矩阵的特征值与特征向量 习题
线性代数(同济大学第五版)矩阵的特征值与特征向量讲义、例题
第五章 矩阵的特征值与特征向量§1矩阵的特征值与特征向量一、矩阵的特征值与特征向量定义1：设A 是n 阶方阵,如果有数λ和n 维非零列向量x 使得x Ax λ=,则称数λ为A 的特征值,非零向量x 称为A 的对于特征值λ的特征向量.由x Ax λ=得0)(=-x E A λ,此方程有非零解的充分必要条件是系数行列式0=-E A λ,此式称为A 的特征方程,其左端是关于λ的n 次多项式,记作)(λf ,称为方阵A 特征多项式.设n 阶方阵)(ij a A =的特征值为n λλλ,,,21 ,由特征方程的根与系数之间的关系,易知：nn n a a a i +++=+++ 221121)(λλλA ii n =λλλ 21)(例1 设3阶矩阵A 的特征值为2,3,λ.若行列式482-=A ,求λ. 解：482-=A 64823-=∴-=∴A Aλ⨯⨯=32A 又 1-=∴λ例2 设3阶矩阵A 的特征值互不相同,若行列式0=A , 求矩阵A 的秩.解：因为0=A 所以A 的特征值中有一个为0,其余的均不为零.所以A 与)0,,(21λλdiag 相似.所以A 的秩为2.定理1对应于方阵A 的特征值λ的特征向量t ξξξ,,,21 ,t ξξξ,,,21 的任意非零线性组合仍是A 对应于特征值λ的特征向量.证明 设存在一组不全为零的数t k k k ,,,21 且存在一个非零的线性组合为t t k k k ξξξ+++ 2211，因为t ξξξ,,,21 为对应于方阵A 的特征值λ的特征向量。
则有),,2,1(1t i k Ak i i i ==ξλξ所以)()(22112211t t t t k k k k k k A ξξξλξξξ+++=+++ 所以t t k k k ξξξ+++ 2211是A 对应于特征值λ的特征向量. 求n 阶方阵A 的特征值与特征向量的方法：第一步：写出矩阵A 的特征多项式,即写出行列式E A λ-.第二步：解出特征方程0=-E A λ的根n λλλ,,,21 就是矩阵A 的特征值.第三步：解齐次线性方程组0)(=-x E A i λ,它的非零解都是特征值i λ的特征向量.例3 求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=201034011A 的特征值和特征向量.解 A 的特征多项式为2)1)(2(201034011λλλλλλ--=-----=-E A 所以,A 的特征值为1,2321===λλλ. 当21=λ时,解方程组0)2(=-x E A .由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-000010001~2010340112E A ,得基础解系⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001p ,所以特征值21=λ的全部特征向量为11p k ,其中1k 为任意非零数.当132==λλ时,解方程组0)(=-x E A .由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-000210101~101024012E A ,得基础解系⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1212p ,所以特征值132==λλ的全部特征向量为22p k ,其中2k 为任意非零数. 二、特征值与特征向量的性质与定理性质1 n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是矩阵A 的所有特征值均非零. 此性质读者可利用A n =λλλ 21可证明.定理 2 若21,λλ是n 阶方阵A 的两互不相等的特征值,对应的特征向量分别为21,p p ,则21,p p 线性无关.证明 假设设有一组数21,x x 使得02211=+p x p x (1)成立. 以2λ乘等式(1)两端,得0222121=+p x p x λλ (2) 以矩阵A 左乘式(1)两端,得0222111=+p x p x λλ (3) (3)式减(2)式得0)(1211=-p x λλ 因为21,λλ不相等,01≠p ,所以01=x .因此(1)式变成022=p x . 因为02≠p ,所以只有02=x . 这就证明了21,p p 线性无关.性质2 设)(A f 是方阵A 的特征多项式,若λ是A 的特征值.对应于λ的特征向量为ξ,则)(λf 是)(A f 的特征值,而ξ是)(A f 的对应于)(λf 的特征向量,而且若O A f =)(,则A 的特征值λ满足0)(=λf ,但要注意,反过来0)(=λf 的根未必都是A 的特征值.例4 若λ是可逆方阵A 的特征值,ξ是A 的对应于特征值λ的特征向量,证明：1-λ是1-A 的特征值,ξ是1-A 对应于特征值1-λ的特征向量,证明 λ 是可逆方阵A 的特征值,ξ是A 的对应于特征值λ的特征向量λξξ=∴A ξξλ11--=∴Aξξλ11--=∴A A A ξξλ*1A A =∴-1-∴λ是1-A 的特征值,ξ是1-A 对应于特征值1-λ的特征向量, 1-λA 是*A 的特征值,ξ是*A 对应于特征值1-λA 的特征向量.例5 设3阶矩阵A 的特征值1,2,2,求E A --14.解：A 的特征值为1,2,2,,所以1-A 的特征值为1,12,12, 所以E A--14的特征值为4113⨯-=,41211⨯-=,41211⨯-=所以311341=⨯⨯=--E A .例6 若21,λλ是n 阶方阵A 的两互不相等的特征值,对应的特征向量分别为21,p p ,证明21p p +一定不是A 的特征向量.证明 假设21p p +是矩阵A 的特征向量，对应的特征值为.λ根据特征值定义可知：)()(2121p p p p A +=+λ …………………(1) 21,λλ 又是n 阶方阵A 的特征值，对应的特征向量分别为21,p p .,111p Ap λ=∴ 222p Ap λ= (2)将(2)带入(1)式整理得：0)()(2211=-+-p p λλλλ因为21,λλ是n 阶方阵A 的两互不相等的特征值,对应的特征向量分别为21,p p 线性无关.所以21λλλ==.与21,λλ是n 阶方阵A 的两互不相等的特征值矛盾. 所以假设不成立.例7 若A 为正交矩阵,则1±=A ,证明,当1-=A 时,A 必有特征值1-;当1=A 时,且A 为奇数阶时,则A 必有特征值1.证明 当1-=A 时.TT T A E A A E A AA A E A +=+=+=+)(A E A E T +-=+-=,所以 .0=+A E `所以1-是A 的一个特征值反证法：因为正交阵特征值的行列式的值为1，且复特征值成对出现，所以若1不是A 的特征值，那么A 的特征值只有-1，以及成对出现的复特征值。
考研数学一-矩阵的特征值和特征向量、线性代数二次型(一).doc
考研数学一-矩阵的特征值和特征向量、线性代数二次型(一)(总分：52.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：27，分数：27.00)1.设A为n×m实矩阵，r(A)=n，则(A) AA T的行列式值不为零． (B) AA T必与单位矩阵相似．(C) A T A的行列式值不为零． (D) A T A必与单位矩阵相似．（分数：1.00）A.B.C.D.2.下列结论正确的是(A) 方阵A与其转置矩阵A T有相同的特征值，从而有相同的特征向量．(B) 任意两个同阶的对角矩阵都可以相似于同一个对角矩阵．(C) 对应于实矩阵的相异特征值的实特征向量必是正交的．(D) 设P T AP=B，若A为正定矩阵，|P|≠0，则B必为正定矩阵．（分数：1.00）A.B.C.D.3.设n(n≥2)阶矩阵A的行列式|A|=a≠0，λ是A的一个特征值，A*为A的伴随矩阵，则A*的伴随矩阵(A*)*的一个特征值是(A) λ-1a n-1． (B) λ-1a n-2． (C) λa n-2． (D) λa n-1．（分数：1.00）A.B.C.D.4.设A为m×n实矩阵，r(A)=n，则(A) A T A必合同于n阶单位矩阵． (B) AA T必等价于m阶单位矩阵．(C) A T A必相似于n阶单位矩阵． (D) AA T是m阶单位矩阵．（分数：1.00）A.B.C.D.5.设A为n阶实对称矩阵，B为n阶可逆矩阵，Q为n阶正交矩阵，则下列矩阵与A有相同特征值的是(A) B-1Q T AQB． (B) (B-1)T Q T AQB-1．(C) B T Q T AQB． (D) BQ T AQ(B T)-1．（分数：1.00）A.B.C.D.6.设线性方程组(λE-A)x=0的两个不同解向量是ξ1，ξ2，则矩阵A的对应于特征值λ的特征向量必是(A) ξ1． (B) ξ2． (C) ξ1-ξ2． (D) ξ1+ξ2．（分数：1.00）A.B.C.D.7.设α，β是n维列向量，αTβ≠0，n阶方阵A=E+αβT(n≥3)，则在A的n个特征值中，必然(A) 有n个特征值等于1． (B) 有n-1个特征值等于1．(C) 有1个特征值等于1． (D) 没有1个特征值等于1．（分数：1.00）A.B.C.D.8.二次型f(x1，x2，x3)=(x1-2x2)2+(x1-2x3)2+(x2-x3)2的规范形是1.00）A.B.C.D.9.设A为n阶实对称矩阵，则下列结论正确的是(A) A的n个特征向量两两正交．(B) A的n个特征向量组成单位正交向量组．(C) A的k重特征值λ0有r(λ0E-A)=n-k．(D) A的k重特征值λ0有r(λ0E-A)=k．（分数：1.00）A.B.C.D.10.设A为n阶矩阵，则在下列条件中，不是“A的特征值为-1”的充分条件的是(A) A2=E． (B) r(A+E)＜n．(C) A的各行元素之和均为-1． (D) A T=-A，且1是A的特征值．（分数：1.00）A.B.C.D.11.设A，B为实对称矩阵，则A合同于B，如果(A) r(Ａ)=r(Ｂ)． (B) A，B为同型矩阵．(C) A，B的正惯性指数相等． (D) 上述三项同时成立．（分数：1.00）A.B.C.D.12. 1.00）A.B.C.D.13.设二次型f(x1，x2，…，x n)=x T Ax，其中A T=A，x=(x1，x2，…，x n)T，则f为正定二次型的充分必要条件是(A) f的负指数是0． (B) 存在正交矩阵Q，使Q T AQ=E．(C) f的秩为n． (D) 存在可逆矩阵C，使A=C T C．（分数：1.00）A.B.C.D.14.已知A，B均为n阶正定矩阵，则下列结论不正确的是(A) A+B，A-B，AB是正定矩阵．(B) AB的特征值全大于零．(C) 若AB=BA，则AB是正定矩阵．(D) 对任意正常数k与l，kA+lB为正定矩阵．（分数：1.00）A.B.C.D.15.设A为n阶矩阵，则下列结论正确的是(A) 矩阵A有n个不同的特征值．(B) 矩阵A与A T有相同的特征值和特征向量．(C) 矩阵A的特征向量α1，α2的线性组合c1α1+c2α2仍是A的特征向量．(D) 矩阵A对应于不同特征值的特征向量线性无关．（分数：1.00）A.B.C.D.16.设A为n阶矩阵，则下列命题①设A为n阶实可逆矩阵，如果A与-A合同，则n必为偶数②若A与单位矩阵合同，则|A|＞0⑧若|A|＞0，则A与单位矩阵合同④若A可逆，则A-1与A T合同中正确的个数是(A) 3个． (B) 2个． (C) 1个． (D) 0个．（分数：1.00）A.B.C.D.17.设λ1，λ2是n阶矩阵A的特征值，α2，α2分别是A的对应于λ1，λ2的特征向量，则(A) 当λ1=λ2时，α1与α2必成比例．(B) 当λ1=λ2时，α1与α2必不成比例．(C) 当λ1≠λ2时，α1与α2必成比例．(D) 当λ1≠λ2时，α1与α2必不成比例．（分数：1.00）A.B.C.D.18.设A=(a ij)n×n为正定矩阵，则下列结论不正确的是(A) a ij≥0(i=1，2，…，n)． (B) A-1为正定矩阵．(C) A*为正定矩阵． (D) 对任意正整数k，A k为正定矩阵．（分数：1.00）A.B.C.D.19.设n阶矩阵A与对角矩阵Λ相似，则下述结论中不正确的是(A) A-kE～Λ-kE(k为任意常数)． (B) A m～Λm(m为正整数)．(C) 若A可逆，则A-1～Λ-1． (D) 若A可逆，则A～E．（分数：1.00）A.B.C.D.20. 1.00）A.B.C.D.21.设n阶矩阵A可逆，α是A的属于特征值A的特征向量，则下列结论中不正确的是(A) α是矩阵-2A的属于特征值-2λ的特征向量．(B) α(C) α是矩阵A* 1.00）A.B.C.D.22.设A，B为n阶矩阵，则A与B相似的充分必要条件是(A) A，B都相似于对角矩阵． (B) |λE-A|=|λE-B|．(C) 存在正交矩阵Q，使得Q-1AQ=B． (D) 存在可逆矩阵P，使得AB T=P T B．（分数：1.00）A.B.C.D.23.1.00）A.B.C.D.24.正定实二次型的矩阵必是(A) 实对称矩阵且所有元素为正数． (B) 实对称矩阵且对角线上元素为正数．(C) 实对称矩阵且各阶顺序主子式为正数． (D) 实反对称矩阵且行列式值为正数．（分数：1.00）A.B.C.D.25.n阶矩阵A可对角化的充分必要条件是(A) A有n个相异的特征值．(B) A T有n个相异的特征值．(C) A有n个相异的特征向量．(D) A的任一特征值的重数与其对应的线性无关特征向量的个数相同．（分数：1.00）A.B.C.D.26.设矩阵A与B相似，则必有(A) A，B同时可逆或不可逆． (B) A，B有相同的特征向量．(C) A，B均与同一个对角矩阵相似． (D) 矩阵λE-A与λE-B相等．（分数：1.00）A.B.C.D.27.A既相似又合同的是1.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：18，分数：25.00)28. 1.00）填空项1:__________________29.若二次型f(x1，x2，x3 1.00）填空项1:__________________30.已知α=(1，3，2)T，β=(1，-1，2)T，B=αβT，苦矩阵A，B相似，则(2A+E)*的特征值为______．（分数：1.00）填空项1:__________________31.设-1，5，λ 3.00）填空项1:__________________32.设n阶方阵A的各列元素之和都是1，则A的特征值是______．（分数：1.00）填空项1:__________________33.设AP=PB 2.00）填空项1:__________________34.设A是2阶实对称矩阵，λ1，λ2是A的两个不同的特征值，ξ1，ξ2是分别对应于λ1，λ2的单位特征向量，则矩阵B=A+ξ 1.00）填空项1:__________________35.设A为n阶可相似对角化的矩阵，且r(A-E)=r＜n，则A必有特征值λ=______，且其重数为______，其对应的线性无关的特征向量有______个．（分数：3.00）填空项1:__________________36.设λ1，λ2是n阶实对称矩阵A的两个不同的特征值，α是A的对应于特征值λ1的一个单位特征向量，则矩阵B=A-λ1ααT的两个特征值为______．（分数：1.00）填空项1:__________________37.设A为n阶方阵．A≠E，且r(A+3E)+r(A-E)=n，则A的一个特征值是 1，（分数：1.00）填空项1:__________________38. 2.00）填空项1:__________________39.若实对称矩阵A 1.00）填空项1:__________________40.若二次型1.00）填空项1:__________________41. 1.00）填空项1:__________________42. 2.00）填空项1:__________________43.设2阶矩阵A的特征值为λ1=1，λ2=2，已知B=A2-3A+4E，则B=______．（分数：1.00）填空项1:__________________44.设A为n阶方阵，且A2-5A+6E=0，其中E为单位矩阵，则A的特征值只能是______．（分数：1.00）填空项1:__________________45. 1.00）填空项1:__________________。
考研数学三(矩阵的特征值与特征向量、二次型)-试卷1
考研数学三（矩阵的特征值与特征向量、二次型）-试卷1(总分：60.00，做题时间：90分钟)一、 填空题(总题数：6，分数：12.00)1.设A 是3阶实对称矩阵，特征值是0，1，2．如果λ=0与λ=1的特征向量分别是α 1 =(1，2，1) T与α 2 =(1，-1，1) T，则λ=2的特征向量是 1． （分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：t(-1，0，1) T，t≠0．）解析：解析：设λ=2的特征向量是α=(x 1 ，x 2 ，x 3 )，则因实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交．故有所以λ=2的特征向量是t(-1，0，1) T，t≠0．2.已知x= 1，y= 2．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：0） 填空项1:__________________ （正确答案：1）解析：解析：由A ～B ，知，且-1是A3.已知矩阵a= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：-1） 解析：解析：由A 的特征多项式 ｜λE-A ｜= =(λ+1) 3， 知矩阵A 的特征值是λ=-1(三重根)，因为A 只有2个线性无关的特征向量，故从而a=-1．4.二次型f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x 1 +x 2 ) 2+(x 2 -x 3 ) 2+(x 3 +x 1 ) 2的正、负惯性指数分别为p= 1，q= 2．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：2） 填空项1:__________________ （正确答案：0）解析：解析：由于二次型的标准形是p=2．q=0．5.二次型f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x TAx=2x 2 2+2x 3 2+4x 1 x 2 -4x 1 x 3 +8x 2 x 3 的矩阵A= 1，规范形是 2．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：2，6，-4；x 1 2+x 2 2-x 3 2）解析：解析：按定义，二次型矩阵A=．由特征多项式｜λE-A ｜λ-6)(λ-2)(λ+4)，知矩阵A 的特征值是：2，6，-4． 故正交变换下二次型的标准形是2y 21 +6y 22 -4y 23 ．所以规范形是x 21 +x 22 -x 23 ． 或，由配方法，有 f=2[x 2 2+2x 2 (x 1 +2x 3 )+(x 1 +2x 3 ) 2]+2x 3 2-4x 1 x 3 -2(x 1 +2x 3 ) 2=2(x 2 +x 1 +2x 3 ) 2-2x 1 2-12x 1 x 3 -6x 3 2=2(x 2 +x 1 +2x 3 ) 2-2(x 1 2+6x 1 x 3 +9x 32)+12x 3 2=2(x 2 +x 1 +2x 3 ) 2-2(x 1 +3x 3 ) 2+12x 3 2， 亦知规范形是x 1 2+x 2 2-x 3 2．6.假设二次型f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x+ax 2 -2x 3 ) 2+(2x 2 +3x 3 ) 2+(x 1 +3x 2 +ax 3 ) 2正定，则a 的取值为 1． （分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：(x 1，x 2，x 3 )恒有平方和f(x 1，x 2，x 3)≥0，其中等号成立的充分必要条件是按正定定义，f正定=(x 1，x 2，3 ) T≠0，恒有f(x 1，x 2，x 3 )＞0．因此，本题中二次型f正定方程组(*)只有零解所以a的取值为a≠1．二、解答题(总题数：24，分数：48.00)7.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
矩阵的特征值和特征向量 习题
3
3 例1 计算 3阶实矩阵 A = 2 4 和特征向量.
解 第一步
2 0 2
4 2 的全部特征值 3
计算 A 的特征多项式
λ−3 −2 f ( λ ) = λE − A = − 2 λ
−4
= (λ − 8) (λ + 1) .
2
−4 −2 −2 λ−3
4
第二步
求出特征多项式 f ( λ )的全部根 ,即 A
9
1 其解为λ1 = 1，k1 = −2；λ2 = ，k2 = 1. 4 −1 故k = −2或1时，α 是A 的特征向量。
2 1 1 1 例3.设矩阵A = 1 2 1 可逆，向量α = b 是 1 1 a 1 矩阵A∗的一个特征向量，λ是α 对应的特征值， 其中A∗是矩阵A的伴随矩阵，试求a, b和λ的值。
11
A 3+b = λ A 由此，得方程组 2 + 2b = b λ A a + b + 1 = λ
解方程组得a = 2, b = 1或b = 2。
12
2 1 1 由于 A = 1 2 1 = 3a − 2 = 4， 1 1 a 由方程组的第一个方程知， 4 特征向量α 所对应的特征值λ = = 。 3+b 3+b
8
2 1 1 T 例2.已知向量α = 1, k ,1) 是矩阵A = 1 2 1 的逆阵 （ 1 1 2 −1 A 的特征向量，试求常数k的值。（ 1991年数学5）
解：设λ是α 所属的A 的特征值，即A α = λα，
−1 −1
于是λ Aα = α，即
2 1 1 1 1 λ 1 2 1 k = k 1 1 2 1 1
3.1 矩阵的特征值和特征向量
习题3.1选讲 习题3.1选讲
第三章
5. 设λ0是n阶矩阵A的一个特征值 , 试证 (1) kλ0是kA的一个特征值 ( k为常数 );
m ( 2) λ0 是Am的一个特征值 ( m为常数 );
( 3) 若A可逆 , 则 ( 4) 若A可逆 , 则
1
λ0
A
是A−1的一个特征值; 是 A 的一个特征值;
习题二第11题 习题二第11题
设 n阶矩阵 A各行的元素之和均为零 , 且 r ( A ) = n − 1. 求齐次线性方程组 AX = O的全部解 .
练习2.5第 练习2.5第3题: 矩阵, 矩阵. 证明AB 设 A 为m × n 矩阵, B为 n × s 矩阵. 证明AB = O ⇔ B 的解. 的每一个列向量均为齐次线性方程组 AX = O 的解.
第三章
1. 设 A 是 n 阶矩阵，则 A 与 AT 具有相同的特征值. 阶矩阵， 具有相同的特征值. 3. 设 λ1 , λ2 , … λm 是方阵 A 的 m 个互异特征值, α1 , α2 , 个互异特征值, 依次是与之对应的特征向量, … , αm 依次是与之对应的特征向量, 则 α1 , α2 , … , αm 线性无关. 线性无关. 4. 设 n 阶矩阵 A 的互异特征值为 λ1 , λ2 , … λm . A 的属于 λi 的线性无关的特征向量为 则向量组
*
λ0
( 5) 对任意数 k , k − λ0是kE − A的一个特征值 .
P16P16-15
习题3.1选讲 习题3.1选讲
第三章
7. 设 λ1 , λ2是 n阶矩阵 A的两个不同特征值 , 对应的特征向量 分别为 α 1 , α 2 , 试证 c1α 1 + c 2α 2 ( c1 ≠ 0, c 2 ≠ 0 )不是 A的特征 向量 .
特征值与特征向量练习题
特征值与特征向量练习题在线性代数中，特征值与特征向量是重要的概念。
特征值与特征向量的研究对于解决矩阵和线性变换的问题具有重要意义。
本文将为你提供一些特征值与特征向量的练习题，帮助你加深对这些概念的理解。
练习题一：考虑以下矩阵A:A = | 3 4 || 2 1 |问题一：找出矩阵A的特征值和对应的特征向量。
解答一：首先，我们需要找到矩阵A的特征值λ，通过求解矩阵A的特征方程来得到。
特征方程的形式为| A-λI |=0，其中I是单位矩阵。
我们可以写出矩阵A-λI的形式：A-λI = | 3-λ 4 || 2 1-λ |计算行列式并置为零得到特征方程：(3-λ)(1-λ)-(4)(2) = 0展开并整理方程，得到二次方程：λ^2 - 4λ - 5 = 0解方程，得到特征值λ1=5和λ2=-1。
接下来，我们需要找到对应于特征值λ1和λ2的特征向量。
我们可以通过解线性方程组(A-λI)x=0，来得到特征向量。
首先，对于特征值λ1=5，我们可以得到线性方程组：(-2)x1 + 4x2 = 02x1 - 4x2 = 0解方程组，得到x1=2和x2=1。
因此，特征向量v1=(2,1)。
然后，对于特征值λ2=-1，我们可以得到线性方程组：4x1 + 4x2 = 02x1 + 2x2 = 0解方程组，得到x1=-1和x2=1。
因此，特征向量v2=(-1,1)。
练习题二：考虑以下对称矩阵B:B = | 2 -1 || -1 2 |问题二：找出对称矩阵B的特征值和对应的特征向量。
解答二：由于对称矩阵的特征值与特征向量具有一些特殊的性质，我们可以利用这些性质来求解。
首先，我们可以通过求解特征方程来得到矩阵B的特征值。
特征方程的形式为| B-λI |=0，其中I是单位矩阵。
我们可以写出矩阵B-λI的形式：B-λI = | 2-λ -1 || -1 2-λ |计算行列式并置为零得到特征方程：(2-λ)(2-λ)-(-1)(-1) = 0展开并整理方程，得到二次方程：λ^2 - 4λ + 3 = 0解方程，得到特征值λ1=1和λ2=3。
特征值与特征向量练习题
特征值与特征向量练习题特征值和特征向量是线性代数中重要的概念，它们在解决实际问题中有着广泛的应用。
下面是一些关于特征值和特征向量的练习题。
1、设矩阵A的元素如下：2 -3 41 -1 10 1 -2矩阵B为A的平方，求B的特征值和特征向量。
2、设矩阵A的元素如下：1 2 34 5 67 8 9矩阵B为A的平方，求B的特征值和特征向量。
3、设矩阵A的元素如下：2 1 00 2 10 0 2矩阵B为A的平方，求B的特征值和特征向量。
4、设矩阵A的元素如下：csharp1 0 00 2 -10 -1 2矩阵B为A的平方，求B的特征值和特征向量。
5、设矩阵A的元素如下：lua1 0 0 00 2 -1 -10 -1 2 -10 -1 -1 2矩阵B为A的平方，求B的特征值和特征向量。
特征值与特征向量特征值和特征向量是线性代数中两个非常重要的概念，它们在许多数学领域中都有广泛的应用，包括解决线性方程组、研究矩阵的性质、以及在机器学习和数据科学中等。
一、特征值特征值是矩阵的一个重要属性，它可以通过对矩阵进行特定的数学操作来得到。
对于一个给定的矩阵A，如果存在一个非零向量v，使得Av = λv对某个标量λ成立，那么我们就说λ是A的特征值，v是对应于特征值λ的特征向量。
特征值的性质可以通过矩阵的特征多项式来研究。
特征多项式f(x) = |xI - A|，其中I是单位矩阵，A是给定的矩阵。
特征多项式的根就是矩阵的特征值。
二、特征向量特征向量是矩阵对应于特征值的向量。
它与特征值有密切的关系，并且在解决线性代数问题中发挥着重要的作用。
设A是n阶方阵，如果存在非零向量v，使得Av = λv对某个标量λ成立，那么我们就说λ是A的特征值，v是对应于特征值λ的特征向量。
特别地，如果λ是矩阵A的特征值，那么对于任何使得|xI - A|= 0成立的x，我们都有(xI - A)v = xv - Av = (x - λ)v，这表明v 也是对应于x的特征向量。
线性代数第五章课后习题及解答
第五章课后习题及解答1. 求下列矩阵的特征值和特征向量：(1) ;1332⎪⎪⎭⎫⎝⎛-- 解：,07313322=--=--=-λλλλλA I2373,237321-=+=λλ ,001336371237121371⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→→⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-++- A I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T-因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()371,6(11≠-k k T,001336371237123712⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→→⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=---+ A I λ 所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T+因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()371,6(22≠+k k T(2) ;211102113⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--解：2)2)(1(21112113--==------=-λλλλλλ A I所以，特征值为：11=λ(单根)，22=λ(二重根)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=-0001100011111121121 A I λ所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)1,1,0(T因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()1,1,0(11≠k k T⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=-0001000110111221112 A I λ所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)0,1,1(T因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()0,1,1(22≠k k T(3) ;311111002⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-解：3)2(31111102-==------=-λλλλλ A I所以，特征值为：21=λ(三重根)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-0000001111111110001 A I λ所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)1,0,1(,)0,1,1(TT -因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：TT k k )1,0,1()0,1,1(21-+(21,k k 为不全为零的任 意常数)。
线性代数课后答案_习题5和习题6
习题五1. 求下列矩阵的特征值和特征向量：1）1124-⎛⎫ ⎪⎝⎭；2）123213336⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；3）001010100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；4）310410482⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭。
并说明哪些矩阵可以相似于对角形矩阵。
解：1）11(2)(3)24λλλλ-=----，特征值2,3λ= 。
当2λ=时， 1(1,1)η'=- ，故属于2λ=的特征向量为 11k η（10k ≠）。
当3λ=时 ，2(1,2)η'=- ，故属于3λ=的特征向量为 22k η（20k ≠）。
由于线性无关的特征向量个数为2，故可以对角化。
2）123213(1)(9)336λλλλλλ------=+----，特征值0,1,9λ=- 。
当0λ=时， 1(1,1,1)η'=-- ，故属于0λ=的特征向量为 11k η（10k ≠）。
当1λ=-时， 2(1,1,0)η'=- ，故属于1λ=-的特征向量为 22k η（20k ≠）。
当9λ=时， 3(1,1,2)η'= ，故属于9λ=的特征向量为 33k η（30k ≠）。
由于线性无关的特征向量个数为3，故可以对角化。
3）201010(1)(1)10λλλλλ--=+--，特征值1,1λ=- 。
当1λ=时， 1(0,1,0)η'= ，2(1,0,1)η'=。
故属于1λ=的特征向量为1122k k ηη+（12,k k 不全为零）。
当1λ=-时， 3(1,0,1)η'=- ，故属于1λ=-的特征向量为 33k η（30k ≠）。
由于线性无关的特征向量个数为3，故可以对角化。
4）2310410(1)(2)482λλλλλ--+=-+-+ ，特征值1,2λ=- 。
当1λ=时， 1(3,6,20)η'=- ，故属于1λ=的特征向量为 11k η（10k ≠）。
当2λ=-时， 2(0,0,1)η'= ，故属于2λ=-的特征向量为 22k η（20k ≠）。
第五章 矩阵的特征值与特征向量 习题
第五章 矩阵的特征值与特征向量 习题1. 试用施密特法把下列向量组正交化:(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=931421111) , ,(321a a a ;(2)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=011101110111) , ,(321a a a . 2. 设x 为n 维列向量, x T x =1, 令H =E -2xx T , 证明H 是对称的正交阵. 3. 求下列矩阵的特征值和特征向量:(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----201335212; (2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛633312321.4. 设A 为n 阶矩阵, 证明A T 与A 的特征值相同.5. 设λ≠0是m 阶矩阵A m ⨯n B n ⨯m 的特征值, 证明λ也是n 阶矩阵BA 的特征值.6. 已知3阶矩阵A 的特征值为1, 2, 3, 求|A 3-5A 2+7A |.7. 已知3阶矩阵A 的特征值为1, 2, -3, 求|A *+3A +2E |.8. 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=50413102x A 可相似对角化, 求x .9. 已知p =(1, 1, -1)T 是矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2135212b a A 的一个特征向量.(1)求参数a , b 及特征向量p 所对应的特征值;(2)问A 能不能相似对角化？并说明理由.10. 试求一个正交的相似变换矩阵, 将对称阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----020212022化为对角阵.11. 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=12422421x A 与⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λy 45相似, 求x , y ; 并求一个正交阵P , 使P -1AP =Λ.12. 设3阶方阵A 的特征值为λ1=2, λ2=-2, λ3=1; 对应的特征向量依次为p 1=(0, 1, 1)T , p 2=(1, 1, 1)T , p 3=(1, 1, 0)T , 求A .13. 设3阶对称矩阵A 的特征值λ1=6, λ2=3, λ3=3, 与特征值λ1=6对应的特征向量为p 1=(1, 1, 1)T , 求A .14. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=340430241A , 求A 100.。
第五章 特征值和特征向量、矩阵的对角化 扩展例题及求解
[例 1]设 A ， B 是 n 阶方阵，且 R(A) R(B) n ，证明 A ， B 有公共的特征值，有公共的
特征向量。 [分析]此类题型综合程度较高，主要根据已知条件推导出对证明有用的结论，需要对知识点 熟练掌握。
[证] R(A) R(B) n R(A) n ， R(B) n AX 0 ， BX 0 都有非零解。
i 1
i 1
a1
a2
n
a3
an
n
从而特征值 ai2 的特征向量为 knn ，（ kn 0 ）。 i 1
[例]6 证明：设 A 是 n 阶正交矩阵， 是 A 的特征值，则 1 。
[分析]本题要利用正交矩阵的性质来证明。要证 1 ，可证 1。 [证]设 是对应于 的特征向量，则
[例 8]设 A 为 3 阶方阵， 为 3 维向量， ， A ， A2 线性无关， A3 4A 3A2 ，
计算行列式 2A2 3E 。
[分析]这里根据已知条件，直接计算方阵的行列式比较困难，可以采取特征值和特征向量的
性质来计算，即设 n 阶方阵 A 的特征值为 1, 2, , n ，则 A 12 n 。
不妨设 ， 分别为 AX 0 ， BX 0 的非零解，则
A 0 ， B 0
由特征值、特征向量的定义， 0 是 A ， B 的特征值， ， 分别为 A ， B 对应于特征值 0
的特征向量。
要证有公共的特征向量，只要证明 AX 0 ，BX 0 有公共的非零解即可。事实上，AX 0 ，
乘 ( A 4E)1 得： A(A E) 0 ，即 A2 A 0 ，从而 ， A ， A2 线性相关，矛
6-1特征值与特征向量
成为对角矩阵。
1 1 取向量 1 ， 2 , 1 1
1与 2正交, 将其单位化，
1 e1 1
1 1 2 2 2 , e2 1 2 1 2 2
(2) f ( x ) a m x m a1 x a 0 , f ( )是 f ( A ) a m A a1 A a 0 I 的特征值 .
m
性质6.1.3 若数λ为可逆阵Ａ的一个特征值，
1 A 1 则 为 的特征值, 为 A A 的特征值．
ann
Ａ的特征多项式
I A x 0 的解空间称为λ的特征子空间.
西安交通大学
线性代数与空间解析几何
二、求特征值与特征向量的一般步骤
(1) 求出 | I A | 0 在复数范围内的全部特征值
1 , 2 , , n , 重根按重数计算。
(2)对于 A的特征值i , 求出
特别注意：
1. 特征向量是非零向量； 2. 属于同一特征值的特征向量不唯一； 3.属于不同特征值的特征向量是不同的； 因为, 如果x是对应于不同特征值 1 , 2 1 2
的特征向量, 即有
Ax 1 x, Ax 2 x 1 x 2 x 1 2 x 0, 由于1 2 0, 所以 x 0, 矛盾.
定义 方阵Ａ的主对角线上的元素之和称为方阵Ａ的迹. 记为 tr A aii i . 推论1 n阶方阵Ａ可逆(不可逆)
Ａ的n个特征值全不为零(至少有一个为零).
西安交通大学
线性代数与空间解析几何
性质6.1.2 设λ为方阵A的一个特征值，则
(1) m 是 A m 的特征值。
考研数学一(矩阵的特征值与特征向量)-试卷1
考研数学一（矩阵的特征值与特征向量）-试卷1(总分：76.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.设A为n阶可逆矩阵，λ是A的一个特征值，则伴随矩阵A *的一个特征值是（分数：2.00）A.λ－1｜A｜n－1．B.λ－1｜A｜．√C.λ｜A｜．D.λ｜A｜n－1．解析：解析：如Aα=λα，则A －1α．故选(B)．3.设A=2是可逆矩阵A的一个特征值，则+E（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：解析：如Aα=λα，则+1)α．当λ=2(C)．4.设A是3阶不可逆矩阵，α1，α2是Ax=0的基础解系，α3是属于特征值λ=1的特征向量，下列不是A的特征向量的是（分数：2.00）A.α1 +3α2．B.α1一α2．C.α1 +α3．√D.2α3．解析：解析：如Aα1 =λα1，Aα2 =λα2，则 A(k 1α1 +k 2α2 )=k 1 Aα1 +k 2 Aα2 =k 1λα1 +k 2λα2 =λ(k 1α1 +k 2α2 )．因此k 1α1 +k 2α2是A的特征向量，所以(A)、(B)、(D)均正确．设Aβ1 =λβ1，Aβ2 =μβ2，λ≠μ，若A(β1 +β2 )=k(β1 +β2 )，则λβ1 +μβ2 =kβ1 +kβ2．即有 (λ－k)β1 +(μ—k)β2 =0．因为λ—k，μ一k不全为0，与β1，β2是不同特征值的特征向量线性无关相矛盾．从而α1 +α3不是A的特征向量．故应选(C)．5.设α0是A属于特征值λ0的特征向量，则α0不一定是其特征向量的矩阵是（分数：2.00）A.(A+E) 2．B.一2A．C.A T．√D.A *．解析：解析：由｜λE一A T｜=｜(λE—A) T｜=｜λE一A｜，知A与A T有相同的特征值，但方程组(AE—A)x=0与(AE—A T )x=0不一定同解，故A与A T特征向量不一定相同．故应选(C)．6.（分数：2.00）A.B.C.D. √解析：解析：(A)是实对称矩阵，(C)有3个不同的特征值，均可对角化．(B)和(D)特征值都是0，0，3．在(B)中，n一r(0E—A)=2，说明λ=0有2个线性无关的特征向量．故可以相似对角化．在(D)中，n—r(0E—A)=1，说明λ=0只有1个线性无关的特征向量．因此不能相似对角化．故应选(D)．7.设A是n阶非零矩阵，A m =0，下列命题中不一定正确的是（分数：2.00）A.A的特征值只有零．B.A必不能对角化．C.E+A+A 2+…+A m－1必可逆．D.A只有一个线性无关的特征向量．√解析：解析：设Aα=λα，α≠0，则A mα=λmα=0．故λ=0．(A)正确．因为A≠0，r(A)≥1，那么Ax=0的基础解系有n—r(A)个解，即λ=0有n—r(A)个线性无关的特征向量．故(B)正确，而(D)不一定正确．由(E一A)(E+A+A 2+…+A m－1 )=E一A m =E，知(C)正确．故应选(D)．二、填空题(总题数：9，分数：18.00)8.设A是n阶矩阵，r(A)＜n，则A必有特征值 1，且其重数至少是 2．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：λ=0）填空项1:__________________ （正确答案：n—r(A)）解析：解析：r(A)＜n ｜A｜=0 λ=0必是A的特征值．由r(A)＜有非0解．设η1，η2，…，ηn－r(A)是Ax=0的基础解系，则Aηj=0=0ηj，即λ=0是矩阵A的特征值，ηj(j=1，2，…，n—r(A))是λ=0的特征向量．因此λ=0有n—r(A)个线性无关的特征向量．从而λ=0至少是矩阵A的n—r(A)重特征值．注意：k重特征值至多有k个线性无关的特征向量．9.设A是n阶可逆矩阵，A是A的特征值，则(A * ) 2 +E必有特征值 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：A的特征值为λ(A * ) 2 +E的特征值为．10.已知－2是x= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：—4）解析：解析：因为－2是矩阵A11.设A是秩为2的3阶实对称矩阵，且A 2 +5A=0，则A的特征值是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：－5，－5，0）解析：解析：因为A是实对称矩阵，故A～=2．设Aα=λα(α≠0)由A 2+5A=0得λ2+5λ=0．因此A的特征值为0或－5．从而A～．所以矩阵A的特征值是：－5，－5，0．12.已知α=(1，1，一1) T是矩阵x= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：设Aα=λα，即，亦即13.设A是3阶矩阵，且各行元素之和都是5，则A必有特征向量 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：因为各行元素之和都是5，即亦即从而A．所以矩阵A14.设A是3阶实对称矩阵，特征值是0，1，2．如果λ=0与λ=1的特征向量分别是α1=(1，2，1) T与α2 =(1，一1，1) T，则λ=2的特征向量是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：t(一1，0，1) T）解析：解析：设λ=2的特征向量是α=(x 1，x 2，x 3 )，则因实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，故有所以λ=2的特征向量是t(一1，0，1) T，t≠0．15.已知x= 1，y= 2．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：0）填空项1:__________________ （正确答案：1）解析：解析：由A～B，知∑a ii=∑b ii且一1是A的特征值，即16.已知矩阵a= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：－1）解析：解析：由A的特征多项式知矩阵A的特征值是λ=－1(三重根)，因为A只有2个线性无关的从而a=－1．三、解答题(总题数：22，分数：44.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第3章-特征值和特征向量 练习题
第3章 特征值和特征向量 练习题1、设非奇异矩阵 A 的一个特征值为 λ = 2，试求出 1231-⎪⎭⎫⎝⎛A 的一个特征值。
（ 3 / 4 ）2、设矩阵 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=20203020x A 的一个特征值 λ1 = 0，求 x 值和 A 的全部特征值。
（2；0、3、4）3、设矩阵 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=20020y y x A 的一个特征值为-3，且A 的三个特征值之积为 -12，确定 x 和 y 的值。
（ 1 ； 2 或 -2 ）4、设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=a A 11121112 可逆，向量 β = ( 1 , b , 1 )T 是矩阵 A 的逆矩阵 A -1 的一个特征向量，λ 是 β 所属的特征值，试求 a 、b 和 λ 的值 .（ a = 2 ，b = 1 ，λ = 1 / 4 或 a = 2 ，b = -2 ，λ = 1 ）5、设三阶方阵 A 的一个特征值为 1 / 9，与其对应的特征向量 α = ( 1 , 1 , 1 )T ，求方阵 A 的 9 个元素之和。
（ 1 / 3 ）6、设 n 阶方阵 A 有 n 个特征值 0，1，2，…，n - 1，且方阵 B 与 A 相似，求 | B+E | 。
（ n! ）7、设向量 α = ( 1 , 0 , - 1 ) T ，矩阵 A = α αT ，若 n 为正整数，计算行列式 det ( a E - A n ) 的值 。
（ a 2 ( a - 2n ) ）8、设 3 阶实对称矩阵 A 的秩 r ( A ) = 2，且满足 A 2 = 2 A ，求行列式 | 4 E - A | 的值。
（16）9、设 A 是2阶实对称矩阵，且满足 A 2 + A - 6 E = O ，其中 E 是2阶单位矩阵，求行列式det A 和 det ( A* - 2E ) 的值。
（ 9 或 4 或 - 6 ；25 或 0 ）10、设 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0101010y x A 有三个线性无关的特征向量（可以相似对角化），求 x 、y 应满足的条件。
第五章、矩阵的特征值和特征向量习题答案
1 2 3 (2) 2 1 3
3 3 6
1 2 3
E A 2 1 3
3 3 6
3 82 9 ( 1)( 9)
1 1, 2 0, 3 9
1E AX
2 2 3
2 2 3X
3 3 7
1 1 0
0 0 1X
0 0 0
x1 x2
x3 0
1 1 1 0T
8 3X
3 3
x1
x2
1
2 1T
X k33 (k3 R, k3 0)
5、已知3阶矩阵A的特征值为1，2，3，求: A3 5A2 7E
解：
f ( A) A3 5A 7E
' f () 3 5 7
1' '2
3 5
'3 11
A3 5A2 7E 165
9、设 P1, P2 是A的属于特征值3的线性无关的
两个向量
PP11TT
P2 P3
0 0
x1 x2 x3 0
P1T X
x1 x2 x3
1 1 P2 1 , P3 0
0 1
（方法一） 1 1 1
P (P1, P2 , P3) 1 1 0 1 0 1
1 3
5 2 4
2 8 2 X
4 2 5
1 0
0 1
1 1
X
0 0
2 0
3 2 1 2T
x1 x3
x2
1 2
x3
e3
3 3
2 3
1 3
2 T
3
P e1 e2 e3
P1AP
8、 解：
A 1(2)3 6 0
A可逆
十特征值与特征向量典型题
特征值与特征向量典型题1、特征值与特征向量1．（95，八题，7分）设三阶实对称矩阵A 的特征值为1231,1λλλ=-==，对应于1λ的特征向量为1(0,1,1)T ξ=，求A【分析】解本题的关键是注意A 为实对称矩阵，在已知A 的三个特征值和三个线性无关特征向量123,,ξξξ后，由公式123112233(,,)(,,)A ξξξλξλξλξ=;可解出1112233123(,,)(,,)A λξλξλξξξξ-= 【详解】设对应于231λλ==的特征向量为123(,,)T x x x ξ=，根据A 为实对称矩阵的假设知10T ξξ=，即230x x +=，解得23(1,0,0),(0,1,1)T T ξξ==- 于是由123112233(,,)(,,)A ξξξλξλξλξ=有11122331231(,,)(,,)010010100101101001101101010A λξλξλξξξξ--=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦2．（98，填4题，3分）设A 为n 阶矩阵，0A ≠，*A 为A 的伴随矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若A 有特征值λ，则*2()A E +必有特征值2()1Aλ+【分析】本题从特征值、特征向量的定义,0Ax x x λ=≠进行推导即可 【详解】设(0)Ax x x λ=≠，则 111,(0)AA x x A A x x x λλ--=⇒=≠即*AA x x λ=从而*22()()AA x x λ= *22[()][()1],0AA E x x x λ+=+≠可见*2()A E +必有特征值2()1Aλ+3．（99，填4题，3分）设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是1,0,,0n n -【分析】因为r(A)=1，所以1n n ii E A a λλλ--=-∑【详解】因为-11111111111111111110000n n n E A nnn λλλλλλλλλλλλλλ---------=---=-－－－－＝－－－－－＝（－）故矩阵A 的n 个特征值是n 和0（n-1重）因此本题应填1,0,,0n n -4．（99，十题，8分）设矩阵15310a c A b c a -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦，其行列式1A =-，又A 的伴随矩阵*A 有一个特征值0λ，属于0λ的一个特征向量为(1,1,1)T α=--，求a b c 、、和0λ的值【分析】利用*AA A E =，把*0A αλα=转化为0A λαα=-是本题的关键【详解】根据题设有*0A αλα=，又*,AA A E E ==-于是*00,AA A A αλαλα==即0A αλα-=;也即011153111011a c b c a λ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦由此可得 000(1)1(53)1(1)1a c b c a λλλ-++=⎧⎪--+=⎨⎪-+-=-⎩ 解此方程组，得01,3,b a c λ==-=又由1A a c =-=和，有1533110a cb a ca-=-=--- 故2,a c ==因此02,3,2,1a b c λ==-==5.（03，九题，10分）设矩阵322232223A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，010101001P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，1*B P A P -=，求B ＋2E的特征值与特征向量，其中*A 为A 的伴随矩阵，E 为3阶单位矩阵【分析】可先求出*1,A P -，进而确定1*B P A P -=及B ＋2E ，再按通常方法确定其特征值和特征向量；或先求出A 的特征值与特征向量，再相应地确定*A 的特征值与特征向量，最终根据B ＋2E 与*2A E +相似求出其特征值与特征向量。
考研数学一(矩阵的特征值和特征向量)历年真题试卷汇编1(题后含
考研数学一（矩阵的特征值和特征向量）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵，已知n维列向量α是A 的属于特征值λ的特征向量，则矩阵(P-1AP)T属于特征值λ的特征向量是( )．A．P-1αB．PTαC．PαD．(P-1)Tα正确答案：B解析：由题设有Aα=λα，且AT=A．令B=(P-1AP)T，则B=(P-1AP)T=PTAT(P-1)T=PTA(PT)-1，A=(PT)-1BPT．故Aα=(PT)-1BPTα，即(PT)-1B(PTα)=λα．两边乘以PT得到B(PTα)=λPTα．如能证明PTα≠0，则PTα为B的属于λ的特征向量．事实上，如PTα=0，则由P为可逆矩阵知，PT也为可逆矩阵，于是有(PT)-1PTα=(PT)-10=0，即a=0．这与a≠0矛盾．仅B 入选．知识模块：矩阵的特征值和特征向量2．[2016年] 设A，B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是( )．A．AT与BT相似B．A-1与B-1相似C．A+AT与B+BT相似D．A+A-1与B+B-1相似正确答案：C解析：因A～B，故存在可逆矩阵P使得B=P-1AP．①在式①两边取转置，得到BT=(P-1AP)T=PTAT(P-1)T=[(PT)-1]-1AT[(PT)-1]故AT与BT相似，选项A正确．在式①两边求逆运算得到B-1=(P-1AP)-1=P-1A-1(P-1)-1=P-1A-1P，②故A与A-1相似，选项B正确．由式①+式②得到B+B-1=P-1AP+P-1A-1P=P-1(A+A-1)P，故A+A-1～B+B-1，选项D正确，仅C 入选．知识模块：矩阵的特征值和特征向量3．[2017年] 已知矩阵，则( )．A．A与C相似，B与C相似B．A与C相似，B与C不相似C．A与C不相似，B与C相似D．A与C不相似，B与C相似正确答案：B解析：显然A，B，C的特征值都为λ1=λ2=2，λ3=1．由2E—A=得秩(2E —A)=1，则A可以相似对角化，故A与C相似．由2E—B=得秩(2E—B)=2，则B不可相似对角化，故B与C不相似．综上，仅B入选．知识模块：矩阵的特征值和特征向量4．[2018年] 下列矩阵中，与矩阵相似的为( )．A．B．C．D．正确答案：A解析：记矩阵，则｜λE—M｜==(λ一1)3=0，所以矩阵M的特征值为λ1=λ2=λ3=1，且秩(λE—M)=秩(E—M)=2．设选项A，B，C，D的矩阵分别记为A，B，C，D，容易计算出其特征值均为1，且秩(λE—A)=秩(E—A)=2，秩(E —B)=秩(E—C)=秩(E—D)=1，若两矩阵相似，其对应的特征值矩阵也相似，故秩相等．所以可以判断选项A正确．知识模块：矩阵的特征值和特征向量5．[2013年] 矩阵与相似的充分必要条件为( )．A．a=0，b=2B．a=0，b为任意常数C．a=2，b=0D．a=2，b为任意常数正确答案：B解析：令，则=λ[λ2一(b+2)λ+2b—2a2]，=λ(λ—2)(λ—b)．因λ=2为B的特征值，故λ=2也必为A的特征值，则｜2E一A｜=2[22一(b+2)·2+2b—2a2]=2(一2a2)=0，所以a=0．因λ=b为B的特征值，故λ=b也必为A的特征值，则｜bE—B｜=b[b2一(b+2)b+2b]=b·0=0，即b可为任意常数．仅B入选．知识模块：矩阵的特征值和特征向量6．[2010年] 设A为四阶实对称矩阵，且A2+A=O，若A的秩为3，则A 相似于( )．A．B．C．D．正确答案：D解析：设λ为A的特征值，则由A2+A=O得到λ2+λ=(λ+1)λ=0，于是A 的特征值为一1或0．又因A为实对称矩阵，故A必与对角矩阵A相似．因A 的秩为3，知，A的非零特征值个数为3，故对角矩阵A的秩也为3．于是A=diag(一1，一1，一1，0)．仅D入选．知识模块：矩阵的特征值和特征向量填空题7．设n阶矩阵A的元素全为1，则A的n个特征值是______．正确答案：n解析：因秩（A）=1，知A有n一1个零特征值λ1=λ2=…=λn-1=0，另一特征值为λn=a11+a22+…+ann=1+1+…+1=n．知识模块：矩阵的特征值和特征向量8．[2009年] 若三维列向量α，β满足αTβ=2，其中αT为α的转置，则矩阵βαT的非零特征值为______．正确答案：2解析：(βαT)T=(βαT)(βαT)=β(αTβ)αT=2βαT，则βαT的任意特征值λ满足λ2=2λ，故矩阵βαT的特征值λ只能为0或2．若λ只能取零，则A为零矩阵，故αTβ=0．这与αTβ=2矛盾，故βαT有非零特征值2．知识模块：矩阵的特征值和特征向量9．[2008年] 设A为二阶矩阵，α1，α2为线性无关的二维列向量，A α1=0，Aα2=2α1+α2，则A的非零特征值为______．正确答案：λ=1解析：因矩阵A满足矩阵等式，可用定义求出A的非零特征值．事实上，因Aα1=0，故A(2α1+α2)=2Aα1+Aα2一Aα2=2α1+α2=1·(2α1+α2)．又因α1，α2线性无关，故2α1+α2≠0，由定义知λ=1为A的非零特征值．知识模块：矩阵的特征值和特征向量10．[2018年] 设二阶矩阵A有两个不同的特征值，α1，α2是A的线性无关的特征向量，且满足A2(α1+α2)=α1+α2，则｜A｜=______．正确答案：-1解析：由A2(α1+α2)=α1+α2可知(A2一E)(α1+α2)=0．α1，α2线性无关，因此方程(A2一E)x=0有非零解，从而｜A2一E｜=0，所以特征值λ满足方程λ2一1=0，即λ=1或λ=一1．又A有两个不同的特征值，所以｜A｜=1·(一1)=一1．知识模块：矩阵的特征值和特征向量解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第五章、矩阵的特征值和特征向量习题答案
n
a2 j a22
j 1
a2n 0
n
anj an2 ann
j 1
1 a12 a1n
1
( a)
a22
a2n
0
1 an2 ann
a 是矩阵A的特征值。
1 1
(
2
)
A
1
a
1
1 1
1 1
A
k 1
a
k
1
1
1
b11
设
Ak
1
1
0 1
1 1,2 1 1,
1
（方法最普通，也是 最常用的 ）
3
0
2
(2,2) (2,2)
2
12 1 2 1
（方法二） 1 1 1
设
1
1,
1
1,
0
00,（方但法较普麻通烦，）
已知 1,,, 线性无关，
然后将其正交化即得 1,2,3
（方法三）（方法较好，但太特殊）
已知
2 0 1 3 1 x 0 4 0 5
(1)2
1 0
4 5
(1)2(6)0
因为矩阵A是可以对角化的，所以当1 2 1时，
(EA)X 有两个线性无关的特征向量。
R(EA)1 1 0 1 (E A) 3 0 x 4 0 4
1 0 1 1 0 1 ~ 3 0 x ~ 0 0 x 3
A1 AT
B
1
BT
(A) 1 B B 1A 1B TA T (A)T B
（方法二）
A,B都是n阶正交矩阵，
AAT AT A E BBT BTB E
(A)B A ( )B TAB TAT BAE TA E (A)B T(A)B BTATA BBTE BE
考研数学一(矩阵的特征值和特征向量)-试卷1
考研数学一（矩阵的特征值和特征向量）-试卷1(总分：54.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.设矩阵A A的三个特征值是( )（分数：2.00）A.1，0，－2．B.1，1，－3．C.3，0，－2．D.2，0，－3．√解析：解析：根据特征值的性质：∑λi＝∑a ii．现在∑a ii＝1＋(－3)＋1＝－1，故可排除选项C．显然，矩阵A中第2、3两列成比例，易知行列式｜A｜＝0，故λ＝0必是A的特征值，因此可排除选项B．对于选项A和选项D，可以用特殊值法，由于说明λ＝1不是A矩阵的特征值．故可排除选项A．所以应选D．3.已知A是4阶矩阵，A *是A的伴随矩阵，若A *的特征值是1，－1，2，4，那么不可逆矩阵是( ) （分数：2.00）A.A－EB.2A－EC.A＋2E √D.A－4E解析：解析：因为A *的特征值是1，－1，2，4，所以｜A *｜＝－8，又｜A *｜＝｜A｜n-1，因此｜A｜3＝－8，于是｜A｜＝－2．那么，矩阵A的特征值是：－2，2，－1，．因此，A－E的特征值是－3，1，－2，，因为特征值非0，故矩阵A－E可逆．同理可知，矩阵A＋2E的特征值中含有0，所以矩阵A＋2E不可逆．所以应选C．4.已知A是n阶可逆矩阵，那么与A有相同特征值的矩阵是( )（分数：2.00）A.A T√B.A 2C.A -1D.A－E解析：解析：由于｜λE－A T｜＝｜(λE－A) T｜＝｜λE－A｜，A与A T有相同的特征多项式，所以A 与A T有相同的特征值．由Aα＝λα，α≠0可得到： A 2α＝λ2α，A -1α＝λ-1α，(A－E)α＝(λ－1)α，说明A 2、A -1、A－E与A的特征值是不一样的(但A的特征向量也是它们的特征向量)．所以应选A．5.已知α＝(1，－2，3) T是矩阵A＝( )（分数：2.00）A.a＝－2，b＝6．√B.a＝2，b＝－6．C.a＝2，b＝6．D.a＝－2，b＝－6．解析：解析：设α是矩阵A属于特征值λ的特征向量，按定义有即有λ＝－4，a＝－2，b＝6，故应选A．6.设A是n阶矩阵，P是n阶可逆矩阵，n维列向量口是矩阵A的属于特征值λ的特征向量，那么在下列矩阵中 (1)A 2 (2)P -1 AP (3)A T (4)E－ A α肯定是其特征向量的矩阵共有( )（分数：2.00）A.1个B.2个√C.3个D.4个解析：解析：由Aα＝λα，α≠0，有A 2α＝A(λα)＝λAα＝λ2α，α≠0，即α必是A 2属于特征值λ2的特征向量．又知α必是矩阵E－A属于特征值1－λ的特征向量．关于(2)和(3)则不一定成立．这是因为 (P -1 AP)(P -1α)＝P -1 Aα＝λP -1α，按定义，矩阵P -1 AP的特征向量是P -1α．因为P -1与α不一定共线，因此α不一定是P -1 AP的特征向量，即相似矩阵的特征向量是不一样的．线性方程组(λE－A)χ＝0与(λE－A T )χ＝0不一定同解，所以α不一定是第二个方程组的解，即α不一定是A T的特征向量．所以应选B．7.设A是n阶矩阵，下列命题中正确的是( )（分数：2.00）A.若α是A T的特征向量，那么α是A的特征向量．B.若α是A *的特征向量，那么α是A的特征向量．C.若α是A 2的特征向量，那么α是A的特征向量．D.若α是2A的特征向量，那么α是A的特征向量．√解析：解析：如果α是2A的特征向量，即(2Aα)＝λα，α≠0．那么Aα＝λα，所以α是矩阵A属于特征值λ的特征向量．由于(λE－A)χ＝0与(λE－A T )χ＝0不一定同解，所以α不一定是A T的特征向量．例如上例还说明当矩阵A不可逆时，A *的特征向量不一定是A的特征向量；A 2的特征向量也不一定是A的特征向量．所以应选D．8.已知三阶矩阵A与三维非零列向量α，若向量组α，Aα，A 2α线性无关，而A 3α＝3Aα－2A 2α，那么矩阵A属于特征值λ＝－3的特征向量是( )（分数：2.00）A.αB.Aα＋2αC.A 2α－Aα√D.A 2α＋2Aα－3α解析：解析：因为A 3α＋2A 2α－3Aα＝0．故 (A＋3E)(A 2α－Aα)＝0＝0(A 2α－Aα)，因为α，Aα，A 2α线性无关，那么必有A 2α－Aα≠0，所以A 2α－Aα是矩阵A＋3E属于特征值λ＝0的特征向量，即矩阵A属于特征值λ＝－3的特征向量．所以应选C．二、填空题(总题数：8，分数：16.00)9.设三阶方阵A的特征值分别为－2，1，1，且B与A相似，则｜2B｜＝ 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：－16）解析：解析：因为相似矩阵有相同的特征向量，矩阵对应的行列式等于特征向量的乘积，因此有｜2B｜＝2 3＝8×(－2)＝－16．10.设3阶矩阵A的特征值分别为1，2，2，E为3阶单位矩阵，则｜4A -1－E｜＝ 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：根据已知条件A的特征值为1，2，2，A -1的特征值为1，4A -1－E的特征值为3，1，1，所以｜4A -1－E｜＝3×1×1＝3．11.设3阶方阵A的特征值是1，2，3，它们所对应的特征向量依次为α1，α2，α3，令P＝(3α3，α1，2α2 )，则P -1 AP＝ 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：因为3α3，α1，2α3分别为A的对应特征值3，1，2的特征向量，所以P -1AP＝12.已知A有一个特征值－2，则B＝A 2＋2E必有一个特征值是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：6）解析：解析：因为λ＝2是A的特征值，所以根据特征值的性质，λ2＋2＝(－2) 2＋2＝6是B＝A 2＋2E的特征值．13.设A是n阶矩阵，λ＝2是A的一个特征值，则2A 2－3A＋5E必定有特征值 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：7）解析：解析：如果λ是A的一个特征值，α是对应于λ的一个特征向量，则Aα＝λα，因此有 A 2α＝A(λα)＝λAα＝λ2 a．因此可知 (2A 2－3A＋5E)α＝2A 2α－3Aα＋5α＝(2λ2－3λ＋5)α，所以2×2 2－3×2＋5＝7一定是2A 2－3A＋5E的一个特征值．14.设A是3阶矩阵，且各行元素的和都是5，则矩阵A一定有特征值 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：5）解析：解析：已知各行元素的和都是5，即＝5，化为矩阵形式，可得满足A一定有一个特征值为5．15.已知A＝ A *是A的伴随矩阵，那么A *的特征值是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：1，7，7）解析：解析：根据矩阵A的特征多项式可得矩阵A的特征值为7，1，1．又因为｜A｜＝λi，可得｜A｜＝7．因为如果Aα＝λα，则有A *α＝α，因此A *的特征值是1，7，7．16.矩阵A 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：2，1解析：解析：｜λE－A｜＝＝(λ－2)(λ－1 )(λ－1＋)，所以A的特征值为λ1＝2，λ2 1＋，λ3＝1－三、解答题(总题数：11，分数：22.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学二(矩阵的特征值和特征向量)-试卷5
考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）-试卷5(总分：66.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.设A是三阶矩阵，其特征值是1，3，一2，相应的特征向量依次是α1 ,α2 ,α3，若P=(α1，2α一1 AP=( )3，一α2 )，则P（分数：2.00）√解析：解析：由Aα2 =3α3，有A(一α2 )=3(一α2 )，即当α2是矩阵A属于特征值λ=3的特征向量时，一α2仍是矩阵A属于特征值λ=3的特征向量。
同理，2α3仍是矩阵A属于特征值λ=一2的特征向量。
当P 一1AP=A时，P由A的特征向量构成，A由A的特征值构成，且P与A的位置是对应一致的，已知矩阵A的特征值是1，3，一2，故对角矩阵A应当由1，3，一2构成，因此排除选项B、C。
由于2α3是属于λ=一2的特征向量，所以一2在对角矩阵A中应当是第二列，所以应选A。
3.已知1是矩阵A属于特征值A=1的特征向量，α2与α3是矩阵A属于特征值λ=5的特征向量，那么矩阵P不能是( )（分数：2.00）A.(α1，一α2，α3 )。
B.(α1，α2 +α3，α2一2α3 )。
C.(α1，α3，α2 )。
D.(α1 +α2，α1一α2，α3 )。
√解析：解析：若α1 ,α2 ,α3 )，则有AP=PA，即(Aα1 ,Aα2 ,Aα3 )=(λ1α1，λ2α2，λ3α3 )，可见αi是矩阵A属于特征值λi (i=1，2，3)的特征向量，又因矩阵P可逆，因此α1 ,α2 ,α3线性无关。
若α是属于特征值λ的特征向量，则一α仍是属于特征值λ的特征向量，故选项A正确。
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第五章 矩阵的特征值与特征向量 习题
1 试用施密特法把下列向量组正交化
(1)⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=931421111) , ,(321a a a
(2)⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---=011101110111) , ,(321a a a 2 设x 为n 维列向量 x T x 1 令HE 2xx T 证明H 是对称的正交阵 3 求下列矩阵的特征值和特征向量:
(1)⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----20133
5212; (2)⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛633312321.
4 设A 为n 阶矩阵 证明A T 与A 的特征值相同
5 设0是m 阶矩阵A mn B nm 的特征值 证明也是n 阶矩阵BA 的特征值.
6 已知3阶矩阵A 的特征值为1 2 3 求|A 35A 27A |
7 已知3阶矩阵A 的特征值为1 2 3 求|A *3A 2E |
8 设矩阵⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=50413102x A 可相似对角化 求x
9 已知p (1 1 1)T 是矩阵⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---=2135
212b a A 的一个特征向量
(1)求参数a b 及特征向量p 所对应的特征值
(2)问A 能不能相似对角化并说明理由
10 试求一个正交的相似变换矩阵, 将对称阵⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----020212022化为对角阵.
11 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=12422421x A 与⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=Λy 45相似 求x y 并求一个正交阵P 使P 1AP
12 设3阶方阵A 的特征值为12 22 31 对应的特征向量依次为p 1(0 1 1)T p 2(1 1 1)T p 3(1 1 0)T 求A .
13 设3阶对称矩阵A 的特征值16 23 33 与特征值16对应的特征向量为p 1(1 1 1)T 求A .
14 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=340430241A 求A 100。