MATLAB求矩阵分解,特征值与特征向量
matlab求特征向量的方法
matlab求特征向量的方法
特征向量是矩阵运算中的重要概念，它可以帮助我们理解矩阵的性质和行为。
在MATLAB中，有几种方法可以用来求解特征向量。
1. 使用eig函数：MATLAB中的eig函数可以用于求解矩阵的特征值和特征向量。
可以通过以下方式使用该函数：
```
[V, D] = eig(A);
```
其中A是输入矩阵，V是特征向量矩阵，D是对角矩阵，对角线上的元素为特征值。
特征向量可以通过V中的列向量表示。
2. 使用svd函数：svd函数可以用于计算奇异值分解，从而得到特征向量。
可以通过以下方式使用该函数：
```
[U, S, V] = svd(A);
```
其中A是输入矩阵，U和V是正交矩阵，S是对角矩阵，对角线上的元素为奇异值。
特征向量可以通过U和V中的列向量表示。
3. 使用eigs函数：如果矩阵非常大，求解所有特征向量可能会非常耗时和内存消耗大。
此时可以使用eigs函数，它可以用于求取矩阵的部分特征值和对应的特征向量。
可以通过以下方式使用该函数：
```
[V, D] = eigs(A, k);
```
其中A是输入矩阵，k是要求解的特征值和特征向量的数量，V是特征向量矩阵，D是对角矩阵，对角线上的元素为特征值。
这些是在MATLAB中求解特征向量的几种常用方法。
根据具体情况，选择适合的方法可以提高求解的效率和精度。
matlab幂法求特征值与特征向量 -回复
matlab幂法求特征值与特征向量-回复Matlab幂法求特征值与特征向量Matlab是一种常用的数学软件，它提供了一系列强大的数值计算工具和函数，旨在简化数学建模和计算的过程。
其中，求解特征值与特征向量是矩阵分析与线性代数中的重要问题之一。
在此，我们将介绍如何使用Matlab中的幂法来求解矩阵的特征值与特征向量。
特征值与特征向量是矩阵分析的基本概念。
给定一个矩阵A，如果存在一个非零向量x，使得Ax=λx，其中λ是一个实数，则称λ为A的特征值，x 为相应于特征值λ的特征向量。
在Matlab中，计算矩阵的特征值与特征向量可以使用`eig`函数。
这个函数能够计算矩阵所有特征值的值，其中特征值按照降序排列。
对于复杂特征值，这个函数会返回具有相应特征向量的V矩阵。
然而，幂法是一种迭代方法，可用于估计矩阵A的最大特征值λ和相应的特征向量x。
幂法的基本思想是利用矩阵的特征值分解性质中最大特征值的绝对值大于其他特征值的绝对值，从而将问题简化为求解最大特征值及其特征向量。
下面，我们将以以下步骤详细介绍如何使用Matlab中的幂法求解矩阵的特征值与特征向量：步骤1：定义初始向量x0首先定义一个非零的初始向量x0。
该向量可以是随机生成的，或者是具有合理初始值的向量。
步骤2：计算矩阵的迭代利用初始向量x0和矩阵A，计算下一个迭代向量x1。
具体而言，使用x0得到x1通过以下公式计算：x1 = A * x0步骤3：归一化迭代向量计算归一化的迭代向量x1。
这可以通过除以向量中的最大元素来完成。
归一化向量可以确保以后的计算产生可靠结果。
x1 = x1 / max(x1)步骤4：计算特征值估计计算特征值的估计值λ。
这可以通过计算x1的无穷范数与x0的无穷范数之比来实现：λ= norm(x1,Inf) / norm(x0,Inf)步骤5：收敛判断判断计算得到的特征值估计是否收敛。
这可以通过设定一个容差值来实现，在误差满足一定条件时停止迭代计算。
MATLAB中的矩阵运算与计算技巧分享
MATLAB中的矩阵运算与计算技巧分享概述：MATLAB是一款强大的数值计算软件，广泛应用于科学研究、工程设计等领域。
在MATLAB中，矩阵运算是非常重要的一部分内容。
本文旨在分享一些MATLAB中的矩阵运算和计算技巧，帮助读者更好地应用MATLAB进行数值计算和数据处理。
一、基本的矩阵运算1. 矩阵的创建与存储在MATLAB中，可以使用不同的方法创建矩阵，如直接赋值、生成全零矩阵、单位矩阵等。
创建矩阵后，可以使用变量名进行存储，方便后续的计算和操作。
2. 矩阵的运算MATLAB提供了丰富的矩阵运算函数，如加法、减法、乘法、除法等。
例如，使用"+"进行两个矩阵的相加，使用"*"进行矩阵相乘，使用"\ "进行矩阵的求解等等。
3. 矩阵的转置与共轭转置通过单引号操作符可以实现矩阵的转置操作，即将矩阵的行和列进行交换。
对于复数矩阵，可以使用"'"进行共轭转置。
二、常用的矩阵运算函数1. 矩阵求逆与伪逆MATLAB提供了inv函数来求矩阵的逆，pinv函数来求矩阵的伪逆。
对于非奇异矩阵，可以使用inv函数实现精确的逆求解；对于奇异矩阵，则可以使用pinv函数求得伪逆。
2. 矩阵的特征值与特征向量可以使用eig函数来求解矩阵的特征值和特征向量。
特征值表示矩阵的特征属性，特征向量则表示对应特征值的方向信息。
3. 矩阵的奇异值分解奇异值分解（Singular Value Decomposition，简称SVD）是一种重要的矩阵分解方法。
在MATLAB中，可以使用svd函数进行奇异值分解。
通过SVD，我们可以将矩阵分解为三个矩阵的乘积，便于后续的处理和分析。
三、高效计算的技巧与技巧1. 矩阵的切片与索引通过切片和索引操作，可以选取矩阵的部分元素进行操作，或者获取特定的行或列。
这在大规模数据处理和计算中非常有用。
2. 向量化计算向量化计算是一种更高效的计算方式，在MATLAB中，可以通过矩阵运算和函数的向量化实现。
matlab特征分解
matlab特征分解一、Matlab特征分解简介特征分解是矩阵理论中的一个重要概念，可以将一个方阵分解为对角矩阵和相应的特征向量矩阵。
在Matlab中，可以使用eig函数进行特征分解。
二、Matlab特征分解函数eig的使用方法1.基本语法：[V,D] = eig(A)，其中A为待分解的方阵，V为特征向量矩阵，D为对角矩阵。
2.示例代码：A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]; %定义一个3*3的方阵[V,D] = eig(A); %进行特征分解disp(V); %输出特征向量矩阵disp(D); %输出对角矩阵三、Matlab特征分解的应用场景1.求解线性微分方程组；2.求解差分方程组；3.求解最小二乘问题；4.求解最大化或最小化目标函数等。
四、Matlab特征值和特征向量的性质1.若A是实数矩阵，则其复共轭转置也是其伴随矩阵，即A* = A'；2.A与其伴随矩阵A'之积是一个Hermite（共轭对称）矩阵，即AA' = A'A；3.特征向量矩阵V的列向量是相互正交的，即V'V = I；4.特征向量矩阵V的逆矩阵等于其转置矩阵，即V^-1 = V'。
五、Matlab特征分解的相关函数1.eig函数：用于计算方阵的特征值和特征向量；2.svd函数：用于计算奇异值分解（SVD）；3.qr函数：用于计算QR分解。
六、Matlab特征分解的注意事项1.在进行特征分解时，需要注意输入的方阵必须是方阵，否则会出现错误；2.在使用eig函数进行特征分解时，需要注意输出结果中特征向量矩阵和对角矩阵并不是按顺序排列的，需要手动排序后才能正确使用。
七、Matlab特征分解实例下面给出一个简单的实例来说明Matlab中如何使用eig函数进行特征分解：A = [4 2; 1 3]; %定义一个2*2的方阵[V,D] = eig(A); %进行特征分解disp(V); %输出特征向量矩阵disp(D); %输出对角矩阵运行以上代码后，输出结果为：V =0.8944 0.70710.4472 -0.7071D =2 00 5其中，V为特征向量矩阵，D为对角矩阵。
第10章MATLAB特征值与特征向量的计算实例解析
• A=[9 2 1 2 2;2 4 3 3 3;1 3 7 3 4;2 3 3 5 4;2 3 4 4 5];
• chol_test(A)
• B运=[行16结17果9：12 12;17 12 12 2 18;9 12 18 7 13;12 2 7 18 12;12 18 13 12 10];
• chCo=l_test(B)
k1 k2
m1
k2 m2
0
0
k2 m1 k2 k3 m2 k3 m3
0
0
k3 m2 k3 k4 m3 k4 m4
0
0
f1
f1
f2
2
f2
k4 m3
f3 f4
f3
f4
k4
m4
• 即2为上述系数矩阵的特征值。
• 若给定如下条件则可以编写程序example_10_10.m。
运行结果： x_nlimit =
即当n 时，
an
a0
1 2
b0 , bn
0, cn
c0
1 2
b0
a0 + b0/2
0
后代仅具有基因AA和aa。
b0/2 + c0
二、常染色体隐性病模型
1
M
=
0
1/ 2 1/ 2
最终隐性患者消失， 全部均为显性患者。
三、X—链遗传模型
X—链遗传是指雄性具有一个基因A或a，雌性具有两个基因AA或Aa或aa。其遗 传规律是雄性后代以相等概率得到母体两个基因中的一个，雌性后代从父体中 得到一个基因，并从母体的两个基因中等可能地得到一个。
2 4 6
【例10-1】给定矩阵
A
3
9
matlab计算特征值用的方法
matlab计算特征值用的方法特征值是矩阵理论中的一个重要概念，它在信号处理、图像处理、机器学习等领域有着广泛的应用。
在Matlab中，我们可以使用不同的方法来计算矩阵的特征值。
本文将介绍几种常用的特征值计算方法，并对它们的优缺点进行比较。
1. 特征值的定义在线性代数中，对于一个n阶方阵A，如果存在一个数λ和一个非零向量x，使得Ax=λx成立，那么λ称为A的特征值，x称为A的特征向量。
特征值和特征向量可以帮助我们理解矩阵的性质和行为。
2. 特征值计算的方法2.1 特征值分解法特征值分解是最常用的计算特征值的方法之一。
它将一个矩阵分解为特征值和特征向量的乘积的形式。
在Matlab中，我们可以使用eig函数进行特征值分解。
例如，对于一个3x3的矩阵A，我们可以使用以下代码计算它的特征值：```A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];[V, D] = eig(A);```其中，V是特征向量矩阵，D是特征值矩阵。
特征值按照降序排列，对应的特征向量按列排列。
2.2 幂迭代法幂迭代法是一种基于特征值的大小差异的方法。
它通过迭代计算矩阵的幂，最终得到矩阵的最大特征值及其对应的特征向量。
在Matlab中，我们可以使用eigs函数进行幂迭代计算。
例如，对于一个对称矩阵A，我们可以使用以下代码计算它的最大特征值：```A = [1 2 3; 2 4 5; 3 5 6];[V, lambda] = eigs(A, 1);```其中，V是特征向量，lambda是最大特征值。
2.3 QR算法QR算法是一种迭代算法，通过不断迭代矩阵的QR分解，最终得到矩阵的特征值。
在Matlab中，我们可以使用eig函数结合qr函数进行QR算法的计算。
例如，对于一个对称矩阵A，我们可以使用以下代码计算它的特征值：```A = [1 2 3; 2 4 5; 3 5 6];[V, D] = eig(A);```其中，V是特征向量矩阵，D是特征值矩阵。
MATLAB矩阵分解算法大全
MATLAB矩阵分解算法大全1.LU分解：LU分解是一种常见的矩阵分解方法，用于解线性方程组和计算矩阵的行列式。
MATLAB中可以使用`lu`函数来进行LU分解。
以下是一个示例：```matlabA=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];[L, U, P] = lu(A);```其中，`L`和`U`是分解后的下三角矩阵和上三角矩阵，`P`是置换矩阵。
2.QR分解：QR分解是一种用于解线性方程和计算特征值和特征向量的矩阵分解方法。
MATLAB中可以使用`qr`函数进行QR分解。
以下是一个示例：```matlabA=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];[Q, R] = qr(A);```其中，`Q`是正交矩阵，`R`是上三角矩阵。
3. Cholesky分解：Cholesky分解是一种用于解正定对称矩阵线性方程组的方法。
MATLAB中可以使用`chol`函数进行Cholesky分解。
以下是一个示例：```matlabA=[4,2,2;2,5,4;2,4,6];R = chol(A);```其中，`R`是上三角矩阵。
4.奇异值分解（SVD）：SVD是一种常用的矩阵分解方法，用于计算矩阵的奇异值和奇异向量。
MATLAB中可以使用`svd`函数进行奇异值分解。
以下是一个示例：```matlabA=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];[U, S, V] = svd(A);```其中，`U`和`V`是正交矩阵，`S`是对角矩阵，对角线上的元素是矩阵的奇异值。
5.特征值分解：特征值分解是一种用于计算矩阵的特征值和特征向量的方法。
MATLAB中可以使用`eig`函数进行特征值分解。
以下是一个示例：```matlabA=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];[V, D] = eig(A);```其中，`V`是特征向量的矩阵，`D`是对角矩阵，对角线上的元素是矩阵的特征值。
上述是几种常见的矩阵分解算法及其在MATLAB中的实现方法。
matlab用规范化乘幂法求以下矩阵的按模最大特征值及其特征向量
竭诚为您提供优质文档/双击可除matlab用规范化乘幂法求以下矩阵的按模最大特征值及其特征向量篇一：幂法,反幂法求解矩阵最大最小特征值及其对应的特征向量数值计算解矩阵的按模最大最小特征值及对应的特征向量一.幂法1.幂法简介：当矩阵a满足一定条件时，在工程中可用幂法计算其主特征值(按模最大)及其特征向量。
矩阵a需要满足的条件为：(1)|1||2|...|n|0,i为a的特征值xn(2)存在n个线性无关的特征向量，设为x1,x2,...,1.1计算过程：n对任意向量x，有x(0)(0)iui,i不全为0，则有i1x(k1)ax(k)...ak1x(0)aαiuiαiλik1uik1i1i1nnnk12k1λ1u1()a2u2()anun11k111u1k112|越小时，收敛越快；且当k充分大时，有可见，当|1 (k1)k111u1x(k1)x(k1)(k)x1(k)，对应的特征向量即是。
kxx11u12算法实现(1).输入矩阵a，初始向量x，误差限,最大迭代次数n(2).k1,0;y(k)x(k)max(abs(x(k))(3).计算xay,max(x);(4).若||,输出,y,否则,转(5)(5).若kn,置kk1,,转3,否则输出失败信息,停机.3matlab程序代码function[t,y]=lpowera,x0,eps,n)%t为所求特征值，y 是对应特征向量k=1;z=0;%z相当于y=x0./max(abs(x0));%规范化初始向量x=a*y;%迭代格式b=max(x);%b相当于ifabs(z-b) t=max(x);return;endwhileabs(z-b)>epsz=b;y=x./max(abs(x));x=a*y;b=max(x);end[m,index]=max(a(matlab用规范化乘幂法求以下矩阵的按模最大特征值及其特征向量)bs(x));%这两步保证取出来的按模最大特征值t=x(index);%是原值，而非其绝对值。
matlab里eig计算特征值和特征向量算法
matlab里eig计算特征值和特征向量算法在MATLAB中，可以使用eig函数来计算矩阵的特征值和特征向量。
eig是eigenvalue的缩写，意味着计算特征值的函数。
特征值和特征向量是矩阵分析中的重要概念，它们描述了矩阵在线性变换下的行为。
特征值是一个标量，特征向量是一个非零向量。
特征向量表示在矩阵所表示的线性变换下不变的方向。
特征值表示该特征向量方向上的缩放因子。
使用eig函数可以计算方阵的特征值。
下面是eig函数的使用方法：[V, D] = eig(A)其中，A是一个n×n维的方阵，V是一个n×n维的正交矩阵，D是一个n×n维的对角矩阵，其对角线上的元素是A的特征值。
特征值和特征向量有很多重要的应用。
其中一个重要的应用是在线性代数中求解线性方程组。
通过求解一个方阵的特征值和特征向量，可以将一个复杂的线性方程组转化为一系列简单的线性方程组。
此外，特征值和特征向量也在图像处理、信号处理和机器学习中被广泛使用。
特征值分解是一种将方阵分解为特征值和特征向量的方法。
在Matlab的eig函数中，采用了一种称为QR算法的迭代方法来计算特征值和特征向量。
QR算法是一种迭代算法，它在每一步中，通过正交相似变换将矩阵变换为Hessenberg矩阵（上三角阵），然后再通过正交相似变换将Hessenberg矩阵变换为Schur矩阵（上三角矩阵）。
在这个过程中，特征值和特征向量逐步被计算出来。
特征值的计算需要花费大量的计算资源和时间。
对于大型矩阵，计算特征值变得非常困难。
在这种情况下，通常采用其他方法，例如迭代方法、近似方法或者特征值分解的近似算法（例如奇异值分解）来计算特征值和特征向量。
除了eig函数，MATLAB还提供了其他用于计算特征值和特征向量的函数，例如eigs函数用于计算大规模矩阵的特征值和特征向量，svd函数用于进行奇异值分解，对于非对称矩阵，还可以使用schur函数进行特征值计算。
矩阵的五种分解的matlab实现
矩阵的五种分解的matlab实现由于这学期修了矩阵分析这门课，课程要求⽤matlab实现矩阵的5种分解，仅仅是实现了分解，上传到博客存档，万⼀哪天某位同学就需要了呢。
1.矩阵的满秩分解代码实现1 %矩阵的满秩分解2 clear3 %设输⼊矩阵为M（P152 例4.1.1）4 A = [1,4,-1,5,6;5 2,0,0,0,-14;6 -1,2,-4,0,1;7 2,6,-5,5,-7]8 A1 = rref(A); %将矩阵A化成⾏最简形式保存在A1中9 [m,n]=size(A); %获取矩阵A的⼤⼩：m⾏n列10 B0= [];%⽣成⼀个空向量11 C0= [];%⽣成⼀个空向量12for i=1:m %依次扫描矩阵m⾏13 flag=1;14for j=1:n %依次扫描矩阵n列15if A1(i,j)==1 %若A1(i, j)等于116for k=1:i-1 %固定j列，扫描此列的第1⾏到i-1⾏元素17if A1(k,j)~=0 %判断是否全为018 flag=0; %若不全为0，则将flag置为0（说明此列不是单位矩阵的列）19break;20 end21 end22for k=i+1:m %固定j列，扫描此列的第i+1⾏到m⾏（即最后⼀⾏）元素23if A1(k,j)~=0 %判断是否全为024 flag=0; %若不全为0，则将flag置为0（说明此列不是单位矩阵的列）25break;26 end27 end28if flag==1 %若flag为1（不为0），则说明此列是【矩阵的⾏最简形式矩阵】的单位矩阵的列29 B0=[B0,A(:,j)]; %将矩阵A的j列加到B0列向量之后30 C0=[C0;A1(i,:)]; %将矩阵A1的i⾏加到C0⾏向量之后，31 end32 end33 end34 end35 [m1,n1]=size(B0); %获取矩阵B0的⼤⼩：m1⾏n1列36 [m2,n2]=size(C0); %获取矩阵C0的⼤⼩：m2⾏n2列37 B=B0(:,1:n1) %将矩阵B0的第1列到最后⼀列赋值给矩阵B38 C=C0(1:m2,:) %将矩阵C0的第1⾏到最后⼀⾏赋值给矩阵C39 %验证：BC=A40 A_1= B*C2.矩阵的正交三⾓分解代码实现直接调⽤matlab⾃带qr()函数即可1 %矩阵的正交三⾓分解2 clear;3 A = [-3,1,-2;1,1,1;1,-1,0;1,-1,1]4 [Q, R] = qr(A) %正交三⾓分解，Q为⾣矩阵，R为正交下三⾓矩阵5 %验证:QR是否为A，以及Q是否为⾣矩阵6 A_1 = Q * R7 Q_1 = Q * conj(Q.')3.矩阵的奇异值分解代码实现1 %矩阵的奇异值分解2 clear,clc3 A = [1,1;0,0;1,1];4 [U,S,V] = svd(A) %返回⼀个与A同⼤⼩的对⾓矩阵S，两个⾣矩阵U和V，且满⾜A= U*S*V~H。
matlab特征值分解
matlab特征值分解matlab特征值分解是一种将复杂的矩阵转化为比较简单的特征值和特征向量的方法。
它是指利用线性代数中的特征分解技术，将一个初始矩阵分解成系数矩阵、特征值矩阵和特征向量矩阵。
一、什么是matlab特征值分解matlab特征值分解是一种通过利用线性代数技术将复杂的矩阵转化为一堆数值和向量的方法。
利用它可以将一个任意n阶矩阵A分解为三个矩阵，即A=P×D×P-1，其中D是一个对角矩阵，P和P-1都是可逆的正交矩阵，即：1、P是矩阵A的一组正交特征向量组成的矩阵，即特征向量的改正转置；2、P-1的乘积刚好是特征值的逆，是矩阵A的另一组正交特征向量的转置；3、而D是矩阵A的一组特征值组成的对角矩阵。
二、matlab特征值分解的步骤1、准备：首先将要进行分解的矩阵A格式化为一个可求解的公式形式；2、定理：利用特征值分解定理建立方程，计算出矩阵A的特征值；3、计算：根据上述定理公式，按照求解步骤进行数值计算，得到矩阵A的特征值及特征向量；4、解答：将得到的特征值和相应的特征向量格式化，进而求得矩阵A的特征值分解；5、求解：利用matlab求解程序确定矩阵A的特征值分解。
三、matlab特征值分解的用途1、矩阵分解：可以看出，它可以把任意n阶矩阵分解为相应的特征值和特征向量，进而可以矩阵分解，解决求解复杂方程课题；2、特征值和特征向量的分析：利用matlab特征值分解可以获得特征值和特征向量，从而可以进行特征值的分析，判断数学模型的性质；3、矩阵运算：可以用来求解复杂的线性方程组，求解矩阵的乘积、幂等矩阵等矩阵运算问题；4、搜索及控制相关问题：利用matlab特征向量可以帮助我们搜索机器人运行的最优解，进而求得每一步的控制动作，进而解决某些特定的搜索及控制问题。
解密Matlab中的矩阵分解算法
解密Matlab中的矩阵分解算法矩阵分解算法是一种将复杂的矩阵转化为简单的形式以便于分析和处理的数学技术。
在计算机科学和工程领域中，矩阵分解算法被广泛应用于数据处理、图像处理、机器学习以及信号处理等方面。
Matlab作为一种强大的数值计算软件，提供了许多内置的矩阵分解函数，帮助研究人员和工程师快速并且高效地解决问题。
在Matlab中，常用的矩阵分解算法包括LU分解、QR分解、特征值分解、奇异值分解等。
本文将对这些算法进行详细的解读，帮助读者更好地理解和应用它们。
一、LU分解LU分解是将一个矩阵分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积的过程。
在Matlab中，我们可以使用lu()函数来进行LU分解。
假设我们有一个方阵A，将其进行LU分解的过程如下：[L, U] = lu(A)其中，L为下三角矩阵，U为上三角矩阵。
通过LU分解，我们可以方便地求解线性方程组，计算矩阵的逆等。
二、QR分解QR分解是将一个矩阵分解为一个正交矩阵和一个上三角矩阵的乘积的过程。
在Matlab中，我们可以使用qr()函数来进行QR分解。
假设我们有一个矩阵A，将其进行QR分解的过程如下：[Q, R] = qr(A)其中，Q为正交矩阵，R为上三角矩阵。
QR分解在解决线性方程组、最小二乘问题以及计算矩阵的秩等方面具有广泛的应用。
三、特征值分解特征值分解是将一个方阵分解为一个可对角化矩阵和一个相似变换矩阵的乘积的过程。
在Matlab中，我们可以使用eig()函数来进行特征值分解。
假设我们有一个方阵A，将其进行特征值分解的过程如下：[V, D] = eig(A)其中，V为相似变换矩阵，D为对角矩阵，对角线上的元素即为A的特征值。
特征值分解在信号处理、图像处理、降维等领域有着重要的应用。
四、奇异值分解奇异值分解是将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积的过程，分别为左奇异矩阵、奇异值矩阵和右奇异矩阵。
在Matlab中，我们可以使用svd()函数来进行奇异值分解。
matlab 中矩阵的schur分解
matlab 中矩阵的schur分解
Matlab中矩阵的Schur分解是指将一个n x n矩阵A分解成上三角矩阵T与酉矩阵U的乘积，即A=UTU^H，其中U^H是U的共轭转置。
进行矩阵的Schur分解的具体步骤如下：
1. 确定特征值
先使用Matlab中的eig函数求出矩阵A的全部特征值，存储在向量d中。
2. Schur分解
使用Matlab中的schur函数进行矩阵的Schur分解，即使用Hessenberg矩阵的累积旋转算法将A转化为上三角矩阵T和酉矩阵U 的乘积A=UTU^H。
Schur函数返回矩阵T和矩阵U。
3. 去除小量
由于schur函数在计算的时候可能会出现数值误差，因此需要对T矩阵对角线上非常小的值进行修正。
可以选择一个较小的阈值eps，将T矩阵对角线上小于eps的值置为0。
4. 重构矩阵A
将修正后的T矩阵与酉矩阵U的共轭转置相乘即可得到矩阵A。
通过矩阵的Schur分解，我们可以将一个矩阵转化为上三角矩阵，从而更容易进行一些计算，如求矩阵的幂等操作、估计矩阵的条件数等。
在Matlab中，使用schur函数进行矩阵的Schur分解非常简单，只需要输入待分解的矩阵即可。
然后我们可以通过T和U对矩阵进行进一步的计算，满足我们的需求。
总之，矩阵的Schur分解在数学和工程中都有着广泛的应用。
通过Matlab中的schur函数，我们可以轻松实现矩阵的Schur分解，从而更加便捷地进行矩阵的进一步计算。
用matlab求特征值和特征向量的命令
用matlab求特征值和特征向量的命令MATLAB是一种强大的数学软件工具，可以用来进行特征值与特征向量的计算与研究。
特征值和特征向量是矩阵理论中的重要概念，对于许多实际问题的求解和分析具有重要的指导意义。
特征值可以理解为一个矩阵在线性变换下的伸缩比例，而特征向量则是在该伸缩变换下保持方向不变的向量。
通过计算特征值和特征向量，我们可以获得有关矩阵本质特性的重要信息，比如矩阵图像压缩、物理系统的模态分析等。
在MATLAB中，计算特征值和特征向量非常简单。
我们可以使用eig函数来进行求解。
假设我们有一个矩阵A，可以使用以下命令求解其特征值和特征向量：[eigen_vectors, eigen_values] = eig(A);其中，eigen_vectors是一个包含A的特征向量的矩阵，每一列是一个特征向量；eigen_values是一个包含A的特征值的对角矩阵，其中对角线上的元素就是特征值。
通过计算得到的特征向量可以用来描述矩阵A的变换过程中的方向性质，而特征值则描述了对应的变换过程中的伸缩比例。
特征向量可以看作是矩阵A对某个方向的影响，而特征值则表示在该方向上的伸缩程度。
除了通过eig函数，MATLAB还提供了其他一些函数用于特征值和特征向量的计算与分析。
例如，svd函数可以求解奇异值分解，也可以用于特征值与特征向量的估计；eigs函数用于计算稀疏矩阵的特征值与特征向量等。
在实际应用中，特征值和特征向量的求解对于理解和优化许多问题具有重要意义。
例如，在电力系统中，特征值与特征向量可以用来分析系统的振荡模态以及稳定性；在人脸识别中，特征值与特征向量可以用于提取人脸图像的最具代表性的特征，从而实现人脸的自动识别。
总而言之，特征值与特征向量是矩阵理论中的重要概念，能够帮助我们揭示矩阵的本质特性。
MATLAB提供了简单且强大的工具来计算和分析特征值与特征向量。
通过深入研究和应用这些概念，我们可以更好地理解和解决各种实际问题。
第五章 矩阵的特征值与特征向量的计算
5.2 幂法及其MATLAB 程序5.2.2 幂法的MATLAB 程序用幂法计算矩阵A 的主特征值和对应的特征向量的MATLAB 主程序function [k,lambda,Vk,Wc]=mifa(A,V0,jd,max1)lambda=0;k=1;Wc =1; ,jd=jd*0.1;state=1; V=V0;while ((k<=max1)&(state==1))Vk=A*V; [m j]=max(abs(Vk)); mk=m;tzw=abs(lambda-mk); Vk=(1/mk)*Vk;Txw=norm(V-Vk); Wc=max(Txw,tzw); V=Vk;lambda=mk;state=0; if (Wc>jd)state=1;endk=k+1;Wc=Wc;endif (Wc<=jd)disp('请注意：迭代次数k,主特征值的近似值lambda,主特征向量的近似向量Vk,相邻两次迭代的误差Wc 如下：')elsedisp('请注意：迭代次数k 已经达到最大迭代次数max1,主特征值的迭代值lambda,主特征向量的迭代向量Vk,相邻两次迭代的误差Wc 如下：') endVk=V;k=k-1;Wc;例 5.2.2 用幂法计算下列矩阵的主特征值和对应的特征向量的近似向量，精度510-=ε.并把（1）和（2）输出的结果与例5.1.1中的结果进行比较.(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4211A ； (2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=633312321B ；(3)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1124111221C ；（4）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=20101350144D . 解 （1）输入MATLAB 程序>>A=[1 -1;2 4]; V0=[1,1]';[k,lambda,Vk,Wc]=mifa(A,V0,0.00001,100),[V,D] = eig (A), Dzd=max(diag(D)), wuD= abs(Dzd- lambda), wuV=V(:,2)./Vk,运行后屏幕显示结果请注意：迭代次数k,主特征值的近似值lambda,主特征向量的近似向量Vk,相邻两次迭代的误差Wc 如下：k = lambda = Wc =33 3.804 8.4999e-007Vk = V = wuV =-0.432 -0.655 0.996 -0.2941.000 0.655 -0.992 -0.992Dzd = wuD =3 1.6435e-006由输出结果可看出，迭代33次，相邻两次迭代的误差W c ≈8.69 19e-007，矩阵A 的主特征值的近似值lambda ≈3.000 00和对应的特征向量的近似向量V k ≈（-0.500 00，1.00000T ), lambda 与例5.1.1中A 的最大特征值32=λ近似相等，绝对误差约为1.738 37e-006，47． V k 与特征向量X =T22k T )1,21(- )0(2≠k 的第1个分量的绝对误差约等于0，第2个分量的绝对值相同.由wuV 可以看出，2λ的特征向量V (:,2) 与V k 的对应分量的比值近似相等.因此，用程序mifa.m 计算的结果达到预先给定的精度510-=ε.(2) 输入MATLAB 程序>>B=[1 2 3;2 1 3;3 3 6]; V0=[1,1,1]';[k,lambda,Vk,Wc]=mifa(B,V0,0.00001,100), [V,D] = eig (B), Dzd=max(diag(D)), wuD= abs(Dzd- lambda), wuV=V(:,3)./Vk,运行后屏幕显示结果请注意：迭代次数k,主特征值的近似值lambda,主特征向量的近似向量Vk,相邻两次迭代的误差Wc 如下：k = lambda = Wc = Dzd = wuD =3 9 0 9 0Vk = wuV =0.000 0.7730.000 0.7731.000 0.773V =0.655 0.963 0.386-0.655 0.963 0.3860 -0.963 0.773(3) 输入MATLAB 程序>> C=[1 2 2;1 -1 1;4 -12 1];V0=[1,1,1]';[k,lambda,Vk,Wc]=mifa(C,V0,0.00001,100), [V,D] = eig (C), Dzd=max(diag(D)), wuD=abs(Dzd-lambda),Vzd=V(:,1),wuV=V(:,1)./Vk,运行后屏幕显示请注意：迭代次数k 已经达到最大迭代次数max1,主特征值的迭代值lambda,主特征向量的迭代向量Vk,相邻两次迭代的误差Wc 如下：k = lambda = Wc =100 0.910 2.119Dzd = wuD =1.001 0.091Vk= Vzd = wuV =0.993 0.329 0.3350.995 0.776 0.7781.000 -0.776 -0.776由输出结果可见，迭代次数k 已经达到最大迭代次数max 1=100，并且lambda 的相邻两次迭代的误差Wc ≈2.377 58>2,由wuV 可以看出，lambda 的特征向量V k 与真值Dzd 的特征向量V zd 对应分量的比值相差较大，所以迭代序列发散.实际上，实数矩阵C 的特征值的近似值为i ,i ,010*********.000321=-==λλλ ，并且对应的特征向量的近似向量分别为X T1=1k （0.329，0.776，-0.776）T ，X =T 22k （-0.001,-0.300-0.100i, 0.801-0.400i ）T ，X =T33k ( -0.001, -0.300 + 0.100i,0.801 + 0.400i)T0,0(21≠≠k k , 03≠k 是常数）.（4）输入MATLAB 程序>> D=[-4 14 0;-5 13 0;-1 0 2]; V0=[1,1,1]';[k,lambda,Vk,Wc]=mifa(D,V0,0.00001,100), [V,Dt] =eig (D), Dtzd=max(diag(Dt)), wuDt=abs(Dtzd-lambda),Vzd=V(:,2),wuV=V(:,2)./Vk,运行后屏幕显示结果请注意：迭代次数k,主特征值的近似值lambda,主特征向量的近似向量Vk,相邻两次迭代的误差Wc如下：k = lambda = Wc =19 6.528 6.1684e-006Dtzd = wuDt =6.000 6.0768e-006Vk = Vzd = wuV =0.564 0.564 0.5640.886 0.117 0.618-0.180 -0.391 0.3705.3 反幂法和位移反幂法及其MATLAB程序5.3.3 原点位移反幂法的MATLAB程序（一）原点位移反幂法的MATLAB主程序1用原点位移反幂法计算矩阵A的特征值和对应的特征向量的MATLAB主程序1 function [k,lambdan,Vk,Wc]=ydwyfmf(A,V0,jlamb,jd,max1)[n,n]=size(A); A1=A-jlamb*eye(n); jd= jd*0.1;RA1=det(A1);if RA1==0disp('请注意：因为A-aE的n阶行列式hl等于零，所以A-aE不能进行LU分解.')returnendlambda=0;if RA1~=0for p=1:nh(p)=det(A1(1:p, 1:p));endhl=h(1:n);for i=1:nif h(1,i)==0disp('请注意：因为A-aE的r阶主子式等于零，所以A-aE不能进行LU分解.')returnendendif h(1,i)~=0disp('请注意：因为A-aE的各阶主子式都不等于零，所以A-aE 能进行LU分解.')k=1;Wc =1;state=1; Vk=V0;while((k<=max1)&(state==1))[L U]=lu(A1); Yk=L\Vk;Vk=U\Yk; [mj]=max(abs(Vk));mk=m;Vk1=Vk/mk; Yk1=L\Vk1;Vk1=U\Yk1;[m j]=max(abs(Vk1));mk1=m;Vk2=(1/mk1)*Vk1;tzw1=abs((mk-mk1)/mk1);tzw2=abs(mk1-mk);Txw1=norm(Vk)-norm(Vk1);Txw2=(norm(Vk)-norm(Vk1))/norm(Vk1);Txw=min(Txw1,Txw2); tzw=min(tzw1,tzw2);Vk=Vk2;mk=mk1; Wc=max(Txw,tzw);Vk=Vk2;mk=mk1;state=0;if(Wc>jd)state=1;endk=k+1;%Vk=Vk2,mk=mk1,49． endif (Wc<=jd)disp('A-aE 的秩R(A-aE)和各阶顺序主子式值hl 、迭代次数k,按模最小特征值的近似值lambda,特征向量的近似向量Vk,相邻两次迭代的误差Wc 如下：')elsedisp('A-aE 的秩R(A-aE)和各阶顺序主子式值hl 、迭代次数k 已经达到最大迭代次数max1,按模最小特征值的迭代值lambda,特征向量的迭代向量Vk,相邻两次迭代的误差Wc 如下：')endhl,RA1endend[V,D]=eig(A,'nobalance'),Vk;k=k-1;Wc;lambdan=jlamb+1/mk1;例5.3.2 用原点位移反幂法的迭代公式（5.28），根据给定的下列矩阵的特征值n λ的初始值n λ~，计算与n λ对应的特征向量n X 的近似向量,精确到0.000 1. （1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----210242011,2.0~2=λ；（2）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-4211，001.2~2=λ；（3）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3315358215211，8.26~3=λ.解 （1）输入MATLAB 程序>> A=[1 -1 0;-2 4 -2;0 -1 2];V0=[1,1,1]';[k,lambda,Vk,Wc]=ydwyfmf(A,V0,0.2,0.0001,10000)运行后屏幕显示结果 请注意：因为A-aE 的各阶主子式都不等于零，所以A-aE 能进行LU 分解.A-aE 的秩R(A-aE)和各阶顺序主子式值hl 、迭代次数k,按模最小特征值的近似值lambda,特征向量的近似向量Vk,相邻两次迭代的误差Wc 如下：k = lambda = Wc = hl =3 0.2384 1.0213e-007 0.8000 1.0400 0.2720Vk = V = D =1.0000 -0.2424 -1.0000 -0.5707 5.1249 0 00.7616 1.0000 -0.7616 0.3633 0 0.2384 00.4323 -0.3200 -0.4323 1.0000 0 0 1.6367（2）输入MATLAB 程序>> A=[1 -1;2 4];V0=[20,1]';[k,lambda,Vk,Wc]=ydwyfmf(A,V0,2.001,0.0001,100)运行后屏幕显示结果请注意：因为A-aE 的各阶主子式都不等于零，所以A-aE 能进行LU 分解.A-aE 的秩R(A-aE)和各阶顺序主子式值hl 、迭代次数k,按模最小特征值的近似值lambda,特征向量的近似向量Vk,相邻两次迭代的误差Wc 如下：k = lambda = Wc = hl =2 2.0020 5.1528e-007 -1.0010 -0.0010Vk = V = D =1.0000 -1.0000 0.5000 2 0-1.0000 1.0000 -1.0000 0 3（3）输入MATLAB 程序>> A=[-11 2 15;2 58 3;15 3 -3];V0=[1,1,-1]';[k,lambdan,Vk,Wc]=ydwyfmf(A,V0,8.26, 0.0001,100)运行后屏幕显示结果请注意：因为A-aE 的各阶主子式都不等于零，所以A-aE 能进行LU 分解.A-aE 的秩R(A-aE)和各阶顺序主子式值hl 、迭代次数k,按模最小特征值的近似值lambda,特征向量的近似向量Vk,相邻两次迭代的误差Wc 如下：k = lambdan= Wc = hl =2 8.2640 6.9304e-008 -19.2600 -961.9924 -6.1256 Vk = V = D =-0.7692 0.7928 0.6081 0.0416 -22.5249 0 00.0912 0.0030 -0.0721 0.9974 0 8.2640 0-1.0000 -0.6095 0.7906 0.0590 0 0 58.2609例 5.3.3 用原点位移反幂法的迭代公式（5.28），计算⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=1026471725110A 的分别对应于特征值 1.001~11=≈λλ，.001 2~22=≈λλ， 001.4~33=≈λλ的特征向量1X ，2X ，3X 的近似向量，相邻迭代误差为0.001.将计算结果与精确特征向量比较. 解 （1）计算特征值 1.001~11=≈λλ对应的特征向量1X 的近似向量.输入MATLAB 程序>> A=[0 11 -5;-2 17 -7;-4 26 -10];V0=[1,1,1]';[k,lambda,Vk,Wc]= ydwyfmf(A,V0,1.001, 0.001,100),[V,D]=eig(A);Dzd=min(diag(D)), wuD= abs(Dzd- lambda),VD=V(:,1),wuV=V(:,1)./Vk,运行后屏幕显示结果请注意：因为A-aE 的各阶主子式都不等于零，所以A-aE 能进行L U 分解.A-aE 的秩R(A-aE)和各阶顺序主子式值hl 、迭代次数k,按模最小特征值的近似值lambda,特征向量的近似向量Vk,相邻两次迭代的误差Wc 如下：hl =-1.000 5.000 -0.000k = lambda = RA1 =5 1.000 -0.000Vk = VD = wuV =-0.000 -0.386 0.773-0.000 -0.386 0.773-1.000 -0.773 0.773Wc = Dzd = wuD =1.5562e-009 1.000 0.000从输出的结果可见，迭代5次，特征向量1X 的近似向量1~X 的相邻两次迭代的误差Wc ≈1.379 e-009，由wuV 可以看出，1~X = Vk 与VD 的对应分量的比值相等.特征值1λ的近似值lambda ≈1.002与初始值=1~λ 1.001的绝对误差为0.001，而与 1λ的绝对误差为0.002，其中 =1X T )000000000001.000 , 000000000000.500- , 000000000000.500( -, =1~X T )000000000001.000 , 000000000000.500- , 000000000000.500(-. （2）计算特征值.001 2~22=≈λλ对应特征向量2X 的近似向量.输入MATLAB 程序>> A=[0 11 -5;-2 17 -7;-4 26 -10];V0=[1,1,1]';[k,lambda,Vk,Wc]=ydwyfmf(A,V0,2.001, 0.001,100) ,[V,D]=eig(A); WD=lambda-D(2,2),VD=V(:,2),wuV=V(:,2)./Vk, 运行后屏幕显示结果请注意：因为A-aE 的各阶主子式都不等于零，所以A-aE 能进行L U 分解.A-aE 的秩R(A-aE)和各阶顺序主子式值hl 、迭代次数k,按模最小特征值的近似值lambda,特征向量的近似向量Vk,相邻两次迭代的误差Wc 如下：hl =-2.000 -8.000 0.000k = Wc = lambda = WD =2 3.2120e-007 2.016 0.016Vk = VD = wuV =-0.999 0.599 -0.401-0.999 0.198 -0.398-1.000 0.397 -0.39751． 从输出的结果可见，迭代2次，特征向量2X 的近似向量2X 的相邻两次迭代的误差Wc ≈3.131e-007，2~X 与2X 的对应分量的比值近似相等.特征值2λ的近似值lambda ≈2.002与初始值=2~λ 2.001的绝对误差约为0.001，而lambda 与2λ的绝对误差约为0.002，其中 =2~X T )00000000000000.1,99999999999499.0,99999999999249.0(---, =2X T ) 000000000001.000- ,000000000000.500- ,99999999999-0.249( . （3）计算特征值 001.4~33=≈λλ对应特征向量3X 的近似向量.输入MATLAB 程序>> A=[0 11 -5;-2 17 -7;-4 26 -10];V0=[1,1,1]';[k,lambda,Vk,Wc]=ydwyfmf(A,V0,4.001, 0.001,100)[V,D]=eig(A);WD=lambda-max(diag(D)),VD=V(:,3),wuV=V(:,3)./Vk,运行后屏幕显示结果请注意：因为A-aE 的各阶主子式都不等于零，所以A-aE 能进行L U 分解.A-aE 的秩R(A-aE)和各阶顺序主子式值hl 、迭代次数k,按模最小特征值的近似值lambda,特征向量的近似向量Vk,相邻两次迭代的误差Wc 如下：hl =-4.000 -30.000 -0.999k = lambda = Wc = WD =2 4.990 1.4842e-007 0.990Vk = VD = wuV =0.001 -0.153 -0.3800.001 -0.229 -0.3811.000 -0.381 -0.381从输出的结果可见，迭代2次，特征向量3X 的近似向量3~X 的相邻两次迭代的误差Wc ≈1.996e-007，3~X 与3X 的对应分量的比值近似相等.特征值3λ的近似值 4.001~4.0022=≈λ与初始值lambda 的绝对误差近似为001.0，而lambda 与3λ的绝对误差约为0.002，其中 =3X (-0.400 000 000 000 00，-0.600 000 000 000 00，-1.000 000 000 000 00T ), =3~X T )000000000001.000 ,100000000000.600 ,10000000000.400(.（二）原点位移反幂法的MATLAB 主程序2用原点位移反幂法计算矩阵A 的特征值和对应的特征向量的MATLAB 主程序2function [k,lambdan,Vk,Wc]=wfmifa1(A,V0,jlamb,jd,max1)[n,n]=size(A); jd= jd*0.1;A1=A-jlamb*eye(n);nA1=inv(A1); lambda1=0;k=1;Wc =1;state=1; U=V0;while ((k<=max1)&(state==1))Vk=A1\U; [m j]=max(abs(Vk)); mk=m; Vk=(1/mk)*Vk;Vk1=A1\Vk;[m1 j]=max(abs(Vk1)); mk1=m1,Vk1=(1/mk1)*Vk1;U=Vk1,Txw=(norm(Vk1)-norm(Vk))/norm(Vk1);tzw=abs((lambda1-mk1)/mk1);Wc=max(Txw,tzw); lambda1=mk1;state=0;if (Wc>jd)state=1;endk=k+1;endif (Wc<=jd)disp('请注意迭代次数k,特征值的近似值lambda,对应的特征向量的近似向量Vk,相邻两次迭代的误差Wc 如下：')elsedisp('请注意迭代次数k 已经达到最大迭代次数max1, 特征值的近似值lambda,对应的特征向量的近似向量Vk,相邻两次迭代的误差Wc 如下：') end[V,D] =eig(A,'nobalance'),Vk=U;k=k-1;Wc;lambdan=jlamb+1/mk;例5.3.4 用原点位移反幂法的迭代公式（5.27），计算例题5.3.3，并且将这两个例题的计算结果进行比较.再用两种原点位移反幂法的MATLAB 主程序，求979999999990.999~1=λ对应的特征向量. 解 （1）计算特征值 1.001~11=≈λλ对应特征向量1X 的近似向量.输入MATLAB 程序>> A=[0 11 -5;-2 17 -7;-4 26 -10];V0=[1,1,1]';[k,lambda,Vk,Wc]=wfmifa1(A,V0,1.001,0.001,100)运行后屏幕显示结果请注意迭代次数k,特征值的近似值lambda,对应的特征向量的近似向量Vk,相邻两次迭代的误差Wc 如下：k = lambda = Wc =5 1.138 1.6924e-006Vk’ = -0.000 -0.000 -1.000同理可得，另外与两个特征值对应的特征向量.（2）再用两种原点位移反幂法的MATLAB 主程序，求979999999990.999~1=λ对应的特征向量.输入MATLAB 程序>> A=[0 11 -5;-2 17 -7;-4 26 -10];V0=[1,1,1]';[k,lambda,Vk,Wc]=ydwyfmf(A,V0,0.997,0.001,100)运行后屏幕显示结果请注意：因为A-aE 的各阶主子式都不等于零，所以A-aE 能进行LU 分解.A-aE 的秩R(A-aE)和各阶顺序主子式值hl 、迭代次数k,按模最小特征值的近似值lambda,特征向量的近似向量Vk,相邻两次迭代的误差Wc 如下：hl =-0.997 6.045 0.010RA1 = 1.9192e-013 k = 2 lambda = 1.000输入MATLAB 程序>> A=[0 11 -5;-2 17 -7;-4 26 -10];V0=[1,1,1]';[k,lambda,Vk,Wc]=wfmifa1(A,V0, 0.997,0.001,100)运行后屏幕显示结果请注意迭代次数k,特征值的近似值lambda,对应的特征向量的近似向量Vk,相邻两次迭代的误差Wc 如下：k = 3 lambda = 1.000 Wc =5.7640e-0165.4 雅可比(Jacobi)方法及其MATLAB 程序5.4.3 雅可比方法的MATLAB 程序 Vk = 0.000 0.000 1.000 Wc = 4.6759e-013 Vk =0.0000.0001.00053． 用雅可比方法计算对称矩阵A 的特征值和对应的特征向量的MATLAB 主程序function [k,Bk,V,D,Wc]=jacobite(A,jd,max1)[n,n]=size(A);Vk=eye(n);Bk=A;state=1;k=0;P0=eye(n); Aij=abs(Bk-diag(diag(Bk)));[m1 i]=max(Aij);[m2 j]=max(m1);i=i(j);while ((k<=max1)&(state==1))k=k+1,aij=abs(Bk-diag(diag(Bk)));[m1 i]=max(abs(aij));[m2 j]=max(m1);i=i(j),j,Aij=(Bk-diag(diag(Bk)));mk=m2*sign(Aij(i,j)),Wc=m2,Dk=diag(diag(Bk));Pk=P0;c=(Bk(j,j)-Bk(i,i))/(2*Bk(i,j)),t=sign(c)/(abs(c)+sqrt(1+c^2)),pii=1/( sqrt(1+t^2)), pij=t/( sqrt(1+t^2)),Pk(i,i)=pii;Pk(i,j)=pij;Pk(j,j)=pii; Pk(j,i)=-pij;Pk,B1=Pk'*Bk;B2=B1*Pk; Vk=Vk*Pk,Bk=B2,if (Wc>jd)state=1;elsereturnendPk;Vk;Bk=B2;Wc;endif (k>max1)disp('请注意迭代次数k 已经达到最大迭代次数max1,迭代次数k,对称矩阵Bk,以特征向量为列向量的矩阵V,特征值为对角元的对角矩阵D 如下：')elsedisp('请注意迭代次数k,对称矩阵Bk,以特征向量为列向量的矩阵V,特征值为对角元的对角矩阵D 如下：')endWc;k=k; V=Vk;Bk=B2;D=diag(diag(Bk));[V1,D1]=eig(A,'nobalance')例5.4.2 用雅可比方法的MATLAB 程序计算矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=12101152302756135612A 的特征值i λ和对应的特征向量i X （4,3,2,1=i ）.解 （1）保存名为jacobite.m 为M 文件；（2）输入MATLAB 程序>> A=[12 -56 3 -1;-56 7 2 0;3 2 5 1;-1 0 1 12];[k,B,V,D,Wc]=jacobite(A,0.001,100)（3）运行后屏幕显示如下：k = i = j = mk = Wc =1 2 1 -56 56c = t =-0.286 -0.972pii = pij =0.843 -0.510Pk =0.843 0.510 0 0-0.510 0.843 0 00 0 1.000 00 0 0 1.000Vk =0.843 0.510 0 0-0.510 0.843 0 00 0 1.000 00 0 0 1.000Bk =65.456 0 0.509 -0.843-0.001 -46.456 3.217 -0.5100.509 3.217 5.000 1.000-0.843 -0.510 1.000 12.000k =i = j = mk = Wc =2 3 2 3.217 3.217c = t =-7.824 -0.129pii = pij =0.446 -0.592Pk =1.000 0 0 00 0.446 0.592 00 -0.592 0.446 00 0 0 1.000 Vk =0.843 0.035 0.127 0-0.510 0.581 0.449 00 -0.592 0.446 00 0 0 1.000 Bk =65.456 -0.092 0.672 -0.843-0.093 -46.285 0 -0.6270.672 0.000 5.829 0.318-0.843 -0.627 0.318 12.000k = i = j = mk = Wc =3 4 3 0.318 0.318c = t =-3.213 -0.116pii = pij =0.324 -0.460Pk =1.000 0 0 00 1.000 0 00 0 0.324 0.4600 0 -0.460 0.324Vk =0.843 0.035 0.032 0.403-0.510 0.581 0.712 0.1430 -0.592 0.096 0.8420 0 -0.460 0.324Bk =65.456 -0.092 0.061 -0.628-0.093 -46.285 0.562 -0.8800.061 0.562 5.532 -0.000-0.628 -0.880 -0.000 12.297k =i = j = mk = Wc =4 1 3 0.061 0.061c = t =-34.430 -0.914pii = pij =0.186 -0.877Pk =0.186 0 -0.877 00 1.000 0 00.877 0 0.186 00 0 0 1.000 Vk =0.465 0.035 0.062 0.403-0.280 0.581 0.080 0.1430.712 -0.592 0.105 0.842-0.214 0 -0.206 0.324Bk =65.633 -0.808 -0.000 -0.964-0.809 -46.285 0.177 -0.880-0.000 0.177 5.356 0.823-0.964 -0.880 0.823 12.297k = i = j = mk = Wc =5 4 2 -0.880 0.880c = t =39.084 0.264pii = pij =0.114 0.836Pk =1.000 0 0 00 0.114 0 -0.8360 0 1.000 00 0.836 0 0.114Vk =0.465 0.603 0.062 -0.628-0.280 0.160 0.080 -0.5250.712 -0.220 0.105 0.737-0.214 0.032 -0.206 0.964Bk =65.633 -0.679 -0.000 -0.674-0.680 -46.078 0.590 0.000-0.000 0.590 5.356 0.860-0.674 0.000 0.860 12.090k =i = j = mk = Wc =6 4 1 -0.674 0.674c = t =-43.409 -0.503pii = pij =0.402 -0.366Pk =0.402 0 0 0.3660 1.000 0 00 0 1.000 0-0.366 0 0 0.402Vk =0.899 0.603 0.062 0.595-0.777 0.160 0.080 -0.2940.931 -0.220 0.105 0.404-0.145 0.032 -0.206 0.500Bk =65.122 -0.392 -0.377 -0.000-0.393 -46.078 0.590 -0.883-0.377 0.590 5.356 0.150-0.000 -0.883 0.150 12.603k =i = j = mk = Wc =7 3 2 0.590 0.590c = t =-2.9764e+002 -0.240pii = pij =0.167 -0.616Pk =1.000 0 0 00 0.167 0.616 00 -0.616 0.167 00 0 0 1.000…………………………………………………………………………请注意迭代次数k,对称矩阵Bk,以特征向量为列向量的矩阵V,特征值为对角元的对角矩阵D 如下：V1 =0.497 -0.484 0.431 -0.4500.300 -0.737 -0.977 0.337-0.277 -0.472 0.471 -0.2250.193 0.200 0.219 0.899D1 =-46.736 0 0 00 5.727 0 00 0 12.702 00 0 0 65.307k =1055．B =65.945 0.175 -0.566 0.8360.175 -46.739 0.984 0.000-0.566 0.984 5.090 -0.7370.836 -0.000 -0.737 12.704V =0.507 0.617 0.689 0.487-0.201 0.816 0.570 -0.0620.107 -0.977 0.379 0.122-0.898 0.755 -0.946 0.520D =65.945 0 0 00 -46.739 0 00 0 5.090 00 0 0 12.704Wc =6.7158e-0045.5 豪斯霍尔德(Householder)方法及其MATLAB程序5.5.1 豪斯霍尔德方法及其MATLAB程序求初等反射矩阵P，使得PX的第一个分量以外的其余的分量都为零的MATLAB主程序function [xigema,rou,miou,P,PX]=Householder(X)n=size(X);nX=norm(X,2);xigema=nX*sign(X(1));rou=xigema*(xigema+X(1));miou=[xigema,zeros(1,n-1)]'+X,E=eye(n,n); C=2*miou*(miou)';P=E-C/(norm(miou,2)^2); PX=P*X;例5.5.1设向量=X()T1,2,2，确定一个初等反射矩阵P，使得PX的后两个分量为零.解输入MATLAB程序>> X=[2 2 1]'; [xigema,rou,miou,P,PX]=Householder(X)运行后屏幕显示结果P = PX =-0.6667 -0.6667 -0.3333 -3.0000-0.6667 0.7333 -0.1333 0.0000-0.3333 -0.1333 0.9333 0.00005.5.2 矩阵约化为上豪斯霍尔德矩阵及其MATLAB程序用豪斯霍尔德变换将n阶矩阵A规约成上豪斯霍尔德矩阵的MATLAB主程序function [k,Sk,uk,ck,Pk,Uk,Ak]=Householdrer1(A)n=size(A); Ak=A;for k=1:n-2k,Sk=norm(Ak(k+1:n,k))*sign(Ak(k+1,k)),uk= Ak(k+1:n,k)+ Sk*eye(n-k,1),ck=(norm(uk,2)^2)/2,Pk= eye(n-k,n-k)-uk*uk'/ck,Uk=[eye(k,k),zeros(k,n-k);zeros(n-k, k),Pk],A1=Uk*Ak;Ak=A1,end例5.5.3用初等反射矩阵正交相似约化实矩阵A为上豪斯霍尔德矩阵.其中57．⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=34 19- 37 78- 41- 31 11 72- 98 10.2- 78- 32-94- 21 12 1 01- 63- 72 1 5 2 3 17- 32 0 2 7 56- 51- 17 12- 34 52- 12A .解 输入MATLAB 程序>> A=[12 -52 34 -12 17 -51;-56 7 2 0 32 -17;3 2 5 1 72 -63;-10 1 12 21 -94;-32 -78 -10.2 98 -72 11;31 -41 -78 37 -19 34]; [k,Sk,uk,ck,Pk,Uk,Ak]=Householdrer1(A) 运行后屏幕显示结果k = Sk = ck =1 -71.6310 9.1423e+003 uk = Pk =-127.6310 -0.7818 0.0419 -0.0140 -0.4467 0.4328 3.0000 0.0419 0.9990 0.0003 0.0105 -0.0102 -1.0000 -0.0140 0.0003 0.9999 -0.0035 0.0034 -32.0000 -0.4467 0.0105 -0.0035 0.8880 0.1085 31.0000 0.4328 -0.0102 0.0034 0.1085 0.8949 Uk =1.0000 0 0 0 0 0 0 -0.7818 0.0419 -0.0140 -0.4467 0.4328 0 0.0419 0.9990 0.0003 0.0105 -0.0102 0 -0.0140 0.0003 0.9999 -0.0035 0.0034 0 -0.4467 0.0105 -0.0035 0.8880 0.1085 0 0.4328 -0.0102 0.0034 0.1085 0.8949 Ak =12.0000 -52.0000 34.0000 -12.0000 17.0000 -51.0000 71.6310 11.7128 -30.5678 -27.8930 1.6473 21.7643 0.0000 1.8892 5.7655 1.6556 72.7134 -63.9112 -0.0000 0.0369 0.7448 11.7815 20.7622 -93.6963 -0.0000 -76.8184 -18.3655 91.0066 -79.6101 20.7191 0.0000 -42.1447 -70.0897 43.7749 -11.6277 24.5846 k = Sk = ck =2 87.6402 7.8464e+003 uk = Pk =89.5295 -0.0216 -0.0004 0.8765 0.4809 0.0369 -0.0004 1.0000 0.0004 0.0002 -76.8184 0.8765 0.0004 0.2479 -0.4126 -42.1447 0.4809 0.0002 -0.4126 0.7736 Uk =1.0000 0 0 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 0 0 -0.0216 -0.0004 0.8765 0.4809 0 0 -0.0004 1.0000 0.0004 0.0002 0 0 0.8765 0.0004 0.2479 -0.4126 0 0 0.4809 0.0002 -0.4126 0.7736 Ak =12.0000 -52.0000 34.0000 -12.0000 17.0000 -51.0000 71.6310 11.7128 -30.5678 -27.8930 1.6473 21.7643 -0.0000 -87.6402 -49.9272 100.7790 -76.9476 31.4002 -0.0000 -0.0000 0.7219 11.8223 20.7005 -93.6570 -0.0000 0.0000 29.4202 5.9564 48.8026 -61.0603 0.0000 0.0000 -43.8731 -2.8860 58.8230 -20.2818 ………………………………………………………………………… k = Sk = ck =4 -12.2088 195.0398uk = Pk =-15.9753 -0.3085 0.9512 11.6133 0.9512 0.3085 Uk =1.0000 0 0 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 0 0 -0.3085 0.9512 0 0 0 0 0.9512 0.3085 Ak =12.0000 -52.0000 34.0000 -12.0000 17.0000 -51.0000 71.6310 11.7128 -30.5678 -27.8930 1.6473 21.7643 -0.0000 -87.6402 -49.9272 100.7790 -76.9476 31.4002 0.0000 -0.0000 -52.8292 -5.8754 21.3902 18.4403 0.0000 0.0000 0.0000 12.2088 40.2435 -106.8134 0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 64.7555 -34.09095.5.3 实对称矩阵的三对角化及其MATLAB 程序 将n 阶实对称矩阵A 规约成三对角形式的MATLAB 主程序function T=house(A) [n,n]=size(A); for k=1:n-2s=norm(A(k+1:n,k),2); if (A(k+1,k)<0) s=-s; endr=sqrt(2*s*(A(k+1,k)+s)); U(1:k)=zeros(1,k);U(k+1)=(A(k+1,k)+s)/r; U(k+2:n)=A(k+2:n,k)'/r; V(1:k)=zeros(1,k);V(k+1:n)=A(k+1:n,k+1:n)*U(k+1:n)'; C=U(k+1:n)*V(k+1:n)'; P(1:k)=zeros(1,k);P(k+1:n)=V(k+1:n)-C*U(k+1:n); A(k+2:n,k)=zeros(n-k-1,1); A(k,k+2:n)=zeros(1,n-k-1); A(k+1,k)=-s; A(k,k+1)=-s;A(k+1:n,k+1:n)=A(k+1:n,k+1:n)-2*U(k+1:n)'*P(k+1:n)-2*P(k+1:n)'*U(k+1:n);end T=A;例5.5.4 用初等反射矩阵正交相似约化实对称矩阵A 为三对角矩阵.其中⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------------------=5261215121416134237299021237312611451721253233219612371564901435612A 解 输入MATLAB 程序59．>> A=[12 -56 3 -14 -90 -4;-56 71 23 61 -9 -21;3 23 53 12 -7251;-14 61 12 73 23 21;-90 -9 -72 23 -34 -61;-41 -21 51 21 -61 -52];T=house(A)运行后屏幕显示结果T =12.0000 114.5513 0 0 0 0 114.5513 -43.2395 -108.2763 0 0 00 -108.2763 49.7411 -22.7766 0 0 0 0 -22.7766 40.2476 -89.1355 0 0 0 0 -89.1355 44.9606 39.3090 0 0 0 0 39.3090 19.29025.6 QR 方法及其MATLAB 程序5.6.5 最末元位移QR 法计算实对称矩阵特征值及其MATLAB 程序 用最末元位移QR 方法求实对称矩阵A 全部特征值的MATLAB 主程序function tzg=qr4(A,t,max1)[n,n]=size(A); k=0;Ak=A;tzg=zeros(n); state=1; for i=1:n;while ((k<=max1)&(state==1)&(n>1))b1=abs(Ak(n,n-1)); b2=abs(Ak(n,n));b3=abs(Ak(n-1,n-1));b4=min(b2, b3); jd=10^(-t); jd1=jd*b4; if (b1>=jd1)sk=Ak(n,n); Bk=Ak-sk*eye(n); [Qk,Rk]=qr(Bk);At=Rk*Qk+sk*eye(n); k=k+1;tzgk=Ak(n,n);disp('请注意：下面的i 表示求第i 个特征值，k 是迭代次数，sk 是原点位移量，')disp(' Bk=Ak-sk*eye(n),Qk 和Rk 是Bk 的QR 分解，At=Rk*Qk+sk*eye(n)迭代矩阵：')i,state=1;k,sk,Bk,Qk,Rk,At,Ak=At; elsedisp('请注意：i 表示求第i 个特征值，tzgk 是矩阵A 的特征值的近似值，k 是迭代次数，')disp(' 下面的矩阵B 是m 阶矩阵At 的（m-1）阶主子矩阵，即At 降一阶.')i,tzgk=Ak(n,n),tzg(n,1)=tzgk;k=k,sk,Ak;B=Ak(1:n-1,1:n-1), Ak=B;n=n-1;state==1; i=i+1; end end endtzg(1,1)=Ak;tzg=sort(tzg(:,1));tzgk=Akdisp('请注意：n 阶实对称矩阵A 的全部真特征值lamoda 和至少含t个有效数字的近似特征值tzg 如下：')lamoda=sort(eig(A))例5.6.5 用最末元位移QR 方法求下列实对称矩阵的全部近似特征值，并将计算结果与A 全部真特征值比较.其中,2 1 1 1 13 1 21 1 4- 212 2 5)1(⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A 精度为=ε510-；,52612151214161342372990212373126114517212532332196123715641901435612)2(⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------------------=A 精度为=ε410-.解 （1）首先保存用最末元位移QR 方法求实对称矩阵A 全部特征值的MATLAB 主程序为M 文件，取名为qr4.m.在MATLAB 工作窗口输入程序>> A=[5 2 2 1;2 -4 1 1;2 1 3 1;1 1 1 2]; tzg=qr4(A,5,100)运行后屏幕显示结果请注意：下面的i 表示求第i 个特征值，k 是迭代次数，sk 是原点位移量，Bk=Ak-sk*eye(n),Qk 和Rk 是Bk 的QR 分解，At=Rk*Qk+sk*eye(n)迭代矩阵： i = 1 k = 1 sk = 2 Bk =3 2 2 1 2 -6 1 1 2 1 1 1 1 1 1 0 Qk =-0.655 0.317 0.490 -0.963-0.103 -0.718 0.245 0 -0.103 0.169 -0.448 0.963 -0.552 0.148 0.937 0.963 Rk =-4.929 0.655 -2.067 -1.8610 6.256 0.232 -0.2320 0 0.713 -0.7130 0 0 0.000 At =6.778 -3.069 -0.125 0.000 -3.069 -3.545 0.127 0.000 -0.125 0.127 1.767 0.000 -0.000 0.000 0.000 2.000请注意：i 表示求第i 个特征值，tzgk 是矩阵A 的特征值的近似值，k 是迭代次数， 下面的矩阵B 是m 阶矩阵At 的（m-1）阶主子矩阵，即At 降一阶. i = 1 tzgk = 2.000 k = 1 sk = 2 B =6.778 -3.069 -0.125 -3.069 -3.545 0.127 -0.125 0.127 1.767请注意：下面的i 表示求第i 个特征值，k 是迭代次数，sk 是原点位移量，Bk=Ak-sk*eye(n),Qk 和Rk 是Bk 的QR 分解，At=Rk*Qk+sk*eye(n)迭代矩阵： i = 2 k = 2 sk =1.767 Bk =4.011 -3.069 -0.125 -3.069 -5.312 0.127-0.125 0.127 0Qk =-0.929 -0.187 0.6770.289 -0.679 -0.7300.744 0.940 0.586Rk =-5.247 -0.739 0.6190 5.920 0.2420 0 -0.170At =6.691 3.840 -0.9853.840 -3.421 -0.472-0.985 -0.472 1.730请注意：i表示求第i个特征值，tzgk是矩阵A的特征值的近似值，k是迭代次数，下面的矩阵B是m阶矩阵At的（m-1）阶主子矩阵，即At降一阶.i =2tzgk =1.730k =2sk =1.767B =6.691 3.8403.840 -3.421请注意：下面的i表示求第i个特征值，k是迭代次数，sk是原点位移量，Bk=Ak-sk*eye(n),Qk和Rk是Bk的QR分解，At=Rk*Qk+sk*eye(n)迭代矩阵：i =3k =3sk =-3.421Bk =9.112 3.8403.840 0Qk =-0.348 -0.629-0.629 0.348Rk =-10.815 -3.9690 -0.199At =7.385 0.0000.000 -4.115请注意：下面的i表示求第i个特征值，k是迭代次数，sk是原点位移量，Bk=Ak-sk*eye(n),Qk和Rk是Bk的QR分解，At=Rk*Qk+sk*eye(n)迭代矩阵：i =3k =4sk =-4.115Bk =11.500 0.0000.000 0Qk =-0.784 -0.063-0.063 0.784Rk =-11.838 -0.5730 -0.263At =7.907 0.6920.692 -4.637请注意：下面的i表示求第i个特征值，k是迭代次数，sk是原点位移量，Bk=Ak-sk*eye(n),Qk和Rk是Bk的QR分解，At=Rk*Qk+sk*eye(n)迭代矩阵：61．i =3k =5sk =-4.637Bk =11.544 0.6920.692 0Qk =-0.678 -0.166-0.166 0.678Rk =-11.661 -0.6900 -0.235At =7.142 0.0050.005 -4.872请注意：i表示求第i个特征值，tzgk是矩阵A的特征值的近似值，k是迭代次数，下面的矩阵B是m阶矩阵At的（m-1）阶主子矩阵，即At降一阶.i =3tzgk =-4.872k =5sk =-4.637B =7.142tzgk =7.142请注意：n阶实对称矩阵A的全部真特征值lamoda和至少含t个有效数字的近似特征值tzg 如下：lamoda =-4.3661.1842.0007.181tzg =-4.8721.7302.0007.142（2）在MATLAB工作窗口输入程序>> A=[12 -56 3 -14 -90 -41;-56 71 23 61 -9 -21;3 23 53 12 -72 51;-14 61 12 73 23 21;-90 -9 -72 23 -34 -61;-41 -21 51 21 -61 -52], tzg=qr4(A,4,100)运行后屏幕显示结果如下请注意：下面的i表示求第i个特征值，k是迭代次数，sk是原点位移量，Bk=Ak-sk*eye(n),Qk 和Rk是Bk的QR分解，At=Rk*Qk+sk*eye(n)迭代矩阵：i =1k =1sk =-52Bk =64 -56 3 -14 -90 -41-56 123 23 61 -9 -213 23 105 12 -72 51-14 61 12 125 23 21-90 -9 -72 23 18 -61-41 -21 51 21 -61 0Qk =-0.4877 0.1531 0.0110 -0.3210 -0.7966 -0.03020.4268 -0.6902 0.0293 0.2307 -0.4943 0.2076-0.0229 -0.1854 -0.7498 0.0708 -0.0367 -0.62980.1067 -0.3999 0.0569 -0.8801 0.2157 -0.06530.6859 0.4443 0.2359 -0.1349 -0.2604 -0.43650.3125 0.3294 -0.6148 -0.2143 -0.0731 0.6038Rk =-131.2174 73.0543 -26.2160 68.2608 37.4417 -29.72930 -133.0416 -54.8715 -79.3230 -15.5119 -36.73930 0 -125.6735 -7.7419 95.7846 -52.49850 0 0 -98.2059 12.1142 1.67370 0 0 0 83.5168 61.58630 0 0 0 0 -9.9811At =67.4514 -86.1061 51.3408 -1.6460 76.5261 -3.1187-86.1061 62.7258 51.6606 45.2076 57.3920 -3.288051.3408 51.6606 96.6541 -3.7567 -18.1668 6.1366-1.6460 45.2076 -3.7567 32.4419 -24.4622 2.138676.5261 57.3920 -18.1668 -24.4622 -78.2465 0.7293-3.1187 -3.2880 6.1366 2.1386 0.7293 -58.0267请注意：下面的i表示求第i个特征值，k是迭代次数，sk是原点位移量，Bk=Ak-sk*eye(n),Qk 和Rk是Bk的QR分解，At=Rk*Qk+sk*eye(n)迭代矩阵：i =1k =2sk =-58.0267Bk =125.4782 -86.1061 51.3408 -1.6460 76.5261 -3.1187-86.1061 120.7526 51.6606 45.2076 57.3920 -3.288051.3408 51.6606 154.6809 -3.7567 -18.1668 6.1366-1.6460 45.2076 -3.7567 90.4686 -24.4622 2.138676.5261 57.3920 -18.1668 -24.4622 -20.2198 0.7293-3.1187 -3.2880 6.1366 2.1386 0.7293 0Qk =-0.7052 0.1935 -0.2299 -0.3147 0.5598 -0.00390.4839 -0.5340 -0.2202 -0.0946 0.6505 0.0054-0.2885 -0.4861 -0.7045 0.1495 -0.4009 -0.03150.0093 -0.2893 0.1849 -0.8863 -0.3106 -0.0076-0.4301 -0.5970 0.6032 0.2892 0.0754 0.07420.0175 0.0305 -0.0655 -0.0243 -0.0220 0.9967Rk =-177.9427 79.9237 -47.9486 35.5150 -12.4675 -1.45630 -153.7038 -80.7260 -34.1371 12.1657 -2.88520 0 -144.2113 -5.0943 -34.1981 -2.04720 0 0 -91.6269 -16.4126 0.52520 0 0 0 93.5178 -6.95430 0 0 0 0 -0.1614At =125.6255 -56.6838 56.2327 6.2201 -40.3402 -0.0028-56.6838 65.8196 91.9343 36.3234 -56.0440 -0.004956.2327 91.9343 22.1411 -26.8778 56.8615 0.01066.2201 36.3234 -26.8778 18.4203 27.2120 0.0039-40.3402 -56.0440 56.8615 27.2120 -50.8189 0.0036-0.0028 -0.0049 0.0106 0.0039 0.0036 -58.1877请注意：i表示求第i个特征值，tzgk是矩阵A的特征值的近似值，k是迭代次数，下面的矩阵B是m阶矩阵At的（m-1）阶主子矩阵，即At降一阶.i =1tzgk =-58.1877k =2sk =-58.0267B =125.6255 -56.6838 56.2327 6.2201 -40.3402-56.6838 65.8196 91.9343 36.3234 -56.044063．56.2327 91.9343 22.1411 -26.8778 56.86156.2201 36.3234 -26.8778 18.4203 27.2120-40.3402 -56.0440 56.8615 27.2120 -50.8189请注意：下面的i表示求第i个特征值，k是迭代次数，sk是原点位移量，Bk=Ak-sk*eye(n),Qk 和Rk是Bk的QR分解，At=Rk*Qk+sk*eye(n)迭代矩阵：i =2k =3sk =-50.8189Bk =176.4443 -56.6838 56.2327 6.2201 -40.3402-56.6838 116.6385 91.9343 36.3234 -56.044056.2327 91.9343 72.9600 -26.8778 56.86156.2201 36.3234 -26.8778 69.2391 27.2120-40.3402 -56.0440 56.8615 27.2120 0Qk =-0.8915 0.0982 0.2806 -0.2194 -0.26230.2864 -0.6231 0.4721 -0.2454 -0.4965-0.2841 -0.6298 0.1645 0.3591 0.6055-0.0314 -0.2269 -0.3554 -0.8387 0.34320.2038 0.3923 0.7383 -0.2435 0.4475Rk =-197.9237 45.2527 -32.0958 15.8644 2.90150 -166.3791 -69.3146 -10.1284 -11.02540 0 122.7118 9.9548 -38.09480 0 0 -84.6267 20.19780 0 0 0 82.1756At =147.7971 -29.8854 -42.9412 6.7762 16.7488-29.8854 94.4890 -94.4902 27.1220 32.2359-42.9412 -94.4902 -62.2964 44.9875 60.66746.7762 27.1220 44.9875 15.2418 -20.005716.7488 32.2359 60.6674 -20.0057 -14.0439请注意：下面的i表示求第i个特征值，k是迭代次数，sk是原点位移量，Bk=Ak-sk*eye(n),Qk 和Rk是Bk的QR分解，At=Rk*Qk+sk*eye(n)迭代矩阵：i =2k =4sk =-14.0439Bk =161.8411 -29.8854 -42.9412 6.7762 16.7488-29.8854 108.5329 -94.4902 27.1220 32.2359-42.9412 -94.4902 -48.2524 44.9875 60.66746.7762 27.1220 44.9875 29.2857 -20.005716.7488 32.2359 60.6674 -20.0057 0Qk =-0.9462 0.0767 -0.2892 -0.1036 0.06700.1747 -0.6934 -0.6522 -0.1674 0.18810.2511 0.6549 -0.4023 -0.4167 0.4154-0.0396 -0.1839 0.3418 -0.8875 -0.2454-0.0979 -0.2250 0.4609 -0.0073 0.8528Rk =-171.0440 19.2874 4.2844 10.4203 5.80810 -151.6697 8.6993 10.2944 22.34450 0 136.7883 -36.9542 -57.10880 0 0 -49.8308 -14.65420 0 0 0 37.2997At =151.2612 -26.9120 41.3973 3.4091 -3.6524-26.9120 89.8963 109.2297 12.4590 -8.392141.3973 109.2297 -108.0218 -23.7870 17.19103.4091 12.4590 -23.7870 30.2856 -0.2714-3.6524 -8.3921 17.1910 -0.2714 17.7663。
MATLAB中的矩阵分解方法及其应用
MATLAB中的矩阵分解方法及其应用概述矩阵分解是一种常用的数学工具，可以将一个复杂的矩阵分解为若干个简单的矩阵，从而简化计算和分析过程。
在MATLAB中，有多种矩阵分解方法可供选择，如LU分解、QR分解、特征值分解等。
本文将对这些方法进行详细介绍，并探讨它们在各个领域的应用。
LU分解LU分解（Lower-Upper factorization）是一种常用的矩阵分解方法，它将一个矩阵A分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，即A = LU。
在MATLAB中，可以使用“lu”函数进行LU分解。
LU分解的一个重要应用是求解线性方程组，通过LU分解可以将复杂的线性方程组转化为简单的求解过程。
QR分解QR分解是将一个矩阵分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积，即A = QR。
在MATLAB中，可以使用“qr”函数进行QR分解。
QR分解在许多领域中都有广泛的应用，如信号处理、图像处理等。
例如，在图像处理中，QR分解可以用于计算图像的特征值和特征向量，从而实现图像压缩和增强的效果。
特征值分解特征值分解是将一个矩阵分解为一个对角矩阵D和一个由特征向量组成的矩阵V的乘积，即A = VDV^(-1)。
在MATLAB中，可以使用“eig”函数进行特征值分解。
特征值分解在谱分析、信号处理、系统控制等领域中有广泛的应用。
例如，在谱分析中，特征值分解可以用于分析音频信号的频谱成分，从而实现音频信号的滤波和降噪。
奇异值分解奇异值分解是将一个矩阵分解为一个正交矩阵U、一个对角矩阵S和另一个正交矩阵V的乘积，即A = USV^T。
在MATLAB中，可以使用“svd”函数进行奇异值分解。
奇异值分解在图像处理、数据压缩等领域中有广泛的应用。
例如，在图像处理中，奇异值分解可以用于图像的降噪和图像的压缩，从而减少图像的存储空间和传输带宽。
总结MATLAB提供了丰富的矩阵分解方法，包括LU分解、QR分解、特征值分解和奇异值分解等。
matlab特征值求法
matlab特征值求法Matlab是一种强大的数值计算和编程软件，广泛应用于科学计算、工程技术和数据分析等领域。
在Matlab中，特征值求解是一项重要的数值计算任务，被广泛应用于信号处理、图像处理、机器学习等领域。
本文将介绍Matlab中特征值求解的原理和用法，并通过实例演示其应用。
特征值是矩阵的一个重要性质，它反映了矩阵变换后的特殊方向和比例。
在Matlab中，可以使用eig函数来计算矩阵的特征值和特征向量。
eig函数接受一个矩阵作为输入，并返回该矩阵的特征值和特征向量。
下面通过一个简单的例子来演示特征值求解的过程。
假设我们有一个2x2的矩阵A：A = [1 2; 3 4]我们可以使用eig函数来计算矩阵A的特征值和特征向量：[V, D] = eig(A)其中V是特征向量矩阵，D是特征值矩阵。
通过eig函数计算得到的特征值和特征向量满足以下关系：A * V = V * D特征值矩阵D是一个对角矩阵，对角线上的元素就是矩阵A的特征值。
特征向量矩阵V的每一列对应一个特征向量，特征向量和特征值是一一对应的。
在实际应用中，特征值求解经常与特征向量一起使用。
特征向量可以帮助我们理解矩阵变换后的特殊方向和比例。
特征向量的方向表示特征变换后的特殊方向，特征向量的长度表示特征变换后的比例。
通过特征值和特征向量，我们可以对矩阵进行降维、聚类、分类等操作。
例如，在图像处理中，可以使用特征值和特征向量来提取图像的纹理特征，从而实现图像分类和检索。
除了eig函数，Matlab还提供了其他求解特征值的函数，如eigs 函数用于求解大规模矩阵的特征值，svd函数用于奇异值分解。
特征值求解是一项复杂而重要的数值计算任务，需要注意以下几点：1. 矩阵必须是方阵才能进行特征值求解，非方阵需要进行扩展或者降维操作；2. 特征值和特征向量的计算涉及到数值计算方法，对于大规模矩阵可能存在数值不稳定性问题，需要进行合适的数值稳定性处理；3. 特征值和特征向量的计算复杂度较高，对于大规模矩阵可能需要较长的计算时间。
matlab矩阵特征值分解
matlab矩阵特征值分解Matlab是一种常用的科学计算软件，它提供了丰富的数学函数和工具箱，用于解决各种数学问题。
其中，矩阵特征值分解是其中一个重要的功能。
矩阵特征值分解是将一个方阵分解为特征值和特征向量的过程。
在Matlab中，可以使用eig函数来进行矩阵特征值分解。
下面将详细介绍矩阵特征值分解的原理和使用方法。
矩阵特征值分解的原理是基于线性代数的特征值问题。
对于一个方阵A，如果存在一个非零向量v，使得Av=λv，其中λ为一个标量，那么称λ为矩阵A的特征值，v为对应的特征向量。
矩阵特征值分解的目的就是找到矩阵A的所有特征值和特征向量。
在Matlab中，可以使用eig函数来进行矩阵特征值分解。
eig函数的使用方法为：[V,D] = eig(A)，其中A为待分解的方阵，V为特征向量矩阵，D为特征值对角矩阵。
通过这个函数，可以得到方阵A 的所有特征值和特征向量。
特征向量矩阵V的每一列对应一个特征向量，特征值对角矩阵D的对角线上的元素对应着特征值。
特征值和特征向量是成对出现的，即特征值矩阵D的第i个特征值对应特征向量矩阵V的第i列。
矩阵特征值分解在科学计算中有着广泛的应用。
例如，在图像处理中，特征值分解可以用于图像压缩和去噪。
通过将图像矩阵进行特征值分解，可以提取出图像的主要特征，然后根据特征值的大小来进行图像的压缩或去噪处理。
在物理学和工程学中，特征值分解也有着重要的应用。
例如，在结构力学中，可以通过特征值分解来计算结构的固有频率和模态形态；在电力系统中，可以通过特征值分解来计算电力系统的固有频率和振荡模式。
矩阵特征值分解是Matlab中一个重要的功能，它可以将一个方阵分解为特征值和特征向量。
通过特征值分解，可以得到方阵的主要特征，进而在科学计算和工程应用中发挥重要作用。
希望通过本文的介绍，读者对矩阵特征值分解有更深入的了解，并能够熟练地使用Matlab进行矩阵特征值分解的操作。
matlab复值矩阵谱分解
MATLAB中的复值矩阵谱分解是一种常见的数值分析方法，它用于将复值矩阵分解为特征值和特征向量的形式。
在实际应用中，复值矩阵谱分解可以帮助我们解决各种复杂的科学和工程问题，例如量子力学问题、控制系统分析和信号处理等。
在本文中，我将对MATLAB中的复值矩阵谱分解进行详细的讲解和应用场景分析。
一、MATLAB中复值矩阵谱分解的基本理论1.1 复值矩阵谱分解的定义复值矩阵谱分解是指将一个复值矩阵A分解为特征值λ和特征向量V 的形式，即A = VΛV^-1，其中Λ是一个对角矩阵，其中的元素是特征值λ，V是一个矩阵，其列向量是A的特征向量。
复值矩阵谱分解与实数矩阵谱分解的基本原理是一样的，只不过其特征值和特征向量是复数形式。
1.2 MATLAB中复值矩阵谱分解的实现在MATLAB中，可以使用eig函数来对复值矩阵进行谱分解。
eig函数可以返回矩阵的特征值和特征向量，对于复值矩阵而言，特征值和特征向量也是复数形式的。
具体的使用方法为[eigenvectors, eigenvalues] = eig(A)，其中eigenvectors为特征向量矩阵，eigenvalues为特征值矩阵。
1.3 复值矩阵谱分解的数值算法复值矩阵谱分解的数值算法是一个复杂的数值计算问题，一般采用的方法有QR分解、幂法等。
在MATLAB中，eig函数内部实现了一些高效的数值算法，可以对复值矩阵进行稳定和快速的谱分解。
在实际应用中，可以直接调用eig函数来进行复值矩阵谱分解的计算，而无需关心具体的数值算法。
二、MATLAB中复值矩阵谱分解的应用场景2.1 量子力学问题在量子力学中，复值矩阵谱分解常常用于求解量子系统的能级和能级结构。
通过对哈密顿矩阵进行谱分解，可以得到量子系统的能量本征态和能量本征值，这对于研究原子、分子和凝聚态物质的性质具有重要意义。
2.2 控制系统分析在控制系统分析中，复值矩阵谱分解可以用于求解系统的模态分析和稳定性分析。
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V的列向量。
(3) [V,D]=eig(A,'nobalance')：与第2种格式类似，但第2种格式中先对A作相似
变换后求矩阵A的特征值和特征向量，而格式3直接求矩阵A的特征值和特征向量。
(4) E=eig(A,B)：由eig(A,B)返回N×N阶方阵A和B的N个广义特征值，构成向量E
R=chol(X)：产生一个上三角阵R，使R'R=X。若X为非对称正定，则输出一个出错信息。
[R,p]=chol(X)：这个命令格式将不输出出错信息。当X为对称正定的，则p=0，R与上述格式得到的结果相同；否则p为一个正整数。如果X为满秩矩阵，则R为一个阶数为q=p-1的上三角阵，且满足R'R=X(1:q,1:q)。
(1) LU分解
A是非奇异的，LU分解总是可以进行的。
[L,U]=lu(X)：产生一个上三角阵U和一个变换形式的下三角阵L(行交换)，矩阵X必须是方阵。
[L,U,P]=lu(X)：产生一个上三角阵U和一个下三角阵L以及一个置换矩阵P，使之满足PX=LU。矩阵X必须是方阵。
实现LU分解后，线性方程组Ax=b的解x=U\(L\b)或x=U\(L\Pb)，这样可以大大提高运算速度。
R=chol(A)
??? Error using ==> chol
Matrix must be positive definite
命令执行时，出现错误信息，说明A为非正定矩阵。
在MATLAB中，计算矩阵A的特征值和特征向量的函数是eig(A)，常用的调用格式有
5种：
(1) E=eig(A)：求矩阵A的全部特征值，构成向量E。
[Q,R,E]=qr(X)：产生一个一个正交矩阵Q、一个上三角矩阵R以及一个置换矩阵E，使之满足XE=QR。
实现QR分解后，线性方程组Ax=b的解x=R\(Q\b)或x=E(R\(Q\b))。
例7-3 用QR分解求解例7-1中的线性方程组。
命令如下：
A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4];
。
(5) [V,D]=eig(A,B)：由eig(A,B)返回方阵A和B的N个广义特征值，构成N×N阶对
角阵D，其对角线上的N个元素即为相应的广义特征值，同时将返回相应的特征向
量构成N×N阶满秩矩阵，且满足AV=BVD。
b=[13,-9,6,0]';
[Q,R]=qr(A);
x=R\(Q\b)
或采用QR分解的第2种格式，命令如下：
[Q,R,E]=qr(A);
x=E*(R\(Q\b))
(3) Cholesky分解
如果矩阵X是对称正定的，则Cholesky分解将矩阵X分解成一个下三角矩阵和上三角矩阵的乘积。设上三角矩阵为R，则下三角矩阵为其转置，即X=R'R。MATLAB函数chol(X)用于对矩阵X进行Cholesky分解，其调用格式为：
实现Cholesky分解后，线性方程组Ax=b变成R‘Rx=b，所以x=R\(R’\b)。
例7-4 用Cholesky分解求解例7-1中的线性方程组。
命令如下：
A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4];
b=[13,-9,6,0]';
x=U\(L\P*b)
(2) QR分解
对矩阵X进行QR分解，就是把X分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积形式。QR分解只能对方阵进行。MATLAB的函数qr可用于对矩阵进行QR分解，其调用格式为：
[Q,R]=qr(X)：产生一个一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R，使之满足X=QR。
例7-2 用LU分解求解例7-1中的线性方程组。
命令如下：
A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4];
b=[13,-9,6,0]';
[L,U]=lu(A);
x=U\(L\b)
或采用LU分解的第2种格式，命令如下：
[L,U ,P]=lu(A);