信息安全数学基础课件 第1章 整数的可除性

•选用教材:《信息安全数学基础》陈恭亮著•参考书目：–《初等数论》潘承洞潘承彪著–《代数学引论》第2版聂灵沼丁石孙著–“Commutative Algebra”第1、2卷O.Zariski & P. Samuel 著–“Primality and Cryptography”E.Kranakis 著–《椭圆曲线密码学导论》张焕国等译网络安全(应用技术)密码学(理论基础)数学(数论、代数、椭圆曲线理论等)身份识别技术、防火墙技术、入侵检测技术等信息安全•整数–{…，-3，-2，-1，0，1，2，3，…}•数学: 整数论分支–公元前50年左右,第一部数学专著《九章算术》第一章讨论整数,介绍辗转相除法–公元前三世纪欧几里德著《几何原本》辗转相除法–五世纪《孙子算经》中国剩余定理(即孙子定理)•自然数–整数的一部分:最简单的数学模型--自然数–自然数的严格定义--在集合论基础上,Peano(皮亚诺)给出自然数公理•如果有一些对象(可数集),除了它们的数目之外其它性质我们不予考虑的话,我们就可以用自然数来数它们•康托–格奥尔格·康托尔–外文名:Cantor,GeorgFerdinand LudwigPhilipp–国籍: 德国–出生日期: 1845.3.3–逝世日期: 1918.1.6–职业: 数学家•康托–德国数学家,集合论的创始人.生于俄国列宁格勒(今俄罗斯圣彼得堡).父亲是犹太血统的丹麦商人,母亲出身艺术世家.1856年全家迁居德国的法兰克福–由于学术观点上受到的沉重打击,使康托尔曾一度患精神分裂症,虽在1887年恢复了健康,继续工作,但晚年一直病魔缠身.1918年1月6日在德国哈雷(Halle)-维滕贝格大学附属精神病院去世–康托尔爱好广泛,极有个性,终身信奉宗教•康托–康托尔的信条是:“数学在它自身的发展中完全是自由的,对他的概念限制只在于:必须是无矛盾的,并且与由确切定义引进的概念相协调……数学的本质就在于它的自由”–建立19世纪末、20世纪初最伟大的数学成就•集合论和超穷数理论康托三分集•康托三分集–取一条长度为1的直线段,将它三等分,去掉中间一段,留剩下两段,再将剩下的两段再分别三等分,各去掉中间一段,剩下更短的四段,……,将这样的操作一直继续下去,直至无穷,由于在不断分割舍弃过程中,所形成的线段数目越来越多,长度越来越小,在极限的情况下,得到一个离散的点集,称为康托点集,记为P.称为康托点集的极限图形长度趋于0,线段数目趋于无穷,实际上相当于一个点集.操作n次后:–边长r=(2/3)^n，–边数N(r)=2^n，–根据公式N(r)=1/rD,2 n=3Dr,D=log2/log3=0.631–所以康托点集分数维是0.631•康托三分集中有无穷多个点,所有的点处于非均匀分布状态.此点集是一个分形系统:（1）自相似性（2）精细结构（3）无穷操作或迭代过程（4）传统几何学陷入危机.用传统的几何学术语难以描述,它既不满足某些简单条件如点的轨迹,也不是任何简单方程的解集.其局部也同样难于描述.因为每一点附近都有大量被各种不同间隔分开的其它点存在（5）长度为零（6）简单与复杂的统一•数论特点–任意两个整数可相加/相减/相乘,结果仍是整数–整数系统的特点:两个整数不一定能在整数范围内相除•研究整数性质:整除性和因数分解等问题•介绍数论中一些最基本的事实–介绍整数的一些最基本的性质–有时似乎在叙述或证明一些尽人皆知非常明显的事实,实则并非如此•有些事情,我们习而不察,知其然而不知其所以然;有些事情,虽然知道,却知道的不确切•若未特别指明,凡出现的数都是指整数第1章整数的可除性1.1 整除的概念1.2 欧几里得算法1.3 整数的表示1.4 最大公因子与广义欧几里得算法1.5 最小公倍数1.6 素数及其判别法1.7 素数与算数基本定理1.8 素数定理•注:–当b遍历整数a的所有因数时, -b也遍历整数a的所有因数–当b遍历整数a的所有因数时, a/b也遍历整数a的所有因数–对任何整数b≠0,有b|0–对任何整数b,有1|b–对任何整数a≠0,有a|a–若b|a,则b|(-a), (-b)|(±a)•例1:–30=2⋅15=3⋅10=5⋅6–2|30, 3|30, 5|30, 6|30–所有因数{±1, ±2, ±3, ±5, ±6, ±10, ±15, ±30}或{∓1, ∓2, ∓3, ∓5, ∓6, ∓10, ∓15, ∓30}•定理1–设a, b, c≠0是三个整数,若c|b, b|a,则c|a.证:设c|b, b|a,则存在整数q1,q2,使得a=bq2 , b=cq1于是有: a=bq2=(cq1)q2 =c(q1q2)因q1q2是整数,所以c|a.•定理2–设a, b, c≠0是三个整数,若c|a, c|b,则c|a±b.证:因c|a, c|b,所以存在整数q1,q2,使得a=cq1, b=cq2于是有: a±b=cq1±cq2=c(q1±q2)因q1±q2是整数,所以c|a±b.•定理3–设a, b, c≠0是三个整数,若c|a, c|b,则对任意整数s,t,有c|sa+tb.证:因c|a, c|b,所以存在整数q1,q2,使得a=cq1, b=cq2于是对任意整数s,t,有:sa+tb=s(cq1)+t(cq2)=c(sq1+tq2)因sq1+tq2是整数,所以c|sa+tb.•定理4–设a1, a2, …,a n≠0是整数,若c|a i(i=1,2,…,n), 则对任意整数s1, s2, …,s n,有c|s1a1+s2a2+…+s n a n•例2: 设a, b, c≠0是三个整数,c|a, c|b.如果存在整数s,t,使得sa+tb=1,则c=±1.证:因c|a, c|b,且sa+tb=1,所以有c|sa+tb⇒c|1故c=±1.•例3: 因为7|14, 7|21, 7|35, 所以7|(5⋅21+4⋅14-3⋅35)=56•定理5: 设a, b≠0,若a|b, b|a,则a=±b.证:因a|b, b|a,所以存在整数q1,q2,使得a=bq1, b=aq2a=bq1=(aq2)q1=a(q1q2)于是q1q2=1,因q1,q2是整数,所以q1=q2=±1,从而a=±b.•练习1:设a,b是两个给定的非零整数,且有整数x,y,使得ax+by=1.证明:若a|n且b|n,则ab|n.•练习2:设f(x)=ax n+a n-1x n-1+…+a1x+a0是整系n数多项式.若d|b-c,则d|f(b)-f(c).•练习1:设a,b是两个给定的非零整数,且有整数x,y,使得ax+by=1.证明:若a|n且b|n,则ab|n.证:由n=n(ax+by)=(na)x+(nb)y,及ab|na, ab|nb,得证.•练习2:设f(x)=ax n+a n-1x n-1+…+a1x+a0是整系数n多项式.若d|b-c,则d|f(b)-f(c).证:f(b)-f(c)=a n(b n-c n)+a n-1(b n-1-c n-1)+…+a1(b-c)又d|b j-c j,得证.第1章整数的可除性1.1 整除的概念1.2 欧几里得除法1.3 整数的表示1.4 最大公因子与广义欧几里得算法1.5 最小公倍数1.6 素数及其判别法1.7 素数与算数基本定理1.8 素数定理•定理6 (欧几里得除法)设a,b(b>0)是两个整数,则存在唯一的整数q,r,使得a=bq+r, 0≤r<b其中q叫做a被b除所得的不完全商,r叫做a被b除所得的余数.证: (q,r的存在性)考虑数列...,-3b, -2b, -b, 0, b, 2b, 3b,...则a必在上述数列的某两项之间,即存在整数q,使得bq≤a<(q+1)b ⇒0≤a-bq<b令r=a-bq,则有a=bq+r, 0≤r<b(q,r的唯一性)若有整数q,r和q1r1,使得a=bq+r, 0≤r<ba=bq1+r1, 0≤r1<b ⇒b(q-q1)=r1-r 若q≠q1,则|b(q-q1)|≥b,而|r1 -r|<b,矛盾故q=q1,从而r=r1 .推论: b|a ⇔a被b除所得的余数r=0.例4:设b=7,则余数r=0,1,2,3,4,5,6为最小非负余数余数r=1,2,3,4,5,6,7为最小正余数余数r=0,-1,-2,-3,-4,-5,-6为最大非正余数余数r=-1,-2,-3,-4,-5,-6,-7为最大负余数余数r=-3,-2,-1,0,1,2,3为绝对值最小余数第1章整数的可除性1.1 整除的概念1.2 欧几里得除法1.3 整数的表示1.4 最大公因子与广义欧几里得算法1.5 最小公倍数1.6 素数及其判别法1.7 素数与算数基本定理1.8 素数定理kk 1k k 110i i k b 1, n n a b a b a b a a ,0a b 1,i 1,2,,k,a 0.--=++++≤≤-=≠ 设是大于的正整数则任意正整数都可地表成其中是整数且首项系数定理7唯一证(存在性) 由欧几里得除法000,01n bq a a b =+≤≤- 0111,01q bq a a b =+≤≤-122221111,01,01,01k k k k k k k k q bq a a b q bq a a b q bq a a b -----=+≤≤-=+≤≤-=+≤≤-注意到12100k k q q q q q n-≤<<<<<< 因为整数所以必有整数使得i k q (i 1,2,),k,q 0.== 1k k q a .-=于是上述等式中最后一个等式为 从最后一个等式开始依次代入上一等式,即得, 1110k k k k n a b a ba b a --=++++k k 110b kk 1k k 110i k k k 110b n (a a a a ) n a b a ba b a 0a b 1,i 0,1,2,,k, a 0.n (a a a a )b n .----==++++≤≤-=≠= 定用表示展开式其中称为整数的义进制表示3 每个正整数都可以表成不同的推论2的幂的和.例5:用二进制表示642.03212642+⨯=11602321+⨯=102101221225052100102200202400402800802160+⨯=+⨯=+⨯=+⨯=+⨯=+⨯=+⨯=+⨯=2642(1010000010)=所以•十进制⇒二进制⇒十六进制ABC 321610(8)1016111610168(43976)=⋅+⋅+⋅+=例6 (),(), (),(),A B C 222210101011110081000====例7因 16210181011110000100()()=所以 ABC (1021610001642)(10)(280002)==例8第1章整数的可除性1.1 整除的概念1.2 欧几里得除法1.3 整数的表示1.4 最大公因数与广义欧几里得除法1.5 最小公倍数1.6 素数及其判别法1.7 素数与算数基本定理1.8 素数定理•定义4:(最大公因数)≥= 设是个整数若整数则称是的一数个公因12n k 12n a ,a ,,a n(n 2),d |a (k 1,2,,n),d a ,a ,,a .12n 12n 12n a ,a ,,a a ,a ,,a (a ,a ,,a ). 若不全为零,则整数的所有公因数中最大的一个公因数叫最大公做因数记作,12n 12n , (a ,a ,,a )1, a ,a ,,a = 特别当时称互素或互质.若gcd(a,b)=1,则称a 和b 互素c=gcd(a,b)=max{d|d|a d|b}•最大公因数可描述为:>⇔ 是的最大公因数1 若则12n 12n 12n d 0a ,a ,,a ()d |a ,d |a ,,d |a ;(2)e |a ,e |a ,,e |a ,e |d.(14,21)7, (15,21)3, (14,15,29) 1.1=-=-=例 a,b , (b,a)(a,b 0.1)=设是两个整数则例 a,b ,b |a, 11 (a,b) b.=设是两个正整数如果则例:素数与任一整数有如下关系 p a ,p |a,p a /设是一个素数,为整数如果则与例12互素. (p,a)d, d |p, p ,d 1p.==证设则有因是素数所以或d p, d |a.p |a,p |a ,=/若则因于是与题设矛盾d 1, (p,a) 1.==故必 从而 d d |a b,d |a b,d |(a,b).+-数则练习若为奇，1212121212 ,,,, () ,,,||,||,,||;(2) (,,,)(||,||,,||).n n n n n a a a n a a a a a a a a a a a a = 设是个不全为零的整数则1与的定理8公因数相同 ,, (,)(,)(,)(||,||13).=-=-=a b a b a b a b a b 设是两个整数则有例 , ().b b =b 设是任一正整数则0,定理9 (0,21)21, (15,0)15, (0, |.1|4)b b =-==例•求GCD•例15:a=882=2 ⋅32 ⋅72b=3465=33 ⋅5 ⋅7 ⋅11⇒gcd(a,b)= 32 ⋅7= 63•复杂性:–需要分解a和b–T(n) = O(c O(n))广义Euclidean除法(辗转相除法)•GCD(1970,1066)1970=1*1066+904 gcd(1066,904)1066=1*904+162 gcd(904,162)904=5*162+94 gcd(162,94)162=1*94+68 gcd(94,68)94=1*68+26 gcd(68,26)68=2*26+16 gcd(26,16)26=1*16+10 gcd(16,10)16=1*10+6 gcd(10,6)10=1*6+4 gcd(6,4)6=1*4+2gcd(4,2)4=2*2+0 gcd(2,0)广义Euclidean除法•Step 1:r0 =a and r1 =b•Step 2:r0 =q1r1+r2r1 =q2r2+r3……r n-2 = q n-1r n-1+r nuntil r n=0 and r n-1 0•Step 3: r n-1 = gcd(a,b)广义Euclidean除法证明•r n = 0 ⇒r n-1| r n-2⇒r n-1| r n-3 ⇒…⇒r n-1| a and r n-1| b⇒r n-1| gcd(a,b)•gcd(a,b)| r0and gcd(a,b)|r1⇒gcd(a,b) | r0–q1r1⇒gcd(a,b)| r2⇒… ⇒gcd(a,b) | r n-1•r n-1| gcd(a,b) ∧gcd(a,b) | r n-1 ⇒gcd(a,b) = r n-1广义Euclidean除法复杂性•时间复杂性–迭代•Each r i>1 iteration = O(log2a)–除•O(log22a)–T(n)=O(log32n)5221221=⨯+=⨯ 70571413829194138129191219=⨯+=⨯+ 29192121948112192481257=⨯+=⨯+ 4811257224257122433=⨯+=⨯+ 22463326331267=⨯+=⨯+ 263757152=⨯+=⨯+ (46480,39423) 1.=所以 a b a b ==46480,39423,(,).设计算例16464801394237057=⨯+39423570574138=⨯+a b a b=-=1859,1573,, 7(). 1设计算例18591157328615735286 2862143143=⨯+=⨯+=⨯解因(1859,1573)(1859,1573)143.-==所以1n n nr r q -=0112,r r q r =+1223,r r q r =+211,n n n n r r q r ---=+在广义欧几里得除法中,由⇒3221,n n n n r r q r ----=+211,n n n n r r q r ----=1322,n n n n r r r q ----=-3122,r r r q =-2011r r r q =-(,)sa tb a b +=1232,,,,,,,n n r r r r s t -- 逐次消去可找到整数使得。