2020年湖南省永州市中考数学试卷

2020年湖南省永州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．每个小题只有一个正确选项，请将正确的选项填涂到答题卡上）
1．（4分）（2020•永州）2020-的相反数为( )
A ．12020-
B ．2020
C ．2020-
D ．12020
2．（4分）（2020•永州）永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称的是( )
A ． 注意安全
B ．水深危险
C ．必须戴安全帽
D ．注意通风
3．（4分）（2020•永州）永州市现有户籍人口约635.3万人，则“现有户籍人口数”用科学记数法表示正确的是( )
A ．56.35310⨯人
B ．563.5310⨯人
C ．66.35310⨯人
D ．70.635310⨯人
4．（4分）（2020•永州）下列计算正确的是( )
A ．223323a b ab a b +=
B ．632a a a ÷=
C ．639a a a =
D ．325()a a =
5．（4分）（2020•永州）已知一组数据1，2，8，6，8，对这组数据描述正确的是( )
A ．众数是8
B ．平均数是6
C ．中位数是8
D ．方差是9
6．（4分）（2020•永州）如图，已知AB DC =，ABC DCB ∠=∠，能直接判断ABC DCB ∆≅∆的方法是( )
A ．SAS
B ．AAS
C ．SSS
D ．ASA
7．（4分）（2020•永州）如图，已知PA，PB是O的两条切线，A，B为切点，线段OP 交O于点M．给出下列四种说法：
①PA PB
=；
②OP AB
⊥；
③四边形OAPB有外接圆；
④M是AOP
∆外接圆的圆心．
其中正确说法的个数是()
A．1B．2C．3D．4
8．（4分）（2020•永州）如图，在ABC
∆中，//
EF BC，
2
3
AE
EB
=，四边形BCFE的面积为
21，则ABC
∆的面积是()
A．91
3
B．25C．35D．63
9．（4分）（2020•永州）如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左视图的面积是()
A ．4
B ．2
C ．3
D ．23
10．（4分）（2020•永州）已知点0(P x ，0)y 和直线y kx b =+，求点P 到直线y kx b =+的距
离d 可用公式002||
1kx y b d k -+=+计算．根据以上材料解决下面问题：如图，C 的圆心C 的
坐标为(1,1)，半径为1，直线l 的表达式为26y x =-+，P 是直线l 上的动点，Q 是C 上的动点，则PQ 的最小值是( )
A 35
B 351-
C 651-
D ．2
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．请将答案填在答题卡的答案栏内） 11．（4分）（2020•永州）函数13
y x =-中，自变量x 的取值范围是 ． 12．（4分）（2020•永州）方程组422x y x y +=⎧⎨-=⎩
的解是 ． 13．（4分）（2020•永州）若关于x 的一元二次方程240x x m --=有两个不相等的实数根，
则实数m 的取值范围是 ．
14．（4分）（2020•永州）永州市教育部门为了了解全市中小学安全教育情况，对某校进行了“防溺水”安全知识的测试．从七年级随机抽取了50名学生的测试成绩（百分制），整理样本数据，得到下表：
成绩
90100x 8090x < 7080x < 6070x < 60x < 人数 25 15 5 4 1
根据抽样调查结果，估计该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有 人．
15．（4分）（2020•永州）已知圆锥的底面周长是
2
π分米，母线长为1分米，则圆锥的侧面积是 平方分米．
16．（4分）（2020•永州）已知直线//a b ，用一块含30︒角的直角三角板按图中所示的方式放置，若125∠=︒，则2∠= ．
17．（4分）（2020•永州）如图，正比例函数y x =-与反比例函数6y x =-的图象交于A ，C 两点，过点A 作AB x ⊥轴于点B ，过点C 作CD x ⊥轴于点D ，则ABD ∆的面积为 ．
18．（4分）（2020•永州）AOB ∠在平面直角坐标系中的位置如图所示，且60AOB ∠=︒，在AOB ∠内有一点(4,3)P ，M ，N 分别是OA ，OB 边上的动点，连接PM ，PN ，MN ，则PMN ∆周长的最小值是 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）（2020•永州）计算：013120208()2-︒-． 20．（8分）（2020•永州）先化简，再求值：2221221()(2)1144
a a a a a a a a +-+-++-++，其中2a =． 21．（8分）（2020•永州）今年6月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为A ，B ，C ，D 四个等级，:90100A S <，:8090B S <，:7080C S <，:70D S ．并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：
（1）请把条形统计图补充完整．
（2）扇形统计图中m = ，n = ，B 等级所占扇形的圆心角度数为 ．
（3）该校准备从上述获得A 等级的四名学生中选取两人参加永州市举行的“六城同创”知识竞赛，已知这四人中有两名男生（用1A ，2A 表示），两名女生（用1B ，2B 表示），请利用
树状图法或列表法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
22．（10分）（2020•永州）一艘渔船从位于A 海岛北偏东60︒方向，距A 海岛60海里的B 处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行．已知在A 海岛周围50海里水域内有暗礁．（参考数据：3 1.73≈，5 2.24≈，7 2.65)≈
（1）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由．
（2）渔船航行3小时后到达C 处，求A ，C 之间的距离．
23．（10分）（2020•永州）某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和95N 口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，95N 口罩花费9600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比95N 口罩的单价少10元．
（1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和95N 口罩的单价各是多少元？
（2）该药店计划再次购进两种口罩共2000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购
进一次性医用外科口罩多少只？
24．（10分）（2020•永州）如图，ABC
∆内接于O，AB是O的直径，BD与O相切于点B，BD交AC的延长线于点D，E为BD的中点，连接CE．
（1）求证：CE是O的切线．
（2）已知35
BD=，5
CD=，求O，E两点之间的距离．
25．（12分）（2020•永州）在平面直角坐标系xOy中，等腰直角ABC
∆的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B在x轴上，且4
AB=，抛物线经过A，B，C三点，如图1所示．（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．
（2）过原点任作直线l交抛物线于M，N两点，如图2所示．
①求CMN
∆面积的最小值．
②已知
3
(1,)
2
Q-是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P，使得点P与点Q关于直线l
对称，若存在，求出点P的坐标及直线l的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．
26．（12分）（2020•永州）某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为6cm，长足够的矩形纸条．探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积．
如图1所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成45︒的角，将该纸条从右往左平移．（1）写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状．
（2）当重叠部分的形状为如图2所示的四边形ABCD时，求证：四边形ABCD是菱形．（3）设平移的距离为(0662)
xcm x
<+，两张纸条重叠部分的面积为2
scm．求s与x的函数关系式，并求s的最大值．
2020年湖南省永州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．每个小题只有一个正确选项，请将正确的选项填涂到答题卡上）
1．（4分）（2020•永州）2020
-的相反数为()
A．
1
2020
-B．2020C．2020
-D．
1
2020
【考点】14：相反数
【分析】直接利用相反数的定义进而分析得出答案．
【解答】解：2020
-的相反数为：2020．
故选：B．
【点评】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．
2．（4分）（2020•永州）永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称的是()
A．注意安全B．水深危险
C．必须戴安全帽D．注意通风
【考点】3
P：轴对称图形
【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，即可进行判断．
【解答】解：根据轴对称图形的定义可知：
选项A、B、C中的图形是轴对称图形，
选项D不是轴对称图形．
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
3．（4分）（2020•永州）永州市现有户籍人口约635.3万人，则“现有户籍人口数”用科学记数法表示正确的是( )
A ．56.35310⨯人
B ．563.5310⨯人
C ．66.35310⨯人
D ．70.635310⨯人
【考点】1I ：科学记数法-表示较大的数
【分析】绝对值大于10的数用科学记数法表示一般形式为10n a ⨯，n 为整数位数减1．
【解答】解：635.3万66353000 6.35310==⨯．
则“现有户籍人口数”用科学记数法表示为66.35310⨯人．
故选：C ．
【点评】本题考查了科学记数法-表示较大的数，科学记数法中a 的要求和10的指数n 的表示规律为关键，
4．（4分）（2020•永州）下列计算正确的是( )
A ．223323a b ab a b +=
B ．632a a a ÷=
C ．639a a a =
D ．325()a a =
【考点】48：同底数幂的除法；35：合并同类项；47：幂的乘方与积的乘方；46：同底数幂的乘法
【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘除法法则、幂的乘方法则，直接计算得结论．
【解答】解：A 选项的两个加数不是同类项，不能加减；
6332a a a a ÷=≠，故选项B 错误；
639a a a =，故选项C 正确；
3265()a a a =≠．故选项D 错误．
故选：C ．
【点评】本题考查了同底数幂的乘除法法则、合并同类项法则及幂的乘方法则．熟练掌握整式的相关法则，是解决本题的关键．
5．（4分）（2020•永州）已知一组数据1，2，8，6，8，对这组数据描述正确的是( )
A ．众数是8
B ．平均数是6
C ．中位数是8
D ．方差是9
【考点】7W ：方差；5W ：众数；4W ：中位数；1W ：算术平均数
【分析】将数据按照从小到大重新排列，再根据众数、中位数、算术平均数的定义计算，最后利用方差的概念计算可得．
【解答】解：将这组数据重新排列为1，2，6，8，8，
所以这组数据的众数为8，中位数为6，平均数为1268855
++++=， 方差为22221[(15)(25)(65)2(85)]8.85
⨯-+-+-+⨯-=， 故选：A ．
【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握众数、中位数、算术平均数及方差的定义．
6．（4分）（2020•永州）如图，已知AB DC =，ABC DCB ∠=∠，能直接判断ABC DCB ∆≅∆的方法是( )
A ．SAS
B ．AAS
C ．SSS
D ．ASA
【考点】KB ：全等三角形的判定
【分析】根据全等三角形的判定方法即可解决问题．
【解答】解：AB DC =，ABC DCB ∠=∠，BC CB =，
()ABC DCB SAS ∴∆≅∆，
故选：A ．
【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
7．（4分）（2020•永州）如图，已知PA ，PB 是O 的两条切线，A ，B 为切点，线段OP 交O 于点M ．给出下列四种说法：
①PA PB =；
②OP AB ⊥；
③四边形OAPB 有外接圆；
④M 是AOP ∆外接圆的圆心．
其中正确说法的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【考点】MC ：切线的性质；MA ：三角形的外接圆与外心
【分析】利用切线长定理对①进行判断；利用线段的垂直平分线定理的逆定理对②进行判断；利用切线的性质和圆周角定理可对③进行判断；由于只有当30APO ∠=︒时，2OP OA =，此时PM OM =，则可对④进行判断．
【解答】解：PA ，PB 是O 的两条切线，A ，B 为切点，
PA PB ∴=，所以①正确；
OA OB =，PA PB =，
OP ∴垂直平分AB ，所以②正确；
PA ，PB 是O 的两条切线，A ，B 为切点，
OA PA ∴⊥，OB PB ⊥， 90OAP OBP ∴∠=∠=︒，
∴点A 、B 在以OP 为直径的圆上， ∴四边形OAPB 有外接圆，所以③正确；
只有当30APO ∠=︒时，2OP OA =，此时PM OM =，
M ∴是不一定为AOP ∆外接圆的圆心，所以④错误．
故选：C ．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了切线长定理． 8．（4分）（2020•永州）如图，在ABC ∆中，//EF BC ，2
3
AE EB =，四边形BCFE 的面积为21，则ABC ∆的面积是( )
A ．
913
B ．25
C ．35
D ．63
【考点】9S ：相似三角形的判定与性质
【分析】由//EF BC 可得出AEF ABC ∆∆∽，利用相似三角形的性质可得出4
25
AEF ABC S S ∆∆=，结合21BCFE S =四边形即可得出关于ABC S ∆的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：//EF BC ， AEF ABC ∴∆∆∽，
∴
224
()()25
AEF ABC S AE AE S AB AE EB ∆∆===
+， 4
25
AEF ABC S S ∆∆∴=
． 21ABC AEF BCFE S S S ∆∆=-=四边形，即21
2125
ABC S ∆=， 25ABC S ∆∴=．
故选：B ．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质，找出21
25
ABC BCFE S S ∆=
四边形是解题的关键． 9．（4分）（2020•永州）如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视
图，则它的左视图的面积是( )
A ．4
B ．2
C 3
D ．23【考点】1U ：简单几何体的三视图；3U ：由三视图判断几何体
【分析】过点B 作BD AC ⊥于点D ，此正三棱柱底面ABC ∆的边AB 在右侧面的投影为BD ，利用等边三角形的性质和勾股定理求出BD 的长，结合左视图矩形的宽可得答案． 【解答】解：如图，过点B 作BD AC ⊥于点D ，此正三棱柱底面ABC ∆的边AB 在右侧面
的投影为BD ，
2AC =，
1AD ∴=，2AB AD ==，
3BD ∴=，
左视图矩形的宽为2，
∴左视图的面积为23．
故选：D ．
【点评】本题主要考查由三视图判断几何体，由物体的三视图想象几何体的形状是有一定难度的，可以从以下途径进行分析：
①根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高；
②从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线； ③熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助；
④利用由三视图画几何体与有几何体画三视图的互逆过程，反复练习，不断总结方法． 10．（4分）（2020•永州）已知点0(P x ，0)y 和直线y kx b =+，求点P 到直线y kx b =+的距离d 可用公式002
||
1kx y b d k -+=
+计算．根据以上材料解决下面问题：如图，C 的圆心C 的
坐标为(1,1)，半径为1，直线l 的表达式为26y x =-+，P 是直线l 上的动点，Q 是C 上的动点，则PQ 的最小值是( )
A 35
B 35
1- C 65
1- D ．2
【考点】8
F：一次函数图象上点的坐标特征；5
F：一次函数的性质
【分析】求出点(1,1)
C到直线26
y x
=-+的距离d即可求得PQ的最小值．
【解答】解：过点C作CP⊥直线l，交圆C于Q点，此时PQ的值最小，
根据点到直线的距离公式可知：点(1,1)
C到直线l的距离
d==．Q的半径为1，
1
PQ
∴=-，
故选：B．
【点评】本题考查的是一次函数的应用、点到直线的距离公式．直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．请将答案填在答题卡的答案栏内）
11．（4分）（2020•永州）函数
1
3
y
x
=
-
中，自变量x的取值范围是3
x≠．
【考点】4
E：函数自变量的取值范围
【分析】根据分母不等于0列式进行计算即可求解．
【解答】解：根据题意得，30
x-≠，
解得3
x≠．
故答案为：3
x≠．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
12．（4分）（2020•永州）方程组
4
22
x y
x y
+=
⎧
⎨
-=
⎩
的解是
2
2
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
．
【考点】98：解二元一次方程组
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：
4
22
x y
x y
+=
⎧
⎨
-=
⎩
①
②
，
①+②得：36
x=，即2
x=，把2
x=代入①得：2
y=，
则方程组的解为2
2x y =⎧⎨=⎩，
故答案为：2
2x y =⎧⎨=⎩
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
13．（4分）（2020•永州）若关于x 的一元二次方程240x x m --=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 4m >- ． 【考点】AA ：根的判别式
【分析】由方程有两个不相等的实数根可知，240b ac ->，代入数据可得出关于m 的一元一次不等式，解不等式即可得出结论． 【解答】解：由已知得：
△224(4)41()1640b ac m m =-=--⨯⨯-=+>， 解得：4m >-． 故答案为：4m >-．
【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是得出关于m 的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出不等式（或不等式组）是关键．
14．（4分）（2020•永州）永州市教育部门为了了解全市中小学安全教育情况，对某校进行了“防溺水”安全知识的测试．从七年级随机抽取了50名学生的测试成绩（百分制），整理样本数据，得到下表： 90100x 8090x < 7080x < 6070x <
25
15
5
4
根据抽样调查结果，估计该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有 480 人．
【考点】5V ：用样本估计总体；7V ：频数（率)分布表
【分析】根据频数分布表中的数据，可以估计该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生人数．
【解答】解：2515
60048050
+⨯
=（人)， 即该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有480人， 故答案为：480．
【点评】本题考查频数分布表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，由样本数据可以估计总体．
15．（4分）（2020•永州）已知圆锥的底面周长是2
π
分米，母线长为1分米，则圆锥的侧面积是
4
π
平方分米． 【考点】MP ：圆锥的计算
【分析】圆锥的侧面积=底面周长⨯母线长2÷． 【解答】解：圆锥的侧面积11224
ππ
=⨯⨯=平方分米．
故答案为
4
π
． 【点评】本题考查圆锥的计算，解题的关键是记住扇形的面积公式，属于中考常考题型． 16．（4分）（2020•永州）已知直线//a b ，用一块含30︒角的直角三角板按图中所示的方式放置，若125∠=︒，则2∠= 35︒ ．
【考点】JA ：平行线的性质
【分析】过点B 作//EF a ．利用平行线的性质，把1∠、2∠集中在ABC ∠上，利用角的和差求值即可．
【解答】解：过点B 作//EF a ． //a b ， ////EF a b ∴．
1ABF ∴∠=∠，2FBC ∠=∠．
ABC ∆是含30︒角的直角三角形， 60ABC ∴∠=︒． 60ABF CBF ∠+∠=︒， 2602535∴∠=︒-=︒．
故答案为：35︒．
【点评】本题考查了平行线的性质及角的和差关系．掌握平行线的性质是解决本题的关键． 17．（4分）（2020•永州）如图，正比例函数y x =-与反比例函数6y x
=-的图象交于A ，C
两点，过点A 作AB x ⊥轴于点B ，过点C 作CD x ⊥轴于点D ，则ABD ∆的面积为 6 ．
【考点】8G ：反比例函数与一次函数的交点问题
【分析】根据正比例函数和反比例函数的关系式可求出交点坐标，进而得出6OB AB OD CD ===，再根据三角形的面积公式求出答案．
【解答】解：正比例函数y x =-与反比例函数6
y x =-的图象交点坐标(6A -，6)，(6C 6)，
AB x ⊥轴，CD x ⊥轴， 6OB AB OD CD ∴===
11
266622
ABD S BD AB ∆∴=
=⨯=， 故答案为：6．
【点评】本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，求出交点坐标是得到答案的前提．
18．（4分）（2020•永州）AOB ∠在平面直角坐标系中的位置如图所示，且60AOB ∠=︒，在AOB ∠内有一点(4,3)P ，M ，N 分别是OA ，OB 边上的动点，连接PM ，PN ，MN ，则
PMN ∆周长的最小值是 53 ．
【考点】PA ：轴对称-最短路线问题；5D ：坐标与图形性质
【分析】分别作P 关于射线OA 、射线OB 的对称点P '与点P ''，连接P P '''，与OA 、OB 分别交于M 、N 两点，此时PMN ∆周长最小，最小值为P P '''的长，连接OP '，OP ''，OP ，利用垂直平分线定理得到OP OP OP '=''=，由P 坐标确定出OP 的长，在三角形OP P '''中求出P P '''的长，即为三角形PMN 周长的最小值．
【解答】解：分别作P 关于射线OA 、射线OB 的对称点P '与点P ''，连接P P '''，与OA 、OB 分别交于M 、N 两点，
此时PMN ∆周长最小，最小值为P P '''的长， 连接OP '，OP ''，OP ，
OA 、OB 分别为PP '，PP ''的垂直平分线，(4,3)P ，
22435OP OP OP ∴'==''=+，且POA P OA ∠=∠'，POB P OB ∠=∠''， 60AOB AOP BOP ∠=∠+∠=︒， 120P OP ∴∠'''=︒，
过O 作OQ P P ⊥'''，可得P Q P Q '=''，30OP Q OP Q ∠'=∠''=︒， 5
2
OQ ∴=
，53P Q P Q '=''
53
2253P P P Q ∴'''='== 则PMN ∆周长的最小值是3 故答案为：53
【点评】此题考查了轴对称-最短线路问题，坐标与图形性质，勾股定理，熟练掌握轴对称的性质是解本题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）（2020•永州）计算：0131
20208()2
-︒-．
【考点】5T ：特殊角的三角函数值；6F ：负整数指数幂；6E ：零指数幂；2C ：实数的运算
【分析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式11222
=+⨯-
112=+-
0=．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
20．（8分）（2020•永州）先化简，再求值：2221221
()(2)1144
a a a a a a a a +-+-++-++，其中2a =．
【考点】6D ：分式的化简求值
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a 的值代入计算可得． 【解答】解：原式2
2
12(1)[](2)1(1)(1)(2)a a a a a a a +-=-+++-+
11[](2)1(1)(2)
a a a a a -=-++++ 21
11a a a a +-=-
++ 3
1
a =
+， 当2a =时，
原式3
121
=
=+． 【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 21．（8分）（2020•永州）今年6月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为A ，B ，C ，D 四个等级，:90100A S <，
:8090B S <，:7080C S <，:70D S ．并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中
所给信息，解答下列问题：
（1）请把条形统计图补充完整．
（2）扇形统计图中m = 15 ，n = ，B 等级所占扇形的圆心角度数为 ． （3）该校准备从上述获得A 等级的四名学生中选取两人参加永州市举行的“六城同创”知识竞赛，已知这四人中有两名男生（用1A ，2A 表示），两名女生（用1B ，2B 表示），请利用树状图法或列表法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
【考点】VC ：条形统计图；VB ：扇形统计图；6X ：列表法与树状图法
【分析】（1）先由A 等级人数及其所占百分比求出总人数，再根据四个等级人数之和等于总人数求出C 等级人数，从而补全图形；
（2）根据（1）种补全图形得出C 、D 人数，利用百分比概念求解可得m 、n 的值，用360︒乘以B 等级对应的百分比可得其对应圆心角度数；
（3）分别用树状图方法表示出所有等可能结果，从中找到恰好抽到1名男生和1名女生的结果数，利用概率公式计算可得．
【解答】解：（1）被调查的总人数为410%40÷=（人)， C ∴等级人数为40(4282)6-++=（人)，
补全图形如下：
（2）6%100%15%40m =
⨯=，即15m =， 2%100%5%40n =⨯=，即5n =； B 等级所占扇形的圆心角度数为36070%252︒⨯=︒，
故答案为：15，5，252︒；
（3）画树状图如下：
共有12种可能的结果，恰好抽到1名男生和1名女生的有8种结果，
∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为82123
=． 【点评】本题考查了列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图；通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后根据概率公式求出事件A 或B 的概率．
22．（10分）（2020•永州）一艘渔船从位于A 海岛北偏东60︒方向，距A 海岛60海里的B 处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行．已知在A 海岛周围50海里水域内有暗礁．3 1.73≈5 2.247 2.65)≈
（1）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由．
（2）渔船航行3小时后到达C 处，求A ，C 之间的距离．
【考点】TB ：解直角三角形的应用-方向角问题
【分析】（1）作AD BC ⊥于D ，由题意得60AB =，906030BAD ∠=︒-︒=︒，则1302
BD AB ==，330351.950AD BD ==≈>，即可得出结论； （2）由（1）得30BD =，303AD =903060DC BC BD =-=-=，由勾股定理求出AC 即可．
【解答】解：（1）这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险，理由如下：
作AD BC ⊥于D ，如图：
则90ADB ADC ∠=∠=︒，
由题意得：60AB =，906030BAD ∠=︒-︒=︒，
1302
BD AB ∴==，330351.950AD BD =>， ∴这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险；
（2）由（1）得：30BD =，303AD =
33090BC =⨯=，
903060DC BC BD ∴=-=-=，
在Rt ADC ∆中，2222(303)6030779.50AC AD DC ++（海里）；
答：A ，C 之间的距离约为79.50海里．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用、方向角的概念、直角三角形的性质，正确作出辅助线是解答此题的关键．
23．（10分）（2020•永州）某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和95N 口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，95N 口罩花费9600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比95N 口罩的单价少10元．
（1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和95N 口罩的单价各是多少元？
（2）该药店计划再次购进两种口罩共2000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？
【考点】9C ：一元一次不等式的应用；7B ：分式方程的应用
【分析】（1）可设一次性医用外科口罩的单价是x 元，则95N 口罩的单价是(10)x +元，根据等量关系：两种口罩的只数相同，列出方程即可求解；
（2）可设购进一次性医用外科口罩y 只，根据购进的总费用不超过1万元，列出不等式即可求解．
【解答】解：（1）设一次性医用外科口罩的单价是x 元，则95N 口罩的单价是(10)x +元，依题意有
1600960010
x x =+， 解得2x =，
经检验，2x =是原方程的解，
1021012x +=+=．
故一次性医用外科口罩的单价是2元，95N 口罩的单价是12元；
（2）设购进一次性医用外科口罩y 只，依题意有
212(2000)10000y y +-，
解得1400y ．
故至少购进一次性医用外科口罩1400只．
【点评】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，找准等量关系和不等关系，正确列出分式方程和不等式是解题的关键．
24．（10分）（2020•永州）如图，ABC ∆内接于O ，AB 是O 的直径，BD 与O 相切于点B ，BD 交AC 的延长线于点D ，E 为BD 的中点，连接CE ．
（1）求证：CE 是O 的切线．
（2）已知35BD =，5CD =，求O ，E 两点之间的距离．
【考点】5M ：圆周角定理；ME ：切线的判定与性质；MA ：三角形的外接圆与外心；9S ：相似三角形的判定与性质
【分析】（1）由等腰三角形的性质可得OBC OCB ∠=∠，由圆周角定理可得90ACB ∠=︒，由直角三角形的性质可得BE CE DE ==，可得ECB EBC ∠=∠，由切线的性质可得90ABD ∠=︒，可证OC CE ⊥，可得结论；
（2）通过证明BCD ABD ∆∆∽，可得
BD CD AD BD
=，可求AD 的长，由三角形中位线定理可求解． 【解答】证明：（1）如图，连接OC ，OE ，
OB OC
=，
OBC OCB
∴∠=∠，
AB是直径，
90
ACB
∴∠=︒，
E为BD的中点，
BE CE DE
∴==，
ECB EBC
∴∠=∠，
BD与O相切于点B，
90
ABD
∴∠=︒，
90
OBC EBC
∴∠+=︒，
90
OCB ECB
∴∠+∠=︒，
90
OCE
∴∠=︒
OC CE
∴⊥，
又OC为半径，
CE
∴是O的切线；
（2）D D
∠=∠，BCD ABD
∠=∠，BCD ABD
∴∆∆
∽，
∴BD CD
AD BD
=，
2
BD AD CD
∴=，
2
(35)5AD
∴=，
9
AD
∴=，
E为BD的中点，AO BO
=，
1922OE AD ∴==， O ∴，E 两点之间的距离为
92． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，利用相似三角形的性质求出AD 的长是本题的关键．
25．（12分）（2020•永州）在平面直角坐标系xOy 中，等腰直角ABC ∆的直角顶点C 在y 轴上，另两个顶点A ，B 在x 轴上，且4AB =，抛物线经过A ，B ，C 三点，如图1所示．
（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．
（2）过原点任作直线l 交抛物线于M ，N 两点，如图2所示．
①求CMN ∆面积的最小值．
②已知3(1,)2
Q -是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P ，使得点P 与点Q 关于直线l 对称，若存在，求出点P 的坐标及直线l 的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．
【考点】HF ：二次函数综合题
【分析】（1）先根据等腰直角三角形的性质求得OA 、OB 、OC ，进而得A 、B 、C 三点的坐标，再用待定系数法求得抛物线的解析式；
（2）①设直线l 的解析式为y kx =，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，联立方程组求得12||x x -，再由三角形的面积公式求得结果；
②假设抛物线上存在点21(,2)2
P m m -，使得点P 与点Q 关于直线l 对称，由OP OQ =列出方程求得m 的值，再根据题意舍去不合题意的m 值，再求得PQ 的中点坐标，便可求得直线l 的解析式．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠，
在等腰Rt ABC ∆中，OC 垂直平分AB ，且4AB =，
2OA OB OC ∴===，
(2,0)A ∴-，(2,0)B ，(0,2)C -，
∴4204202a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=-⎩
， 解得，1202a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩
，
∴抛物线的解析式为2122
y x =-； （2）①设直线l 的解析式为y kx =，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ， 由2122y x y kx
⎧=-⎪⎨⎪=⎩，可得21202x kx --=， 122x x k ∴+=，124x x =-，
∴222121212()()4416x x x x x x k -=+-=+，
∴12||x x -=
∴121||2
CMN S OC x x ∆=-=， ∴当0k =
时取最小值为4．
CMN ∴∆面积的最小值为4．
②假设抛物线上存在点21(,2)2
P m m -，使得点P 与点Q 关于直线l 对称， OP OQ ∴=
=
解得，1m =
2m =31m =，41m =-，
31m =，41m =-不合题意，舍去，
当1m =
1)2
P -， 线段PQ
的中点为1)-，。