对勾函数的性质

对勾函数的图象及其性质

对勾函数，是一种类似于反比例函数的一般函数。所谓的对勾函数，是形如f x x a（a

x 函数，是一种教材上没有但考试老喜欢考的函数，所以更加要注意和学习。一般的函数图像形似两个中心对称的对勾，故名对勾函数，又被称为“双勾函数”、"勾函数"等。也被形象称为“耐克函数”

1 问题1：已知函数f x x ，

x

（1）求该函数的定义域；

（2）判断该函数的单调性和奇偶性；

（3）求该函数的值域；

（4）画出该函数的图像。

1a

问题2：由函数f x x 的图像性质类比出函数f x x （a 0）的性质。0）的

xx

1、定义域： xx 0

2、值域： , 2 a 2 a, ，

在正数部分仅当 x= a 取最小值 2 a ，在负数部 分仅当 x=

a 取最大值 -2 a

3、奇偶性：奇函数，关于原点对称

4、单调区间： ? , a 单调递增 ??[ a ,0)]?

单调递减 ??(0, a ]? 单调递减 ??[ a ，+∞)? 单调递增

x x 2b 在 0,4 上单调递减，在 4,

x

a

问题 4： 当 f x x 中的条件变为 a 0时，单调性怎样？ x 3

例 1 、求函数 f x x 在下列条件下的值域。

x

3

3、 求函数 f(x) 在[2,5] 上的最大值和最小值。

x1

2x 5

4、 函数 f (x)

的值域是 ,0 4, ，求此函数的定义域。

x3

问题 3： 如果函数 上单调递增，求实数 b 的值。

1)

,0 0, 2) 0,2 ； 3) 3, 2 ； 4) 1,2

例 2 、函数 f x

x a (a 0) 在区间 x

m,n (m 0) 取得最大值

6，取得最小值 2，那么此函数在区间

n, m 上是否存在最值？请说明理由。

例 3 、求下列函数的值域。

1) f (x)

2) f (x)

x 2 3x 2

3) f(x) x

5 x1

练习：

1、 已知函数 f (x)

x ，求该函数的定义域、值域，判断单调性和奇偶性，并画出图

像； x1

2、 求函数 f (x)

x 2 3

的值域；

x3

5、已知函数f（x）x 2x a，x 1, ，

x

1

（1）当a 时，求f x 的最小值；

2

（2）若f x 在1, 上单调递增，求实数a 的取值范围。

5. 函数f （x） x a满足：如果常数a>0，那么函数在（0, a] 上是减函数，在[ a, x

2b

（1）如果函数y x 2（x 0）在（0, 4]上是减函数，在[4, ）上是增函数，求x （2）当a=1时，试用函数单调性的定义证明函数f（x）在（0,1] 上是减函数；

c

（3）设常数c [1, 9] ，求函数f （x） x 在[1,3] 上的最大值和最小值。

x

）上是增函数，

的值；

对勾函数的图象及其性质

对勾函数，是一种类似于反比例函数的一般函数。所谓的对勾函数，是形如f x x a（a 0）的

x 函数，是一种教材上没有但考试老喜欢考的函数，所以更加要注意和学习。一般的函数图像形似两个中心对称的对勾，故名对勾函数，又被称为“双勾函数”、"勾函数"等。也被形象称为“耐克函数”

1

问题1：已知函数f x x ，

x

（5）求该函数的定义域；

（6）判断该函数的单调性和奇偶性；

（7）求该函数的值域；

（8）画出该函数的图像。

解：（1）定义域：（，0）U

（0，）

（2）增区间: ，1 ，1，

减区间: 1，0 ，0，1

（3）值域：（，2] U[ 2，）

问题2：由函数f xx

1

的图像性质类比出函

数

x

1、定义域：xx0

2、值域：,2a 2 a, ，

f x x a (a 0) 的性质。x

在正数部分仅当x= a 取最小值 2 a ，在负数部分

仅当x= a 取最大值-2 a

3、奇偶性：奇函数，关于原点对称

4、单调区间：? , a 单调递增??[ a ,0）]? a ]? 单调递减??[ a ，+∞）? 单调递

单调递减??

（0,

5、图像

问题3：如果函数x x 2b在0,4 上单调递减，在4,

x 上单调递增，求实数b 的值。

解：b 4

x

a

问题 4： 当 f x x 中的条件变为 a 0时，单调性怎样？ x 答： ,0 , 0,

例 1 、求函数 fx x 3

在下列条件下的值域。

x

( 1)

,0

0, ；

( 2) 0,2 ； ( 3) 3, 2 ； ( 4) 1,2 ；

解：(1)

,23

2 3,

； ( 2) 2 3, ； ( 3)

4, 7 ； 4,

2 ；

( 4) 2 3,4

例 2 、函数 f x

x a (a 0) 在区间 m,n (m

0) 取得最大值 6，取得最小值 2，那么此函数在区

间

x

n, m 上是否存在最值？请说明理由。 解：最大值－ 2，取得最小值－ 6.

例 3 、求下列函数的值域。

1 解：(1)

2

,1

；

,2 ( 2) ,3 2 3 3 2 3,

； ( 3) ,1 2 5 1 2 5,

练习：

1、已知函数 f (x)

x

，求该函数的定义域、值

判断单调性和奇偶性，并画出图像；

x1

解：定义域 x x 1 ； 值域 y y 1 。 , 1 ,

1,

， 是非奇非偶函数 .

x3

2、求函数 f (x) 2 的值域；

x3

f(x) 3 在[2,5] 上的最大值和最小值。 x1

1) f (x)

2) f(x)

x 2 3x 2 x

3) f (x)

5

x x 1

解： 定义域 R ，值域 1,1 ，

,0 , 0,

，偶函数 .

6、 求函数

解： f (x)在[2,5] 上单调递减， f ( x) max

1

1, f (x)min 2 。

7、 函数 f (x)

x

2x 5 的值域是

3

,0 4, ，求此函数的定义域。

解： 函数的定义域为

5

2,3 3,72

8、 已知函数 f(x)

2

x 2x

x 1,