云南省曲靖市2020-2021学年高三年级第一次教学质量检测数学理科试题
2019-2020学年云南省曲靖一中高三(上)质检数学试卷(理科)(三)
2019-2020学年云南省曲靖一中高三（上）质检数学试卷（理科）（三）一、选择题1．“高铁、扫码支付、共享单车和网购”称为中国的“新四大发明”，某中学为了解本校学生对“新四大发明”的使用情况，随机调查了100位学生，其中使用过共享单车或扫码支付的学生共有90位，使用过扫码支付的学生共有80位，使用过共享单车且使用过扫码支付的学生共有60位，则使用过共享单车的学生人数为( ) A ．60B ．70C ．80D ．902．若i 为虚数单位，复数z 在复平面中对应的点为1(2-，则2019z 的值是( )A ．1-B ．i -C ．iD ．13．在ABC ∆中，若角4A π=，6B π=，边BC 长为4，则边AC 长为( )ABC ．D ．4．ABC ∆中所在的平面上的点D 满足2BD DC =，则(AD = ) A ．3144AD AB AC =+ B ．1344AD AB AC =+C ．2133AD AB AC =+ D ．1233AD AB AC =+ 5．已知51sin()63πα+=，则5cos(2)3πα+的值是( ) A ．79-B ．13-C ．13D ．796．已知()f x 是定义在R 上的减函数，其图象关于原点对称，若21(log )5a f =-，2(log 4.6)b f =，0.3(2)c f =，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>7．在ABC ∆中，若cos cos()sin()c A a C b B ππ-+=-，则此三角形为( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形8．若函数3211()(1)432f x x a x x =--+在区间[1，3]内有两个不等的极值点，则实数a 的取值范围是( )A ．(4，5]B ．[3，6]C ．16(5,]3 D ．16[,6)39．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =-，数列{}n b 满足1sin 2n n n b a π+=，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，则2017(T = ) A ．2016B ．2017C ．2018D ．201910．已知函数42()2(1)f x x ax a x =-++-，且(1)f x -的图象关于1x =对称，则()f x 的导函数()f x '的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．11．已知单调递增的数列{}n a 满足2017,20193(1)2020,20192018n n m n a m n n -⎧⎪=⎨+-<⎪⎩…，则实数m 的取值范围是( ) A ．(1，2]B ．(1,2)C ．(2,)+∞D ．(1,)+∞12．已知()f x '为函数()f x 的导函数，当0x >时，有()()0f x xf x '->恒成立，则下列不等式成立的是( ) A ．1()2(1)2f f >B ．1()2(1)2f f <C ．12()(1)2f f <D ．12()(1)2f f >二、填空题13．下列命题中①“0x R ∃∈，020x …”的否定；②x R ∀∈，2(1)0lg x +…；③若“2x x >，则0x >”的逆命题；④“若x y <，则22x y <”的逆否命题，则正确命题的序号为 ． 14．在平面直角坐标系中，角α的终边在直线12y x =-上，则2cos sin 2αα-的值为 ．15．已知函数22(3)9(4)()(1)1(4)x x f x x x ⎧--+<=⎨--⎩…，存在3210x x x >>…，使得123()()()f x f x f x ==，则123()x x f x 的取值范围是 ．16．函数()sin f x x ω=(0)ω>的图象与其对称轴在y 轴右侧的交点从左到右依次记为1A ，2A ，3n A A ⋯⋯⋯在点列{}n A 中存在三个不同的点k A ，t A ，p A ，使得△k t p A A A 是等腰直角三角形将满足上述条件的ω值从小到大组成的数列记为{}n ω，则2019ω= ． 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2cos cos cos c C a B b A =+． （1）求角C ．（2）若ABC ∆的面积为S ，且224()S b a c =--，2a =，求S ． 18．函数()2sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示．（1）求()f x 的解析式；（2）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对应边，若锐角A 满足()f A =，3a =，求b c +的最大值．19．设函数()n f x e lnx =．（1）求()f x 在区间[1，2]上的最小值；（2）证明：对任意的(0,)x ∈+∞，都有12()1x e f x x ->-．20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21522n S n n =+．等差数列{}n b 满足39b =，411b =．（1）求{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设1(23)(28)n n n c a b =--，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求使不等式54n k T >恒成立的最大正整数k 的值．21．已知函数2()(21)(1)f x lnx ax a x a =+-+++．（1）若对1x ∀>，都有()0f x >恒成立，求a 的取值范围；（2）证明：22222(1)(2)(3)()n n n n n n e n +++⋯+>对任意正整数n 均成立，其中e 为自然对数的底数．22．在极坐标系中，已知圆的圆心(6,)3C π，半径3r =，Q 点在圆C 上运动，以极点为直角坐标系原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系． （1）求圆C 的参数方程；（2）若P 点在线段OQ 上，且||:||2:3OP PQ =，求动点P 轨迹的极坐标方程． 23．已知定义在R 上的函数2()||||f x x m m x m =-+--． （1）若()f x 的最大值为4，求正实数m 的值； （2）若(1)4f -…，求m 的取值范围．2019-2020学年云南省曲靖一中高三（上）质检数学试卷（理科）（三）参考答案与试题解析一、选择题1．“高铁、扫码支付、共享单车和网购”称为中国的“新四大发明”，某中学为了解本校学生对“新四大发明”的使用情况，随机调查了100位学生，其中使用过共享单车或扫码支付的学生共有90位，使用过扫码支付的学生共有80位，使用过共享单车且使用过扫码支付的学生共有60位，则使用过共享单车的学生人数为( ) A ．60B ．70C ．80D ．90【解答】解：设全集{U =随机调查的100位学生}， {A =被抽查的学生中使用过共享单车的学生}， {B =被抽查的学生中使用过扫码支付的学生}，作出韦恩图，使用过共享单车的学生人数为106070+=， 故选：B ．2．若i 为虚数单位，复数z 在复平面中对应的点为1(2-，则2019z 的值是( )A ．1-B ．i -C ．iD ．1【解答】解：由题意，12z =-+，则31z =，20193673()1z z ∴==，故选：D ．3．在ABC ∆中，若角4A π=，6B π=，边BC 长为4，则边AC 长为( )A BC ．D ．【解答】解：4A π=，6B π=，边BC 长为4，即4a =，∴由正弦定理sin sin a b A B =，可得sin sin a Bb A==．故选：C ．4．ABC ∆中所在的平面上的点D 满足2BD DC =，则(AD = ) A ．3144AD AB AC =+ B ．1344AD AB AC =+C ．2133AD AB AC =+ D ．1233AD AB AC =+ 【解答】解：2BD DC =，∴2()AD AB AC AD -=-， ∴1233AD AB AC =+， 故选：D ． 5．已知51sin()63πα+=，则5cos(2)3πα+的值是( ) A ．79-B ．13-C ．13D ．79【解答】解：51sin()sin()663ππαα+=-=， ∴22527cos(2)cos(2)2cos ()12sin ()133369ππππαααα+=-+=-++=--+=， 故选：D ．6．已知()f x 是定义在R 上的减函数，其图象关于原点对称，若21(log )5a f =-，2(log 4.6)b f =，0.3(2)c f =，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>【解答】解：根据题意，22221log log 5log 4.6log 425-=>>=，0.822<，即0.8221log log 4.625->>， 又()f x 是定义在R 上的减函数，则有0.8221(log )(log 4.6)(2)5f f f -<<，又由()f x 的图象关于原点对称，则()f x 为奇函数，故有2211(log )(log )55f f -=-，则0.8221(log )(log 4.6)(2)5f f f -<<，即c b a >>，故选：C ．7．在ABC ∆中，若cos cos()sin()c A a C b B ππ-+=-，则此三角形为( ) A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形【解答】解：在ABC ∆中，由已知得cos cos sin a C c A b B +=，由正弦定理可知，2sin cos sin cos sin A C C A B +=，即2sin()sin sin A C B B +==， 0B π<<，sin 0sin 1B B ≠∴=，2B π=，所以三角形为直角三角形， 故选：C ．8．若函数3211()(1)432f x x a x x =--+在区间[1，3]内有两个不等的极值点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(4，5]B ．[3，6]C ．16(5,]3D ．16[,6)3【解答】解：因为3211()(1)432f x x a x x =--+，所以求导得：2()(1)4f x x a x '=--+，又()f x 在区间[1，3]内有两个不等的极值点，所以()0f x '=在区间[1，3]内有两个不等的实根，则2(1)1601132(1)60(3)1630a a f a f a ⎧=-->⎪-⎪<<⎪⎨⎪=-⎪=-⎪⎩……，解得1653a <…， 故选：C ．9．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =-，数列{}n b 满足1sin 2n n n b a π+=，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，则2017(T = ) A ．2016B ．2017C ．2018D ．2019【解答】解：由数列{}n a 的前n 项和为2n S n n =-， 当1n =时，11110a S ==-=；当2n …时，221[(1)(1)]22n n n a S S n n n n n -=-=-----=-，上式对1n =时也成立， 22n a n ∴=-， ∴cos2(1)cos22n n n n b a n ππ==-，函数cos2n y π=的周期242T ππ==， 2017152013262143720154820162017()()()()T b b b b b b b b b b b b b ∴=++⋯++++⋯++++⋯++++⋯++201702(152013)02(372015)4032cos450420162π=-++⋯+++++⋯++=⨯=． 故选：A ．10．已知函数42()2(1)f x x ax a x =-++-，且(1)f x -的图象关于1x =对称，则()f x 的导函数()f x '的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：由(1)f x -的图象关于1x =对称，所以函数42()2(1)f x x ax a x =-++-为偶函数，则10a -=，解得1a =，42()2f x x x ∴=-+，3()44f x x x '∴=-+； 设()()g x f x '=，则2()124g x x '=-+， 令()0g x '=，解得x = ∴当0x <<()0g x '>；当x >时，()0g x '<， ()g x ∴在x =3442g =-⨯+=<， ∴导函数()f x '的图象大致为选项A 所示，故选：A ．11．已知单调递增的数列{}n a 满足2017,20193(1)2020,20192018n n m n a m n n -⎧⎪=⎨+-<⎪⎩…，则实数m 的取值范围是( ) A ．(1，2]B ．(1,2)C ．(2,)+∞D ．(1,)+∞【解答】解：因为{}n a 是单调递增数列2017,20193(1)2020,20192018n n m n a m n n -⎧⎪=⎨+-<⎪⎩…，所以1m >，3102018m +>，且201920173(1)201820202018mm -+⨯-<， 解得2m >， 故选：C ．12．已知()f x '为函数()f x 的导函数，当0x >时，有()()0f x xf x '->恒成立，则下列不等式成立的是( ) A ．1()2(1)2f f >B ．1()2(1)2f f <C ．12()(1)2f f <D ．12()(1)2f f >【解答】解：令()()f x F x x=，(0,)x ∈+∞， 则2()()()xf x f x F x x '-'=，()()0f x xf x '->，即()()0xf x f x '-<， ()0F x '∴<，()F x ∴在(0,)x ∈+∞上单调递减， 故1()(1)2F F >，即12()(1)2f f >，故选：D ． 二、填空题13．下列命题中①“0x R ∃∈，020x …”的否定；②x R ∀∈，2(1)0lg x +…；③若“2x x >，则0x >”的逆命题；④“若x y <，则22x y <”的逆否命题，则正确命题的序号为 ①② ． 【解答】解：对于①，0x R ∃∈，020x …为假命题，故其否定为真；对于②，2(1)10lg x lg +=…，故真：对于③，当01x <<时，逆命题不成立；对于④，若“x y <，则22x y <”为假命题，故逆否命题为假命题． 故答案为：①②．14．在平面直角坐标系中，角α的终边在直线12y x =-上，则2cos sin 2αα-的值为 5 ．【解答】解：在平面直角坐标系中，角α的终边在直线12y x =-上，∴1tan 2α=-，则22222cos 2sin cos 12tan 8cos sin 2sin cos tan 15ααααααααα---===++， 故答案为：85．15．已知函数22(3)9(4)()(1)1(4)x x f x x x ⎧--+<=⎨--⎩…，存在3210x x x >>…，使得123()()()f x f x f x ==，则123()x x f x 的取值范围是 (64,81) ． 【解答】解：由22(3)9(4)()(1)1(4)x x f x x x ⎧--+<=⎨--⎩…， 设123()()()f x f x f x k ===，如图，知89k <<，则1x ，2x 为方程2(3)9x k --+=， 即260x x k -+=的两根，由韦达定理得12x x k =，则2123()x x f x k =， 又89k <<，则26481k <<． 故答案为：(64,81)16．函数()sin f x x ω=(0)ω>的图象与其对称轴在y 轴右侧的交点从左到右依次记为1A ，2A ，3n A A ⋯⋯⋯在点列{}n A 中存在三个不同的点k A ，t A ，p A ，使得△k t p A A A 是等腰直角三角形将满足上述条件的ω值从小到大组成的数列记为{}n ω，则2019ω 2． 【解答】解：由2x k πωπ=+，得(21)2k x πω+=，k Z ∈， 由题意得2x πω=，32πω，52πω，⋯，(21)2n πω-， 即1(2A πω，1)，23(2A πω，1)-，35(2A πω，1)，47(2A πω，1)-⋯，由△123A AA 是等腰直角三角形，得12231A A A A k k =-， 即221ππωω-=---，得12πω=，同理△147A A A 是等腰直角三角形得14471A A A A k k =-，得232πω=． 同理△1611A A A 是等腰直角三角形得166111A A A A k k =-，得352πω=． ⋯⋯(21)2n n πω-=， 则2019(220191)403722πωπ⨯-==，故答案为：40372π 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2cos cos cos c C a B b A =+． （1）求角C ．（2）若ABC ∆的面积为S ，且224()S b a c =--，2a =，求S ． 【解答】解：（1）由2cos cos cos c C a B b A =+， 得2sin cos sin cos sin cos C C A B B A =+， 2sin cos sin()sin C C A B C ∴=+=，∴1cos 2C =， (0,)C π∈，∴3C π=．（2）由222224()22sin S b a c b a c ac ac B =--=--+=， 得2cos 22sin ac B ac ac B -+=，sin cos 1B B ∴+=，则sin()4B π+=， 2(0,)3B π∈，∴(44B ππ+∈，11)12π， ∴344B ππ+=，得2B π=，又2a =，tan c a C ∴== 11222S ac ∴==⨯⨯= 18．函数()2sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示．（1）求()f x 的解析式；（2）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对应边，若锐角A 满足()f A =，3a =，求b c +的最大值．【解答】解：（1）由函数图象可得53()1234T ππ--=，解得T π=， 22Tπω∴==， 又522()122k k Z ππϕπ⨯+=+∈，且22ππϕ-<<， ∴3πϕ=-，∴()2sin(2)3f x x π=-．（2）()2sin(2)3f A A π=-=，可得sin(2)3A π-=又(0,)2A π∈，2(33A ππ-∈-，2)3π，233A ππ∴-=，即3A π=，3a =，∴由余弦定理得222222cos93a b c bc b c bc π=+-=+-=，即2()39b c bc +-=， 即23()9bc b c =+-， 2()2b c bc +…，22()93()2b c b c ++-…， 即224()363()b c b c +-+…，则2()36b c +…，即36b c <+…，当且仅当3c b ==时等号成立． 即b c +的最大值是6． 19．设函数()n f x e lnx =．（1）求()f x 在区间[1，2]上的最小值；（2）证明：对任意的(0,)x ∈+∞，都有12()1x e f x x ->-．【解答】（1）解：由题1()()x xx e f x e lnx e lnx x x'=+=+，令1()h x lnx x =+，则21111()(1)h x x x x x'=-=-，令()0h x '>，解得1x >，令()0h x '<，解得1x <， ()h x ∴在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增． ()min h x h ∴=（1）10=>，()f x ∴在区间[1，2]上单调递增， ()min f x f ∴=（1）0=．（2）证明：要证12()1x e f x x ->-，只要证121x xe e lnx x->-，从而只要证2x x xlnx e e >-，令()g x xlnx =，2()x x F x e e=-，()1g x lnx ∴'=+，1()x xF x e-'=， ()g x ∴在1(0,)e 上单调递减，在1(,)e+∞上单调递增，()F x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， ∴11()()min g x g e e ==-，1()(1)max F x g e==-，从而对一切(0,)x ∈+∞，12x x xlnx e e e--厖（等号不能同时取得）， ∴对任意的(0,)x ∈+∞，都有12()1x e f x x->-． 20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21522n S n n =+．等差数列{}n b 满足39b =，411b =．（1）求{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设1(23)(28)n n n c a b =--，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求使不等式54n k T >恒成立的最大正整数k 的值．【解答】解：（1）由已知得21522n S n n =+， 当1n =时，1115322a S ==+=； 当2n …时，2211515(1)(1)22222n n n a S S n n n n n -=-=+----=+， 当1n =时，符合上式， 所以2n a n =+．因为{}n b 为等差数列，其公差为431192d b b =-=-=，3(3)92623n b b n d n n =+-=+-=+， 所以23n b n =+． （2）由（1）得111111()(23)(28)(21)(42)2(21)(21)42121n n n c a b n n n n n n ====---+-+--+，11111111(1)(1)43352121421n T n n n =-+-+⋯+-=--++， 因为11111()0421232(21)(23)n n T T n n n n +-=-=>++++， 所以{}n T 是递增数列， 所以116n T T =…， 故54n k T >恒成立只要11654k T =>恒成立．所以9k <，最大正整数k 的值为8．21．已知函数2()(21)(1)f x lnx ax a x a =+-+++．（1）若对1x ∀>，都有()0f x >恒成立，求a 的取值范围；（2）证明：22222(1)(2)(3)()n n n n n n e n +++⋯+>对任意正整数n 均成立，其中e 为自然对数的底数．【解答】（1）解：212(21)1(21)(1)()2(21)ax a x ax x f x ax a x x x -++--'=+-+==．1x >，10x ∴->，故：①当0a …时，()0f x '…，()f x 在(1,)+∞上单调递减， 而f （1）0=，()0f x ∴<，不符合题意；②当12a …时，即112a…，()f x 在(1,)+∞上单调递增，而()f x f >（1）0=，∴符合题意； ③当102a <<，1(1,)2x a ∈时，()0f x '<，()f x 在1(1,)2a上单调递减， 而f （1）0=，∴此时()0f x <，不符合题意， 综上所述，a 的取值范围为1[,)2+∞．（2）证明：要证明22222(1)(2)(3)()n n n n n n e n +++⋯+>，等价于证明2222222212n n n k n nn n n n++++⋯⋯>， 等价于证明222222221212n n n k n n ln ln ln ln n n n n ++++++⋯++⋯+>．由（1）可得1(1)[1(1)]2lnx x x >---在(1,)+∞恒成立．令21kx n =+，1k =，2，3，⋯，n ，则221k n …，∴2224221(1)22k k k k ln n n n n n+>--…，∴222222222212121122n n n k n n n ln lnln ln n n n n n n n ++++++⋯+++⋯++⋯+>-⨯=， ∴222222221212n n n k n n ln lnln ln n n n n ++++++⋯++⋯+>成立， ∴22222(1)(2)(3)()n n n n n n e n +++⋯+>成立．22．在极坐标系中，已知圆的圆心(6,)3C π，半径3r =，Q 点在圆C 上运动，以极点为直角坐标系原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系． （1）求圆C 的参数方程；（2）若P 点在线段OQ 上，且||:||2:3OP PQ =，求动点P 轨迹的极坐标方程．【解答】解：（1）由已知得，圆心(6,)3C π的直角坐标为C ，3r =，所以C 的直角坐标方程为22(3)(9x y -+-=，所以圆C 的参数方程为33cos (3sin x y θθθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩为参数）．（2）由（1）得，圆C 的极坐标方程为26(cos )270ρρθθ-++=， 即212sin()276πρρθ=+-．设(,)P ρθ，1(Q ρ，)θ，根据||:||2:3OP PQ =，可得1:2:5ρρ=， 将152ρρ=代入C 的极坐标方程得225120sin()10806πρρθ-++=， 即动点P 轨迹的极坐标方程为225120sin()10806πρρθ-++=．23．已知定义在R 上的函数2()||||f x x m m x m =-+--． （1）若()f x 的最大值为4，求正实数m 的值； （2）若(1)4f -…，求m 的取值范围．【解答】解：（1）由绝对值不等式得222|||||()||2|x m m x m x m m x m m m -+---+--=-…，当且仅当2()()0x m m x m -+-…，等号成立． 令2|2|4m m -=，得224m m -=或224m m -=-，解得1m =+1m =（舍去），得1m =+（2）22(1)|1||1||1||1|f m m m m m m -=--+---=-+-+， 由于210m m -+>，则2(1)1|1|f m m m -=-+-+． ①当1m -…时，22(1)1(1)2f m m m m m -=-+-+=-，由224m m -…，得11m +1m -…，所以11m -+剟 ②当1m <-时，22(1)1(1)2f m m m m -=-+++=+，由224m +…，得m ，又1m <-，所以1m <-，综上，可得m 的取值范围为[+．。
云南省曲靖市第一中学2020届高三高考复习质量监测考试理数试题 Word版含解析
云南省曲靖市第一中学2020届高考复习质量监测考试高三理数试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设集合212xxx⎧+⎫A=≤⎨⎬-⎩⎭，{}1x xB=<，则()RA B=Ið（）A．112x x⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭B．{}12x x≤< C．{}12x x-<≤D．{}12x x<<【答案】B考点：不等式的解法与集合运算.2.复数321izi+=-（i为虚数单位）的共轭复数z为（）A．1522i-+B．1522i--C．1522i+D．15 22i -【答案】D 【解析】试题分析：()()()()32132151112i ii izi i i++++===--+，所以z的共轭复数为1522z i=-，故选D.考点：复数的运算.3.阅读如图1的程序框图，若输入6n=，则输出k的值为（）A．3 B．4 C．5 D．6图1【答案】B考点：程序框图中的循环结构.4.某几何体的三视图如图2所示，当xy最大时，该几何体的体积为（）A．5306B．5304C．5302D．515图2【答案】A【解析】试题分析：由三视图可知该几何体为底面为直角三角形，一条侧棱垂直于底面的三棱锥，如下图所示，SC ⊥平面,ABC 90,CAB ∠=o 根据三视图的规则可知5,5,SA AB AC y ===,所以222SC AC SA +=即222225SC SA AC y =-=-，222530SC y x +=-=，所以22302x y xy +=≥，当且仅当15x y ==时，xy 有最大值，所以三棱锥的体积2115305152532V y =⨯⨯⨯⨯-=，故选A.考点：三视图与棱锥的体积.5.已知m 、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥B ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αC ．若//m n ，m α⊂，n β⊂，则//αβD ．若//m n ，m α⊥，n β⊥，则//αβ 【答案】DABy55考点：空间直线与平面的平行、垂直关系的判断.6.已知{}n a 为等差数列，{}n b 为正项等比数列，公比1q ≠，若11a b =，99a b =，则（ ）A ．55a b =B ．55a b >C ．55a b <D ．以上都有可能 【答案】B 【解析】试题分析：由等差、等比中项可知195519,2a a ab b b +==，又11a b =，99a b =，所以1919192a a a ab b +≥=，即55a b >，故选B. 考点：等差中项和等比中项.7.五个人坐成一排，甲和乙坐在一起，乙不和丙坐一起，则不同的坐法种数为（ ）A ．12B ．24C ．36D ．48 【答案】C考点：排列与组合.8.下列结论正确的个数是（ ） ①cos 0α≠是22k παπ≠+（k ∈Z ）的充分必要条件；②若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数，则样本的方差不变； ③先后抛两枚硬币，用事件A 表示“第一次抛硬币出现正面向上”，用事件B 表示“第二次抛硬币出现反面向上”，则事件A 和B 相互独立且()()()111224P AB =P A P B =⨯=；④在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布()21,σN （0σ>），若ξ位于区域()0,1内的概率为0.4，则ξ位于区域()1,+∞内的概率为0.6．A ．4B ．3C ．2D ．1 【答案】C 【解析】试题分析：①中给出命题的逆否命题是“22k παπ=+（k ∈Z ）是cos 0α=的充分必要条件”，显然当cos 0α=时，2k παπ=+（k ∈Z ），所以必要性不成立，所以命题①错误；②方差表达了样本数据的波动大小，当一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数，则样本的方差不变，所以②正确；③先后抛两枚硬币，显然事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响，所以事件A 和B 相互独立，由相互独立事件概率公式可知它们同时发生的概率()()()111224P AB =P A P B =⨯=，所以③正确；④因为ξ服从正态分布()21,σN ，其对称轴为1x =，ξ位于区域()1,+∞内的概率为0.5，所以④错误，综上所述正确的命题只有②③两个，故选C.考点：充要条件、方差的数学意义、相互独立事件同时发生的概率及正态曲线的性质.9.()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()33f x f x -=+，当03x <<时，()()22log 2f x x =-+，则当06x <<时，不等式()()30x f x ->的解集是（ ）A ．()()0,23,4UB ．()()0,24,5UC ．()()2,34,5UD ．()()2,33,4U 【答案】D考点：函数性质的综合应用及对数函数的性质.10. 已知函数()sin 3f x x x ωω=（0ω>），062f f ππ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 在区间,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，则ω等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】A 【解析】试题分析：函数()sin 32sin 3f x x x x πωωω⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，由062f f ππ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可知()f x 的图象关于点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，所以2sin 0333f πππω⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此,31,33k k k z ππωπω+==-∈，排除B,C ，当5ω=时()2sin 53f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，排除D ，故选A. 考点：三角恒等变换与正弦函数的性质.【方法点晴】本题主要考查了三角恒等变换与正弦型函数的图象与性质，属于中档题.本题首先通过和角公式把()f x 化成正弦型函数()2sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解题的突破口在对条件062f f ππ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的应用，变形即得62f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，实质上是给出了函数图象的一个对称中心，由此求得ω的一系列值，最后通过区间,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的单调性进行验证、排除. 11.已知()1F ,0c -，()2F ,0c 为椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的两个焦点，若椭圆上存在点P 满足212F F 2c P ⋅P =u u u r u u u r ，则此椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．20,⎛⎤ ⎥ ⎝⎦B ．3,1⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭ C ．13,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．23,⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C考点：椭圆的几何性质.【方法点晴】本题主要考查了椭圆的方程及几何性质，属于中档题.椭圆的离心率是椭圆几何性质中考查最频繁的知识点，解题的基本思路是根据题目给出的条件，建立基本量,c a 或,a b 或,b c 的关系，再结合222a b c =+求出离心率的范围.本题中通过设出椭圆上一点P 的坐标，利用椭圆方程和已知条件求出椭圆上一点P 横坐标关于,,a b c 的表达式，再利用已知条件和椭圆的范围求出离心率的范围.12.设函数()()()22ln 22f x x a x a =-+-，其中0x >，R a ∈，存在0x 使得()015f x ≤成立，则实数a 的值为（ ） A ．110 B ．25 C ．15D ．1 【答案】A考点：导数的几何意义及函数的最值问题.【方法点晴】本题主要考查了利用导数求曲线上过某点的切线的斜率问题，考查了数学转化与化归及数形结合的思想方法，用到了点到直线的距离公式，属于中档题.本题解答的关键是对函数()f x 进行转化，看成动点(),ln 2M x x 与点(),2N a a 距离的平方，利用导数求出曲线()ln 2g x x =上平行于直线2y x =的切点，得到曲线上点到直线距离的最小值，结合题意可得只有切点到直线的距离的平方等于15，然后利用斜率公式求出实数a 的值.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.已知向量()2,2a =r ，()1,1b =-r ，且()a b b λ+⊥r r r ，则2a b λ-r r的值为 ． 【答案】2 【解析】试题分析：由题意可知22,2,0a b a b ===r rr r g，因为()a b b λ+⊥r r r，所以()a b b λ+r r rg220a b b λλ=+==r r r g ，0λ∴=， 2242a b a λ-==r r r .考点：向量的数量积运算.14.若22sin 4m x dx ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰，则二项式6x x ⎛- ⎪⎝⎭展开式中含x 项的系数是 ． 【答案】60考点：定积分与二项式定理.15. 设命题:p 2203600x y x y x k +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩（x ，y ，R k ∈，且0k >）；命题:q ()2215x y -+≤（x ，R y ∈）．若p 是q 的充分不必要条件，则k 的取值范围是 ． 【答案】02k <≤ 【解析】试题分析：作出不等式组2203600x y x y x k +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩表示的平面区域，如下图，因为p 是q 的充分不必要条件，所以命题p 不等式组表示的平面区域内的点都在命题q 表示的圆及其内部，因为()0,2C 恰好在()2215x y -+=上，所以只需要,A B 两点在圆()2215x y -+=上或者其内部即可，因此有()()()222212251253k k k k ⎧-+-≤⎪⎨⎛⎫-+-≤⎪ ⎪⎝⎭⎩，解不等式组可得02k <≤.考点：简单的线性规划、充分条件与必要条件.【方法点晴】本题主要考查了简单的线性规划及充分条件与必要条件，考查了数学结合、转化与化归的数学思想和方法，属于中档题.本题首先把“p 是q 的充分不必要条件”转化为两个命题中,p q 所表示的平面区域之间的真子集关系，然后通过作图，可以发现只需要三角形区域的三个顶点在圆或其内部即可，从而列出不等式组求得参数的取值范围. 16.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足12n n n S a S ++=（2n ≥），123a =-，则n S 为 ． 【答案】12n n +-+立，由此可得12n n S n +=+. 考点：数列的递推公式.【方法点睛】本题主要考查了数列的递推公式在求数列前n 项和公式中的应用，属于中档题.本题解答的关键是把“和项混合式” 12n n nS a S ++=，利用()12n n n S S a n --=≥消去n a 得到n S 与1n S -之间的递推关系112n n S S -=+，由1123S a ==-逐步求出23,S S 的值，进行归纳，最后利用数学归纳法进行证明，当然作为填空题可以不用证明.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）在C ∆AB 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边长，且()222cos a bc b c -A =+． （I ）求角A 的大小；（II ）若sin sinC 1B+=，2b =，试求C ∆AB 的面积． 【答案】（I ）23πA =；（II 3试题解析：（I ）Q ()222cos a bc b c -A =+，又2222cos a b c bc =+-A ，∴22222cos 2cos 2b c bc bc b bc c +-A -A =++．∴4cos 2bc bc -A =．∴1cos 2A =-．Q 0π<A <，∴23πA =．…………………（5分） （II ）Q sin sinC 1B+=，∴sin sin 13π⎛⎫B +-B = ⎪⎝⎭．sin sincos cossin sincos cossin 3333ππππB +B -B =B +B sin 13π⎛⎫=B += ⎪⎝⎭．…………………（8分） 又B 为三角形内角，∴32ππB +=，6πB =，∴C 6π=，∴2b c ==，∴C ∆AB 的面积C 1sin 32S bc ∆AB =A =12分）考点：利用正、余弦定理解三角形. 18.（本小题满分12分）新课程改革后，我校开设了甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响．已知学生小张只选修甲的概率为0.06，只选修甲和乙的概率是0.09，至少选修一门课程的概率是0.82，用ξ表示小张选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积． （I ）求学生小张选修甲的概率；（II ）记“函数()2f x x x ξ=+为R 上的偶函数”为事件A ，求事件A 的概率； （III ）求ξ的分布列和数学期望．【答案】（I ）0.25；（II ）0.24；（III ）分布列见解析， 1.52ξE =．试题解析：（I ）设学生小张选修甲、乙、丙的概率分别为x 、y 、z ，依题意得()()()()()()110.0610.0911110.82x y z xy z x y z --=⎧⎪-=⎨⎪----=⎩，解得0.250.60.4x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以学生小张选修甲的概率为0.25．…………………（4分） （II ）若函数()2f x x x ξ=+为R 上的偶函数，则0ξ=， 若0ξ=时，表示小张选修三门功课或三门功课都没选，∴()()()()()()()()01110.250.60.410.2510.610.40.24xyz x y z ξP A =P ==+---=⨯⨯+---=，∴事件A 的概率为0.24．…………………（8分）（III ）依题意知0ξ=，2， 则ξ的分布列为ξ0 2P 0.24 0.76∴ξ的数学期望为00.2420.76 1.52ξE =⨯+⨯=．…………………（12分）考点：相互独立事件的概率公式及离散型随机变量的分布列. 19.（本小题满分12分）在等腰梯形CD AB 中，D//C A B ，1D C 2A =B ，C 60∠BA =o ，N 是C B 的中点，将梯形CD AB 绕AB旋转90o ，得到C D ''AB （如图3）．（I ）求证：C C 'A ⊥B ；（II ）求二面角C C 'A-N -的余弦值．【答案】(1)证明见解析；（2）55-.试题解析：（I ）证明：Q 1D C 2A =B ，N 是C B 的中点，∴D C A =N ．又D//C A B ，∴四边形CD AN 是平行四边形，∴DC AN =．又CD AB 为等腰梯形，C 60∠BA =o ，∴D AB =BN =A ，∴四边形CD AN 是菱形，∴1C DC 302∠A B =∠B =o ，∴C 90∠BA =o ，即C A ⊥AB ．Q 平面C 'AB ⊥平面C AB ，平面C 'AB I 平面C AB =AB ，∴C A ⊥平面C 'AB ．又C 'B ⊂平面C 'AB ，∴C C 'A ⊥B ．…………………（6分） （II ）解：Q C A ⊥平面C 'AB ，同理C 'A ⊥平面C AB ． 如图1建立空间直角坐标系xyz A -，设1AB =，则()1,0,0B ，()C 3,0，(C 3'，13,,022⎛⎫N ⎪ ⎪⎝⎭，则(C 3'B =-u u u r ，(CC 0,3,3'=-u u u r ．设平面C C 'N 的法向量为()111,,n x y z =r ，C 0CC 0n n ⎧'B ⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩u u u r ru u u r r⇒)3,1,1n =r ．设平面C 'AN 的法向量为()222,,m x y z =r ，0C 0n n ⎧AN ⋅=⎪⎨'A ⋅=⎪⎩u u u r ru u u u r r()3,1,0m ⇒=-r ， 设二面角C C 'A-N -的平面角为θ，∴5cos n m n m θ⋅==r r r r ，∴二面角C C 'A-N -的余弦值为512分） 考点：空间中垂直关系的证明及空间向量的应用. 20.（本小题满分12分）已知椭圆C:22221x y a b +=（0a b >>）经过点2322⎛M - ⎝⎭，2，1F 、2F 分别为椭圆C 的左、右焦点．设直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．（I ）求椭圆C 的标准方程；（II ）当2m =-时，求∆OAB 的面积的最大值；（III ）以线段OA ，OB 为邻边作平行四边形OAPB ，若点Q 在椭圆C 上，且满足Q λOP =O u u u r u u u r，求实数λ的取值范围．【答案】（I ）2212x y +=；（II ）2；（III ）22λ-<<且0λ≠．试题解析：（I ）由题意得：22c a =，222a b c -=，∴b c =．又椭圆经过点23,22⎛⎫M - ⎪ ⎪⎝⎭，则2213124a b +=，解得1c =，所以22a =，∴椭圆C 的标准方程为2212x y +=．…………………（3分） （II ）当2m =-时，即直线:l 2y kx =-，依题意知若l x ⊥轴时，不存在∆OAB ，所以不合题意．设点A ，B 的坐标分别为()11,x y A ，()22,x y B ，由22222y kx x y =-⎧⎨+=⎩得()2212860k xkx +-+=，216240k ∆=->，得232k >，122812k x x k +=+，122612x x k =+， 所以()22222222861624141121212k k k k k k k -⎛⎫AB =+-⨯=+ ⎪++⎝⎭+．又点O 到直线l 的距离为21h k=+，∴∆OAB的面积()2222222111624231222212112k k S h k k kk ∆OAB--=⋅AB ⋅=⋅+⋅⋅=+++． 令223t k =-（0t >），得2223k t =+，则21222222244t S t t t∆OAB ==≤=++， 当且仅当4t t =，即2t =时等号成立，此时272k =且满足0∆>， 所以S ∆OAB 的最大值为22．…………………（6分） 考点：椭圆方程及直线与椭圆位置关系的综合应用.【方法点睛】本题主要考查了椭圆的方程、直线与椭圆位置关系的综合应用，属于难题.求椭圆方程最常用的方法是待定系数法，根据题目条件建立待定系数的方程组，解方程组即可；最值问题通常是设而不解，根据韦达定理和判别式表示出要求最值的量，利用基本不等式或函数的知识来求出最值；本题解答的难点是第三问，根据向量加法的坐标运算和韦达定理求出Q 的坐标，代入椭圆方程构造参数间的关系式，利用方程有解求出参数λ的范围. 21.（本小题满分12分）设函数()322f x x x a =-+，()()2ln 1g x x m x =++．（I ）若()f x 在1,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上的最大值为0，求实数a 的值；（II ）若()g x 是定义域上的单调函数，求实数m 的取值范围； （III ）在（I ）的条件下，当1m =时，令()()()F x f x g x =+，试证明311ln n n n n+->（n *∈N ）恒成 立．【答案】（I ）0a =；（II ）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（III ）证明见解析.试题解析：（I ）解：因为()322f x x x a =-+，所以()234f x x x '=-．令()0f x '=，得0x =或43x =．又()f x 在1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上递增，在(]0,1上递减，所以()()max 00f x f a ===．…………………（2分）（II ）解：因为()222211m x x mg x x x x ++'=+=++，又函数()g x 在定义域上是单调函数，所以()0g x '≥或()0g x '≤在()1,-+∞上恒成立．若()0g x '≥在()1,-+∞上恒成立，即函数()g x 是定义域上的单调递增函数，则221122222m x x x ⎛⎫≥--=-++ ⎪⎝⎭在()1,-+∞上恒成立，由此可得12m ≥．…………………（4分）若()0g x '≤在()1,-+∞上恒成立，即函数()g x 是定义域上的单调递减函数，则221122222m x x x ⎛⎫≤--=-++ ⎪⎝⎭在()1,-+∞上恒成立，因为211222x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭在()1,-+∞上没有最小值，所以不存在实数m 使()0g x '≤在()1,-+∞上恒成立．…………………（6分）综上所述，实数m 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．…………………（7分）（III ）证明：在（I ）的条件下，当1m =时，()()()()32F ln 1x f x g x x x x =+=-++，则()()232311F 3211x x x x x x x +-'=-+=++，显然当()0,x ∈+∞时，()F 0x '>，所以()F x 在()0,+∞上单调递增，所以()()F F 00x >=，即()23ln 1x x x +>-在()0,+∞上恒成立． 令()10,x n=∈+∞（n *∈N ），．…………………（10分） 则有23111ln 1n n n ⎛⎫+>- ⎪⎝⎭，即311ln n n n n +->（n *∈N ）恒成立．…………………（12分）考点：利用导数研究函数的单调性、在闭区间上的最值及函数的恒成立等.【方法点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、在闭区间上的最值及函数的恒成立及不等式的证明，考查了函数与方程的思想及转化的数学思想，属于难题.当明确函数在某个区间上单调时，通常转化为导数的符号非正或非负恒成立，进一步转化为求函数的最值问题，如果能分离参数，通过分离参数求最值得到参数的范围，如果不能分离参数可直接求最值来解决；证明不等式也是函数、导数中的常见题型，通常根据前面的解答和要证明不等式的形式构造合理的函数，通过研究其单调性、最值，利用赋值法或放缩等技巧得到要证明的不等式. 请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图7，EP 交圆于E ，C 两点，D P 切圆于D ，G 为C E 上一点且G D P =P ，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F ． （I ）求证：AB 为圆的直径； （II ）若C D A =B ，求证：D AB =E ．【答案】（I ）证明见解析；（II ）证明见解析.试题解析：（I ）Q D G P =P ，∴DG GD ∠P =∠P ．Q D P 为切线，∴D D ∠P A =∠BA ． Q GD G ∠P =∠E A ，∴D G ∠BA =∠E A ．∴D D G D ∠BA+∠BA =∠E A+∠BA ，由三角形内角和，得D F ∠B A =∠P A ．∴F A ⊥EP ，∴F 90∠P A =o ，D 90∠B A =o ，∴AB 为圆的直径．…………………（5分）（II ）如图2，连接C B ，DC ．Q AB 是直径，∴D C 90∠B A =∠A B =o ．在Rt D ∆B A 与Rt C ∆A B 中，AB =BA ，C D A =B ，从而Rt D Rt C ∆B A ≅∆A B ，于是D C ∠AB =∠BA ．Q DC D ∠B =∠AB ，∴DC C ∠B =∠BA ，∴DC//AB ．Q AB ⊥EP ，∴DC ⊥EP ，DC ∠E 为直角，∴D E 为直径．由（I ）知AB 为圆的直径，∴D E =AB ．…………………（10分）考点：圆的切线、割线的性质及三角形全等的应用.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程为431x t y t =⎧⎨=-⎩（t 为参数），当0t =时，曲线1C 上对应的点为P ．以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为8cos 1cos 2θρθ=-． （I ）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（II ）设曲线1C 与2C 的公共点为A ，B ，求PA ⋅PB 的值．【答案】（I ）1C 的普通方程为3440x y --=，2C 的直角坐标方程为24y x =；（II ）259. 试题解析：（I ）因为曲线1C 的参数方程为431x t y t =⎧⎨=-⎩（t 为参数），所以曲线1C 的普通方程为3440x y --=．又曲线2C 的极坐标方程为8cos 1cos 2θρθ=-， 所以曲线2C 的直角坐标方程为24y x =．…………………（4分）（II ）当0t =时，0x =，1y =-，所以点()0,1P -．由（I ）知曲线1C 是经过点P 的直线，设它的倾斜角为α，则3tan 4α=， 所以3sin 5α=，4cos 5α=， 所以曲线1C 的参数方程为45315x y ⎧=T ⎪⎪⎨⎪=-+T ⎪⎩（T 为参数）， 将上式代入24y x =，得29110250T -T +=， 所以12259PA ⋅PB =T T =．…………………（10分） 考点：直线的参数方程与普通方程的互化、抛物线极坐标方程与直角坐标方程的互化及其应用.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()1f x x =-，()3g x x a =-++，R a ∈．（I ）解关于x 的不等式()6g x >；（II ）若函数()2y f x =的图象恒在函数()y g x =的图象的上方，求实数a 的取值范围．【答案】（I ）()()3,96a a a -->；（II ）4a <.试题解析：（I ）关于x 的不等式即36x a -++>，即36x a +<-， 当6a ≤时无解；当6a >时，由()636a x a --<+<-，即39a x a -<<-，求得不等式解集为()3,9a a --（6a >）．…………………（4分）考点：绝对值不等式的解法及分段函数的应用.。
云南省曲靖市第一中学2021届高三上学期高考复习质量监测理科数学试题(三) Word版含解析
曲靖一中高考复习质量监测卷三理科数学注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知i 是虚数单位，复数z 满足121ii z-=+，则z =（ ）A. B.2C.2D.【答案】C 【解析】 【分析】先求z ，再根据模长公式，即可求解.【详解】()()1211213122i i i iz i -----===+，所以z 2=. 故选:C【点睛】本题考查复数的运算以及模长，属于基础题. 2. sin （256-π）=（ ）A. 12-B.12C. D.【答案】A 【解析】 【分析】直接利用诱导公式计算得到答案.【详解】251sin sin 4sin 6662πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-π=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：A【点睛】本题考查了诱导公式化简，意在考查学生对于诱导公式的应用. 3. 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若35S S =，17a =，则5a =（ ） A. 1- B. 2- C. 1 D. 2【答案】A 【解析】 【分析】由35S S =得450a a +=，进而得2d =-，故514781a a d =+=-=- 【详解】解：设该等差数列的公差为d ， 根据题中的条件可得450a a +=， 即1270a d +=，得2d =-， 所以514781a a d =+=-=-. 故选：A.4. 已知向量()cos ,sin a θθ=，()1,2b =，若a 与b 的夹角为56π，则a b -=（ ）A. 2B.C.D. 1【答案】B 【解析】 【分析】求出a 、b ，利用平面向量数量积的运算性质求出2a b -的值，即可得解. 【详解】()cos ,sin a θθ=，()1,2b =，则2cos 1a θ==，同理3b =，()222222522cos1213376a b a ba ab b a a b b π⎛-=-=-⋅+=-⋅+=-⨯⨯+= ⎝⎭，因此，7a b -=. 故选：B.【点睛】求向量模的常用方法：利用公式22a a =，将模的运算转化为向量的数量积的运算．5. 给出下列两个命题：命题p ：空间任意三个向量都是共面向量；命题q ：“1122xy⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”是“ln ln x y <”的充要条件，那么下列命题中为真命题的是（ ） A. p q ∧ B. p q ∨ C. ()p q ⌝∧ D. ()p q ⌝∨【答案】D 【解析】 【分析】由共面向量定义可知命题p 错；分别解出两个不等式，可知命题q 错，再利用“或”“且”“飞”命题的判断方法，即可得答案.【详解】平行于同一平面的向量叫共面向量，故空间任意三个向量不一定都是共面向量，例如在三条两两垂直的直线上取向量，则不共面，故命题p 错，为假命题；由1122x y ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得x y <，由ln ln x y <解得0x y <<，故“1122x y⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”不是“ln ln x y <”的充要条件，故命题q 错，为假命题； 所以p ⌝为真命题.故p q ∧，p q ∨，()p q ⌝∧为假命题，()p q ⌝∨为真命题 故选:D.6. 设函数()2()ln 1f x x =-，集合{}()A x y f x ==，{}()B y y f x ==，则图中的阴影部分表示的集合为（ ）A. []1,0-B. (1,1)-C. (,1](0,1)-∞-D. (,1)(0,1)-∞-【答案】C 【解析】 【分析】图中的阴影部分表示的集合()A B AB ⋃，集合A 元素代表是x ，即求函数()2()ln 1f x x =-的定义域，集合B 元素代表是y ，即求函数()2()ln 1f x x=-的值域，表示集合,A B ，再求,A B A B ，利用补集定义即可求出阴影部分表示的集合.【详解】由()2()ln 1f x x=-，知(){}{}{}22ln 11011A x y x x xx ==-=->=-<<，(){}{}2ln 1ln1B y y x y y ==-=≤{}0y y =≤，图中阴影部分表示：()A BAB ⋃，又(,1)A B ⋃=-∞，(]1,0A B =-，(]()(),10,1A BA B =-∞-∴，故选：C.【点睛】易错点睛：集合的表示法有很多种，列举法，描述法，图示法，自然语言等，在用描述法表示集合时，一定看清元素代表的意义；本题集合A 元素代表是x ，即求函数()f x 的定义域，集合B 元素代表是y ，即求函数()f x 的值域.7. 著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，已知函数()y f x =，[]2,2x ππ∈-的部分图像如图所示 ，则()f x 的解析式可能为（ ）A. 3sin 2()e xx x f x += B. ()3()sin 2xf x x xe=+C. 3sin 2()exx x f x += D. ()3()sin 2e xf x x x=+【答案】C 【解析】 【分析】首先观察图象，可知其关于原点对称，得到函数()f x 为奇函数，从而排除A ，D ；之后再利用图象的变化趋势，可以排除B ，得出正确选项.【详解】由已知，图象关于原点对称，故函数()f x 为奇函数，排除A ，D ； 又因为随着自变量的增大，函数值趋近于0，排除B 选项， 故选：C.【点睛】该题考查的是有关根据函数图象选择函数解析式的问题，涉及到的知识点有观察函数图象的对称性，得到与其对应的奇偶性，观察函数解析式，排除不正确的选项，结合随着自变量的增大，函数值的变化趋势排除不正确选项，求得结果，在选择过程中，注意全局看图，属于中档题目. 8. 设151log 3a =，21log 3b =，则（ ） A. 0a b ab +<< B. 0ab a b <+< C. 0a b ab +<< D. 0ab a b <<+【答案】B 【解析】【分析】先利用对数函数的图像与性质判断出a 与b 的符号，从而可判断出ab 的符号，利用换底公式计算出11a b+与1的大小，由此可得出+a b 、ab 、0三个数的大小关系. 【详解】对数函数15log y x =为()0,∞+上的减函数，则11551log log 103>=，即0a >. 又对数函数2log y x =为()0,∞+上的增函数，则221log log 103<=，即0b <，0ab ∴< 由换底公式得31log 5a =，31log 2b =-，333115log 5log 2log 2a b ∴+=-=，1101a b ∴<+<，即01a b ab+<<，即0ab a b <+<，故选：B.【点睛】关键点睛：本题主要考查实数大小的比较和对数函数的性质，解答本题的关键是灵活应用对数的运算，考查学生对对数公式的掌握与运算能力，属于中档题. 9. 将函数()sin 25f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度后得到函数()y g x =的图象，对于函数()y g x =有以下四个判断： ①该函数的解析式为2sin 210y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭； ②该函数图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称；③该函数在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增； ④该函数在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增. 其中，正确判断的序号是（ ） A. ②③ B. ①②C. ②④D. ③④【答案】A 【解析】 【分析】根据函数平移变换得sin 2y x =，再根据正弦函数的性质依次讨论即可得答案. 【详解】解：由函数sin 25y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象平移变换的性质可知： 将sin 25y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度之后 解析式为sin 2sin 2105y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，选项①错误；令2x k =π，k Z ∈，求得2k x =π，k Z ∈， 故函数的图象关于点,02k ⎛⎫⎪⎝⎭π对称， 令1k =，故函数的图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，选项②正确； 则函数的单调递增区间满足：222()22k x k k Z ππππ-≤≤+∈，即()44k x k k Z ππππ-≤≤+∈，令0k =可得函数的一个单调递增区间为,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，选项③正确，④错误. 故选:A【点睛】本题考查三角函数平移变换，正弦型函数的单调区间，对称中心等，考查运算求解能力，解题的易错点在于平移变换时，当1ω≠时，须将ω提出，平移只针对x 进行平移，具体的在本题中，sin 25y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度之后得sin 2sin 2105y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，而不是sin 2sin 251010y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，是中档题.10. 基本再生数0R 与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rtI t =描述累计感染病例数()I t 随时间t （单位：天）的变化规律，指数增长率r 与0R ，T 近似满足01R rT =+.有学者基于已有数据估计出累计感染病例数增加1倍需要的时间约为1.8天，6T =.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，基本再生数0R 的值约为（ln 20.69≈）（ ） A 2.98 B. 3.08C. 3.28D. 3.48【答案】C 【解析】 【分析】根据所给模型求得0.38r =，再根据01R rT =+计算可得；【详解】解：设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为1.8天，则( 1.8)e 2e r t rt +=，所以 1.8e 2r =，所以1.8ln 2r =，所以ln 20.690.381.8 1.8r =≈≈，又01R rT =+，所以01160.38 3.28R rT =+=+⨯=， 故选：C.11. 在ABC 中，A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，ABC 的面积为S ，)2224S a c b =+-，2AB BC ⋅=-，且满足sin sin 2sin A C B +=，则该三角形的外接圆的半径R 为（ ）A.B.C.D. 2【答案】B 【解析】 【分析】由三角形的面积公式和余弦公式可求得角3B π=，结合平面向量的数量积可求得4ac =，利用正弦定理可得出2a c b +=，再利用余弦定理可求得2b =，进而利用正弦定理可求得R 的值.【详解】由题意，)2224S a c b =+-，即14sin 2cos 2ac B ac B ⨯=，得tan B =又()0,B π∈，所以3B π=.又因为()1cos cos 22AB BC ac B ac B ac π⋅=-=-=-=-，所以4ac =.由余弦定理得222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-， 又因为sin sin 2sin A C B +=，所以2a c b +=， 所以()2223412a c ac b b +-=-=，所以2b =，由正弦定理可得22sin 3sin 3b R B π===，所以3R =， 故选：B.【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围． 12. 已知函数2()22x x f x x -=++，若不等式()2(1)2f ax f x -<+对任意x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()-B. (-C. (-D. (2,2)-【答案】D 【解析】 【分析】先利用定义确定函数()f x 为偶函数，再利用单调性证明()f x 在[)0,+∞上为增函数，所以不等式()2(1)2f ax f x-<+化简为212ax x-<+，转化为22212x ax x --<-<+在R 上恒成立，求出a 的取值范围. 【详解】函数2()22xxf x x -=++的定义域为R ，且2()22()xx f x x f x -=-=++，所以()f x 为偶函数.又当0x ≥时, 2()g x x =是增函数，任取[)12,0,x x ∈+∞，且12x x >，()112212()()2222xx x x h x h x ---=++-()()121212121212121112122221222222x x x x x x x x x x x x x x +++⎛⎫-⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝=-=--⎭- 120x x >>，12120,22210x x x x +∴-->>，12()()0h x h x ∴->所以()22-=+x xh x 在[)0,+∞上是增函数，即()y f x =在[)0,+∞上是增函数.所以不等式()2(1)2f ax f x-<+对任意x ∈R 恒成立，转化为212ax x-<+，即22212x ax x --<-<+，从而转化为210x ax ++>和230x ax -+>在R 上恒成立①若210x ax ++>在R 上恒成立，则240a ∆=-<，解得22a -<<；②若230x ax -+>在R 上恒成立，，则2120a ∆=-<，解得a -<< 综上所述，实数a 的取值范围是(2,2)-. 故选：D.【点睛】方法点睛：本题考查了解抽象不等式，要设法把隐性划归为显性的不等式求解，方法是：（1）把不等式转化为[][]()()f g x f h x >的模型；（2）判断函数()f x 的单调性，再根据函数的单调性将不等式的函数符号“f ”脱掉，得到具体的不等式（组）来求解，但要注意奇偶函数的区别.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知(111d x -=⎰________.【答案】22π+【解析】 【分析】根据定积分和微积分基本定理求解即可得到结果.【详解】()11111121dx x-==--=-⎰，1-⎰表示单位圆的上半圆的面积：2111122ππ-∴=⨯⨯=⎰，(111122dx π-∴=+⎰.故答案为：22π+.【点睛】该题考查定积分的求解问题，涉及到定积分和微积分基本定理的应用，属于基础题目.14. 已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且(4)(2)f x f x +=-.若当[]3,0x ∈-时，()2-=x f x ，则(2020)f =________.【答案】4 【解析】 【分析】根据(4)(2)f x f x +=-，结合()f x 是定义在R 上的偶函数，易得函数()f x 的周期为6，然后由(2020)(33664)(4)f f f =⨯+=求解.【详解】因为(4)(2)f x f x +=-，且()f x 是定义在R 上的偶函数， 所以(4)(2)f x f x +=-， 令2t x =-，则2x t =+，所以(6)()f t f t +=，即()(6)f x f x =+， 所以函数()f x 的周期为6，所以2(2020)(33664)(4)(2)(2)24f f f f f =⨯+==-=-==. 故答案为：415. 已知数列{}n a 满足()23*1232222n n a a a a n n N ++++=∈，若2211log log n n n b a a +=⋅，则数列{}n b 的前n 项和n S =________.【答案】1n n + 【解析】 【分析】先根据前n 项和与通项的关系得12n n a =，进而得111(1)1n b n n nn ，再根据裂项相消求和法求解即可得答案.【详解】因为()23*1232222n n a a a a n n N ++++=∈，所以231123122221n n a a a a n --++++=-(2)n ≥，两式相减得21(2)nn a n =≥，当1n =时也满足，故12n na =，2211log log n n n b a a +=⋅111(1)1n n n n ==-++， 故1111111223111n nS n n n n 1=-+-++-=-=+++. 故答案为：1nn +【点睛】本题考查前n 项和与通项的关系，裂项相消求和.解题的关键在于根据已知条件得{}2nna 的前n 项和为n ，再根据前n 项和与通项的关系求得12nn a=，进而再根据裂项相消求和即可.考查运算求解能力，是中档题.16. 如果两个函数存在零点，分别为α，β，若满足n αβ-<，则称两个函数互为“n 度零点函数”.若2()log (3)f x x =-与2()xg x x ae =-互为“1度零点函数”，则实数a 的取值范围为________. 【答案】214,e e ⎛⎤⎥⎝⎦【解析】 【分析】求出()y f x =的零点2，设()y g x =的零点0x ，再根据题意求出013x <<，由020e 0x x a -=，分离参数可得020e x x a =，设2()ex x h x =，利用导数求出函数的最值，确定函数的值域即可求解.【详解】函数()y f x =有唯一的零点2，由题意知函数()y g x =的零点0x 满足021x -<，即013x <<.因为020e 0x x a -=，所以02e x x a =，设2()e x x h x =，则22()exx x h x -'=，(1,3)x ∈， 当(1,2)x ∈时，()0h x '>，()h x 是增函数； 当(2,3)x ∈时，()0h x '<，()h x 是减函数，所以max 24()(2)e h x h ==，又1(1)e h =，39(3)e h =，所以实数a 的取值范围为214,e e a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦. 故答案为：214,e e ⎛⎤⎥⎝⎦. 三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1sin cos sin cos 2a B C c B Ab +=，且c b >.（1）求角B 的值；（2）若6A π=，且ABC 的面积为BC 边上的中线AM 的长.【答案】（1）6B π=；（2）AM =【解析】 【分析】（1）由正弦定理边角互化整理得1sin cos sin cos 2A C C A +=，进而得1sin 2B =，在结合c b >得6B π=；（2）结合已知条件，由（1）知a b =，进而根据面积公式得4a =，再在三角形AMC 中利用余弦定理即可得答案.【详解】解：（1）因为1sin cos sin cos 2a B C c B Ab +=， 由正弦定理边角互化得1sin sin cos sin sin cos sin 2A B C C B A B +=， 由于()0,,sin 0B B π∈≠， 所以1sin cos sin cos 2A C C A +=， 即1sin()2A C +=，得1sin 2B =. 又c b >，所以02B π<<，所以6B π=.（2）由（1）知6B π=，若6A π=，故a b =，则2112sin sin 223ABC S ab C a π===△， 所以4a =，4a =-（舍）.又在AMC 中，22222cos3AM AC MC AC MC π=+-⋅， 所以2222211212cos 42242282232AM AC AC AC AC π⎛⎫⎛⎫=+-⋅⋅⋅=+-⋅⋅⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以AM =【点睛】关键点点睛：本题考查正余弦定理解三角形，解题的关键是根据已知条件，由正弦定理边角互化得1sin sin cos sin sin cos sin 2A B C C B A B +=，进而得1sin 2B =.考查化归转化思想与运算求解能力，是中档题.18. 已知向量cossin ,2sin 222x x x a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，cos sin 222x x x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，函数()f x a b =⋅. （1）求函数()f x 的最大值，并指出()f x 取最大值时x 的取值集合； （2）若α，β为锐角，12cos()13αβ+=，6()5f β=，求6f πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【答案】（1）最大值为2，x 的取值集合为2,3x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；（2）12665. 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算和二倍角公式化简整理得()2sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据三角函数的性质求解即可； （2）由（1）得3sin 65πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再根据题意，结合同角三角函数关系得12cos()13αβ+=，5sin()13αβ+=，4cos 65πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，进而得63cos cos ()6665ππααββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故1262sin 2cos 63665f πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【详解】解（1）22()cossin cos cos 2sin 22226x x x x f x x x x π⎛⎫=-+==+ ⎪⎝⎭， 令262x k πππ+=+，得23x k ππ=+，k Z ∈，所以最大值为2，此时x 的取值集合为2,3x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭（2）由α，β为锐角，12cos()13αβ+=，得5sin()13αβ+=， 由6()5f β=得3sin 65πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭∵02πβ<<，∴2663βπππ<+<，又31sin 6522πβ⎛⎛⎫+=∈ ⎪ ⎝⎭⎝⎭， ∴664πππβ<+<，∴4cos 65πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∴cos cos ()66ππααββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 63cos()cos sin()sin 6665ππαββαββ⎛⎫⎛⎫=+++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴1262sin 2sin 2cos 6326665f πππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+-=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查向量数量积运算，三角函数性质，三角恒等变换等，其中恒等变换求角的值得关键点在于2663βπππ<+<，31sin ,6522πβ⎛⎛⎫+=∈ ⎪ ⎝⎭⎝⎭得664πππβ<+<，进而得4cos 65πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再根据凑角，结合和差角公式诱导公式求解即可.考查运算求解能力，是中档题.19. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且233n n S a =-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设32log (1)nn n b a n =+-⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）3nn a =；（2）223,,?21,.?2n nn n T n n n ⎧+⎪⎪=⎨-⎪+⎪⎩为偶数为奇数. 【解析】 【分析】（1）由()12n n n a S S n -=-≥,可得数列{}n a 是等比数列，求出通项公式即可；（2）由（1）得到n b ，按n 为偶数和n 为奇数分类，利用等差数列的求和公式和并向求和法得出数列{}n b 的前n 项和n T ．【详解】（1）当1n =时，1112233S a a ==-，所以13a =； 当2n ≥时，因为233n n S a =-，所以11233n n S a --=-，两式作差得13n n a a -=，即13nn a a -=， 因为13a =，所以数列{}n a 是首项为3，公比为3的等比数列，故3nn a =.（2）32log 3(1)2(1)n n nn b n n n =+-⋅=+-⋅，当n 为偶数时，前n 项和2(1)32(1)2(3)(1)22n n n n nT n n +⋅=⋅+-++-++-⋅=+； 当n 为奇数时，前n 项和2(1)112222n n n n n T n n +⋅--=⋅+-=+， 则223,,?21,.?2n nn n T n n n ⎧+⎪⎪=⎨-⎪+⎪⎩为偶数为奇数【点睛】方法点睛：本题考查等比数列的证明，考查数列的求和，数列求和的方法总结如下： 1.公式法，利用等差数列和等比数列的求和公式进行计算即可；2.裂项相消法，通过把数列的通项公式拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求出数列的和；3.错位相减法，当数列的通项公式由一个等差数列与一个等比数列的乘积构成时使用此方法；4.倒序相加法，如果一个数列满足首末两项等距离的两项之和相等，可以使用此方法求和．20. 已知函数3()(2)f x x a x b =-+++，32()ln g x x x a x =-++. （1）当1a =时，若()f x 在[)3,2x ∈-上的最大值为10，求实数b 的值；（2）若对任意[]1,e x ∈，都有()()g x b f x +≥恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）-8；（2）1a ≤-. 【解析】 【分析】（1）由1a =，求导2()333(1)(1)f x x x x '=-+=-+-，令()0f x '=，得1x =-或1x =，分别求得(3),(1),(1),(2)f f f f --，从中找出最大值，再根据最大值为10求解.（2）由()()g x b f x +≥，得2(ln )2x x a x x -≤-，然后转化为22ln -≤-x xa x x 恒成立，令22()ln -=-x xh x x x，用导数法求得其最小值即可. 【详解】（1）当1a =时，由3()3f x x x b =-++，得2()333(1)(1)f x x x x '=-+=-+-， 令()0f x '=，得1x =-或1x =.当x 变化时，()'f x ，()f x 在[)3,2x ∈-的变化情况如下表：所以()f x 在[)3,2x ∈-上的最大值为(3)1810f b -=+=，得8b =-.（2）由()()g x b f x +≥，得2(ln )2x x a x x -≤-，因为[]1,e x ∈，ln 1x x ≤≤且等号不能同时取得， 所以ln x x <，即ln 0x x ->，所以22ln -≤-x xa x x 恒成立，即2min2ln x x a x x ⎛⎫-≤ ⎪-⎝⎭.令22()ln -=-x xh x x x，[]1,e x ∈，则2(1)(22ln )()(ln )-+-=-'x x x h x x x ， 当[]1,e x ∈时，ln 1x ≤，22ln 0x x +->，从而()0h x '≥，所以()h x 在[]1,e 上为增函数，所以min ()(1)1h x h ==-， 所以1a ≤-.【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法： 若()f x 在区间D 上有最值，则（1）恒成立：()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>；()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<；（2）能成立：()()max ,00x D f x f x ∃∈>⇔>；()()min ,00x D f x f x ∃∈<⇔<.若能分离常数，即将问题转化为：()a f x >（或()a f x <），则 （1）恒成立：()()max a f x a f x >⇔>；()()min a f x a f x <⇔<；（2）能成立：()()min a f x a f x >⇔>；()()max a f x a f x <⇔<.21. 已知函数1()cos x f x e x -=，2()x g x e +=. （1）求函数()f x 在(,)ππ-上的单调区间； （2）证明：对任意的实数1x ，211,2x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，12x x <，都有()()()()121222g x g x f x f x ->-恒成立.【答案】（1）单调递增区间是,4ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，3,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间是3,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）证明见解析.【解析】 【分析】（1）先求出函数的导数，然后分别由()0f x '>和()0f x '<可求出函数的单调区间； （3）因为12x x <，2()x g x e+=在11,2上是增函数，所以不等式()()()()()()()()121221122222g x g x f x f x g x g x f x f x ->-⇔->-，即()()()()221122g x f x g x f x +>+恒成立，令21()()2()2cos x x h x g x f x e e x +-=+=+，即证函数()h x 在11,2上是增函数，即证21()2(cos sin )0x xh x e e x x +-'=-+≥，由于1x e x ≥+，只需证2204x x π⎛⎫+-+≥ ⎪⎝⎭，然后构造函数，利用导数证明即可【详解】（1）解：11()(cos sin )sin 4xx f x ex x x π--⎛⎫'=-+=+ ⎪⎝⎭，当,4x ππ⎛⎫∈--⎪⎝⎭或3,4x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f x '>； 当3,44x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0f x '<， 所以，函数()f x 的单调递增区间是,4ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，3,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调递减区间是3,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭. （2）证明：因为12x x <，2()x g x e+=在11,2上是增函数， 所以不等式()()()()()()()()121221122222g x g x f x f x g x g x f x f x ->-⇔->-， 即()()()()221122g x f x g x f x +>+恒成立. 设21()()2()2cos x x h x g x f x e e x +-=+=+，即证函数()h x 在11,2上是增函数， 即证21()2(cos sin )0x x h x e e x x +-'=-+≥，即证2104x x eπ+⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭在11,2上恒成立. 令()(1)xu x e x =-+，()1xu x e '=-，()u x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，min ()(0)0u x u ==.所以()0u x ≥，即1x e x ≥+.因为11,2x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以2122x e x +≥+.所以要证2104x x eπ+⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭成立，只需证2204x x π⎛⎫+-+≥ ⎪⎝⎭，令()14v x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，11,2x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()14v x x π⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭当(1,0)x ∈-时，()0v x '<，()v x 递减；当10,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时，()0v x '>，()v x 递增.min ()(0)0v x v ==，所以2204x x π⎛⎫+-+≥ ⎪⎝⎭，即21()2(cos sin )0x x h x ee x x +-'=-+≥在11,2上恒成立，所以原命题成立. 【点睛】此题考查导数的应用，利用导数求函数的单调区间，利用导数证明不等式，解题的关键是把()()()()121222g x g x f x f x ->-等价转化为()()()()211222g x g x f x f x ->-，即()()()()221122g x f x g x f x +>+恒成立，等价于证明()()2()h x g x f x =+在在11,2上是增函数，考查数学转化思想和计算能力 请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题计分. 【选修4-4：坐标系与参数方程】22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为325425x t y t=+=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2282cos ρθ=-，点P 的极坐标为4π⎛⎫ ⎪⎝⎭. （1）求曲线C 的直角坐标方程和点P 的直角坐标；（2）设直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，线段MN 的中点为Q ，求PQ .【答案】（1）22280x y +-=；(2,2)P ；（2）11041. 【解析】【分析】（1）直接由极坐标与直角坐标的互化公式化简，即可得到曲线C 的直角坐标方程和点P 的直角坐标；（2）将直线的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程中，得2412201000t t ++=，设有向线段PM ，PN 与实数1t ，2t 对应，则1t ，2t 就是上述方程的两个实根，1222041t t +=-，从而可得12110241t t PQ +== 【详解】解：（1）C ：222222282cos 802802cos x y ρρρθθ=⇒--=⇒+-=-， 所以，曲线C 的直角坐标方程是22280x y +-=.点P的极坐标为4π⎛⎫ ⎪⎝⎭，化为直角坐标得(2,2)P （2）将直线l 的参数方程32,542,5x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入22280x y +-=中， 整理得2412201000t t ++=，22204411000∆=-⨯⨯>，此方程有不等实数根. 直线l 经过定点(2,2)P .设有向线段PM ，PN 与实数1t ，2t 对应，则1t ，2t 就是上述方程的两个实根，1222041t t +=-. 已知Q 是线段MN 的中点，PQ 对应于参数取值1202t t t +=， 所以12110241t t PQ +==.【点睛】关键点点睛：此题考查极坐标与直角坐标的互化，解题的关键是正确利用互化公式cos sin x y ，考查直线参数方程的几何意义的应用，直线的参数方程代入曲线方程中化简后要注意判别式的计算，在第二问的解题中关键是准确理解参数几何意义，考查学生的计算能力，属于中档题.【选修4-5：不等式选讲】23. 已知函数()212f x x x =+--.（1）解不等式：()7≤f x ；（2）已知实数0x 满足：对x R ∀∈都有()0()f x f x ≥，若a ，b ，c +∈R 且()00a b c f x +++=，求149a b c++最小值. 【答案】（1）{}113x x -≤≤；（2）12.【解析】【分析】（1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集；（2）由已知可知，0()f x 是函数()212f x x x =+--的最小值，求出即可得到3a b c ++=，再利用柯西不等式求最小值，即可得到答案【详解】（1）()2127f x x x =+--≤当1x ≤-时，由()2(1)(2)7f x x x =-++-≤得11x ≥-，则111x -≤≤-当12x -<≤时，由()2(1)(2)7f x x x =++-≤得73x ≤，则12x -<≤ 当2x >时，由()3f x x =≤，则23x <≤综上，不等式()7≤f x 的解集：{}113x x -≤≤（2）已知对x R ∀∈都有()0()f x f x ≥，则()0min ()()f x f x x R =∈. 4,1()2123,124,2x x f x x x x x x x --<-⎧⎪=+--=-≤≤⎨⎪+>⎩则()f x 在(,1)-∞-上是减函数，在(1,)-+∞上是增函数.所以min ()(1)3f x f =-=-.()00a b c f x +++=，即3(,,0)a b c a b c ++=>，则22222214913a b c ⎡⎤⎡⎤++=⋅++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦21123≥⋅+=， 当且仅当23b c a ==，即12a =，1b =，32c =时，等号成立 所以，min14912a b c ⎛⎫++= ⎪⎝⎭. 【点睛】方法点睛：常见的应用不等式求最值题型：“1”的代换：适用于已知两项的和为定值，求两项和的最小值；二维不等式：()()22222()a b c d ac bd ++≥+，当且仅当ad bc =时，等号成立；一般形式： 211122()n n n i i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑，当且仅当1212n n a a a b b b ===时，等号成立.。
云南省曲靖市2019-2020学年高三年级第一次教学质量检测数学理科试题
云南省曲靖市2019-2020学年高三年级第一次教学质量检测数学理科试题
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
题号
一
二
三
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题)
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得分
【详解】
解：（1）由 ，解得 .
（2）第1，2组的人数分别为20人，30人，从第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，则第1，2组抽取的人数依次为2人，3人.
随机变量 的所有可能取值为1，2，3.其中
， ， ，
所以随机变量 的分布列为：
l
2
3
P
【点睛】
本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查运算求解能力，属于中档题．
23．已知函数 的一个零点为1．
求不等式 的解集；
若 ，求证： ．
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
先求集合B,再利用补集及交集运算求解即可
【详解】
由题得 ， ，所以 .
故选 .
【点睛】
本题考查集合的运算，二次不等式求解，准确计算是关键，是基础题
2．D
【解析】
【分析】
把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
（2）对于函数 和 的公共定义域中的任意实数 ，称 的值为函数 和 在 处的偏差.求证：函数 和 在其公共定义域内的所有偏差都大于2.
21．已知椭圆 的长轴是短轴的两倍，以短轴一个顶点和长轴一个顶点为端点的线段作直径的圆的周长等于 ，直线l与椭圆C交于 两点，其中直线l不过原点.
2024届云南省曲靖市一中高三上学期教学质量监测(五)数学试题及答案
曲靖一中2024届高三教学质量监测试卷（五）数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}2,,0A a a =，{}2B x xx =-=，且B A ⊆，则a 的值为（ ）．A. 1B. 1- C. 1± D. 22. 已知221813iiz +=，则z 虚部为（ ）．A. 13- B. 13i- C. 13D. 18-3.πcos()3αα=-，则tan 2α=（ ）．A.B.C.D.4. 已知F 是双曲线2213x y -=的左焦点，()1,3M ，P 是双曲线右支上的一动点，则PF PM +的最小值为（ ）．A.B.C. +D. 5. 根据曲靖一中食堂人脸识别支付系统后台数据分析发现，高三年级小孔同学一周只去食堂一楼和二楼吃饭．周一去食堂一楼和二楼的概率分别为13和23，若他周一去了食堂一楼，那么周二去食堂二楼的概率为34，若他周一去了食堂二楼，那么周二去食堂一楼的概率为12，现已知小孔同学周二去了食堂二楼，则周一去食堂一楼的概率为（ ）．A.37B.47C.15D.456. 过点()0,2P 作圆22:430C x x y -++=两条切线，设切点为A ，B ，则切点弦AB 的长度为（ ）A.B.C.D.7. 在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2C A =，a ，b ，c 成等差数列，则cos C =（ ）．的的A.18B.34C. 12-D.458. 已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，及()()g x f x '=，若()12f x -，()2g x +均为偶函数，则下列说法正确的是（ ）．A. ()10f = B. ()g x 的周期为2C. ()()13f f -= D. ()()02g g =二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 已知x ，y 都是正数，且22x y +=，则下列说法正确的是（ ）．A. xy 的最大值为12B. 12x y +的最小值为92C. 224x y +的最小值为4D.+的最大值为210. 已知抛物线2:4C y x =，O 为坐标原点，直线l 经过抛物线的焦点F ，与抛物线C 交于点A ，B 两点，设()11,A x y ，()22,B x y ，抛物线C 的准线与x 轴的交点为G ．则下列说法正确的是（ ）A. 124x x = B. 当8AB =时，直线l 的斜率为1±C. GF 始终平分AGB∠ D. ()min 8AGB S = 11. 已知函数()()sin f x x ωϕ=+，如图，A ，B 是直线12y =与曲线()y f x =的两个交点，若π3AB =，则下列说法正确的是（ ）．A.2ω=，π3ϕ=-B. ()f x 在ππ,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增C. 5π12x =-是()f x 的一条对称轴 D. y x =-是曲线()f x 的一条切线12. 远看曲靖一中文昌校区紫光楼主楼，一顶巨大的“博士帽”屹立在爨园之中．其基础主体结构可以看做是一个倒扣的正四棱台ABCD A B C D -''''．如图所示，过B '作底面ABCD 的垂线，垂足为G ．记B BG α'∠=，B BC γ∠'=，GBC θ∠=，面BB C C ''与面ABCD 所成角为β，面BB C C ''与面BB G'所成角为x ，B C a ''=，BC b =，B G h '=，则（ ）A. 正四棱台ABCD A B C D -''''的体积为()2213h a b ab ++B. tan 2tan βα=C. sin sin sin αβγ=D. cos cos cos cos sin sin x θαγαγ-=三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知向量()2,2a b += ，()1,3a b -= ，则22a b -= __________．14. 已知等差数列{}n a 中，19a =-，33a =-．记()121,2,3,n n T a a a n == ，则数列{}n T 中的最小项为__________．15. 若函数()πsin 3y x ωω*⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N 的图象在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内恰好有两条对称轴，则实数ω的值可以是__________（写出一个满足题意的ω即可）．16. 已知函数()22e 18xf x a x =-+，其中0a >且1a ≠．若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，则实数a 的取值范围为__________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知ABC 中，5A B C +=，()3sin sin B C A -=，2AB =．（1）求ABC 的外接圆半径R ；（2）求sin A ．18. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为梯形，且//AD BC ，AB AD ⊥，22PA AB BC AD ====，E 为PB 边上的一点，满足2BE EP =．在（1）求证：直线//PD 面ACE ；（2）F 为线段BC 的中点，求直线PF 与平面ACE 所成角的余弦值．19. 某兴趣小组利用所学统计与概率知识解决实际问题．（1）现有甲池塘，已知小池塘里有10条鲤鱼，其中红鲤鱼有4条．若兴趣小组捉取3次，每次从甲池塘中有放回地捉取一条鱼记录相关数据．用X 表示其中捉取到红鲤鱼的条数，请写出X 的分布列，并求出X 的数学期望()E X ．（2）现有乙池塘，已知池塘中有形状大小相同的红鲤鱼与黑鲤鱼共10条，其中红鲤鱼有()010,a a a *<<∈N 条，身为兴趣小组队长的骆同学每次从池塘中捉了1条鱼，做好记录后放回池塘，设事件A 为“从池塘中捉取鱼3次，其中恰有2次捉到红鲤鱼”．当0a a =时，事件A 发生的概率最大，求0a 的值．20. 已知数列{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，n S 是{}n a 的前n 项和，n *∈N ．（1）若11a =，且22n n a a =，求数列{}n a 的通项公式；（2）若13a d =，数列{}n b a 的首项为1a ，满足13n n b b a a +=，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求5T ．21. 已知抛物线()2:20O x py p =>，其顶点在坐标原点，直线1y =与抛物线交于M ，N 两点，且OM ON ⊥．（1）求抛物线O 的方程．（2）已知()22:21C x y +-= ，1A ，2A ，3A 是抛物线O 上三个点，且任意两点连线斜率都存在．其中12A A ，13A A 均与C 相切，请判断此时圆心C 到直线23A A 的距离是否为定值，如果是定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由．22. 已知函数()e xax f x =和ln ()x g x ax=有相同最大值.的的（1）求a ；（2）证明：存在直线y =b ，其与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.曲靖一中2024届高三教学质量监测试卷（五）数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}2,,0A a a =，{}2B x xx =-=，且B A ⊆，则a 的值为（ ）．A. 1B. 1- C. 1± D. 2【答案】B 【解析】【分析】解二次方程化简集合B ，再由集合的包含关系求得a ，进而利用元素的互异性即可得解.【详解】因为{}{}200,1B x x x =-==且BA ⊆，则集合A 中必含元素0，1，所以21a =或1a =，得1a =±，根据集合中元素的互异性可知：1a =-．故选：B ．2. 已知221813iiz +=，则z 虚部为（ ）．A. 13- B. 13i- C. 13D. 18-【答案】C 【解析】【分析】应用复数运算法则化简式子求z ，根据i z a b =+求出i z a b =-即可知z 的共轭复数，求出z 的虚部即可.【详解】4i 1n =，所以224522i i i i 1⨯===⋅-，1813i z =--，1813i z =-+，所以z 的虚部为13.故选：C .3.πcos()3αα=-，则tan 2α=（ ）．A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】综合应用两角和与差的正弦、余弦和正切公式即可解决.的πcos()3αα=-1cos2αα=+1cos2αα=，可得tanα=，由正切的倍角公式可得tan2α==故选：D．4. 已知F是双曲线2213xy-=的左焦点，()1,3M，P是双曲线右支上的一动点，则PF PM+的最小值为（）．A.B.C. +D.【答案】C【解析】【分析】利用双曲线定义得到2PF PF a'-=，进而根据PM PF MF'+≥'，即可求解【详解】设双曲线的右焦点为F'，由2213xy-=可知a=2c=，则()2,0F'，因为P是双曲线右支上的一动点，根据双曲线的定义可知：2PF PF a'-==所以PF PM PF PM+=++'，因为PF PM MF+'≥'，当且仅当F'，P，M三点共线时，达到最小值MF'，因为()1,3M，()2,0F'，所以MF'=，即PF PM+的最小值为MF+='故选：C．5. 根据曲靖一中食堂人脸识别支付系统后台数据分析发现，高三年级小孔同学一周只去食堂一楼和二楼吃饭．周一去食堂一楼和二楼的概率分别为13和23，若他周一去了食堂一楼，那么周二去食堂二楼的概率为34，若他周一去了食堂二楼，那么周二去食堂一楼的概率为12，现已知小孔同学周二去了食堂二楼，则周一去食堂一楼的概率为（ ）．A.37B.47C.15D.45【答案】A 【解析】【分析】利用贝叶斯概率公式求解即可.【详解】记小赵同学周一去食堂一楼为事件A ，周二去食堂一楼为事件B ，则本题所求()()()()()()()13334132173432P B A P A P A B P B A P A P B A P A ⨯⋅===⋅+⋅⨯+⨯．故选：A ．6. 过点()0,2P 作圆22:430C x x y-++=的两条切线，设切点为A ，B，则切点弦AB 的长度为（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】先求PC 以及切线长，再根据等面积法即可得结果.【详解】圆22:430C x x y -++=，即()2221x y -+=，易知PC =C 的半径1r =，所以切线长PA PB ==．所以四边形PACB 的面积为1212PACB S =⨯=．所以根据等面积法知：12PACB S PC AB ==⨯⨯，所以AB =故选：B ．7. 在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2C A =，a ，b ，c 成等差数列，则cos C =（ ）．A.18B.34C. 12-D.45【答案】A【解析】【分析】根据等差中项性质并结合正弦定理及正弦函数两角和差公式，倍角公式即可求解.【详解】因为2C A =，所以π3B A =-．又因为a ，b ，c 成等差数列，则2b a c =+．根据正弦定理可得：2sin sin sin B A C =+，即()2sin 3sin sin A A C =+，展开得：2sin 2cos 2cos 2sin sin sin A A A A A C +=+，进一步得：()()sin 22cos 1sin 12cos 2A A A A -=-，因为sin 0A ≠，可得28cos 2cos 30A A --=，又易知A 为锐角，所以3cos 4A =，则231cos 2148C ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，故A 正确.故选：A ．8. 已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，及()()g x f x '=，若()12f x -，()2g x +均为偶函数，则下列说法正确的是（ ）．A. ()10f = B. ()g x 的周期为2C. ()()13f f -= D. ()()02g g =【答案】C 【解析】【分析】根据奇函数和偶函数的定义，结合函数的周期性和对称性，即可判断.【详解】因为()12f x -是偶函数，则()()1212f x f x -=+，即()f x 关于1x =对称，对()()1212f x f x -=+两边同时求导可得：()()212212f x f x --=+''，即()()12120g x g x -++=，所以()g x 关于()1,0对称，又因为()2g x +是偶函数可得()()22g x g x +=-，即()g x 关于2x =对称．从而得()g x 的周期为4．所以()f x 的周期也为4．对于选项A ，因为若()f x 满足题意，则()f x c +也满足题意．故()f x 的值不确定，所以A 错；对于选项B ， ()g x 的周期为4，所以B 错；对于选项C ， ()f x 的周期也为4，所以()()13f f -=，所以C 对；对于选项D ，()g x 关于()1,0对称，所以()()02g g =-，所以D 错．故选：C ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 已知x ，y 都是正数，且22x y +=，则下列说法正确的是（ ）．A. xy 的最大值为12B.12x y +的最小值为92C. 224x y +的最小值为4D.+的最大值为2【答案】ABD 【解析】【分析】利用基本不等式可对A ，C 、D 判断；利用基本不等式“1”的应用可对B 判断；【详解】对A ：22x y +=≥可得12xy ≤，当且仅当21x y ==，即1x =，12y =时成立，故A 选项正确；对B ：由22x y +=，得12xy +=，所以()12222559y x x y x y x y ⎛⎫++=++≥+=⎪⎝⎭，故1292x y +≥，当且仅当23x y ==时成立，故B 选项正确；对C ：()2222444x y x xy y +=++=，由A 知12xy ≤，所以2214444422x y xy +=-≥-⨯=，仅当21x y ==，即1x =，12y =时成立，故C 选项错误；对D ：由A 知12xy ≤，所以22224x y +=++=+≤+=，当且仅当21x y ==，即1x =，12y =时成立，故D 选项正确．故选：ABD ．10. 已知抛物线2:4C y x =，O 为坐标原点，直线l 经过抛物线的焦点F ，与抛物线C 交于点A ，B 两点，设()11,A x y ，()22,B x y ，抛物线C 的准线与x 轴的交点为G ．则下列说法正确的是（ ）A. 124x x = B. 当8AB =时，直线l 的斜率为1±C. GF 始终平分AGB ∠D. ()min 8AGB S = 【答案】BC 【解析】【分析】设直线l 的方程为：1x ny =+，联立直线与抛物线的方程通过韦达定理可判断A ，通过弦长公式可判断B ，通过0AG BG k k =+可判断C ，由三角形面积公式可判断D.【详解】显然直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为：1x ny =+，联立直线与抛物线得2440y ny --=，则124y y =-，所以221212116y y x x ==，所以A 选项错误；又因为()212124448AB x x p n y y n =++=++=+=，可得21n =，即11n k==±，所以1k =±，所以B 选项正确；即证0AG BG k k =+，即()()()12121212221212121212122288011222424ny y y y y y y y n nx x ny ny n y y n y y n y y n y y ++-++=+===++++++++++，所以C 选项正确；由上述知：12AGB S AB d =⋅ ，已知直线方程为：10x ny --=，则d =，所以()214442AGB S n =+=≥ ，当且仅当0n =时成立，所以()min 4AGB S = ，所以D 选项错误．故选：BC ．11. 已知函数()()sin f x x ωϕ=+，如图，A ，B 是直线12y =与曲线()y f x =的两个交点，若π3AB =，则下列说法正确的是（ ）．A.2ω=，π3ϕ=-B. ()f x 在ππ,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增C. 5π12x =-是()f x 的一条对称轴 D. y x =-是曲线()f x 的一条切线【答案】AD 【解析】【分析】由函数的图象可确定ω，ϕ的值，从而确定单调性和对称性，再通过求导得到切线方程.【详解】设11,2A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，21,2B x ⎛⎫⎪⎝⎭，则21π3x x -=．因为()112sin x ωϕ+=，()212sin x ωϕ+=,所以1π2π6x k ωϕ+=+，25π2π6x k ωϕ+=+，Z k ∈，所以()212π3x x ωϕωϕ+-+=，即()212π3x x ω-=，即2ω=．又因为2π2πsin 033f ωϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且2π,03⎛⎫⎪⎝⎭为下降零点，所以2ππ2π3k ωϕ+=+，Z k ∈，即π2π3k ϕ=-+，Z k ∈，故取π3ϕ=-．故()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．所以A 选项正确；当ππ,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，π2π2,033x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，显然不是单调增区间，所以B 选项错误；将5π12x =-代入方程得()5ππ7πsin 2sin 11236f x -⎛⎫⎛⎫=⨯-=-≠± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，显然不是对称轴，所以C 选项错误；令()π2cos 213f x x ⎛⎫'=-= ⎪⎝⎭得ππ3x k =+或πx k =，取点0,⎛ ⎝得其中一条切线为y x =-，所以D 选项正确．故选:AD ．12. 远看曲靖一中文昌校区紫光楼主楼，一顶巨大的“博士帽”屹立在爨园之中．其基础主体结构可以看做是一个倒扣的正四棱台ABCD A B C D -''''．如图所示，过B '作底面ABCD 的垂线，垂足为G ．记B BG α'∠=，B BC γ∠'=，GBC θ∠=，面BB C C ''与面ABCD 所成角为β，面BB C C ''与面BB G'所成角为x ，B C a ''=，BC b =，B G h '=，则（ ）A. 正四棱台ABCD A B C D -''''体积为()2213h a b ab ++B. tan 2tan βα=C. sin sin sin αβγ=D cos cos cos cos sin sin x θαγαγ-=【答案】ACD 【解析】【分析】根据正四棱台的体积计算公式即可判断A 选项；作出面BB C C ''与面ABCD 的二面角β，分别写出tan ,tan βα的表达式，即可判断B 选项；根据B GB ' ，B GH ' ，B HB ' ，BHG 均为直角三角形．得到sin sin sin BB B H BB αγβ'''==，即可判断C 选项；作出面BB C C ''与面BB G '的二面角，通过余弦定理即可判断D 选项.【详解】对于A，根据正四棱台体积计算公式：(()221133V h S S h a b ab =+=++下上台，所以A 正确；对于B ，过G 点作BC 边的垂线交BC 于H点，的.因为GH BC ⊥，B G '⊥面ABCD ，BC ⊂面ABCD ，所以B G BC '⊥，又,HG B G '⊂面B HG '，所以BC⊥面B HG '，所以B HG '∠就为面BB C C ''与面ABCD 所成角的二面角β，则tan B H BB α'='，tan B G HG β'==tan tan βα=．所以B 错误；对于C ，因为B G '⊥面ABCD ，BC ⊥面B HG '，所以B GB ' ，B GH ' ，B HB ' ，BHG 均为直角三角形．所以sin sin sin BB B H BB αγβ'''==,即sin sin sin αβγ=．所以C 正确；对于D ，过H 点作BB '的垂线，交BB '于I ，再在平面BB G '内过I 作BB '的垂线交BG 于J ．易知此时面BB C C ''与面BB G '所成角的二面角就为HIJ x ∠=．设BJ m =，则sin IJ m α=，cos sin cos m IH αγγ=．cos sin cos IH m BH αγγ==，22222222cos cos cos 2cos 2cos cos m m JH BJ BH BJ BH m ααθθγγ=+-⋅=+-，由余弦定理可知：222cos 2IJ IH JH x IJ IH+-=⋅，222222222222cos sin cos 2cos cos sin cos cos cos 2sin cos sin cos m m m m m m αγααθαγγγααγγ+--+=，222222sin cos cos sin cos cos 2cos cos cos 2sin cos sin cos αγαγγααθγααγγ+--+=，2cos cos cos cos cos cos cos sin cos sin sin sin αθαγθαγααγαγ--==，所以D 正确．故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知向量()2,2a b += ，()1,3a b -= ，则22a b -= __________．【答案】8【解析】【分析】利用向量数量积及平方差公式可得答案.【详解】()()2221238a b a b a b -=+⋅-=⨯+⨯=．故答案为：8.14. 已知等差数列{}n a 中，19a =-，33a =-．记()121,2,3,n n T a a a n == ，则数列{}n T 中的最小项为__________．【答案】162-【解析】【分析】先求出数列的通项公式，求出n T ，观察可得答案.【详解】因为等差数列{}n a ，所以公差3132a a d -==，即()913312n a n n =-+-⨯=-．由于19a =-，26a =-，33a =-，40a =，所以19T =-，254T =，3162T =-，450n T T T ==== ，所以()3min 162n T T ==-．故答案为：162-15. 若函数()πsin 3y x ωω*⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N 的图象在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内恰好有两条对称轴，则实数ω的值可以是__________（写出一个满足题意的ω即可）．【答案】3或4（只写一个即可）【解析】【分析】根据π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 求得ππππ,3323x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，结合已知条件图象在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内恰好有两条对称轴，求得关于ω的不等式解出ω范围，因ω*∈N 确定ω的值.【详解】因为π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x ，则ππππ,3323x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，因为需要包含两条相邻的对称轴，因为π3在区间内，则有3πππ5π2232ω≤+<，即71333ω≤<，所以3ω=或4．故答案为：3或4（只写一个即可）16. 已知函数()22e 18xf x a x =-+，其中0a >且1a ≠．若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，则实数a 的取值范围为__________．【答案】()1,11,e e ⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】根据函数存在两个极值点，得出导函数存在两个不同的变号零点，研究导函数的零点，()0f x '=即ln e x a a x =，令()ln x h x a a =，()e g x x =，分1a >和01a <<两种情况讨论，根据()h x 与()g x 有两个交点，求出()h x 过原点的切线，比较()h x 过原点的切线的斜率与()g x 斜率，得出关于两斜率的不等式求解a 即可.【详解】对函数()22e 18xf x a x =-+求导得：()()2ln 2e 2ln e xxf x a a x a a x =-=-'，因为()f x 存在两个极值点，所以()f x '有两个不同的变号零点．令()0f x '=，有 ln e x a a x =，令()ln xh x a a =，()e g x x =，所以()h x 与()g x 有两个交点；当1a >时，()ln xh x a a =，()2ln xh x a a '=，设过原点的直线与()ln xh x a a =的切点坐标为()00,ln xx a a ，切线斜率为02ln x k a a =，所以切线方程为：()0020ln ln xxy a a a a x x -=-，将原点坐标带入切线方程得01ln x a=．此时切线的斜率为：122ln ln eln ak aa a ==，现在需要ln e xa a x =有两个交点，即2eln e k a =<，因为1a >，有ln 0a >，所以0ln 1a <<，所以1e a <<；同理知当01a <<时，ln 0a <， 2eln e k a =<， 即1ln 0a -<<，所以11ea <<．综上知：a 的取值范围为()1,11,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭．故答案为：()1,11,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知在ABC 中，5A B C +=，()3sin sin B C A -=，2AB =．（1）求ABC 的外接圆半径R ；（2）求sin A ．【答案】（1）2R =（2【解析】【分析】（1）根据内角和求出C ，由正弦定理即可得结果；（2）通过两角和与差的正弦公式可得tan B ，即得sin B ，cos B ，最后根据()sin sin A B C =+即可得结果.【小问1详解】因为5A B C +=，πA B C ++=，所以π6C =．又因为2AB c ==，所以根据正弦定理得：24sin cR C==，所以2R =．【小问2详解】因为()()3sin sin sin B C A B C -==+，展开可得：sin cos 2cos sin B C B C =，即tan B =，所以sin B =cos B =因为πA B C ++=，所以()1sin sin sin cos cos sin 2A B C B C B C =+=+==．18. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为梯形，且//AD BC ，AB AD ⊥，22PA AB BC AD ====，E 为PB 边上的一点，满足2BE EP =．（1）求证：直线//PD 面ACE ；（2）F 为线段BC 的中点，求直线PF 与平面ACE 所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）连接BD 交AC 于G ，再连接EG ，证明出AGD CGB △∽△，可得出BG BEDG EP=，可证明出//PD AG ，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线PF 与平面ACE 所成角的余弦值.【小问1详解】证明：连接BD 交AC 于G ，再连接EG ．因为//AD BC ，则DAG BCG ∠=∠，ADG CBG ∠=∠，则AGD CGB △∽△，所以，2BG BCDG AD ==，又因为2BE EP = ，则2BEEP =，所以，BG BE DG EP=，所以，//PD AG ，因为PD ⊄平面ACE ，AG ⊂平面ACE ，因此，//PD 平面ACE .【小问2详解】解：由题可得：PA ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系A xyz -．则()0,0,0A ，()0,0,2P ，24,0,33E ⎛⎫⎪⎝⎭，()2,2,0C ，因为F 为线段BC 的中点，则()2,1,0F ，所以，24,0,33AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()2,2,0AC =．设面ACE 的法向量为(),,m x y z = ，则2202433m AC x y m AE x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取2x =，可得()2,2,1m =--，又因为()2,1,2PF =-，设直线PF 与平面ACE 所成角为θ，则44sin cos ,339PF m PF m PF m θ⋅====⨯⋅，则cos θ===，因此，直线PF 与平面ACE19. 某兴趣小组利用所学统计与概率知识解决实际问题．（1）现有甲池塘，已知小池塘里有10条鲤鱼，其中红鲤鱼有4条．若兴趣小组捉取3次，每次从甲池塘中有放回地捉取一条鱼记录相关数据．用X 表示其中捉取到红鲤鱼的条数，请写出X 的分布列，并求出X 的数学期望()E X ．（2）现有乙池塘，已知池塘中有形状大小相同的红鲤鱼与黑鲤鱼共10条，其中红鲤鱼有()010,a a a *<<∈N 条，身为兴趣小组队长的骆同学每次从池塘中捉了1条鱼，做好记录后放回池塘，设事件A 为“从池塘中捉取鱼3次，其中恰有2次捉到红鲤鱼”．当0a a =时，事件A 发生的概率最大，求0a 的值．【答案】19. 分布列见解析，()65E X = 20. 07a =【解析】【分析】（1）根据已知条件求出每次捉到红鲤鱼的概率，23,5X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，根据二项分布的公式可以求出分布列期望.（2）根据已知条件求出()P A 的表达式，求导判断函数的单调性，求出函数最值，结合010a <<且a *∈N ，比较()6P ，()7P 大小确定a 值.【小问1详解】由题可得：X 0=，1，2，3，可得：每次捉到红鲤鱼的概率为42105p ==．易知23,5X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，()332705125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()21323541C 55125P X ⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()22323362C 55125P X ⎛⎫⎛⎫==⋅=⎪⎪⎝⎭⎝⎭；()32835125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭．分布列如表所示：X123()P X 2712554125361258125所以()26355E X np ==⨯=．【小问2详解】每次捉鱼，捉到红鲤鱼的概率为10a，则捉到黑鲤鱼的概率为110a -．所以()()223233C 11010101000a a P A a a ⎛⎫⎛⎫=⋅-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中010a <<且a *∈N ，令()3210h a a a =-+，则()2320h a a a '=-+，()0h a '=解得0a =或203a =，故在200,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上()0h a '>，()h a 为增函数，在20,103⎛⎫⎪⎝⎭上()0h a '<，()h a 为减函数，所以()max 203h a h ⎛⎫= ⎪⎝⎭．又因为010a <<且a *∈N ，所以验证()546125P =，()44171000P =，所以()()max 7P A P =，所以07a =，综上所述：事件A 发生的概率最大时07a =.20. 已知数列{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，n S 是{}n a 的前n 项和，n *∈N ．（1）若11a =，且22n n a a =，求数列{}n a 的通项公式；（2）若13a d =，数列{}n b a 的首项为1a ，满足13n n b b a a +=，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求5T ．【答案】（1）n a n =； （2）5353T =.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用等差数列通项列式，求出公差d 即可求出通项公式.（2）利用等差数列通项列式，求出1,n n b b +的关系，利用构造法求出数列{}n b 的通项，再借助分组求和即得.【小问1详解】由数列{}n a 是等差数列，22n n a a =，得()()()()1112121221a n d a n d a n d +-=+-=+-，则11d a ==，所以数列{}n a 的通项公式为：()11n a n n =+-=．【小问2详解】因为数列{}n a 是等差数列，且满足13n n b b a a +=，则()()()()1111131331n n n a b d a b d a b d ++-=+-=+-，又13a d =，则化简得：134n n b b +=+，于是()1232n n b b ++=+，由11b a a =，得11b =，因此数列{}2n b +是以3为首项，3为公比的等比数列，则23nn b +=，即32nn b =-，所以()553131035313T -=-=-.21. 已知抛物线(2:20O x py p =>，其顶点在坐标原点，直线1y =与抛物线交于M ，N 两点，且OM ON ⊥．（1）求抛物线O 的方程．（2）已知()22:21C x y +-= ，1A ，2A ，3A 是抛物线O 上的三个点，且任意两点连线斜率都存在．其中12A A ，13A A 均与C 相切，请判断此时圆心C 到直线23A A 的距离是否为定值，如果是定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由．【答案】（1）2x y = （2）是定值，定值为1【解析】【分析】（1）先由题意求得,M N 的坐标，从而利用向量数量积的坐标表示求得p ，由此得解；（2）充分利用()21,2,3i i x y i ==，得到直线12A A 与13A A 的方程，利用与圆相切的性质同构出直线23A A 的方程，从而得解.【小问1详解】因为1y =与抛物线相交，联立212y x py =⎧⎨=⎩，解得1y x =⎧⎪⎨=⎪⎩()M，)N．因为OM ON ⊥，所以210OM ON p ⋅=-+= ，所以21p =，则抛物线的方程为2x y =．【小问2详解】由题易知直线12A A ，13A A ，23A A 斜率一定存在，设()111,A x y ，()222,A x y ，()333,A x y ，则()21,2,3i i x y i ==，则直线12A A 的方程为：()211121y y y y x x x x --=--，即()()1211y y x x x x -=+-，即()21120x x x y x x +--=，因为()22:21C x y +-= 的圆心为()0,2C ，半径为1r =，因为直线12A A 与圆C1=，平方化简得：2222121212230x x x x x x --++=，看成关于2x ，2y 为变量的式子得：()121211230y y x x y -++-=，同理得直线13A A 与圆C 相切，化简式子后得：()131311230y y x x y -++-=，所以可以同构出直线23A A 的方程为：()1111230y y x x y -++-=，则所以圆心()0,2C 到直线23A A 的距离为：11111y d y +==+，此时圆心C 到直线23A A 的距离为定值，定值为1.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是同构出直线23A A 的方程，从而得解.22. 已知函数()e x ax f x =和ln ()x g x ax=有相同的最大值.（1）求a ；（2）证明：存在直线y =b ，其与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.【答案】（1）1a = （2）证明见解析【解析】【分析】（1）由导数确定函数的单调性，得最大值，由最大值相等得参数值 ；（2）设()()h x f x b =-，由（1）确定10eb <<，结合（1）中所得单调性，利用零点存在定理证明函数存在两个零点，得y b =与()y f x =的图象有两个交点，同理得y b =与()()ln y f x g x ==也有两个交点，于是为满足题意有两个交点重合，结合()(ln )g x f x =可得出三个交战的横坐标之间的关系，从而证得结论成立.【小问1详解】()f x 定义域是(,)-∞+∞，()g x 的定义域是(0,)+∞，因为()()()211ln ,e xa x xf xg x ax''--==，当a<0时，()01f x x '<⇒<,()01f x x '>⇒>,()00e g x x '<⇒<<,()0e g x x '>⇒>,则()f x 在(),1-∞上单调递减，在()1,+∞单调递增，不存在最大值，()g x 在()0,e 上单调递减，在()e,+∞单调递增，也不存在最大值；同理知当0a >时，()f x 在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞单调递减，()g x 在()0,e 上单调递增，在()e,+∞单调递减，所以()f x 有极大值()1eaf =，即()f x 的最大值，()g x 有极大值()1e eg a =，即()g x 最大值，所以1e ea a =，即1a =；【小问2详解】由（1）知()()()ln ,ln e x x x f x g x f x x===，由于0x >时，()0f x >，1x >时，()0g x >，因此只有10eb <<才可能满足题意，记()exx h x b =-，且10e b <<，由（1）得()h x 在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞单调递减，且()()110,00eh b h b =->=-<，所以存在()10,1x ∈，使得()10h x =，设2()e x x x ϕ=-，则()e 2x x x ϕ'=，设()()m x x ϕ'=，则()e 2x m x =-'，0ln 2x <<时，()0m x '<，()m x 递减，ln 2x >时，()0m x '>，()m x 递增，所以min ()(ln 2)22ln 20m x m ==->，所以()(ln 2)0x ϕϕ''≥>，()ϕx 是增函数，0x >时，()(0)10x ϕϕ>=>，1211(e 0bb bϕ=->，11e bb b <又1110ebb h b b ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，所以存在011,x b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x =，即此时y b =与()y f x =有两个交点，的其中一个交点在()0,1内，另一个交点在()1,+∞内，同理y b =与()()ln y f x g x ==也有两个交点，其中一个交点在()0,e 内，另一个交点在()e,+∞内，若y b =与()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点，则其中一个交点为两条曲线()y f x =和()y g x =的公共点，记其横坐标为2x ，令()()()222ln f x g x f x ==，则()()221,e ,ln 0,1x x ∈∈，记y b =与()(),y f x y g x ==的三个交点的横坐标从左到右依次为324,,x x x ，且满足()()()()32432241e ,x x x f x f x g x g x <<<<===，且2222ln e x x x x =，即2222e ln x x x =，又()()()()3224ln ,ln f x f x f x f x ==，且()()3224,ln 0,1,,ln 1,e x x x x ∈∈，且()f x 在()0,1和()1,e 上分别单调，所以3224ln ,ln x x x x ==，即24e xx =，所以22342,x x x x =为34,x x 的等比中项，324,,x x x 成等比数列.【点睛】本题考查用导数求函数最值，用导数研究方程的根的问题，属于难题.对于方程的根的问题，难点在于寻找两个方程的根之间的关系，首先第一步由零点存在定理证明存在两个零点（方程有两个根），其次通过函数式关系()(ln )g x f x =找到两个方程的根之间的关系，再根据等比数列的性质证明结论成立.的。
2020年云南曲靖高三一模数学试卷(理科)
(
，
)，求证：
．
【答案】 1. B
解析: 集合 ∵ 集合 ∴ 故 正确．
2. D 解析: ∵复数 满足 则
． ．
．
，
， ∴复数 在复平面内对应点所在象限为第四象限． 故选 ．
3. C 解析: ∵ ∴ 得
又
， ，
， ，
7
而
，
代入
，
得
，
∴
．
故选： ．
4. A
解析:
∵对数函数
14. 若二项式
的展开式中 的一次项的系数是 ，则
．
4
相切， ．
15. 已知函数
围为
．
与
的图象有三个不同交点，则实数 的取值范
16. 在四面体
中，
此四面体，得到截面四边形
，则四边形
，
，用平行于 ， 的平面截
面积的最大值为
．
三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）
17. 某市在开展创建“全国文明城市”活动中，工作有序扎实，成绩显著，尤其是城市环境卫生大为改
由
，
，解得
，
．
，
消去 整理得 根据题设有：
， ，
且
，
，
因为
，
所以
，
将
，
代入，化简得：
，
∵
，∴
，
此时
且
，解得
．
故
，
15
又
，为定值． ∴
，
当且仅当 综上：
即
时等号成立．
的最小值为 ．
22.（ 1 ）
，
．
（2） ．
解析:
云南省曲靖市2019-2020学年高三年级第一次教学质量检测数学理科试题(解析版)
曲靖市2019-2020学年高三年级第一次教学质量监测数学（理科）试题卷（满分150分，考试用时120分钟）注意事项：1、本卷满分150分，考试时间为120分钟.答题前，先将自己的姓名、准考证号等信息填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡的指定位置.2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域无效.3、非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域无效.4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑.答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域无效.5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设{}1A x x =>，{}220B x x x =--<，则()R C A B ⋂=（ ）A. {}1x x >- B. {}11x x -<≤ C. {}11x x -<< D. {}12x x <<【答案】B 【解析】 【分析】先求集合B,再利用补集及交集运算求解即可【详解】由题得R {|1}C A x x =≤，{|12}B x x =-<<，所以(){|11}R C A B x x I =-<≤. 故选B .【点睛】本题考查集合的运算，二次不等式求解，准确计算是关键，是基础题2.已知复数z 满足(1)||i z i +=，其中i 为虚数单位，则复数z 在复平面内对应点所在的象限为（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】 【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】解：因为(1)||i z i +=||2(1)11(1)(1)i i z i i i i -∴===-++-，∴复数z 在复平面内对应的点的坐标为()1,1-在第四象限，故选：D .【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.已知向量1a =r ，1(,)2b m =r ，若()()a b a b +⊥-r rr r ，则实数m 的值为（ ）A. 12±C.12D. 【答案】D 【解析】 【分析】由向量的几何意义，因为()()a b a b +⊥-rrrr，所以()()0a b a b +⋅-=rrrr，再运用向量积的运算得到参数m 的值.【详解】因为()()a b a b +⊥-r rr r ，所以()()0a b a b +⋅-=r r r r ，所以220a b -=r r ，将1a =r 和2221()2b m =+r 代入，得出234m =，所以m = D.【点睛】本题考查了向量的数量积运算，属于基础题． 4.设0.61.1 1.1log 0.5,log 0.6, 1.1a b c ===，则（ ） A. a b c << B. b c a <<C. c a b <<D. b a c <<【答案】A【解析】 【分析】先利用函数的单调性比较a 与b 的大小，再利用中间量比较c 与a 、b 大小．【详解】解：因为对数函数 1.1log y x =在区间()0,∞+上单调递增，且0.50.61<<， 所以0a b <<， 又0.601.1 1.1>即1c >， 所以a b c <<， 故选：A .【点睛】本题考察比较大小，属基础题，比较三者的大小时常用中间量(0、1)法，属于基础题． 5.我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤”，若该金锤从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，该金锤共重多少斤？（ ） A. 6斤 B. 7斤C. 9斤D. 15斤【答案】D 【解析】 【分析】直接利用等差数列的求和公式求解即可.【详解】因为每一尺的重量构成等差数列{}n a ，14a =，52a =，156a a ∴+=，数列的前5项和为155553152a a S =⨯=⨯=+． 即金锤共重15斤， 故选D ．【点睛】本题主要考查等差数列求和公式的应用，意在考查运用所学知识解答实际问题的能力，属于基础题.6.设光线通过一块玻璃，强度损失10%、如果光线原来的强度为()0k k >，通过x 块这样的玻璃以后强度为y ，则()*0.9xy k x N =⋅∈，那么光线强度减弱到原来的14以下时，至少通过这样的玻璃块数为（ ）（参考数据：1g20.3011g30.477≈≈） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15【答案】C 【解析】 【分析】推导出10.94xk k <g ，从而0.9109422log 0.254101239lg lg x log lg lg >===-，由此能求出结果． 【详解】解：光线通过一块玻璃，强度要损失10%．设光线原来的强度为k ，通过x 块这样的玻璃以后强度为y ，则经过x 块这样的玻璃后光线强度为：0.9x y k =g ，Q 光线强度能减弱到原来的14以下， 10.94x k k ∴<g ，0.91094220.6log 0.25413.043101230.0469lg lg x log lg lg ∴>====≈-． ∴至少通过14块这样的玻璃，光线强度能减弱到原来的14以下． 故选：C ．【点睛】本题考查函数在生产生活中的实际运用，考查函数、对数等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于基础题．7.已知F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，过点F 且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，则||FA|﹣|FB||的值等于（ ）A. B. 8C. D. 4【答案】C 【解析】 【分析】将直线方程1y x =-代入抛物线方程，根据根与系数的关系和抛物线的定义即可得出FA FB -的值．【详解】F （1，0），故直线AB 的方程为y ＝x ﹣1，联立方程组241y xy x ⎧=⎨=-⎩，可得x 2﹣6x+1＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由根与系数的关系可知x 1+x 2＝6，x 1x 2＝1． 由抛物线的定义可知：|FA|＝x 1+1，|FB|＝x 2+1，∴||FA|﹣|FB||＝|x 1﹣x 2|==故选C ．【点睛】本题考查了抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．8.图1是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号的同学的成绩依次为1A ，216,,A A ⋯，图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生情况的程序框图，那么该程序框图输出的结果是（ ）A. 10B. 6C. 7D. 16【答案】A 【解析】 【分析】先弄清楚程序框图中是统计成绩不低于90分的学生人数，然后从茎叶图中将不低于90分的个数数出来，即为输出的结果．【详解】176A =，1i =，16i ≤成立，190A ≥不成立，112i =+=；279A =，2i =，16i ≤成立，290A ≥不成立，112i =+=；L L L792A =，7i =，16i ≤成立，790A ≥成立，011n =+=，718i =+=；L L L依此类推，上述程序框图是统计成绩不低于90分的学生人数，从茎叶图中可知，不低于90分的学生数为10，故选A ．【点睛】本题考查茎叶图与程序框图的综合应用，理解程序框图的意义，是解本题的关键，考查理解能力，属于中等题． 9.函数ln ||()x f x x=的大致图象是（ ） A. B. C. D.【答案】A 【解析】 【分析】首先求出函数的定义域，判断函数的奇偶性，再利用导数判断函数的单调性，即可得解. 【详解】解：函数的定义域为{|0}x x ≠，且ln ||ln ||()()x x f x f x x x--==-=--， 所以函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，故可排除B ，当1x >时，ln ||ln ()0x xf x x x ==>，故可排除C ； 当0x >时，ln ||ln ()x x f x x x==，()21ln xf x x -'=，显然当1x >时，()0f x '<，函数()f x 是单调递减的，可排除D ， 故选：A .【点睛】本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数的图象的变化趋势是判断函数的图象的常用方法，属于中档题．10.如图是某个四面体的三视图，若在该四面体的外接球内任取一点，则点落在四面体内的概率为（ ）A.913πB.113π【答案】C 【解析】【详解】试题分析：由题意可知三棱锥的底面是一个直角边为12.球的直径2r 为以三棱锥的三个两两垂直的棱为长方体长宽高的体对角线，即2r ==.所以球的体积为13.所以点落在四面体内的概率为13=.故选C. 考点：1.三视图的知识.2.球的内接几何体.3.概率问题.4.空间想象力.11.已知双曲线2222:1(0,0)x y M a b a b-=>>的渐近线均和圆22:650N x y x +-+=相切，且双曲线M的右焦点为圆N 的圆心，则双曲线M 的离心率为（ ）A.5B.32C. D.【答案】A 【解析】 【分析】由题意因为圆22:650N x y x +-+=把它变成圆的标准方程知其圆心为(3,0)，利用双曲线的右焦点为圆N 的圆心及双曲线的标准方程建立a ，b 的方程．再利用双曲线22221(0,0)x ya b a b-=>>的两条渐近线均和圆22:650N x y x +-+=相切，建立另一个a ，b 的方程．【详解】解：∵ 圆N 的圆心()3,0N ，半径2r =∴双曲线M 的右焦点坐标为()3,0，即3c =，则229a b +=① 又∵ 双曲线M 的一条渐近线方程为0bx ay -=， ∴点N2=，化得2245a b =②联立①②解得：a =，2b =，∴该双曲线M 的离心率为c e a ===故选：A .【点睛】此题重点考查了直线与圆相切的等价条件，还考查了双曲线及圆的标准方程及利用方程的思想进行解题，属于中档题． 12.已知函数2()2xa g x e x =-有两个不同极值点，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()0,eB. (),e +∞C. 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导函数()xg x e ax '=-，记()()f x g x '=，函数有两个不同的极值点，等价于导函数()f x 有两个不同的零点，对()f x 求导，求出()f x 极值，即可求出实数a 的取值范围.【详解】()xg x e ax '=-，记()()f x g x '=，则题设条件转化为函数()f x 有两个不同零点.当0a ≤时，()f x 在R 上单调递增，不符合题意；当 0a >时，()xf x e a '=-，令()0xf x e a '=-=，解得：ln x a =当(,ln )x a ∈-∞时，()0f x '<，此时()f x 单调递减当(ln ,)x a ∈+∞时，()0f x '>，此时()f x 单调递增； 且当1x =-时，1(1)0g e a -'-=+>，当x a =时，2()0a g a e a -'=>，又∵()f x 有两个不同零点，∴min ()(ln )ln 0==-<f x f a a a a ，即ln 00a a a a -<⎧⎨>⎩，解得a e >，即实数a 的取值范围为(),e +∞，故选：B .【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值与函数的零点问题，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且14a ，22a ，3a 成等差数列,若11a =，则4S =____________. 【答案】15． 【解析】由题意得42213412444421512a a a q q q S -=+⇒=+⇒=∴==-14.若关于x 的二项式72a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中一次项的系数是70-，则a =__________．【答案】12- 【解析】 【分析】利用二项式定理的展开式的通项公式，通过幂指数为1，即可得到实数a 的值．【详解】展开式的通项公式为772172r r r rr T C a x --+=⋅⋅⋅，由721r -=，得 3r =，所以一次项的系数为3437270C a ⋅⋅=-，得12a =-， 故答案为12-． 【点睛】本题考查二项式定理的应用，特定项的求法，熟练掌握二项式展开式的通项公式是关键，属于基础题．15.已知函数sin ,0()x x x f x x ππ<<⎧⎪=≥与()y kx k R =∈的图像有三个不同交点，则实数k 的取值区间为________________.【答案】0,π⎛ ⎝⎦【解析】 【分析】函数的交点转化为函数的零点问题，根据函数是分段函数，分类讨论可得.【详解】记sin ,0()(),x x kx x g x f x kx kx x ππ-<<⎧⎪=-=≥，则题意为：方程()0g x =有三个不等实数根，当0πx <<时，由sin 0x x kx -=得sin k x =，1()0,k ∈时有两个不等实数根 当x π≥0kx =得k =0,k π⎛∈ ⎝⎦时有一个实数根，综上：k ⎛∈ ⎝⎦时方程()0g x =有三个不等实数根.故答案为：0,π⎛ ⎝⎦. 【点睛】本题考查函数零点问题，分类讨论是解答的关键，属于中档题.16.如图，在四面体ABCD 中，3,34AB CD AD BD AC BC ======，，用平行于,AB CD 的平面截此四面体，得到截面四边形EFGH ，则该四边形EFGH 面积的最大值为______【答案】94的【解析】 【分析】根据线面平行的性质可知//,//,//,//GH AB EF AB GF CD EH CD ,因为34AD BD AC BC ====，，故AB CD ⊥,所以四边形为矩形，设:::,(01)BF BD BG BC FG CD x x ===≤≤，建立二次函数关系求解四边形面积的最大值.【详解】因为直线AB//平面EFGH ，且平面ABC 交平面EFGH 于HG ,所以HG//AB ，同理//EF AB ，//,//GF CD EH CD ，所以四边形EFGH 为平行四边形又34AD BD AC BC ====，，可证明AB CD ⊥ 所以四边形EFGH 为矩形.设:::,(01)BF BD BG BC FG CD x x ===≤≤，3,3(1)FG x HG x ==-2119(1)9[()]24EFGH S FG HG x x x =⨯=-=--+ ，当12x =时，有最大值94.故填94.【点睛】本题主要考查了四面体ABCD 中的对称性来证明四边形是矩形，线面平行的性质，二次函数求最值，属于难题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.某市在开展创建“全国文明城市”活动中，工作有序扎实，成效显著，尤其是城市环境卫生大为改观，深得市民好评.“创文”过程中，某网站推出了关于环境治理和保护问题情况的问卷调查，现从参与问卷调查的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[)15,25，第2组[)25,35，第3组[)35,45，第4组[)45,55，第5组[)55,65，得到的频率分布直方图如图所示.（1）求出a 的值；（2）若已从年龄较小的第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，现要再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，设第2组抽到ξ人，求随机变量ξ的分布列及数学期望()E ξ. 【答案】（1）0.035a =（2）详见解析 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图的性质，能求出a 的值．（2）根据分层抽样的规则计算出各组人数，则随机变量ξ的所有可能取值为1，2，3，分别计算出概率，列出分布列即可求出期望.【详解】解：（1）由10(0.0100.0150.0300.010)1a ⨯++++=，解得0.035a =.（2）第1，2组的人数分别为20人，30人，从第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，则第1，2组抽取的人数依次为2人，3人.随机变量ξ的所有可能取值为1，2，3.其中2123353(1)10C C P C ξ⋅===，1223353(2)5C C P C ξ⋅===，3335(3)110C P C ξ===， 所以随机变量ξ的分布列为：3319()123105105E ξ=⨯+⨯+⨯= 【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查运算求解能力，属于中档题．18.已知函数()2cos sin 3f x x x t π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的最大值为1． （1）求t 的值；（2）已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为a b c 、、，若a =三角形ABC ∆且()2f A =，求b c +的值．【答案】（1）2t =（2）b c +=【解析】 【分析】（1）利用两角差的正弦、二倍角公式逆用、降幂公式、辅助角公式等对()f x 进行化简，得到正弦型函数，然后根据其最大值，得到t 的值.（2）由()f A =A 的大小，利用面积公式得到bc 的值，再由余弦定理，配凑出b c +，得到答案.【详解】解：（1）()2cos sin 3f x x x t π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭2sin cos x x x t =+11cos 2sin 222x x t +=+=sin 23x t π⎛⎫+- ⎪⎝⎭-()f x Q 最大值为1，故02t -=，可得t =（2）()f A =Q ，可得：sin 23A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，20,22333A A ππππ<<-<-<Q 233A ππ∴-=，可得，3A π=由三角形面积公式得，1sin 2S bc A ==4bc =， 由余弦定理得，2222cos a b c bc A =+-， 可得：()283b c bc +=-，而0b c +>∴b c +=【点睛】本题主要考查了学生对三角函数恒等变换的应用，考查了三角形的面积公式，余弦定理及简单的三角方程的求解，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．19.如图，菱形ABCD 与正三角形BCE 的边长均为2，它们所在平面互相垂直，FD ⊥平面ABCD ，EF P 平面ABCD ．（1）求证：平面ACF ⊥平面BDF ；（2）若60CBA ∠=︒，求二面角A BC F --的大小．【答案】(1)见证明；(2) 4π【解析】 【分析】（1）由菱形的性质可得AC BD ⊥，由线面垂直的性质可得FD AC ⊥，从而可得AC ⊥平面BDF ，再由面面垂直的判定定理可得结果；（2）设AC BD O =I ，以O 为原点，OB 为x 轴，OA 为y 轴，过O 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量垂直数量积为零列方程求得平面BCF 的法向量，结合平面ABC 的法向量(0,0,1)m =u r，利用空间向量夹角余弦公式可得结果.【详解】（1）∵菱形ABCD ，∴AC BD ⊥， ∵FD ⊥平面ABCD ，∴FD AC ⊥， ∵BD FD D ⋂=，∴AC ⊥平面BDF ，∵AC ⊂平面ACF ，∴平面ACF ⊥平面BDF ．（2）设AC BD O =I ，以O 为原点，OB 为x 轴，OA 为y 轴， 过O 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，则B ，()0,1,0C -，(F ，(1,0)BC =-u u u r，(BF =-u u u r ，设平面BCF 的法向量(,,)n x y z =r，则0n BC y n BF ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩u u u v v u u u v v ，取1x =，得(1,2)n =r ， 平面ABC 的法向量(0,0,1)m =u r，设二面角A BC F --的大小为θ，则||cos ||||2m n m n θ⋅===⋅r r r r ， ∴4πθ=．∴二面角A BC F --的大小为4π． 【点睛】本题主要考查面面垂直的证明以及利用空间向量求二面角，属于中档题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20.已知函数()xf x ae =，()ln lng x x a =-，其中a 为常数，e 是自然对数的底数， 2.72e ≈，曲线()y f x =在其与y 轴的交点处的切线记作1l ，曲线()y g x =在其与x 轴的交点处的切线记作2l ，且12l l //. （1）求12,l l 之间的距离；（2）对于函数()f x 和()g x 的公共定义域中的任意实数0x ，称()()00f x g x -的值为函数()f x 和()g x 在0x 处的偏差.求证：函数()f x 和()g x 在其公共定义域内的所有偏差都大于2.【答案】（1（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出(),()g x f x 分别与x 轴、y 轴的交点坐标，求出函数的导数，根据两条切线平行求出参数a 的值，即可求出切线方程，利用两平行线的距离公式求12,l l 间的距离.（2）得到函数()y f x =和()y g x =的偏差为：()|()()|ln xF x f x g x e x =-=-，(0,)x ∈+∞，利用导数分析min ()F x ，证明min ()2F x >即可.【详解】（1）函数()xf x ae =的图像与y 轴的交点为()0,a ，函数()yg x =的图像与x 轴的交点为(),0a ，而()xf x ae '=，1()g x x'=， ∵12l l //，∴()()0f g a ''=，得1a a=， 又∵0a >，∴1a =.∴()xf x e =，()lng x x =，∴切线1l 过点()0,1，斜率为01(0)1k f e '===；切线2l 过点()1,0，斜率为2(1)1k g '==，1:10l x y -+=，2:10l x y --=，∴两平行切线12,l l 间的距离d ==（2）∵函数()y f x =和()y g x =的偏差为：()|()()|ln xF x f x g x e x =-=-，(0,)x ∈+∞，∴1()xF x e x '=-，易得1()xF x e x'=-在(0,)x ∈+∞上是增函数，方程()0F x '=有且只有一个正实根，记为0x x =，则01x ex =. 当()00,x x ∈时，()0F x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0F x '>， ∴函数()F x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，∴00min 00001()ln l 1nx xx x F x e x e e x x e x =-=-==++， ∵(1)10F e '=->，1202F '⎛⎫=<⎪⎝⎭，∴0112x <<， 故min 001()2F x x x +>=， 即函数()y f x =和()y g x =在其公共定义域内的所有偏差都大于2.【点睛】本题考查导数的几何意义，利用导数求在一点处的切线方程，两平行线之间的距离公式的应用，利用导数研究函数的最值，属于中档题.21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴是短轴的两倍，以短轴一个顶点和长轴一个顶点为端点的线，直线l 与椭圆C 交于()()1122,,,A x y B x y 两点，其中直线l 不过原点. （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线,,OA l OB 的斜率分别为12,,k k k ，其中0k >且212k k k =.记OAB V 的面积为S .分别以,OA OB 为直径的圆的面积依次为12,S S ，求12S S S+的最小值. 【答案】（1）2214x y +=（2）54π 【解析】 【分析】（1）由题意知2a b ==，由此能求出椭圆方程．（2）设直线l 的方程为y kx m =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，利用韦达定理、椭圆弦长公式结合已知条件能求出12S S S+的最小值． 【详解】解：（1）由题意知，2a b=⎧⎪=，解得21a b =⎧⎨=⎩， 所以椭圆C 的方程为2214x y +=（2）设直线l 的方程为(0)y kx m m =+≠，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得()()222148410k x kmx m +++-=，根据题设有： ()2216140k m∆=+->且122814kmx x k +=-+，()21224114m x x k-=+. 因为212k k k =，所以()()()2212121221212121212kx m kx m k x x km x x m y y k k k x x x x x x +++++==⋅==，将122814km x x k +=-+，()21224114m x x k-=+代入，化简得：214k = ∵0k >，∴12k =. 此时()21620m∆=->且0m ≠，解得202m<<.故1||||2S AB d m =⋅⋅==又()222222121122123324444S S x y x y x x ππ⎛⎫+=⋅+++=⋅++ ⎪⎝⎭()212123521624x x x x πππ⎡⎤=⋅+-+=⎣⎦，为定值.∴12555444S S S πππ+==≥，当且仅当21m =即1m =±时等号成立. 综上：12S S S+的最小值为54π【点睛】本题考查椭圆方程的求法及求曲线的方程，考查弦长公式、三角形面积公式及直线与椭圆位置关系的应用，考查了函数思想，属于难题．请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题，如果多做，则按所做的第一题计分.22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1212x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为ρθ=-. （1）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；（2）设点(1,P ，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求22||||PA PB +的值. 【答案】（1）l普通方程为20x ++=，曲线C的直角坐标方程为220x y ++=（2【解析】 【分析】（1）消去参数t 可得直线l 的普通方程，根据互化公式可得曲线C 的直角坐标方程． （2）根据直线的参数方程t 的几何意义可得．【详解】解：（1）消去参数t 得直线l的普通方程为20x ++=；因为ρθ=-，所以2sin ρθ=-， 因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以曲线C的直角坐标方程为220x y ++=（2）易判断点(1,P 是直线l 上的点，设A ，B 两点所对应的参数分别为12,t t ，将直线l参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得220t -=.其中2(4(2)110∆=-⋅-=>，12t t +=122t t =-. 于12121222222||||t t PA PB t t t t -+=+===【点睛】本题考查了简单曲线的极坐标方程、参数方程以及直线的参数方程t 的几何意义，属中档题． 23.已知函数()()211f x x a x a R =-+--∈的一个零点为1．()1求不等式()1f x ≤的解集； ()2若12(0,1)1a m n mn +=>>-，求证：211m n +≥． 【答案】（1）403x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭；（2）证明见解析． 【解析】 【分析】（ I ）先由题目条件求得a,运用分段函数求得f （x ）的解析式，由f （x ）≤1，即有11,1,2211221212,x x x x x x ⎧⎧≤<<⎪⎪⎨⎨⎪⎪-+-≤-+-≤⎩⎩或或1,1212,x x x ≥⎧⎨-+-≤⎩，解不等式即可得到所求解集；（2）由（1）知1211a m n +==-，因为0m >，1n >，由“1”的利用和均值不等式证明即可. 【详解】（1）因为函数()f x x a =-+ 211x --（a R ∈）的一个零点为1， 所以1a =又当1a =时，()1211f x x x =-+--，()11212f x x x ≤⇒-+-≤，上述不等式可化为1,21122x x x ⎧≤⎪⎨⎪-+-≤⎩或11,21212,x x x ⎧<<⎪⎨⎪-+-≤⎩，或1,1212,x x x ≥⎧⎨-+-≤⎩ 解得1,20,x x ⎧≤⎪⎨⎪≥⎩或11,22,x x ⎧<<⎪⎨⎪≤⎩或1,4,3x x ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩所以102x ≤≤或112x <<或413x ≤≤， 的是所以原不等式的解集为403x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭（2）由（1）知1211a m n +==-，因为0m >，1n >， 所以()()2121m n m n ⎡⎤+-=+-⎣⎦ 1251m n ⎛⎫+=+⎪-⎝⎭ ()21291n m n m -+≥-， 当且仅当3m =，4n =时取等号，所以211m n +≥．【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，运用分段函数求解，由“1”的利用和均值不等式证明不等式成立，注意取等条件，属于中档题．。
2021届云南省曲靖市第一中学高三高考复习质量监测卷(八)数学(理)试题(解析版)
2021届云南省曲靖市第一中学高三高考复习质量监测卷（八）数学（理）试题一、单选题1．设集合{}1,0,1,2A =-，{}1,2B =，{},,C x x ab a A b B ==∈∈，则集合C 中元素的个数为（ ） A ．5 B ．6C ．7D ．8【答案】B【分析】分别在集合,A B 中取,a b ，由此可求得x 所有可能的取值，进而得到结果. 【详解】当1a =-，1b =时，1ab =-；当1a =-，2b =时，2ab =-； 当0a =，1b =或2时，0ab =；当1a =，1b =时，1ab =；当1a =，2b =或2a =，1b =时，2ab =；当2a =，2b =时，4ab =；{}2,1,0,1,2,4C ∴=--，故C 中元素的个数为6个.故选：B.2．若复数z 满足()113z i i -=+（i 是虚数单位），则z =（ ）A ．BC ．D ．2【答案】A【分析】由题意可得13121iz i i+===-+-，12z i =--，则z =得解.【详解】()113z i i -=+可得13(13)(1)121(1)(1)i i i z i i i i +++===-+--+， 所以12z i =--z ==，故选：A 3．411()a x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为6，则实数a 的值为（ ） A ．34 B ．54C ．74D ．94【答案】B【分析】利用多项式乘法运算法则及排列组合思想即可求解. 【详解】解：由题意，411()a x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为344411C a C ⨯⨯+⨯， 所以3444116C a C ⨯⨯+⨯=，即416a +=， 所以54a =， 故选：B.4．不经过坐标原点的直线:0l x y m ++=被曲线22:2220C x y x y +---=截得的弦的长度等于l 与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是（ ） A ．22440x y x y +--= B ．22440x y x y +++= C ．22330x y x y +++= D ．22220x y x y +--=【答案】A【分析】由曲线C 方程可得到其圆心和半径，利用垂径定理可构造方程求得m 的值，从而得到直线l 方程，进而得到l 与坐标轴的交点坐标；根据直角三角形外心为斜边中点可求得所求的圆心坐标和半径，由此可得所求圆的方程.【详解】曲线C 的方程可整理为：()()22114x y -+-=，则曲线C 为圆心为()1,1，半径为2的圆；∴圆心到直线l 的距离d =∴==解得：0m =或4m =-，又l 不经过坐标原点，4m ∴=-，即:40l x y +-=，l ∴与坐标轴的交点坐标为()4,0A ，()0,4B ，∴直线l 与坐标轴围成的三角形的外接圆圆心为AB 中点()2,2M ，半径r = ∴所求外接圆方程为()()22228x y -+-=，即22440x y x y +--=.故选：A.【点睛】方法点睛：圆的弦长的求法：（1）几何法，设圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为L ，则2222L r d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭； （2）代数法，设直线与圆相交于()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与圆的方程()()222y kx mx a y b r=+⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，消去y 得到一个关于x 的一元二次方程，从而可求出12x x +，12x x，根据弦长公式AB =，即可得出结果.5．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3S ，9S ，6S 成等差数列，且86a =，则11a 的为（ ） A ．-1 B ．-3C ．-5D ．-7【答案】B【分析】由396S ,S ,S 成等差数列，可得9362S S S =+，即()96362S S S S -=-，即()()7894562a a a a a a ++=-++，即()()623211211a q q q a q q q ++=-++，可求得312q =-，可求得11a ．【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由396S ,S ,S 成等差数列，可得9362S S S =+，即()96362S S S S -=-，即()()7894562a a a a a a ++=-++，即()()623211211a q q q a q q q ++=-++，因为10a ≠，0q ≠，且210q q ++>，所以312q =-，又86a =，故311816()32a a q ==⨯-=-． 故选： B.6．已知AB AC ⊥，1AB t=，AC t =，若P 点是ABC 所在平面内一点，且9AB AC AP ABAC=+，则PB PC ⋅的最大值等于（ ） A ．16B ．4C ．82D ．76【答案】 D【分析】以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，可得1,0B t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()()0,0C t t >，利用平面向量坐标运算可求得()1,9P ，由数量积的坐标运算可表示出PB PC ⋅，利用基本不等式可求得结果.【详解】以A 为坐标原点，可建立如图所示平面直角坐标系，则1,0B t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()()0,0C t t >，1,0ABt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0,AC t =，()()19,00,1,9AP t t t t ⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭，即()1,9P ，11,9PB t ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭，()1,9PC t =--，111981829t t B t PC t P ⎛⎫∴⋅=--+=-+ ⎪⎝⎭，0t >，119296t t t t∴+≥⋅=（当且仅当19t t =，即13t =时取等号），()82676PB PC ∴⋅≤-=.故选：D.【点睛】方法点睛：求解平面向量数量积问题的常用方法有两种：（1）利用平面向量线性运算将所求数量积进行转化，转化为夹角和模长已知的向量数量积的求解问题；（2）建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算来进行求解. 7．执行如图所示的程序框图，若输入的x 为11，则输出y 的值为（ ）A ．1B ．3C ．5D ．7【答案】A【分析】按照程序框图运行程序，直到满足5x ≤可代入21y x =-，由此确定输出值. 【详解】按照程序框图运行程序，输入11x =，不满足5x ≤，循环；1156x =-=，不满足5x ≤，循环；651x =-=，满足5x ≤，则2111y =⨯-=，输出1y =.故选：A.8．已知a ，b 是空间两条不同的直线，已知α，β是空间两个不同的平面，对于如下四个命题：①若a α⊥，b β⊥，//a b ，则//αβ；②若//a α，//b β，a b ⊥，则//αβ； ③若a α⊥，//b β，//a b ，则αβ⊥；④若a α⊥，b β⊥，αβ⊥，则a b ⊥． 其中正确命题的序号是（ ） A ．①②③④ B ．②③ C ．①②④ D ．①③④【答案】D【分析】由平行关系和垂直关系的相关定理依次判断各个选项可知①③④正确；由反例可知②错误. 【详解】对于①，//a b ，a α⊥，b α∴⊥，又b β⊥，//αβ∴，①正确；对于②，在如图所示的正方体1111ABCD A BC D -中，若11A B a =，1BB b =，平面ABCD α=，平面11ADD A β=， 则满足//a α，//b β，a b ⊥，此时αβ⊥，②错误； 对于③，a α⊥，//ab ，b α∴⊥，又//b β，则在β中必存在直线//c b ，c α∴⊥，又c β⊂，αβ∴⊥，③正确； 对于④，a α⊥，b β⊥，,a b ∴分别为,αβ的法向量，又αβ⊥，a ∴与b 所成角为90，即a b ⊥，④正确. 故选：D.9．定义在实数集R 上的函数()f x ，如果存在函数()g x ax b =+（a ，b 为常数），使得对函数()f x 定义域内任意x 都有()()f x g x ≤成立，那么()g x 为函数()f x 的一个“线性覆盖函数”，若()22ln f x x x x =--，()3g x ax =-+．若()g x 为函数()f x在区间()0,∞+上的一个“线性覆盖函数”，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],0-∞ B ．(],2-∞ C ．(],4-∞ D ．(],6-∞【答案】C【分析】由题意()()f x g x ，即22ln 3x x x ax ---+在区间(0,)+∞上恒成立，也即32ln a x x x++在区间(0,)+∞上恒成立，从而将问题转化为求函数的最值． 【详解】解：由题意()()f x g x ，即22ln 3x x x ax ---+在区间(0,)+∞上恒成立，也即32ln a x x x++在区间(0,)+∞上恒成立，等价于min ()a h x . 令3()2ln h x x x x =++，则2223(3)(1)()1x x h x x x x'+-=+-=， 由()0h x '<得01x <<，由()0h x '>得1x >， 所以()h x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， 所以当1x =时()h x 取得最小值()h 14=， 所以4a ，即a 的取值范围为(],4-∞． 故选：C ．【点睛】结论点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论： （1）a ≥ f (x )恒成立⇔ a ≥ f (x )max ；（2）a ≤ f (x )恒成立⇔a ≤ f (x )min . 10．已知双曲线()2222:104x y C a a a -=>-，点M 是该双曲线右支上的一点．点1F ，2F 分别为左、右焦点，直线1MF 与y 轴交于点P ，2MPF 的内切圆在边2PF 上的切点为Q ，若PQ =C 的离心率为（ ）A ．B ．3C ．D 【答案】D【分析】根据切线长相等可得线段长的等量关系，结合双曲线定义可知1222MF MF PQ a -==，由此求得a ，结合2c =可得所求离心率.【详解】设2MPF 内切圆与12,MF MF 分别切于点,S T ，由切线长相等知：MS MT =，PS PQ =，22QF TF =，由对称性知：12PF PF =， 由双曲线定义得：12122232MF MF PF PS QF PQ PS PQ a -=+-=+===， 3a ∴=2242c a a +-=，C ∴的离心率23c e a ==. 故选：D.【点睛】思路点睛：求解圆锥曲线离心率或离心率取值范围问题的基本思路有两种： （1）根据已知条件，求解得到,a c 的值或取值范围，由ce a=求得结果； （2）根据已知的等量关系或不等关系，构造关于,a c 的齐次方程或齐次不等式，配凑出离心率e ，从而得到结果.11．设曲线() xf x ae b =+和曲线()cos2xg x c π=+在它们的公共点()0,2M 处有相同的切线，则b c a +-的值为（ ） A ．0 B ．π C ．2- D ．3【答案】D【分析】利用导数的几何意义可知()()00f g '='，可求得a ；根据()0,2M 为两曲线公共点可构造方程求得,b c ，代入可得结果. 【详解】()x f x ae '=，()sin22xg x ππ'=-，()0f a '∴=，()00g '=，0a ∴=，又()0,2M 为()f x 与()g x 公共点，()02f b ∴==，()012g c =+=，解得：1c =，2103b c a ∴+-=+-=.故选：D.12．下列五个命题：① ln 72<；②ln p e >>>；③<④33ππ<；⑤33e e <．其中真命题的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【分析】令()ln xf x x=，利用导数可求得()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减；将所比较的式子转化为()f x 的函数值的大小关系的比较，根据函数单调性可确定()f x 函数值的大小关系，化简得到所比较的式子的大小关系. 【详解】令()ln x f x x =，则()()21ln 0xf x x x-'=>， 当()0,x e ∈时，()0f x '>；当(),x e ∈+∞时，()0f x '<；()f x ∴在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减；对于①，02e <<，()2ff ∴>ln 22>，2ln 7<=，①错误；对于②，0e p >>>，ff ∴<<，ln p ==，②正确；对于③，114e <<，()4f f∴<，即ln 42ln2ln 2442==<，2<ln ln11<，11∴<<③正确；对于④，3e π<<，()()3ff π∴<，即ln ln 33ππ<，3ln ln 3ππ∴<， 即3ln ln 3ππ<，33ππ∴<，④错误； 对于⑤，3e <，()()3f e f ∴>，即ln ln 33e e >，3ln ln 3e e ∴>， 即3ln ln3e e >，33e e ∴>，⑤正确. 故选：C.【点睛】关键点点睛：本题解题关键是能够通过构造函数的方式，将问题转化为函数值的大小关系的比较问题，通过函数的单调性确定函数值的大小关系.二、填空题13．若实数,x y 满足约束条件21021010x y x y x -+≥⎧⎪++≥⎨⎪-≤⎩，则()0z ax by a b =+>>取最大值4时，41a b+的最小值为______． 【答案】94【分析】由约束条件可得可行域，当z 取最大值时，直线a zy x b b=-+在y 轴截距最大，利用数形结合的方式可确定当a zy x b b=-+过()1,1A 时z 最大，利用()411414a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭可配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式可求得41a b+的最小值. 【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：当()0z ax by a b =+>>时，直线a zy x b b=-+在y 轴截距最大， 0a b >>，1a b∴-<-，则由图形可知：当a zy x b b =-+过A 时，在y 轴截距最大，由2101x y x -+=⎧⎨=⎩得：11x y =⎧⎨=⎩，即()1,1A ，max 4z a b ∴=+=， ()41141141495524444b a b a a b a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝∴（当且仅当4b a a b =，即823a b ==时取等号），41a b ∴+的最小值为94.故答案为：94. 【点睛】方法点睛：线性规划问题中几种常见形式有： ①截距型：z ax by =+，将问题转化为a z y b b=-+在y轴截距的问题； ②斜率型：y bz x a-=-，将问题转化为(),x y 与(),a b 连线斜率的问题； ③两点间距离型：()()22z x a y b =-+-，将问题转化为(),x y 与(),a b 两点间距离的平方的问题；④点到直线距离型：z Ax By C =++，将问题转化为(),x y 到直线0Ax By C ++=的.14．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，22a =，21n n n a a a ++=-，则2019S =______．【答案】4【分析】归纳出数列的周期，求出一个周期的和，即得解. 【详解】由题得321211a a a =-=-=，432121a a a =-=-=-， 543112a a a =-=--=-， 6542(1)1a a a =-=---=-, 7651(2)1a a a =-=---=, 8761(1)2a a a =-=--=,所以数列的周期为6，126+++0a a a =，2019=6336+3⨯，所以22019131214S a a a =++=++=. 故答案为：4【点睛】关键点睛：本题的解题关键是想到求数列的周期，归纳出数列的周期. 15．如图，蹴鞠，又名“鞠球”“鞠圆”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的踢足球活动．已知各顶点都在某“蹴”的表面上的正四棱柱的底面边长为a ，高为h ，球的体积为36π，则这个正四棱柱的侧面积的最大值为_______．【答案】362【分析】由球的体积可确定其半径，根据正四棱柱外接球半径与底面外接圆半径和高之间关系可构造方程，求得2362h a =-根据侧面积公式可将侧面积S 表示为关于a 的函数，借助于基本不等式可求得结果.【详解】设球的半径为R ，则34363R ππ=，解得：3R =；正四棱柱底面正方形外接圆半径221222r a a a =+=，又2222h R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 2221922h R r a ∴=-=-，解得：2362h a =- ∴正四棱柱侧面积()2224436216362S ah a a a a ==-=-，()22222236223623242a a a a ⎛⎫+--≤= ⎪⎝⎭（当且仅当222362a a =-，即3a =时取等号），8324362S ∴≤⨯= 即正四棱柱侧面积的最大值为362. 故答案为：362.【点睛】思路点睛：本题考查立体几何中的最值问题的求解，求解此类问题的基本思路是将所求内容表示为关于某一变量的函数的形式，进而利用函数值域的求解方法或基本不等式求得最值.16．已知函数()()12cossin 02262xx f x ωωπω⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭，x ∈R ，若()f x 在区间(),2ππ内没有零点，则ω的取值范围是_________．【答案】55110,,12612⎛⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【分析】利用两角和差正弦公式、二倍角和辅助角公式可化简得到()sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据()f x 在区间(),2ππ内没有零点可结合周期确定01ω<≤，同时确定6x πω+的范围；可确定,266πππωπω⎛⎫++⎪⎝⎭位于[]2,2k k πππ+或[]2,22k k ππππ++之间，由此构造不等式组求得结果. 【详解】()12cossin cos cos sin 226262x x x f x ωωπωπ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭21coscos 2222xxx ωωω=+-1cos sin 26x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭； ()f x 在(),2ππ内没有零点，2ππππω∴-=≤，可知01ω<≤， 当(),2x ∈ππ时，,2666x πππωπωπω⎛⎫+∈++ ⎪⎝⎭， ()26226k k Z k ππωπππωππ⎧+≥⎪⎪∴∈⎨⎪+≤+⎪⎩或()262226k k Z k ππωππππωππ⎧+≥+⎪⎪∈⎨⎪+≤+⎪⎩，解得：()152612k k k Z ω-≤≤+∈或()5112612k k k Z ω+≤≤+∈； 又01ω<≤，5012ω∴<≤或511612ω≤≤，即ω的取值范围为55110,,12612⎛⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦. 故答案为：55110,,12612⎛⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦. 【点睛】关键点点睛：本题考查根据正弦型函数在区间内的零点个数求解参数范围的问题，解题关键是能够通过函数在区间内没有零点，得到区间长度小于半个周期，并通过整体对应的方式确定区间端点值所满足的条件.三、解答题17．已知ABC 的内角,,A B C 的对应边分别为,,a b c ，且有()cos cos sin 0A c B b C a A ++=．（1）求A ；（2）设AD 是ABC 的内角平分线，边b ，c 的长度是方程2640x x -+=的两根，求线段AD 的长度． 【答案】（1）23A π=；（2）23AD =.【分析】（1）利用正弦定理边化角可整理已知等式求得tan A ，由此确定A 的取值； （2）由韦达定理可得,b c bc +，利用面积桥的方式可构造方程求得AD . 【详解】（1）由正弦定理得：()23cos sin cos sin cos sin 0A C B B C A ++=，即()23cos sin sin 0A B C A ++=，又()()sin sin sin B C A A π+=-=，23sin cos sin A A A ∴-=，又()0,A π∈，sin 0A ∴≠，sin 3cos A A ∴=-，tan 3A ∴=-，又()0,A π∈，23A π∴=； （2）,b c ∵为方程2640x x -+=的两根，6b c ∴+=，4bc =，由（1）知：23A π=，3BAD CAD π∴∠=∠=， ABCABDADC SSS=+，12sin sin sin sin 23232323c b b c bc AD AD AD ππππ+∴=⋅+⋅=⋅， 333AD =23AD =. 【点睛】关键点点睛：本题考查正弦定理和三角形面积公式的应用，求解内角平分线长的关键是能够利用面积桥的方式构造出关于内角平分线长的方程.18．如图，直四棱柱1111ABCD A BC D -的底面是菱形，12AA =，1AB =，60BAD ∠=，E ，M ，N 分别是BC ，1BB ，1A D 的中点．（1）证明：//MN 平面ABCD ； （2）求二面角1A MA N --的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）105. 【分析】（1）连接1,ME B C ，可证得//ME ND ，即四边形MNDE 为平行四边形，得到//MN DE ，由线面平行的判定定理可证得结论；（2）连接,AC BD 交于点O ，则以O 为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果. 【详解】（1）连接1,ME B C ，,E M 分别为1,BC BB 中点，11//2ME B C ∴； 由直四棱柱特点知：11//A D BC ，11//2ME A D ∴，又N 为1A D 中点，//ME ND ∴， ∴四边形MNDE 为平行四边形，//MN DE ∴，又DE ⊂平面ABCD ，MN ⊄平面ABCD ，//MN ∴平面ABCD ； （2）连接,AC BD 交于点O ，四边形ABCD 为菱形，AC BD ∴⊥，又四棱柱1111ABCD A BC D -为直四棱柱， 则以O 为坐标原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系，由题意可得：3A ⎫⎪⎪⎝⎭，132A ⎫⎪⎪⎝⎭，10,,12M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，31,14N ⎫-⎪⎪⎝⎭， ()10,0,2AA ∴=，131,12A M ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，33,044MN ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面1AA M 的法向量为()111,,n x y z =，则1111112031022n AA z n A M x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩，令11x =，则13y =10z =，()1,3,0n ∴=； 设平面1A MN 的法向量为()222,,m x y z =，则1222223102233044m A M x y z m MN x y ⎧⋅=-+-=⎪⎪⎨⎪⋅=-=⎪⎩，令21y =，则23x 21z =-，()3,1,1m ∴=-；2315cos ,25m n m n m n⋅∴<>===⨯⋅，设二面角1A MA N --为θ，则210sin 1cos ,5m n θ=-<>=， 即二面角1A MA N --10【点睛】方法点睛：空间向量法求解二面角的基本步骤是： （1）建立空间直角坐标系，利用坐标表示出所需的点和向量；（2）分别求得二面角的两个半平面的法向量，根据向量夹角公式求得法向量的夹角；（3）根据图形或法向量的方向确定所求角为二面角的大小或二面角补角的大小. 19．澳大利亚Argyle 钻石矿石全球最重要的粉钻和红钻出产地，占全球供应的90%．该钻石矿曾发现一颗28.84ct 的宝石级钻石原石——[ArgyleOctavia ]，为该矿区27年来发现最大的钻石原石之一．如图，这颗钻石拥有完整的正八面体晶形，其命名[ArgyleOctavia ]特别强调钻石的正八面体特征——[Octavia ]在拉丁语中是[第八]的意思．如图设ξ为随机变量，从棱长为1的正八面体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，0ζ=；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，2ξ=．（1）求概率()0P ξ=；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望()E ξ． 【答案】（1）611；（2）分布列见解析，()911E ξ=. 【分析】（1）12条棱中任取两条共有212C 对，两条棱相交有246C 对，由古典概型概率计算公式即可求解；（2）由（1）有()0P ξ=，又两条棱平行有6对，可求出()1P ξ=，从而可用间接法求出()2P ξ=，进而可求分布列和数学期望.【详解】解：（1）若两条棱相交，则交点必为正八面体6个顶点中的1个， 又过任意顶点有4条棱，所以共有246C 对相交棱，所以()24212366066116P C C ξ====； （2）由题意，ξ的所有可能取值为0，1，2.若两条棱平行，则它们之间的距离为1，一共有6对，()21261166611P C ξ∴====，()()()61421011111111P P P ξξξ∴==-=-==--=， 所以ξ的分布列为：()4901211111111E ξ=⨯+⨯+⨯=. 20．已知椭圆()2212:104x y C b b+=>的短轴端点与抛物线()22:20C x py p =>的焦点重合，椭圆1C （1）求椭圆1C 及抛物线2C 的方程；（2）设P 是抛物线2C 准线上的一个动点，过P 作抛物线2C 的切线PA 、PB ，A 、B 为切点．①求证：直线AB 经过一个定点；②若直线AB 与椭圆1C 交于M 、N 两点，椭圆的下顶点为D ，求MDN △面积的最大值．【答案】（1）221:14x C y +=，22:4C x y =；（2）①证明见解析；②2. 【分析】（1）分析可知椭圆1C 的焦点在x 轴，利用椭圆1C 的离心率求出b 的值，可得出p 的值，由此可得出椭圆1C 及抛物线2C 的方程；（2）①设点(),1P t -、()11,A x y 、()22,B x y ，利用导数求出直线PA 、PB 的方程，将点P 的坐标代入两直线方程，结合等式的结构可得出直线AB 的方程，进而可得出直线AB 所过定点的坐标；②分析可知直线AB 过椭圆1C 的上顶点()0,1M ，可知当点N 为椭圆1C 的长轴的端点时，MDN △的面积最大，即可得解. 【详解】（1）抛物线2C 的焦点坐标为0,2p ⎛⎫⎪⎝⎭，所以，椭圆1C 的短轴端点在y 轴上，所以，椭圆1C的离心率为e ==，可得1b =，且有12p b ==，得2p =，因此，椭圆1C 的标准方程为2214x y +=，抛物线2C 的标准方程为24x y =；（2）①设点(),1P t -、()11,A x y 、()22,B x y ，对函数24x y =求导得12x y '=，所以，直线PA 的方程为()1112x y y x x -=-，即112x xy y =-， 同理可知，直线PB 的方程为222x xy y =-， 由于点(),1P t -为直线PA 、PB 的公共点，则1122220220tx y tx y -+=⎧⎨-+=⎩，所以，点A 、B 的坐标满足方程220tx y -+=，由于两点确定一条直线，故直线AB 的方程为220tx y -+=，在直线AB 的方程中，令0x =，可得1y =，故直线AB 恒过定点()0,1； ②由①可知，直线AB 恒过椭圆1C 的上顶点()0,1，不妨设点()0,1M ，易知点()0,1D -，设点()00,N x y ，则02x ≤，则01122222DMN S DM x =⋅≤⨯⨯=△， 当且仅当02x =±时，等号成立，因此，MDN △面积的最大值为2. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 21．已知函数()()ln 1sin f x a x x =+-．（1）若()f x 在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，求a 的取值范围；（2）证明：当1a =时，()f x 在,2π⎛⎫+∞⎪⎝⎭上有且仅有一个零点．【答案】（1）(],0-∞；（2）证明见解析.【分析】（1）将问题转化为()0f x '≤在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，即()1cos a x x ≤+在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立；令()()1cos g x x x =+，利用导数可求得()min 02g x g π⎛⎫== ⎪⎝⎭，由此可得a 的范围；（2）当1x e >-时，由()ln 1ln sin x e x +>≥可知()0f x >，将问题转化为证明()f x 在,12e π⎛-⎤⎥⎝⎦上有且仅有一个零点，利用导数可说明()f x 在,12e π⎛-⎤⎥⎝⎦上单调递增，结合零点存在定理可说明()f x 在,12e π⎛-⎤⎥⎝⎦上有且仅有一个零点，由此得到结论. 【详解】（1）由题意得：()cos 1af x x x '=-+， 若()f x 在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则()0f x '≤在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，()1cos a x x ∴≤+在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，令()()1cos g x x x =+，则()()cos 1sin g x x x x '=-+， 当,42x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()()cos 11tan g x x x x '=-+⎡⎤⎣⎦， 当,42x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，cos 0x ≥，11x +>，tan 1x >，()0g x '∴<， 又01sin 102222g ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=-+=-+< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0g x '<，()g x ∴在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，()1cos 0222g x g πππ⎛⎫⎛⎫∴≥=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()min 0a g x ∴≤=，即a 的取值范围为(],0-∞；（2）当1a =时，()()ln 1sin f x x x =+-，则()1cos 1f x x x '=-+， 当1x e >-时，()ln 1ln 1sin x e x +>=≥，()0f x ∴>在()1,e -+∞上恒成立，∴只需证()f x 在,12e π⎛-⎤⎥⎝⎦上有且仅有一个零点；1e π-<，∴当,12x e π⎛-⎤∈ ⎥⎝⎦时，cos 0x <，101x >+， ()0f x '∴>在,12e π⎛-⎤ ⎥⎝⎦上恒成立，()f x ∴在,12e π⎛-⎤⎥⎝⎦上单调递增，又ln 1sin ln 1102222f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()11sin 10f e e -=-->， ()f x ∴在,12e π⎛-⎤⎥⎝⎦上有且仅有一个零点，即()f x 在,2π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上有且仅有一个零点.【点睛】思路点睛：本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用函数在区间内的单调性求解参数范围、利用导数研究函数的零点个数；本题证明有且仅有一个零点的基本思路是通过导数求得函数的单调性，从而利用零点存在定理说明函数在区间内有且仅有一个零点.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为,,x y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）．以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()cos 0a a ρθ=>，直线l 与曲线C 有且仅有一个公共点：（1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）设A ，B 是曲线C 上的两点，且6AOB π∠=，求22O A OB +的取值范围．【答案】（1）直线l的普通方程是30x -=，曲线 C 的直角坐标方程是22224a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭；（2）44⎡-+⎣． 【分析】（1）分别将直线l 的参数方程、曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）根据直线l 与曲线C 有且仅有一个公共点求得2a =，设()1,A ρθ，2,6B πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，分别代入曲线 C 的极坐标方程，得到1ρ和2ρ，计算1222ρρ+的取值范围．【详解】（1）直线l的普通方程是30x -=，曲线 C 的直角坐标方程是22224a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭； （2）因为直线l 与曲线C 有且仅有一个公共点，所以圆心到直线的距离等于半径，则3222a a -= ，解得2a =， 如图，不妨设()1,A ρθ，2,6B πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭则12cos ρθ=，22cos 6πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭， 所以12222222224cos 4 cos 6OA OA O OB B πρρθθ⎛⎫=+=+=++⎪⎝+ ⎭3322cos 2sin 2423cos 2226πθθθ⎛⎫⎛⎫=+-=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭所以π572,666ππθ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭ 所以当π206θ+=，即12πθ=-，22 O A OB +最大值是423+， 当π2π6θ+=，即1π5π2612πθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 22 O A OB +最小值是423-， 所以22 O A OB +的取值范围为423,423⎡⎤-+⎣⎦【点睛】思路点睛：解决极坐标方程与参数方程的综合问题时，可将方程化为直角坐标方程，然后利用平面解析几何的方法求解，在极坐标系中，设极点为O ，若已知两点的极坐标分别为()11,A ρθ，2,6B πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则12222222 O A O O OB B A ρρ=++=+． 23．已知函数()96363x xf x x ++-=+．（1）求函数()f x 的值域．（2）已知函数()f x 的最小值等于m ，正实数a ，b ，c 满足a b c m ++=．证明：．【答案】（1）[)3,+∞；（2）证明见解析.【分析】（1）分别在(),3x ∈-∞-、23,3x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭、21,32x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭和1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭四种情况下，去掉绝对值符号得到()f x ，分别求得()f x 的范围，综合四种情况可得所求值域；（2）由（1）知3m =，配凑出()()()2229a b c +++++=，利用柯西不等式可证得结论.【详解】（1）由题意知：()f x 定义域为{}3x x ≠-；当(),3x ∈-∞-时，()96361534215333x x x f x x x x --+-+===---++， 30x +<，4203x ∴<+，()15f x ∴>； 当23,3x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()96361534215333x x x f x x x x --+---===-+++， 7033x <+<，42183x ∴>+，()3f x ∴>； 当21,32x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，()963639333x x x f x x x ++-+===++； 当1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，()96631534215333x x x f x x x x ++-+===-+++， 732x +≥，420123x ∴<≤+，()315f x ∴≤<； 综上所述：()f x 的值域为[)3,+∞；（2）由（1）知：3m =，3a b c ∴++=，()()()2229a b c ∴+++++=， 由柯西不等式可得： ()2222222111⎡⎤++++≥⎢⎥⎣⎦，即227≤（当且仅当a b c ==时取等号），≤【点睛】关键点点睛：本题考查含绝对值的函数值域的求解、不等式的证明；证明不等式的关键是能够配凑出符合柯西不等式的形式，进而利用柯西不等式直接证明结论.。
云南省曲靖市第一中学2021届高三上学期高考复习质量监测理科数学试题(三)(含答案解析)
11．在 中， 、 、 所对的边分别为 、 、 ， 的面积为 ， ， ，且满足 ，则该三角形的外接圆的半径 为（）
A． B． C． D．
12．已知函数 ，若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知 ________.
本题考查复数的运算以及模长，属于基础题.
2．A
【分析】
直接利本题考查了诱导公式化简，意在考查学生对于诱导公式的应用.
3．A
【分析】
由 得 ，进而得 ，故
【详解】
解：设该等差数列的公差为 ，
根据题中的条件可得 ，
即 ，得 ，
所以 .
故选：A.
4．B
【分析】
17．在 中，角 的对边分别为 ，若 ，且 .
（1）求角 的值；
（2）若 ，且 的面积为 ，求 边上的中线 的长.
18．已知向量 ， ，函数 .
（1）求函数 的最大值，并指出 取最大值时 的取值集合；
（2）若 ， 为锐角， ， ，求 的值.
19．已知数列 的前 项和为 ，且 .
（1）求数列 的通项公式；
【详解】
由 ，知 ，
，
图中阴影部分表示： ，又 ， ，
，
故选：C.
【点睛】
易错点睛：集合的表示法有很多种，列举法，描述法，图示法，自然语言等，在用描述法表示集合时，一定看清元素代表的意义；本题集合 元素代表是x，即求函数 的定义域，集合 元素代表是y，即求函数 的值域.
7．C
【分析】
首先观察图象，可知其关于原点对称，得到函数 为奇函数，从而排除A，D；之后再利用图象的变化趋势，可以排除B，得出正确选项.
云南省曲靖市第一中学2021届高三高考复习质量监测三数学(理科)试题
云南省曲靖市第一中学2019届高三高考复习质量监测三数学（理科）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题 1．已知集合{}210,2x A x B N x -=<=-，则A B ＝ A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1D ．{}1,0-2．设复数z 满是()123z i i -=+（其中i 为虚数单位），则iz 在复平面上对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知命题p ：若x ∈N ，则x ∈Z ，命题q ：x R ∃∈，21()03x -=，则下列命题为真命题的是( ) A ．()()p q ⌝∨⌝B ．()()p q ⌝∧⌝C ．()p q ⌝∧D ．p q ∧4．函数()33f x log x x 9=+-的零点所在区间是( )A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,45．为了得到2sin(3)14y x π=++的图象，只需把函数2sin(3)1y x =+的图象上所有的点 A ．向左平移4π个单位长度 B ．向右平移4π个单位长度 C ．向左平移12π个单位长度 D ．向右平移12π个单位长度6．命题“对[1,2]x ∀∈，20ax x a -+>”为真命题的一个充分不必要条件可以是（ ） A ．12a ≥B ．12a >C ．1a ≥D ．25a ≥7．已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可以是A ．()211f x x =-B ．()xe f x x=C ．()ln x f x x=D ．()1f x x x=-8．曲线ln 2(0)y a x a =->在1x =处的切线与两坐标轴成的三角形的面积为4，则a 的值为( ) AB ．2C ．4D ．89．已知sin 3cos 22cos sin αααα+=-，则2sin sin cos 1ααα++等于A ．115 B ．25C ．85D ．7510．知奇函数()f x 满足()()2f x f x =-，若当()1,1x ∈-时，())2log f x x =，且()20181f a -=，则实数a 的值可以是A ．34 B ．34-C ．54-D ．4511．已知函数()sin cos f x x x =⋅，则下列说法正确的是 A ．()f x 的图象关于直线4x π=对称B ．()f x 的周期为πC ．(2,0)π是()f x 的一个对称中心D ．()f x 在区间3[,]44ππ上单调递减12．已知函数()()(),xf x ex m m R =-∈，若对()2,3x ∀∈，使得()()0f x xf x '+>，则实数m 的取值范围为（ ） A ．15,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．15,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．8,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、填空题13．若函数()()()21142xf x a x log =++++为偶函数，则a ＝_______.14．若1sin()64πα+=，则cos(2)3πα+＝__________. 15．已知函数()f x 对12,x x R ∀∈，且12x x ≠，满足2112()()0f x f x x x -<-，并且()f x 的图象经过A (3,7)，B (1,1)-，则不等式()43f x -<的解集是_________.16．已知定义在R 上的函数()f x 满足：223,[0,1)()3,[1,0)x x f x x x ⎧+∈=⎨-∈-⎩，且(2)()f x f x +=，37()2x g x x +=+，则方程()()f x g x =在区间[5,1]-上的所有实根之和为______．三、解答题17．已知函数1010()1010x xx xm f x --+⋅=+为奇函数 （1）求m 的值（2）求使不等式(1)(12)0f a f a -+->成立的a 的取值范围 18．已知11sin(),cos()453πβαβ-=+=-，其中0,022ππαβ<<<<（1）求sin 2β的值 （2）求cos()4πα+的值19．已知函数2()sin cos f x x x x =-+（1）求函数()f x 的最小值以及取得最小值时x 的取值集合（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，且()0,6,2A f a b c ==+=△ABC 的面积20．已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体：在定义域内存在0x 使得()()()0011f x f x f +=+成立．（1）函数()21f x x=+是否属于集合M ？请说明理由； （2）函数()2ln 1af x x =∈+M ，求a 的取值范围； （3）设函数()23xf x x =+，证明：函数()f x ∈M ．21．已知函数()1ln 1xf x x+=+ （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若()()g x xf x mx =+在区间（0，e ］上的最大值为－3，求m 的值； （3）若x ≥1时，不等式()11kf x x ≥++恒成立，求实数k 的取值范围． 22．在平面直角坐标系x O y 中，曲线C 的参数方程为42(4x cos y sin ααα=+⎧⎨=⎩为参数），在以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()6R πθρ=∈．（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，P 为曲C 上的一动点，求△P AB 面积的最大值.23．设函数()2f x x a x =-+，其中a ＞0（1）当3a =时，求不等式()24f x x ≥+的解集； （2）若不等式()0f x ≤的解集为{}2x x ≤-，求a 的值。
2020年云南省曲靖市高考数学一模试卷(理科)(有解析)
2020年云南省曲靖市高考数学一模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|1≤x≤4}，B={x2≥9}，则A∩(∁R B)=()A. [3,4]B. (−3,4]C. [1,3)D. (−∞,−3]∪[1,+∞)2.复数z=i，复平面内z的对应点的坐标为()A. (0,1)B. (1,0)C. (0,0)D. (1,1)3.已知向量a⃗=(−1,2),b⃗ =(m,−1),c⃗=(3,−2),若(a⃗−b⃗ )⊥c⃗，则m的值是()A. 72B. −53C. −3D. 34.若a=log21.5,b=log20.1 , c=20.2，则()A. c<b<aB. b<c<aC. a<b<cD. b<a<c5.等差数列{a n}中，若a5=6，a3=2，则公差为()A. 2B. 1C. −2D. −16.5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C=Wlog2(1+SN)，它表示：在受高斯白噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内所传信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中SN叫做信噪比．按照香农公式，在不改变W的情况下，将信噪比SN从1999提升至λ，使得C：大约增加了20％，则λ的值约为()(参考数据：1g2≈0.3，103.96≈9120)A. 7596B. 9119C. 11584D. 144697.过抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点且斜率为1的直线与C相交于A，B两点，若|AB|=4，则抛物线C的方程为()A. y2=xB. y2=2xC. y2=4xD. y2=8x8.如图1是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为A1，A2，…，A14.如图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个程序框图.那么程序框图输出的结果是()A. 7B. 8C. 9D. 109.函数f(x)=xlg|x−1||x|的函数图象是()A. B.C. D.10.一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的外接球的表面积为()A. 4π3B. 4πC. 2π3D. 2π11.已知双曲线C1:x24−y2k=1与双曲线C2:x2k−y29=1有相同的离心率，则双曲线C1的渐近线方程为()A. y=±√32x B. y=±√62x C. y=±√34x D. y=±√64x12.已知函数f(x)=e x(sin x−a)有极值，则实数a的取值范围为()A. (−1,1)B. [−1,1]C. [−√2,√2]D. (−√2,√2)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知数列{a n }为等比数列．若a 1=2，且a 1，a 2，a 3−2成等差数列，则{a n }的前n 项和为____．14. (√x +1x )10的展开式中x 2的系数是______．15. 已知函数f(x)={2+x , −2≤x ≤0 ,12f(x −2) , 0<x ≤4.若函数y =f(x)−log 2(a −x)恰有两个零点，则实数a 的取值范围为______．16. 如图，在四面体ABCD 中，AB =CD =2，AC =BD =√3，AD =BC =√5，E,F 分别是AD,BC 的中点若用一个与直线EF 垂直，且与四面体的每个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积的最大值为 ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. “移动支付、高铁、网购、共享单车”被称为中国的“新四大发明”.为了帮助50岁以上的中老年人更快地适应“移动支付”，某机构通过网络组织50岁以上的中老年人学习移动支付相关知识．学习结束后，每人都进行限时答卷，得分都在[50,100]内．在这些答卷(有大量答卷)中，随机抽出200份，统计得分绘出频率分布直方图如图．(1)求出图中a 的值，并求样本中，答卷成绩在[80,90)上的人数；(2)以样本的频率为概率，从参加这次答卷的人群中，随机抽取4名，记成绩在80分以上(含80分)的人数为X ，求X 的分布列和期望．18.已知函数f(x)=cosx(√3sinx−cosx)．(1)求函数f(x)的最小正周期．(2)记△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且f(B)=1，a+c=1，求b的取值范2围．19.如图，四边形ABCD与四边形BDEF均为菱形，∠DAB=∠DBF=60∘，且FA=FC．(1)求证：平面ACF⊥平面ABCD;(2)求二面角A−FC−B的余弦值．20.已知函数f(x)=xlnx．(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(Ⅱ)求证：f(x)≥x −1．21. 椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0)的离心率为√32，长轴端点与短轴端点间的距离为√5． (1)求椭圆C 的方程；(2)过点D(0,4)的直线l 与椭圆C 交于E ，F 两点，O 为坐标原点，当∠EOF 为直角时，求直线l 的斜率．22. 在平面直角坐标系xOy 中，C 1:{x =1−t 21+t 2y =(1+t)21+t 2(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2:ρ=2√3cosθ，射线l ：θ=π6(ρ>0).(1)求C 1的极坐标方程；(2)若C 1与y 轴的交点为P(异于原点)，射线l 与C 1，C 2分别交于A ，B 两点，求△PAB 的面积．23.设函数f(x)=|2x−a|．(1)当a=3时，解不等式，f(x)<|x−2|．(2)若f(x)≤1的解集为[0,1]，1m +12n=a(m>0,n>0)，求证：m+2n≥4．【答案与解析】1.答案：C解析：解：B={x|x≤−3，或x≥3}；∴∁R B={x|−3<x<3}；∴A∩(∁R B)=[1,3)．故选：C．可求出集合B，然后进行交集、补集的运算即可．考查描述法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集、补集的运算．2.答案：A解析：本题考查了复数的代数表示及其几何意义，是基础题．根据复数的代数表示及其几何意义直接写出即可．解：复数z=i，复平面内z的对应点的坐标为(0,1)，故选A．3.答案：C解析：解：由题意知，a⃗=(−1,2),b⃗ =(m,−1)，∴a⃗−b⃗ =(−1−m,3)，∵(a⃗−b⃗ )⊥c⃗，c⃗=(3,−2)，∴−3(1+m)−6=0，解得m=−3，故选C．根据向量的减法运算，求出a⃗−b⃗ 的坐标，再由向量垂直的等价条件求出m的值．本题考查了向量的坐标运算和向量垂直的坐标等价条件，根据题意代入公式求解即可．4.答案：D解析：解：log20.1<log21.5<log22=1，20.2>20=1；∴b<a<c．故选：D．容易得出log20.1<log21.5<1,20.2>1，从而得出a，b，c的大小关系．考查对数函数、指数函数的单调性，以及增函数的定义．5.答案：A解析：解：∵a5=6，a3=2，则公差=a5−a32=6−22=2．故选：A．利用等差数列的通项公式及其性质即可得出．本题考查了等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.答案：B解析：解：由题意得：Wlog2(1+λ)−Wlog2(1+1999)Wlog2(1+1999)≈20%，则log2(1+λ)log22000≈1.2，1+λ≈20001.2，∵lg20001.2=1.2lg2000=1.2(lg2+3)≈1.2(0.3+3)=3.96，故20001.2≈103.96≈9120，∴λ≈9119，故选：B．由题意可得λ的方程，再由对数的运算性质求解即可．本题主要考查了函数模型的实际应用，以及对数的运算性质，是基础题．7.答案：B解析：本题考查了抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，考查直线与抛物线相交问题、焦点弦长问题、弦长公式，属于中档题．设直线AB的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系可得x A+x B.再利用弦长公式|AB|= x A+x B+p，得到p，即可求此抛物线的方程．解：抛物线y 2=2px 的焦点F(p 2,0)，∴直线AB 的方程为y =x −p 2，代入y 2=2px 可得4x 2−12px +p 2=0∴x A +x B =3p ，由抛物线的定义可知，|AB|=|AF|+|BF|=x A +x B +p =4p =4∴p =1，∴此抛物线的方程为y 2=2x ．故选：B ． 8.答案：D解析：解析：本题考查了本题考查了循环结构及茎叶图的认识．解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加14次考试成绩超过90分的人数；根据茎叶图的含义可得超过90分的人数为10个，故选D ．9.答案：A解析：解：函数的定义域为{x|x ≠0且x ≠1}，当x =3时，f(3)=3lg23=lg2>0，故排除D ；当x =−3时，f(−3)=−3lg43=−lg4<0，故排除C ； 当x =12时，f(12)=12lg 1212=lg 12<0，故排除B ； 故选：A ．取特殊值验证即可．本题考查函数图象的确定，考查数形结合思想，属于基础题．10.答案：B解析：解：由题意可知，几何体是三棱锥，底面等腰直角三角形的底边长为2，底面三角形的高为：1，棱锥的一条侧棱垂直底面的三角形的一个顶点，棱锥的高为：1．其外接球的球心是底面斜边的中点，故外接球的半径R=1，∴外接球的表面积S=4πR2=4π，故选：B．通过三视图，判断几何体的形状，利用三视图的数据，求出外接球的表面积，可得答案．本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，球的表面积公式，根据已知，求出球的直径(半径)是解答的关键．11.答案：B解析：解：双曲线C1：x24−y2k=1与双曲线C2：x2k−y29=1有相同的离心率，可得√4+k2=√k+9√k，解得k=6，双曲线C1：x24−y26=1的渐近线方程为：y=±√62x．故选：B．求出双曲线的离心率，得到k的方程求出k，然后求解双曲线C1的渐近线方程．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．12.答案：D解析：本题考查了函数单调性的运用求解参数问题，利用了导函数研究原函数的极值，属于中档题．利用导函数研究其单调性即可得答案．解：若函数f(x)=e x(sin x−a)有极值，则有根，因为e x>0，所以有根，因为，所以a∈[−√2,√2]，当a=√2时，f(x)单调递减，没有极值，当a=−√2时，f(x)单调递增，没有极值，所以实数a的取值范围为(−√2,√2)．13.答案：2n+1−2解析：本题考查等比数列求和，涉及等差中项的应用，属于基础题．由题意和等差数列的性质易得数列{a n}的公比q，然后由等比数列的求和公式可得答案．解：因为数列{a n}为等比数列，且a1=2，a1，a2，a3−2成等差数列，所以2a2=a1+a3−2=2+a3−2=a3，所以公比q=a3a2=2，所以{a n}的前n项和为2×(1−2n)1−2=2n+1−2．故答案为2n+1−2．14.答案：45解析：解：∵(√x+1x )10的展开式的通项公式为Tr+1=C10r⋅x10−3r2，令10−3r2=2，求得r=2，故展开式中x2的系数是C102=45，故答案为：45．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得x2的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．15.答案：(1,3]解析：本题考查了函数零点与函数图象的关系，考查函数解析式的求解，属于中档题．求出f(x)的解析式，做出f(x)的函数图象，令y=log2(a−x)与f(x)的图象有两个交点，列出不等式组解出a的范围．解：当0<x ≤2时，−2<x −2≤0，∴f(x)=12f(x −2)=12(2+x −2)=12x ，当2<x ≤4时，0<x −2≤2，∴f(x)=12f(x −2)=14(x −2)，作出y =f(x)的函数图象如图所示：∵函数y =f(x)−log 2(a −x)恰有两个零点，∴y =f(x)与y =log 2(a −x)的函数图象在[−2,4]上有两个交点．又y =log 2(a −x)是减函数，且与x 轴的交点横坐标为a −1，∴{0<log 2a ≤20<a −1≤2或{0<log 2a ≤2log 2(a −2)>12<a −1<4或{log 2a >20<log 2(a −2)≤12<a −1≤4， 解得1<a ≤3．故答案为：(1,3]．16.答案：√62解析：本题考查了四面体的特征以及平面得基本性质与应用. 将四面体补成长、宽、高分别为√3,√2,1的长方体，在长方体中可解决问题．：解：补成长、宽、高分别为√3,√2,1的长方体，，∴截面为平行四边形MNKL ，可得KL +KN =√5， 设异面直线BC 与AD 所成的角为θ，则，可得，，当且仅当NK =KL 时取等号，故答案为√62． 17.答案：解：(1)依题意，(2a +3a +7a +6a +2a )×10=1⇒a =0.005，故成绩在[80,90)上的频率为60a =0.3，答卷成绩的人数为200×0.3=60人，(2)由样本的频率分布直方图成绩在80分以上的频率为80a =25，由题得X ∼B (4,25)， 故P (X =0)=C 40(25)(35)4=81625,P (X =1)=C 41(25)(35)3=216625，P (X =2)=C 42(25)2(35)2=216625, P (X =3)=C 43(25)3(35)=96625,P (X =4)=C 44(25)0(35)4=16625，所以X 的分布列为X 的数学期望为E (X )=4×25=85．解析：本题考查频率分布直方图及离散型随机变量的期望和分布列问题，属于一般题．(1)利用频率分布直方图求a 和人数问题； (2)离散型随机变量求分布列和期望．18.答案：解：(1)∵函数f(x)=cosx(√3sinx −cosx)=√3sinxcosx −cos 2x =√32sin2x −12cos2x −12=sin(2x −π6)−12， ∵ω=2，∴T =π；(2)∵f(B)=12， ∴sin(2B −π6)=1，∵B 为三角形内角，∴2B −π6=π2，即B =π3，由b 2=a 2+c 2−2accosB,a +c =1,cosB =12，得b 2=3(a −12)2+14，又a +c =1，则0<a <1，∴14≤b 2<1，即b ∈[12,1)．解析：(1)根据倍角公式和和差角(辅助角)公式，将函数解析式化为正弦型函数的形式，进而根据ω=2，得到函数f(x)的最小正周期．(2)由f(B)=12，可得B =π3，结合a +c =1及余弦定理，结合二次函数的图象和性质，得到b 的取值范围．本题考查的知识点是正弦型函数的图象与性质，余弦定理，其中利用倍角公式和和差角(辅助角)公式，将函数解析式化为正弦型函数的形式，是解答的关键． 19.答案：(1)证明：AC 与BD 交于点O ，连接FO 、FD ，∵FA =FC ，O 是AC 中点，且O 是BD 中点，∴FO ⊥AC ，∵四边形BDEF 为菱形，∠DBF =60°， ∴FD =FB ，∴FO ⊥BD ，又AC ∩BD =O ，AC ⊂平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴FO ⊥平面ABCD ，∵FO ⊂平面ACF ，∴平面ACF ⊥平面ABCD ．(2)解：易知OA ，OB ，OF 两两垂直，以O 为原点，OA 、OB 、OF 分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AB =2，∵四边形ABCD 为菱形，∠DAB =60°， 则BD =2，∴OB =1，OA =OF =√3，故O(0,0，0)，B(0,1，0)，C(−√3,0,0)，F(0,0,√3)，∴CF⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,0,√3)，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,0)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0)， 设平面BFC 的一个法向量为n⃗ =(x,y,z)， 则{n ⃗ ⋅CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3x +√3z =0n ⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ =√3x +y =0，取x =1，得n ⃗ =(1,−√3,−1)， 显然，OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0)为平面ACF 的一个法向量， ∴cos <OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=−√155， 由图知，二面角A −FC −B 的平面角为锐角，∴二面角A −FC −B 的余弦值为√155．解析：(1)AC 与BD 交于点O ，连接FO 、FD ，证明FO ⊥AC ，FO ⊥BD ，推出FO ⊥平面ABCD ，然后证明平面ACF ⊥平面ABCD ．(2)以O 为原点，OA 、OB 、OF 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，求出平面BFC 的一个法向量，平面ACF 的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角A −FC −B 得余弦值即可．本题考查直线与平面垂直，平面与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．20.答案：(Ⅰ)解：设切线的斜率为k ，f′(x)=lnx +1，k =f′(1)=ln1+1=1因为f(1)=1⋅ln1=0，切点为(1,0)．切线方程为y −0=1⋅(x −1)，化简得：y =x −1．(Ⅱ)证明：要证：f(x)≥x −1只需证明：g(x)=xlnx −x +1≥0在(0,+∞)恒成立，g′(x)=lnx +1−1=lnx当x ∈(0,1)时f′(x)<0，f(x)在(0,1)上单调递减；当x ∈(1,+∞)时f′(x)>0，f(x)在(1,+∞)上单调递增；当x =1时g(x)min =g(1)=1⋅ln1−1+1=0g(x)=xlnx −x +1≥0在(0,+∞)恒成立 所以f(x)≥x −1．解析：(Ⅰ)设切线的斜率为k ，利用导数求解切线斜率，然后求解切线方程．(Ⅱ)要证：f(x)≥x −1，需证明：g(x)=xlnx −x +1≥0在(0,+∞)恒成立，利用函数的导数，通过函数的单调性以及函数的最值，证明即可本题考查切线方程的求法，函数的最值以及函数的单调性的应用，考查分析问题解决问题的能力．21.答案：解：(1)由已知c a =√32，a 2+b 2=5，又a 2=b 2+c 2，解得a 2=4，b 2=1，所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1.(4分)(2)根据题意，过点D(0,4)满足题意的直线斜率存在，设l ：y =kx +4，联立，{x 24+y 2=1 y =kx +4，消去y 得(1+4k 2)x 2+32kx +60=0， △=(32k)2−240(1+4k 2)=64k 2−240，令△>0，解得k 2>154.(6分) 设E ，F 两点的坐标分别为(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，则x 1+x 2=−32k 1+4k 2 , x 1x 2=601+4k 2，(8分)因为∠EOF 为直角，所以OE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 即x 1x 2+y 1y 2=0，所以(1+k 2)x 1x 2+4k(x 1+x 2)+16=0，(10分)所以15×(1+k 2)1+4k 2−32k 21+4k 2+4=0，解得k =±√19.(12分)解析：(1)利用椭圆的离心率，以及长轴端点与短轴端点间的距离为√5，求出a ，b ，得到椭圆方程．(2)设l ：y =kx +4，联立，{x 24+y 2=1 y =kx +4，消去y 得(1+4k 2)x 2+32kx +60=0，令△>0，设E ，F 两点的坐标分别为(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，利用韦达定理，转化求解即可．本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力． 22.答案：解：(1)由题意，曲线C 1：{x =1−t 21+t 2y =(1+t)21+t 2(t 为参数)， 由x =1−t 21+t 2，可得x =21+t 2−1∈(−1,1]， 又由y =(1+t)21+t 2，可得y −1=2t 1+t 2，所以y ∈[0,2]， 所以x 2+(y −1)2=(1−t 2)2(1+t 2)2+4t 2(1+t 2)2=1，即x 2+(y −1)2=1，又由x =ρcosθ，y =ρsinθ，可得ρ2cos 2θ+(ρsinθ−1)2=1⇒ρ=2sinθ(除外)， (2)射线l ：θ=π6(ρ>0)，C 1与y 轴的交点为，当θ=π6时，，，又点P到射线l的距离为√3，所以S△PAB=S△OPB−S△OPA=12×√3(ρA−ρB)=√3，即△PAB的面积为√3．解析：本题考查参数方程与普通方程，以及直角坐标方程与极坐标方程的互化，以及极坐标方程的应用，考查分析问题和解答问题的能力，属于中档题．(1)消去参数求得曲线C1的直角坐标方程为x2+(y−1)2=1，x∈(−1,1]，再结合极坐标与直角坐标的互化公式，即可求解；(2)当θ=π6时，ρA=1，ρB=3，再由S△PAB=S△OPB−S△OPA，即可求解．23.答案：解：(1)当a=3时，不等式变形为|2x−3|<|x−2|，两边平方整理得3x2−8x+5<0，解得1<x<53，所以不等式的解集为{x|1<x<53}(2)证明：由f(x)≤1，得a−12≤x≤a+12，由f(x)≤1的解集为[0,1]，可得a−12=0，a+12=1，解得a=1，则1m +12n=1，所以m+2n=(1m +12n)(m+2n)=2+2nm +m2n≥2+2√2nm⋅m2n=4，当且仅当m=2n=2，取得等号．解析：本题考查绝对值不等式的解法，注意运用两边平方的方法；同时考查不等式的证明，注意运用乘1法和基本不等式，属于中档题．(1)对不等式两边平方、整理，再由二次不等式的解法即可得到；(2)求出f(x)≤1的解集，由题意解得a=1，即1m +12n=1，再运用乘1法和基本不等式即可得证．。
云南省曲靖市环城第一中学2020-2021学年高三数学理联考试题含解析
云南省曲靖市环城第一中学2020-2021学年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为()A. B. C. 8 D.参考答案：A2. 已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A．8 B．C． D．参考答案：C3. 若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小正值是（）．A．B．C．D．参考答案：A把该函数的图象右移个单位，所得图象对应的函数解析式为：，又所得图象关于轴对称，则，，∴当时，有最小正值是．故选．4. 函数f（x）=|x﹣2|﹣lnx在定义域内零点可能落在下列哪个区间内( )A．（0，1）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，5）参考答案：C考点：函数零点的判定定理．专题：计算题．分析：欲求函数的零点所在的区间，根据所给的函数的解析式，把区间的端点代入函数的解析式进行验算，得到函数的值同0进行比较，在判断出区间两个端点的乘积是否小于0，从而得到结论．解答：解：∵函数f（x）=|x﹣2|﹣lnxf（1）=1＞0，f（2）=﹣ln2＜0f（3）=1﹣ln3＜0，f（4）=2﹣ln4＞0f（5）=3﹣ln5＞0∴f（1）f（2）＜0，f（3）f（4）＜0∴函数的零点在（1，2），（3，4）上，故选C．点评：本题考查函数的零点的判定定理，本题解题的关键是做出区间的两个端点的函数值，本题是一个基础题5. 设圆锥曲线r的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r上存在点P满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|=4：3：2，则曲线r的离心率等于( )A．B．或2 C． 2 D．参考答案：A【考点】圆锥曲线的共同特征．【专题】计算题；压轴题．【分析】根据题意可设出|PF1|，|F1F2|和|PF2|，然后分曲线为椭圆和双曲线两种情况，分别利用定义表示出a和c，则离心率可得．【解答】解：依题意设|PF1|=4t，|F1F2|=3t，|PF2|=2t，若曲线为椭圆则2a=|PF1|+|PF2|=6t，c=t则e==，若曲线为双曲线则，2a=4t﹣2t=2t，a=t，c=t∴e==故选A【点评】本题主要考查了圆锥曲线的共同特征．关键是利用圆锥曲线的定义来解决．6. 有一个几何体的正视图、侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．48πB．36πC．24πD．12π参考答案：C【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个圆锥，代入圆锥表面积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个圆锥，底面直径为6，底面半径r=3，母线长l=5，故其表面积S=πr（r+l）=24π，故选：C．7. 已知集合，则等于A. B. C. D.参考答案：A8. 函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是A. B. C. D.参考答案：C9. 设点P是双曲线上一点，，，，，则（）A．2 B．C．3 D．参考答案：C由于,所以,故,由于,解得,故选C.10. 高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的（）A ．B ．C ．D ．参考答案：C【考点】由三视图求面积、体积．【分析】剩余几何体为四棱锥，分别计算出三棱柱和剩余几何体的体积． 【解答】解：由俯视图可知三棱柱的底面积为=2，∴原直三棱柱的体积为2×4=8．由剩余几何体的直观图可知剩余几何体为四棱锥，四棱锥的底面为侧视图梯形的面积=6，由俯视图可知四棱锥的高为2，∴四棱锥的体积为=4．∴该几何体体积与原三棱柱的体积比为．故选C ．二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若=，则q= ．参考答案：﹣考点：等比数列的前n 项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意易得q 5===﹣，解方程可得q解答： 解：∵等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且=，∴==﹣，∴q 5=﹣，解得q=﹣故答案为：﹣点评：本题考查等比数列的前n 项和，属基础题． 12. 已知正项等比数列{}的前n 项和为S n ，且，则S 10= ______参考答案：102313. 在一次招聘口试中，每位考生都要在5道备选试题中随机抽出3道题回答，答对其中2道题即为及格，若一位考生只会答5道题中的3道题，则这位考生能够及格的概率为 .参考答案：14. 如图，AB 是圆的直径，弦CD 与AB 相交于点E ，BE =2AE =2，BD =ED ，则线段CE 的长为__________.参考答案：试题分析：设，则由相交弦定理得，，又，所以，因为是直径，则，，在圆中，则，即，解得15. 从集合中随机取一个数，从集合中随机取一个数，则“事件”发生的概率是___________．参考答案：16. 数列{a n}中，a n＝2n－1，现将{a n}中的项依原顺序按第k组有2k项的要求进行分组：（1，3），（5，7，9，11），（13，15，17，19，21，23），…，则第n组中各数的和为．参考答案：4n3设数列{a n}前n项和为S n，则S n＝n2，因为2＋4＋…＋2n＝n( n＋1)＝n2＋n，2＋4＋…＋2( n－1)＝n( n－1)＝n2－n．所以第n组中各数的和＝S n2＋n－S n2－n＝( n2＋n)2－(n2－n)2＝4n3．【说明】考查等差数列前n项和．17. 某驾驶员喝了m升酒后，血液中的酒精含量（毫克/毫升）随时间（小时）变化的规律近似满足表达式．《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》规定：驾驶员血液中酒精含量不得超过0.02毫克/毫升．此驾驶员至少要过小时后才能开车（不足1小时部分算1小时，结果精确到1小时）．参考答案：4略三、解答题：本大题共5小题，共72分。
云南省曲靖市2019-2020学年高三年级第一次教学质量检测数学理科试题
曲靖市2019-2020学年高三年级第一次教学质量监测数学（理科）试题卷（满分150分，考试用时120分钟）注意事项：1、本卷满分150分，考试时间为120分钟.答题前，先将自己的姓名、准考证号等信息填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡的指定位置.2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域无效.3、非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域无效.4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑.答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域无效.5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设{}1A x x =>，{}220B x x x =--<，则()R C A B ⋂=（ ） A. {}1x x >- B. {}11x x -<≤ C. {}11x x -<< D. {}12x x <<2.已知复数z 满足(1)||i z i +=，其中i 为虚数单位，则复数z 在复平面内对应点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3.已知向量1a =r ，1(,)2b m =r ，若()()a b a b +⊥-r r r r ，则实数m 的值为（ ）A. 12±B.C. 12D. ± 4.设0.61.1 1.1log 0.5,log 0.6, 1.1a b c ===，则（ ）A. a b c <<B. b c a <<C. c a b <<D. b a c <<5.我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤”，若该金锤从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，该金锤共重多少斤？（ ）A. 6斤B. 7斤C. 9斤D. 15斤6.设光线通过一块玻璃，强度损失10%、如果光线原来的强度为()0k k >，通过x 块这样的玻璃以后强度为y ，则()*0.9x y k x N =⋅∈，那么光线强度减弱到原来的14以下时，至少通过这样的玻璃块数为（ ）（参考数据：1g20.3011g30.477≈≈）A. 12B. 13C. 14D. 157.已知F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，过点F 且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，则||FA|﹣|FB||的值等于（ ）A. B. 8C. D. 4 8.图1是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号的同学的成绩依次为1A ，216,,A A ⋯，图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生情况的程序框图，那么该程序框图输出的结果是（ ） A 10B. 6C. 7D. 16 9.函数ln ||()x f x x =的大致图象是（ ） A. B. C. D.10.如图是某个四面体的三视图，若在该四面体的外接球内任取一点，则点落在四面体内的概率为（ ）A. 913πB. 113πC. 169πD. 169π11.已知双曲线2222:1(0,0)x y M a b a b-=>>的渐近线均和圆22:650N x y x +-+=相切，且双曲线M 的右焦点为圆N 的圆心，则双曲线M 的离心率为（ ）A. 5B. 32C.D. 12.已知函数2()2x a g x e x =-有两个不同极值点，则实数a 取值范围是（ ） A. ()0,e B. (),e +∞ C. 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且14a ，22a ，3a 成等差数列,若11a =，则4S =____________.14.若关于x 的二项式72a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中一次项的系数是70-，则a =__________． 15.已知函数sin ,0()x x x f x x ππ<<⎧⎪=≥与()y kx k R =∈的图像有三个不同交点，则实数k 的取值区间为________________.16.如图，在四面体ABCD 中，3,34AB CD AD BD AC BC ======，，用平行于,AB CD 的平面截此四面体，得到截面四边形EFGH ，则该四边形EFGH 面积的最大值为______的三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.某市在开展创建“全国文明城市”活动中，工作有序扎实，成效显著，尤其是城市环境卫生大为改观，深得市民好评.“创文”过程中，某网站推出了关于环境治理和保护问题情况的问卷调查，现从参与问卷调查的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[)15,25，第2组[)25,35，第3组[)35,45，第4组[)45,55，第5组[)55,65，得到的频率分布直方图如图所示.（1）求出a 的值；（2）若已从年龄较小的第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，现要再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，设第2组抽到ξ人，求随机变量ξ的分布列及数学期望()E ξ.18.已知函数()2cos sin 3f x x x t π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的最大值为1． （1）求t 的值；（2）已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为a b c 、、，若a =三角形ABC ∆且()f A =，求b c +的值．19.如图，菱形ABCD 与正三角形BCE 边长均为2，它们所在平面互相垂直，FD ⊥平面ABCD ，EF P平面ABCD ．（1）求证：平面ACF ⊥平面BDF ；（2）若60CBA ∠=︒，求二面角A BC F --的大小．20.已知函数()x f x ae =，()ln ln g x x a =-，其中a 为常数，e 是自然对数底数， 2.72e ≈，曲线()y f x =在其与y 轴的交点处的切线记作1l ，曲线()y g x =在其与x 轴的交点处的切线记作2l ，且12l l //. （1）求12,l l 之间的距离；（2）对于函数()f x 和()g x 公共定义域中的任意实数0x ，称()()00f x g x -的值为函数()f x 和()g x 在0x 处的偏差.求证：函数()f x 和()g x 在其公共定义域内的所有偏差都大于2.21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴是短轴的两倍，以短轴一个顶点和长轴一个顶点为端点的线，直线l 与椭圆C 交于()()1122,,,A x y B x y 两点，其中直线l 不过原点. （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线,,OA l OB 的斜率分别为12,,k k k ，其中0k >且212k k k =.记OAB V 的面积为S .分别以,OA OB 为直径的圆的面积依次为12,S S ，求12S S S+的最小值. 请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题，如果多做，则按所做的第一题计分.22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点为极点，以x 的的的轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线C 的极坐标方程为ρθ=-. （1）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；（2）设点(1,P ，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求22||||PA PB +的值. 23.已知函数()()211f x x a x a R =-+--∈的一个零点为1．()1求不等式()1f x ≤的解集；()2若12(0,1)1a m n m n +=>>-，求证：211m n +≥．。
2020-2021学年高三数学（理科）第一次高考模拟考试试题及答案解析
2020-2021学年⾼三数学（理科）第⼀次⾼考模拟考试试题及答案解析@学⽆⽌境！@绝密★启⽤前试卷类型：A 最新第⼀次⾼考模拟考试数学试卷（理科）本试卷分选择题和⾮选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1．答卷前，考⽣要务必填写答题卷上的有关项⽬。
2．选择题每⼩题选出答案后，⽤2B 铅笔把答案填在答题卡相应的位置上。
3．⾮选择题必须⽤⿊⾊字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题⽬指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使⽤铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案⽆效。
4．考⽣必须保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷交回。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）⼀.选择题：本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的. 1.复数i215-（i为虚数单位）的虚部是（）A. 2iB. 2i -C. 2-D. 22. 下列函数在其定义域上既是奇函数⼜是减函数的是（）A ．()2x f x =B ．()sin f x x x =C ．1()f x x =D ．()||f x x x =- 3.已知()=-παcos 12，πα-<<，则tan α=（）A.B.C. D.4.设双曲线2214y x -=上的点P到点的距离为6，则P点到(0,的距离是（）@学⽆⽌境！@A ．2或10 B.10 C.2 D.4或85. 下列有关命题说法正确的是（）A. 命题p ：“sin +cos =2x x x ?∈R ，”，则?p 是真命题 B ．21560x x x =---=“”是“”的必要不充分条件 C ．命题2,10x x x ?∈++的否定是：“210x x x ?∈++D ．“1>a ”是“()log (01)(0)a f x x a a =>≠+∞，在，上为增函数”的充要条件6. 将函数-=32sin )(πx x f 的图像向右平移3π个单位得到函数)(x g 的图像,则)(x g 的⼀条对称轴⽅程可以为（） A. 43π=x B. 76x π= C. 127π=x D. 12π=x 7．2015年⾼中⽣技能⼤赛中三所学校分别有3名、2名、1名学⽣获奖，这6名学⽣要排成⼀排合影，则同校学⽣排在⼀起的概率是（）A ．130 B ．115 C ．110 D ．158．执⾏如图8的程序框图，若输出S 的值是12，则a 的值可以为（）A ．2014B ．2015C ．2016D ．20179．若某⼏何体的三视图(单位：cm )如图所⽰，则该⼏何体的体积（）A.310cmB.320cmC.330cmD.340cm10．若nx x ??? ?-321的展开式中存在常数项，则n 可以为（） A ．8 9 C ．10 D. 11 11．=∠=?==?C CA A B CA BC ABC 则中在,60,6,8, （）A ．?60B ．C ．?150D ．?120 12. 形如)0,0(||>>-=b c cx by 的函数因其图像类似于汉字中的“囧”字，故我们把其⽣动地称为“囧函数”．若函数()()2log 1a f x x x =++)1,0(≠>a a 有最⼩值，则当,c b 的值分别为⽅程222220x y x y +--+=中的,x y 时的“囧函数”与函数||log x y a =的图像交点个数为（）．A ．1B ．2C ．4D ．6第Ⅱ卷（⾮选择题，共90分）⼆.填空题：本⼤题共4⼩题，每⼩题 5分，共20分.13．⼀个长⽅体⾼为5，底⾯长⽅形对⾓线长为12，则它外接球的表⾯积为@学⽆⽌境！@14．如图，探照灯反射镜的纵截⾯是抛物线的⼀部分，光源在抛物线的焦点F 处，灯⼝直径AB 为60cm ，灯深（顶点O 到反射镜距离）40cm ，则光源F 到反射镜顶点O 的距离为15.已知点()y x P ,的坐标满⾜条件>-+≤≤02221y x y x ，那么()221y x ++的取值范围为 16．CD CB AD AC AD AB ，AB D ABC 3,,3,===?且的⼀个三等分点为中在，则B cos =三.解答题：本⼤题共5⼩题，每题12分共60分.解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤.17．（本⼩题满分12分）已知{}n b 为单调递增的等差数列，168,266583==+b b b b ,设数列{}n a 满⾜n b n n a a a a 2222233221=++++(1)求数列{}n b 的通项； (2)求数列{}n a 的前n 项和n S 。
2020-2021学年云南省曲靖市沾益县大坡乡第三中学高三数学理联考试题含解析
2020-2021学年云南省曲靖市沾益县大坡乡第三中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如右图，直四棱柱的底面是矩形, 且,,，以为圆心，为半径在侧面上画弧，当半径的端点完整地划过时，半径扫过的轨迹形成的曲面的面积为( ).....参考答案：D2. 设集合S={A0，A1，A2，A3，A4}，在S上定义运算为：，其中，那么满足条件的有序数对（i，j）共的（）A．8对B．10对C．12对D．14对参考答案：C3. 《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为（）A．4 B．C．D．2参考答案：B【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的三棱柱，代入棱柱表面积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的三棱柱，底面面积为：×2×1=1，底面周长为：2+2×=2+2，故棱柱的表面积S=2×1+2×（2+2）=6+4，故选：B．4. 某校航模小组在一个棱长为6米的正方体房间试飞一种新型模型飞机,为保证模型飞机安全,模型飞机在飞行过程中要始终保持与天花板、地面和四周墙壁的距离均大于1米,则模型飞机“安全飞行”的概率为A. B. C. D.参考答案：D5. 已知向量与的夹角为120°，且，，若，且，则实数λ的值为（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据向量数量积的公式，结合向量垂直的关系即可得到结论．【解答】解：∵向量与的夹角为120°，且，，∴=cos120°=1×2×（﹣）=﹣1，∵，且，∴=（）?（）=0，即，∴﹣1+4λ﹣（1﹣λ）=0，解得λ=．故选：C．6. 已知函数，若互不相等，且,则的取值范围是（）A．（1,10） B．（5,6） C．（10,12） D．（20,24）参考答案：C略7. 若存在正常数a，b，使得?x∈R有f（x+a）≤f（x）+b恒成立，则称f（x）为“限增函数”．给出下列三个函数：①f（x）=x2+x+1；②；③f（x）=sin（x2），其中是“限增函数”的是（）A．①②③B．②③C．①③D．③参考答案：B【考点】2H：全称命题．【分析】假设各函数为“限增函数”，根据定义推导f（x+a）≤f（x）+b恒成立的条件，判断a，b 的存在性即可得出答案．【解答】解：对于①，f（x+a）≤f（x）+b可化为：（x+a）2+（x+a）+1≤x2+x+1+b，即2ax≤﹣a2﹣a+b，即x≤对一切x∈R均成立，由函数的定义域为R，故不存在满足条件的正常数a、b，故f（x）=x2+x+1不是“限增函数”；对于②，若f（x）=是“限增函数”，则f（x+a）≤f（x）+b可化为：≤+b，∴|x+a|≤|x|+b2+2b恒成立，又|x+a|≤|x|+a，∴|x|+a≤|x|+b2+2b，∴≥，显然当a＜b2时式子恒成立，∴f（x）=是“限增函数”；对于③，∵﹣1≤f（x）=sin（x2）≤1，∴f（x+a）﹣f（x）≤2，∴当b≥2时，a为任意正数，使f（x+a）≤f（x）+b恒成立，故f（x）=sin（x2）是“限增函数”．故选B．8. 已知定义在区间上的函数的图像关于直线对称，当时，，如果关于的方程有解，记所有解的和为S, 则S不可能为A B C D参考答案：B略9. 函数满足：对一切,．且，当时,．则的值为（）A. B. C. D.参考答案：C【分析】由平方有,从而有,代入可得函数的周期性,再利用周期性将中2019代换到合适的定义域进行函数值求解即可．【详解】∵满足：对一切,．且,∴,从而有；两式相减,得；∵∴；∴是以2为周期的函数,∴；故选：C．【点睛】本题考查函数的周期性,函数关系的递推的应用,属于中档题．10. （5分）（2015?青岛一模）设全集I=R，集合A={y|y=log2x，x＞2}，B={x|y=}，则（）A． A?B B．A∪B=A C．A∩B=? D．A∩（?I B）≠?参考答案：A【考点】：集合的包含关系判断及应用．【专题】：计算题；集合．【分析】：化简集合A，B，即可得出结论．解：由题意，A={y|y=log2x，x＞2}=（1，+∞），B={x|y=}=[1，+∞），∴A?B，故选：A．【点评】：本题考查集合的包含关系判断及应用，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 连掷两次骰子得到的点数分别为和,若记向量与向量的夹角为,则为锐角的概率是. 参考答案：试题分析：连掷两次骰子得到的点数分别为和，共有，其中满足向量与向量的夹角为锐角，即，即可能为共6个基本事件，所以为锐角的概率是；故填．考点：1.古典概型；2.平面向量的夹角．12. 在锐角中，角的对边分别是，若的面积为，则；参考答案：13. 设不等式组，表示的平面区域为D，若函数y=log a x（a＞1）的图象上存在区域D上的点，则实数a的取值范围是．参考答案：[3，+∞）【考点】4H：对数的运算性质．【分析】如图所示，不等式组，表示的平面区域为D，联立，解得A（3，1）．根据函数y=log a x（a＞1）的图象上存在区域D上的点，可得经过点A时，a取得最小值，可得a．【解答】解：如图所示，不等式组，表示的平面区域为D，联立，解得，∴A（3，1）．∵函数y=log a x（a＞1）的图象上存在区域D上的点，∴经过点A时，a取得最小值，1=log a3，解得a=3．则实数a的取值范围是[3，+∞）．故答案为：[3，+∞）．14. 已知x ，y 满足，若目标函数z=3x+y 的最大值为10，则m的值为 ．参考答案：5【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据z 的几何意义，利用数形结合即可得到m 的值．然后即可得到结论．【解答】解：不等式组对应的平面区域如图： 由z=3x+y 得y=﹣3x+z平移直线y=﹣3x+z ，则由图象可知当直线y=﹣3x+z 经过点C 时，直线y=﹣3x+z 的截距最大，此时z 最大，为3x+y=10由，解得，即C （3，1），此时C 在2x ﹣y ﹣m=0上， 则m=5． 故答案为：5．15. =参考答案： 1略16. 若幂函数的图象经过点，则该函数在点A 处的切线方程为 ． 参考答案：17. 在△ABC 中，a=3，c=，cosC=，则sinA= ，若b ＜a ，则b= ．参考答案：，3【考点】正弦定理．【分析】由同角三角函数基本关系式可求sinC ，由正弦定理可得sinA ，可求cosA=±，分类讨论，当cosA=时，可求cosB=﹣＜0，与b ＜a ，B 为锐角，矛盾，舍去，从而利用两角和的余弦函数公式可求cosB ，求得sinB ，利用由正弦定理可得b 的值． 【解答】解：∵a=3，c=，cosC=，∴sinC==，∴由正弦定理可得：sinA===，可得：cosA==±，∴当cosA=时，cosB=﹣cos（A+C）=sinAsinC﹣cosAcosC=﹣×=﹣＜0，由于b＜a，B为锐角，矛盾，舍去，∴cosA=﹣，cosB=﹣cos（A+C）=sinAsinC﹣cosAcosC=﹣（﹣）×=，可得：sinB==，∴由正弦定理可得：b===3．故答案为：，3．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
云南省曲靖市阿鲁中学2020-2021学年高三数学理模拟试题含解析
云南省曲靖市阿鲁中学2020-2021学年高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 计算的结果是（）A、B、C、D、参考答案：A2. 如图，一个简单几何体的三视图其主视图与俯视图分别是边长2的正三角形和正方形，则其体积是（）A. B. C. D.参考答案：C3. 设i为虚数单位，若是纯虚数，则a的值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2参考答案：C【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，再根据已知条件计算得答案．【解答】解：，∵z是纯虚数，∴，解得a=1．故选：C．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．4. 直线与直线互相垂直，则a的值为（）A．-2 B．-1 C．1 D．2参考答案：C5. 如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则此几何体的体积为（）（A）（B）2 （C）4 （D）参考答案：A由题意知，根据给定的三视图可知，该几何体为一个三棱锥，其底面面积为，三棱锥的高为2，所以此几何体的体积为，故选A.6. 已知圆与抛物线的准线交于A，B两点，且，则圆C的面积为( A)5 (B)9(C)16 (D)25参考答案：【知识点】直线与圆 H4D解析:由题可知抛物线的准线方程为，圆心坐标为，所以圆心到弦AB的距离为3，弦的一半为4，所以圆的半径为5，所以圆的面积为.【思路点拨】由直线与圆的位置关系可求出半径，只需要利用抛物线的准线方程即可.7. 若直线始终平分圆的周长，则的取值范围是(A)(B)(C)(D)参考答案：D8. 在△ABC中，AB=5，BC=7，AC=8，则的值为（）A．79 B．69 C．5 D．﹣5参考答案：D【考点】余弦定理；平面向量数量积的含义与物理意义．【分析】由三角形的三边，利用余弦定理求出cosB的值，然后利用平面向量的数量积的运算法则表示出所求向量的数量积，利用诱导公式化简后，将各自的值代入即可求出值．【解答】解：由AB=5，BC=7，AC=8，根据余弦定理得：cosB==，又||=5，||=7，则=||?||cos（π﹣B）=﹣||?||cosB=﹣5×7×=﹣5．故选D【点评】此题考查了余弦定理，以及平面向量数量积的运算．注意与的夹角是π﹣B，而不是B，学生做题时容易出错．9. 已知，则（）A． B． C． D．参考答案：C略10. 已知集合A={x|﹣2＜x＜2}，集合B={x|1＜x＜3}，则A∩B=（）B11. 已知函数的图象的一部分如下图所示，当时,则函数的最大值是____________参考答案：12. 如果直线y = x+a与圆有公共点，则实数的取值范围是。
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3．已知平面向量 满足 ， ，若 ，则实数m等于（）
A． B． C． D．
4．设 ，则（）
A． B． C． D．
5．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤”，若该金锤从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，该金锤共重多少斤？（ ）
23．已知函数 的一个零点为1．
求不等式 的解集；
若 ，求证： ．
参考答案
1．B
【分析】
化简集合 ，求出 ，利用交集的定义运算即可．
【详解】
，
则
故选：B
【点睛】
本题考查集合的交并补运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题．
2．D
【分析】
把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【详解】
【详解】
因为每一尺的重量构成等差数列 ， ， ，
，
数列的前5项和为 ．
即金锤共重15斤，
故选D．
【点睛】
本题主要考查等差数列求和公式的应用，意在考查运用所学知识解答实际问题的能力，属于基础题.
6．C
【分析】
推导出 ，从而 ，由此能求出结果．
【详解】
解：光线通过一块玻璃，强度要损失 ．设光线原来的强度为 ，通过 块这样的玻璃以后强度为 ，
（2）对于函数 和 的公共定义域中的任意实数 ，称 的值为函数 和 在 处的偏差.求证：函数 和 在其公共定义域内的所有偏差都大于2.
21．已知椭圆 的长轴是短轴的两倍，以短轴一个顶点和长轴一个顶点为端点的线段作直径的圆的周长等于 ，直线l与椭圆C交于 两点，其中直线l不过原点.
（1）求椭圆C的方程；
4．A
【解析】
【分析】
先利用函数的单调性比较 与 的大小，再利用中间量比较 与 、 大小．
【详解】
解：因为对数函数 在区间 上单调递增，且 ，
所以 ，
又 即 ，
所以 ，
故选：A.
【点睛】
本题考察比较大小，属基础题，比较三者的大小时常用中间量 、 法，属于基础题．
5．D
【分析】
直接利用等差数列的求和公式求解即可.
A． B．8C． D．4
8．图1是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号的同学的成绩依次为 ， ，图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生情况的程序框图，那么该程序框图输出的结果是（ ）
A．10B．6C．7D．16
9．函数 的大致图象是（）
A． B． C． D．
10．如图是某个四面体的三视图，若在该四面体的外接球内任取一点，则点落在四面体内的概率为（）
（2）设直线 的斜率分别为 ，其中 且 .记 的面积为S.分别以 为直径的圆的面积依次为 ，求 的最小值.
22．在平面直角坐标系 中，直线l的参数方程为 （t为参数）.以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为 .
（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；
（2）设点 ，直线l与曲线C相交于A，B两点，求 的值.
14．若关于 的二项式 的展开式中一次项的系数是 ，则 __________．
15．已知函数 与 的图像有三个不同交点，则实数k的取值区间为________________.
16．如图，在四面体 中， ，用平行于 的平面截此四面体，得到截面四边形 ，则该四边形 面积的最大值为______
三、解答题
17．某市在开展创建“全国文明城市”活动中，工作有序扎实，成效显著，尤其是城市环境卫生大为改观，深得市民好评.“创文”过程中，某网站推出了关于环境治理和保护问题情况的问卷调查，现从参与问卷调查的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组 ，第2组 ，第3组 ，第4组 ，第5组 ，得到的频率分布直方图如图所示.
（1）求出a的值；
（2）若已从年龄较小的第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，现要再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，设第2组抽到 人，求随机变量 的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ布列及数学期望 .
18．已知函数 的最大值为 ．
（1）求 的值；
（2）已知锐角 的内角 所对的边分别为 ，若 ，三角形 的面积为 ，且 ，求 的值．
A． B． C． D．
11．已知双曲线 的渐近线均和圆 相切，且双曲线M的右焦点为圆N的圆心，则双曲线M的离心率为（）
A． B． C． D．
12．已知函数 有两个不同极值点，则实数a的取值范围是（）
A． B． C． D．
二、填空题
13．等比数列 的前 项和为 ，且 ， ， 成等差数列,若 ，则 ____________.
云南省曲靖市2020-2021学年高三年级第一次教学质量检测数学理科试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设 ， ，则 =（）
A． B．
C． D．
2．已知复数z满足 ，其中i为虚数单位，则复数z在复平面内对应点所在的象限为（）
19．如图，菱形 与正三角形 的边长均为2，它们所在平面互相垂直， 平面 ， 平面 ．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）若 ，求二面角 的大小．
20．已知函数 ， ，其中a为常数，e是自然对数的底数， ，曲线 在其与y轴的交点处的切线记作 ，曲线 在其与x轴的交点处的切线记作 ，且 .
（1）求 之间的距离；
A．6斤B．7斤C．9斤D．15斤
6．设光线通过一块玻璃，强度损失10%、如果光线原来的强度为 ，通过x块这样的玻璃以后强度为y，则 ，那么光线强度减弱到原来的 以下时，至少通过这样的玻璃块数为（）（参考数据： ）
A．12B．13C．14D．15
7．已知F为抛物线y2＝4x的焦点，过点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，则||FA|﹣|FB||的值等于（ ）
解：因为
，
复数 在复平面内对应的点的坐标为 在第四象限，
故选：D.
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
3．C
【分析】
由向量垂直推出数量积关系，列出方程代入 即可得解.
【详解】
因为 ，所以 ，得 ，又 ，而 ，代入 ，得 ，所以 ，
故选：C.
【点睛】
本题考查由向量的垂直关系求参数，属于基础题.
则经过 块这样的玻璃后光线强度为： ，
光线强度能减弱到原来的 以下，