2017春季中考数学第五讲图形的平移、旋转、折叠问题(解析版)

2017 春季中考数学第五讲

图形的平移、旋转、折叠问题

【基础回顾】

考点聚焦

1.了解轴对称图形和图形成轴对称的概念,知道线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、圆等常见的轴对称图形；了解平移、旋转的概念、掌握平移变换、旋转变换的基

本性质 ,能按要求作出简单平面图形平移后的图形.

2.掌握中心对称的概念,会判断一些基本图形的中心对称性,理解中心对称与旋转变换的区别.

3.探索图形之间的变换关系(轴对称、平移、旋转及其组合),能灵活运用轴对称、平移和旋转

的组合进行图案设计.

考点一轴对称图形、轴对称变换

例 1、如图 , 将三角形纸片ABC沿 DE折叠, 使点 A 落在 BC边上的点F 处 ,

且 DE∥BC,下列结论 : ①△BDF是等腰三角形; ②DE=1 BC;③四边形ADFE

2

是菱形 ; ④∠BDF+∠FEC=2∠A. 其中一定正确的个数是( ).

A.1

B.2

C.3

D.4

【思路点拨】如图, 分别过点D，E 作 BC的垂线DG，EH；连接AF,

由于折叠是轴对称变换知AF 与 DE垂直, 因为 DE∥BC，所以AF 与

BC垂直, 且 AM=MF可, 以证明点D，E 分别是AB,AC的中点 , 即 DE是

△ABC的中位线 , 所以② DE=1 BC是正确的；由于折叠是轴对称变换

2

知 AD=DF,AE=EF,所以 DA=DB=DF所, 以①△ BDF是等腰三角形是正确

的；因 DG∥AF∥EH,所以∠ BDG=∠DAM又, 因为DG是等腰三角形BDF

的高, 所以∠ BDF=2∠DAM同, 理∠CEF = 2 ∠EAM, 所以④∠BDF+∠FEC=2∠A 是正确的；如图显然四边形ADFE不是菱形 , ③是错误的．

【参考答案】C

【方法归纳】轴对称图形的定义：把一个图形沿着一条直线对折后, 直线两旁的部分能够互相重合 , 那么这个图形就叫做轴对称图形, 这条直线叫做对称轴. 轴对称图形的性质：(1) 对应点所连的线段被对称轴垂直平分；(2) 对应线段相等、对应角相等, 对应的图形是全等图形. 【误区提醒】折纸问题是近年来中考中的热点问题, 本题巧妙的运用平行线性质、折叠全等

不变性质得到三角形中位线, 如果能顺利地判断出这一点, 其他问题就将迎刃而解. 在解题时不要受给出的图形影响, 如△ABC像是等腰三角形, 就认为△ ABC 就是等腰三角形, 那样的话四边形ADFE就是菱形了 , 造成判断上的错误. 此外, 轴对称图形是指一个图形, 而轴对称变换是指两个图形之间的关系.

考点二中心对称图形、中心对称

例 2、下列图形中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是( ).

【思路点拨】把一个图形沿着某一条直线折叠, 如果直线两旁的部分能互相重合, 那么这个图

形是轴对称图形；把一个平面图形绕某一点旋转180°, 如果旋转后的图形能和原图形互相

重合 , 那么这个图形叫做中心对称图形. 对照定义, 可知A是轴对称图形, 且有1 条对称轴, 但

不是中心对称图形； B 是中心对称图形, 不是轴对称图形； C 是轴对称图形, 有1 条对称轴, 但不是中心对称图形；D既是中心对称图形又是轴对称图形, 有4 条对称轴．

【参考答案】 B

【方法归纳】如果一个图形绕着中心点旋转180°后能与自身重合, 我们把这种图形叫做中

心对称图形. 成中心对称的两个图形的对称点的连线都经过对称中心, 并且被对称中心平分. 【误区提醒】中心对称图形是指一个图形, 而中心对称是指两个图形之间的关系.

考点三平移变换

例3、如图，在平面直角坐标系中，正三角形OAB 的顶点B 的坐标为（2，0），

点A 在第一象限内，将△OAB沿直线OA 的方向平移至△O′A′ B′的位置，

此时点A′的横坐标为3，则点B′的坐标为.

【思路点拨】作AM⊥x 轴于点M.根据等边三角形的性质得OA=OB=，2 ∠ AOB=60°，

在Rt△OAM中, 利用含30°角的直角三角形的性质求出OM=1，AM= 3 ，从而求得

点A 的坐标为（1， 3 ），直线OA的解析式为y= 3 x, 当x=3 时， y=3 3 , 所以

点A′的坐标为（3，3 3 ），所以点A′是由点 A 向右平移 2 个单位，向上平移

23 个单位后得到的，于是得点B′的坐标为（4,2 3 ）.

【参考答案】（4,23 ）

【方法归纳】本题考查了坐标与图形变化——平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图

形上某点的平移相同. 平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移

减. 也考查了等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质. 求出点A′的坐标是解题的

关键.

考点四旋转变换

例4、在Rt△ABC中 ,∠BAC=90°,∠B=30° ,线段A D 是BC边上的中线,如图1,将△ ADC沿直

线BC平移 ,使点D 与点C重合 ,得到△FCE如, 图2,再将△FCE绕点C顺时针旋转,设旋转角为α(0°＜α≤90°),连接A F,DE．

(1)在旋转过程中,当∠ ACE=150°时 ,求旋转角α的度数；

(2)探究旋转过程中四边形ADEF能形成哪些特殊四边形？请说明理由．

【思路点拨】 (1) 由题意分析可知此问需分两种情况讨论：①点 E 和点 D在直线AC两侧；②点 E和点 D在直线 AC同侧；(2) 在旋转过程中, 总是存在AC=CE,DC=CE由. 图形的对称性可知, 将会出现两种对角线相等的特殊四边形：等腰梯形和矩形. 抓住平移和旋转的性质, 较易证明．解：(1) 在图 1 中, ∵∠BAC=90° , ∠B=30°,

∴∠ACE=∠BAC+∠B=120°．

如图 2, 当点 E和点 D在直线 AC两侧时, 由于∠ACE=150° , ∴α=150° -120 ° =30° . 当点 E

和点 D在直线 AC同侧时, 由于∠ACB=180° - ∠BAC-∠B=60° , ∴∠DCE=∠ACE-∠ACB=150°

-60 ° =90° .

∴α=180° - ∠DCE=90° . ∴旋转角α为30°或 90° ;

(2) 四边形ADEF能形成等腰梯形和矩形．

∵∠BAC=90° , ∠B=30° , ∴AC=1 BC．

2

又∵AD是 BC边上的中线, ∴AD=DC=1 BC=AC∴.△ADC为正三角形．

2

①当α =60°时, 如图 3, ∠ACE=120° +60° =180° .

∵CA=CE=CD=CF,

∴四边形ADEF为矩形．

②当α≠ 60°时, ∠ACF≠120° , ∠DCE=360° -60 ° -60 ° - ∠ACF≠

120°．

显然 DE≠AF．∵AC=CF,CD=CE,

∴2∠FAC+∠ACF=2∠CDE+∠DCE=180° .

∵∠ACF+∠DCE=360° -60 ° -60 ° =240° ,

∴∠FAC+∠CDE=60° . ∴∠DAF+∠ADE=120° +60° =180° . ∴AF∥DE．

又∵DE≠AF,AD=EF,∴四边形ADEF为等腰梯形．

【方法归纳】旋转的概念：在平面内, 将一个图形绕一个定点沿某一个方向转动一个角度, 这种图形的运动称为旋转, 这个定点叫做旋转中心, 转动的角度叫做旋转角.

旋转变换的性质：经过旋转 , 图形上每个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度, 任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角, 对应点到旋转中心的距离相等, 旋转变

换不改变图形的形状和大小, 是全等变换 .

【误区提醒】决定旋转变换的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度, 作图按三个步骤

进行： (1) 在已知图形上找一些关键的点；(2) 画出这些关键点的对应点；(3) 顺次连接这些

对应点 .

考点五图形变换的应用

例 5、如图，矩形纸片ABCD，将△ AMP 和△BPQ 分别沿PM 和 PQ 折叠（ AP＞AM），点A 和点 B 都与点E重合；再将△CQD沿 DQ 折叠，点C 落在线段EQ上的点F 处.

（1）判断△ AMP，△BPQ，△CQD 和△FDM 中有哪几对相似三角形？

3

（2）如果AM=1，sin∠DMF= ，求 AB 的长.

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