《数学物理方法》第七章_08-2008级

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代入原积分并交换积分次序
再次利用了q的奇函数积分为零，最后的 等式利用了留数定理。
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§7.2.2 贝塞尔函数的递推公式
贝塞尔函数的基本表达式是级数表达式，它 的递推公式可由级数表达式导出． 1. 贝塞尔函数J±v(x)的基本递推公式

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证明 由贝塞尔函数的定义式
出发，计算［ xvJ±v(x) ］对于x的导数，得


它们也是贝塞尔方程的线性无关的解，它们 称为汉克尔函数(第三类贝塞尔函数)． 这样，贝塞尔方程的通解也可表示为
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2. 三类贝塞尔函数的关系
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【例7.1.1】试证明：半奇数阶贝塞尔函数 可用初等函数表示为
证明 利用式(7.1.10)可得
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同理，利用式(7.1.11)可得
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作业- §7.1
5. 另一个特解

同理，令r=r2=-v，可得另一特解

Leabharlann Baidu
级数解y2(x)的收敛范围是0<|x|<ㆀ
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§7.1.2 当vn(整数)，方程的通解是贝塞尔函 数J±v(x)的线性组合 (1)贝塞尔函数J±v(x)的定义．


若在特解y1(x)中取
便得到v阶贝塞尔函数(3.4节)， (7.1.10) (7.1.11)
(7.2.12)
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同理可证式(7.2.13)

由式(7.2.12),和式(7.2.13)出发还可导出Nv(x) 的其他递推公式，其形式也与Jv(x)的递推公 式相同． 汉克尔函数的递推公式也可按上法导出．


凡是递推公式具有形如式(7.2.4)和式(7.2.5)的 函数称为柱函数．因此，第一、二、三类贝 塞尔函数又称为第一、二、三类柱函数．
(7.1.14)
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图7.2给出自变量为实数时头几个Nn(x)的 函数曲线．
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(3)诺伊曼函数是贝塞尔方程的解

贝塞尔函数Jv(x)是贝塞尔方程的解，将y=Jv(x) 代人式(7.1.1)，可得 对v求导，可得

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同理，由J-v(x)是贝塞尔方程的解
对v求导
(7.1.16)
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(7.1.15) (7.1.16)

但是用这个公式计算a与Dk通常是很麻烦的．人们 宁愿重新定义一个与Jn(x)线性无关的函数作为特解， 它就是诺伊曼函数．
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(2)诺伊曼函数的定义及其微分表达式

诺伊曼函数的定义是
(7.1.13)

诺伊曼函数又称为第二类贝塞尔函数．
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当v=n(整数)时，诺伊曼函数的定义式是不定 式．利用洛必达法则，可以得到它的微分表 达式

由此可见，当v为整数和零时，Nn(x)与Jn(x) 是线性无关的。贝塞尔方程的通解为
y(x) = C1Jn(x)十C2Nn(x)
(7.1.22)
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(5) 结论．

当v不为整数和零时，由Nn(x)的定义式可见，
它是Jv(x)和J-v(x)的线性组合。

既然Jv(x)与J-v(x)线性无关，所以Nn(x)与
Jn(x)和J-n(x)通过线性叠加得到第二类贝塞尔函数 Nn(x)，也称诺伊曼(Neumann)函数．
Jn(x)和Nn(x)的线性叠加还可得到第三类贝塞尔函 数Hn(1)(x) , Hn(2)(x)，也称汉克尔(Hankel )函数． Jn(x),J-n(x),Nn(x), Hn(1)(x)和Hn(2)(x)都是贝塞尔方程 的特解． 在不同情况下使用不同特解组成的通解．
§7.1.1贝塞尔方程的级数解
二阶线性齐次常微分方程 x2yʺ+xyʹ+(x2-v2)y＝0，0≤x≤b (7.1.1) 称为贝塞尔方程． 现在，在x=0的邻域求解贝塞尔方程． 1.级数解的形式 由p(x)=1/x, q(x)=1-v2/x2 , 可见, x=0是p(x)的 一阶极点，是q(x)的二阶极点．因此，x=0是 方程的正则奇点．方程的第一个解具有形式
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(2) 平面波按柱面波展开


沿x轴方向传播的平面波为 u＝cos(kx-wt) (7.2.25) 式中取振幅为1， k为波数，w为圆频率． 若采用指数形式，利用 cos(kx-wt) ＝ Re[ei(kx-wt)] (7.2.26) 并略去符号Re，则有 u＝ ei(kx-wt) ＝ ei(krcosj-wt)
(1)、对于大的x值，贝塞尔函数的渐近公式是

证明 公式的严格证明相当复杂，这里只作出 粗略的证明．首先，贝塞尔方程为

代入贝塞尔方程后，全式除x3/2，即有
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当x≫1时，上方程可近似写成 由此得


这表明，对于大的x值，贝塞尔函数的渐近公 式应具有如下的形式

其函数形式与式(7.2.18)相符


就是式(7.2.4)．同理可证明式(7.2.5)．
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由式(7.2.4)中令v=1，可得到一个很有用的公式 [xJ1(x)]ʹ= xJ0ʹ(x) (7.2.8) 在式(7.2.5)中令v=0，可得另一个很有用的公式 J0ʹ(x) = -J1 (x) (7.2.9) 将式(7.2.4)与式(7.2.5)的导数算出来， vxv-1Jv(x)+ xvJvʹ(x) ＝ xvJʹv-1(x) (7.2. 10-1) -vxv-1Jv(x)+ xvJvʹ(x) ＝ -xvJʹv-1(x) (7.2.11-1) 消去公共因子，即有 vJv(x)+ xJvʹ(x) ＝ xJʹv-1(x) (7.2. 10) -vxJv(x)+ xJvʹ(x) ＝ -xJʹv-1(x) (7.2.11) 将两式相减和相加可得式(7.2.6)与式(7.2.7).

改变第二项的求和指标，可得
(7.1.5)
7
由x的同次幂系数之和为零
(7.16) (7.17) C0表示C2n，用C1表示C2n+1 (其中n=1,2,…)
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4.由递推公式求系数得特解
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将系数代入式(7.1.2)，即得贝塞尔方程的一 个特解
易见级数解y1(x)的收敛范围是0≤|x|<ㆀ;
10
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证明 在式(7.2.2)中令t=eiq，则
上式已利用了奇函数sin(xsinq-nq )在对称区间[-p,p]的积分性质
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贝塞尔函数的积分公式可以用来计算包 含贝塞尔函数的一些积分．
【例7.2.1】试计算积分

解 先用式(7.2-3)表示J0(bx)为

指数函数的虚部是q的奇函数，积分后为零．

为了证明这一点，只要考查x=0时两者的取值 即可．由式(7.1.10) (7.1.10)
将x=0代入上式, 无论n是否为零, Jn(x)都是有界的 Jn(x) ＝1，当n=0 (7.1.17) Jn(x) ＝0，当n≥1 (7.1.18)
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诺伊曼函数在x=0点是无界的

将式(7.1.10)和式(7. 1. 11)代入式(7. 1. 14)，经 过繁杂的计算可得 ⇒当x→0时，无论n是否 为零，Nn(x)都是无界的

用式(7.1.15)减去(-1)n乘式(7.1.16)，得
即有 x2 J (x)+ xN J (x)+ 2-n2)Nn 当v＝n时Nnnʺ(x)=(-1)nnʹ -n(x) (x(7.1.12)(x)=0 可见诺伊曼函数满足贝塞尔方程 .
当v＝n时 为Nn(x)
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(4) 诺伊曼函数Nn(x)与贝塞尔函数Jn(x)线性无关

容易证明，它们具有与Jv(x)形式相同的基本 递推公式，例如

证明现在证明式(7.2.12)为例．将诺伊曼函数 的定义式代入式(7.2.12)的左边，得
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式中右边第一项可利用式(7.2.4)求出， (7.2.14) 第二项令v=-m及式(7. 2-5)可得
将式(7.2.4)及式(7.2.15)代入式(7.2.14)，并利用
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若在特解y2(x)中取 即得一阶贝塞尔函数(3.4节)
图7.1 自变量为实数时头几个Jv(x)的函数曲线．
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(2)当v不为整数时Jv(x)与J-v(x)是线性无关的。 实际上，当x→0时

因为当x → 0时，级数只保留n=0项．易见

当v不为整数时, Jv(x)与J-v(x)的行为完全不同, 是线 性无关的两个特解;故方程的通解是两者的线性组合
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可以证明，柱函数一定是贝塞尔方程的解； 但贝塞尔方程的解不一定是柱函数，因为贝 塞尔方程的解不一定满足递推公式(7.2.4)、 (7.2.5) ，见习题7.2.3. 贝塞尔函数的递推公式常用来计算含有贝塞 尔函数的积分，特别是被积函数是幂函数乘 贝塞尔函数的积分．

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【例7.2.2】计算积分

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2.指标方程

将式(7.1.2)代入方程(7.1.1) ，可得


由x的最低次幂xr的系数为零，即有 (r2-v2)C0=0 因C00，即得指标方程r2-v2=0．由此得指标 r1=v r2=-v (7.1.4)
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3.系数递推公式

为确定起见，令v＞0，并将r=r1=v ，代人方 程(7.1.3)，得
Jv(x)也是线性无关的。

由此可见，无论v是否整数和零，贝塞尔方程 的解均可表示为
y(x) = C1Jv(x)十C2Nv(x)
(7.1.23)
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§7.1.4 研究波的问题时，方程的通解常用汉克 尔函数表示 1.汉克尔函数的定义

既然Jv(x)和Nv(x)是贝塞尔方程的线性无关的 解．因此可以把它们作如下线性组合
解 利用递推公式
并进行分部积分，可得
?
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【例7.2.3】试由递推公式计算J3/2(x)及 J-3/2(x) 解 在式(7.2.6)中 令v = 1/2, 即有
(7.2.16)

同理，在式(7.2.6)中令， v = -1/2,并利用7. 1 节中例7.1.1的结论，即有
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§7.2.3 贝塞尔函数的渐近公式 平面波按柱面波展开


①汪德新．理论物理学导论第二卷：电动力 学．北京：科学出版社，2005．157-163 ②汪德新．理论物理学导论第三卷：量子力 学．武汉：湖北科学技术出版社，2003.316323
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§7. 1 贝塞尔方程与贝塞尔函数
本节首先用级数解法求解贝塞尔方程， 得到两个特解Jn(x)和J-n(x) ，称为第一 类贝塞尔函数，简称贝塞尔函数．
Group A
1.
第151页
Group B
1.
Group C
1.
7.1.1
7.1.1
7.1.1
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§7.2 贝塞尔函数的 母函数 积分表达式 递推公式 渐近公式 与零点





由§3.4节已给出的贝塞尔函数母函数出发，得 到贝塞尔的回路积分表达式和定积分表达式； 由贝塞尔函数的级数表达式出发导出它的递推 公式； 由贝塞尔方程出发导出它的渐近公式； 由母函数关系式导出平面波按柱面波的展开式， 并通过贝塞尔函数的渐近公式理解其物理含义； 最后，由贝塞尔函数的渐近式和递推公式出发 证明贝塞尔的零点分布，它在第三篇求解贝塞 尔方程的本征值问题时具有重要作用．
第七章 贝塞尔函数
本章介绍贝塞尔方程、虚宗量贝塞尔方 程及球贝塞尔方程的解; 它们解的微分与积分表达式,递推公式、 渐近公式; *贝塞尔方程本征函数的正交性、正交 归一关系式与完备性等; *在此基础上，还介绍了平面波分别按 柱面波和球面波的展开．

本章的内容在电动力学(如光导波的电磁结构 ①)及量子力学(如弹性散射中的分波法②)中 均有重要应用．
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利用式(7.2.6)便可由J0(x)及J1(x)求出J2(x) ， 接着由J1(x)及J2(x)求出J3(x) ; 余此类推，即可由J0(x)及J1(x) 求出所有整数 阶的贝塞尔函数; 此外，由式(7.2.6)、式(7.2.7)可给出所有整数 阶的贝塞尔函数的导数．


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2. 诺伊曼函数Nv(x) 与汉克尔函数 H(1)v(x)、 H(2)v(x)的递推公式
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§7.2.1 贝塞尔函数的母函数与积分表示
1.母函数 在“解析函数的洛朗展开”中已证明

它表明，函数 的洛朗系数是整数 阶的贝塞尔函数．因此 f(x,t) =
就称为Jn(x)的母函数
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2. 贝塞尔函数的积分表达式
(1)回路积分表达式．

利用洛朗系数公式 即可得到贝塞尔函数的积分表达式
(2) 定积分表达式．由上式出发，可导出贝塞 尔函数的定积分表达式
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§7.1.3 无论v是否整数，方程的通解可表 示为Jv(x)与诺伊曼函数Nv(x)的线性组合 (1) 当v=n(整数)时, Jn(x)与J-n(x)是线性相关 的．在3.4节已证明 Jn(x)=(-1)nJ-n(x) (7.1.12)

因而它们不能组合成通解，这时与Jv(x)线性无关的 特解可按式( 6.1.4)求得