二次函数应用(拱桥问题)

教学过程

一、复习预习

平时的时候我们能够看到小船可以从桥的下面通过，但是当夏天雨季到来，水平面上升，这时小船还能从桥的下面通过吗对于这样的问题我们可以利用我们所学的二次函数来解决。这节我们就看二次函数解决拱桥问题。

二、知识讲解

考点/易错点1 ：二次函数解析式的形式

1、一般式：y=ax 2

+bx+c （a ≠0） 2、顶点式：y=a(x-h)2

+k （a ≠0） 顶点坐标（h ，k ）

直线x=h 为对称轴，k 为顶点坐标的纵坐标，也是二次函数的最值

3、双根式：y=a(x-1x )(x-2x )（a ≠0） (1x ,2x 是抛物线与x 轴交点的横坐标) 并不是什么时候都能用双根式，当抛物线与x 轴有交点时才行

4、 顶点在原点：)0(2≠=a ax y

5、过原点：)0(2≠+=a bx ax y

6、 顶点在y 轴：)0(2≠+=a c ax y

考点/易错点2：建立平面直角坐标系

1、在给定的直角坐标系,中会根据坐标描出点的位置

2、能建立适当的直角坐标系,描述物体的位置。

三、例题精析

【例题1】

【题干】有一座抛物线形拱桥，正常水位时，桥下水面宽度为20m，拱顶距离水面4m．

（1）在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的表达式；

（2）在正常水位的基础上，当水位上升h（m）时，桥下水面的宽度为d（m），求出将d表示为h的函数表达式；

（3）设正常水位时桥下的水深为2m，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18m，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行．

【答案】（1）设抛物线的解析式为y＝ax2，

且过点（10，－4）

∴-==-

410

1

25

2

a a

×，

故

y x

=-

1

25

2

（2）设水位上升h m时，水面与抛物线交于点（

d

h

2

4

，-

）则

h

d

-=-

4

1

254

2

×

∴d h

=-

104

（3）当d＝18时，18104076

=-=

h h

，.

0762276

..

+=

∴当水深超过时会影响过往船只在桥下顺利航行。

【解析】顶点式：y=a（x-h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标．

【例题2】

【题干】如图，有一座抛物线形的拱桥，桥下面处在目前的水位时，水面宽AB=10m，如果水位上升2m，就将达到警戒线CD，这时水面的宽为8m.若洪水到来，水位以每小时

速度上升，经过多少小时会达到拱顶

【答案】解：以AB所在的直线为x轴,AB中点为原点，建立直角坐标系，则抛物线的

顶点E在y轴上,且B 、D两点的坐标分别为（5，0）、（4，2）

设抛物线为y=ax²+k.

由B、D两点在抛物线上，有

解这个方程组，得所以，

顶点的坐标为（0，）则OE=÷=（h）

所以，若洪水到来，水位以每小时速度上升，经过小时会达到拱顶.

【解析】以AB所在的直线为x轴,AB中点为原点，建立直角坐标系，求出解析式

【例题3】

【题干】如图是抛物线拱桥，已知水位在AB位置时，水面宽m

4，水位上升3m，达到

6

警戒线CD，这时水面宽m

4．若洪水到来时，水位以每小时的速度上升，求水过警戒线后

3

几小时淹到拱桥顶

【答案】解：根据题意设抛物线解析式为：y ＝ax 2

＋h 又知B (26，0)，D (23，3)

∴⎩⎨⎧=+⨯=+⨯3h )32(a 0h )62(a 22 解得：⎪⎩⎪⎨⎧=-=6

h 41

a ∴y ＝－

4

1x 2

＋6 ∴E (0，6) 即OE ＝6 EF ＝OE －OF ＝3 t ＝25.0EF ＝25

.03

＝12 (小时)

答：水过警戒线后12小时淹到拱桥顶．

【解析】建立直角坐标系，求出解析式

四、课堂运用

【基础】

1、心理学家发现，学生对概念的接受能力y 与提出概念所用的时间x (单位：分)之间满足函数关系：y ＝－＋＋43 (0≤x ≤30)．y 值越大，表示接受能力越强．

(1) x在什么范围内，学生的接受能力逐步增加x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低

（2）第10分钟时，学生的接受能力是多少

（3）第几分钟时，学生的接受能力最强

【巩固】

1、有一座抛物线形拱桥，抛物线可用y=表示．在正常水位时水面AB 的宽为20m，如果水位上升3m时，水面CD的宽是10m．

(1)在正常水位时，有一艘宽8m、高的小船，它能通过这座桥吗

(2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km(桥长忽略不计)．货车正以每小时40km的速度开往乙地，当行驶1小时时，忽然接

到紧急通过:前方连降暴雨，造成水位以每小时的速度持续上涨(货车接到通知时水位在CD 处，当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行)．试问:如果货车按原来的速度行驶，能否安全通过此桥若能，请说明理由．若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米

【拔高】

1、一个涵洞成抛物线形，它的截面如图(3)所示，现测得，当水面宽AB＝时，涵洞顶点与水面的距离为。这时，离开水面处，涵洞宽ED是多少是否会超过1m

．