日常生活中的概率问题
生活中的概率问题
生活中的概率问题小引1. 目前最受彩民欢迎的足彩实际上也是一种数字组合型玩法，不过计算方法相对比较简单，13场比赛均选“3、1、0”可组合出3的13次方1594323注单式号码，一等奖的中奖概率为1/1594323，换句话说，每销售320万元的足彩，平均就可能诞生一个一等奖。
而如果将足彩竞猜的场次增加到14场，足彩的头奖中奖概率则降低为1/4782969，难度增加了3倍。
2. 我们通常认为一位怀孕妇女所生的婴儿男女概率应该是均等的，也就是1：1，而经过大量统计，事实并非如此。
我们生活中还隐藏着很多像这样奇妙的概率问题，等待着我们去发现与探索。
此篇论文将就生活中的小概率事件做一些探究。
什么是小概率事件？“小概率事件”简单的来说有以下几种解释：1、在概率论中我们把概率很接近于0（即在大量重复试验中出现的频率非常低）的事件称为小概率事件。
2、在概率论中我们把概率很接近于0（即在大量重复试验中出现的频率非常低）的事件称为小概率事件，一般多采用0.01-0.05两个值即事件发生的概率在0.01以下或0.05以下的事件称为小概率事件这两个值称为小概率标准。
3、概率论把这些概率很小的随机事件称为小概率事件.具体概率小到何种程度才算小概率.概率论中不作具体规定而是指出不同的场合有不同的标准。
概率的基本算法小概率事件彼此也可以相差很大的。
例如，同样是发生里氏5级以上地震，在日本和在山西洪洞的概率就明显不同。
日本几乎每年都会发生至少一次里氏5级以上地震，而山西洪洞发生里氏5级以上地震的概率大约是200年～300年一遇（同一地震序列中的几次5级以上地震按一次计算）。
又如同样是干旱地区，吐鲁番和南美洲智利阿塔卡马沙漠的暴雨概率也大为不同。
1958年8月14日，吐鲁番突降36.0毫米的暴雨，引发山洪泛滥；这种暴雨在有记录以来的阿塔卡马沙漠地区还从未出现；相反，阿塔卡马沙漠曾创造了1845-1936年间整整91年没有降水的纪录。
人教版数学九年级上册25.2日常生活中的概率问题教案
一、教学内容
人教版数学九年级上册25.2日常生活中的概率问题教案：
1.了解概率的定义，理解概率是描述事件发生可能性大小的数值。
2.掌握计算简单事件概率的公式，并能运用到实际问题中。
3.分析日常生活中的概率问题，培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
此外，课堂总结环节，学生提出了不少疑问，这说明他们在学习过程中认真思考，勇于质疑。我鼓励他们提问，并给予耐心解答。为了加强学生对知识点的掌握，我计划在下一节课开始时，对今天的知识点进行简要回顾，巩固他们的记忆。
-实际问题中的应用：将概率知识应用于日常生活中的问题，如抛硬币、掷骰子等。
举例解释：
-在抛硬币实验中，重点是让学生理解正面朝上的概率是1/2，这是通过实验观察和理论计算相结合得出的。
-在掷骰子实验中，重点是计算每个点数出现的概率，理解每个点数出现的概率都是1/6，并抽象的概念，学生可能难以理解“可能性”的大小。
课堂上，我注意到有些学生在理解概率定义时还存在一定的困难。为了帮助他们更好地把握这个概念，我通过举例和直观演示，让学生感受概率值的范围和计算方法。在接下来的教学过程中，我需要继续关注这部分学生的理解情况，适时给予个别指导。
在讲授重点和难点时，我尽量使用简练明了的语言，结合实际案例进行分析。通过小组讨论和实验操作，学生能够将理论知识与实际问题相结合，加深对概率计算和应用的理解。但同时，我也发现部分学生在小组讨论中参与度不高，可能是因为他们对问题缺乏深入思考。在今后的教学中，我要更加注重引导学生主动探究，提高他们的独立思考能力。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与日常生活中的概率问题相关的实际问题。
日常生活中概率论的例子
日常生活中概率论的例子
1. 你知道吗，彩票就是日常生活中概率论的一个典型例子呀！每次买彩票的时候，我们都在赌那微乎其微的中奖概率，那种期待和紧张的心情，哎呀，真的是难以言喻！就好像在黑暗中寻找那一丝光芒一样。
2. 还有啊，天气预报其实也运用了概率论呢！它说今天有 80%的概率会下雨，这不就是在告诉我们有比较大的可能要带伞嘛！我们可不就根据这个来决定要不要带伞出门，这多重要呀！
3. 咱去超市抽奖也是一样的道理呀！你抽到大奖的概率可能很小很小，但还是会满心期待呢，万一自己就是那个幸运儿呢？这就跟从一堆糖果里找到那颗特别口味的一样，不试试咋知道呢！
4. 打篮球比赛的时候，投进三分球也有概率的问题呢！有时候手感好，那进三分球的概率就感觉大大增加了，这难道不是很神奇嘛！就好像突然有了魔力一样。
5. 考试蒙对题不也是概率论嘛！有时候瞎蒙也能蒙对，那可真是让人惊喜呀！但可不能完全靠蒙哦，还是要好好学呀！
6. 等公交车的时候，等很久都不来，这也是概率在作祟呀！有时候运气好，一出门车就来了，有时候就得等好久好久，真让人无奈呀！
总之，概率论在我们日常生活中无处不在呀，就像一个调皮的小精灵，一会儿给我们惊喜，一会儿让我们无奈，真是有意思极了！。
日常生活中的概率问题
次转动转盘的机会，转盘停止后，根据指针正好对准的区域，
获得相应的购物券，某顾客正好消费200元，请用列表或画树状
图的方法求出该顾客所得购物券金额不低于30元的概率。
5元 40元
10元
35元
3.选做题：
15元
30元
20元 25元
请同学们列举日常生活中的概率问题，并计算相应的概率。
请问：聪聪的父母都是双眼皮而且他们的基因都是Ff,那么聪 聪是双眼皮的概率是多少？
从图书馆出来，聪聪提议去看电影，聪聪想看《流浪地球》， 优优想看《复仇者联盟》，于是两人决定通过游戏作出选择。
聪聪说：我们来做“手心手背”的游戏吧！如果两人手势相 同则我获胜，我们一起看《流浪地球》；如果两人手势不同则 你获胜，我们则一起看《复仇者联盟》。
知识储备
必然事件
太阳从东方升起
手机没电会关机
不可能事件
地球上水往高处流件
抽奖抽中一等奖
守株待兔
对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大 小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P（A）。
P( A) m n
列表法
直接列 举法
画树状 图法
列举法
聪聪和优优计划乘坐1路公交车去文具店，来到公交 车站，发现在这一站台停靠的公交车有1路、2路和4路。 （1）假设每路公交车停靠的机会是均等的，请问：在她 们等候的过程中，到来的第一辆公交车恰好是1路公交车 的概率是多少？
优优说：还是来做“石头、剪刀、布”的游戏吧！由获胜 者作出最后的决定。
请问：聪聪和优优提出的游戏规则对自 己有利吗？游戏公平吗？
最后，两人来到餐厅吃饭，餐厅每天供应的菜品有两荤 三素，两荤是鸡肉和牛肉，三素是白菜、芹菜和油菜，另外 还有主食是花卷和米饭。聪聪想从荤菜、素菜和主食中各选 一种，请问：聪聪恰好选了鸡肉、白菜和米饭的概率是多少？
生活中的概率问题
生活中的概率问题遵义县第四中学 钟永胜生活中许多事的发生都是很偶然的，这大概就是这个世界的玄妙与神秘所在．概率一直在为揭开这一神秘面纱而不断发展．现在我们来看看这样一些生活中的概率问题： 一、中国体育彩票中的概率当今社会，购买彩票渐渐成为普通老百姓经济生活的一个组成部分，人们购买彩票时最关心彩票的中奖概率是多少？中国体育彩票的每注号码由一个六位数和一个特别号码组成，六位数号码范围是000000－999999，特别号码范围是0－4，因此，特等奖号码的各种可能总数为106×5，它的中奖概率是761210105-=⨯⨯；一等奖～五等奖号码的各种可能总数为106，因此，一等奖的中奖概率是66111010-=⨯；二等奖有2种情况，×这个位置由于与中奖号码相邻故只有9种可能，因此，中奖概率是5629 1.81010-⨯=⨯；三等奖的3种中奖情况可改写成1234×○，×2345×，○×3456，○这个位置由于与四位中奖号码不相邻故可有10种可能，因此，中奖概率为2461(9109109) 2.611010-⨯⨯++⨯=⨯；四等奖的4种中奖情况可改写成123×○○，×234×○，○×345×，○○×456，中奖概率为222361(9109101099) 3.421010-⨯⨯+⨯+⨯⨯=⨯；五等奖的情况比较复杂，要分类讨论，（1）仅仅两个连号正确，如12××××，这有5种情况，故有5×94种可能；（2）恰有三个数正确但不连号，如12××5×，这有12种情况，故有12×93种可能；（3）恰有四个数正确且正确数分别两两相邻，如12×45×，这有3种情况，故有3×92种可能；（4）恰有四个数正确且两个数相邻两个数不相邻，如12×4×6，这也有3种情况，故有3×92种可能；这样合计五等奖的中奖概率是4322261(591293939) 4.20391010-⨯⨯⨯++⨯+⨯=⨯．因此，中国体育彩票各个奖级的中奖概率合计为24.5739210-⨯．二、“摸彩”中的概率在现实生活中，我们经常看到有奖销售和路边摆设的摸彩游戏。
从日常生活中探讨概率问题
从日常生活中探讨概率问题概率是数学中一项重要的概念，它在我们的日常生活中也扮演着重要的角色。
从翻开一本书的指定页码到抓住公交车的几率，概率无处不在。
本文将从日常生活的角度出发，探讨概率问题。
1. 选课抉择在大学里选课时，我们常常需要在众多选修课中做出抉择。
每门课程的选课人数都有限，所以我们要计算选中某门课的概率。
例如，数学系开设的高级数学课程，总容量为100人，但有200人想选。
如果我们是第一名在选课系统中选这门课，那么我们选中的概率就是1/200。
2. 随机事件在我们的日常生活中，有许多依赖于概率的随机事件。
例如，抛硬币时，我们猜测正反面的几率都是50%。
虽然这是一个理想化的情况，事实上，由于硬币可能存在的不均衡性，这一概率可能会有所偏移。
3. 走红绿灯每天路过红绿灯时，我们面临着一个概率问题：会遇到绿灯还是红灯？如果我们在绿灯亮起时到达，那么我们通过的概率很高。
但是，由于交通信号灯的周期性，抵达时可能正好是红灯。
这里的概率受到时间、路况等多种因素的影响。
4. 天气预报天气预报是一个概率性的事务。
预报员根据天气模型、历史数据和实时观测，进行预测并给出概率。
例如，预报员可能会说：“明天有30%的降雨概率。
”这意味着在相似的情况下，从过去的统计数据来看，有三成的可能性会下雨。
5. 买彩票购买彩票是一种纯粹的概率游戏。
我们花费一定的金额购买彩票，希望在众多可能中赢得大奖。
然而，彩票中奖的概率通常是非常低的，这就是为什么人们常说“中奖无望”。
6. 病患诊断在医学领域，概率也扮演着重要的角色。
医生基于病人的症状和实验数据，来进行疾病的诊断。
他们使用的是一种被称为“贝叶斯定理”的概率模型，通过计算患病的概率来进行诊断。
总结：概率问题存在于我们的日常生活中的方方面面。
在选课抉择、随机事件、走红绿灯、天气预报、买彩票、病患诊断等情境中，我们经常需要在不确定性中做出判断。
了解和应用概率概念，有助于我们更好地理解和应对这些情况。
日常生活中的概率课件
为偶数的有(1，3)，(2，4)，(3，1)，(4，2)，
共4种情况，
4 ∴两个球上的数字之和为偶数的概率为
1.
12 3
(3)若设计一种游戏方案：从中任取两球，两个球上的 数字之差的绝对值为1时甲胜，否则为乙胜，请问这 种游戏方案对甲、乙双方公平吗？请说明理由．
解：∵两个球上的数字之差的绝对值为1的有(1，2)，
对雾霾天气 了解程度的
统计表：
对雾霾天气的了解程度 A.非常了解 B.比较了解 C.基本了解 D.不了解
百分比 5% 15% 45% n
请结合统计图表，回答下列问题： (1)本次参与调查的学生共有___4_0_0___人，
n＝____3_5_%__； (2)扇形统计图中D部分扇形所对应的圆心角
是___1_2_6___度；
由表可知共 有16种等可
1 (1，1) (2，1) (3，1) (4，1) 2 (1，2) (2，2) (3，2) (4，2) 3 (1，3) (2，3) (3，3) (4，3)
能的结果， 4 (1，4) (2，4) (3，4) (4，4)
且指针所指扇形上的数字之积为偶数的有12种，奇
数的有4种，则指针所指扇形上的数字之积为偶数的 概率是 12 3 ，指针所指扇形上的数字之积为奇
(2)现有一本故事书，姐妹俩商定通过转盘游戏定输 赢(赢的一方先看)，游戏规则是：姐妹俩各转动 一次转盘，两次转动后，若指针所指扇形上的数 字之积为偶数，则姐姐赢；若指针所指扇形上的 数字之积为奇数，则妹妹赢．这个游戏规则对双 方公平吗？请利用树状图或列表法说明理由．
解：(2)列表如下：
1
2
3
4
解：∵不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，3，4的 四个球，球上的数字为偶数的是2与4，
概率在生活中的几个典型问题
概率在生活中的几个典型问题概率论是研究现实世界随机现象数量规律的一门科学，其思维方法独特。
概率论不仅是当代科学的重要数学基础之一，而且还是当代社会和人类日常生活最重要的知识之一。
正如十九世纪著名数学家拉普拉斯所说，“对于生活中的大部分最重要的问题，实际上只是概率问题，你可以说几乎我们所掌握的所有知识都是不确定的，只有一小部分我们能确定，甚至数学科学本身，归纳法、类推法和发现真理的首要手段都是建立在概率论的基础之上的。
因此，整个的人类知识系统是与这一理论相联系的。
” 的确，我们只要浏览一下当今的报纸，看一看电视，就会发现在某种程度上概率统计的语言已经成为人类生活中重要的一部分。
然而，饶有趣味的是，这门被拉普拉斯称为“人类知识的最重要的一部分”的数学，却直接地起源于一种相当独特的人类行为的探索——人们对于机会性游戏的研究思考。
所谓机会性游戏，就是靠运气取胜。
随机事件与概率是概率论中最重要和最基本的概念，只有正确地理解和真正掌握，才能学好概率论。
在自然界及各种社会活动中，人们所观察到的现象大致可分为两类：一类称为确定性现象，另一类称为随机现象。
我们把在一定的条件下必然发生或必然不发生的现象称为确定性现象。
例如，从10件产品(其中2件是次品，8件是正品)中，任意地抽取3件进行检验，这3件1/ 6产品绝不会全是次品；向上抛掷一枚硬币必然下落，等等。
这类现象的一个共同点是事先可以断定其结果。
我们把在一定的条件下，具有多种可能发生的结果的现象称为随机现象。
例如，从10件产品(其中2件是次品，8件是正品)中，任取1件出来，可能是正品，也可能是次品；向上抛掷一枚硬币,落下以后可能是正面朝上，也可能是反面朝上；将要出生的婴儿可能是男性，也可能是女性。
这类现象的一个共同点是事先不能预知多种可能结果中究竟出现哪一种。
本文主要是对随机事件和概率的一些容易混淆的概念进行辨析，探讨生活中与概率相关的一些例子。
一、抽奖问题例如：如果有5张可当场兑奖的彩票，其中2张是有奖的。
日常生活中的概率问题 (2)
8
8
8
8
学以致用
2. 我校举行以“保护环境，从我做起”为主题的演讲 比赛．经预赛，七、八年级各有一名同学进入决赛， 九年级有两名同学进入决赛．前两名都是九年级同学 的概率是 ＿＿＿＿＿ ．
知识探究
探究（三）：用概率解决实际问题
甲、乙、丙三人打乒乓球.由哪两人先打呢?他们决定用 “石头、剪刀、布”的游戏来决定,游戏时三人每次做 “石头” “剪刀”“布”三种手势中的一种,规定“石 头” 胜“剪刀”, “剪刀”胜“布”, “布”胜“石 头”，同种手势不分胜负须继续游戏. 问一次比赛能淘 汰一人的概率是多少?
9 27
=
1
3
(1) 列表法和树形图法的优点是什么? (2)什么时候使用“列表法”方便?什么时候使 用“树形图法”方便?
(1)优点:利用树形图或表格可以清晰地表示出某 个事件发生的所有可能出现的结果;从而较方便 地求出某些事件发生的概率. (2)当试验包含两步（或一次试验涉及两个因素） 时,列表法比较方便,当然,此时也可以用树形图 法;
圆
而A与B不相邻的有2种，所以A与B不
桌
相邻而坐的概率为＿＿1＿＿＿
3
课堂小结：
课后日记： 今天学了什么: _______________ 今天的收获是: _______________ 不明白的地方是: _____________
• 大千世界充满了随机事件，生活中 处处有概率.利用概率的理论意义，对 各种实际问题作出合理解释和正确决 策，是我们学习概率的一个基本目的.
当试验在三步或三步以上（或一次试验涉及3 个因素或3个以上的因素）时,用树形图法方便.
巩固练习
一张圆桌旁有4个座位，A先坐在如图所示 的位置上，B、C、D随机地坐到其它三个 座位上，求A与B不相邻而坐的概率。
生活中的概率趣事
生活中的概率趣事1.安迪·鲁尼50-50-90规则“当你有50%的机会才对一件事时，那么也许有90%的可能你猜的是错的”也就是说，如果两件事机会均等，那么猜对事件发生的可能性微乎其微。
2.掷骰子问题甲、乙二人参与掷3颗骰子的游戏，如果三个数相加之和为9，则甲赢，如果三个数之和为10，则乙赢。
如果既不是9也不是10，那么继续投掷，这个游戏公平么？3.扔瓶盖的策略假设你和你的朋友准备用扔硬币的方法来解决你们之间的矛盾，恰巧两人都没有硬币，于是决定用扔瓶盖来代替硬币，但不能保证瓶盖正反两个事件的概率相等，有什么方法能保证结果的公平性么？4.令人匪夷所思的是，对一件事情解释得越详细，其可信度越低。
如果要让自己值得信赖，那就尽量避免细节化。
5.如果两个事件不能同时发生，那么它们一定是独立的吗？6.如果要保证至少两个人的生日为同一天的概率不小于50%，最少要多少个人呢？7.购物策略问题在前37%产品中选择最优惠的产品，再接下来的产品中有比这个产品更优惠的就买下来。
那么此时你赢的概率是37%。
这个策略是最优策略。
8.决斗问题A,B,C，三人决斗，假设A总能射中目标，B每次射中目标的概率是90%，而C则是50%。
从C开始，依次射击下一个人（除非他自己已经被击中了）。
那么C能幸存的最优策略是什么呢？9.细胞分裂假设有一种细胞，分裂和死亡的概率相同，如果一个种群从这样一个细胞开始变化，那么这个种群最终灭绝的概率是多少呢？10.把牌洗好并一张一张地把牌翻到正面。
在任何时候你都可以说“停，下一张是红色”，如果你是正确的，你赢，但你必须在某个时间点上说出来，如果我翻完51张牌你还没有叫停。
你就必须猜最后一张牌是红色的，除此之外，你可以自由运用任何策略。
那么最好的策略是什么呢？你赢的概率是多少？11.任何一个“理性的策略”只有在决定性条件发生时才会显示出优势，但是这种优势常常会因为决定性条件不发生而不起作用。
12.如果让你任意把64颗米粒摆在一块棋盘上，你会空出多少格呢？如果事件成功的概率是百万分之一，你试了一百万次之后不成功的概率是多少呢？在科罗拉多州的杰克逊县随便选定一平方英里的范围，然后在里面溜达遇不到任何人的概率是多少？如果有人告诉你平均每一千年就会发生大规模的陨星撞击地球的事情，那么接下来的一千年里会有多少流星撞击地球呢？这些问题的答案都是37%13.小概率事件，我们切忌忽略他们，因为一个事件即使再稀有也不意味着它永远不会发生。
《日常生活中的概率问题》教学设计(贵州省县级优课)
学生先独立思考，然后分小组进行分析、讨论、相互交流，做出问题的解答过程，最后再由教师进行补充和订正。
问题①以我们生活中遇到的问题来引入对课题的探究，使学生认识到学习数学是为了解决生活中的实际问题。
问题②通过生活问题的探究、解决，让学生学会运用直接列举法列出所有的结果，然后教师引导学生分析在列举的过程中找出满足条件的结果，并求出事件的概率，从而使学生认识到直接列举法的作用。
问题②③让学生通过探究、分析、比较运用直接列举的方法列出所有的结果，然后教师引导学生分析发现当事件涉及两个因素时，在直接列举的过程中很容易遗漏、重复，直接列举不一定很方便，为了形象、直观、简洁列举结果，从而自然引出列表法和作树状图法，从而使学生认识到列表法和树状图法的作用，激发学生的求知欲望。
问题④⑤让学生通过探究、分析、比较运用直接列举法、列表法和作树状图法，然后教师引导学生分析发现当事件涉及三个及三个以上因素时，直接列举法和列表法都不方便，为了形象、直观、简洁列举结果，从而自然引出作树状图法，从而使学生认识到作树状图法的作用，激发学生的求知欲望。
④乘车回家：
下午，我和儿子乘车回家，在途中需要经过三个红绿信号灯（黄灯忽略不计），已知每个信号灯亮红灯和绿灯的时间都相同，那么我们遇到两次红灯的概率是多少？
⑤观看节目：
晚上，我们在家观看《奔跑吧》电视节目，其中有一个游戏环节是：有两把不同的锁和三把钥匙，其中两把钥匙恰好分别能打开这两把锁。邓超随机取出一把钥匙去开任意一把锁，那么他一次就打开锁的概率是多少？
1、这里的“降水概率是70%”指的是（ ）
A：有70%的地区可能降水B：有70%的时间可能降水C：有70%的可能性降水
25个生活中的趣味概率现象
25个生活中的趣味概率现象生活中有许多趣味概率现象，这些现象以其奇特、有趣的特点吸引着我们的注意力。
下面我将介绍25个生活中的趣味概率现象。
1. 扔硬币正反面概率：扔硬币时，正反面出现的概率是相等的，即50%的概率。
2. 骰子点数概率：投掷一个六面骰子，每个点数出现的概率是相等的，即1/6的概率。
3. 路口红绿灯：在路口等待红绿灯时，绿灯亮的概率要大于红灯亮的概率，因为红绿灯的设置是根据交通流量和时间来调整的。
4. 抽奖概率：参加抽奖活动时，中奖的概率是参与人数与奖品数量的比例。
5. 天气预报准确率：天气预报的准确率是根据历史数据和气象模型计算得出的，有一定的概率误差。
6. 网络延迟概率：在使用网络时，由于网络拥塞、信号干扰等原因，会造成网络延迟，其概率与网络质量和使用情况有关。
7. 打电话被接通概率：打电话时，对方接通电话的概率与对方是否在通话中、手机是否开机等因素有关。
8. 考试分数概率：在考试中获得某个分数的概率与试卷难度、个人水平等因素相关。
9. 交通事故发生概率：在道路上行驶，发生交通事故的概率与驾驶习惯、道路状况等因素有关。
10. 足球比赛胜负概率：参与足球比赛的球队获胜的概率与球队实力、比赛策略等因素有关。
11. 摇号买车概率：参与摇号购车的人获得车牌号的概率与摇号人数和可用车牌号数量有关。
12. 电梯停靠楼层概率：乘坐电梯时，电梯停靠在某个楼层的概率与乘客在各个楼层的分布情况有关。
13. 跳水奥运项目得分概率：参与跳水比赛的选手获得某个得分的概率与选手的技术水平和裁判的评分标准有关。
14. 电子产品损坏概率：使用电子产品时，产品损坏的概率与产品质量和使用方式有关。
15. 高速公路收费站车流量概率：在高速公路上行驶，通过收费站的车流量的概率与时间段和节假日等因素有关。
16. 股票涨跌概率：参与股票交易时，股票涨跌的概率与市场行情和公司业绩等因素有关。
17. 网购物品满意度概率：网购物品后满意度的概率与商品质量、卖家服务等因素有关。
生活中的数学概率问题
生活中的数学概率问题有很多，以下是一些例子：
1. 蒙提霍尔问题（三门问题）：假设你去参加一个电视综艺节目，台上准备了三扇门，其中一扇门后藏有轿车，另外两扇门后只有山羊。
你选择了一扇门，然后主持人告诉你，你选的那扇门后面是山羊，问你要不要换一扇门？这是一个著名的数学概率问题，其实生活中有很多类似的情境，比如赌博、抽奖等。
2. 扔硬币问题：假设你有一个公正的硬币（即正面和反面的出现概率均等），你扔这个硬币，出现正面的概率是1/2，出现反面的概率也是1/2。
这个概率问题在现实生活中也有很多应用，比如赌博、决策等。
3. 扑克牌问题：在玩扑克牌的时候，不同的牌型出现的概率是不同的。
比如，出现一个特定花色的牌的概率是多少？出现一个特定牌型的概率又是多少？这些概率问题可以帮助我们更好地理解赌博的风险和策略。
4. 生日悖论：假设在一个房间里有23个人，那么至少有两个人在同一天出生的概率是多少？这个概率问题虽然看起来简单，但是背后隐藏着深刻的数学原理。
5. 赌博问题：在赌博中，经常涉及到概率和期望值的问题。
比如，掷骰子掷出6点的概率是多少？买彩票中奖的概率又是多少？这些问题的答案都涉及到概率的计算和应用。
总之，生活中的数学概率问题非常多，它们在我们的日常生活中都有应用。
通过学习和理解这些概率问题，我们可以更好地理解风险和决策，做出更明智的选择。
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假设用小球模拟问题的实验过程中，用6个黑球代替 3双黑袜子，用2个白球代替1双白袜子： （1）有一次摸出了2个白球，但之后一直忘了把它 们放回去，这会影响实验结果吗？
有影响，如果不放回，就不是3双黑袜子和1双白袜 子的实验，而是中途变成了3双黑袜子实验，这两 种实验结果是不一样的。
（2）如果不小心把颜色弄错了，用了2个黑球和 6个白球进行实验，结果会怎样？
下表是一张模拟的统计表，请补出表中的空缺，并完成表后的填空．
移植总数（n） 10 50 270 400 750
1500 3500 7000 9000 14000
成活率（m） 8 47
235 369 662 1335 3203 6335 8073 12628
成活的频率（m ）
n
0.80 0.94 0.871 0.923 0.883 0.890 0.915 0.905 0.897 0.902
用什么实物
需要研究的问题 用替代物模拟实 验的方法
一枚硬币
一枚图钉
怎样实验
抛起后落地
抛起后落地
考虑哪一事件出 正面朝上的机会 钉尖朝上的机会 现的机会
下面的表中给出了一些模拟实验的方 法，你觉得这些方法合理吗？若不合 理请说明理由
用什么实物 怎样实验
需要研究的问题 用替代物模拟实 验的方法
3个红球 2个黑球 摸出1个球
2.某厂打算生产一种中学生使用的笔袋，但无法确定各种颜色的 产量，于是该文具厂就笔袋的颜色随机调查了5000名中学生， 并在调查到1000名、2000名、3000名、4000名、5000名时分别计 算了各种颜色的频率，绘制折线图如下：
((31随))若随着你着调是调查该查次厂次数的数的负的增责增加人加，,你，红将红色如色的何的频安频率排率基生如本产何稳各变定种化在颜？40色%的左产右量. ？ (2)你红能、估黄计、调蓝查、到绿1及00其00它名颜同色学的时生，产红比色例的大频约率为是4多:2:少1:吗1:2？.
损坏柑橘质量（m）/千克 5.50 10.5 15.15 19.42 24.25 30.93 35.32 39.24 44.57 51.54
柑橘损坏的频率（
m n
）
0.110
0.105
0.101
0.097 0.097 0.103
0.101
0.098
0.099
0.103
从表可以看出，柑橘损坏的频率在常数__0_.1__左右摆动，并且随统计 量的增加这种规律逐渐_明__显___，那么可以把柑橘损坏的概率估计为这个
估计概率的实验方法估算 该不规则图形的面积的方 案吗?
练习
某农科所在相同条件下做了某作物种子发芽率的实验，结果如下表 所示：
种子个数
发芽种子个数
发芽种子频率
100
94
0.94
200
187
0.94
300
282
0.94
400
338
0.96
500
435
0.87
600
530
0.89
700
624
0.89
800
估计调查到10000名同学时，红色的频率大约仍是40%左右.
知识应用
如图,长方形内有一不规则区域,现在玩投掷游戏,如果随 机掷中长方形的300次中，有150次是落在不规则图形内.
(1)你能估计出掷中不规则图形的概率吗？ (2)若该长方形的面积为150平方米,试估计不规则图形的 面积.
【拓展】 你能设计一个利用频率
例3
1.在有一个10万人的 小镇,随机调查了 2000人,其中有250人 看中央电视台的早间 新闻.在该镇随便问 一个人,他看早间新 闻的概率大约是多少? 该镇看中央电视台早
间新闻的大约是多少 人?
解:
根据概率的意义,可以 认为其概率大约等于
250/2000=0.125.
该镇约有 100000×0.125=12500 人看中央电视台的早 间新闻.
3个男生名字 2个女生名字 摸出1个名字
考虑哪一事件出 恰好摸出红球的 恰好摸出男生名
现的机会
机会
字的机会
在摸袜子的实验中，如果用6个红色玻璃 珠，另外还找了两张扑克牌，可以混在一 起做实验吗？
不可以，用不同的替代物混在一起，大大地 改变了实验条件，所以结果是不准确的。
注意：实验必须在相同的条件下进行，才能 得到预期的结果；替代物的选择必须是合理、 简单的。
P(A) p
由频率可以估计概率 是由瑞士数学家雅各 布·伯努利（1654－ 1705）最早阐明的， 因而他被公认为是概 率论的先驱之一．
二.新授
思考解答
问题1 某林业部门要考查某种幼树在一定条件的移植
的成活率，应采用什么具体做法？
幼树移植成活率是实际问题中 的一种概率。这个实 际问题中的移植实验不属于各种结果可能性相等的类 型，所以成活率要由频率去估计。
? 则这批柑橘中完好柑橘的质 350
量是____9_0_0_0_,若公司希望这 400 些柑橘能够
• 获利5000元,那么售价应定为 450
____2_._8_元/千克比较合适.
500
19.42 24.35 30.32 35.32 39.24 44.57 51.54
0.097 0.097 0.101 0.101 0.098 0.099 0.103
718
0.9
900
814
0.9
1000
981
0.98
一般地，1 000千克种子中大约有多少是不能发芽的？
种子个数
发芽种子个数
发芽种子频率
100
94
0.94
200
187
0.94
300
282
0.94
400
338
0.96
500
435
0.87
600
530
0.89
700
624
0.89
800
718
0.9
900
一 . 利用频率估计概率
当试验的可能结果有很多并且各种结果发生的可能性相等时，我们可
以用 P (A) = m 的方式得出概率，当试验的所有可能结果不是有限个， n
或各种可能结果发生的可能性不相等时，我们一般还要通过统计频率来 估计概率．
在同样条件下，大量重复试验时，根据一个随机事件发生的频率所逐 渐稳定到的常数P附近，可以估计这个事件发生的概率．
常数．如果估计这个概率为0.1，则柑橘完好的概率为__０__.９___．
根据估计的概率可以知道，在10 000千克柑橘中完好柑橘 的质量为 10 000×0.9＝9 000千克，完好柑橘的实际成本为
210000 2 2.22元 / 千克
9000 0.9
设每千克柑橘的销价为x元，则应有 （x－2.22）×9 000=5 000
向林业70部00门购买约__5_5_6_6_3_3棵5 .
0.905
9000
8073
0.897
14000
12628
0.602
从表可以发现,幼树移植成活的频率在___9_0_%____左右摆动,并 且随着统计数据的增加,这种规律愈加越明显,所以估计幼树 移植成活率的概率为____0_.9___
问题2 某水果公司以2元/千克的成本新进了10 000千克的柑橘，如果 公司希望这些柑橘能够获得利润5 000元，那么在出售柑橘（已去掉 损坏的柑橘）时，每千克大约定价为多少元比较合适？
为简单起见，我们能否直接把表中500千克柑橘对应的柑橘损 坏的频率看作柑橘损坏的频率看作柑橘损坏的概率？
应该可以的
根据频率稳定性定理，在要求精度不是很高的情况下， 不妨用表中的最后一行数据中的频率近似地代替概率.
因为500千克柑橘损坏51.54千克，损 坏率是0.103，可以近似的估算是柑 橘的损坏概率
销售人员首先从所有的柑橘中随机地抽取若干柑橘，进行了“柑橘
损坏率”统计，并把获得的数据记录在表中，请你帮忙完成此表．
柑橘总质量（n）/千克
损坏柑橘质量（m）/千克
柑橘损坏的频率（ m ） n
50
5.50
0.110
柑橘在10运0 输中会
10.5
有些随15坏0 ，公司
15.15
必须估20算0 出可能
19.42
这种方法是用摸取卡片代替了实际的抽取学生，这样的试验称为模拟 实验，你认为上述的模拟实验有道理吗？
说说你的道 理
你指定两个整数计算机在这两个整数之间能随机整数吗?
用计算器也能产生你指定的两个整数之间（包括这两整数）的随机整 数．例如，要产生1到9之间的随机整数，要先使计算器进入产生随机数的 模式；再输入需要产生随机数的范围（1到9）；反复按动有关键，计算器 就可以不道产生所需随机数．
解得 x≈2.8
因此，出售柑橘时每千克大约定价为2.8元可获利润5 000元．
某水果公司以2元/千克的成本新进了
柑橘总质 损坏柑橘质 柑橘损坏
10000千克柑橘，销售人员首先从所有 量（n） 量（m）千 的频率
的柑橘中随机地抽取若干柑橘，进行 千克 克
(m/n)
了“柑橘损坏率“统计，并把获得的 数据记录在下表中
随坏的25柑0 橘总数。
24.25
以便将30随0 坏的柑
30.93
350
35.32
橘的成40本0 折算到
39.24
没有随45坏0 的柑橘
44.57
的售价50中0
51.54
0.105 0.101 0.097 0.097 0.103 0.101 0.098 0.099 0.103
思考
柑橘总质量（n）/千克 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500