数学分析课后习题答案20.1

∫ (x
L
2
=
2 3
∫t
0
1
9/2
⋅(1 + t )dt =
16 2 . 143
x = y 2 2 2 2 y + z = a
, 其 参 数 方 程 为
(7)
其
截
线
为
圆
x=y=
a 2
sin t , z = a cos t , (0 ≤ t ≤ 2π ) ,于是
2π
∫
L
2 y 2 + z 2 ds = ∫ a a 2 sin 2 t + a 2 cos 2 t dt = 2a 2π .
L
∫
x2 + y2
ds ,其中 L 为曲线 ρ = a(0 ≤ θ ≤
kθ
π
4
) 的一段;
(2)
∫ xds ,其中 L 为对数螺线 ρ = ae
L
(k > 0) 在圆 r = a 内的部分.
解 因 L 的参数方程为 x =
ρ (θ ) cos θ , y = ρ (θ ) sin θ (θ1 ≤ θ ≤ θ 2 ) ,从而
0
2. 求曲线 x = a, y = at , z = 解 曲线质量为:
1 2 at (0 ≤ t ≤ 1, a > 0) 的质量,设其线密度为 ρ = 2
2z . a
M =∫
L
1 a 1 a 2z ds = ∫ t a 2 + a 2 t 2 dt = ∫ 1 + t 2 d (t 2 + 1) = (2 2 − 1). 0 2 0 3 a
α
β
又因 f 在 L 上连续,L 为光滑曲线,所以
f [ x(t ), y (t )] 与 x ′ 2 (t ) + y ′ 2 (t ) 在 [α , β ] 上连续.由积分中值定理知: ∃t 0 ∈ [α , β ] 使
∫
L
f [ x(t ), y (t )] x ′ 2 (t ) + y ′ 2 (t ) dt
AB BO
=
∫
1
0
xdx + ∫
1
0
2dx + ∫ ydy = 1 + 2 .
0
1
(2)右半圆周的参数方程为:
x = R cos θ , y = R sin θ .(−
从而
π
2
≤θ ≤
π
2
)
∫ (x
L
2
+ y ) ds = ∫ 2π R 2 dθ = πR 2 .
2 − 2
1 2
π
(3)因为 y =
b 2a 2
∫
a
0
a 4 − (a 2 − b 2 ) x 2 dx 2
=
ab(a 2 + ab + b 2 ) . 3(a + b)
(4)由于圆的参数方程为: x = a cos θ , y = a sin θ (0 ≤ θ ≤ 2π ) ,从而
∫
L
y ds = ∫ sin θdθ − ∫ sin θdθ = 4 .
1. 计算第一型曲线积分: (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)
∫ ( x + y)ds ,其中 L 是以 O(0,0), A(1,0), B(0,1) 为顶点的三角形.
L
∫ (x
L
2
+ y ) ds ,其中 L 是以原点为中心, R 为半径的右半圆周;
2
1 2
∫
L
xyds , 其中 L 为椭圆
L
2
2t 3 , z =
1 2 t (0 ≤ t ≤ 1) 的一段; 2
∫
LLeabharlann 2 y 2 + z 2 ds ,其中 L 是 x 2 + y 2 + z 2 = a 2 与 x = y 相交的圆.
解 (1)
∫ ( x + y)ds = ∫
L
OA
( x + y )ds + ∫ ( x + y )ds + ∫ ( x + y )ds
( x0 , y 0 ) ∈ L ,使得 ∫ f ( x, y )ds = f ( x0 , y 0 )∆L,
L
其中 ∆L 为 L 的弧长. 证 由于 f 在光滑曲线 L 上连续,从而曲线积分
∫
L
f ( x, y )ds 存在,且
∫
L
f ( x, y )ds = ∫ f ( x(t ), y (t )) x ′ 2 (t ) + y ′ 2 (t ) dt .
= f [ x (t 0 ), y (t 0 )]
∫α
β
x ′ 2 (t ) + y ′ 2 (t ) dt = f [ x(t 0 ), y (t 0 )] ⋅ ∆L .
令 x 0 = x(t 0 ), y 0 = y (t 0 ), 显然 ( x 0 , y 0 ) ∈ L ,且
∫
L
f ( x, y )ds = f ( x0 , y 0 )∆L .
b a 2 − x 2 , y′ = a
− bx a2 − x2
, 从而
∫ xyds = ∫
L
a
0
b x a 2 − x 2 1 + ( y ′) 2 dx a
=
∫
a
0
b b2 x2 x a2 − x2 1+ 2 2 dx a a (a − x 2 )
= =
b2 2 2 b a 2 2 a x − + x dx 2a ∫0 a2
cos θdθ ,则
0 −∞
I = e 2 kθ sin θ ∫ − 2kθ sin θ dθ = 2k − 4k 2 I
于是 I =
2k 2a 2 k 1 + k 2 , 故 . xds = 4k 2 + 1 ∫L 1 + 4k 2
5. 证 明 : 若 函 数 f ( x, y ) 在 光 滑 曲 线 L : x = x(t ), y = y (t ), t ∈ [α , β ] 上 连 续 , 则 存 在 点
x2 + y2
ds = ∫ 4 e a a 2 + 0dθ =
0
0
π
aπ a e . 4
0 −∞
(2)
∫ xds = ∫
−∞
ae kθ cos θ ⋅ a 2 e 2 kθ + a 2 x 2 e 2 kθ dθ = a 2 1 + k 2 ∫ e 2 kθ cos θdθ .
记I =
∫e
−∞
0
2 kθ
=
a π t a π t 3t 4 sin dt − ∫ (sin − sin )dt = a. ∫ 2 0 2 4 0 2 2 3
4. 若曲线以极坐标 ρ = 式计算下列曲线积分: (1) e
L
ρ (θ )(θ1 ≤ θ ≤ θ 2 ) 表示,试给出计算 ∫ f ( x, y )ds 的公式,并用此公
ds = (
故 =
dx 2 dy ) + ( ) 2 dθ = ρ 2 (θ ) + ρ '2 (θ ) dθ . dθ dθ
∫
θ2
1
L
f ( x, y )ds
∫θ
f ( ρ (θ ) cos θ ,ρ (θ ) sin θ ) ⋅ ρ 2 (θ ) + ρ ′ 2 (θ ) dθ .
(1)
∫e
L
L
x2 y2 + = 1 在第一象限中的部分; a2 b2
∫
L
y ds ,其中 L 为单位圆周 x 2 + y 2 = 1 ;
2
∫ (x
L
+ y 2 + z 2 )ds ,其中 L 为螺旋线 x = a cos t , y = a sin t , z = bt (0 ≤ t ≤ 2π ) 的一段;
∫ xyzds ,其中 L 是曲线 x = t , y = 3
3. 求摆线 解 因为
x = a (t − sin t ), (0 ≤ t ≤ π ) 的重心,设其质量分布是均匀的. y = a (1 − cos t )
t ds = a 2 (1 − cos t ) 2 + a 2 sin 2 t dt = 2a sin dt. 2 π t 所以 M = 2aρ 0 ∫ sin dt = 4aρ 0 . 故重心坐标为 0 2 1 π t ρ 0 a (t − sin t )2a sin dt x= ∫ 0 M 2 π π a t a t = ∫ t sin dt − ∫ sin t sin dt 0 0 2 2 2 2 π 3t 4 t π t a π t = − at cos | 0 + a ∫ cos dt + ∫ (cos − cos ) dt = a. 0 2 2 4 0 2 2 3 1 π t y= ρ 0 a (t − cos t )2a sin dt M ∫0 2
0
π
2π
π
(5)
2π 2 + y 2 + z 2 )ds = ∫ (a 2 + b 2 t 2 ) a 2 + b 2 dt = π (3a 2 + 4π 2 b 2 ) a 2 + b 2 . 0 3 1 2 1 (6) ∫ xyzds = ∫ t ⋅ 2t 3 ⋅ t 2 1 + 2t + t 2 dt 0 L 3 2