5-1 定积分的概念、几何意义、性质
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b
有时为正，有时为负时．
a f ( x) d x A1 A2 A3 A4 A5
定积分的值等于各部分面积的代数和．
y
A 1 A3 A2 A4 A5
a
b x
温州职业技术学院
例：利用定积分的几何意义计算
(1)
1 2
1 dx
(2)
1 0
1 x dx
2
2 1
(3)
nFra Baidu bibliotek
n
i
) ti
(4)取极限
n
令
i i 1
max t i
1 i n
,则
S lim
0
v (
) ti
温州职业技术学院
二、定积分的概念
1、定积分的定义 设函数
y f (x)
在区间 [ a , b ]上有定义，在 [ a , b ]
中插入 n 1 个分点，
t i t i t i 1 ( i 1, 2, , n )
温州职业技术学院
一、引入实例
2.变速直线运动的路程
(2)近似代替
s i v ( i ) t i ( i 1, 2, , n )
(3)求和
n
s v (
i i 1 i 1
0
a
a
x
在 [ a , a ] 上为奇函数，则
a
A A
0
温州职业技术学院
a a
f ( x )d x 0
a
x
利用这个结果，奇、偶函数在对称区间上的积 分计算可以得到简化，甚至不经计算即可得到结果.
d x． 例：计算定积分 1 1 co s x
1
x sin x
2
例：计算定积分 a x [ f ( x ) f ( x )] d x ． 例：计算定积分 2
x i x i x i 1 ( i 1, 2, , n )
温州职业技术学院
一、引入实例
1. 曲边梯形的面积
(2)近似代替 在第i个小区间上任取一点 i ( x i 1 i x i ),
f 用以 x i 为宽， ( i ) 为高的小
矩形的面积 f ( i ) x i 近似代替 相应小曲边梯形的面积 A i ,即
第五章 定积分及其应用
5-1 5-2 5-3 5-4 分法 5-5 5-6
温州职业技术学院
定积分的概念、几何意义、性质 变限积分函数 牛顿—莱布尼兹公式 定积分的换元积分法和分部积
广义积分与瑕积分 定积分的几何应用
目 录
5.1
定积分的概念、几何意义、性质
一、 引入实例 二、 定积分的概念 三、 定积分的几何意义
和式（称为积分和式）
i 1
n
f ( i ) x i
记 n m ax { x1 , x 2 , , x n } ，如果当
lim
0
0
时，和式的极限 ，即
f ( i ) x i
存在，则称这个极限值为函数 f ( x ) 在 [ a , b ]
b
上的定积分（简称积分），记作
Ai f ( i ) x i ( i 1, 2, , n )
温州职业技术学院
a
x1 x 2
x i 1 i x i
b
一、引入实例
1. 曲边梯形的面积
(3)求和
n
A
i i 1 i 1
n
n
f ( i ) x i
(4)取极限
令
m ax { x1 , x1 , , x n } ,则
成面积。
y
0
x
温州职业技术学院
四、定积分的性质
性质1
a b a
a a
f (x) dx 0
a
性质2 性质3
性质4 性质5
f (x) dx
f (x) dx
b
b
[ f ( x ) g ( x )] d x
b a
b a
f (x) dx
b
g (x) dx
a
k f (x) dx k
xi
b
a x 0 x 1 x 2 x i 1 x i x n 1 x n b
把区间[a,b]分成n个小区间
[ x 0 , x1 ],[ x1 , x 2 ], ,[ x i 1 , x i ], ,[ x n 1 , x n ]
第i个小区间的长度记为 x i ( i 1, 2, , n ) ,即
0
A lim
i 1
n
f ( i ) x i
a
x1 x 2
x i 1 i x i
b
温州职业技术学院
一、引入实例
2.变速直线运动的路程
设某物体作变速直线运动,已知速度 且 如何计算物体从时刻 所经过的路程？ 到时刻
?
温州职业技术学院
一、引入实例
2.变速直线运动的路程
解决步骤： (1)分割 用分点
四、 定积分的几何意义
温州职业技术学院
一、引入实例
1. 曲边梯形的面积
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y y
o
a
（四个小矩形）
b
x o
a
（九个小矩形）
b
x
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯 形面积．
温州职业技术学院
一、引入实例
1. 曲边梯形的面积
解决步骤： (1)分割 用分点
a
x1 x 2
x i 1
1
）
1
A、
2 0
dx (1 x )
2 2
B、
e
dx x ln x
1
C、
dx x
1 3
D、
e
0
x
dx
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三、定积分的几何意义
(1) 定积分的值等于曲边梯形面积；
A
(2) 定积分的值等于曲边梯形面积 的负值；
温州职业技术学院
A
三、定积分的几何意义
(3)
f (x)
x i x i x i 1 ( i 1, 2, , n )
温州职业技术学院
在每个小区间 [ x i 1 , x i ]上任取一点 i ( x i 1 i x i ) ， 作函数值 f ( i ) 与小区间长度 x i的乘积 f ( i ) x i ，并作
(1 2 x ) d x
1 1
(4)
x dx
3
温州职业技术学院
例 ： 由 y e 、 x 1、 轴 以 及 y 轴 所 围 图 形 的 面 积 求 x
x
温州职业技术学院
例： 由抛物线 y x 1与 x 轴所围图形的面积 求
2
温州职业技术学院
例：求曲线 y=sinx 和 x 轴在区间[ 0, ]上所围
a x 0 x 1 x 2 x i 1 x i x n 1 x n b
把区间分成 n 个小区间
[ x 0 , x1 ],[ x1 , x 2 ], ,[ x i 1 , x i ], ,[ x n 1 , x n ]
每个小区间的长度依次为
b a
f (t ) d t
a
b
f (u ) d u
a
规定 a
f ( x)dx
f ( x)dx
b
a a
f ( x)dx 0
温州职业技术学院
3、定积分的存在定理
定理 1：设 f ( x ) 在区间 [ a , b ] 上连续，则 f ( x ) 在 [ a , b ] 上可积。 定理 2：设 f ( x ) 在区间 [ a , b ] 上有界，且只有有限个间断点， 则 f ( x ) 在 [ a , b ] 上可积。 例：下列积分中是定积分的是（
积 分 变 量
积 分 和
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例：用定义计算
1 0
x dx
2
温州职业技术学院
2、定积分的说明
定积分 a
b
f ( x)dx
的值与区间
[ a , b ] 的分法以及点
i 的取法无关；
定积分只与被积函数和积分区间有关，而与积分 变量用什么字母表示无关，即有
b a b
f ( x)dx
a t 0 t1 t 2 t i 1 t i t n 1 t n b
把时间区间[a,b]分成n个小区间
[ t 0 , t1 ], [ t1 , t 2 ], , [ t i 1 , t i ], , [ t n 1 , t n ]
第i个小区间的长度记为
2
x 2 x 2
，求
5
f ( x)dx
0
例 ： 计 算 积 分 1 x dx
0
2
温州职业技术学院
性质8 在区间 [ a , b ] 上
f (x) g (x)
y g (x)
b
b a
f ( x)dx g ( x )dx
a
y f (x)
推论1 在区间 [ a , b ] 上
温州职业技术学院
2
a
( x 2)
4 x dx ．
2
性质7 ( 积分区间可加性)
b a
f (x) dx
c a
f (x) dx
b
f (x) dx
c
A1
A2
A1
A2
不论 a , b , c 位置如何，上式均成立．
温州职业技术学院
x 2 例 ： 已 知 f (x) 5 x 4
2
温州职业技术学院
f (x) 0
b a
f ( x)dx 0
推论2 在区间 [ a , b ] 上
b a
f ( x)dx
b
f ( x) dx
a
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例：不计算定积分的值，比较下列定积分大小．
1．比较定积分 04 s in
1
xdx
与 04 c o s x d x 的大小．
1 4 0
2．比较定积分 4 xd x与
0
x d x 的大小．
温州职业技术学院
性质8 如果 m 和 M 分别是 f ( x )
在区间 [ a , b ] 上最小值和最大值,则
m (b a )
b a
f ( x ) d x M (b a )
温州职业技术学院
性质9 ( 积分中值定理 ) 如果函数 f ( x ) 在闭区间 [ a , b ] 上连续，则在区间 上
[a, b]
存在一点 , 使得
f ( )
b a
f ( x ) d x f ( )( b a ), ( a b )
通常我们称
温州职业技术学院
f ( )
ba
1
b
f ( x)dx
a
为函数f ( x ) 在
[ a , b ] 上的平均值。
例 ： 求 函 数 f (x) x 在 闭 区 间 上 的 平 均 值
i 1
f ( x)dx
a
b a
f ( x ) d x lim
0
i 1
n
f ( i ) x i
可积
温州职业技术学院
积分上限
[a , b] 称为积分区间
a
积分下限
b
f ( x) d x lim f ( i ) xi
0
i 1
n
被 积 函 数
被 积 表 达 式
b
f ( x) dx
a
( k 为常数)
a a
1dx b a
温州职业技术学院
性质6 (1)若 f
设
(x)
f (x)
在 [ a , a ] 上连续，则：
y
y f (x)
在 [ a , a ] 上为偶函数，则
(2)若 f
(x)
a a
f ( x )d x 2
a
A
A
0 y
f ( x )d x
有时为正，有时为负时．
a f ( x) d x A1 A2 A3 A4 A5
定积分的值等于各部分面积的代数和．
y
A 1 A3 A2 A4 A5
a
b x
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例：利用定积分的几何意义计算
(1)
1 2
1 dx
(2)
1 0
1 x dx
2
2 1
(3)
nFra Baidu bibliotek
n
i
) ti
(4)取极限
n
令
i i 1
max t i
1 i n
,则
S lim
0
v (
) ti
温州职业技术学院
二、定积分的概念
1、定积分的定义 设函数
y f (x)
在区间 [ a , b ]上有定义，在 [ a , b ]
中插入 n 1 个分点，
t i t i t i 1 ( i 1, 2, , n )
温州职业技术学院
一、引入实例
2.变速直线运动的路程
(2)近似代替
s i v ( i ) t i ( i 1, 2, , n )
(3)求和
n
s v (
i i 1 i 1
0
a
a
x
在 [ a , a ] 上为奇函数，则
a
A A
0
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a a
f ( x )d x 0
a
x
利用这个结果，奇、偶函数在对称区间上的积 分计算可以得到简化，甚至不经计算即可得到结果.
d x． 例：计算定积分 1 1 co s x
1
x sin x
2
例：计算定积分 a x [ f ( x ) f ( x )] d x ． 例：计算定积分 2
x i x i x i 1 ( i 1, 2, , n )
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一、引入实例
1. 曲边梯形的面积
(2)近似代替 在第i个小区间上任取一点 i ( x i 1 i x i ),
f 用以 x i 为宽， ( i ) 为高的小
矩形的面积 f ( i ) x i 近似代替 相应小曲边梯形的面积 A i ,即
第五章 定积分及其应用
5-1 5-2 5-3 5-4 分法 5-5 5-6
温州职业技术学院
定积分的概念、几何意义、性质 变限积分函数 牛顿—莱布尼兹公式 定积分的换元积分法和分部积
广义积分与瑕积分 定积分的几何应用
目 录
5.1
定积分的概念、几何意义、性质
一、 引入实例 二、 定积分的概念 三、 定积分的几何意义
和式（称为积分和式）
i 1
n
f ( i ) x i
记 n m ax { x1 , x 2 , , x n } ，如果当
lim
0
0
时，和式的极限 ，即
f ( i ) x i
存在，则称这个极限值为函数 f ( x ) 在 [ a , b ]
b
上的定积分（简称积分），记作
Ai f ( i ) x i ( i 1, 2, , n )
温州职业技术学院
a
x1 x 2
x i 1 i x i
b
一、引入实例
1. 曲边梯形的面积
(3)求和
n
A
i i 1 i 1
n
n
f ( i ) x i
(4)取极限
令
m ax { x1 , x1 , , x n } ,则
成面积。
y
0
x
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四、定积分的性质
性质1
a b a
a a
f (x) dx 0
a
性质2 性质3
性质4 性质5
f (x) dx
f (x) dx
b
b
[ f ( x ) g ( x )] d x
b a
b a
f (x) dx
b
g (x) dx
a
k f (x) dx k
xi
b
a x 0 x 1 x 2 x i 1 x i x n 1 x n b
把区间[a,b]分成n个小区间
[ x 0 , x1 ],[ x1 , x 2 ], ,[ x i 1 , x i ], ,[ x n 1 , x n ]
第i个小区间的长度记为 x i ( i 1, 2, , n ) ,即
0
A lim
i 1
n
f ( i ) x i
a
x1 x 2
x i 1 i x i
b
温州职业技术学院
一、引入实例
2.变速直线运动的路程
设某物体作变速直线运动,已知速度 且 如何计算物体从时刻 所经过的路程？ 到时刻
?
温州职业技术学院
一、引入实例
2.变速直线运动的路程
解决步骤： (1)分割 用分点
四、 定积分的几何意义
温州职业技术学院
一、引入实例
1. 曲边梯形的面积
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y y
o
a
（四个小矩形）
b
x o
a
（九个小矩形）
b
x
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯 形面积．
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一、引入实例
1. 曲边梯形的面积
解决步骤： (1)分割 用分点
a
x1 x 2
x i 1
1
）
1
A、
2 0
dx (1 x )
2 2
B、
e
dx x ln x
1
C、
dx x
1 3
D、
e
0
x
dx
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三、定积分的几何意义
(1) 定积分的值等于曲边梯形面积；
A
(2) 定积分的值等于曲边梯形面积 的负值；
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A
三、定积分的几何意义
(3)
f (x)
x i x i x i 1 ( i 1, 2, , n )
温州职业技术学院
在每个小区间 [ x i 1 , x i ]上任取一点 i ( x i 1 i x i ) ， 作函数值 f ( i ) 与小区间长度 x i的乘积 f ( i ) x i ，并作
(1 2 x ) d x
1 1
(4)
x dx
3
温州职业技术学院
例 ： 由 y e 、 x 1、 轴 以 及 y 轴 所 围 图 形 的 面 积 求 x
x
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例： 由抛物线 y x 1与 x 轴所围图形的面积 求
2
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例：求曲线 y=sinx 和 x 轴在区间[ 0, ]上所围
a x 0 x 1 x 2 x i 1 x i x n 1 x n b
把区间分成 n 个小区间
[ x 0 , x1 ],[ x1 , x 2 ], ,[ x i 1 , x i ], ,[ x n 1 , x n ]
每个小区间的长度依次为
b a
f (t ) d t
a
b
f (u ) d u
a
规定 a
f ( x)dx
f ( x)dx
b
a a
f ( x)dx 0
温州职业技术学院
3、定积分的存在定理
定理 1：设 f ( x ) 在区间 [ a , b ] 上连续，则 f ( x ) 在 [ a , b ] 上可积。 定理 2：设 f ( x ) 在区间 [ a , b ] 上有界，且只有有限个间断点， 则 f ( x ) 在 [ a , b ] 上可积。 例：下列积分中是定积分的是（
积 分 变 量
积 分 和
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例：用定义计算
1 0
x dx
2
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2、定积分的说明
定积分 a
b
f ( x)dx
的值与区间
[ a , b ] 的分法以及点
i 的取法无关；
定积分只与被积函数和积分区间有关，而与积分 变量用什么字母表示无关，即有
b a b
f ( x)dx
a t 0 t1 t 2 t i 1 t i t n 1 t n b
把时间区间[a,b]分成n个小区间
[ t 0 , t1 ], [ t1 , t 2 ], , [ t i 1 , t i ], , [ t n 1 , t n ]
第i个小区间的长度记为
2
x 2 x 2
，求
5
f ( x)dx
0
例 ： 计 算 积 分 1 x dx
0
2
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性质8 在区间 [ a , b ] 上
f (x) g (x)
y g (x)
b
b a
f ( x)dx g ( x )dx
a
y f (x)
推论1 在区间 [ a , b ] 上
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2
a
( x 2)
4 x dx ．
2
性质7 ( 积分区间可加性)
b a
f (x) dx
c a
f (x) dx
b
f (x) dx
c
A1
A2
A1
A2
不论 a , b , c 位置如何，上式均成立．
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x 2 例 ： 已 知 f (x) 5 x 4
2
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f (x) 0
b a
f ( x)dx 0
推论2 在区间 [ a , b ] 上
b a
f ( x)dx
b
f ( x) dx
a
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例：不计算定积分的值，比较下列定积分大小．
1．比较定积分 04 s in
1
xdx
与 04 c o s x d x 的大小．
1 4 0
2．比较定积分 4 xd x与
0
x d x 的大小．
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性质8 如果 m 和 M 分别是 f ( x )
在区间 [ a , b ] 上最小值和最大值,则
m (b a )
b a
f ( x ) d x M (b a )
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性质9 ( 积分中值定理 ) 如果函数 f ( x ) 在闭区间 [ a , b ] 上连续，则在区间 上
[a, b]
存在一点 , 使得
f ( )
b a
f ( x ) d x f ( )( b a ), ( a b )
通常我们称
温州职业技术学院
f ( )
ba
1
b
f ( x)dx
a
为函数f ( x ) 在
[ a , b ] 上的平均值。
例 ： 求 函 数 f (x) x 在 闭 区 间 上 的 平 均 值
i 1
f ( x)dx
a
b a
f ( x ) d x lim
0
i 1
n
f ( i ) x i
可积
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积分上限
[a , b] 称为积分区间
a
积分下限
b
f ( x) d x lim f ( i ) xi
0
i 1
n
被 积 函 数
被 积 表 达 式
b
f ( x) dx
a
( k 为常数)
a a
1dx b a
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性质6 (1)若 f
设
(x)
f (x)
在 [ a , a ] 上连续，则：
y
y f (x)
在 [ a , a ] 上为偶函数，则
(2)若 f
(x)
a a
f ( x )d x 2
a
A
A
0 y
f ( x )d x