二次函数的实际应用(拱桥问题)教师

二次函数中抛物线形与拱桥问题

1 有一座抛物线形拱桥，正常水位时，桥下水面宽度为20m ，拱顶距离水面4m ．

（1）在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的表达式；

（2）在正常水位的基础上，当水位上升h （m ）时，桥下水面的宽度为d （m ），求出将d 表示为h 的函数表达式；

（3）设正常水位时桥下的水深为2m ，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18m ，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行．

解：（1）设抛物线的解析式为y ＝ax 2

，

且过点（10，－4） ∴ 故

（2）设水位上升h m 时，水面与抛物线交于点（）

则

∴

（3）当d ＝18时，

∴当水深超过2.76m 时会影响过往船只在桥下顺利航行。

2、如图，有一座抛物线形的拱桥，桥下面处在目前的水位时，水面宽AB=10m ，如果水 位上升2m ，就将达到警戒线CD ，这时水面的宽为8m.若洪水到来，水位以每小时0.1m 速度上升，经过多少小时会达到拱顶

解： 以AB 所在的直线为x 轴,AB 中点为原点，建立直角坐标系，则抛物线的

顶点E 在y 轴上,且B 、D 两点的坐标分别为（5，0）、（4，2）

设抛物线为y=ax2+k.

由B 、D 两点在抛物线上，有

-==-

4101252a a ×，y x =-1252d h 24，-h d -=-412542

×d h =-10418104076=-=h h ，.076

2276..+=

解这个方程组，得所以，

顶点的坐标为（0，）则OE=÷=（h）

所以，若洪水到来，水位以每小时0.1m速度上升，经过小时会达到拱顶.

3、如图4，有一座抛物线形拱桥，抛物线可用y=表示．在正常水位时水面AB 的宽

为20m，如果水位上升3m时，水面CD的宽是10m．

(1)在正常水位时，有一艘宽8m、高2.5m的小船，它能通过这座桥吗

(2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km(桥长忽略不计)．货车正以每小时40km的速度开往乙地，当行驶1小时时，忽然接到紧急通过:前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25m的速度持续上涨(货车接到通知时水位在CD处，当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行)．试问:如果货车按原来的速度行驶，能否安全通过此桥若能，请说明理由．若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米

解：(1)由对称性，当x=4时，y=．当x=10时，y=．故正常水位

时，AB距桥面4米，由，故小船能通过．

(2)水位由CD处涨到点O的时间为1÷=4小时．货车按原来的速度行驶的路程为40×1+40×4=200<280．∴货车按原来的速度行驶不能安全通过此桥．设货车速度提高到x千米/时，当4x+40×1=280时，x=60．∴要使货车安全通过此桥，货车的速度超过60千米/时。

4、如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小相同。正常水位时，大孔水面宽度AB=20米，顶点M距水面6米（即MO=6米），小孔顶点N距水面4.5米。当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度EF。(10m)

5、如图所示，有一座拱桥圆弧形，它的跨度为60米，拱高为18米，当洪水泛滥到跨度只有30米时，就要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PN=4米时，是否采取紧急措施

解：不采取紧急措施。

其理由如下：

设半径OA=∵AB=60 PM=18

∴AM=30 OM=18

∴在Rt△AOM中，由勾股定理，得：

解得：=34 即：OA=34OM=16

连接OA，则：OA=34

ON=(PM―PN)+OM=(18―4)+16=30

∴在Rt△A ON中，由勾股定理得：

解得：A N=16 则：32>30

所以不采取紧急措施。

6、有一座抛物线型拱桥，其水面宽AB为18米，拱顶O离水面AB的距离OM为8米，货船在水面上的部分的横断面是矩形CDEF，如图建立平面直角坐标系．

(1)求此抛物线的解析式；

(2)如果限定矩形的长CD为9米，那么矩形的高DE不能超过多少米，才能使船通过拱桥

(3)若设EF=a，请将矩形CDEF的面积S用含a的代数式表示，并指出a的取值范围．

解:(1)

(2) ∵CD=9

∴点E的横坐标为，则点E的纵坐标为

∴点E的坐标为(，-2)，因此要使货船能通过拱桥，则货船最大高度不能超过8-2=6米

(3)由EF=a，则E点坐标为(，)，此时ED=

∴S矩形CDEF=

7、（2003•黄石）中华民族的科学文化历史悠久、灿烂辉煌，我们的祖先几千年前就能在生产实践中运用数学．1300多年前，我国隋代建筑的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形（如图）．经测量，桥拱下的水面距拱顶6 m时，水面宽34.64 m，已知桥拱跨度是37.4 m，运用你所学的知识计算出赵州桥的大致拱高．（运算时取=14 ，=20 ）

解：如图，设圆弧所在圆的圆心为O

AB==14 m，CD==20 m，GE=6m

在Rt△OCE中，OE=OG-6，CE=10∵OC2=CE2+OE2，∴OC2=（10 ）2+（OC-6）2

∴OC=28（m），∴OA=28

在Rt△OAF中，AF=7

∴．

∴拱高GF=28-21=7（m）．

点评：注意：圆中常见的辅助线即作弦的弦心距构造直角三角形，根据垂径定理和勾股定理进行计