物理刚体力学基础

力对固定轴的力矩为零的情况：
若力的作用线与轴平行 若力的作用线与轴相交
则力对该轴无力矩作用
任一对作用力和反作用力（内力）对同点（同轴）的
力矩之和为零：
Mi0 Mj0 ri fij rj f ji
fij
f ji
Mi0 M j0 (rj ri ) f ji
f ji rj
rji
2）力矩的单位: 牛·米(N·m)
7 首页 上页 下页退出
3）力矩的计算： M的大小、方向均与参考点的选择有关
M Frsin
※在直角坐标系中，其表示式为
M
r
F
(xi
yj
zk ) (Fxi
Fy
j
Fzk )
( yFz zFy )i (zFx xFz ) j (xFy yFx )k
f ji
0
ri
f ij
10 首页 上页 下页退出
二、刚体定轴转动的转动定律
在刚体上任取一质元Δmi，半径为 ri，设它所受的合外力为Fi，合内 力为fi，它们与矢径ri的夹角分别 为φi和θi．设刚体绕轴转动的角速 度和角加速度分别为ω和α．根据 牛顿第二定律，采用自然坐标系， 可得质元Δmi的法向和切向方程， 分别为
1、刚体的平动 在运动过程中，若刚体内部任意两质元间的 连线在各个时刻的位置都和初始时刻的位置 保持平行，这样的运动称为刚体的平动．
2 首页 上页 下页退出
2、刚体的转动
若刚体上各个质元都绕同一直线作 圆周运动，这样的运动称作刚体的 转动(rotation)，这条直线称为转 轴（这根轴可在刚体之内，也可在 刚体之外）。
刚体的平均角速度
t
当Δt→0时，平均角速度的极限称为瞬时角速度，简 称角速度，用ω表示：
lim
d
t0 t dt
平均角加速度
t
瞬时角加速度，简称角加速度
lim
t0 t
d
dt
5 首页 上页 下页退出
刚体定轴转动的特点:
所有质点的角量都相同 ； 质点的线量与该质点的轴矢径大小成正比 。
牛顿第二定律：F=ma。
三、转动惯量的计算
J miri2
单位：千克·米2（kg·m2）
对于单个质点
J mr2
n
质点系
J miri2
i 1
若物体质量连续分布， J r 2dm m
13
首页 上页 下页退出
J r2dm
注意：(1)刚体的转m 动惯量
与刚体的质量有关， 与刚体的质量分布有关， 与轴的位置有关。 (２)质量元的选取：
(Fi cosi fi cosi ) miain miri 2 Fi sin i fi sini miai miri
11 首页 上页 下页退出
切向方程： Fi sin i fi sini miai miri
将切向方程的两边各乘以ri，可得
Firi sini firi sini miri2
vi ri
ai ri
ani ri 2
6 首页 上页 下页退出
3.2 力矩 刚体定轴转动的转动定律
一、力矩
1、力对固定点的力矩
1）定义：作用于质点的
力对惯性系中某参考点的
力矩，等于力的作用点对
该点的位矢与力的矢积，
即
M
r
F
M
o•
Leabharlann Baidu
r
F
m
力矩是矢量，M的方向垂直于r和 F所决定的平面 ，其指向用右手螺旋法则确定。
Mz
rF//
F
· F
若设力Ｆ的作用点到Ｚ轴的位矢为r，则力对Ｚ轴的
力矩为
Mz
rF
sin
r sin F F rF sin rF
式中为力F到轴的距离
力对固定点的力矩为零的情况：
力F等于零，
力F的作用线与矢径r共线（力F的作用线穿过0点, 即
，有心力对力心的力矩恒为零）。
9
首页 上页 下页退出
线分布 dm dx(或dl)
面分布 dm ds
体分布 dm dv
(3)由于刚体是一个特殊质点系，即各质点之间无相 对位移，即对于给定的刚体其质量分布不随时间变化 ，故对于给定轴而言，刚体的转动惯量是一个常数。
转动惯量计算举例：
14 首页 上页 下页退出
例3－1 求质量为 M，长为l的均质细棒对过穿过棒 之中心并与棒垂直的轴的转动惯量。
dm
l 2
x dx
lx
2
解：在棒上任取一质量元 dm dx
线密度 于是
M
l
dJ x2dm
J0
Mxi M y j Mzk
i jk M x y z
M x yFz zFy M y zFx xFz
Fx Fy Fz
M z xFy yFx
8 首页 上页 下页退出
２、力对轴的矩：
力矩在x,y,z轴的分量式，或称力对
轴的矩。例如上面所列Ｍx,My,,Mz,即
为力对Ｘ轴、Ｙ轴、Ｚ轴的矩。
3.1 刚体 刚体定轴转动的描述
一、刚体的引入
刚体(rigid body) ：即形状和大小完全不变的 物体。是一理想模型。
通常把刚体分成许多部分，每一部分都小到可 看作质点，叫作刚体的质元。 由于刚体不变形，各质元间距离不变。
1 首页 上页 下页退出
二、刚体的基本运动 刚体最基本的运动方式是平动和转动 。
刚体定轴转动的基本特征是：轴上所有各点都保 持不动，轴外所有各点在同一时间间隔内转过的 角度都一样。
角位移、角速度和角加速度
转动平面上任一质元对原点的位矢r与极轴的夹角
称为角位置θ。刚体在一段时间内转过的角度
Δθ=θ2-θ1 称为角位移
4
首页 上页 下页退出
在时刻t到t+Δt时间内的角位移Δθ与Δt之比称为
非定轴转动：在刚体转动过程中，转轴的方 向或位置随时间变化。该转轴称为转动瞬 轴．如陀螺的旋进、车轮的滚动等。
定轴转动：转轴固定不动，即既不改变方向 又不发生平移。该转轴称为固定轴。
3 首页 上页 下页退出
三、刚体定轴转动的描述
垂直于固定轴的平面为转动平面．显然，转动平 面不止一个，而有无数多个。如果以某转动平面 与转轴的交点为原点，则该转动平面上的所有质 元都绕着这个原点作圆周运动。
把上式对刚体所有质元求和，并考虑到各质元角加 速度相同，有
Firi sini firi sini ( miri2 )
i
i
i
因为
firi sin i 0
i
令：
M Fi ri sin i
i
J mi ri 2
i
合外力矩 转动惯量
M J
12 首页 上页 下页退出
M J
上式为刚体定轴转动的转动定律：绕定轴转动的刚 体的角加速度与作用于刚体上的合外力矩成正比， 与刚体的转动惯量成反比。