当前电路的降阶网孔矩阵方程； 将该网孔矩阵表示为待求矩阵的降阶关联矩阵方程； 根据降阶关联矩阵画出电路图，具体由每个节点的 KCL 方程可以推测出连接节点间的
N
2
N
ˆ2 i ˆ2 u
ˆS i
u2
2'
2'
� I I 1 = 2 � US U S
由图 3 有
� U U 1 = 2 � IS IS �=I � 时， I = U , I � � 当 U S = I S ,U S S 2 2 1 = U1
及两个定理满足对偶关系
2.3.2. 电容和电感
表 2 电容和电感的对偶性比较 电容 电感
2.3. 对偶因素的分析
2.3.1. 互易定理 1 和 2 为例进行分析
i1 1
2
1
2
N ˆ2 u
2'
ˆ2 i ˆS u
uS
u1
1'

2'
u2
i2
ˆ1 i
ˆ1 u
1'
(a)
图 2 互易定理 1
(b)
ˆ 1 i1 ˆ1 u
1'
图（b） 图 3 互易定理 2
i1 1
iS
u1
1'
图（ a） 由图 2 有
i2 2
1
对于非电流源和电压源如果网孔 i 的参考方向与电流方向一致，则在待求电路中电 流流出节点 i； 2 对应于电流源和电压源，如果网孔 i 的参考方向和电压源电压升的方向一致，则待 求电路中对偶的电流源流入节点 i；如果网孔 i 的参考方向和电流源的电流方向一致，则待 求电路中对偶的电压源正极与节点 i 相连。
则两个方程的解相同，即
⎛ I m1 ⎞ ⎛ U n 1 ⎞ ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎝ I m 2 ⎠ ⎝U n 2 ⎠
从上面的分析可知，如果两个电路 电路。
N和� N 的网孔形式不仅相同，各项系数以及激
励的数值相同，那么电路方程的解的数值也分别相等，称这样的两个电路互为对偶
1.3. 对偶原理
如果电路中某一表述是成立的，则将表述中的概念（变量、参数、原件、概念等） 用其对偶因素【2.1 中会重点介绍】转换后所得的对偶表述也一定是成立的。
设 Im=[Im1,Im2,……] 为电路 N 网孔电流向量，Us=[Us1,Us2,…… ]为电路 N 各个网孔 的电压源向量，则有 MI=Us 设 Un=[Un1,Un2,……] 为电路 N 的节点电压向量，Is=[Is1,Is2,…… ] 为与节点 i 相关联的
�
� 电流源向量，则有 A Un=Is
(im1 − im3 ) R + u0 + im1 R = U S (im 2 − im3 ) R + im 2 R = u0
im 3 = 0.5u
补充方程： u =R （im 2 − im 3） i=（im1 − im3 )
网孔矩阵方程为
0 − R ⎞ ⎛ U S -u0 ⎞ ⎛ 2R ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2R − R ⎟ = ⎜ u0 ⎟ ⎜ 0 ⎜ 0 −0.5 R 1+0.5 R ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠