matlab实验十四__特征值和特征向量
数值方法课程设计幂法反幂法计算矩阵特征值和特征向量-附Matlab程序
矩阵的特征值与特征向量的计算摘要物理，力学，工程技术中的很多问题在数学上都归结于求矩阵特征值的问题，例如振动问题（桥梁的振动，机械的振动，电磁振动等）、物理学中某些临界值的确定问题以及理论物理中的一些问题。
矩阵特征值的计算在矩阵计算中是一个很重要的部分，本文使用幂法和反幂法分别求矩阵的按模最大，按模最小特征向量及对应的特征值。
幂法是一种计算矩阵主特征值的一种迭代法，它最大的优点是方法简单，对于稀疏矩阵比较合适，但有时收敛速度很慢。
其基本思想是任取一个非零的初始向量。
由所求矩阵构造一向量序列。
再通过所构造的向量序列求出特征值和特征向量。
反幂法用来计算矩阵按模最小特征向量及其特征值，及计算对应于一个给定近似特征值的特征向量。
本文中主要使用反幂法计算一个矩阵的按模最小特征向量及其对应的特征值。
计算矩阵按模最小特征向量的基本思想是将其转化为求逆矩阵的按模最大特征向量。
然后通过这个按模最大的特征向量反推出原矩阵的按模最小特征向量。
关键词：矩阵；特征值；特征向量；冥法；反冥法THE CALCULATIONS OF EIGENVALUE AND EIGENVECTOR OF MATRIXABSTRACTPhysics, mechanics, engineering technology in a lot of problems in mathematics are attributed to matrix eigenvalue problem, such as vibration (vibration of the bridge, mechanical vibration, electromagnetic vibration, etc.) in physics, some critical values determine problems and theoretical physics in some of the problems. Matrix eigenvalue calculation is a very important part in matrix computation. In this paper, we use the power method and inverse power method to calculate the maximum of the matrix, according to the minimum characteristic vector and the corresponding characteristic value.Power method is an iterative method to calculate the eigenvalues of a matrix. It has the advantage that the method is simple and suitable for sparse matrices, but sometimes the convergence rate is very slow. The basic idea is to take a non - zero initial vector. Construct a vector sequence from the matrix of the matrix. Then the eigenvalues and eigenvectors are obtained by using the constructed vector sequence.The inverse power method is used to calculate the minimum feature vectorsand their eigenvalues of the matrix, and to calculate the eigenvalues of the matrix. In this paper, we use the inverse power method to calculate the minimum eigenvalue of a matrix and its corresponding eigenvalues. The basic idea of calculating the minimum characteristic vector of a matrix is to transform it to the maximum characteristic vector of the modulus of the inverse matrix. Then, according to the model, the minimum feature vector of the original matrix is introduced.Key words: Matrix；Eigenvalue；Eigenvector；Iteration methods;目录1 引言 (1)2 相关定理。
MATLAB实验报告
MATLAB实验报告一、实验目的本次 MATLAB 实验旨在深入了解和掌握 MATLAB 软件的基本操作和应用，通过实际编程和数据处理，提高解决问题的能力，培养编程思维和逻辑分析能力。
二、实验环境本次实验使用的是 MATLAB R2020a 版本，运行在 Windows 10 操作系统上。
计算机配置为英特尔酷睿 i5 处理器，8GB 内存。
三、实验内容（一）矩阵运算1、矩阵的创建使用直接输入、函数生成和从外部文件导入等方式创建矩阵。
例如，通过｀1 2 3; 4 5 6; 7 8 9` 直接输入创建一个 3 行 3 列的矩阵；使用｀ones(3,3)｀函数创建一个 3 行 3 列元素全为 1 的矩阵。
2、矩阵的基本运算包括矩阵的加减乘除、求逆、转置等。
例如，对于两个相同维度的矩阵｀A` 和｀B` ，可以进行加法运算｀C ＝ A ＋ B` 。
3、矩阵的特征值和特征向量计算通过｀eig` 函数计算矩阵的特征值和特征向量，加深对线性代数知识的理解和应用。
（二）函数编写1、自定义函数使用｀function` 关键字定义自己的函数，例如编写一个计算两个数之和的函数｀function s ＝ add(a,b) s ＝ a ＋ b; end` 。
2、函数的调用在主程序中调用自定义函数，并传递参数进行计算。
3、函数的参数传递了解值传递和引用传递的区别，以及如何根据实际需求选择合适的参数传递方式。
（三）绘图功能1、二维图形绘制使用｀plot` 函数绘制简单的折线图、曲线等，如｀x ＝ 0:01:2pi; y ＝ sin(x)； plot(x,y)｀绘制正弦曲线。
2、图形的修饰通过设置坐标轴范围、标题、标签、线条颜色和样式等属性，使图形更加清晰和美观。
3、三维图形绘制尝试使用｀mesh` 、｀surf` 等函数绘制三维图形，如绘制一个球面｀x,y,z ＝ sphere(50)； surf(x,y,z)｀。
（四）数据处理与分析1、数据的读取和写入使用｀load` 和｀save` 函数从外部文件读取数据和将数据保存到文件中。
信号特征值matlab
信号特征值matlab摘要：1.信号特征值的基本概念2.信号特征值在MATLAB 中的计算方法3.MATLAB 中信号特征值计算的示例4.信号特征值在信号处理中的应用正文：信号特征值是信号处理中的一个重要概念，它描述了信号的某些特性。
在MATLAB 中，我们可以通过各种函数来计算信号特征值，从而进一步分析信号的特性。
首先，我们需要了解什么是信号特征值。
信号特征值是信号的一组特性值，它可以通过对信号进行变换得到。
在实际应用中，我们通常关心信号的频率特性，因此会使用傅里叶变换、小波变换等方法来计算信号的特征值。
在MATLAB 中，我们可以使用如下方法来计算信号特征值：1.使用MATLAB 内置函数计算特征值。
例如，对于一个信号x，我们可以使用`eig(x)`函数计算其特征值。
2.使用MATLAB 的傅里叶变换函数计算特征值。
例如，对于一个信号x，我们可以使用`fft`函数计算其傅里叶变换，然后通过观察变换结果得到信号的特征值。
3.使用MATLAB 的小波变换函数计算特征值。
例如，对于一个信号x，我们可以使用`wavedec`函数计算其小波分解，然后通过观察分解结果得到信号的特征值。
下面我们通过一个简单的示例来演示如何在MATLAB 中计算信号特征值：```matlab% 生成一个信号x = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10];% 使用MATLAB 内置函数计算信号的特征值[特征值，特征向量] = eig(x);% 输出特征值和特征向量disp("特征值：");disp(特征值);disp("特征向量：");disp(特征向量);```信号特征值在信号处理中有广泛的应用，例如在信号滤波、信号识别、信号压缩等方面。
通过计算信号特征值，我们可以更好地理解信号的特性，从而设计出更有效的信号处理算法。
总之，MATLAB 为信号特征值的计算提供了丰富的函数和方法，使得我们能够方便地分析和处理信号。
第10章MATLAB特征值与特征向量的计算实例解析
• A=[9 2 1 2 2;2 4 3 3 3;1 3 7 3 4;2 3 3 5 4;2 3 4 4 5];
• chol_test(A)
• B运=[行16结17果9：12 12;17 12 12 2 18;9 12 18 7 13;12 2 7 18 12;12 18 13 12 10];
• chCo=l_test(B)
k1 k2
m1
k2 m2
0
0
k2 m1 k2 k3 m2 k3 m3
0
0
k3 m2 k3 k4 m3 k4 m4
0
0
f1
f1
f2
2
f2
k4 m3
f3 f4
f3
f4
k4
m4
• 即2为上述系数矩阵的特征值。
• 若给定如下条件则可以编写程序example_10_10.m。
运行结果： x_nlimit =
即当n 时，
an
a0
1 2
b0 , bn
0, cn
c0
1 2
b0
a0 + b0/2
0
后代仅具有基因AA和aa。
b0/2 + c0
二、常染色体隐性病模型
1
M
=
0
1/ 2 1/ 2
最终隐性患者消失， 全部均为显性患者。
三、X—链遗传模型
X—链遗传是指雄性具有一个基因A或a，雌性具有两个基因AA或Aa或aa。其遗 传规律是雄性后代以相等概率得到母体两个基因中的一个，雌性后代从父体中 得到一个基因，并从母体的两个基因中等可能地得到一个。
2 4 6
【例10-1】给定矩阵
A
3
9
matlab用规范化乘幂法求以下矩阵的按模最大特征值及其特征向量
竭诚为您提供优质文档/双击可除matlab用规范化乘幂法求以下矩阵的按模最大特征值及其特征向量篇一：幂法,反幂法求解矩阵最大最小特征值及其对应的特征向量数值计算解矩阵的按模最大最小特征值及对应的特征向量一.幂法1.幂法简介：当矩阵a满足一定条件时，在工程中可用幂法计算其主特征值(按模最大)及其特征向量。
矩阵a需要满足的条件为：(1)|1||2|...|n|0,i为a的特征值xn(2)存在n个线性无关的特征向量，设为x1,x2,...,1.1计算过程：n对任意向量x，有x(0)(0)iui,i不全为0，则有i1x(k1)ax(k)...ak1x(0)aαiuiαiλik1uik1i1i1nnnk12k1λ1u1()a2u2()anun11k111u1k112|越小时，收敛越快；且当k充分大时，有可见，当|1 (k1)k111u1x(k1)x(k1)(k)x1(k)，对应的特征向量即是。
kxx11u12算法实现(1).输入矩阵a，初始向量x，误差限,最大迭代次数n(2).k1,0;y(k)x(k)max(abs(x(k))(3).计算xay,max(x);(4).若||,输出,y,否则,转(5)(5).若kn,置kk1,,转3,否则输出失败信息,停机.3matlab程序代码function[t,y]=lpowera,x0,eps,n)%t为所求特征值，y 是对应特征向量k=1;z=0;%z相当于y=x0./max(abs(x0));%规范化初始向量x=a*y;%迭代格式b=max(x);%b相当于ifabs(z-b) t=max(x);return;endwhileabs(z-b)>epsz=b;y=x./max(abs(x));x=a*y;b=max(x);end[m,index]=max(a(matlab用规范化乘幂法求以下矩阵的按模最大特征值及其特征向量)bs(x));%这两步保证取出来的按模最大特征值t=x(index);%是原值，而非其绝对值。
东北林业大学机电工程学院电气matlab实验内容答案
实验一 MATLAB 运算基础1.先求下列表达式的值，然后显示MA TLAB 工作空间的使用情况并保存全部变量。
（1）22sin8511z e ︒=+ clear ；z1=2*sin(85/180*pi)/(1+exp(2))（2）12ln(2z x =+，其中2120.455i +⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦clear ；x=[2,1+2*i;-0.45,5];z2=log(x+sqrt(1+x^2))/2（3）0.30.33sin(0.3), 3.0, 2.9, 2.8,,2.8,2.9,3.02a ae e z a a --=+=--- clear ；a=(-3:0.1:3);z3=((exp(0.3*a)-exp(-0.3*a))/2).*sin(a+0.3)（4）2220141122123t t z t t t t t ⎧≤<⎪=-≤<⎨⎪--≤<⎩，其中t ＝0：0.5：2.5clear for t=0:0.5:2.5 if t>=0 & t<1 z4=t^2elseif t>=1 & t<2 z4=t^2-1 else z4=t^2-2*t-1 end end 2.已知12344347873657A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，131203327B -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦求下列表达式的值：（1） A+6=B 和A-B+I(其中I 为单位矩阵)。
（2） A*B 和A.*B 。
（3） A^3和A^.3 。
（4） A/B 和B\A 。
（5）[A ，B]和[A([1,3],;);B^2] 。
clearA=[12,34,-4;34,7,87;3,65,7]; B=[1,3,-1;2,0,3;3,-2,7]; Z1=A+6*B I=eye(3,3) Z11=A-B+IZ21=A.*B % The second A^3 % The third A.^3A/B % The forth B\A[A,B] % The fifth [A([1,3],:);B^2] 3.设有矩阵A 和B12345678910111213141516171819202122232425A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 30161769023497041311B ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（1） 求它们的乘积C 。
用MATLAB做线性代数实验
【2】参数方程解的判别 【注意】 ：含有参数情况的线性方程组的解的情况讨论，不能直接使用 Matlab 中 的函数：rank,rref,因为 Matlab 会默认这些参数及其表达式不等于零。因此，应 该编写独立的过程加以讨论。 试就参数 s 的各种情况，讨论下述线性方程组的解的情况：
sx y z 1 x sy z s 。 2 x y sz s
p1 ( x ) q( x ) p2 ( x ) r ( x ) , d (r ( x )) d ( p2 ( x ))
例如，求多项式 f ( x ) x 3 6 x 2 11 x 6 , g( x ) x 5 2 x 2 1 的最大公因式和最小公倍 式。 p=[1 -6 11 -6]; q=[1 0 0 -2 0 1]; [q1,r1]=deconv(q,p) [q2,r2]=deconv(p,r1(4:6)) %注意保证第一个分量不能为零 [q3,r3]=deconv(r1(4:6),r2(3:4))
x2 x3 2 x2 3 x 2
分解为最简分式之和的程序如下：
-0.5000 - 1.3229i -1.0000 r = [] 结果表示出来即是：
f ( x)
如果是在实数范围内分解：
0.25 0.4725 i x 0.51.3229 i
0.25 0.4725 i x 0.51.3229 i
用 MATLAB 做线性代数实验
1. 多项式运算
【1】表示方法与根 表示方法：降幂，向量形式. 例如， p( x ) 2 x x 3 x5 被表示为向量 p=[-1 0 1 0 2 0] 而不是 p=[0 2 0 1 0 -1] 或者 p=[2 1 -1]. 相关 MATLAB 函数 函数名 含义 %注意保证第一个分量不能为零
自学MATLAB(四)特征值与特征向量
自学MATLAB（四）特征值与特征向量特征值与特征向量在线性代数中占据着重要的地位，也是MATLAB中常用的计算工具。
特征值和特征向量能够帮助我们理解矩阵的性质以及解决许多实际问题。
特征值和特征向量的概念可以通过以下方式来理解：对于一个n维矩阵A，如果存在一个非零向量x，使得Ax与x平行，即Ax=λx，其中λ是一个实数，则称λ为矩阵A的特征值，x为矩阵A对应于特征值λ的特征向量。
在MATLAB中，我们可以使用“eig”函数来计算一个矩阵的特征值和特征向量。
下面是一个简单的例子：```matlabA=[42;13];[V, D] = eig(A)```上述代码中，我们定义了一个2x2的矩阵A，然后使用“eig”函数来计算矩阵A的特征值和特征向量。
函数返回的结果V是一个包含特征向量的矩阵，D是一个对角矩阵，对角线上的元素就是矩阵A的特征值。
除了使用“eig”函数，MATLAB还提供了其他一些函数来进行特征值和特征向量的计算，比如“eigs”函数可以用来计算稀疏矩阵的特征值和特征向量。
```matlabdata = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];[coeff, score, latent, explained] = pca(data);```上述代码中，我们定义了一个3x3的矩阵data，然后使用“pca”函数对data进行降维操作。
函数返回的结果coeff是一个包含特征向量的矩阵，score是降维后的数据，latent是降维后的数据的特征值，explained是解释每个主成分方差的百分比。
除了PCA，特征值和特征向量还可以应用于图像处理、信号处理、机器学习等领域。
比如在图像处理中，特征向量可以表示图像的主要特征，特征值可以用来度量特征的重要性。
总结来说，特征值和特征向量是线性代数中的重要概念，也是MATLAB中常用的计算工具。
MATLAB提供了丰富的函数来进行特征值和特征向量的计算，并且特征值和特征向量在实际问题中有着广泛的应用。
matlab里eig计算特征值和特征向量算法
matlab里eig计算特征值和特征向量算法在MATLAB中，可以使用eig函数来计算矩阵的特征值和特征向量。
eig是eigenvalue的缩写，意味着计算特征值的函数。
特征值和特征向量是矩阵分析中的重要概念，它们描述了矩阵在线性变换下的行为。
特征值是一个标量，特征向量是一个非零向量。
特征向量表示在矩阵所表示的线性变换下不变的方向。
特征值表示该特征向量方向上的缩放因子。
使用eig函数可以计算方阵的特征值。
下面是eig函数的使用方法：[V, D] = eig(A)其中，A是一个n×n维的方阵，V是一个n×n维的正交矩阵，D是一个n×n维的对角矩阵，其对角线上的元素是A的特征值。
特征值和特征向量有很多重要的应用。
其中一个重要的应用是在线性代数中求解线性方程组。
通过求解一个方阵的特征值和特征向量，可以将一个复杂的线性方程组转化为一系列简单的线性方程组。
此外，特征值和特征向量也在图像处理、信号处理和机器学习中被广泛使用。
特征值分解是一种将方阵分解为特征值和特征向量的方法。
在Matlab的eig函数中，采用了一种称为QR算法的迭代方法来计算特征值和特征向量。
QR算法是一种迭代算法，它在每一步中，通过正交相似变换将矩阵变换为Hessenberg矩阵（上三角阵），然后再通过正交相似变换将Hessenberg矩阵变换为Schur矩阵（上三角矩阵）。
在这个过程中，特征值和特征向量逐步被计算出来。
特征值的计算需要花费大量的计算资源和时间。
对于大型矩阵，计算特征值变得非常困难。
在这种情况下，通常采用其他方法，例如迭代方法、近似方法或者特征值分解的近似算法（例如奇异值分解）来计算特征值和特征向量。
除了eig函数，MATLAB还提供了其他用于计算特征值和特征向量的函数，例如eigs函数用于计算大规模矩阵的特征值和特征向量，svd函数用于进行奇异值分解，对于非对称矩阵，还可以使用schur函数进行特征值计算。
matlab求矩阵的特征值与特征向量
matlab求矩阵的特征值与特征向量在MATLAB中，我们可以使用eig函数来计算矩阵的特征值和特征向量。
这个函数会返回一个包含特征值的对角矩阵，以及一个特征向量矩阵。
对角矩阵的对角线元素就是特征值，而特征向量矩阵的列就是相应的特征向量。
% 定义一个3x3矩阵A = [4 1 0; 2 3 4; 0 0 5];% 使用eig函数计算特征值和特征向量[V,D] = eig(A);% V是特征向量矩阵，D是特征值对角矩阵，对角线元素是特征值在这个例子中，A是一个3x3矩阵，我们使用eig函数来计算它的特征值和特征向量。
返回的结果中，V是一个3x3矩阵，包含了对应的特征向量，而D是一个3x3的对角矩阵，其对角线元素就是特征值。
注意，V的列是对应的特征向量。
例如，如果我们要获取第一个特征向量，我们可以这样做：first_eigenvector = V(:,1);同样地，D的对角线元素是对应的特征值。
例如，如果我们要获取第一个特征值，我们可以这样做：first_eigenvalue = D(1,1);为了更好地理解这个过程，我们可以画出特征向量的图形。
例如，如果我们有一个二维矩阵，我们可以这样画出它的特征向量：% 假设A是一个2x2矩阵A = [4 1; 2 3];[V,D] = eig(A);% 取前两个特征向量eigenvectors = V(:,1:2);% 画出这两个特征向量figure; hold on;plot(eigenvectors(1,:),eigenvectors(2,:),'ro-');xlabel('Eigenvector 1'); ylabel('Eigenvector 2');title('Eigenvectors of A');hold off;在这个例子中，我们取了A的前两个特征向量，并画出了它们。
注意，因为这是二维空间，所以每个特征向量都有两个分量。
线性代数的MATLAB软件实验报告
线性代数的MATLAB 软件实验一、实验目的1.熟悉矩阵代数主要MATLAB 指令。
2.掌握矩阵的转置、加、减、乘、除、乘方、除法等MATLAB 运算。
3.掌握特殊矩阵的MATLAB 生成。
4.掌握MATLAB 的矩阵处理方法。
5.掌握MATLAB 的矩阵分析方法。
6.掌握矩阵的特征值与标准形的MATLAB 验算。
7.掌握线性方程组的MATLAB 求解算法。
二、实验原理1.线性方程组 【基本观点】自然科学和工程实践很多问题的解决都涉及线性代数方程组的求解和矩阵运算.一方面，许多问题的数学模型本身就是一个线性方程组，例如结构应力分析问题、电子传输网分析问题和投入产出分析问题；另一方面，有些数值计算方法导致线性方程组求解，如数据拟合，非线性方程组求解和偏微分方程组数值解等.n 个未知量m 个方程的线性方程组一般形式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++.,,22112222212111212111m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a (3.1) 令,,,2121212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=m n mn m m n n b b b b x x x x a a a a a aa a a A则得矩阵形式Ax=b. (3.2)若右端b=0,即Ax=0, (3.3)则称方程组为齐次的.方程组（3.1）可能有唯一解，可能有无穷多解，也可能无解，主要取决于系数矩阵A 及增广矩阵（A,b ）的秩.若秩（A ）=秩（A,b ）=n,存在唯一解，其解理论上用Cramer 法则求出，但由于这种方法要计算n+1个n 阶行列式，计算量太大通常并不采用；若秩（A ）=秩（A,b ）<n,存在无穷多解，其通解可表示为对应齐次方程组（3.3）的一个基础解系与（3.2）的一个特解的叠加；若秩（A ）≠秩（A,b ），则无解，这时一般寻求最小二乘近似解，即求x 使向量Ax-b 模最小.P50矩阵左除的数学思维:恒等变形Ax=b 方程两边的左边同时除以A ，得：b AAx A11=，即：b A b Ax 11-==MATLAB 的实现（左除）：x=A\b 2.逆矩阵 【基本观点】方阵A 称为可逆的，如果存在方阵B ，使 AB=BA=E,这里E 表示单位阵.并称B 为A 的逆矩阵，记B=1-A .方阵A 可逆的充分必要条件是A 的行列式det A ≠0.求逆矩阵理论上的公式为*1det 1A AA =-， (3.4)这里*A 为A 的伴随矩阵.利用逆矩阵，当A 可逆时，（3.2）的解可表示为b A x 1-=.由于公式（3.4）涉及大量行列式计算，数值计算不采用.求逆矩阵的数值算法一般是基于矩阵分解的方法.3.特征值与特征向量 【基本观点】对于方阵A ，若存在数λ和非零向量x ，使,x Ax λ= (3.5) 则称λ为A 的一个特征值，x 为A 的一个对应于特征值λ的特征向量.特征值计算归结为特征多项式的求根.对于n 阶实数方阵，特征多项式在复数范围内总有n 个根。
matlab实验内容答案解析
实验报告说明：matlab 课程实验需撰写8个实验报告，每个实验报告内容写每次实验内容中标号呈黑体大号字显示的题目。
第一次实验内容：实验一 MATLAB 运算基础一、实验目的1.熟悉启动和退出MATLAB 的方法。
2.熟悉MATLAB 命令窗口的组成。
3.掌握建立矩阵的方法。
4.掌握MATLAB 各种表达式的书写规则以及常用函数的使用。
二、实验内容1.先求下列表达式的值，然后显示MATLAB 工作空间的使用情况并保存全部变量。
（1）22sin 8511z e ︒=+（2）12ln(2z x =，其中2120.455i +⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦（3）0.30.33sin(0.3), 3.0, 2.9, 2.8,,2.8,2.9,3.02a ae e z a a --=+=---提示：利用冒号表达式生成a 向量，求各点的函数值时用点乘运算。
（4）2220141122123t t z t t t t t ⎧≤<⎪=-≤<⎨⎪--≤<⎩，其中t ＝0：0.5：2.5 提示：用逻辑表达式求分段函数值。
2.已知12344347873657A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，131203327B -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦求下列表达式的值：（1） A+6=B 和A-B+I(其中I 为单位矩阵)。
（2） A*B 和A.*B 。
（3） A^3和A^.3 。
（4） A/B 和B\A 。
（5）[A ，B]和[A([1,3],;);B^2] 。
3.设有矩阵A 和B12345678910111213141516171819202122232425A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 30161769023497041311B ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（1） 求它们的乘积C 。
（2） 将矩阵C 的右下角3×2子矩阵赋给D （3） 查看MATLAB 工作空间使用情况。
4.完成下列操作：（1）求[100，999]之间能被21整除的数的个数。
MATLAB 课后实验答案
实验一 MATLAB 运算基础1. 先求下列表达式的值，然后显示MATLAB 工作空间的使用情况并保存全部变量。
(1) 0122sin851z e =+ (2) 221ln(1)2z x x =++，其中2120.455i x +⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦(3) 0.30.330.3sin(0.3)ln , 3.0, 2.9,,2.9,3.022a a e e a z a a --+=++=--(4) 2242011122123t t z t t t t t ⎧≤<⎪=-≤<⎨⎪-+≤<⎩，其中t =0:0.5:2.5 解： M 文件:z1=2*sin(85*pi/180)/(1+exp(2))x=[2 1+2*i;-.45 5];z2=1/2*log(x+sqrt(1+x^2))a=-3.0:0.1:3.0;z3=(exp(0.3.*a)-exp(-0.3.*a))./2.*sin(a+0.3)+log((0.3+a)./2)t=0:0.5:2.5;z4=(t>=0&t<1).*(t.^2)+(t>=1&t<2).*(t.^2-1)+(t>=2&t<3) .*(t.^2-2*t+1) 运算结果：z1=2*sin(85*pi/180)/(1+exp(2))x=[2 1+2*i;-.45 5];z2=1/2*log(x+sqrt(1+x^2))a=-3.0:0.1:3.0;z3=(exp(0.3.*a)-exp(-0.3.*a))./2.*sin(a+0.3)+log((0.3+a)./2)t=0:0.5:2.5;z4=(t>=0&t<1).*(t.^2)+(t>=1&t<2).*(t.^2-1)+(t>=2&t<3) .*(t.^2-2*t+1)z1 =0.2375z2 =0.7114 - 0.0253i 0.8968 + 0.3658i0.2139 + 0.9343i 1.1541 - 0.0044iz3 =Columns 1 through 40.7388 + 3.1416i 0.7696 + 3.1416i 0.7871 + 3.1416i 0.7913 + 3.1416iColumns 5 through 80.7822 + 3.1416i 0.7602 + 3.1416i 0.7254 + 3.1416i 0.6784 + 3.1416iColumns 9 through 120.6196 + 3.1416i 0.5496 + 3.1416i 0.4688 + 3.1416i 0.3780 + 3.1416iColumns 13 through 160.2775 + 3.1416i 0.1680 + 3.1416i 0.0497 + 3.1416i -0.0771 + 3.1416iColumns 17 through 20-0.2124 + 3.1416i -0.3566 + 3.1416i -0.5104 + 3.1416i -0.6752 + 3.1416iColumns 21 through 24-0.8536 + 3.1416i -1.0497 + 3.1416i -1.2701 + 3.1416i -1.5271 + 3.1416iColumns 25 through 28-1.8436 + 3.1416i -2.2727 + 3.1416i -2.9837 + 3.1416i -37.0245 Columns 29 through 32-3.0017 -2.3085 -1.8971 -1.5978Columns 33 through 36-1.3575 -1.1531 -0.9723 -0.8083Columns 37 through 40-0.6567 -0.5151 -0.3819 -0.2561Columns 41 through 44-0.1374 -0.0255 0.0792 0.1766Columns 45 through 480.2663 0.3478 0.4206 0.4841Columns 49 through 520.5379 0.5815 0.6145 0.6366Columns 53 through 560.6474 0.6470 0.6351 0.6119Columns 57 through 600.5777 0.5327 0.47740.4126Column 610.3388z4 =0 0.2500 0 1.2500 1.0000 2.2500 2. 已知：求下列表达式的值：(1) A+6*B和A-B+I（其中I为单位矩阵）(2) A*B和A.*B(3) A^3和A.^3(4) A/B及B\A(5) [A,B]和[A([1,3],:);B^2]解：M 文件：A=[12 34 -4;34 7 87;3 65 7];B=[1 3 -1;2 0 3;3 -2 7]; A+6.*BA-B+eye(3)A*BA.*BA^3A.^3A/BB\A[A,B][A([1,3],:);B^2]运算结果：A=[12 34 -4;34 7 87;3 65 7];B=[1 3 -1;2 0 3;3 -2 7]; A+6.*BA-B+eye(3)A*BA.*BA^3A.^3A/BB\A[A,B][A([1,3],:);B^2]ans =18 52 -1046 7 10521 53 49ans =12 31 -332 8 840 67 1ans =68 44 62309 -72 596154 -5 241ans =12 102 468 0 2619 -130 49ans =37226 233824 48604247370 149188 60076678688 454142 118820 ans =1728 39304 -6439304 343 65850327 274625 343 ans =16.4000 -13.6000 7.600035.8000 -76.2000 50.200067.0000 -134.0000 68.0000109.4000 -131.2000 322.8000-53.0000 85.0000 -171.0000-61.6000 89.8000 -186.2000ans =12 34 -4 1 3 -134 7 87 2 0 33 65 7 3 -2 7ans =12 34 -43 65 74 5 111 0 1920 -5 403. 设有矩阵A和B(1) 求它们的乘积C。
特征值与特征向量算法的研究
特征值与特征向量算法的研究摘要：目前在很多科学领域中进行研究时，问题常会转化成特征值与特征向量的求解。
本文就求解特征值、特征向量的几个重要的算法作出了研究。
如：幂法，反幂法，QR算法，Jacobi迭代法等。
讨论了各算法的原理及各算法在MATLAB中的运行情况，从而比较出在面对不同性质的矩阵时每个算法都各有千秋。
幂法计算简单，特别适用于高阶稀疏矩阵，但其收敛速度较慢，要想加快幂法的收敛速度可采用反幂法及位移技术。
QR方法被人们称为数值数学，最值得注意的算法之一，它是目前求任意矩阵全部特征值和特征向量最有效的方法。
Jacobi方法是古典方法，它收敛快，精度高，便于并行计算且算法稳定。
但比较适用于求低阶的对称矩阵的全部特征值和特征向量。
关键词：特征值特征向量幂法 QR算法雅可比算法Abstract:At present While carrying on research in a lot of scientific fields，the questions often change into how to solve the eigenvalue and eigenvector. The degree paper do research in some important arithmetic on eigenvalue and eigenvector, such as power method, inverse power method, QR arithmetic and Jacobi arithmetic etc. In this paper, we discuss the theory of arithmetic, also including how to use them in the MATLAB. Then we can come to the conclusion that the power method is easy to run, it is fit to sparse matrix, but the speed is too slow! If you want to speed the rate of convergence, you can use inverse power method. QR is diffused as numerical mathematics, one of the noteworthiness arithmetic; it is the best arithmetic which can solve all eigenvalue and eigenvector of any matrix. Jacobin arithmetic is a classicality, the rate of convergence is fast, and the precision are high too. It is easy to parallel calculate, and the result is steady but it is fit to calculate all eigenvalue and eigenvector of symmetric matrix.Keywords:Eigenvalue eigenvector power method QR arithmetic Jacobin arithmetic目录摘要 (1)1绪论1．1问题提出与研究的目的和意义 (3)1．2国内外研究现状 (3)1．3论文结构与研究方法 (3)1．4论文使用的软件环境 (4)2 MATLAB语言及其在数值计算方面应用的简介 (4)2．1幂法 (4)2．2反幂法 (6)2．3移位反幂法 (8)2．4 QR算法 (10)2．5雅可比（Jacobi）迭代法 (12)3记单侧旋转法的对称矩阵特征值的求法 (16)4几种算法的比较 (16)5 MATLAB计算仿真结果 (17)在MATLAB中用幂法求其特征值与特征向量 (17)6尚待深入研究的问题 (17)参考文献 (18)致谢 (18)一、绪论1.1问题提出与研究的目的和意义代数特征值问题是数值代数的一个重要研究领域。
用matlab求特征值和特征向量的命令
用matlab求特征值和特征向量的命令MATLAB是一种强大的数学软件工具，可以用来进行特征值与特征向量的计算与研究。
特征值和特征向量是矩阵理论中的重要概念，对于许多实际问题的求解和分析具有重要的指导意义。
特征值可以理解为一个矩阵在线性变换下的伸缩比例，而特征向量则是在该伸缩变换下保持方向不变的向量。
通过计算特征值和特征向量，我们可以获得有关矩阵本质特性的重要信息，比如矩阵图像压缩、物理系统的模态分析等。
在MATLAB中，计算特征值和特征向量非常简单。
我们可以使用eig函数来进行求解。
假设我们有一个矩阵A，可以使用以下命令求解其特征值和特征向量：[eigen_vectors, eigen_values] = eig(A);其中，eigen_vectors是一个包含A的特征向量的矩阵，每一列是一个特征向量；eigen_values是一个包含A的特征值的对角矩阵，其中对角线上的元素就是特征值。
通过计算得到的特征向量可以用来描述矩阵A的变换过程中的方向性质，而特征值则描述了对应的变换过程中的伸缩比例。
特征向量可以看作是矩阵A对某个方向的影响，而特征值则表示在该方向上的伸缩程度。
除了通过eig函数，MATLAB还提供了其他一些函数用于特征值和特征向量的计算与分析。
例如，svd函数可以求解奇异值分解，也可以用于特征值与特征向量的估计；eigs函数用于计算稀疏矩阵的特征值与特征向量等。
在实际应用中，特征值和特征向量的求解对于理解和优化许多问题具有重要意义。
例如，在电力系统中，特征值与特征向量可以用来分析系统的振荡模态以及稳定性；在人脸识别中，特征值与特征向量可以用于提取人脸图像的最具代表性的特征，从而实现人脸的自动识别。
总而言之，特征值与特征向量是矩阵理论中的重要概念，能够帮助我们揭示矩阵的本质特性。
MATLAB提供了简单且强大的工具来计算和分析特征值与特征向量。
通过深入研究和应用这些概念，我们可以更好地理解和解决各种实际问题。
matlab幂法求特征值和特征向量方法实现和函数表示
matlab幂法求特征值和特征向量方法实现和函数表示1. 引言在数值分析中，求解特征值和特征向量是一项重要而且经常出现的任务。
特征值和特征向量在矩阵和线性代数中有着广泛的应用，涉及到许多领域，如机器学习、信号处理、结构动力学等。
在matlab中，幂法是一种常用的求解特征值和特征向量的方法，同时也有对应的函数可以实现这一过程。
2. 幂法的原理幂法是一种迭代方法，它利用矩阵的特征值和特征向量的性质，通过不断地迭代计算，逼近矩阵的主特征值和对应的特征向量。
具体来说，假设A是一个n阶矩阵，它的特征值λ1>λ2≥...≥λn，并且对应着线性无关的特征向量v1,v2,...,vn。
如果选择一个任意的非零初始向量x0，并进行以下迭代计算：```x(k+1) = Ax(k) / ||Ax(k)||```其中，||.||表示向量的模长。
不断迭代计算后，x(k)将收敛到矩阵A的主特征向量v1上，并且相应的特征值即为A的主特征值λ1。
3. matlab实现幂法求解特征值和特征向量在matlab中，幂法的实现也非常简单。
可以使用自带的eig函数，该函数可以直接求解矩阵的特征值和特征向量。
使用方法如下：```[V,D] = eig(A)```其中，A为待求解的矩阵，V为特征向量矩阵，D为特征值矩阵。
利用eig函数，即可一步到位地求解矩阵的特征值和特征向量，非常简单方便。
4. 函数表示幂法求解特征值和特征向量的过程可以表示为一个matlab函数。
通过封装相关的迭代算法和收敛判据，可以方便地实现幂法的函数表示。
可以定义一个名为powerMethod的函数：```matlabfunction [lambda, v] = powerMethod(A, x0, maxIter, tol)% 初始化k = 1;x = x0;% 迭代计算while k <= maxItery = A * x;lambda = norm(y, inf);x = y / lambda;% 检查收敛性if norm(A * x - lambda * x) < tolbreak;endk = k + 1;endv = x;end```利用这个函数，就可以自己实现幂法求解特征值和特征向量的过程。
matlab-实习报告
MATLAB实习报告这学期进行了MATLAB的实习，在为期几天的实习中，大家实习了MATLAB基本操作、值数组及其运算、ATLAB图形绘制基础和SIMULINK仿真基础。
同时通过这些也了解了MATLAB的基本情况和它的众多优点。
一、MATLAB的基本情况和优点MATLAB是主要面对科学计算、可视化以及交互式程序设计的高科技计算环境。
它将数值分析、矩阵计算、科学数据可视化以及非线性动态系统的建模和仿真等诸多强大功能集成在一个易于使用的视窗环境中，为科学研究、工程设计以及必须进行有效数值计算的众多科学领域提供了一种全面的解决方案，并在很大程度上摆脱了传统非交互式程序设计语言（如C、Fortran）的编辑模式，代表了当今国际科学计算软件的先进水平。
MATLAB和Mathematica、Maple并称为三大数学软件。
它在数学类科技应用软件中在数值计算方面首屈一指。
MATLAB可以进行矩阵运算、绘制函数和数据、实现算法、创建用户界面、连接其他编程语言的程序等，主要应用于工程计算、控制设计、信号处理与通讯、图像处理、信号检测、金融建模设计与分析等领域。
MATLAB的基本数据单位是矩阵，它的指令表达式与数学、工程中常用的形式十分相似，故用MATLAB 来解算问题要比用C，FORTRAN等语言完成相同的事情简捷得多，并且MATLAB 也吸收了像Maple等软件的优点，使MATLAB成为一个强大的数学软件。
在新的版本中也加入了对C，FORTRAN，C++，JAVA的支持。
可以直接调用,用户也可以将自己编写的实用程序导入到MATLAB函数库中方便自己以后调用。
二、实习内容实习内容一： MATLAB基本操作实习内容二：数值数组及其运算实习内容三： MATLAB图形绘制基础实习内容四：SIMULINK仿真基础三、MATLAB实习过程1、掌握MATLAB操作过程1、进入MATLAB的开发环境。
方法一：点击桌面上的快捷方式或matlab\文件夹下的快捷方式图标。
关于matlab中的eig函数(求特征值和特征向量)
关于matlab中的eig函数（求特征值和特征向量）在MATLABxx，eig用途：Find eigenvalues（特征值）and eigenvectors（特征向量），常用的调用格式有5种：(1)E=eig(A)：求矩阵A的全部特征值，构成向量E。
（注意，第一列为对应第一个特征值的特征向量）(2)[V,D]=eig(A)：求矩阵A的全部特征值，构成对角阵D，并求A的特征向量构成V的全部列向量。
(3) [V,D]=eig(A,'nobalance')：与第2种格式类似，但第2种格式中先对A作相似变换后求矩阵A的特征值和特征向量，而格式3直接求矩阵A的特征值和特征向量。
(4)E=eig(A,B)：由eig(A,B)返回N×N阶方阵A和B的N个广义特征值，构成向量E。
(5)[V,D]=eig(A,B)：由eig(A,B)返回方阵A和B的N个广义特征值，构成N×N阶对角阵D，其对角线上的N个元素即为相应的广义特征值，同时将返回相应的特征向量构成N×N阶满秩矩阵，且满足AV=BVD。
Syntax（句法）如下：d = eig(A)d = eig(A,B)[V,D] = eig(A)[V,D] = eig(A,'nobalance')[V,D] = eig(A,B)[V,D] = eig(A,B,flag)d = eig(A)和[V,D] = eig(A)最为常用注意，第一列为对应第一个特征值的特征向量，比如：B=rand(4)B =0.5653 0.7883 0.1365 0.97490.2034 0.5579 0.3574 0.65790.5070 0.1541 0.9648 0.08330.5373 0.7229 0.3223 0.3344>> [a,b]=eig(B) %求矩阵B的全部特征值，构成对角阵b，并求B的特征向量构成a的列向量。
matlab 正交且相互独立的特征向量
matlab 正交且相互独立的特征向量在MATLAB中，可以使用eig函数来计算一个矩阵的特征值和特征向量。
如果矩阵是正交且相互独立的，那么它的特征向量应该是正交的。
% 定义一个矩阵A = [1 2; 3 4];% 计算特征值和特征向量[V, D] = eig(A);% 验证特征向量是否正交if isOrthogonal(V)fprintf('特征向量是正交的\n');elsefprintf('特征向量不是正交的\n');end% 验证特征向量是否相互独立if isIndependent(V)fprintf('特征向量是相互独立的\n');elsefprintf('特征向量不是相互独立的\n');end% 辅助函数：检查矩阵是否正交function isOrthogonal(V)if size(V, 1) ~= size(V, 2) || ~isSquare(V) return false;endVt = V';return V * Vt == eye(size(V));end% 辅助函数：检查矩阵是否线性无关（即相互独立）function isIndependent(V)n = size(V, 1);return rank(V) == n;end在这个示例中，我们首先定义了一个2x2的矩阵A。
然后，我们使用eig函数计算A的特征值和特征向量，并将结果存储在V（特征向量）和D（特征值）中。
接下来，我们使用两个辅助函数来检查特征向量是否正交和相互独立。
最后，根据这些检查的结果，我们打印出相应的消息。
特征值与特征值的几何意义
对矩阵 A1，则存在（正、负）两个特征值，四个特征位置； 对矩阵 A2，存在四个特征位置（两个正特征值）； 对矩阵 A3，矩阵有一个特征值为零；
对矩阵 A4，矩阵没有实特征值 .
特征值与特征向量的定义
定义：若Ax x, A为n阶方阵，x 0，为数 则称为A的特征值，x称与对应的特征向量。
1 2 3 0 2
5 A 2
2
-1 2 1
2 2，B 1
2 3 0
2 1 1
1 3 2
1 2 4
0
1
2
2 0 1 2 5
MATLAB代码：
B=[5,-1,2;2,2,-1,1,0;3,-1,3,2,1;0,1,2,4,-2;2,0,1,-2,5];
[V,D]=eig(B)
MATLAB代码： B=[1,2,3,0,2;2,2,-2;2,-1,1];
几何意义：特征值 表示线性变换Ax在特征向量 x
方向上的放大(缩小)量。
用MATLAB求矩阵特征值和特征向量的方法
（1）r=eig(A),列向量r为矩阵A的特征值 （2）[V,D]=eig(A)，对角矩阵D的对角线元素为矩阵
A的特征值，矩阵V的列向量为矩阵A的特征向量。
例2.求矩阵的特征值与特征向量
[V,=eig(A)
THANKS
特征值与特征向量的几何意义
例1.已知矩阵
1 3
A1
2
5
1 2
A2 1
5
1 2 A3 2 4
2 1
A4 3
2
在MATLAB命令窗口输入：
A1=[-1,3;2,5];
eigshow(A1)
描述向量A1x随x的变换关系E10
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实验十四特征值和特征向量
【实验目的】
1.了解特征值和特征向量的基本概念。
2.了解奇异值分解的基本概念。
3.学习、掌握MATLAB软件有关命令。
【实验内容】
计算特征值和特征向量
【实验准备】
1.特征值和特征向量的基本概念
A是n n⨯矩阵，如果λ满足Ax xλ
=,则称λ是矩阵A的特征值，x 是矩阵A的特征向量。
如果A是实对称矩阵，则特征值为实数，否则，特制值为复数。
2.矩阵的奇异值分解
3.矩阵特征值、奇异值分解的MATLAB命令
MATLAB中主要用eig求矩阵的特征值和特征向量，用svd求矩阵的奇异值分解。
eig(A)计算矩阵A的特征值
[X，D]=eig(A) D的对角线元素是特征值，X是矩阵，它的列是相应的特征向量。
s=svd(A)假设矩阵A的行数大于列数，则s是矩阵A的n个奇异值构成的向量。
[U，S，D]=svd(A)U,S,D为矩阵A的奇异值分解三对组。
【实验重点】
1.特征值与特征向量的计算
2.矩阵的奇异值分解
【实验难点】
1.矩阵的奇异值分解
【实验方法与步骤】
练习1求矩阵
31
13
A
-
⎡⎤
=⎢⎥
-⎣⎦
的特征值和特征向量。
相应的MATLAB代码和计算结果为
A=[3-1；-1 3]
A=
3 -1
-1 3
eig(A) %A的特征值
ans=
4
2
[X,D]=eig(A) %D的对角线元素是特征值，X是矩阵X=
-0.7071 -0.7071
0.7071 -0.7071
D=
4 0
0 2
练习2求矩阵
23
45
84
A
⎡⎤
⎢⎥
=⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
的奇异值分解。
相应的MATLAB代码和计算结果为
A=[2 3；4 5；8 4]
A=
2 3
4 5
8 4
s=svd(A) %s是矩阵A的2个奇异值构成的向量s=
11.2889
2.5612
[U,S,V]=svd(A) %给出简洁方式的奇异值分解结果U=
0.3011 0.4694 -0.8301
0.5491 0.6263 0.5534
0.7796 -0.6224 -0.0692
S=
11.2889 0
0 2.5612
0 0
V=
0.8004 -0.5995
0.5995 0.8004
[U,S,V]=svd(A,0)
U=
0.3011 0.4694
0.5491 0.6263
0.7796 -0.6224
S=
11.2889 0
0 2.5612
V=
0.8004 -0.5995
0.5995 0.8004
【练习与思考】
1. 求下列矩阵的全部特征值和特征向量。
（1）⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=0110A ； （2）⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=001010100B ；
（3）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=1111111111111111C 。