二次函数应用(拱桥问题)

二次函数综合应用题（拱桥问题）

适用学科数学适用年级初中三年级

适用区域全国课时时长（分钟）60

知识点二次函数解析式的确定、二次函数的性质和应用

教学目标 1.掌握二次函数解析式求法。

2学会用二次函数知识解决实际问题，掌握数学建模的思想，进一步熟悉，

点坐标和线段之间的转化。

3.进一步体验应用函数模型解决实际问题的过程，体会到数学来源于生活，

又服务于生活，感受数学的应用价值。

教学重点 1.从实际问题中抽象出相应的函数关系式，并能理解坐标系中点坐标和线段之间关系；

2.根据情景建立合适的直角坐标系，并将有关线段转化为坐标系中点的坐

标

教学难点如何根据情景建立合适的直角坐标系，并判断直角坐标系建立的优劣。

教学过程

一、复习预习

平时的时候我们能够看到小船可以从桥的下面通过，但是当夏天雨季到来，水平面上升，这时小船还能从桥的下面通过吗？对于这样的问题我们可以利用我们所学的二次函数来解决。这节我们就看二次函数解决拱桥问题。

二、知识讲解

考点/易错点1 ：二次函数解析式的形式

1、一般式：y=ax 2+bx+c （a ≠0）

2、顶点式：y=a(x-h)2+k （a ≠0）

顶点坐标（h ，k ）

直线x=h 为对称轴，k 为顶点坐标的纵坐标，也是二次函数的最值

3、双根式：y=a(x-1x )(x-2x )（a ≠0） (1x ,2x 是抛物线与x 轴交点的横坐标)

并不是什么时候都能用双根式，当抛物线与x 轴有交点时才行

4、 顶点在原点：)0(2≠=a ax y

5、过原点：)0(2≠+=a bx ax y

6、 顶点在y 轴：)0(2≠+=a c ax y

考点/易错点2：建立平面直角坐标系

1、在给定的直角坐标系,中会根据坐标描出点的位置

2、能建立适当的直角坐标系,描述物体的位置。

三、例题精析

【例题1】

【题干】有一座抛物线形拱桥，正常水位时，桥下水面宽度为20m，拱顶距离水面4m．（1）在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的表达式；

（2）在正常水位的基础上，当水位上升h（m）时，桥下水面的宽度为d（m），求出将d 表示为h的函数表达式；

（3）设正常水位时桥下的水深为2m，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18m，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行．

【答案】

（1）设抛物线的解析式为y＝ax2，

且过点（10，－4）

∴-==-

410

1

25

2

a a

×，

故

y x

=-

1

25

2

（2）设水位上升h m时，水面与抛物线交于点（

d

h

2

4

，-

）则

h

d

-=-

4

1

254

2

×

∴d h

=-

104

（3）当d＝18时，18104076

=-=

h h

，.

0762276

..

+=

∴当水深超过2.76m时会影响过往船只在桥下顺利航行。

【解析】顶点式：y=a（x-h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标．

【例题2】

【题干】如图，有一座抛物线形的拱桥，桥下面处在目前的水位时，水面宽AB=10m，如果水位上升2m，就将达到警戒线CD，这时水面的宽为8m.若洪水到来，水位以每小时0.1m 速度上升，经过多少小时会达到拱顶?

【答案】解： 以AB 所在的直线为x 轴,AB 中点为原点，建立直角坐标系，则抛物线的 顶点E 在y 轴上,且B 、D 两点的坐标分别为（5，0）、（4，2）

设抛物线为y=ax ²+k.

由B 、D 两点在抛物线上，有

解这个方程组，得 所以，

顶点的坐标为（0，） 则OE=÷0.1=（h ）

所以，若洪水到来，水位以每小时0.1m 速度上升，经过

小时会达到拱顶.

【解析】 以AB 所在的直线为x 轴,AB 中点为原点，建立直角坐标系，求出解析式

【例题3】

【题干】如图是抛物线拱桥，已知水位在AB 位置时，水面宽m 64，水位上升3m ，达到警戒线CD ，这时水面宽m 34．若洪水到来时，水位以每小时0.25m 的速度上升，求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶？

O x

CX y D B A E

F

【答案】解：根据题意设抛物线解析式为：y ＝ax 2＋h

又知B (26，0)，D (23，3)

∴⎩⎨⎧=+⨯=+⨯3h )32(a 0h )62(a 22 解得：⎪⎩⎪⎨⎧=-=6

h 41a ∴y ＝－4

1x 2＋6 ∴E (0，6) 即OE ＝6

EF ＝OE －OF ＝3 t ＝25.0EF ＝25

.03＝12 (小时) 答：水过警戒线后12小时淹到拱桥顶．

【解析】建立直角坐标系，求出解析式

四、课堂运用

【基础】

1、心理学家发现，学生对概念的接受能力y 与提出概念所用的时间x (单位：分)之间满足函数关系：y ＝－0.1x 2＋2.6x ＋43 (0≤x ≤30)．y 值越大，表示接受能力越强．

(1) x 在什么范围内，学生的接受能力逐步增加？x 在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？

（2）第10分钟时，学生的接受能力是多少？

（3）第几分钟时，学生的接受能力最强？