二次函数应用(拱桥问题)

教学过程

一、复习预习

平时的时候我们能够看到小船可以从桥的下面通过，但是当夏天雨季到来，水平面上升，这时小船还能从桥的下面通过吗？对于这样的问题我们可以利用我们所学的二次函数来解决。这节我们就看二次函数解决拱桥问题。

二、知识讲解

考点/易错点1 ：二次函数解析式的形式

1、一般式：y=ax 2+bx+c （a ≠0）

2、顶点式：y=a(x-h)2+k （a ≠0）

顶点坐标（h ，k ）

直线x=h 为对称轴，k 为顶点坐标的纵坐标，也是二次函数的最值

3、双根式：y=a(x-1x )(x-2x )（a ≠0） (1x ,2x 是抛物线与x 轴交点的横坐标)

并不是什么时候都能用双根式，当抛物线与x 轴有交点时才行

4、 顶点在原点：

5、过原点：)0(2≠+=a bx ax y

6、 顶点在y 轴：)0(2≠+=a c ax y

)0(2≠=a ax y

考点/易错点2：建立平面直角坐标系

1、在给定的直角坐标系,中会根据坐标描出点的位置

2、能建立适当的直角坐标系,描述物体的位置。

三、例题精析

【例题1】

【题干】有一座抛物线形拱桥，正常水位时，桥下水面宽度为20m ，拱顶距离水面4m ．

（1）在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的表达式；

（2）在正常水位的基础上，当水位上升h （m ）时，桥下水面的宽度为d （m ），求出将d 表示为h 的函数表达式；

（3）设正常水位时桥下的水深为2m ，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18m ，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行．

【答案】 （1）设抛物线的解析式为y ＝ax 2，

且过点（10，－4）

∴ 故

（2）设水位上升h m 时，水面与抛物线交于点（）

则

∴ （3）当d ＝18时，

∴当水深超过时会影响过往船只在桥下顺利航行。

【解析】顶点式：y=a （x-h ）2+k （a ，h ，k 是常数，a ≠0），其中（h ，k ）为顶点坐标．

-==-4101252a a ×，y x =-1252

d h 24，-h d -=-412542

×d h =-10418104076=-=h h ，.0762276..+=

【题干】如图，有一座抛物线形的拱桥，桥下面处在目前的水位时，水面宽AB=10m，如果水位上升2m，就将达到警戒线CD，这时水面的宽为8m.若洪水到来，水位以每小时速度上升，经过多少小时会达到拱顶?

【答案】解：以AB所在的直线为x轴,AB中点为原点，建立直角坐标系，则抛物线的顶点E在y轴上,且B 、D两点的坐标分别为（5，0）、（4，2）

设抛物线为y=ax²+k.

由B、D两点在抛物线上，有

解这个方程组，得所以，

顶点的坐标为（0，）则OE=÷=（h）

所以，若洪水到来，水位以每小时速度上升，经过小时会达到拱顶.

【解析】以AB所在的直线为x轴,AB中点为原点，建立直角坐标系，求出解析式

【题干】如图是抛物线拱桥，已知水位在AB 位置时，水面宽，水位上升3m ，达到警戒线CD ，这时水面宽．若洪水到来时，水位以每小时的速度上升，求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶？

【答案】解：根据题意设抛物线解析式为：y ＝ax 2＋h

又知B (2，0)，D (2，3)

∴ 解得：

∴y ＝－41

x 2＋6 ∴E (0，6) 即OE ＝6

EF ＝OE －OF ＝3 t ＝＝25

.03

＝12 (小时)

答：水过警戒线后12小时淹到拱桥顶．

【解析】建立直角坐标系，求出解析式

四、课堂运用

m 64m 3463⎩⎨⎧=+⨯=+⨯3h )32(a 0h )62(a 22⎪⎩⎪⎨⎧=-=6h 41

a 25.0EF

1、心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位：分)之间满足函数关系：y＝－＋＋43 (0≤x≤30)．y值越大，表示接受能力越强．

(1) x在什么范围内，学生的接受能力逐步增加？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？

（2）第10分钟时，学生的接受能力是多少？

（3）第几分钟时，学生的接受能力最强？

【巩固】

1、有一座抛物线形拱桥，抛物线可用y=表示．在正常水位时水面AB 的宽为20m，

如果水位上升3m时，水面CD的宽是10m．

(1)在正常水位时，有一艘宽8m、高的小船，它能通过这座桥吗?

(2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km(桥长忽略不计)．货车正以每小时40km的速度开往乙地，当行驶1小时时，忽然接到紧急通过:前方连降暴雨，造成水位以每小时的速度持续上涨(货车接到通知时水位在CD处，当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行)．试问:如果货车按原来的速度行驶，能否安全通过此桥?若能，请说明理由．若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米?

【拔高】

1、一个涵洞成抛物线形，它的截面如图(3)所示，现测

得，当水面宽AB＝时，涵洞顶点与水面的距离为。这时，离

开水面处，涵洞宽ED是多少?是否会超过1m?

．

五、课程小结

（1）用函数的观点来认识问题，从实际问题中抽象出数学问题；

（2）根据题意建立直角坐标系，建立数学模型，解决实际问题；

（3）找到两个变量之间的关系；掌握数形结合思想；

（4）从拱桥问题中体会到函数模型对解决实际问题的价值．感受数学在生活实际中使用

六、课后作业

【基础】