大学物理简明教程课后习题及答案(供参考)

大学物理简明教程习题解答

习题一

1-1 ｜r ∆｜与r ∆有无不同?t d d r 和t d d r 有无不同? t d d v 和t d d v

有无不同?其不同在哪里?试

举例说明．

解：（1）r ∆是位移的模，∆r 是位矢的模的增量，即

r ∆12r r -=，12r r r -=∆； （2）t d d r 是速度的模，即t d d r ==v t

s

d d .

t r

d d 只是速度在径向上的分量.

∵有r r ˆr =（式中r ˆ叫做单位矢），则

t ˆr

ˆt r t d d d d d d r r r += 式中t r

d d 就是速度径向上的分量，

∴t r t

d d d d 与

r 不同如题1-1图所示.

题1-1图

(3)t d d v 表示加速度的模，即

t v a d d

=

，t v d d 是加速度a 在切向上的分量. ∵有ττ (v =v 表轨道节线方向单位矢），所以

t v t v t v d d d d d d ττ +=

式中dt dv

就是加速度的切向分量.

(t t

r d ˆd d ˆd τ 与

的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论) 1-2 设质点的运动方程为x =x (t )，y =y (t )，在计算质点的速度和加速度时，有人先求

出r ＝22y x +，然后根据v =t r

d d ，及a ＝22d d t r 而求得结果；又有人先计算速度和加速度

的分量，再合成求得结果，即

v =2

2

d d d d ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛t y t x 及a =

2

22222d d d d ⎪

⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛t y t x 你认为两种方法哪一种正确？为什么？两者差别何在？

解：后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有j y i x r

+=，

j

t y i t x t r a j

t y i t x t r v

222222d d d d d d d d d d d d +==+==∴

故它们的模即为

2

222

222

22

22

2d d d d d d d d ⎪

⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=⎪

⎭

⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=t y t x a a a t y t x v v v y x y x

而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误，即误把速度、加速度定义作

2

2d d d d t r a t

r

v ==

其二，可能是将2

2d d d d t r t

r 与误作速度与加速度的模。在1-1题中已说明t r d d 不是速度的模，而只是速度在径向上的分量，同样，2

2d d t r 也不是加速度的模，它只是加速度在径向分量中

的一部分⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫

⎝⎛-=2

22d d d d t r t r a θ径。或者概括性地说，前一种方法只考虑了位矢r 在径向（即

量值）方面随时间的变化率，而没有考虑位矢r

及速度v 的方向随间的变化率对速度、加速

度的贡献。

1-3 一质点在xOy 平面上运动，运动方程为

x =3t +5, y =21

t 2+3t -4.

式中t 以 s 计，x ,y 以m 计．(1)以时间t 为变量，写出质点位置矢量的表示式；(2)求出t =1 s 时刻和t ＝2s 时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；(3)计算t ＝0 s 时刻到t ＝4s 时刻内的平均速度；(4)求出质点速度矢量表示式，计算t ＝4 s 时质点的速度；(5)计算t ＝0s 到t ＝4s 内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算t ＝4s 时质点

的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式)．

解：（1）

j

t t i t r

)4321()53(2-+++=m (2)将1=t ,2=t 代入上式即有

j i r

5.081-= m

j j r

4112+=m

j j r r r

5.4312+=-=∆m

(3)∵ j i r j j r 1617,4540

+=-= ∴ 1

04s m 534201204-⋅+=+=--=∆∆=j i j

i r r t r v

(4) 1

s m )3(3d d -⋅++==j t i t r v

则 j i v 734

+= 1s m -⋅ (5)∵ j i v j i v

73,3340

+=+=

2

04s m 1444-⋅==-=∆∆=j v v t v a (6) 2

s m 1d d -⋅==j t v

a

这说明该点只有y 方向的加速度，且为恒量。

1-4 在离水面高h 米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸S 处，如题1-4图所示．当人以

0v (m ·1-s )的速率收绳时，试求船运动的速度和加速度的大小．

图1-4

解： 设人到船之间绳的长度为l ，此时绳与水面成θ角，由图可知

2

22s h l += 将上式对时间t 求导，得

t s s

t

l l

d d 2d d 2= 题1-4图

根据速度的定义，并注意到l ,s 是随t 减少的，

∴

t s v v t l v d d ,d d 0-

==-=船绳 即

θcos d d d d 0

0v v s l

t l s l t s v ==-=-=船 或 s v s h s lv v 0

2/1220)(+=

=船

将船v 再对t 求导，即得船的加速度

3

2

0222

020

2

002)(d d d d d d s v h s v s l s v s lv s v v s t s

l t l s

t v a =+-=+-=-==船

船

1-5 质点沿x 轴运动，其加速度和位置的关系为 a ＝2+62x ，a 的单位为2

s m -⋅，x 的单位