最小二乘法介绍

线性函数的最小二乘法
最小二乘法是应用最小二乘法原理处理数据的方法。最 小二乘法原理建立在数理统计理论基础上的一个数学原理， 被广泛地应用于许多学科领域。如数据处理中的实验曲线的 拟合、经验公式的确定等。 最小二乘法应用非常广泛，不仅适用于线性函数，也可 应用于非线性函数.但一些非线性的问题也可以转化为线性问 题，所以我们只讨论一元线性函数的最小二乘法。
6 5 4 3 2 1 0 -1 0
电压U/V
10
20
30
40
50
60
电流I/mA 图1 测量100欧电阻的伏安特性曲线
3 2 1 0 0 10 20 30 40 50 自制表/mA
自制表/mA
-1 -2
图2 电流表校准曲线
逐差法
逐差法是为了改善实验数据结果，减小误差影响而引入 的一种实验及数据处理方法。 1. 逐差法的应用条件 （1）自变量等间隔变化， y=f(x)， xi+1-xi =c 。 （2）函数关系可以写为多项式关系： y=a0+a1x+a2x2+a3x3+…… 2. 逐差法的应用 （1）逐项逐差 －－ 判断函数关系 对函数y=f(x)，测得测量列： xi（i=1,2,…,n）、yi（i=1,2,…n） 若yi+1－ yi＝Δi，基本相等，函数关系为：y=a0+a1x。
一、最小二乘法原理
ν i 为残差，定义为
i xi x
在∑νi2=最小的条件下求出的未知量的值，是未知量的最佳值。
二、一元线性函数的最小二乘法
直线方程 y f ( x) 一般可表示为 y bx a 从数学上看，要求 b 和 a ，似乎只要测量两次， 得 ( x１ ，y１ ) 和( x２ ，y２ ) 即可。由
实验操作
实验报告
物理实验课基本程序
实验预习
二、实验操作及观测
要求：正确操作，认真观测。 实验数据必须由教师检查签字。
三、写实验报告
实验操作
实验报告内容：实验名称、实验目的、 实验原理、实验内容、数据记录和处理、实 验结论、实验讨论。 要求：版面工整，图表规范，结果正确， 讨论认真。 用实验报告纸写报告，交报告及时。
3. 列表举例 表1 伏安法测100电阻数据表 2008/2/10
注： （1）电压表量程 7.5V，精度等级 1.0。 （2）电流表量程 50mA，精度等级 1.0。 （3）常温常压条件下测量。 （4）采用电流表外接法。
作图法
作图法是将测量数据之间的关 系及其变化情况作成图线直观地表 示出来，并且通过所作图线求解未 知量或经验方程，是一种最常用的 粗略的数据处理方法。 1. 作图法的优点 （1）能够直观地反映各物理量 之间的变化规律，帮助找出合适的 经验公式。
（ 1 ）根据各变量之间的变化规 律，选择相应类型的坐标纸。鼓励 使用优秀的软件，如 Origin, Excel 计算机绘图。 （ 2 ）正确选择坐标轴的比例和 标度。 （ 3 ）注明图名，坐标轴代表的 物理量、单位和数值的数量级。 （4）测量数据点应采用比较明 显的标志符号，如“△、×、○、 ◇、□”等，不能用“·” 。 （ 5 ）变化规律容易判断的曲线 平滑连线，曲线不必通过每个实验 点，但应均匀分布在曲线两边；难 以确定规律的曲线可以用折线连接。
（2）隔项逐差 －－ 求取物理量 例如：对下表伏安法测量电阻的数据进行处理，应用逐 差法求电阻值。 表1 伏安法测100电阻数据表 2008/2/10
注：电压表量程 7.5V， 精度等级 1.0； 电流表量程 50mA 精度等级 1.0
I I
是否可以利用逐项求差法?
I 2 I1 I 3 I 2 I 4 I 3 I 5 I 4 I 6 I 5 5 5 I 6 I1 50 0 10.0(mA) 0.01( A) 5 5 U 1.0 R 100.0Ω 0.01 I
最小二乘法线性拟合 示波器介绍
用示波器显示二极管的伏安特性
用UJ31型电位差计校正电表 灵敏电流计的特性研究 霍尔效应 电子射线的电偏转和磁偏转 应变式非平衡电桥实验
物理实验课基本程序
实验预习 一、实验预习
要求：掌握原理、实验内容，写出预习 报告。 预习报告内容包括：实验名称、实验目 的、实验原理、实验内容及数据表格。
6 5 4 3 2 1 0 0 10 20 30 40 50 60
电压U/V
电流I/mA 图1 测量100欧电阻的伏安特性曲线
（2）可从图上用外延、内插方法求得实验点以外的其它点。 （3）可以消除某些恒定系统误差。 （4）有取平均、减小随机误差对结果的影响的作用。 2. 作图要求 作图对于初学着是一种困难的科学技巧，必须认真遵守作图规则，才 能绘制出合格的图线。
实验报告
物理实验课的考核办法
一、平时实验考核
1、每个实验项目一考核，给出成绩。 2、每个实验项目分三段进行考核，一般实验预习20 ％，实验操作40%，实验报告40%。
二、期末考试
实验操作考试(60%)和简答题(40%)
三、期末总成绩
平时成绩、实验报告成绩、期末考试成绩按比例计算
百度文库
基本的数据处理方法有
k
数据分为两组，隔3项逐差，再取平均。即：
I I
3
I 4 I1 I 5 I 2 I 6 I 3 3 3 30.4 31.2 30.0 30.5(mA) 3 3U 3.0 R 98.4Ω 3 I 30.5
k
利用逐差法求取物理量，可以充分利用数据， 消除一些定值系统误差，减小随机误差的影响， 但必须采用隔项逐差方法，否则会失去效果。
列表法 作图法 逐差法 最小二乘法
列表法
列表法是实验中常用的记录数据、表示物理量之间关系 的一种方法。 1. 列表法的特点 2. 列表的要求 （1）栏目清楚，项目分明。 （ 1 ）记录和表示数据简 单明了； （2）写明表的序号和名称， （ 2 ）便于表示物理量之 标明物理量、单位及数量级。 间对应关系； （ 3 ）表中所列数据应是正确 （ 3 ）便于随时检查数据 反映结果的有效数字。 （ 4 ）注明测量日期、说明和 是否合理，及早发现问题， 必要的实验条件。 提高数据处理效率等。