1-1-2第二讲 复数、平面向量、程序框图与推理
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点E为BC的中点，点F在边CD上，若 ________． · ＝，则 · 的值是
[解析] (1)利用平面向量的数量积概念、
模的概念求解． ∵a，b的夹角为45°，|a|＝1， 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司
∴a· b＝|a|· |b|cos 45° ＝
2
2 |b|， 2
2 |2a－b| ＝4－4× |b|＋|b|2＝10，∴|b|＝3 2. 2
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高考新课标专题复习 ·数学（理）
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析典题 预 测 高 考 重演练 素 能 提 升
已知A(－3，0)、B(0，2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，|OC|
＝2，且∠AOC＝
A．1 C.
，设＝
λ
B. D.
＋
(λ∈R)，则λ的值为(
＝ · 4ML2· 2－（ML2＋NL2－MN2）2 . NL ∵OM2＋ON2＝MN2， OM2＋OL2＝ML2， OL2＋ON2＝LN2， 1 ∴S4＝ OM2· 2＋OL2· 2＋OM2· 2 ， ON ON OL 2 ∴ S2＋S2＋S2＝S2 . 1 2 3 4 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司
(2012年南昌市一中月考)在平面上，我们如果用一条直线去截正
方形的一个角，那么截下的是一个直角三角形，若将该直角三角形按 图标出边长a，b，c，则由勾股定理有：a2＋b2＝c2.设想把正方形换成
正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两
垂直的三棱锥OLMN，如果用S1，S2，S3表示三个侧面面积，S4表示 截面面积，那么你类比得到的结论是________． 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司
π(M＋N)＝4M，π＝
[答案] (1)C (2)D
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析典题 预 测 高 考 重演练 素 能 提 升
(2)(2012年高考陕西卷)如图所示是用模拟方法估计圆周率π值的程 序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入( )
N A．P＝ 1 000
4N B．P＝ 1 000
M C．P＝ 1 000
4M D．P＝ 1 000
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析典题 预 测 高 考 重演练 素 能 提 升
[解析] (1)按照循环条件，逐次求解判断． 运行一次后S＝0＋3－30＝2，运行两次后S＝2＋32－3＝8，运行 三次后S＝8＋33－32＝26，此时n＝4，输出S. (2)采用几何概型法． ∵xi，yi为0～1之间的随机数，构成以1为边长的正方形面， 当 示)． ∴有 ＝ ，Nπ＝4M－Mπ， . ＋ ≤1时，点(xi，yi)均落在以原点为圆心，以1为半径且在 圆内，当 ＋ >1时对应点落在阴影部分中(如图所 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司 第一象限的
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答案：C
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1．类比推理的一般步骤 (1)找出两类事物之间的相似性或一致性； (2)用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的结 论． 2．归纳推理的一般步骤 (1)通过观察个别事物发现某些相同的性质； 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司
1．算法的三种基本逻辑结构：顺序结构，条件结构，循环结
构． 2．循环结构一定包含条件结构．
[例3] (1)(2012年高考天津卷)阅读如图所示的程序框图，运行相
应的程序，则输出S的值为( A．8 ) 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司
B．18
C．26
D．80
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4．夹角与模 (1)设θ为a与b(a≠0，b≠0)的夹角，则 ①cos θ＝
a· b ； |a||b|
②若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， x1x2＋y1y2 则cos θ＝ 2 2 2 2. x1＋y1 x2＋y2 (2)若a＝(x，y)，则|a|＝ x2＋y2 .
∴“ab＝0”是“复数a＋ 为纯虚数”的必要不充分条件．
答案：B
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1．平面向量的线性运算法则 (1)三角形法则；
(2)平行四边形法则．
2．向量共线的条件 存在两非零向量a，b，则 (1)若a，b共线，则存在λ∈R，b＝λa. (2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则x1y2－x2y1＝0. 3．向量垂直的条件 (1)已知非零向量a，b，且a与b垂直，则a·b＝0. (2)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则x1x2＋y1y2＝0.
[例1] (1)(2012年高考天津卷)i是虚数单位，复数＝( A．1－i B．－1＋i
)ห้องสมุดไป่ตู้
C．1＋i
复数，则z2＋z2的虚部为(
D．－1－i
)
(2)(2012年高考江西卷)若复数z＝1＋i(i为虚数单位)，z 是z的共轭
A．0
C．1
B．－1
D．－2 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司
[解析] (1)利用复数的乘法、除法法则求解．
答案： 2＋S2＋S2＝S2 S1 2 3 4
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【真题】
(2012年高考安徽卷)若平面向量a，b满足|2a－b|≤3，
则a· b的最小值是________． 【解析】 利用向量减法的三角形法则及数量积的运算公式求 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司
2．(2012年高考陕西卷)设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是 “复数a＋ 为纯虚数”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：直接法． 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司
∵a＋ ＝a－bi为纯虚数，∴必有a＝0，b≠0，
而ab＝0时有a＝0或b＝0， ∴由a＝0，b≠0⇒ab＝0，反之不成立．
1 1 5 1＋ 2＋ 2< ， 2 3 3 1 1 1 7 1＋ 2＋ 2＋ 2< ， 2 3 4 4 ……
照此规律，第五个不等式为________________．
[解析] 归纳观察法． 观察每行不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数的分母 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司
与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子构成等差数列．
z1 1－3i （1－3i）（3＋2i） 9－7i 解析：因为 z1＝ 所以 ＝ ＝ ， z2 z2 3－2i （3－2i）（3＋2i） 13 9 7 在复平面内对应的点为( ，－ )，在第四象限，选 D. 13 13
答案：D
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(
(2012年洛阳模拟)如果执行如图所示的程序框图，则运行结果为 ) A．－ C. B．－1 D．2 ，i＝2； 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司
解析：第一次循环：s＝ 第三次循环：s＝2，i＝4； …易知当i＝2 012时输出s，
第二次循环：s＝－1，i＝3；
因为循环过程中s的值呈周期性变化， 周期为3，又2 012＝670×3＋2， 所以运行结果与i＝2时输出的结果一致， 故输出s＝ .
)
山 东 解析：过C作CE⊥x轴于点E，由∠AOC＝ ，知|OE|＝|CE|＝2， 金 太 所以 ＝ ＋ ＝λ ＋ ，即 ＝λ ，所以(－2，0)＝λ(－3， 阳 书 0)，故λ＝ . 业 有 答案：D 限 公 司
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[例2]
(1)(2012年高考课标全国卷)已知向量a，b夹角为45°，且
|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝________.
(2)(2012年高考江苏卷)如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，
解．
由向量减法的三角形法则知，当a与b共线且反向时，|2a－b|的最 大值为3.此时设a＝λb(λ<0)，则|2a－b|＝|2λb－b|＝3，
3 3|λ| ∴|b|＝ ，|a|＝ . |2λ－1| |2λ－1|
∴第五个不等式为 [答案]
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解析：由图可得S1＝
S3 ＝ S4 ＝ OM·OL，
OM·ON，S2＝ OL·ON，
ML·NL·sin ∠MLN
＝
＝
ML·NL· 1－cos 2∠MLN
ML·NL·
ML2＋NL2－MN2） 2 1－（ ） 2ML· NL
(2)复数的模
复数z＝a＋bi的模|z|＝ (3)复数相等的充要条件 a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈ R)． 特别地，a＋bi＝0⇔a＝0且b＝0(a，b∈R)． .
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[答案] (1)3 2
(2) 2
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第二讲
复数、平面向量、程序框图与推理
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(1)共轭复数 复数z＝a＋bi的共轭复数为z＝a－bi.
(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题．一般情
况下，归纳的个别事物越多，越具有代表性，推广的一般性结论也就 越可靠．
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[例4] (2012年高考陕西卷)观察下列不等式： 1 3 1＋ 2< ， 2 2
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1．(2012年广州模拟)设复数z1＝1－3i，z2＝3－2i，则 z1 在复平面 z2 内对应的点在( ) A．第一象限 C．第三象限 B．第二象限 D．第四象限 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司
5＋3i （5＋3i）（4＋i） 17＋17i ＝ ＝ ＝1＋i. 17 4－i 42＋1 (2)利用复数运算法则求解．
∵z＝1＋i，∴z＝1－i，z2＋z2＝(1＋i)2＋(1－i)2
＝2i－2i＝0. [答案] (1)C (2)A
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[解析] (1)利用平面向量的数量积概念、
模的概念求解． ∵a，b的夹角为45°，|a|＝1， 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司
∴a· b＝|a|· |b|cos 45° ＝
2
2 |b|， 2
2 |2a－b| ＝4－4× |b|＋|b|2＝10，∴|b|＝3 2. 2
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已知A(－3，0)、B(0，2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，|OC|
＝2，且∠AOC＝
A．1 C.
，设＝
λ
B. D.
＋
(λ∈R)，则λ的值为(
＝ · 4ML2· 2－（ML2＋NL2－MN2）2 . NL ∵OM2＋ON2＝MN2， OM2＋OL2＝ML2， OL2＋ON2＝LN2， 1 ∴S4＝ OM2· 2＋OL2· 2＋OM2· 2 ， ON ON OL 2 ∴ S2＋S2＋S2＝S2 . 1 2 3 4 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司
(2012年南昌市一中月考)在平面上，我们如果用一条直线去截正
方形的一个角，那么截下的是一个直角三角形，若将该直角三角形按 图标出边长a，b，c，则由勾股定理有：a2＋b2＝c2.设想把正方形换成
正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两
垂直的三棱锥OLMN，如果用S1，S2，S3表示三个侧面面积，S4表示 截面面积，那么你类比得到的结论是________． 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司
π(M＋N)＝4M，π＝
[答案] (1)C (2)D
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(2)(2012年高考陕西卷)如图所示是用模拟方法估计圆周率π值的程 序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入( )
N A．P＝ 1 000
4N B．P＝ 1 000
M C．P＝ 1 000
4M D．P＝ 1 000
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[解析] (1)按照循环条件，逐次求解判断． 运行一次后S＝0＋3－30＝2，运行两次后S＝2＋32－3＝8，运行 三次后S＝8＋33－32＝26，此时n＝4，输出S. (2)采用几何概型法． ∵xi，yi为0～1之间的随机数，构成以1为边长的正方形面， 当 示)． ∴有 ＝ ，Nπ＝4M－Mπ， . ＋ ≤1时，点(xi，yi)均落在以原点为圆心，以1为半径且在 圆内，当 ＋ >1时对应点落在阴影部分中(如图所 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司 第一象限的
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答案：C
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1．类比推理的一般步骤 (1)找出两类事物之间的相似性或一致性； (2)用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的结 论． 2．归纳推理的一般步骤 (1)通过观察个别事物发现某些相同的性质； 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司
1．算法的三种基本逻辑结构：顺序结构，条件结构，循环结
构． 2．循环结构一定包含条件结构．
[例3] (1)(2012年高考天津卷)阅读如图所示的程序框图，运行相
应的程序，则输出S的值为( A．8 ) 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司
B．18
C．26
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4．夹角与模 (1)设θ为a与b(a≠0，b≠0)的夹角，则 ①cos θ＝
a· b ； |a||b|
②若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， x1x2＋y1y2 则cos θ＝ 2 2 2 2. x1＋y1 x2＋y2 (2)若a＝(x，y)，则|a|＝ x2＋y2 .
∴“ab＝0”是“复数a＋ 为纯虚数”的必要不充分条件．
答案：B
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1．平面向量的线性运算法则 (1)三角形法则；
(2)平行四边形法则．
2．向量共线的条件 存在两非零向量a，b，则 (1)若a，b共线，则存在λ∈R，b＝λa. (2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则x1y2－x2y1＝0. 3．向量垂直的条件 (1)已知非零向量a，b，且a与b垂直，则a·b＝0. (2)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则x1x2＋y1y2＝0.
[例1] (1)(2012年高考天津卷)i是虚数单位，复数＝( A．1－i B．－1＋i
)ห้องสมุดไป่ตู้
C．1＋i
复数，则z2＋z2的虚部为(
D．－1－i
)
(2)(2012年高考江西卷)若复数z＝1＋i(i为虚数单位)，z 是z的共轭
A．0
C．1
B．－1
D．－2 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司
[解析] (1)利用复数的乘法、除法法则求解．
答案： 2＋S2＋S2＝S2 S1 2 3 4
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【真题】
(2012年高考安徽卷)若平面向量a，b满足|2a－b|≤3，
则a· b的最小值是________． 【解析】 利用向量减法的三角形法则及数量积的运算公式求 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司
2．(2012年高考陕西卷)设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是 “复数a＋ 为纯虚数”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：直接法． 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司
∵a＋ ＝a－bi为纯虚数，∴必有a＝0，b≠0，
而ab＝0时有a＝0或b＝0， ∴由a＝0，b≠0⇒ab＝0，反之不成立．
1 1 5 1＋ 2＋ 2< ， 2 3 3 1 1 1 7 1＋ 2＋ 2＋ 2< ， 2 3 4 4 ……
照此规律，第五个不等式为________________．
[解析] 归纳观察法． 观察每行不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数的分母 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司
与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子构成等差数列．
z1 1－3i （1－3i）（3＋2i） 9－7i 解析：因为 z1＝ 所以 ＝ ＝ ， z2 z2 3－2i （3－2i）（3＋2i） 13 9 7 在复平面内对应的点为( ，－ )，在第四象限，选 D. 13 13
答案：D
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(
(2012年洛阳模拟)如果执行如图所示的程序框图，则运行结果为 ) A．－ C. B．－1 D．2 ，i＝2； 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司
解析：第一次循环：s＝ 第三次循环：s＝2，i＝4； …易知当i＝2 012时输出s，
第二次循环：s＝－1，i＝3；
因为循环过程中s的值呈周期性变化， 周期为3，又2 012＝670×3＋2， 所以运行结果与i＝2时输出的结果一致， 故输出s＝ .
)
山 东 解析：过C作CE⊥x轴于点E，由∠AOC＝ ，知|OE|＝|CE|＝2， 金 太 所以 ＝ ＋ ＝λ ＋ ，即 ＝λ ，所以(－2，0)＝λ(－3， 阳 书 0)，故λ＝ . 业 有 答案：D 限 公 司
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[例2]
(1)(2012年高考课标全国卷)已知向量a，b夹角为45°，且
|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝________.
(2)(2012年高考江苏卷)如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，
解．
由向量减法的三角形法则知，当a与b共线且反向时，|2a－b|的最 大值为3.此时设a＝λb(λ<0)，则|2a－b|＝|2λb－b|＝3，
3 3|λ| ∴|b|＝ ，|a|＝ . |2λ－1| |2λ－1|
∴第五个不等式为 [答案]
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解析：由图可得S1＝
S3 ＝ S4 ＝ OM·OL，
OM·ON，S2＝ OL·ON，
ML·NL·sin ∠MLN
＝
＝
ML·NL· 1－cos 2∠MLN
ML·NL·
ML2＋NL2－MN2） 2 1－（ ） 2ML· NL
(2)复数的模
复数z＝a＋bi的模|z|＝ (3)复数相等的充要条件 a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈ R)． 特别地，a＋bi＝0⇔a＝0且b＝0(a，b∈R)． .
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[答案] (1)3 2
(2) 2
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析典题 预 测 高 考 重演练 素 能 提 升
第二讲
复数、平面向量、程序框图与推理
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析典题 预 测 高 考 重演练 素 能 提 升
(1)共轭复数 复数z＝a＋bi的共轭复数为z＝a－bi.
(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题．一般情
况下，归纳的个别事物越多，越具有代表性，推广的一般性结论也就 越可靠．
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析典题 预 测 高 考 重演练 素 能 提 升
[例4] (2012年高考陕西卷)观察下列不等式： 1 3 1＋ 2< ， 2 2
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析典题 预 测 高 考 重演练 素 能 提 升
1．(2012年广州模拟)设复数z1＝1－3i，z2＝3－2i，则 z1 在复平面 z2 内对应的点在( ) A．第一象限 C．第三象限 B．第二象限 D．第四象限 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司
5＋3i （5＋3i）（4＋i） 17＋17i ＝ ＝ ＝1＋i. 17 4－i 42＋1 (2)利用复数运算法则求解．
∵z＝1＋i，∴z＝1－i，z2＋z2＝(1＋i)2＋(1－i)2
＝2i－2i＝0. [答案] (1)C (2)A
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