东北大学理论力学第七章 点的合成运动
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07-理论力学-第二部分运动学第七章点的合成运动
下面举例说明以上各概念。 1515
运动学/点的合成运动
动 点： AB杆上的A点 动 系： 凸轮 定 系： 地面 绝对运动： 直线 相对运动：曲线（圆弧） 牵连运动： 直线平移
1616
运动学/点的合成运动
动 点：A(在AB杆上) 动 系：偏心轮C 定 系： 地面 绝对运动：直线 相对运动：圆周（C） 牵连运动： 定轴转动
22
运动学/点的合成运动
另一方面，在实际问题中，不仅要在固联在地面上 的参考系上还要在相对于地面运动着的参考系上观察和 研究物体的运动。下面先看几个例子。
33
运动学/点的合成运动
44
55
本章将用点的合成运动的方法来研究这类问题。 66
第七章 点的合成运动
§7-1 §7-2 §7-3
§7-4
r 2
r 2
r2
l2
r2
l 2（
） 3030
运动学/点的合成运动
例4 圆盘凸轮机构
已知：OC＝e ，R 3e ，（匀角速度），图示瞬时， OCCA，且O，A，B三点共线。求：从动杆AB的速度。
解：选取动点：AB 上的A点
动系：圆盘
绝对运动：直线 相对运动：圆周
由
定系：基座 va
牵连运动：定轴 ve vr
▼动点相对动系、定系必须 有运动，不能和动系在同一 物体上。
▼以上可归结为一点、两系 、三运动。
2020
运动学/点的合成运动
四、 运动方程及坐标变换 可以利用坐标变换来建立绝对、
相对和牵连运动之间的关系。
以二维问题为例。设定系 ，
动系
。动点M，如图所示。
（1）绝对运动方程： x x(t), y y(t)
大小 ? OA
运动学/点的合成运动
动 点： AB杆上的A点 动 系： 凸轮 定 系： 地面 绝对运动： 直线 相对运动：曲线（圆弧） 牵连运动： 直线平移
1616
运动学/点的合成运动
动 点：A(在AB杆上) 动 系：偏心轮C 定 系： 地面 绝对运动：直线 相对运动：圆周（C） 牵连运动： 定轴转动
22
运动学/点的合成运动
另一方面，在实际问题中，不仅要在固联在地面上 的参考系上还要在相对于地面运动着的参考系上观察和 研究物体的运动。下面先看几个例子。
33
运动学/点的合成运动
44
55
本章将用点的合成运动的方法来研究这类问题。 66
第七章 点的合成运动
§7-1 §7-2 §7-3
§7-4
r 2
r 2
r2
l2
r2
l 2（
） 3030
运动学/点的合成运动
例4 圆盘凸轮机构
已知：OC＝e ，R 3e ，（匀角速度），图示瞬时， OCCA，且O，A，B三点共线。求：从动杆AB的速度。
解：选取动点：AB 上的A点
动系：圆盘
绝对运动：直线 相对运动：圆周
由
定系：基座 va
牵连运动：定轴 ve vr
▼动点相对动系、定系必须 有运动，不能和动系在同一 物体上。
▼以上可归结为一点、两系 、三运动。
2020
运动学/点的合成运动
四、 运动方程及坐标变换 可以利用坐标变换来建立绝对、
相对和牵连运动之间的关系。
以二维问题为例。设定系 ，
动系
。动点M，如图所示。
（1）绝对运动方程： x x(t), y y(t)
大小 ? OA
理论力学7-2
z
M M '
rM z '
r'
O' x'
k ' rO ' i '
j'
y'
O
y
UNIVERSITY OF JINAN
第七章 点的合成运动
1. 动系做平移时 i 0, j 0, k 0
' k ' 0 2 x' i ' y ' j ' z
ve vr va ro
vB ve r O l l l
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第七章 点的合成运动
绝对加速度 相对加速度
n 2 aa aa O r
方向由A指向O
ar ?
n e 2 e
方向水平
2 O r2
v 牵连加速度 a l
l
方向由B指向D
v R vr aa R R 2 v R 2 r 2vr R
2 a 2
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第七章 点的合成运动
加速度合成定理(Theorem of composition of accelerations)
1. 动系做平移时
aa ae ar
2. 两个不相关的物体，求二者的相对速度。 根据题意, 选择所求相对运动速度的点为动点, 动系 固结于另一物体上。
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第七章 点的合成运动
3. 相对于运动物体在运动的物体上有一动点，求该点的绝 对运动。则取该点取为动点，动系固结于另一个运动物体 上。
理论力学第七章
12
例题
点的复合运动
例 题 7-1
3. 速度分析。
绝对速度va：va＝OA · ＝r ω ，方 ω 向垂直于OA，沿铅垂
方向向上。
牵连速度ve：ve为所要求的未知量， 方向垂直于O1B 。 相对速度vr：大小未知，方向沿摇杆 O1B 。 应用速度合成定理
va ve vr
13
例题
点的复合运动
2. 运动分析。 绝对运动－以O为圆心的圆周运动。 相对运动－沿杆BC直线运动。 牵连运动－平动。
24
ω0
O
30
C
例题
点的复合运动
例 题 8-10
3. 速度分析。
α
ω
60
绝对速度va：va = ω0 r，垂直于OA向下。
D A E 牵连速度ve： ve= vB，垂直于BD向右下。
B
vr vB v a
a
a
n ae sin 30 cos 30
2 3o l r 3l
所以杆BD的角加速度
t ae l
2 3 o r (l r )
3l 2
27
例题
点的复合运动
习题课
28
第七章
一、基本概念
点的合成运动习题课
1.一个动点，两个坐标系，三种 运动 2.速度合成定理
v2 B
v1
30
vr 与 va 的夹角 ve
60
M
β
ve sin 60 46 12 arcsin vr
va
vr
18
§7-３点的加速度合成定理
先分析 k’ 对时间的导数。
' drA rA rO k vA e rA dt ' ' drO dk e (rO k ) dt dt 因为 v drO r O e O dt
例题
点的复合运动
例 题 7-1
3. 速度分析。
绝对速度va：va＝OA · ＝r ω ，方 ω 向垂直于OA，沿铅垂
方向向上。
牵连速度ve：ve为所要求的未知量， 方向垂直于O1B 。 相对速度vr：大小未知，方向沿摇杆 O1B 。 应用速度合成定理
va ve vr
13
例题
点的复合运动
2. 运动分析。 绝对运动－以O为圆心的圆周运动。 相对运动－沿杆BC直线运动。 牵连运动－平动。
24
ω0
O
30
C
例题
点的复合运动
例 题 8-10
3. 速度分析。
α
ω
60
绝对速度va：va = ω0 r，垂直于OA向下。
D A E 牵连速度ve： ve= vB，垂直于BD向右下。
B
vr vB v a
a
a
n ae sin 30 cos 30
2 3o l r 3l
所以杆BD的角加速度
t ae l
2 3 o r (l r )
3l 2
27
例题
点的复合运动
习题课
28
第七章
一、基本概念
点的合成运动习题课
1.一个动点，两个坐标系，三种 运动 2.速度合成定理
v2 B
v1
30
vr 与 va 的夹角 ve
60
M
β
ve sin 60 46 12 arcsin vr
va
vr
18
§7-３点的加速度合成定理
先分析 k’ 对时间的导数。
' drA rA rO k vA e rA dt ' ' drO dk e (rO k ) dt dt 因为 v drO r O e O dt
理论力学课件—点的合成运动-2
ω
O
ae φ aa
A
ar B
E flash
C
绝对运动：圆周运动（O点） 相对运动：直线运动（DE） 牵连运动：平移（BC）
2.加速度
aBC
aa ae ar 2 aa cos r cost
例7-9 如图所示平面机构中，曲柄OA=r，以匀角 速度ωO 转动。套筒A沿BC杆滑动。已知：BC=DE， 且BD=CE=l。
相对速度 v r ——动点相对于动系运动的速度
（牵连点）相对于定系运动的速度
解题步骤：
（1）选动点、动系， 注意动点和动系不能选在同一物体上；
（2）分析三种运动，要有四个已知要素；
（3）写公式，画图（画在动点上） 速度平行四边形，注意va是对角线； （4）求解。
点作圆周运动时
t a
（1）切线方向加速度， 与半径垂直，与 同向
r ' xi ' yj ' z k '
~ ~ dr ' dr ' dr ' ( x'i ' y'j ' z'k ' ) r' dt dt dt
~ dr ' dr ' r' dt dt
牵连加速度 a e
牵连点：在动参考系上与动点相重合的点 牵连点的速度和加速度称为动点的牵连速度 和牵连加速度。
牵连速度 v e
点的速度合成定理：
va ve vr
速度平行四边形
vr
va ve
绝对速度 va ——动点相对于定系运动的速度
牵连速度 v e ——动系上与动点相重合的那一点
O
ae φ aa
A
ar B
E flash
C
绝对运动：圆周运动（O点） 相对运动：直线运动（DE） 牵连运动：平移（BC）
2.加速度
aBC
aa ae ar 2 aa cos r cost
例7-9 如图所示平面机构中，曲柄OA=r，以匀角 速度ωO 转动。套筒A沿BC杆滑动。已知：BC=DE， 且BD=CE=l。
相对速度 v r ——动点相对于动系运动的速度
（牵连点）相对于定系运动的速度
解题步骤：
（1）选动点、动系， 注意动点和动系不能选在同一物体上；
（2）分析三种运动，要有四个已知要素；
（3）写公式，画图（画在动点上） 速度平行四边形，注意va是对角线； （4）求解。
点作圆周运动时
t a
（1）切线方向加速度， 与半径垂直，与 同向
r ' xi ' yj ' z k '
~ ~ dr ' dr ' dr ' ( x'i ' y'j ' z'k ' ) r' dt dt dt
~ dr ' dr ' r' dt dt
牵连加速度 a e
牵连点：在动参考系上与动点相重合的点 牵连点的速度和加速度称为动点的牵连速度 和牵连加速度。
牵连速度 v e
点的速度合成定理：
va ve vr
速度平行四边形
vr
va ve
绝对速度 va ——动点相对于定系运动的速度
牵连速度 v e ——动系上与动点相重合的那一点
理论力学 7.点的合成运动
绝对速度va = r 方向 OA 相对速度vr = ? 方向//O1B 牵连速度ve = ? 方向O1B
由速度合成定理 va= vr+ ve 作出 速度平行四边形 如图示。
r r 2 sin ,ve va sin r 2 l 2 r 2 l 2 ve 1 r 2 r 2 又ve O1 A1 ,1 2 l 2 （ 2 2 O1 A r 2 2 r l r l
做出速度平行四边形,如图示。
vr
ve v0 2 v0 o sin sin60 3
因牵连运动为平动，故有
aa ae a r ar
n 2
n
2
n
4v 2 其中 ar vr / R ( v0 ) 2 / R 0 3R 3
作加速度矢量图如图示， 将上式投影到法线上，得
动点的绝对速度
drM d y x O xi i y j z k va (rO r ) r j z k dt dt
动点的相对速度
~ dr d i y j z k vr ( xi y j z k ) x dt dt
va = ve + vr
由几何关系
ve va sin a sin
连杆的速度大小
v a sin
例2 曲柄摆杆机构。已知：OA= r , , OO1=l，图示瞬时OAOO1，求：摆杆O1B 角速度1
解：取OA杆上A点为动点，摆杆O1B为动 系，基座为静系。 绝对速度va = r 方向 OA 相对速度vr = ? 方向//O1B
由速度合成定理
va ve vr
dx ' dy ' dz ' va vO i j k dt dt dt
理论力学第7章(点的合成运动)
（已知绝对运动和牵连运动求解相对运动的问题除外）
点的速度合成定理是瞬时矢量式，共包括大小‚方向
六个元素，已知任意四个元素，就能求出其他两个。 二、应用举例
[例] 桥式吊车 已知：小
车水平运行，速度为v平， 物块A相对小车垂直上升 的速度为v。求物块A的 运行速度。
解：选取动点: 物块A 动系: 小车 静系: 地面 相对运动: 直线; 相对速度vr =v 方向 牵连运动: 平动; 牵连速度ve=v平 方向 绝对运动: 曲线; 绝对速度va 的大小, 方向待求。
由速度合成定理 va= vr+ ve ， 作出速度平行四边形 如图示。
v a v e tg 30 0 2 3 e 3 v AB 2 3 e ( ) 3
动点：AB杆上的A点 动系：偏心轮
绝对运动：直线 相对运动：圆周（曲线） 牵连运动：定轴转动
铰接四边形O1A=O2B=100mm， O1O2=AB，杆 O1A以等角速度 ω =2rad/s绕轴O1转动。 AB杆上有一套筒C，此套筒与杆CD相铰接 ，机构的各部件都在同一铅垂平面内。
）
[例3] 圆盘凸轮机构 已知：OC＝e , R 3e , （匀角速度） 图示瞬时, OCCA 且 O、A、B三点共线。 求：从动杆AB的速度。
解：动点取直杆上A点，动系固结于圆盘， 静系固结于基座。 绝对速度 va = ? 待求，方向//AB 相对速度 vr = ? 未知，方向CA 牵连速度 ve =OA=2e , 方向 OA
y
O C
x
x
合成运动：相对某一参考体的运动可由相对于其它参考 体的几个运动组合而成，称这种运动为合成运动
动点：要研究的点
两个参考系： 一般把固定在地球上的坐标系称为静参考系； 用 Oxyz表示； 固定在相对地球运动的参考体上的坐标系称为动参考系； 用 Oxyz 表示。
点的速度合成定理是瞬时矢量式，共包括大小‚方向
六个元素，已知任意四个元素，就能求出其他两个。 二、应用举例
[例] 桥式吊车 已知：小
车水平运行，速度为v平， 物块A相对小车垂直上升 的速度为v。求物块A的 运行速度。
解：选取动点: 物块A 动系: 小车 静系: 地面 相对运动: 直线; 相对速度vr =v 方向 牵连运动: 平动; 牵连速度ve=v平 方向 绝对运动: 曲线; 绝对速度va 的大小, 方向待求。
由速度合成定理 va= vr+ ve ， 作出速度平行四边形 如图示。
v a v e tg 30 0 2 3 e 3 v AB 2 3 e ( ) 3
动点：AB杆上的A点 动系：偏心轮
绝对运动：直线 相对运动：圆周（曲线） 牵连运动：定轴转动
铰接四边形O1A=O2B=100mm， O1O2=AB，杆 O1A以等角速度 ω =2rad/s绕轴O1转动。 AB杆上有一套筒C，此套筒与杆CD相铰接 ，机构的各部件都在同一铅垂平面内。
）
[例3] 圆盘凸轮机构 已知：OC＝e , R 3e , （匀角速度） 图示瞬时, OCCA 且 O、A、B三点共线。 求：从动杆AB的速度。
解：动点取直杆上A点，动系固结于圆盘， 静系固结于基座。 绝对速度 va = ? 待求，方向//AB 相对速度 vr = ? 未知，方向CA 牵连速度 ve =OA=2e , 方向 OA
y
O C
x
x
合成运动：相对某一参考体的运动可由相对于其它参考 体的几个运动组合而成，称这种运动为合成运动
动点：要研究的点
两个参考系： 一般把固定在地球上的坐标系称为静参考系； 用 Oxyz表示； 固定在相对地球运动的参考体上的坐标系称为动参考系； 用 Oxyz 表示。
理论力学第七版第07章(1-2节)--点的合成运动 (2)
绝对运动：圆周运动 相对运动：直线运动（沿O1B） 牵连运动：定轴转动（绕O1轴） 2.速度
va ve vr r
√
大小
? ?
√
rl v r v a cos 2 l r2
方向 √
r 2 v e v a sin 2 l r2
ve ve r 2 1 2 2 2 O1 A l r2 l r
(7-15)
aa ar α r ω ω r 2ω vr
(7-18)
§7-4 牵连运动是定轴转动时点的加速度合成定理
设动系作定轴转动，转轴通过点O´，其角速度矢量为
aa ar α r ω ω r 2ω vr
v a rO xi yj z k xi yj zk
va ve v r
aa ae ar
例7-7
已知：如图所示平面机构中，铰接在曲柄端 A 的滑块，可 在丁字形杆的铅直槽DE内滑动。设曲柄以角速度ω作匀速 转动， OA r 。
回顾： 2.矢积表示绕定轴转动刚体上点的速度和加速度
dv d 加速度 a r dt dt
→
d dr r dt dt
r v
(6-21)
→
→ → →
科里奥利，法国物理学家。
1792年5月21日生于巴黎；1843年9月19日卒于巴黎。 科里奥利是巴黎工艺学院的教师，长期健康状况不佳，这 限制了他创造能力的发挥。即便如此，他的名字在物理学 中仍是不可磨灭的。 1835年，他着手从数学上和实验上研 究自旋表面上的运动问题。地球每 24 小时自转一周。赤道 面上的一点，在此时间内必须运行25，000英里，因此每小 时大约向东运行 1，000英里。在纽约纬度地面上的一点， 一天只需行进19，000英里，向东运行的速度仅约为每小时 800英里。由赤道向北流动的空气，保持其较快的速度，因 此相对于它下面运动较慢的地面而言会向东行。水流的情 况也是一样。因此，空气和水在背向赤道流动时好像被推 向东运动，反之会向西运动,这样会形成一个圆! 推动它们运动的力就称为科里奥利力。 这种力不是真实存在的 ! 只是 “ 惯性 ” 这种性质的表现而已。 正是这种"力"造成了飓风和龙卷风的旋转运动。研究大炮射 击、卫星发射等技术问题时，必须考虑到这种力。
理论力学课后习题答案
第7章 点的合成运动一、是非题（正确的在括号内打“√”、错误的打“×”）1．点的速度和加速度合成定理建立了两个不同物体上两点之间的速度和加速度之间的 关系。
( √ ) 2．根据速度合成定理，动点的绝对速度一定大于其相对速度。
( × )3．应用速度合成定理，在选取动点和动系时，若动点是某刚体上的一点，则动系不可以固结在这个刚体上。
( √ )4．从地球上观察到的太阳轨迹与同时在月球上观察到的轨迹相同。
( × ) 5．在合成运动中，当牵连运动为转动时，科氏加速度一定不为零。
( × ) 6．科氏加速度是由于牵连运动改变了相对速度的方向而产生的加速度。
( √ ) 7．在图中，动点M 以常速度r v 相对圆盘在圆盘直径上运动，圆盘以匀角速度ω绕定轴O 转动，则无论动点运动到圆盘上的什么位置，其科氏加速度都相等。
( √ )二、填空题1．已知r 234=++v i j k ，e 63=-ωi k ，则k =a 18 i ＋ -60 j ＋ 36 k 。
2．在图中，两个机构的斜杆绕O 2的角速度均为2ω，O 1O 2的距离为l ，斜杆与竖直方向的夹角为θ，则图(a)中直杆的角速度=1ωθθωcos sin 2，图(b)中直杆的角速度=1ω2ω。
图 图3．科氏加速度为零的条件有：动参考系作平动、0=r v 和r e v ω//。
4．绝对运动和相对运动是指动点分别相对于定系和动系的运动，而牵连运动是指牵连点相对于定系的运动。
牵连点是指某瞬时动系上和动点相重合的点，相应的牵连速度和加速度是指牵连点相对于定系的速度和加速度。
5．如图所示的系统，以''Ax y 为动参考系，Ax'总在水平轴上运动，AB l =。
则点B 的相对轨迹是圆周，若kt ϕ= (k 为常量)，点B 的相对速度为lk ，相对加速度为2lk 。
图6．当点的绝对运动轨迹和相对运动轨迹都是曲线时，牵连运动是直线平动时的加速度合成定理表达式是a e r =+a a a ；牵连运动是曲线平动时的加速度合成定理表达式是 a e r =+a a a ；牵连运动是转动时的加速度合成定理表达式是a e r k =++a a a a 。
第七章 点的合成运动
y
z'
' rM rO' r
M1：动系上与M重合的一点（牵连点） ' ' ' ' ' ' ' rM1 rM r x i y j z k
Northeastern University
§7-2
点的速度合成定理
z
' ' ' ' ' ' ' ' r x i y j z k ; rM rO' r rM1 ~ d r' ' ' ' ' ' ' i y j z k x vr dt
§7-1 相对运动 ·牵连运动 ·绝对运 动 绝对运动:动点相对于定系的运动
相对运动:动点相对于动系的运动
点的运动
牵连运动:动系相对于定系的运动 — 刚体的运动 圆周运动 直线运动 曲线运动 平行移动 定轴转动 平面运动 自由运动
点的运动
旋轮线 圆周运动 + 平移 螺旋线 直线运动 + 转动 一个动点; 两个坐标系; 三种运动。
理论力学
东北大学理学院力学系 张英杰
Northeastern University
第七章 点的合成运动
研究物体相对于不同参考系的运动，分析物体相 对于不同参考系运动之间的关系，称为复杂运动或合 成运动。
本章所分析的点的合成运动,包括运动中某一瞬时 点的速度合成和加速度合成的规律。
Northeastern University
动点相对于定系的运动速度(加速度)
相对速度(加速度) vr (ar )
z'
' rM rO' r
M1：动系上与M重合的一点（牵连点） ' ' ' ' ' ' ' rM1 rM r x i y j z k
Northeastern University
§7-2
点的速度合成定理
z
' ' ' ' ' ' ' ' r x i y j z k ; rM rO' r rM1 ~ d r' ' ' ' ' ' ' i y j z k x vr dt
§7-1 相对运动 ·牵连运动 ·绝对运 动 绝对运动:动点相对于定系的运动
相对运动:动点相对于动系的运动
点的运动
牵连运动:动系相对于定系的运动 — 刚体的运动 圆周运动 直线运动 曲线运动 平行移动 定轴转动 平面运动 自由运动
点的运动
旋轮线 圆周运动 + 平移 螺旋线 直线运动 + 转动 一个动点; 两个坐标系; 三种运动。
理论力学
东北大学理学院力学系 张英杰
Northeastern University
第七章 点的合成运动
研究物体相对于不同参考系的运动，分析物体相 对于不同参考系运动之间的关系，称为复杂运动或合 成运动。
本章所分析的点的合成运动,包括运动中某一瞬时 点的速度合成和加速度合成的规律。
Northeastern University
动点相对于定系的运动速度(加速度)
相对速度(加速度) vr (ar )
理论力学答案(第七章后)
第七章 点的合成运动一、是非题7.1.1动点的相对运动为直线运动，牵连运动为直线平动时，动点的绝对运动必为直线运动。
（ × ）7.1.2无论牵连运动为何种运动，点的速度合成定理r e a v v v +=都成立。
（ ∨ ）7.1.3某瞬时动点的绝对速度为零，则动点的相对速度和牵连速度也一定为零。
（ × ）7.1.4当牵连运动为平动时，牵连加速度等于牵连速度关于时间的一阶导数。
（ ∨ ）7.1.5动坐标系上任一点的速度和加速度就是动点的牵连速度和牵连加速度。
（ × ）7.1.6不论牵连运动为何种运动，关系式a a +a a r e =都成立。
（ × ）7.1.7只要动点的相对运动轨迹是曲线，就一定存在相对切向加速度。
（ × ）7.1.8在点的合成运动中，判断下述说法是否正确：（1）若r v 为常量，则必有r a =0。
（ × ）（2）若e ω为常量，则必有e a =0. （ × ）（3）若e r ωv //则必有0=C a 。
（ ∨ ）7.1.9在点的合成运动中，动点的绝对加速度总是等于牵连加速度与相7.1.10当牵连运动为定轴转动时一定有科氏加速度。
（ × ）二、 填空题7.2.1 牵连点是某瞬时 动系上与7.2.2 v e 与v r 共线 情况下，动点绝对速度的大小为r e a v v v +=，在 情况下，动点绝对速度的大小为a v =v e 、v r ，应按___ ____ __ 计算v a三、选择题：7.3.1 动点的牵连速度是指某瞬时牵连点的速度，它相对的坐标系是（ A ）。
A 、 定参考系B 、 动参考系C 、 任意参考系7.3.2 在图示机构中，已知t b a s ωsin +=， 且t ωϕ=（其中a 、b 、ω均为常数），杆长为L ，若取小球A 为动点，动系固结于物块B ，定系固结于地面，则小球的牵连速度v e 的大小为（ B ）。
理论力学课件 点的合成运动2
对加速度与科氏加速度的矢量和。
当vr： ac = 2vr 其方向：由vr按 转向转90o即可。
当vr： ac = 0
23
例题. 半径为r偏心距为e的凸轮,以匀角速度绕O轴转 动,AB杆长l , A端置于凸轮上, B端用铰链支承.在图示瞬 时AB杆处于水平位置. 试求该瞬时AB杆的角加速度 AB .
牵连运动—动系随AB杆的A端作曲线平动.
牵连点—动系上被凸轮O上的C点盖住的C´点.
va= ve + vr
va = e ve = l AB
解得:
AB
e l
vr = 0
27
A
arn r x´
l B
y´ AB
aa = ae+ ar
(2)
aa = aan+ aa
(C´)C
aen
O aan y
沿y轴投影
aa sin 30 aet cos 30 aen sin 30
aet
aa aen sin 30 cos 30
3O2r(l r)
3l
BD
aet BD
3O2 r(l r)
3l 2
19
总结
牵连运动为平动时点的加速度合成定理
aa = ae+ ar
aan
l
2 AB
e2 l
2
aa = l AB
y´ ar = arn+ ar
arn=vr2 /r=r2
x ae = aen+ ae aen= r2sin ae = 0
ac = 2r2 把(1)式向AC方向投影得:
- aancos - aasin = aensin + arn - ac
7点的合成运动
注意：
ve
drM dt
rO
xi
yj zk
1）牵连点相对动系静止。 2）不同时刻动系牵连点不同。
va
drM dt
rO xi yj zk xi yj zk
第七章 点的合成运动
三 点的速度合成定理
即在任一瞬时动点的绝对速度等于其牵连速度与相对速度的 矢量和，这就是点的速度合成定理。
动点：M 动系：喷管
：
x O
'
0
y O
'
0
wt
绝对运动：
x
y
xO yO
x cos xsin
y y
sin cos
vt cos(wt) vtsin( wt)
第七章 点的合成运动
二 运动方程关系
动点：M 动系：喷管
ve ae
vr
ar 0
绝对运动：
xy
vt cos(wt) vtsin( wt)
va aa
相对运动：
x vt
y
0
牵连运动：
xO'
0
yO' 0
wt
vr v ar 0
ve w OM wvt
ae w2 OM w2vt
x y v2 (wvt)2
x y (2wv)2 (w2vt)2
可见： va vr ve
点的运动
牵连运动
Convected Motion
刚体的运动
绝对速度va
v 相对速度 r
——————
a a 绝对加速度 a 相对加速度 r -——————
牵连点的运动
点的运动
牵连速度ve 牵连加速度ae
第七章 点的合成运动
理论力学---第七章 点的合成运动
相对运动运动方程 x x t y y t
由坐标变换关系有
x xO x cos y sin y yO x sin y cos
例 点M相对于动系 Oxy沿半径为r的圆周 以速度v作匀速圆周运动(圆心为O1 ） ，动系 Oxy相 对于定系 Oxy 以匀角速度ω绕点O作定轴转动，如 图所示。初始时 Oxy与 Oxy 重合，点M与O重合。
a v / R 1.6m/ s
n r 2 r
2
将上式向 Ay 轴投影
ae
n r
a
A
τ r n r
aa cos60 ae cos30 a
aa
2
a
aBC ae 2.771m/s
已知：OA＝r；=const
D
求：CD 杆的速度和加速度
解：取CD杆C点为动点 三角板ABC为动系
ve vA
例 刨床的急回机构如图所示。曲柄OA的一端 A与滑块用铰链连接。当曲柄OA以匀角速度ω绕固定 轴O转动时，滑块在摇杆O1B上滑动，并带动杆O1B 绕定轴O1摆动。设曲柄长为OA=r，两轴间距离 OO1=l。 求：曲柄在水平 位置时摇杆的角 速度 1 。
解: 1、动点：滑块 A 动系：摇杆 O1B 2、运动分析： 绝对运动－绕O点的圆周运动；相对运动－沿 O1B的直线运动；牵连运动－绕O1轴定轴转动。
O
aA
A
ae
O1
B
其中 ae a A r
2
60°
aCD
3 2 aa ae tan 30 r 3
如图所示平面机构中，曲柄OA=r，以匀角速度ωO 转动。套筒A沿BC杆滑动。已知：BC=DE，且 BD=CE=l。 求：图示位置时，杆BD的角速度和角加速度。
理论力学第7章分析解析
解： 1.运动分析：
动点：滑块A ；
动系:固连于杆BC上；
绝对运动：以O为圆心的圆周运动； 相对运动：滑块A在杆BC上的直线运动；
牵连运动：BC的平移。
2.速度分析
va ve vr
？ √ √
大小：rωO ？ 方向：√
vr ve va rO
BD
ve rO BD l
ωt
绝对运动方程： vt vt x x cos y sin r 1 cos cos ωt r sin sin ωt r r
vt vt y x sin y cos r 1 cos sin ωt r sin cos ωt r r
§ 7-2 点的速度合成定理
例：小球在金属丝上的运动
绝对运动
M'
相对运动
M2
va ve
M1
牵连点的运动
z
vr
M y
x
O
点的速度合成定理
动点在某瞬时的绝对速度等于它在该瞬时 的牵连速度与相对速度的矢量和
va ve vr
例7-3 已知：刨床的急回机构如图所示。曲柄OA的一端A与滑块 用铰链连接。当曲柄OA以匀角速度ω绕固定轴O转动时， 滑块在摇杆O1B上滑动，并带动杆O1B绕定轴O1摆动。设曲 柄长为OA=r，两轴间距离OO1=l。 求：曲柄在水平位置时摇杆的 角速度 1 。
（3）机构传动，传动特点是在一个刚体上存在 一个不变的接触点，相对于另一个刚体运动。 例如： 导杆滑块机构 —— 滑块为动点， 动系固结于导杆； 凸轮挺杆机构 —— 杆上与凸轮接触点为动点， 动系固结于凸轮； 摇杆滑道机构 —— 滑道中的点为动点， 摇杆为动系。 （4）特殊问题，特点是相接触两个物体的接触 点位置都随时间变化，此时，这两个物体的接触 点都不宜选为动点，应选择满足前述的选择原则 的非接触点为动点。
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三种运动：绝对运动、相对运动、牵连运动
三种速度（加速度）：
绝对速度(加速度)
va (aa )
动点相对于定系的运动速度(加速度)
相对速度(加速度)
vr (ar )
动点相对于动系的运动速度(加速度)
牵连速度(加速度)
ve (ae )
某瞬时,动系上与动点重合的点(牵连点)的速度(加速度)
§7-1 相对运动 ·牵连运动 ·绝对运 动
§7-1 相对运动 ·牵连运动 ·绝对运 动
动点：圆环A 动系：在杆OB上
绝对运动：曲线运动
,
相对运动：直线运动
O
牵连运动：转动
Northeastern University
ae ve
aen A
B
ar
vr
绝对速度方向：轨迹的切线方向 相对速度方向：沿着OB杆 牵连速度方向：垂直于OA
ve OA ae OA aen OA 2
观察发现:点在一个参考体中的运动可由几个运动组合而成
以地面为参考体: M点沿旋轮线运动;
y' y
以车厢为参考体:
M
x'
O'
M点作简单的圆周运动;
x
车厢相对于地面作简单平移。
O
Ｍ点相对地面的运动可以看成两个简单运动的合成： 点Ｍ相对于车厢的圆周运动 车厢相对于地面的平移
合成运动:相对某一参考体的运动可由相对于其它参考体的 几个运动组合而成的运动。
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1 相对பைடு நூலகம்动 ·牵连运动 ·绝对运动 2 点的速度合成定理 3 点的加速度合成定理
§7-1 相对运动 ·牵连运动 ·绝对运 动
点的运动对于不同的参考系是不同的
Northeastern University
⑴ 沿直线轨道滚动的车轮，其轮缘上点Ｍ 的运动
y
Northeastern University
动点：AB杆上的A点 动系：在凸轮上 绝对运动：直线运动 相对运动：曲线运动 牵连运动：转动
B
va
ve A
ae
aen
vr
O ,
绝对速度方向：竖直方向 相对速度方向：轨迹的切线方向 牵连速度方向：水平方向
ve OA ae OA aen OA 2
B
动系：在BCD上
A O
绝对运动：圆周运动
D
相对运动：直线运动
C
牵连运动：平移
动点：OA杆上的A点 动系：在O2B上 绝对运动：圆周运动 相对运动：直线运动 牵连运动：定轴转动
B
B2
O1
A
B1
A2
A1
O2
Northeastern University
§7-1 相对运动 ·牵连运动 ·绝对运 动
动点：AB杆上的A点
圆周运动 直线运动 曲线运动
平行移动 定轴转动 平面运动 自由运动
旋轮线 圆周运动 + 平移 螺旋线 直线运动 + 转动
一个动点; 两个坐标系; 三种运动。
§7-1 相对运动 ·牵连运动 ·绝对运 动
动点：车轮上的M点 定系：在地球上 动系：在车厢上 y
绝对运动：旋轮线运动
Northeastern University
相对运动:动点相对于动系的运动
牵连运动:动系相对于定系的运动 — 刚体的运动
Northeastern University
§7-1 相对运动 ·牵连运动 ·绝对运 动
绝对运动:动点相对于定系的运动 点的运动
相对运动:动点相对于动系的运动
牵连运动:动系相对于定系的运动 — 刚体的运动
点的运动 刚体的运动
§7-1 相对运动 ·牵连运动 ·绝对运 动
Northeastern University
动点：圆盘上的C点 动系：在ABD上 绝对运动：圆周运动 相对运动：直线运动 牵连运动：平移
A
va
D
ve
B
vr
O
aanC R
绝对速度方向：垂直于OC连线方向 相对速度方向：水平方向 牵连速度方向：竖直方向
va OC aan OC 2
Northeastern University
§7-1 相对运动 ·牵连运动 ·绝对运 动 ⑶ 桥式吊车，卷扬小车A 边垂直起吊重物边行走
y'
A
x'
M' M
随小车一起运动的观察者: 重物在垂直方向作直线运动 地面上的观察者: 重物作曲线运动
Northeastern University
§7-1 相对运动 ·牵连运动 ·绝对运 动
§7-1 动
Northeastern University
相对运动 ·牵连运动 ·绝对运
一个点、两个坐标系、三种运动
动点:所研究的点; 定系 Oxyz :固定在地球上的坐标系; 动系 Ox'y'z':固定在相对于地球运动的参考体上的坐标系;
动点、动系不能选在同一物体上
绝对运动:动点相对于定系的运动 点的运动
B
动系：在凸轮上
绝对运动：直线运动 相对运动：曲线运动 牵连运动：转动
A
O
动点：圆盘上的C点 动系：在ABD上 绝对运动：圆周运动 相对运动：直线运动 牵连运动：平移
A
DB
C R
O
§7-1 相对运动 ·牵连运动 ·绝对运 动
一个点：动点
Northeastern University
两个坐标系：定系、动系
Northeastern University
§7-1 相对运动 ·牵连运动 ·绝对运 例7动-1 如图所示,用车刀切削工件的直径端面,刀尖M沿水平x轴 往复运动,设Oxy为定系,刀尖运动方程为x=bsinωt。工件以等角 速度ω逆时针转动,求车刀在工件圆端面上切出的痕迹。
y'
M
x'
O'
相对运动：圆周运动 牵连运动：平移
x O
动点：转盘上的M点 定系：在地面上；动系：在转盘上 绝对运动：螺旋线运动 相对运动：直线运动 牵连运动：定轴转动
y
y'
x'
O Mx
O'
§7-1 相对运动 ·牵连运动 ·绝对运 动
Northeastern University
动点：OA杆上的A点
理论力学
东北大学理学院力学系 张英杰
第七章 点的合成运动
Northeastern University
研究物体相对于不同参考系的运动，分析物体相 对于不同参考系运动之间的关系，称为复杂运动或合 成运动。
本章所分析的点的合成运动,包括运动中某一瞬时 点的速度合成和加速度合成的规律。
第七章 点的合成运动
y'
M
x'
O'
M
x O
对地面上的观察者: M点的轨迹是旋轮线
对汽车上的观察者: M点的轨迹是一个圆
§7-1 相对运动 ·牵连运动 ·绝对运 动
⑵ 车床在工作时，车刀刀尖Ｍ 的运动
Northeastern University
z' z
ωO
x x'
y y'
M
相对于地面: 刀尖M作直线运动 相对于旋转的工件: 刀尖M在圆柱面螺旋运动