2020年自贡中考数学试卷-含答案

2020年自贡中考数学试卷
一.选择题（共12个小题，每小题4分，共48分）
1.如图，a ∥b ，150∠=，则2∠的度数为 （ ）
A. 40°
B. 50°
C. 55°
D. 60°
2.5月22日晚，中国自贡第26届国际恐龙灯会开始网络直播，有着近千年历史自贡灯会进入“云游”时代，70余万人通过“云观灯”感受“天下第一灯”的璀璨，人数700000用科学记数法表示为（ ）
A. 47010⨯
B. .⨯70710
C. 5710⨯
D. 6710⨯
3.如图所示的几何体的左视图是（ ） A. B. C. D.
4.关于x 的一元二次方程2220ax x -+=有两个相等的实数根，则a 的值为（ ） A. 12 B. 12- C. 1 D. 1
5.在平面直角坐标系中，将点()2,1向下平移3个单位长度，所得点的坐标是（ ）
A. (),-11
B. (),51
C. (),24
D. (),-22
6.下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
7.对于一组数据3,7,5,3,2，下列说法正确是（ ）
A. 中位数是5
B. 众数是7
C. 平均数是4
D. 方差是3
8.如果一个角度数比它的补角的度数2倍多30°，那么这个角的度数是（ ）
A. 50°
B. 70°
C. 130°
D. 160°
9.如图，在Rt △ABC 中，∠=∠=C 90,A 50,以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交AB 于点D ,连接CD ;则ACD ∠的度数为 （ ）
A. 50°
B. 40°
C. 30°
D. 20° 10.函数k y x =与2y ax bx c =++的图象如图所示，则y kx b =-的大致图象为 （ ）
A. B. C. D.
11.某工程队承接了80万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了35%，结果提前40天完成了这一任务；设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，则下面所列方程中正确的是（ ）
A. ()%+-=801358040x x
B. ()%-=+808040135x x
C. ()%-=+808040x 135x
D. ()%+-=801358040x x
12.如图，在平行四边形ABCD 中，==AD 2,AB 6，B 是锐角，AE BC ⊥于点E ，F 是AB 的中点，连接DF EF 、；若90EFD ∠=，则AE 的长为（ ）
A. 2
B. 5
C. 322
D. 332
二.填空题(共6个小题，每题4分，共24分)
13.分解因式：22363a ab b -+= ．
14.与-142 最接近的自然数是 ________．
15.某中学新建食堂正式投入使用，为提高服务质量，食堂管理人员对学生进行了“最受欢迎菜品”的调查统计，以下是打乱了的调查统计顺序，请按正确顺序重新排序 （只填番号）_________________．
①.绘制扇形图；②.收集最受学生欢迎菜品的数据；③.利用扇形图分析出受欢迎的统计图；④.整理所收集的数据．
16.如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD ，DC ∥AB ,BC 长为6米，坡角β为45°，AD 的坡角α为30°，则AD 的长为 ________ 米 （结果保留根号）
17.如图，在矩形ABCD 中，E 是AB 上的一点，连接DE ,将△ADE 进行翻折，恰好使点A 落在BC 的中点F 处，在DF 上取一点O ，以点O 为圆心，OF 的长为半径作半圆与CD 相切于点G ;若4=AD ,则图中阴影部分的面积为 ____ ．
18.如图， 直线3y x b =-+与y 轴交于点A ，与双曲线k y x
= 在第三象限交于B C 、两点，且 ⋅=AB AC 16；下列等边三角形11OD E ，122E D E ，233E D E ，……的边1OE ，12E E ，23E E ，……在x 轴上，顶点123D ,D ,D ,……在该双曲线第一象限的分支上，则k = ____，前25个等边三角形的周长之和为 _______．
三.解答题(共8个题，共78分)
19.计算：()
-⎛⎫
--++- ⎪
⎝⎭1
01
25
6
π．
20.
先化简，再求值：
2
x11
1
x1
x4
+⎛⎫
⋅+
⎪
+
-⎝⎭
，其中x为不等式组
10
523
x
x
+≥
⎧
⎨
->
⎩
的整数解．
21.如图，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在CD边的延长线上，且CE DF
=,连接AE和BF相交于点M．
求证：AE BF
=．
22.某校了响应市政府号召，在“创文创卫”活动周中，设置了“A:文明礼仪；B：环境保护；C；卫生保洁；D:垃圾分类”四个主题，每个学生选一个主题参与；为了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如下条形统计图和扇形统计图．
⑴.本次调查的学生人数是人，m= ；
⑵.请补全条形统计图；
⑶.学校要求每位同学从星期一至星期五选择两天参加活动，如果小张同学随机选择连续两天，其中有一天是星期一的概率是；小李同学星期五要参加市演讲比赛，他在其余四天中随机选择两天，其中一天是星期三的概率是．
23.甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品，新冠疫情期间，为了减少库存，甲、乙两家商场打折促销，甲商场所有商品按9折出售，乙商场对一次购物中超过100元后的价格部分打8折．
⑴.以x （单位：元）表示商品原价，y （单位：元）表示实际购物金额，分别就两家商场的让利方式写出y 关于x 的函数关系式；
⑵.新冠疫情期间如何选择这两家商场去购物更省钱？
24.我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”；数形结合是解决数学问题的重要思想方法.例如，代数式2x -的几何意义是数轴上x 所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为()+=--x 1x 1，所以1x +的几何意义就是数轴上x 所对应的点与1-所对应的点之间的距离． ⑴. 发现问题：代数式12x x ++-的最小值是多少？
⑵. 探究问题：如图，点,,A B P 分别表示的是-1,2,x ，3AB =．
∵12x x ++-的几何意义是线段PA 与PB 的长度之和
∴当点P 在线段AB 上时，+=PA PB 3;当点点P 在点A 的左侧或点B 的右侧时 +>PA PB 3 ∴12x x ++-的最小值是3．
⑶.解决问题：
①.-++x 4x 2的最小值是 ；
②.利用上述思想方法解不等式：314x x ++->
③.当a 为何值时，代数式++-x a x 3的最小值是2．
25.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 为直径，点P 是⊙O 外一点，且==PA PC 2AB ，连接PO 交AC 于点D ，延长PO 交⊙O 于点F ．
⑴证明：AF =CF ；
⑵.若tan 22ABC ∠=，证明：PA 是⊙O 的切线；
⑶.在⑵的条件下，连接PB 交⊙O 于点E ,连接DE ;若2BC =，求DE 的长．
26.在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx =++与x 轴相交于()30A -,
、()B 1,0，交y 轴于点N ，点M 抛物线的顶点，对称轴与x 轴交于点C ．
⑴.求抛物线的解析式；
⑵.如图1，连接AM ,点E 是线段AM 上方抛物线上的一动点，EF AM ⊥于点F ；过点E 作EH x ⊥轴于点H ,交AM 于点D .点P 是y 轴上一动点，当EF 取最大值时．
①.求PD PC +的最小值；
②.如图2，Q 点是y 轴上一动点,请直接写出+1DQ OQ 4的最小值．
2020年自贡中考数学试卷答案
1. B ．
2. C.
3. C ．
4. A ．
5. D ．
6. A ．
7. C ．
8. C ．
9. D ．10. D ．11. A ．12. B ． 13. ()23a b -．14. 2．15.②④①③．16. 62．17. 23
.18. 43,60. 19.解：原式=11211651()6-+=-=-- 20.解：2121(2)(2)12
11114x x x x x x x x x +⎛⎫⋅+= ⎪++-⎝⎭++⋅=-+-， 解不等式组可得11x -≤<，
∵10x +≠，即1x ≠-，且x 为整数，
∴0x =，代入1122
x =--． 21.证明：∵四边形ABCD 为正方形，
∴AB=BC=CD ，∠ABE=∠BCF=90°，
又∵CE=DF ，
∴CE+BC=DF+CD 即BE=CF ，
在△BCF 和△ABE 中，
BE CF ABE BCF AB BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴ABE BCF △△≌（SAS ），
∴AE=BF ．
22.（1）1220%60÷=，
∴本次调查的学生人数为60人，
1830%60
=，故m=30． 故答案为：60，m=30.
（2）C 的人数为：60-18-12-9=21(人)，补全图形如下所示：
（3）星期一到星期五连续的两天为（星期一、星期二），（星期二、星期三），（星期三、星期
四），（星期四、星期五）共4种情况， 符合题意的只有（星期一、星期二）这一种情况，故概率为14
； 在星期一到星期四任选两天的所有情况如下：（星期一、星期二），（星期一、星期三），（星期
一、星期四），（星期二、星期三）、（星期二、星期四），（星期三、星期四）共6种情况， 其中有一天是星期三的情况有：（星期一、星期三），（星期二、星期三），（星期三、星期四）共3种情况，所以概率是
3162=. 故答案为：14，12. 23.解：（1）由题意可得，
0.9y x 甲，
当0100x 时，y x =乙，
当100x >时，100
1000.80.820y x x 乙， 由上可得，01000.820(100)x x y x x 乙；
（2）由题意可知，当购买商品原价小于等于100时，甲商场打9折，乙商场不打折，所以甲商场购物更加划算；
当购买商品原价超过100元时，
若0.8200.9x x ，即200x <此时甲商场花费更低，购物选择甲商场；
若0.8200.9x x ，即200x =，此时甲乙商场购物花费一样；
若0.8200.9x x ，即200x >时，此时乙商场花费更低，购物选择乙商场；
综上所述：当购买商品原价金额小于200时，选择甲商场更划算；当购买商品原价金额等于200时，选择甲商场和乙商场购物一样划算；当购买商品原价金额大于200时，选择乙商场更划算．
24.解：(3)①设A 表示的数为4，B 表示的数为-2，P 表示的数为x ，
∴|4|x -表示数轴上的点P 到4的距离，用线段PA 表示，
|2||(2)|+=--x x 表示数轴上的点P 到-2的距离，用线段PB 表示，
∴|4||2|x x -++的几何意义表示为PA+PB ，当P 在线段AB 上时取得最小值为AB ，
且线段AB 的长度为6，
∴|4||2|x x -++的最小值为6.
故答案为：6.
②设A 表示-3，B 表示1，P 表示x ，
∴线段AB 的长度为4，则，
|3||1|x x ++-的
几何意义表示为PA+PB ，
∴不等式的几何意义是PA+PB ＞AB ，
∴P 不能在线段AB 上，应该在A 的左侧或者B 的右侧， 即不等式的解集为3x <-或1x >．
故答案为：3x <-或1x >．
③设A 表示-a ，B 表示3，P 表示x ，
则线段AB 的长度为3a --，
++-x a x 3的几何意义表示为PA+PB ，当P 在线段AB 上时PA+PB 取得最小值， ∴32a --=
∴32a +=或32a +=-，
即1a =-或5a =-；
故答案为：1a =-或5a =-.
25.解：（1）证明：如图，连接CO ，
在△PCO 和△PAO 中， ,CO AO PO PO PA PC =⎧⎪=⎨⎪=⎩
∴△PCO ≌△PAO （SSS ），
∴∠CPO=∠APO ，即PO 为∠APC 的角平分线，
∵PA=PC ，
∴CD=AD ，PF ⊥AC ，
∵AC 为⊙O 的弦，PF 过圆心O ，
∴F 为优弧AC 中点，
∴AF =CF ，
（2）证明：∵AB 是⊙O 的直径，且弦AB 所对圆周角为∠ACB ， ∴∠ACB=90°，
∵tan ∠ABC=，
∴sin ∠ABC=3
，cos ∠ABC=13， 设⊙O 的半径为r ，则AB=2r ，
∴BC=ABcos ∠ABC=23r ，AC=ABsin ∠ABC=3
，
∴13
OD r ==，
∵AB ，
∴PA=PC=，
∴83
PD r ==， ∴PO=PD+OD=3r ，
∴222PA AO PO +=，即PA ⊥OA ，
又∵OA 是⊙O 半径，
∴PA 是⊙O 的切线；
（3）由（2）可得223
BC r ==，∴3r =，
在Rt △PBA 中，PB ===，连接AE ，可得∠AEB=90°， ∴∠PEA=∠PAB=90°，又∠APE=∠APB ，
∴△PEA ∽△PAB ，
∴PE PA PA PB =，∴PE =， 过E 作EN ⊥PD 于N ，过B 作BH ⊥PF 于H ，如图所示， ∴∠BCD=∠CDF=∠BHD=90°，
∴四边形BCDH 是矩形，
∴BH=CD=3r ，
在Rt△BPH中，sin∠BPH=
22
6
3
23
r
BH
PB r
==
，
在Rt△PEN中，sin∠BPH=
EN
PE
，∴
42
EN r
=，
∴22
20
9
PN PE EN r
=-=，
∴ND=PD-PN=
8204
399
r r r
-=，
在Rt△NED中，DE=22
43
ND EN r
+=，
∵3
r=，
∴DE=
43
．
26. （1）将A（-3,0）、B（1,0）代入二次函数23
y ax bx
=++得，
9330
{
30
a b
a b
-+=
++=
解之得
1
{
2
a
b
=-
=-
，∴二次函数的解析式为223
y x x
=--+；（2）①将二次函数223
y x x
=--+配方得2
(1)4
y x
=-++，
∴M（-1,4）
设直线AM的解析式为y px q
=+，将(3,0),(1,4)
A M
--代入直线可得，
30
{
4
p q
p q
-+=
-+=
解得
2
{
6
p
q
=
=
，
∴直线AM的解析式为26
y x
=+，
过E作直线l，平行于直线AM，且解析式为2
y x m
=+，
∵E在直线AM上方的抛物线上，
∴31
E
x
-<<-；
当直线l 与AM 距离最大时，EF 取得最大值，
∴当l 与抛物线只有一个交点时，EF 取得最大值，
将直线l 的解析式代入抛物线得2430x x m ++-=，
由题意可得，△=1641(3)0m -⨯-=，经计算得7m =，将7m =代入二次方程可得， 2440x x ++=，
∴2x =-，即E 点的横坐标为-2，将2x =-代入抛物线得3y =，
∴(2,3)E -，
又∵ED ⊥x 轴，
∴2D E x x ==-，将2D x =-代入直线AM ，
∴(2,2)D -，
∵(1,0),(1,0)C B -，
∴B 、C 两点关于y 轴对称，
∴PB PC =，
∴PC PD PB PD +=+，当P 、B 、D 三点不共线时PB PD BD +>，
当P 、B 、D 三点共线时，PB PD BD +=，
∴当P 、B 、D 三点共线时PC+PD 取得最小值，
在Rt △BHD 中。

DH=2，BH=3，∴=，
∴PC PD +
②过Q 作直线平行于x 轴，并在y 轴右侧该直线上取一点G ，使得， QG=14
OQ ， ∴14
DQ OQ DQ QG +=+，当,,D Q G 三点共线时， DQ+QG 取得最小值，设Q （0，y ），则1(,)4
G y y ， ∵QG ∥x 轴，
∴2D G Q y y y ===，∴2y =， ∴+1DQ OQ 4的最小值为5542
y =．。