泰姬陵坐落于印度古都阿格.

小结
1.推导等差数列前 n项和公式的方法 -------倒序相加法
2.等差数列前 n项和公式及应用
n(a1 an ) Sn 2
n(n 1) S n na1 d 2
说明：两个求和公式的使用-------知三求一.
3.公式应用中的数学思想.
--------方程思想
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自主应用
练习1． 某长跑运动员7天里每天的 训练量（单位：m）是：
n( n 1) 得 : 公式(2) : Sn na1 d 2
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进一步的思考：
等差数列－10，－6，－2，2， … 的前多少项的和为54？ 1.an＝？；从函数的角度怎样理解？
an = 4n-14
2. Sn呢？
Sn = 2n2-12n
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Sn的深入认识
an
Sn
O
Sn = 2n2-12n 6 n
1
探究发现
问题1：图案中，第1层到第21层一共有多少 颗宝石？
这是求奇数个项和的问题 ， 不能简单模仿偶数个项求和的 办法，需要把中间项 11 看成首、 尾两项1和21的等差中项。
通过前后比较得出认识：高 斯“首尾配对” 的算法还得分 奇、偶个项的情况求和。 有无简单的方法？
2
问题1：图案中，第1wk.baidu.com到第21层一共有 多少颗宝石？
两式左右分别相加，得
2Sn=(a1+an)+ (a2+an-1)+ (a3+an-2)+…+
(an-2+a3)+ (an-1+a2)+ (an+a1)=n(a1+an) n(a1 a n ) Sn 2
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问题6：能否用a1,n,d表示Sn 将an=a1+(n-1)d代入 n(a1 an ) 公式(1) : Sn 2
借助几何图形之 直观性，可使用熟悉 的几何方法：把“全 等三角形”倒置，与 原图补成平行四边形。
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问题1：图案中，第1层到第21层一共有 多少颗宝石？
2 3 1 21 20 19
获得算法：
s21
21
(1 21) 21 2
4
1
问题2:怎样才能快速地计算出 一堆钢管有多少根？
5+9=14 6+8=14 7+7=14 8+6=14 9+5=14
泰姬陵坐落于印度古都阿 格，是十七世纪莫卧儿帝 国皇帝沙杰罕为纪念其爱 妃所建，她宏伟壮观，纯 白大理石砌建而成的主体 建筑叫人心醉神迷，成为 世界七大奇迹之一。陵寝 以宝石镶饰，图案之细致 令人叫绝。 传说陵寝中有一个三角形 图案，以相同大小的圆宝 石 镶 饰 而 成 ， 共 有 100 层 （见右图），奢靡之程度， 可见一斑。 你知道这个图案一共花了 多少宝石吗？
解法一：设插入的10个数依次为x1,x2……x10 则a ,x1,x2……x10,b成等差数列。 令S= x1+x2+……+x10需求出首项x1和公差d ∴b=a12=a+11d ∴d=(b-a)/11 X1=a+(b-a)/11=(10a+b)/11
10 9 10 a b 10 9 b a S 10 x1 d 10 5(a b) 2 11 2 11 19
d d 设 A , B a1 上式可写成Sn=An2+Bn 2 2
若A≠0(d≠0)时,Sn是关于n的二次函数且缺常数项 . 14
P41例2 在等差数列 an 中已知 . d
2 600 (1)已知a1 3, a50 101.则s50 _______; 105 1 (2)已知a1 3, d .则s10 _________; 2 2 1 3
2 S n(n 1), n(n 1) S 2
P42练习1
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问题5：设等差数列 {an} 的首项 为a1，公差为d，如何求等差数列 的前n项和Sn= a1 +a2+a3+…+an?
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解： 倒序相加
S=a1+ a2 +a3 +…+an-2+an-1+an S=an+an-1+an-2+…+a3 + a2 +a1 因为a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…
解法二：设法同上
S=S12-(a+b)=
12(a b ) -(a+b)=5(a+b) 2
7500, 8000 , 8500 , 9000 , 9500 , 10000 ,10500
这位运动员7天共跑了多少米？
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练习2 .等差数列-10，-6，-2， 2，…前多少项的和是54？
本题实质是反用公式，解一 个关于n 的一元二次函数，注 意得到的项数n 必须是正整数.
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练习3（1）在a、b之间插入10个数，使它们 同这两个数成等差数列，求这10个数的和。
an = 4n-14
O
n
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n( n 1) d 2 d d n (a1 )n 若a1、d是确定的，那么Sn na1 2 2 2
n( n 1) 得 : 公式(2) : Sn na1 d 2 公式的结构特征：
问题6：能否用a1,n,d表示Sn 将an=a1+(n-1)d代入 n(a1 an ) 公式(1) : Sn 2
6
S=1 + 2+ 3+ … +98+99+100 S=100+99+98+ … + 3+ 2+ 1 ∴2S=(1+100) ×100=10100,∴S=5050.
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问题4:
求和:1+2+3+4+…+n=? 记:S= 1 + 2 + 3 +…+(n-2)+(n-1)+n 2 +1 S= n+(n-1)+(n-2)+…+ 3 +
2 , an 2
公式应用 P41例1 在等差数列an 中.
,
15 sn .则a1 __, n ____ 10 . P42练习2,3 P45习题3 3 2 P41例3 S10,S20-S10, S30-S20也成等差数列吗？ 6 可否推广？ P42练习4，P45习题5， 15
先算出每层的根数------每层都是14根! 再计算层数------共5层!
所以共(14 ×5)/2=35根.
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问题3
一个堆放铅笔的V形架 的最下面一层放一支铅 笔，往上每一层都比它 下面一层多放一支，最 上面一层放100支.这个 V形架上共放着多少支 铅笔？ 问题就是 求 “1+2+3+4+…+100=？”