日常生活中的概率问题

例3
1.在有一个10万人的 小镇,随机调查了 2000人,其中有250人 看中央电视台的早间 新闻.在该镇随便问 一个人,他看早间新 闻的概率大约是多少? 该镇看中央电视台早
间新闻的大约是多少 人?
解:
根据概率的意义,可以 认为其概率大约等于
250/2000=0.125.
该镇约有 100000×0.125=12500 人看中央电视台的早 间新闻.
随坏的25柑0 橘总数。
24.25
以便将30随0 坏的柑
30.93
350
35.32
橘的成40本0 折算到
39.24
没有随45坏0 的柑橘
44.57
的售价50中0
51.54
0.105 0.101 0.097 0.097 0.103 0.101 0.098 0.099 0.103
思考
柑橘总质量（n）/千克 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
这样设计有道理吗?
我们不妨取9张形状完全相同的卡片，在6张卡片上分别写上1～6的整 数表示男生，在其余的3张卡上分别写上7～9的整数表示女生，把9张卡 片混合起来并洗均匀．
从卡片中随机抽取1张放回，再抽取1张放回，然后第三次抽取1张，并 记录抽取的结果，经重复大量试验，就能够计算相关频率，估计出三人 中两男一女的概率．
为简单起见，我们能否直接把表中500千克柑橘对应的柑橘损 坏的频率看作柑橘损坏的频率看作柑橘损坏的概率？
应该可以的
根据频率稳定性定理，在要求精度不是很高的情况下， 不妨用表中的最后一行数据中的频率近似地代替概率.
因为500千克柑橘损坏51.54千克，损 坏率是0.103，可以近似的估算是柑 橘的损坏概率
销售人员首先从所有的柑橘中随机地抽取若干柑橘，进行了“柑橘
损坏率”统计，并把获得的数据记录在表中，请你帮忙完成此表．
柑橘总质量（n）/千克
பைடு நூலகம்
损坏柑橘质量（m）/千克
柑橘损坏的频率（ m ） n
50
5.50
0.110
柑橘在10运0 输中会
10.5
有些随15坏0 ，公司
15.15
必须估20算0 出可能
19.42
一 . 利用频率估计概率
当试验的可能结果有很多并且各种结果发生的可能性相等时，我们可
以用 P (A) = m 的方式得出概率，当试验的所有可能结果不是有限个， n
或各种可能结果发生的可能性不相等时，我们一般还要通过统计频率来 估计概率．
在同样条件下，大量重复试验时，根据一个随机事件发生的频率所逐 渐稳定到的常数P附近，可以估计这个事件发生的概率．
损坏柑橘质量（m）/千克 5.50 10.5 15.15 19.42 24.25 30.93 35.32 39.24 44.57 51.54
柑橘损坏的频率（
m n
）
0.110
0.105
0.101
0.097 0.097 0.103
0.101
0.098
0.099
0.103
从表可以看出，柑橘损坏的频率在常数__0_.1__左右摆动，并且随统计 量的增加这种规律逐渐_明__显___，那么可以把柑橘损坏的概率估计为这个
结束寄语:
概率是对随机现象的一种数学描述,它 可以帮助我们更好地认识随机现象,并对 生活中的一些不确定情况作出自己的决 策.
从表面上看，随机现象的每一次观察 结果都是偶然的，但多次观察某个随机 现象，立即可以发现：在大量的偶然之 中存在着必然的规律.
练习
一水塘里有鲤鱼、鲫鱼、鲢鱼共1000尾， 一渔民通过多次捕获实验后发现：鲤鱼、 鲫鱼出现的频率是31%和42%，则这个水 塘里有鲤鱼__3_1_0___尾,鲢鱼__2_7_0___尾.
50
5.50
0.110
• 1)同桌合作完成表25-6.
100 10.50 0.105
• (2)根据表中数据填空:
150 15.15 0.101
• 这批柑橘损坏的概率是 __0_._1__,则完好柑橘的概率是
200
_____0__.9,
250
• 如果某水果公司以2元/千克 300 的成本进了10000千克柑橘,
估计调查到10000名同学时，红色的频率大约仍是40%左右.
知识应用
如图,长方形内有一不规则区域,现在玩投掷游戏,如果随 机掷中长方形的300次中，有150次是落在不规则图形内.
(1)你能估计出掷中不规则图形的概率吗？ (2)若该长方形的面积为150平方米,试估计不规则图形的 面积.
【拓展】 你能设计一个利用频率
向林业70部00门购买约__5_5_6_6_3_3棵5 .
0.905
9000
8073
0.897
14000
12628
0.602
从表可以发现,幼树移植成活的频率在___9_0_%____左右摆动,并 且随着统计数据的增加,这种规律愈加越明显,所以估计幼树 移植成活率的概率为____0_.9___
问题2 某水果公司以2元/千克的成本新进了10 000千克的柑橘，如果 公司希望这些柑橘能够获得利润5 000元，那么在出售柑橘（已去掉 损坏的柑橘）时，每千克大约定价为多少元比较合适？
估计概率的实验方法估算 该不规则图形的面积的方 案吗?
练习
某农科所在相同条件下做了某作物种子发芽率的实验，结果如下表 所示：
种子个数
发芽种子个数
发芽种子频率
100
94
0.94
200
187
0.94
300
282
0.94
400
338
0.96
500
435
0.87
600
530
0.89
700
624
0.89
800
解得 x≈2.8
因此，出售柑橘时每千克大约定价为2.8元可获利润5 000元．
某水果公司以2元/千克的成本新进了
柑橘总质 损坏柑橘质 柑橘损坏
10000千克柑橘，销售人员首先从所有 量（n） 量（m）千 的频率
的柑橘中随机地抽取若干柑橘，进行 千克 克
(m/n)
了“柑橘损坏率“统计，并把获得的 数据记录在下表中
? 则这批柑橘中完好柑橘的质 350
量是____9_0_0_0_,若公司希望这 400 些柑橘能够
• 获利5000元,那么售价应定为 450
____2_._8_元/千克比较合适.
500
19.42 24.35 30.32 35.32 39.24 44.57 51.54
0.097 0.097 0.101 0.101 0.098 0.099 0.103
常数．如果估计这个概率为0.1，则柑橘完好的概率为__０__.９___．
根据估计的概率可以知道，在10 000千克柑橘中完好柑橘 的质量为 10 000×0.9＝9 000千克，完好柑橘的实际成本为
210000 2 2.22元 / 千克
9000 0.9
设每千克柑橘的销价为x元，则应有 （x－2.22）×9 000=5 000
计算器产生的随机数是用数学方法得到的一串数,他们具 有类似随机数的性质,实际上,骰子就是一种最早的能够产 生1到6这6个随机数的机器
在由频率估计概率的模拟试验中,计算机具有更大的优越性.产生随机 数后,要得出相应频率应需要大量的计算,而计算机可以按设定的程序 自行的产生随机数并进行统计计算.
下面的表中给出了一些模拟实验的方 法，你觉得这些方法合理吗？若不合 理请说明理由
3个男生名字 2个女生名字 摸出1个名字
考虑哪一事件出 恰好摸出红球的 恰好摸出男生名
现的机会
机会
字的机会
在摸袜子的实验中，如果用6个红色玻璃 珠，另外还找了两张扑克牌，可以混在一 起做实验吗？
不可以，用不同的替代物混在一起，大大地 改变了实验条件，所以结果是不准确的。
注意：实验必须在相同的条件下进行，才能 得到预期的结果；替代物的选择必须是合理、 简单的。
在同样的条件下，大量的对这种幼树进行移植，并统 计越常成来数活越就情 大 可况 ， 以， 频 被计 率 当算 作mn成成越活活来的率越频的稳率近定。似于值如某果个随常着数移，植那棵么树这n的个
. 问题1 某林业部门要考查某种幼树在一定条件的移植的成活率（是实 际问题中的一种概率,可理解为成活的概率），应采用什么具体做法？
假设用小球模拟问题的实验过程中，用6个黑球代替 3双黑袜子，用2个白球代替1双白袜子： （1）有一次摸出了2个白球，但之后一直忘了把它 们放回去，这会影响实验结果吗？
有影响，如果不放回，就不是3双黑袜子和1双白袜 子的实验，而是中途变成了3双黑袜子实验，这两 种实验结果是不一样的。
（2）如果不小心把颜色弄错了，用了2个黑球和 6个白球进行实验，结果会怎样？
用什么实物
需要研究的问题 用替代物模拟实 验的方法
一枚硬币
一枚图钉
怎样实验
抛起后落地
抛起后落地
考虑哪一事件出 正面朝上的机会 钉尖朝上的机会 现的机会
下面的表中给出了一些模拟实验的方 法，你觉得这些方法合理吗？若不合 理请说明理由
用什么实物 怎样实验
需要研究的问题 用替代物模拟实 验的方法
3个红球 2个黑球 摸出1个球
下表是一张模拟的统计表，请补出表中的空缺，并完成表后的填空．
移植总数（n） 10 50 270 400 750
1500 3500 7000 9000 14000
成活率（m） 8 47
235 369 662 1335 3203 6335 8073 12628
成活的频率（m ）
n
0.80 0.94 0.871 0.923 0.883 0.890 0.915 0.905 0.897 0.902
718
0.9
900
814
0.9
1000
981
0.98
一般地，1 000千克种子中大约有多少是不能发芽的？
种子个数
发芽种子个数
发芽种子频率
100
94
0.94
200
187
0.94
300
282
0.94
400
338
0.96
500
435
0.87
600
530
0.89
700
624
0.89
800
718
0.9
900
2.某厂打算生产一种中学生使用的笔袋，但无法确定各种颜色的 产量，于是该文具厂就笔袋的颜色随机调查了5000名中学生， 并在调查到1000名、2000名、3000名、4000名、5000名时分别计 算了各种颜色的频率，绘制折线图如下：
((31随))若随着你着调是调查该查次厂次数的数的负的增责增加人加，,你，红将红色如色的何的频安频率排率基生如本产何稳各变定种化在颜？40色%的左产右量. ？ (2)你红能、估黄计、调蓝查、到绿1及00其00它名颜同色学的时生，产红比色例的大频约率为是4多:2:少1:吗1:2？.
小球的颜色不影响恰好是一双的可能性大小
升华提高
弄清了一种关系------频率与概率的关系
当试验次数很多或试验时样本容量足够大时,一件事件发生的频 率与相应的概率会非常接近.此时,我们可以用一件事件发生的频率 来估计这一事件发生的概率.
了解了一种方法-------用多次试验频率去估计概率
体会了一种思想： 用样本去估计总体 用频率去估计概率
P(A) p
由频率可以估计概率 是由瑞士数学家雅各 布·伯努利（1654－ 1705）最早阐明的， 因而他被公认为是概 率论的先驱之一．
二.新授
思考解答
问题1 某林业部门要考查某种幼树在一定条件的移植
的成活率，应采用什么具体做法？
幼树移植成活率是实际问题中 的一种概率。这个实 际问题中的移植实验不属于各种结果可能性相等的类 型，所以成活率要由频率去估计。
814
0.9
1000
981
0.98
一般地，1 000千克种子中大约有多少是不能发芽的？
解答:这批种子的发芽的频率稳定在0.9即种子发芽的 概率为90%,不发芽的概率为0.1,机不发芽率为10%
所以: 1000×10%=100千克
1000千克种子大约有100千克是不能发芽的.
问题3
一个学习小组有6名男生3名女生。老师要 从小组的学生中先后随机地抽取3人参加 几项测试，并且每名学生都可被重复抽取。 你能设计一种实验来估计“被抽取的3人 中有2名男生1名女生”的概率的吗？
这种方法是用摸取卡片代替了实际的抽取学生，这样的试验称为模拟 实验，你认为上述的模拟实验有道理吗？
说说你的道 理
你指定两个整数计算机在这两个整数之间能随机整数吗?
用计算器也能产生你指定的两个整数之间（包括这两整数）的随机整 数．例如，要产生1到9之间的随机整数，要先使计算器进入产生随机数的 模式；再输入需要产生随机数的范围（1到9）；反复按动有关键，计算器 就可以不道产生所需随机数．
观察在各次试验中得到的幼树成活的频率，谈谈
你的看法移．植总数（n） 成活率（m） 成活的频率（m） n
10
8
0.80
50
47
0.94
270
235
0.871
400
369
0.923
750
662
0.883
1.林业部1门50种0 植了该幼树11030305棵,估计能成活0_._98_09_00___棵.
2.我们学校需35种00植这样的树苗5302003棵来绿化校园,则0.至91少5