第五章 金属的电导理论

的 函数。它表示系统依赖碰撞机制使分布从非平衡分布f 恢复到平衡分布状态f0时所用的时间。
r r τ (K ) 是引入的一个参数，称为驰豫时间，它是波矢 K
• 引入驰豫时间后，玻耳茲曼方程就简化为：
r r f − f0 & v ⋅ ∇r f + K ⋅ ∇K f = − • τ
• 根据能带理论的基本关系式： • • 以及：
∂f ∂t
∂f ∂t
∂f + ∂t 漂移
漂移
∂f + ∂t 碰撞
（5-7）
• 其中： • •
代表外场引起的分布函数的变化； 代表电子因受散射引起的分布函数的变化； 代表分布函数是时间显函数时的偏导数。
碰撞
∂f ∂t
• 如果电子的分布不随时间变化而处于定态分布状态，则 •
df =0 dt
∂f 此时f不显含时间，故 也为零，因此有： ∂t
•
∇K f ≠ 0
• ● •
下面再讨论“碰撞项”。 来描述单位时间由
r r 可以用一个跃迁几率函数：Θ( K , K *)
r r 状态 K → K * 的跃迁几率，这里只考虑自旋不变的 跃迁。这种频繁的跃迁显然将引起分布函数的改变。
• 定义了跃迁几率函数以后，就可以写出单位时间内因 碰撞从其它位置状态进入到 的电子数为：
§5·1·2 玻耳茲曼方程 玻耳茲曼方程是从考查分布函数如何随时间变化而 确立的。 分布函数的变化有两个来源： (1) 漂移项。它是指由外界条件所引起的统计分布在K空 间的“漂移 漂移”。 漂移 (2) 碰撞项。它是指由于晶格原子的振动，或者是杂质 r 的存在等原因，电子不断地发生从一个状态 K 到另 r* 一个状态 K 的跃迁。 我们可以把这种运动状态的改变想象成与分子运
r
r r f (r , K , t )
r
r
来描述的，它代
附近单位体积中一种自旋的电子数。
r • 所以t时刻在相空间体积元 dr dK 中一种自旋的电子数是：
r r r r f ( r , K , t ) dr dK
• •
r r f (r , K , t ) 随时间的总变化率应由三部分组成：
df ∂f = dt ∂t
r 式中,f0为 E = 0 时的f值，因此就相当于平衡情况下的费米 r 函 数 ； f1 ， f2 ， … ， 分 别 代 表 包 含 E 的 一 次 幂 、 二 次
f = f 0 + f1 + f 2 + L
(5-23)
幂、……、项。
• 将（5-23）式代入（5-22）式得：
• f1
e r e r e r + + + L = E ⋅ ∇ K f 0 + E ⋅ ∇ K f1 + E ⋅ ∇ K f 2 + L τ τ τ h h h f2 f3
（5-6）
r • 上式说明只要确定了分布函数 f (K ) ，就可以直接计算电
流密度。 • 通过这种非平衡情况下的分布函数来研究电子输运过 程的方法，就是分布函数法。
• 这里应注意的是，要准确地区别“平衡统计分 布”与“定态统计分布”。 • 平衡统计分布是指，宏观上电子处于相对静止 状态，各处的状态密度相同。 • 定态统计分布是指，宏观上电子做定向运动， 各处状态密度不变。
第五章 金属的电导理论
§5·1 分布函数和玻耳兹曼方程 §5·1·1分布函数法的概念 费米函数表述的是在统计平衡状态下，固体中的 电子的分布规律。如果我们以波矢标志电子的运动状 态，那么根据关系式（4-11），在波矢空间的体积元 r r dK dK 内状态数目为： 2VC 3
(2π )
如果用 积元
(5-14)
§5·1·3 驰豫时间近似
• (5-14)式表示的玻耳茲曼方程方程是一个微分—积分方 程，为了求解方便，一般都要作一些简化，其中最主要 的方法就是驰豫时间近似。 • 假设碰撞项可以写成下面的形式： •
f − f0 r b−a =− τ (K )
(5-15)
• 其中f0指的是平衡时的分布函数（即费米函数）。 •
r r r r r r ∂f 0 r 2e 2 j =− τv ( K ) v ( K ) ⋅ E dK 3 ∫ ∂Ε (2π )
[
]
(5-28)
• （5-28）式即为欧姆定律的一般公式。可见这是一个 向量关系式。如果把该关系式用分量表示则有： • •
jα = ∑ σ αβ E β
(5-9)
• 所以有： •
•
∂f ∂t
r r & = −v ⋅ ∇ r f − K ⋅ ∇ K f
漂移
（5-10）
上式表明，外场引起的分布函数的变化由两部分组成，一部分是由于电 子在坐标空间的运动引起的；第二部分是电子在波矢空间的运动引起的， 其结果是使晶体电子状态代表点在波矢空间的分布成为不均匀的，此时
§5·2金属的电导率
• 在恒温以及恒定外电场的条件下，金属晶体中能够形成稳 r 定的电流密度 j 。这时玻耳茲曼方程可以写成（5-21）的 形式，经简单的变化可写为： •
f − f0
τ
e r = E ⋅∇K f h
(5-22)
• 这个方程的解就是电场存在时定态的分布函数f，显然f将 r r 是电场 E 的函数，因此可以把f按 E 的幂级数展开为： • •
r r r 1 v ( K ) = ∇ K Ε( K ) h
(5-16)
(5-17)
• （其中 • 和： r 1 r e r r r & K = F = − ( E + v × B) h h •
∂f ∇r f = ∇rT ∂T
∇ rT =
∂T ∂r
）
（5-18）
（5-19）
• 将（5-17），（5-18），（5-19）式代入（5-16）式， 则玻耳茲曼方程可以写为： • • 当晶体中的温度梯度为零，而且晶体只受外电场力作 用时，玻耳茲曼方程可以简化为： •
r 2 f 0 [ E ( K ), T ] r dn = dK 3 (2π )
•
r dn 2 f 0 [ E ( K ), T ] r = (2π )3 dK
（5-2）
• 这种分布可以形象地表示为电子在K空间的密度分布， 即表示在一定温度下，K空间某处电子密度的大小。
• 在平衡状态分布时， 由于 • 因此分布密度
(5-12)
r r ( K , r ) 点的分
• 由于 为单位时间内由于碰撞而引起的 布函数的变化，因此有：
∂f ∂t 碰撞
•
∂f ∂t
=b−a
碰撞
(5-13)
• 结合（5-8）、（5-10）、（5-13）式，可以得到定态 条件下的玻耳茲曼方程为：
•
r r dK v ⋅ ∇r f + ⋅ ∇K f = b − a dt
r r r r f ( K )v ( K ) r j = −2e ∫ dK (2π ) 3 r r r r r r r f ( K )v ( K ) f ( K )v ( K ) r = −2e ∫ 0 dK − 2e ∫ 1 dK 3 3 (2π ) (2π )
•
(5-27)
• 在（5-27）式中，第一项相当于平衡分布时的电流密 度，因此等于零，将（5-26）式代入（5-27）式中得： •
（5-11）
• 用同样的理解方法，可以知道，相空间中由于碰撞单 r r 位时间离开 (r , K ) 处单位体积的电子数为：
r r r r r r a = ∑ Θ( K , K *) f ( K , r )[1 − f ( K *, r )] r
K*
•
=
1 (2π ) 3
r K*
r r r r r r r ∫ Θ( K , K *) f ( K , r )[1 − f ( K *, r )]dK *
(5-24)
r • 由于等式两边的 E 同次幂的项应该相等，因此得到下面
的一系列等式：
f1 e r τ = h E ⋅ ∇ K f0 f2 e r = E ⋅ ∇ K f1 h τ f3 e r τ = h E ⋅∇K f2
•
(5-25)
• 由于f0只是电子的能量 r 的一次幂方程可以写成： E
•
位置坐标 波矢坐标
r r ( r − v ∆t )
r r & ( K − K∆t )
r (r )
r (K )
• 当Δt很小时，可以假定电子在这个漂移过程中没有遇 到碰撞。根据全微分的方法可以得到下面的关系式：
∆f
漂移
•
r r r r r r & = f (r − v ⋅ ∆t , K − K ⋅ ∆t ) − f (r , K ) r r & = −(v ⋅ ∇ r f + K ⋅ ∇ K f ) ⋅ ∆t
即电流为零
r • 当在上述的平衡系统上外加一个恒定外场 E 时，很快
会形成一个稳定电流密度，并且服从欧姆定律： •
r r j =σ ⋅E
（5-3）
• 式中σ为电导率。 • 这个稳定电流实际上反映了在稳定外场作用下，电子 达到了一个新的定态统计分布 定态统计分布状态。这种定态分布也 定态统计分布 r 可以用一个与平衡时相似的分布函数 f (K ) 来描述，即 r 单位体积内在 dK 中的电子数为： r 2 f (K ) r • dn* = （5-4） dK 3 (2π )
•
∂f ∂t
∂f + ∂t 漂移
=0
碰撞
（5-8）
Байду номын сангаас
• ●
r • 在相空间中，t时刻位置为 (r ) 处的电子是由t-Δt时
r r r 刻在 (r − v ∆t ) 处的电子漂移来的；而波矢为 (K ) 的电
首先讨论“漂移项”。
子是由波矢为 时间 t-Δt t
r r & ( K − K∆t )
的电子漂移来的。
•
r r 由于电子的速度为 v (K )
，因此它们对于电流密度的贡
献可以写为：
r r r r r r − 2ef ( K )v ( K ) r dj = −ev ( K )dn* = dK 3 (2π ) •
（5-5）
• 积分上式可得到总的电流密度为： •
r r r r f ( K )v ( K ) r j = −2e ∫ dK 3 (2π )
r Ε( K 的函数，因此（5-25）式中 )
•
r ∂f 0 eτ r f1 = E ⋅ ∇ K Ε( K ) h ∂Ε r r r ∂f 0 = eτE ⋅ v K ∂Ε
(5-26)
( )
• 通过物理实验我们知道，在一般的电导问题中，电流 与电场成正比，服从欧姆定律，这种情况相当于弱场 的情况，也就是说，电流与电场成正比的关系是一种 r 弱场的近似，此时分布函数只需要考虑到 E 的一次幂， 即: f = f 0 + f 1 • 由（5-6）式可知，电流密度可以直接由分布函数得到， 即：
r 2 f 0 [ E ( K ), T ] 对于 3 (2π )
r r h2K 2 E ( K ) = E (− K ) = 2m
r r K ,− K
是对称的。
r r • 而此时由于 v( K ) = −v(− K )
r r • 因此电流 − ev( K )与 − ev( − K ) 大小相等方向相反。
r f 0 [ E ( K ), T ] 表示费米函数（T表示温度），那么在体 r dK 内的电子数就等于：
r 2VC r dN = f 0 [ E ( K ), T ] ⋅ dK 3 (2π )
(5-1)
• 如果考虑单位体积内的电子数，即设单位体积内的电 子数为： n=N/VC，那么由（5-1）式可以得到：
r r r r r r b = ∑ Θ( K *, K ) f ( K *, r )[1 − f ( K , r )] r
K*
r r (r , K )
处相空间单位体积
•
=
1 (2π ) 3
r K*
r r r r r r r ∫ Θ( K *, K ) f ( K *, r )[1 − f ( K , r )]dK *
r 散射。 散射 v 的情况相似。电子态的这种变化常称为散射
r * 变化为另一速度 动论中一个分子遭受碰撞由速度 v
• 由量子力学可以知道，电子的运动速度与波矢是一一 对应的，所以我们可以以实际位置坐标 r 和波矢 K 为变量组成相空间 相空间 • 在相空间中电子是以分布函数 表t时刻在点
r r (r , K )
r f − f0 1 ∂f e r r r [∇ K Ε( K ) ⋅ ∇ r T ] − ( E + v × B) ⋅ ∇ K f = − h ∂T h τ （5-20）
f − f0 e r − E ⋅∇K f = − h τ
（5-21）
• 此式可以用于讨论金属的电导率的问题 。 • ★ 在讨论金属的热导率问题时（5-20）式等号左边的 第一项就很重要了。