高考数学复数专题复习(专题训练)
高考数学复数专题复习(专题训练)
一、复数选择题1．若复数(1)()(i a i i -+是虚数单位)为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．2 B ．1 C ．0D ．1-2．若复数()()24z i i =--，则z =（ ） A ．76i -- B ．76-+iC ．76i -D ．76i +3．已知复数21iz i=-，则复数z 在复平面内对应点所在象限为（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．已知复数5i5i 2iz =+-，则z =（ ）A B ．C ．D ．5．已知i 为虚数单位，若复数()12iz a R a i+=∈+为纯虚数，则z a +=（ ）A B ．3C ．5D ．6．设()2211z i i=+++，则||z =（ ）A B ．1C ．2D7．若复数z 满足()322iz i i -+=+，则复数z 的虚部为（ ） A ．35B ．35i -C ．35D ．35i8．设2iz i+=，则||z =（ ）A B C ．2D ．59．若复数2i1ia -+（a ∈R ）为纯虚数，则1i a -=（ ）A B C ．3D ．510．在复平面内，复数z 对应的点是()1,1-，则1zz =+（ ） A ．1i -+ B ．1i +C ．1i --D ．1i -11．若1i iz ，则2z z i ⋅-=（ ）A ．B ．4C ．D ．812．在复平面内，复数z 对应的点为(,)x y ，若22(2)4x y ++=，则（ ）A ．22z +=B ．22z i +=C ．24z +=D ．24z i +=13．复数2ii -的实部与虚部之和为（ ） A ．35 B ．15- C ．15D ．3514．复数()()212z i i =-+，则z 的共轭复数z =（ ） A ．43i + B ．34i - C ．34i + D ．43i - 15．已知i 是虚数单位，2i z i ⋅=+，则复数z 的共轭复数的模是（ ）A ．5BC D ．3二、多选题16．i 是虚数单位，下列说法中正确的有（ ） A ．若复数z 满足0z z ⋅=，则0z =B ．若复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z =C ．若复数()z a ai a R =+∈，则z 可能是纯虚数D ．若复数z 满足234z i =+，则z 对应的点在第一象限或第三象限17．已知复数12z =-，则下列结论正确的有（ ）A ．1z z ⋅=B ．2z z =C ．31z =-D ．2020122z =-+ 18．（多选题）已知集合{},nM m m i n N ==∈，其中i 为虚数单位，则下列元素属于集合M 的是（ ） A ．()()11i i -+B ．11ii-+ C ．11ii+- D ．()21i -19．下面关于复数的四个命题中，结论正确的是（ ） A ．若复数z R ∈，则z R ∈ B ．若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈ C ．若复数z 满足1R z∈，则z R ∈ D ．若复数1z ，2z 满足12z z R ∈，则12z z =20．下列说法正确的是（ ） A ．若2z =，则4z z ⋅=B ．若复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z =C ．若复数z 的平方是纯虚数，则复数z 的实部和虛部相等D ．“1a ≠”是“复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数”的必要不充分条件21．下列关于复数的说法，其中正确的是（ ） A ．复数(),z a bi a b R =+∈是实数的充要条件是0b = B ．复数(),z a bi a b R =+∈是纯虚数的充要条件是0b ≠C ．若1z ，2z 互为共轭复数，则12z z 是实数D ．若1z ，2z 互为共轭复数，则在复平面内它们所对应的点关于y 轴对称 22．已知i 为虚数单位，则下列选项中正确的是（ ） A ．复数34z i =+的模5z =B ．若复数34z i =+，则z （即复数z 的共轭复数）在复平面内对应的点在第四象限C ．若复数()()2234224m m m m +-+--i 是纯虚数，则1m =或4m =- D ．对任意的复数z ，都有20z23．已知i 为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ）．A ．234i i i i 0+++=B ．3i 1i +>+C ．若()2z=12i +，则复平面内z 对应的点位于第四象限D ．已知复数z 满足11z z -=+，则z 在复平面内对应的点的轨迹为直线 24．已知复数122,2z i z i =-=则（ ） A ．2z 是纯虚数 B ．12z z -对应的点位于第二象限C ．123z z +=D ．12z z =25．任何一个复数z a bi =+（其中a 、b R ∈，i 为虚数单位）都可以表示成：()cos sin z r i θθ=+的形式，通常称之为复数z 的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：()()()n cos sin co i s s nn nz i n r i r n n N θθθθ+==+⎡⎤⎣∈⎦+，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（ ） A ．22z z = B ．当1r =，3πθ=时，31z =C ．当1r =，3πθ=时，12z =D ．当1r =，4πθ=时，若n 为偶数，则复数n z 为纯虚数26．已知复数z 的共轭复数为z ，且1zi i =+，则下列结论正确的是（ ）A ．1z +=B ．z 虚部为i -C ．202010102z =-D ．2z z z +=27．对于复数(,)z a bi a b R =+∈，下列结论错误．．的是（ ）. A ．若0a =，则a bi +为纯虚数 B ．若32a bi i -=+，则3,2a b == C ．若0b =，则a bi +为实数 D ．纯虚数z 的共轭复数是z -28．以下命题正确的是（ ）A ．0a =是z a bi =+为纯虚数的必要不充分条件B ．满足210x +=的x 有且仅有iC ．“在区间(),a b 内()0f x '>”是“()f x 在区间(),a b 内单调递增”的充分不必要条件D ．已知()f x =()1878f x x '=29．已知i 为虚数单位,下列命题中正确的是( ) A ．若x ,y ∈C ,则1x yi i +=+的充要条件是1x y == B ．2(1)()a i a +∈R 是纯虚数C ．若22120z z +=,则120z z == D ．当4m =时,复数22lg(27)(56)m m m m i --+++是纯虚数 30．设复数z 满足12z i =--,i 为虚数单位,则下列命题正确的是( )A ．|z |=B ．复数z 在复平面内对应的点在第四象限C ．z 的共轭复数为12i -+D ．复数z 在复平面内对应的点在直线2y x =-上【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、复数选择题 1．D 【分析】由复数乘法化复数为代数形式，然后根据复数的分类求解． 【详解】 ，它为纯虚数， 则，解得． 故选：D ． 解析：D 【分析】由复数乘法化复数为代数形式，然后根据复数的分类求解． 【详解】2(1)()1(1)i a i a i ai i a a i -+=+--=++-，它为纯虚数，则1010a a +=⎧⎨-≠⎩，解得1a =-．故选：D ．2．D 【分析】由复数乘法运算求得，根据共轭复数定义可求得结果. 【详解】 ，. 故选：.解析：D 【分析】由复数乘法运算求得z ，根据共轭复数定义可求得结果. 【详解】()()2248676z i i i i i =--=-+=-，76z i ∴=+.故选：D .3．B 【分析】对复数进行化简，再得到在复平面内对应点所在的象限. 【详解】，在复平面内对应点为，在第二象限. 故选：B.解析：B 【分析】对复数z 进行化简，再得到z 在复平面内对应点所在的象限. 【详解】21i z i =-()()()2111i i i i +=+-()1+1+i i i ==-，z 在复平面内对应点为()1,1-，在第二象限. 故选：B.4．B 【分析】根据复数的四则运算法则及模的计算公式，即可得到选项. 【详解】 由题，得，所以. 故选：B.解析：B 【分析】根据复数的四则运算法则及模的计算公式，即可得到选项. 【详解】 由题，得()()()5i 2+i 5i5i 5i 1+7i 2i 2i 2+i z =+=+=---，所以z == 故选：B.5．A【分析】根据复数运算,化简后由纯虚数的概念可求得，.进而求得复数,再根据模的定义即可求得 【详解】由复数为纯虚数，则，解得 则 ，所以，所以 故选：A解析：A 【分析】根据复数运算,化简后由纯虚数的概念可求得a ，.进而求得复数z ,再根据模的定义即可求得z a + 【详解】()()()()()()2221222*********i a i a a i a ii a z a i a i a i a a a +-++--++====+++-+++ 由复数()12i z a R a i +=∈+为纯虚数，则222012101a aa a +⎧=⎪⎪+⎨-⎪≠⎪+⎩，解得2a =- 则z i =- ，所以2z a i +=--，所以z a += 故选：A6．D 【分析】利用复数的乘除法运算法则将化简，然后求解． 【详解】 因为， 所以，则． 故选：D ． 【点睛】本题考查复数的运算，解答时注意复数的乘法运算符合多项式乘法的运算法则，计算复数的除法时，解析：D 【分析】利用复数的乘除法运算法则将z 化简，然后求解||z ． 【详解】因为()()()()2221211*********i z i i i i i i i i i -=++=+++=-++-=+++-，所以1z i =-，则z = 故选：D ． 【点睛】本题考查复数的运算，解答时注意复数的乘法运算符合多项式乘法的运算法则，计算复数的除法时，需要给分子分母同乘以分母的共轭复数然后化简．7．A 【分析】由复数的除法法则和乘法法则计算出，再由复数的定义得结论． 【详解】 由题意，得， 其虚部为， 故选：A.解析：A 【分析】由复数的除法法则和乘法法则计算出z ，再由复数的定义得结论． 【详解】 由题意，得()()()()()23343313343434552i i ii z ii i i i ----====-++-+， 其虚部为35， 故选：A.8．B 【分析】利用复数的除法运算先求出，再求出模即可. 【详解】 ， .故选：B ．解析：B 【分析】利用复数的除法运算先求出z ，再求出模即可. 【详解】()22212i ii z i i i++===-，∴z ==故选：B ．9．B 【分析】把给出的复数化简，然后由实部等于0，虚部不等于0求解a 的值，最后代入模的公式求模. 【详解】 由复数（）为纯虚数，则 ，则 所以 故选：B解析：B 【分析】把给出的复数化简，然后由实部等于0，虚部不等于0求解a 的值，最后代入模的公式求模. 【详解】由()()()()()()21i 2221112a i a a ia i i i i ----+-==++- 复数2i 1i a -+（a ∈R ）为纯虚数，则202202a a -⎧=⎪⎪⎨+⎪≠⎪⎩ ，则2a =所以112ai i -=-=故选：B10．A 【分析】由得出，再由复数的四则运算求解即可. 【详解】 由题意得，则. 故选：A解析：A 【分析】由()1,1-得出1i z =-+，再由复数的四则运算求解即可. 【详解】由题意得1i z =-+，则1i 1i i 111i 1i i i 1z z -----+==⋅==-++-.11．A 【分析】化简复数，求共轭复数，利用复数的模的定义得． 【详解】 因为，所以， 所以 故选：A解析：A 【分析】化简复数z ，求共轭复数z ，利用复数的模的定义得2i z z --． 【详解】 因为1111i z i i i+==+=-，所以1z i =+，所以()()211222z z i i i i i ⋅-=-+-=-= 故选：A12．B 【分析】利用复数模的计算公式即可判断出结论． 【详解】因为复数对应的点为，所以 ，满足则 故选：B解析：B 【分析】利用复数模的计算公式即可判断出结论． 【详解】因为复数z 对应的点为(,)x y ，所以z x yi =+x ，y 满足22(2)4x y ++=则22z i +=故选：B13．C 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】，的实部与虚部之和为. 故选：C易错点睛：复数的虚部是，不是.解析：C 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】()()()2+1212222+555i i i i i i i i -+===-+--，2i i ∴-的实部与虚部之和为121555-+=. 故选：C 【点睛】易错点睛：复数z a bi =+的虚部是b ，不是bi .14．D 【分析】由复数的四则运算求出，即可写出其共轭复数. 【详解】 ∴， 故选：D解析：D 【分析】由复数的四则运算求出z ，即可写出其共轭复数z . 【详解】2(2)(12)24243z i i i i i i =-+=-+-=+∴43z i =-， 故选：D15．C 【分析】首先求出复数的共轭复数，再求模长即可. 【详解】 据题意，得，所以的共轭复数是，所以. 故选：C.解析：C 【分析】首先求出复数z 的共轭复数，再求模长即可. 【详解】据题意，得22(2)12121i i i i z i i i ++-+====--，所以z 的共轭复数是12i +，所以z =.故选：C.二、多选题16．AD【分析】A 选项，设出复数，根据共轭复数的相关计算，即可求出结果；B 选项，举出反例，根据复数模的计算公式，即可判断出结果；C 选项，根据纯虚数的定义，可判断出结果；D 选项，设出复数，根据题解析：AD【分析】A 选项，设出复数，根据共轭复数的相关计算，即可求出结果；B 选项，举出反例，根据复数模的计算公式，即可判断出结果；C 选项，根据纯虚数的定义，可判断出结果；D 选项，设出复数，根据题中条件，求出复数，由几何意义，即可判断出结果.【详解】A 选项，设(),z a bi a b R =+∈，则其共轭复数为(),z a bi a b R =-∈， 则220z z a b ⋅=+=，所以0a b ，即0z =；A 正确；B 选项，若11z =，2z i =，满足1212z z z z +=-，但12z z i =不为0；B 错；C 选项，若复数()z a ai a R =+∈表示纯虚数，需要实部为0，即0a =，但此时复数0z =表示实数，故C 错；D 选项，设(),z a bi a b R =+∈，则()2222234z a bi a abi b i =+=+-=+， 所以22324a b ab ⎧-=⎨=⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩或21a b =-⎧⎨=-⎩，则2z i =+或2z i =--， 所以其对应的点分别为()2,1或()2,1--，所以对应点的在第一象限或第三象限；D 正确. 故选：AD.17．ACD【分析】分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D 选项的时候注意利用复数乘方的性质.【详解】因为，所以A 正确；因为，，所以，所以B 错误；因为，所以C 正确；因为，所以，所以D 正确解析：ACD【分析】分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D 选项的时候注意利用复数乘方的性质.【详解】因为111312244z z ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭=⎝⋅，所以A 正确；因为22112222z ⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭=，12z =，所以2z z ≠，所以B 错误；因为321112222z z z i ⎛⎫⎛⎫=⋅=---=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以C 正确；因为6331z z z =⋅=，所以()202063364431112222z z z z z ⨯+⎛⎫===⋅=-⋅-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以D 正确，故选：ACD.【点睛】本题考查复数乘法与乘方的计算，其中还涉及到了共轭复数的计算，难度较易.18．BC【分析】根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项.【详解】根据题意，中，时，；时，；时，；时，，.选项A 中，；选项B 中，；选项C 中，；选项D 中，.解析：BC【分析】根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项.【详解】 根据题意，{},n M m m i n N ==∈中， ()4n k k N =∈时，1n i =；()41n k k N =+∈时，n i i =；()42n k k N =+∈时，1n i =-；()43n k k N =+∈时，n i i =-，{}1,1,,M i i ∴=--.选项A 中，()()112i i M -+=∉；选项B 中，()()()211111i i i i i i M --==-+-∈+； 选项C 中，()()()211111i i i i i i M ++==-+∈-； 选项D 中，()212i i M -=-∉.故选：BC.【点睛】此题考查复数的基本运算，涉及复数的乘方和乘法除法运算，准确计算才能得解. 19．AC【分析】根据复数的运算法则，以及复数的类型，逐项判断，即可得出结果.【详解】A 选项，设复数，则，因为，所以，因此，即A 正确；B 选项，设复数，则，因为，所，若，则；故B 错；C 选项，设解析：AC【分析】根据复数的运算法则，以及复数的类型，逐项判断，即可得出结果.【详解】A 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则(i ,)z a b a b =-∈R ，因为z R ∈，所以0b =，因此z a R =∈，即A 正确；B 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则()22222z a bi a b abi =+=-+，因为2z ∈R ，所0ab =，若0,0a b =≠，则z R ∉；故B 错；C 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则22222211a bi a b i z a bi a b a b a b -===-++++， 因为1R z∈，所以220b a b =+，即0b =，所以z a R =∈；故C 正确； D 选项，设复数1(,)z a bi a b R =+∈，2(,)z c di c d R =+∈，则()()()()12z z a bi c di ac bd ad bc i =++=-++，因为12z z R ∈，所以0ad bc +=，若11a b =⎧⎨=⎩，22c d =⎧⎨=-⎩能满足0ad bc +=，但12z z ≠，故D 错误.故选：AC.【点睛】本题主要考查复数相关命题的判断，熟记复数的运算法则即可，属于常考题型.20．AD【分析】由求得判断A ；设出，，证明在满足时，不一定有判断B ；举例说明C 错误；由充分必要条件的判定说明D 正确.【详解】若，则，故A 正确；设，由，可得则，而不一定为0，故B 错误；当时解析：AD【分析】 由z 求得z z ⋅判断A ；设出1z ，2z ，证明在满足1212z z z z +=-时，不一定有120z z =判断B ；举例说明C 错误；由充分必要条件的判定说明D 正确.【详解】 若2z =，则24z z z ⋅==，故A 正确；设()11111,z a bi a b R =+∈，()22222,z a b i a b R =+∈ 由1212z z z z +=-，可得()()()()222222121212121212z z a a b b z z a a b b +=+++=-=-+-则12120a a b b +=，而()()121122121212121212122z z a bi a b i a a bb a b i b a i a a a b i b a i =++=-++=++不一定为0，故B 错误；当1z i =-时22z i =-为纯虚数，其实部和虚部不相等，故C 错误；若复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数，则210a -≠，即1a ≠± 所以“1a ≠”是“复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数”的必要不充分条件，故D 正确； 故选：AD【点睛】本题考查的是复数的相关知识，考查了学生对基础知识的掌握情况，属于中档题.21．AC【分析】根据复数的有关概念和充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：对于：复数是实数的充要条件是，显然成立，故正确；对于：若复数是纯虚数则且，故错误；对于：若，互为共轭复数解析：AC【分析】根据复数的有关概念和充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：对于A ：复数(),z a bi a b R =+∈是实数的充要条件是0b =，显然成立，故A 正确；对于B ：若复数(),z a bi a b R =+∈是纯虚数则0a =且0b ≠，故B 错误；对于C ：若1z ，2z 互为共轭复数，设()1,z a bi a b R =+∈，则()2,z a bi a b R =-∈，所以()()2122222z a bi a bi a b b z i a =+-=-=+是实数，故C 正确； 对于D ：若1z ，2z 互为共轭复数，设()1,z a bi a b R =+∈，则()2,z a bi a b R =-∈，所对应的坐标分别为(),a b ，(),a b -，这两点关于x 轴对称，故D 错误；故选：AC【点睛】本题主要考查复数的有关概念的判断，利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，属于基础题．22．AB【分析】求解复数的模判断；由共轭复数的概念判断；由实部为0且虚部不为0求得值判断；举例说明错误．【详解】解：对于，复数的模，故正确；对于，若复数，则，在复平面内对应的点的坐标为，在第四解析：AB【分析】求解复数的模判断A ；由共轭复数的概念判断B ；由实部为0且虚部不为0求得m 值判断C ；举例说明D 错误．【详解】解：对于A ，复数34z i =+的模||5z ==，故A 正确；对于B ，若复数34z i =+，则34z i =-，在复平面内对应的点的坐标为(3,4)-，在第四象限，故B 正确；对于C ，若复数22(34)(224)m m m m i +-+--是纯虚数，则223402240m m m m ⎧+-=⎨--≠⎩，解得1m =，故C 错误； 对于D ，当z i 时，210z =-<，故D 错误．故选：AB ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，属于基础题． 23．AD【分析】根据复数的运算判断A ；由虚数不能比较大小判断B ；由复数的运算以及共轭复数的定义判断C ；由模长公式化简，得出，从而判断D.【详解】，则A 正确；虚数不能比较大小，则B 错误；，则，解析：AD【分析】根据复数的运算判断A ；由虚数不能比较大小判断B ；由复数的运算以及共轭复数的定义判断C ；由模长公式化简11z z -=+，得出0x =，从而判断D.【详解】234110i i i i i i +++=--+=，则A 正确；虚数不能比较大小，则B 错误；()221424341z i i i i =++=+-+=，则34z i =--，其对应复平面的点的坐标为(3,4)--，位于第三象限，则C 错误； 令,,z x yi x y R =+∈，|1||1z z -=+∣，=，解得0x =则z 在复平面内对应的点的轨迹为直线，D 正确；故选：AD【点睛】本题主要考查了判断复数对应的点所在的象限，与复数模相关的轨迹（图形）问题，属于中档题.24．AD【分析】利用复数的概念及几何有意义判断A 、B 选项是否正确，利用利用复数的四则运算法则计算及，并计算出模长，判断C 、D 是否正确.【详解】利用复数的相关概念可判断A 正确；对于B 选项，对应的解析：AD【分析】利用复数的概念及几何有意义判断A 、B 选项是否正确，利用利用复数的四则运算法则计算12z z +及12z z ，并计算出模长，判断C 、D 是否正确.【详解】利用复数的相关概念可判断A 正确；对于B 选项，1223z z i -=-对应的点位于第四象限，故B 错；对于C 选项，122+=+z z i ，则12z z +==，故C 错；对于D 选项，()122224z z i i i ⋅=-⋅=+，则12z z ==D 正确.故选：AD【点睛】本题考查复数的相关概念及复数的计算，较简单. 25．AC【分析】利用复数的三角形式与模长公式可判断A 选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B 选项的正误；计算出复数，可判断C 选项的正误；计算出，可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，，则，可得解析：AC【分析】利用复数的三角形式与模长公式可判断A 选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B 选项的正误；计算出复数z ，可判断C 选项的正误；计算出4z ，可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，()cos sin z r i θθ=+，则()22cos2sin 2z r i θθ=+，可得()222cos 2sin 2z r i r θθ=+=，()222cos sin z r i r θθ=+=，A 选项正确； 对于B 选项，当1r =，3πθ=时，()33cos sin cos3sin3cos sin 1z i i i θθθθππ=+=+=+=-，B 选项错误；对于C 选项，当1r =，3πθ=时，1cos sin 332z i ππ=+=+，则12z =，C 选项正确；对于D 选项，()cos sin cos sin cos sin 44n n n n z i n i n i ππθθθθ=+=+=+， 取4n =，则n 为偶数，则4cos sin 1z i ππ=+=-不是纯虚数，D 选项错误.故选：AC.【点睛】本题考查复数的乘方运算，考查了复数的模长、共轭复数的运算，考查计算能力，属于中等题.26．ACD【分析】先利用题目条件可求得，再根据复数的模的计算公式，以及复数的有关概念和复数的四则运算法则即可判断各选项的真假．【详解】由可得，，所以，虚部为；因为，所以，．故选：ACD ．【解析：ACD【分析】先利用题目条件可求得z ，再根据复数的模的计算公式，以及复数的有关概念和复数的四则运算法则即可判断各选项的真假．【详解】由1zi i =+可得，11i z i i+==-，所以12z i +=-==，z 虚部为1-；因为2422,2z i z =-=-，所以()5052020410102z z ==-，2211z z i i i z +=-++=-=． 故选：ACD ．【点睛】本题主要考查复数的有关概念的理解和运用，复数的模的计算公式的应用，复数的四则运算法则的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题．27．AB【分析】由复数的代数形式的运算，逐个选项验证可得．【详解】解：因为当且时复数为纯虚数，此时，故A 错误，D 正确；当时，复数为实数，故C 正确；对于B ：，则即，故B 错误；故错误的有AB解析：AB【分析】由复数的代数形式的运算，逐个选项验证可得．【详解】解：因为(,)z a bi a b R =+∈当0a =且0b ≠时复数为纯虚数，此时z bi z =-=-，故A 错误，D 正确；当0b =时，复数为实数，故C 正确；对于B ：32a bi i -=+，则32a b =⎧⎨-=⎩即32a b =⎧⎨=-⎩，故B 错误； 故错误的有AB ；故选：AB【点睛】本题考查复数的代数形式及几何意义，属于基础题． 28．AC【分析】利用纯虚数的概念以及必要不充分条件的定义可判断A 选项的正误；解方程可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系结合充分不必要条件的定义可判断C 选项的正误；利用基本初等函数的导数公式解析：AC【分析】利用纯虚数的概念以及必要不充分条件的定义可判断A 选项的正误；解方程210x +=可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系结合充分不必要条件的定义可判断C 选项的正误；利用基本初等函数的导数公式可判断D 选项的正误.综合可得出结论.【详解】对于A 选项，若复数z a bi =+为纯虚数，则0a =且0b ≠，所以，0a =是z a bi =+为纯虚数的必要不充分条件，A 选项正确；对于B 选项，解方程210x +=得x i =±，B 选项错误；对于C 选项，当(),x a b ∈时，若()0f x '>，则函数()f x 在区间(),a b 内单调递增， 即“在区间(),a b 内()0f x '>”⇒“()f x 在区间(),a b 内单调递增”.反之，取()3f x x =，()23f x x '=，当()1,1x ∈-时，()0f x '≥， 此时，函数()y f x =在区间()1,1-上单调递增，即“在区间(),a b 内()0f x '>”⇐/“()f x 在区间(),a b 内单调递增”.所以，“在区间(),a b 内()0f x '>”是“()f x 在区间(),a b 内单调递增”的充分不必要条件.C 选项正确；对于D 选项，()11172488f x x x ++===，()1878f x x -'∴=，D 选项错误. 故选：AC.【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及充分条件与必要条件的判断、实系数方程的根以及导数的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 29．BD【分析】选项A ：取,满足方程，所以错误；选项B ：,恒成立，所以正确；选项C ：取,,，所以错误；选项D ：代入，验证结果是纯虚数，所以正确.【详解】取,,则,但不满足,故A 错误；,恒成解析：BD【分析】选项A ：取x i =,y i =-满足方程，所以错误；选项B ：a ∀∈R ,210a +>恒成立，所以正确；选项C ：取1z i =,21z =,22120z z +=，所以错误；选项D ：4m =代入 22lg(27)(56)m m m m i --+++，验证结果是纯虚数，所以正确.【详解】取x i =,y i =-,则1x yi i +=+,但不满足1x y ==,故A 错误；a ∀∈R ,210a +>恒成立,所以2(1a i +)是纯虚数,故B 正确；取1z i =,21z =,则22120z z +=,但120z z ==不成立,故C 错误;4m =时，复数2212756=42g m m m m i i --+++()()是纯虚数,故D 正确.故选:BD .【点睛】本题考查复数有关概念的辨析，特别要注意复数的实部和虚部都是实数，解题时要合理取特殊值，属于中档题.30．AC【分析】根据复数的模、复数对应点的坐标、共轭复数等知识，选出正确选项.【详解】,A 正确;复数z 在复平面内对应的点的坐标为,在第三象限,B 不正确;z 的共轭复数为,C 正确;复数z 在复平面内对解析：AC【分析】根据复数的模、复数对应点的坐标、共轭复数等知识，选出正确选项.【详解】||z ==A 正确;复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)--,在第三象限,B 不正确;z 的共轭复数为12i -+,C 正确;复数z 在复平面内对应的点(1,2)--不在直线2y x =-上,D 不正确.故选:AC【点睛】本小题主要考查复数的有关知识，属于基础题.。
高考数学复习专题：复数
考法一 高考数学复习专题：复数复数的实部与虚部【例1-1】（2023·山西临汾·统考一模）复数()+=+z i 2i 54i 2)(的虚部为（ ）A ．−3iB ．−6iC ．−3D ．−6【答案】D【解析】+−+−+−−=====−−+−−−−z i(2i)12i (12i)(12i)536i 5(4i )1515(12i)1530i2，虚部为−6.故选：D. 【例1-2】（2023·河南·长葛市第一高级中学统考模拟预测）已知复数=−z 1i ，则+z z212的实部为（ ） A ．101 B ．−101 C ．51D ．−51【答案】A【解析】：因为=−z 1i ，所以+=−+−=−z z 2(1i)2(1i)24i 22， 所以+−−+====+++z z 224i (24i)(24i)20105i 1124i 24i 112，所以+z z 212的实部为101.故选：A.【例1-3】（2023·重庆·统考一模）设复数z 满足+⋅=z z i i 1，则z 的虚部为（ ）A ．−21B ．21C ．−1D ．1【答案】B【解析】设=+∈z a b a b i(,R)，则=−z a b i ，所以+−+a b a b i(i)i=1i， −−+=a b a b (i )i+1，得=b 21，解得=b 21，所以复数z 的虚部为21.故选：B. 考法二 共轭复数【例2-1】（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）复数z 满足+=−z (1i)24i 2，则复数z 的共轭复数=z （ ） A ．−12i B ．−−2i C ．−+2i D ．+2i【答案】C【解析】将式子+=−z (1i)24i 2化简可得，()+===−−−−z 1i 2i2i 24i24i2，根据共轭复数定义可知=−+z 2i ，故选:C【例2-2】（2023·陕西西安·统考一模）复数−=z 1i ()2i 2的共轭复数为（ ） A ．−2i B ．−4iC ．2iD ．4i【答案】C 【解析】=−+−+==−+z ((1i)(1i))2i 1[]i 2i(1i)22，则=z 2i ，所以复数−=z 1i()2i 2的共轭复数为2i .故选：C【例2-3】（2023·全国·唐山市第十一中学校考模拟预测）已知复数z 满足−−+=z z 2i 3i 0，则z 的共轭复数=z （ ） A ．+1i B ．−1i C ．+5i 1D ．−5i 1【答案】B【解析】由−−+=z z 2i 3i 0，得−=−z 12i 3i −+=−+(12i)(12i)(3i)(12i)==++51i 55i ，所以=−z 1i .故选：B考法三 复数的模长【例3-1】（2022·北京·统考高考真题）若复数z 满足⋅=−z i 34i ，则=z （ ） A ．1 B ．5C ．7D ．25【答案】B【解析】由题意有()⋅−===−−−−−z i i i 43i 34i 34i i )()(，故==z ||5．故选：B ．【例3-2】（2023秋·山西太原·高三太原五中校考期末）已知+=−zz 12i 3，则=z （ ）AB ．3C ．2D 【答案】D 【解析】由+=−zz 12i 3，得−=+z z 3i 2i ，−=+z 12i 3i )(，所以()()−−+===++++z 12i 12i 12i 55i 3i 173i 12i )()(，所以=z D ．【例3-3】（2023·全国·模拟预测）若复数z 满足⋅⋅+⋅−=z z z z 1112)()(，则+=z i （ ）AB C ．3D ．5【答案】B【解析】设=+z x y i ，∈x y ,R .所以+⋅−⋅++⋅−+=x y x y x y x y (i)(i)1i 1i 12)()(， 所以+−−+x y x y xy ()(12i)=122222，所以−−−−++=x y x y xy x y 122()i 0442222，所以⎩+=⎨−−−−=⎧xy x y x y x y 2()0120224422，所以⎩+=⎨+−−−=⎧xy x y x y x y 2()0()(1)120222222， 当+=x y 022时，方程组无解；当=≠x y 0,0时，++=y y 12042没有实数解； 当x 0,y=0≠时，−−=∴=∴=±x x x x 120,4,2422,所以=z 2或−2.所以当=z 2时，+=+z i |2；当=−z 2时，+=−+z i |2所以+=z i 故选：B考法四 复数对应的象限【例4-1】（2021·全国·统考高考真题）复数−−13i2i在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】−===−++−+13i 101022i 55i 1i2i 13i )()(，所以该复数对应的点为⎝⎭ ⎪⎛⎫22,11，该点在第一象限， 故选：A.【例4-2】（2023·全国·模拟预测）若复数=−+z a 2i 1i )()(在复平面内对应的点位于第四象限，则实数a 的取值范围为（ ） A ．+∞2,)( B ．−∞−,2)( C ．−2,2)( D ．0,2)(【答案】A【解析】由于=−+=+−−=++−z a a a a a 2i 1i 22i i i 22i 2)()()(，所以复数z 在复平面内对应的点的坐标为+−a a 2,2)(，则⎩−<⎨⎧+>a a 2020，解得>a 2，所以实数a 的取值范围为+∞2,)(，故选：A ．【例4-3】（2023·湖南·模拟预测）已知i 是虚数单位，复数R =−=+∈z z a a 12i,2i 12)(在复平面内对应的点为P ，Q ，若OP OQ ⊥（O 为坐标原点），则实数a =（ ） A ．−2 B ．−1 C ．0 D ．1【答案】D【解析】复数=−=+z z a 12i,2i 12，则−P 1,2)(，Q a 2,1)(，则(1,2OP =−)，(2,1OQ a =)， OP OQ ⊥，∴−=a 220，解得=a 1，故选：D.考法五 复数的分类【例5-1】（2023·全国·高三专题练习）已知i 为虚数单位，复数＋＋=z a 2i 1i 3)()(为纯虚数，则=z （ ） A ．0 B ．21C ．2D ．5【答案】D【解析】由题意，在＋＋=z a 2i 1i 3)()(中，=−+=+−+=++−z a a a a a 2i 1i 22i i 221i)()()(∵z 为纯虚数，∴，+=−≠a a 20210，∴=−a 2，∴=−z 5i ∴=z 5，故选：D ． 【例5-2】（湖北省武汉市2023届高三下学期二月调研数学试题）若虚数z 使得z 2+z 是实数，则z 满足（ ） A ．实部是−21B ．实部是21C ．虚部是0D ．虚部是21【答案】A【解析】设=+z a b i （∈a b ,R 且≠b 0）+=+++=+−++=+−++z z a b a b a ab b a b a a b ab b (i)(i)2i i (2)i 222222， +z z 2是实数，因此+=ab b 20，=b 0（舍去），或=−a 21．故选：A ． 【例5-3】（2022秋·江苏南京·高三校考期末）设a 为实数，若存在实数t ，使得+−−t a 2i(1)i 12为实数（i 为虚数单位），则a 的取值范围是（ ）A ．≥−a 2B ．0a<C ．≥−a 1D ．−≤≤−a 21【答案】C 【解析】由题知，⎝⎭⎪+−=+−=−−⎛⎫−−−t t t a a a 2i 2i 2(1)i (1)i 1i 111i 2222)(， 因为存在实数t ，使得+−−t a 2i (1)i 12为实数，所以关于t 的方程−−=−t a 21012有实数根， 所以，=+t a 212有实数根，所以=≥+t a 2012，即≥−a 1所以，a 的取值范围是≥−a 1故选：C考法六 相等复数【例6-1】（2022·全国·统考高考真题）设++=a b (12i)2i ，其中a b ,为实数，则（ ） A ．==−a b 1,1 B ．==a b 1,1 C ．=−=a b 1,1 D ．=−=−a b 1,1【答案】A【解析】因为a b ,R ，++=a b a 2i 2i )(，所以+==a b a 0,22，解得：==−a b 1,1．故选：A.【例6-2】（2023·云南红河· ）A ．⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪−+−⎛⎫⎛⎫33cos isin ππB 2i 1C ．−1iD ．3i π【答案】A⎝⎭⎝⎭==211，由⎝⎭ ⎪−==⎛⎫332cos cos 1ππ，⎝⎭⎪−=−=−⎛⎫332sin sin ππ，A 正确，B 、C 、D 错误.故选：A ．考法七 在复数范围内解方程【例7-1】（2022·高一课时练习）复数2i 的平方根是（ ） A ．+1i 或−−1i B ．2iC ．+1iD ．−−1i【答案】A【解析】设2i 的平方根为+∈x y x y i(,R)，则+=x y (i)2i 2，即−+=x y xy 2i 2i 22，从而⎩=⎨−=⎧xy x y 22,0,22解得⎩=⎨⎧=y x 11,或⎩=−⎨⎧=−y x 1.1,所以复数2i 的平方根是+1i 或−−1i ，故选：A【例7-2】（2021·湖南衡阳·衡阳市八中校考模拟预测）已知复数−i 2是关于x 的方程++=∈x px q p q R 0,2)(的一个根，则+=pi q （ ）A．25 B ．5C D ．41【答案】C【解析】因为复数−i 2是关于x 的方程++=x px q 02的一个根，所以−+−+=i p i q 2202)()(，所以+=+−pi q i p 423，所以==−p q p 4,23，所以==p q 4,5，则+=+=pi q i 45 C.【例7-3】（2021·江苏·一模）已知+i 2是关于x 的方程++=x ax 502的根，则实数a =（ ） A ．−i 2 B ．−4 C ．2 D ．4【答案】B【解析】因为+i 2是关于x 的方程++=x ax 502的根，则另一根为−i 2 由韦达定理得++−=−i i a 22)()(，所以=−a 4 故选：B考法八 复数的综合运用【例8-1】（2023春·浙江·高三校联考开学考试）复数=−−z 2211，复数z 2满足⋅=z z 112，则下列关于z 2的说法错误的是（ ）A ．=−z 212B ．=z 12C ．z 2D ．z 2在复平面内对应的点在第二象限【答案】C【解析】对于A ，由已知可得，==z z 112==21=−421)(=−21，故A 正确.对于B ，因为=−z 212，所以==z 12，故B 正确；对于C ，根据复数的概念可知z 2，故C 错误；对于D ，根据复数的概念可知z 2在复平面内对应的点为⎝⎭⎪ ⎪−⎛⎫221，故D 正确.故选：C.【例8-2】（2023·高一课时练习）已知z 1、∈z C 2，且=z 11，若+=z z 2i 12，则−z z 12的最大值是（ ）． A ．6 B ．5 C ．4 D ．3【答案】C【解析】设=+∈z a b a b i,,R 1)(，=z 11，故+=a b 122，+=z z 2i 12，则=−+−z a b 2i 2)(，−=+−===z z a b 222i 12)(∈−b 1,1][，当1b时，−z z 12有最大值为4.故选：C【例8-3】（2023江苏镇江）（多选）已知复数=+z a b i 111，=+z a b i 222（a 1，b 1，a 2，b 2均为实数），下列说法正确的是（ ） A ．若=z z 212，则>z z 12B ．z 1的虚部为b 1C ．若z z =12，则=z z 1222D ．=z z 1122【答案】BD【解析】对于A ，复数不等比较大小，A 项错误；对于B ，复数=+z a b i 111，a 1是实部，b 1是虚部，B 项正确；对于C ，z z =12==−+z a b a b 2i 11111222，=−+z a b a b 2i 22222222，不能得到=z z 1222，所以C 项错误；对于D ，=+z a b 111222，=−+z a b a b 2i 11111222，==+z a b 111222，所以=z z 1122，D 项正确；故选：BD.强化训练1．（2022·全国·统考高考真题）若=−z 1，则−=zz z1（ ）A ．−1 B ．−1C ．−31D ．−31【答案】C【解析】=−=−−=+=z zz 1(1113 4.−==−zz z 131故选 ：C2．（2023秋·湖北·高三湖北省云梦县第一中学校联考期末）若复数z 满足+⋅=+z (12i)34i （其中i 是虚数单位），复数z 的共轭复数为z ，则（ ） A ．z 的实部是115 B ．z 的虚部是52C ．复数z 在复平面内对应的点在第一象限D ．=z 5 【答案】C【解析】由题设++−===−++−z 12i (12i)(12i)55i 34i (34i)(12i)112，==z ||=+z 55i 112, A 选项，z 的实部是511，故A 错误；B 选项，z 的虚部是−52，故B 错误； C 选项，复数z 对应的坐标为⎝⎭⎪⎛⎫55,112，在复平面内对应的点在第一象限，故C 正确；D 选项，z D 错误.故选：C3．（2023秋·江苏·高三统考期末）若复数z 满足≤−z 12，则复数z 在复平面内对应点组成图形的面积为（ ） A ．π B ．π2 C ．π3 D ．π4【答案】D【解析】z 在复平面对应的点是半径为2的圆及圆内所有点，=S π4，故选：D.4．（2023·内蒙古赤峰·统考模拟预测）已知R ∈a ，+=+a (5i)i 15i （i 为虚数单位），则a =（ ） A ．−1 B ．1 C ．−3 D ．3【答案】A【解析】由题意知，+=−+=+a a (5i)i 5i 15i ，则=−a 1.故选：A.5．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）若复数z 满足−=z z 2i ，则++=z 32i （ ）A B C ．D 【答案】B【解析】+==−z 1i1i 2，则++=+=z 32i 4i B. 6．（2023·辽宁·校联考模拟预测）已知复数=−z 2i ，且−+=z az b i ，，其中a ，b 为实数，则−=a b （ ） A ．－2 B ．0C ．2D ．3【答案】C【解析】由题意得=+z 2i ，则代入原式得：+−−+=a b 2i 2i i )(，即−+++=a b a i 221i )()(，所以⎩+=⎨⎧−+=a a b 11220，解得⎩=−⎨⎧=b a 20，所以−=a b 2．故选：C ．7．（2023·四川凉山·统考一模）已知复数z 满足=+−z1i 13i，z 是z 的共轭复数，则+z z 等于（ ） A ．−2i B ．−2C ．−4iD ．−1【答案】B【解析】由题意在=+−z 1i 13i 中，()()++−−====−=−−−−++−−z 1i 1i 1i 1i 212i 13i 3i 4i 14i 213i 1i 22)()( ∴=−+z 12i ∴+=−−−+=−z z 12i 12i 2故选：B.8．（2023·浙江·永嘉中学校联考模拟预测）若+=z 12i i （i 为虚数单位），则=z （ ）A．5 B CD 【答案】B【解析】由+=z 12i i 得==−+z i2i 12i，所以==z ，故选：B 9．（2023·江苏南通·统考一模）在复平面内，复数z z ,12对应的点关于直线−=x y 0对称，若=−z 1i 1，则−=z z 12（ ）A B ．2C ．D ．4【答案】C【解析】=−z 1i 1对应的点为1,1，其中1,1关于−=x y 0的对称点为−1,1)(，故=−+z 1i 2，故−=−−=−==z z 1i+1i 22i 12故选：C10．（2023·陕西西安·校考模拟预测）已知复数z 满足=+z i21，其中i 为虚数单位，则z 的共轭复数在复平面内所对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A【解析】=+z i2=2-i 1，所以z 的共轭复数为=+z 2i ，对应在复平面内的点为（2，1），在第一象限， 故选：A11（2023·陕西榆林·统考一模）已知+−−=−z z z z 282i )()(，则+=z i （ ）A．B ．CD 【答案】A【解析】设R =+∈z a b a b i ,)(，则+−−=+=−=−z z z z z z a b 2342i 82i )()(，则==a b 2,1，故+=+=z i 22i 故选：A12．（2023·贵州毕节·统考一模）已知复数=+++z a a a 1i 2)(为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．0 B ．0或−1C ．1D ．−1【答案】A【解析】因为复数=+++z a a a 1i 2)(为纯虚数，则⎩+≠⎨+=⎧a a a 1002，解得=a 0.故选：A.13．（2023·全国·模拟预测）已知复数z 满足−=+z z 2537i )(，则z 的虚部为（ ） A ．−1311B ．511 C ．1329 D ．−529 【答案】C【解析】对−=+z z 2537i )(移项并整理，得−=+z 23i 57i )(， ∴()()−−+===−++++z 23i 23i 23i 1313i 57i 112957i 23i )()(，∴z 的虚部为1329.故选：C. 14．（2022·全国·统考高考真题）若=+z 1i ．则+=z z |i 3|（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】因为=+z 1i ，所以+=++−=−z z i 3i 1i 31i 22i )()(，所以+==z z i 3 故选：D.15．（2023春·江苏常州·高三校联考开学考试）若复数R +=∈+z a a 3i3i)(是纯虚数，则=z （ ） A ．−1 B ．−iC ．−a iD ．3i【答案】B 【解析】==+−++−z a a a 10103i 3i 339i )()()(为纯虚数，=−=a z 1,i ，=−z i ，故选：B .16．（2023春·安徽阜阳·高三阜阳市第二中学校考阶段练习）i 是虚数单位，设复数z 满足−=+z i 113i )(，则z 的共轭复数对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】因为+==13i 2，所以−−+−====−+++−+z i 1(i 1)(i 1)222i 23i (23i)(i 1)15i 15， 所以=+z 22i 15，所以z 的共轭复数对应的点位于第一象限，故选：A 17．（2023秋·浙江·高三期末）已知复数=+∈=z b b z i2i(R),212（其中i 为虚数单位），若−z z 12=b （ ） A ．1 B ．−5 C ．1或−5 D ．−1或5【答案】C【解析】由题意得==−z i2i 22，则−=++z z b 2(2)i 12，所以−==z z 12−b =5或=b 1，故选：C18．（2023广东深圳）设复数z 满足⋅+=−+z 12i 34i )(，则z 的虚部为（ ） A ．−2i B ．2iC ．−2D ．2【答案】D【解析】由⋅+=−+z 12i 34i )(可得++====−−−+z 12i 12i 512i 55(12i)34i ，故=+z 12i ，则z 的虚部为2，故选：D19．（2022·山东济南·山东省实验中学校考模拟预测）虚数单位i 的平方根是（ ） A ．−1B．−−i 22C+22D．+22或 【答案】D【解析】设i 的平方根为+∈a bi a b R (,)，则+=−+=a bi a b abi i ()2222，所以⎩=⎨−=⎧ab a b 21022，解得⎩⎪=⎪⎨⎪⎪=⎧b a 22或⎩⎪=⎪⎨⎪⎪=−⎧b a 2． 所以i的平方根为+i 22或−22． 故选：D ．20．（2023·山西大同·大同市实验中学校考模拟预测）若复数z 满足+−=+z z z z 2+323i )()(，则z =（ ） A ．+22i 11B ．−22i 11C ．+22iD ．−22i【答案】A【解析】设=+∈z a b a b i ,R )(，则=−z a b i ，所以+=++−=z z a b a b a i i 2)()(，−=+−−=z z a b a b b i i 2i )()(，所以+−=++z z z z a b 2+346i=23i )()(，所以===+a b z 2222,,i 1111.故选：A 21．（2023·广东佛山·统考一模）设复数z 满足+=−z 1i 52i 2)(，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】∵+=−z 1i 52i 2)(，则()+===−−−−z 1i 2i 21i 52i52i 52，∴z 在复平面内对应的点为⎝⎭ ⎪−−⎛⎫21,5，位于第三象限.故选：C.22．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知复数+z1i 为纯虚数，且+=z 1i1 ，则z =（ ） A ．−1i B ．+1i C ．−+1i 或−1i D ．−−1i 或+1i【答案】C【解析】设=+z a b i (a ，b ∈R )，则++===+++−+−z a b a b b aa b 1i 1i 222i i i 1i )()( ， 因为复数+z 1i 为纯虚数，所以⎩⎪≠⎪−⎨⎪⎪=⎧+b a a b 20,20,解得⎩≠⎨⎧=−a b a b ,, 又+=z 1i 1，所以=−b a 21或=−−b a21，解得=b 1或1b ，所以=−+z 1i 或=−z 1i ．故选:C23．（2023·安徽马鞍山·统考一模）若复数z 满足−=−zz z i 3i ，则z 的虚部为（ ） A ．−1 B ．2C ．1或2D ．−1或2【答案】D【解析】设复数=+∈z a b a b i(,R)，因为−=−zz z i 3i ，即+−−=−a b a b i 3i 22，所以⎩=⎨+−=⎧a a b b 1322，解得：1b或=b 2，所以z 的虚部为−1或2，故选：D .24．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知复数z 满足−=z (12i)i 2023，则=z （ ） A ．−55i 21 B ．+55i 21C ．−55i 12D ．+55i 12【答案】A【解析】因为=⨯=−ii ii 202321011)(，所以()()−−−+====−−−+z 12i 12i 12i 12i 55i i i 21i 12i 2023)(，故选：A. 25．（2023·河南郑州·统考一模）已知i 是虚数单位，若复数z 的实部为1，⋅=z z 4，则复数z 的虚部为（ ）A．B ．C ．−1或1D ．【答案】A【解析】由题意，设=+z b 1i ，则=−z b 1i ，所以⋅=+−=z z b b 1i 1i 4)()(，即+=b 142，所以=b =−z 1或z =+1，所以复数z 的虚部为故选：A.26．（2023·陕西宝鸡·校联考模拟预测）已知复数=++z 1i i 3)(，则复数z 的模为（ ）AB ．CD 【答案】C【解析】因为=++=−+z 2i(1i)i 23i ，所以=z C.27．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考一模）已知复数=−z i 12的共轭复数为z ，则−=z i2（ ） A ．−1i B ．+2iC ．+1iD ．−+1i【答案】A【解析】由题知=+z 12i ，所以−+==−z i1i 1i 22故选：A 28．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知复数=−z 12i 1，=+z 1i 2，则复数z z 12的模z z 12等于（ ）A B C ．D ．【答案】B【解析】复数=−z 12i 1，=+z 1i 2，则=−+=−z z (12i)(1i)3i 12，所以==z z 12故选：B29．（2023·广东梅州·统考一模）已知复数z 满足z +=−1i 2i )(，i 是虚数单位，则z 在复平面内的对应点落在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】由z +=−1i 2i )(可得+===−−−−−z 1i 21i 2i (2i)(1i)， 则z 在复平面内的对应点为−−(1,1)，落在第三象限，故选：C 30．（2023秋·辽宁·高三校联考期末）已知z 是纯虚数，−+z 1i2是实数，那么=z （ ） A ．2i B ．iC ．−iD ．−2i【答案】A【解析】因为z 是纯虚数，故可设）=≠z b b i(0，所以()()−−−+=+−−+z b b 1i 1i 1i 1i =22i 2i 1i )()(=++−b b 222i)(，因为−+z 1i 2是实数，所以−=b 20，即=b 2，所以=z 2i .故选：A31．（2023秋·江苏南京·高三南京师范大学附属中学江宁分校校联考期末）设a 为实数，若存在实数t ，使+−−t a 2i(1)i i2为实数(i 为虚数单位)，则a 的取值范围是（ ） A ．≥−a 2 B ．0a< C ．≤−a 1 D ．≤−a 2【答案】A 【解析】⎝⎭⎪+−+−−−+−−+−−⎛⎫−−−t t t t a a a a 2i 222221i=1i=i 1i=1i i11i i 2222)()()()()(， 因为存在实数t ，使+−−t a 2i (1)i i 2为实数，a 为实数，所以存在实数t ，−−=t a2102，故存在实数t ，−=t a 222， 所以≥−a 2，故选：A.32．（2023·吉林·长春十一高校联考模拟预测）设复数z 满足+=z i 2，z 在复平面内对应的点为x y ,)(，则（ ） A ．−+=x y 1422)( B ．++=x y 1422)( C ．+−=x y 1422)( D ．++=x y 1422)(【答案】D【解析】z 在复平面内对应的点为，x y ()，则复数=∈z x y x y +i,,R ，则+=++=z x y i (1)i 2，由复数的模长公式可得++=x y (1)422，故选：D ．33．（2023秋·广东广州·高二广东实验中学校考期末）设复数z 满足−=−z z z 1，则z 在复平面上对应的图形是（ ） A ．两条直线 B ．椭圆 C ．圆 D ．双曲线【答案】A【解析】设=+z x y i ，则=−z x y i ，−=−z z z 1可得：−+=x y y 12222)()(，化简得：−=x y 1322)(，即−=x y 13或−=−x y 13，则z 在复平面上对应的图形是两条直线.故选：A34．（2022春·上海黄浦·高三上海市敬业中学校考开学考试）满足条件−=+z i 34i （i 是虚数单位）的复数z 在复平面上对应的点的轨迹是（ ） A ．直线 B ．圆 C ．椭圆 D ．双曲线【答案】B【解析】因为+==34i 5，设=+z x y i ∈x y ,R )(，所以−=+−z x y i 1i )(，所以i −==z 5，两边平方得+−=x y 12522)(，满足条件的复数在复平面上对应的点的轨迹是圆， 故选：B35（2023春·湖南株洲·高二株洲二中校考开学考试）已知复数z 满足+=+ααz 1i sin i cos )(（i 是虚数单位），则=z （ ）A ．21B C ．2D ．1【答案】B【解析】因为+=+ααz 1i sin i cos )(， 所以()()++−===+++−++−ααααααααz 1i 1i 1i 22i sin i cos sin cos sin cos sin i cos 1i )()(，解得==z 故选：B36．（2022秋·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考期末）已知复数+1i 是关于x 的方程++=∈x px q p q 0(,R)2的一个根，则+=p q i （ ）A．4 B ．C ．8D ．【答案】D【解析】因为复数+1i 是关于x 的方程++=x px q 02的一个根，所以⎩+=⎨++++=⇒+++=⇒⎧+=p p q p q p p q 201i 1i 02i 002)()()(，解得=−=p q 2,2，所以+==p qi另解：因为复数+1i 是关于x 的方程++=∈x px q p q 0(,R)2的一个根， 所以复数−1i 也是关于x 的方程++=∈x px q p q 0(,R)2的一个根， 所以有++−==−+−==p q 1i 1i 2,1i 1i 2)()(解得=−=p q 2,2，所以+=p qi 故选：D37．（2023·全国·模拟预测）若复数=+++⋅⋅⋅+z n i i i i 23，∈n N *则z 的最大值为（ ）A．1 B C D ．2【答案】B【解析】因为=i i 1，=−i 12，=−i i 3，=i 14，，=+k i i 41，=−+k i 142，=−+k i i 43，=k i 14，∈k N ，且+++=i i i i 0234，所以当=n k 4，∈k N *)(时=z 0，则=z 0，当=+n k 41，∈k N )(时=z i ，则=z 1，当=+n k 42，∈k N )(时=−+z 1i ，则==z当=+n k 43，∈k N )(时=−z 1，则=z 1，所以z 故选：B38．（2021秋·上海浦东新·高三上海南汇中学校考阶段练习）已知函数+=−−x f x x 1()log (1)212的定义域为A ,复数−=−−z a 12ii 3i,若∈a A ,则z ||的取值范围是( )A ．<z 1B ．≤<z 1C ．≤≤z 1D ．<≤z 1【答案】B 【解析】由+−>−x x 11021,得+>−+x x 102,即−<<x 12,所以=−A (1,2) 因为复数−=−=−+−=+−−z a a a 12i 5i (3i)(12i)i 1(1)i 3i 1所以z ||因为∈−a (1,2),所以z || 故选：B39．（2023春·上海浦东新·高三上海市实验学校校考开学考试）设z 1，z 2为复数，下列命题一定成立的是（ ）A ．如果=z a 1，a 是正实数，那么=z z a 112B ．如果z z =12，那z z =±12C ．如果≤z a 1，a 是正实数，那么−≤≤a z a 1D ．如果+=z z 01122，那么==z z 012 【答案】A【解析】设）（，=+=+∈z x y z x y x y x y i,i ,,,R 1112221122，对A ：∵==z a 1，则+=x y a 11222，∴=+−=+=z z x y x y x y a i i 11111111222)()(，A 正确；对B ：∵z z =12=+=+x y x y 11222222，不能得到=±=±x x y y ,1212，更不能得到z z =±12，例如==z z 1,i 12，则==z z 112，但≠±z z 12，B 错误；对C ：∵=z a 1，则+≤x y a 11222，但只有实数才能比较大小，对于虚数无法比较大小，C 错误；对D ：∵+=z z 01122，则+++=−++−+=+−−++x y x y x y x y x y x y x x y y x y x y i i 2i 2i 2i=0112211112222121211222222222222)()()()()()(，可得⎩+=⎨+−−=⎧x y x y x x y y 00112212122222，不能得到====x y x y 01122，例如==z z 1,i 12，则+=−=z z 1101122，但显然≠≠z z 0,012，D 错误.故选：A.40．（2022秋·山西阳泉·高三统考期末）已知复数1232023i i i i 1i +++++=z ，则复数z 的虚部是（ ） A ．21B ．−21C ．2i 1D ．−2i 1【答案】A 【解析】1232023i i i i 1i 1i 1i++++===+++−−+−−+++++++z i 1i 505i 1i 1i i i 505i i i i 1231234)()()()(+===−−+−−1i 2211i1i )(，故虚部为21 ，故选：A 41．（2022春·广西）下列关于复数的命题中（其中i 为虚数单位），说法正确的是（ ）A ．若关于x 的方程+++−=∈i x ax i a R 11402)()(有实根，则=−a 25B ．复数z 满足+=z i i12020)(，则z 在复平面对应的点位于第二象限C ．=−+++z a a a i 412312)(，=++i z a a a 222)(（i 为虚数单位，∈a R ），若>−a 21，则>z z 12D ．+i 12是关于x 的方程++=x px q 02的一个根，其中p ､q 为实数，则=q 5 【答案】D【解析】对于A 中，设方程的实数根为t ，代入方程可得+++−=i i t at 11402)(，所以⎩−=⎨++=⎧t t at 401022，解得=±a 25，所以A 不正确；对于B 中，复数+=z i i 12020)(，可得==−++=i i i i z 12112112020，则复数z 在复平面内对应的点为−22(,)11，位于第四象限，所以B 不正确；对于C 中，复数=−+++z a a a i 412312)(，=++i z a a a 222)(，当>−a 21时，可知当+≠a a 02时 ，因为虚数不能比较大小，所以C 不正确；对于D 中，+i 12是关于x 的方程++=x px q 02的一个根， 根据复数方程的性质，可得−i 12也是方程的根，可得⎩+−=⎨⎧++−=−i i q i i p (12)(12)1212，解得=−=p q 2,5，所以D 正确.故选：D.42．（2023秋·河北唐山·高三统考期末）（多选）已知i 为虚数单位，复数，，=−=+∈z a z a a 2i 2i R 12)(，下列结论正确的有（ ）A ．z z =12B ．=z z 12C ．若+=⋅z z z z 21212)(，则=a 2D ．若=−z i 2，则=a 0 【答案】AC【解析】A 选项，==z z 12，A 选项正确. B 选项，=+≠z a z 2i 12，B 选项错误. C 选项，+=++−z z a a 22424i 12)()(， ⋅=+−z z a a 44i 122)(，若+=⋅z z z z 21212)(，则⎩−=−⎨⎧+=a a a a 2442442，解得=a 2，所以C 选项正确. D 选项，当=a 0时，=≠−z 2i 2，所以D 选项错误. 故选：AC43．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）（多选）设i 为虚数单位，下列关于复数的命题正确的有（ ） A ．=⋅z z z z 1212B ．若z z ,12互为共轭复数，则z z =12C ．若z z =12，则=z z 1222D ．若复数=++−z m m 11i )(为纯虚数，则=−m 1【答案】ABD 【解析】由题意得：对于选项A ：令=+=+z a b z c d i,i 12则⋅=++=−++z z a b c d ac bd ad bc i i i 12)()()( =−++ac bd ad bc 22)()(=⋅z z 12所以=⋅z z z z 1212，故A 正确；对于选项B ：令=+=−z a b z a b i,i 12，z z 12z z =12，故B 正确；对于选项C ：令=+=−z a b z a b i,i 12，==z z 12，根据复数的乘法运算可知：=+=−+z a b a b ab i 2i 12222)(，=−=−−z a b a b ab i 2i 22222)( ，≠z z 1222，所以C 错误；对于选项D ：若复数=++−z m m 11i )(为纯虚数，则+=m 10，即=−m 1，故D 正确. 故选：ABD44．（2023春·安徽·高三校联考开学考试）（多选）若复数=+z i 121，=−z 73i 2，则下列说法正确的是（ ）．A ．=z 1B ．在复平面内，复数z 2所对应的点位于第四象限C ．⋅z z 12的实部为13D ．⋅z z 12的虚部为−11 【答案】ABC【解析】由题意得，==z 1A 正确；在复平面内，复数z 2所对应的点为−7,3)(，位于第四象限，故B 正确； ∵⋅=+−=−++=+z z 12i 73i 73i 14i 61311i 12)()(， ∴⋅z z 12的实部为13，虚部为11，故C 正确，D 错误． 故选:ABC ．45．（2023秋·浙江宁波·高三期末）（多选）已知∈z z C ,12，且=+=z z z 10112，则（ ）A ．当R =−=+∈z z x y x y 1i,i(,)12时，必有++−=x y (1)(1)1022B ．复平面内复数z 1C ．−=z i 1min 1D ．=+z z 1max12【答案】BD【解析】A 项：+=⇒++−=z z x y 10111001222)()(，故错误；B 项：因为=z 1，故正确；C 项：−≥−=z i z i ||||111，当z 1与i 对应向量同向时取等，故错误；D 项：==≤==+z z 112+z z 12与z 1对应向量反向时取等，故正确. 故选：BD.46．（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）（多选）设z 1，z 2为复数，则下列四个结论中正确的是（ ）A ．−=+−z z z z z z 412121222)(B ．−z z 11是纯虚数或零C ．+≤+z z z z 1212恒成立D ．存在复数z 1，z 2，使得<z z z z 1212【答案】BC【解析】对于A ：+−=−z z z z z z 412121222)()(，令−=+z z x y i 12， 则−=+=−+z z x y x y xy i 2i 122222)()(，−==+z z x y 12222，+xy 22与−+x y xy 2i 22不一定相等，故A 错误；对于B ：=+z a b i 1，则=−z a b i 1，−=z z b 2i 11，当=b 0时为零，当≠b 0时为纯虚数，故B 正确；对于C ：=+=+==z x y z a b z z i,i,1212则+=z z 12+=z z ||||12，(ay bx −≥02),则+−≥a y b x abxy 202222，∴+++≥++a x b x a y b y a x b y abxy 442222222222222)()(∴++≥+x y a b ax by 42222222)()()(∴+ax by 22∴++++≥+++++x y a b x y a b ax by 2222222222，∴≥22，∴+−+≥z z z z ||||0121222)()(故C 正确；对于D ：设=+=+==z x y z a b z z i,i,1212则z z ||||12=+++=−++z z ax xb ay by ax by xb ay i i i i 122)()(==z z 12z z ||||12，故D 错误.故选：BD.47．（2022秋·甘肃甘南）（多选）已知=+∈z a b a b i ,R )(为复数，z 是z 的共轭复数，则下列命题一定正确的是（ ）A ．若z 2为纯虚数，则=≠a b 0B ．若∈z R 1，则∈z RC ．若−=z i 1，则z 的最大值为2D ．⋅=z z z ||2【答案】BCD【解析】对于A ，=+=−+z a b a b ab (i)2i 2222)(为纯虚数，所以⎩≠⎨−=⎧ab a b 20022，即=±≠a b 0，所以A 错误；对于B ，()()++−++===−−z a b a b a b a b a ba b a bi i i i 11i 2222， 因为∈zR 1，所以=b 0，从而∈z R ，所以B 正确；对于C ， 由复数模的三角不等式可得=−+≤−+=z z z i i i i 2)(，所以C 正确；对于D ，⋅=+−=+=z z a b a b a b z i i ||222)()(，所以D 正确.故选：BCD ．48．（2023秋·吉林长春·高三长春市第二中学校考期末）（多选）已知复数z 1，z 2，则下列结论中一定正确的是（ ） A ．若=z z 012，则=z 01或=z 02B ．若+=z z 01222，则==z z 012 C ．若=z z 1222，则z z =12D ．若z z =12，则=z z 1222【答案】AC【解析】对于A ， 设=+=+∈z x y z a b x y a b i,i,,,,R 12)(， 若=z z 012，则=++=−=z z x y a b xa yb xb ya i i ++i 012)()()(，所以⎩=⎨⎧−=xb ya xa yb +00，即⎩=−⎨⎧=xb ya xa yb，所以=−x y ab ab 22，若0a b ，则=−x y ab ab 22成立，此时=z 02；若，=≠a b 00，由=xa yb 得=y 0，由=−xb ya 得=x 0，此时=z 01； 若，≠≠a b 00，由=−x y ab ab 22得=−x y 22，所以==x y 0，此进=z 01， 所以若=z z 012，则=z 01或=z 02，故A 正确；对于B ，设=+=−z z 1i,1i,12则+=+−=z z 1i +1i 0122222)()(，故B 不正确； 对于C ，设=+=+∈z x y z a b x y a b i,i,,,,R 12)(，所以=+−=−∈z x y x y xy z a b ab x y a b i =+2i,+2i ,,,R 12222222)()(，若=z z 1222，则⎩⎩==⎨⎨⇒⎧−=−⎧=xy ab y b x y a b x a 222222或⎩=−⎨⎧=−y b x a ， 所以z z =12，故C 正确；对于D ， 由z z =12，取=+z 1i 1，=−z 1i 2满足条件，而=≠=−z z 2i 2i 1222，故D 不正确. 故选：AC.49．（2023·高一课时练习）在复平面上的单位圆上有三个点Z 1，Z 2，Z 3，其对应的复数为z 1，z 2，z 3．若−=+=z z z 1213△Z Z Z 123的面积S ＝______．【解析】由题意知，===z z z 1123， 由复数的加减法法则的几何意义及余弦定理，得⋅∠==−+−−z z Z OZ z z z z 22cos 112121212222，即∠=︒Z OZ 12012，⋅∠=−=+−+z z Z OZ z z z z 22cos 113131313222，即∠=︒Z OZ 6013，当OZ 2与OZ 3反向，=⨯⨯=S 22221；当线段OZ3在∠Z OZ12的内部时，==S2211所以△Z Z Z123..50（2023·高三课时练习）已知复数=−θz cos i1，=+θz sin i2，则⋅z z12的最大值为______．【答案】23【解析】⋅=⋅== z z z z1212===∵∈θsin20,12][，∴当=θsin212时，⋅z z12=23.故答案为：23.51．（2023·=______．====21)52．（2023·高一课时练习）设z 1，z 2，∈z C 3，下列命题中，假命题的个数为______． ①z z −=11；②若=z z 1222，则⋅=⋅z z z z 1122；③⋅=z z z z z z 3333121222； ④若−+−=z z z z 0122322)()(，则==z z z 123；⑤+≤z z z z 2121222．【答案】2【解析】令+z a b =i 1，+z c d =i 2，则−z a b =i 1,−z c d =i 2.则①−==z z 11，判断正确；②若=z z 1222，则=z z 1222，则=z z 1222又⋅=z z z 1112，⋅=z z z 2222，则⋅=⋅z z z z 1122.判断正确；③==⋅z z z z z z z z z 333333121212222.判断正确； ④若令z =2i 1，z =i 2，+z =1i 3，则−+−=−+=z z z z 110122322)()(， 但此时≠≠z z z 123.判断错误； ⑤当+z =23i 1，+z =2i 2时，=<+−=−=−z z z z z z 22i 402212121222)()(，即+>z z z z 2121222.判断错误.故答案为：253．（2023·上海·统考模拟预测）设∈z z ,C 12且=⋅z z i 12，满足−=z 111，则−z z 12的取值范围为_____．【答案】⎣⎡0,2【解析】设=+=+∈z a b z c d a b c d i,i,,,,R 12，=−z c d i 2，则+=⋅−=+a b c d d c i i i i )(，所以⎩=⎨⎧=b c a d ，−=−+==z a b 11i 11)(，所以−+=a b 1122)(，即z 1对应点a b ,)(在以1,0)(为圆心，半径为1的圆−+=x y 1122)(上.=+=+z c d b a i i 2，z 2对应点为b a ,)(，a b ,)(与b a ,)(关于=y x 对称，所以点b a ,)(在以0,1)(为圆心，半径为1的圆+−=x y 1122)(上，−z z 12表示a b ,)(与b a ,)(两点间的距离，圆−+=x y 1122)(与圆+−=x y 1122)(，如图所示，所以−z z 12的最小值为0+=112所以−z z 12的取值范围为⎣⎡0,2.故答案为：⎣⎡0,254．（2023·高三课时练习）复数z 1与z 2在复平面上对应的向量分别为OZ 1与OZ 2，已知=z i 1，OZ OZ ⊥12，且=OZ OZ 12，则复数=z 2______.【答案】1或−1【解析】依题意，(3,1)OZ =1，设(,)OZ x y =2，由OZ OZ ⊥12得：30OZ OZ ⋅=+=x y 12，由=OZ OZ 12得：+=x y 422，联立解得⎩⎪=⎨⎪⎧=y x 1⎩⎪⎨⎪⎧=−y x 1(1,3)OZ =−2或(1,3)OZ =−2，所以=z 12或=−z 12.故答案为：1或−155（2023·高三课时练习）已知复数z 满足−−≤−−+z z 12log 11121，则z 在复平面上对应的点Z所围成区域的面积为______． 【答案】π21 【解析】12log 1,2,215z z z z −+−+−−−−≤−∴≥<−≤z 12121111，∴=−=s π(52)21π22. 故答案为: π2156（2022春·上海闵行·高三上海市七宝中学校考阶段练习）已知=+z x y i ，x 、∈y R ，i 是虚数单位.若复数++z1ii 是实数，则z ||的最小值为______.【【解析】复数++−+=+=+=++−++−+−+z x y x y y x x y y x 1i (1i)(1i)222i i i i (i)(1i)()i 2是实数， 所以=−+y x 202，得=+x y 2.所以===≥z ||当且仅当=−y 1，=x 1取等号，所以z ||.。
高考数学一轮复习专题训练—复数
复数考纲要求1.理解复数的基本概念；2.理解复数相等的充要条件；3.了解复数的代数表示法及其几何意义；4.会进行复数代数形式的四则运算；5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．知识梳理1．复数的有关概念(1)定义：形如a ＋b i(a ，b ∈R)的数叫做复数，其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部(i 为虚数单位)． (2)分类：(3)复数相等：a ＋b i ⇔a ＝c 且b ＝d ((4)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R)．(5)模：向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|a ＋b i|或|z |，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R)．2．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i 一一对应复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R)． (2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)一一对应平面向量OZ →. 3．复数的运算(1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R. z 1±z 2＝(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i. z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(bc ＋ad )i.z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)． (2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图所示给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→，Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→.1．i 的乘方具有周期性i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0，n ∈N *. 2．(1±i)2＝±2i ，1＋i 1－i ＝i ；1－i1＋i ＝－i.3．复数的模与共轭复数的关系 z ·z ＝|z |2＝|z |2. 4．两个注意点(1)两个虚数不能比较大小；(2)利用复数相等a ＋b i ＝c ＋d i 列方程时，注意a ，b ，c ，d ∈R 的前提条件．诊断自测1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)中，虚部为b i.( )(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( ) (3)原点是实轴与虚轴的交点．( )(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．( )答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√解析 (1)虚部为b ；(2)虚数不可以比较大小．2．已知i 为虚数单位，a 为实数，复数z 满足z ＋3i ＝a ＋a i ，若复数z 是纯虚数，则( ) A ．a ＝3 B ．a ＝0 C ．a ≠0 D ．a <0答案 B解析 由z ＋3i ＝a ＋a i ，得z ＝a ＋(a －3)i.又因为复数z 是纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，a －3≠0，解得a ＝0.3．已知(1＋2i)z ＝4＋3i ，则z ＝________. 答案 2＋i解析 因为z ＝4＋3i1＋2i＝4＋3i 1－2i 1＋2i 1－2i＝10－5i5＝2－i ，所以z ＝2＋i.4．(2020·北京卷)在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i·z ＝( ) A ．1＋2i B ．－2＋i C ．1－2i D ．－2－i答案 B解析 z ＝1＋2i ，∴i·z ＝i(1＋2i)＝－2＋i.故选B.5．(2019·全国Ⅲ卷改编)设复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则|z |＝( ) A.12 B ．22C ． 2D ．2答案 C解析 法一 由(1＋i)z ＝2i ，得z ＝2i1＋i ＝1＋i ，所以|z |＝ 2.法二 因为2i ＝(1＋i)2，所以由(1＋i)z ＝2i ＝(1＋i)2，得z ＝1＋i ，所以|z |＝ 2. 6．(2021·安庆一中月考)已知复数z ＝2i1－i3，则z 在复平面内对应的点所在的象限为第________象限． 答案 二 解析 ∵z ＝2i1－i3＝－1－i 21－i3＝－11－i＝－12－i 2， ∴z ＝－12＋i2对应的点⎝⎛⎭⎫－12，12位于第二象限．考点一 复数的相关概念1．(2020·浙江卷)已知a ∈R ，若a －1＋(a －2)i(i 为虚数单位)是实数，则a ＝( ) A ．1 B ．－1C ．2D ．－2答案 C解析 由题可知复数的虚部为a －2，若该复数为实数，则a －2＝0，即a ＝2.故选C. 2．(2019·全国Ⅱ卷)设z ＝i(2＋i)，则z ＝( ) A ．1＋2i B ．－1＋2iC ．1－2iD ．－1－2i答案 D解析 ∵z ＝i(2＋i)＝－1＋2i ，∴z ＝－1－2i.故选D. 3．(2020·全国Ⅰ卷)若z ＝1＋2i ＋i 3，则|z |＝( ) A ．0 B ．1C ． 2D ．2答案 C解析 ∵z ＝1＋2i ＋i 3＝1＋2i －i ＝1＋i ，∴|z |＝12＋12＝ 2.故选C.4．(2021·西安调研)下面关于复数z ＝－1＋i(其中i 为虚数单位)的结论正确的是( ) A.1z 对应的点在第一象限 B ．|z |<|z ＋1| C ．z 的虚部为i D ．z ＋z <0 答案 D解析∵z＝－1＋i，∴1z＝1－1＋i＝－1－i－1＋i－1－i＝－12－i2.则1z对应的点在第三象限，故A错误；|z|＝2，|z＋1|＝1，故B错误；z的虚部为1，故C错误；z＋z＝－2<0，故D正确．感悟升华 1.复数z＝a＋b i(a，b∈R)，其中a，b分别是它的实部和虚部．若z为实数，则虚部b＝0，与实部a无关；若z为虚数，则虚部b≠0，与实部a无关；若z为纯虚数，当且仅当a＝0且b≠0.2．复数z＝a＋b i(a，b∈R)的模记作|z|或|a＋b i|，即|z|＝|a＋b i|＝a2＋b2.3．复数z＝a＋b i(a，b∈R)的共轭复数为z＝a－b i，则z·z＝|z|2＝|z|2，即|z|＝|z|＝z·z，若z∈R，则z＝z.利用上述结论，可快速、简洁地解决有关复数问题．考点二复数的几何意义【例1】(1)(2019·全国Ⅰ卷)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则() A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1(2)(2020·临沂质检)已知a1－i＝－1＋b i，其中a，b是实数，则复数a－b i在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案(1)C(2)B解析(1)由已知条件，可设z＝x＋y i(x，y∈R)．∵|z－i|＝1，∴|x＋y i－i|＝1，∴x2＋(y－1)2＝1.故选C.(2)由a1－i＝－1＋b i，得a ＝(－1＋b i)(1－i)＝(b －1)＋(b ＋1)i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1＝0，a ＝b －1，即a ＝－2，b ＝－1， ∴复数a －b i ＝－2＋i 在复平面内对应点(－2,1)，位于第二象限．感悟升华 1.复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)一一对应Z (a ，b )一一对应OZ →＝(a ，b )．2．由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此解题时可运用数形结合的方法，可把复数、向量与解析几何联系在一起，使问题的解决更加直观．【训练1】 (1)若复数z ＝(2＋a i)(a －i)在复平面内对应的点在第三象限，其中a ∈R ，i 为虚数单位，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－2，2) B ．(－2，0) C ．(0，2)D ．[0，2)(2)(2021·郑州模拟)已知复数z 1＝2－i2＋i 在复平面内对应的点为A ，复数z 2在复平面内对应的点为B ，若向量AB →与虚轴垂直，则z 2的虚部为________． 答案 (1)B (2)－45解析 (1)z ＝(2＋a i)(a －i)＝3a ＋(a 2－2)i在复平面内对应的点在第三象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a <0，a 2－2<0，解得－2<a <0.(2)z 1＝2－i 2＋i ＝2－i 22＋i 2－i ＝35－45i ，所以A ⎝⎛⎭⎫35，－45， 设复数z 2对应的点B (x 0，y 0)，则AB →＝⎝⎛⎭⎫x 0－35，y 0＋45， 又向量AB →与虚轴垂直，∴y 0＋45＝0，故z 2的虚部y 0＝－45.考点三 复数的运算【例2】 (1)(2020·全国Ⅰ卷)若z ＝1＋i ，则|z 2－2z |＝( ) A ．0B ．1C ． 2D ．2(2)在数学中，记表达式ad －bc 为由⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd 所确定的二阶行列式．若在复数域内，z 1＝1＋i ，z 2＝2＋i 1－i ，z 3＝z 2，则当⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1 z 2z 3 z 4＝12－i 时，z 4的虚部为________． 答案 (1)D (2)－2解析 (1)法一 z 2－2z ＝(1＋i)2－2(1＋i)＝－2，|z 2－2z |＝|－2|＝2. 法二 |z 2－2z |＝|(1＋i)2－2(1＋i)|＝|(1＋i)(－1＋i)| ＝|1＋i||－1＋i|＝2. 故选D. (2)依题意，⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1 z 2z 3 z 4＝z 1z 4－z 2z 3，因为z 3＝z 2，且z 2＝2＋i1－i ＝2＋i1＋i2＝1＋3i 2，所以z 2·z 3＝|z 2|2＝52，因此有(1＋i)z 4－52＝12－i ，即(1＋i)z 4＝3－i ，故z 4＝3－i 1＋i＝3－i1－i2＝1－2i.所以z 4的虚部是－2.感悟升华 1.复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i 的幂写成最简形式． 2．记住以下结论，可提高运算速度： (1)(1±i)2＝±2i ；(2)1＋i 1－i ＝i ；(3)1－i 1＋i＝－i ；(4)－b ＋a i ＝i(a ＋b i)；(5)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i(n ∈N)．【训练2】 (1)(2020·新高考山东卷)2－i1＋2i＝( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i(2)(2020·全国Ⅱ卷)设复数z 1，z 2满足|z 1|＝|z 2|＝2，z 1＋z 2＝3＋i ，则|z 1－z 2|＝________. 答案 (1)D (2)2 3 解析 (1)2－i 1＋2i ＝2－i1－2i 1＋2i1－2i＝－5i5＝－i.故选D.(2)法一 设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z 2＝3－a ＋(1－b )i ，则⎩⎨⎧ |z 1|2＝a 2＋b 2＝4，|z 2|2＝3－a 2＋1－b 2＝4，即⎩⎨⎧a 2＋b 2＝4，3a ＋b ＝2.∴|z 1－z 2|2＝(2a －3)2＋(2b －1)2 ＝4(a 2＋b 2)－4(3a ＋b )＋4＝12. 因此|z 1－z 2|＝2 3.法二 设复数z 1，z 2对应的向量为a ，b ， 则复数z 1＋z 2，z 1－z 2对应向量为a ＋b ，a －b ， 依题意|a |＝|b |＝2，|a ＋b |＝2， 又因为|a ＋b |2＋|a －b |2＝2|a |2＋2|b |2， 所以|a －b |2＝12，故|z 1－z 2|＝|a －b |＝2 3.法三 设z 1＋z 2＝z ＝3＋i ，则z 在复平面上对应的点为P (3，1)，所以|z 1＋z 2|＝|z |＝2，由平行四边形法则知OAPB 是边长为2，一条对角线也为2的菱形，则另一条对角线的长为|z 1－z 2|＝2×32×2＝2 3.A 级 基础巩固一、选择题1．设z ＝－3＋2i ，则在复平面内z 对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 C解析 z ＝－3－2i ，故z 对应的点(－3，－2)位于第三象限． 2．(2020·全国Ⅲ卷)复数11－3i 的虚部是( ) A ．－310B ．－110C ．110D ．310答案 D解析 z ＝11－3i ＝1＋3i 1－3i 1＋3i ＝110＋310i ，虚部为310.故选D.3．(2020·全国Ⅱ卷)(1－i)4＝( ) A ．－4 B ．4C ．－4iD ．4i答案 A解析 (1－i)4＝(1－2i ＋i 2)2＝(－2i)2＝4i 2＝－4.4. (2021·全国大联考)如图，复数z 1，z 2在复平面上分别对应点A ，B ，则z 1·z 2＝( )A ．0B ．2＋iC ．－2－iD ．－1＋2i答案 C解析 由复数几何意义，知z 1＝－1＋2i ，z 2＝i ， ∴z 1·z 2＝i(－1＋2i)＝－2－i.5．设复数z 满足|z －3|＝2，z 在复平面内对应的点为M (a ，b )，则M 不可能为( ) A ．(2，3) B ．(3,2) C ．(5,0) D ．(4,1) 答案 D解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z －3＝(a －3)＋b i ， ∴(a －3)2＋b 2＝4，验证点M (4,1)，不满足．6．(2021·河南部分重点高中联考)若复数a ＋|3－4i|2＋i (a ∈R)是纯虚数，则a ＝( )A ．－3B ．－2C ．2D ．3答案 B解析 a ＋|3－4i|2＋i ＝a ＋52－i2＋i 2－i ＝a ＋2－i 为纯虚数．则a ＋2＝0，解得a ＝－2.7．设2＋ii ＋1－2i ＝a ＋b i( a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则b －a i ＝( )A ．－52－32iB ．52－32iC.52＋32i D ．－52＋32i答案 A解析 因为2＋i i ＋1－2i ＝2＋i1－i i ＋11－i －2i ＝32－52i ＝a ＋b i ，所以a ＝32，b ＝－52，因此b －a i＝－52－32i.故选A.8.如图所示，在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别是OA →，OB →，则复数z 1·z 2对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 D解析 由图知OA →＝(－2，－1)，OB →＝(0,1)，所以z 1＝－2－i ，z 2＝i ，z 1·z 2＝1－2i ，所以复数z 1·z 2所对应的点为(1，－2)，该点在第四象限．二、填空题9．(2020·江苏卷)已知i 是虚数单位，则复数z ＝(1＋i)(2－i)的实部是________． 答案 3解析 z ＝(1＋i)(2－i)＝2－i ＋2i －i 2＝3＋i ，所以复数z 的实部为3.10．在复平面内，O 为原点，向量OA →对应的复数为－1＋2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B ，则向量OB →对应的复数为________．答案 －2＋i解析 因为A (－1,2)关于直线y ＝－x 的对称点B (－2，1)，所以向量OB →对应的复数为－2＋i.11．已知复数z ＝1＋2i 1＋i ＋2i z ，则|z |等于________． 答案 22解析 由z ＝1＋2i 1＋i＋2i z 得z ＝1＋2i 1＋i 1－2i ＝1＋2i 3－i＝1＋2i 3＋i 3－i 3＋i ＝1＋7i 10， 故|z |＝11012＋72＝22. 12．已知i 为虚数单位，若复数z ＝1－a i 1＋i(a ∈R)的实部为－3，则|z |＝________，复数z 的共轭复数z ＝________.答案 5 －3＋4i解析 因为z ＝1－a i 1＋i ＝1－a i 1－i 1＋i 1－i ＝1－a －a ＋1i 2的实部为－3，所以1－a 2＝－3，解得a ＝7. 所以z ＝－3－4i ， 故|z |＝－32＋－42＝5，且共轭复数z ＝－3＋4i.B 级 能力提升13．(2020·南宁模拟)已知z ＝3－i 1－i (其中i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 的虚部是( ) A ．－1B ．－2C ．1D ．2 答案 A解析 ∵z ＝3－i 1－i ＝3－i 1＋i 1－i 1＋i＝4＋2i 2＝2＋i ， ∴z ＝2－i ，∴z 的虚部为－1.14．(2021·哈尔滨调研)已知z 的共轭复数是z ，且|z |＝z ＋1－2i(i 为虚数单位)，则复数z 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案 D解析 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，因为|z |＝z ＋1－2i ，所以x 2＋y 2＝x －y i ＋1－2i ＝(x ＋1)－(y＋2)i ，所以⎩⎨⎧ x 2＋y 2＝x ＋1，y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝－2. 所以复数z 在复平面内对应的点为⎝⎛⎭⎫32，－2，此点位于第四象限． 15.⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＋2＋3i 3－2i＝________. 答案 －1＋i解析 原式＝⎣⎡⎦⎤1＋i 226＋2＋3i3＋2i 32＋22＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i. 16．已知复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，且|z －2|＝3，则y x的最大值为________． 答案 3解析 因为|z －2|＝x －22＋y 2＝3，所以(x －2)2＋y 2＝3. 由图可知⎝⎛⎭⎫y x max ＝31＝ 3.。
高考数学《复数》专项练习(含答案)
【复数】专项练习参考答案1．〔2021全国Ⅰ卷，文2，5分〕设(12i)(i)a ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，那么a ＝( )〔A 〕−3 〔B 〕−2 〔C 〕2 〔D 〕3 【答案】A【解析】(12i)(i)2(12)i a a a ++=-++，由，得a a 212+=-，解得3-=a ，选A ．2．〔2021全国Ⅰ卷，理2，5分〕设(1i)1i x y +=+，其中x ，y 是实数，那么i =x y +( )〔A 〕1 〔B 〔C 〔D 〕2 【答案】B【解析】因为(1i)=1+i,x y +所以i=1+i,=1,1,|i |=|1+i |x x y x y x x y +==+=所以故应选B ．3．〔2021全国Ⅱ卷，文2，5分〕设复数z 满足i 3i z +=-，那么z ＝( ) 〔A 〕12i -+ 〔B 〕12i - 〔C 〕32i + 〔D 〕32i - 【答案】C【解析】由i 3i z +=-得32i z =-，所以32i z =+，应选C ．4．〔2021全国Ⅱ卷，理1，5分〕(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，那么实数m 的取值范围是( )〔A 〕(31)-， 〔B 〕(13)-， 〔C 〕(1,)∞+ 〔D 〕(3)∞--，5．〔2021全国Ⅲ卷，文2，5分〕假设43i z =+，那么||zz ＝( ) 〔A 〕1 〔B 〕1- 〔C 〕43i 55+ 〔D 〕43i 55-【答案】D【解析】∵43i z =+，∴z ＝4－3i ，|z |＝2234+．那么43i ||55z z ==-，应选D ．6．〔2021全国Ⅲ卷，理2，5分〕假设z ＝1＋2i ，那么4i1zz =-( ) (A)1 (B)−1 (C)i (D)−i 【答案】C【解析】∵z ＝1＋2i ，∴z ＝1－2i ，那么4i 4ii (12i)(12i)11zz ==+---，应选C ． 7．〔2021全国Ⅰ卷，文3，5分〕复数z 满足(z －1)i ＝1＋i ，那么z ＝( )A ．－2－iB ．－2＋iC ．2－iD ．2＋i【答案】C【解析一】(z －1)i ＝1＋i ⇒ zi －i ＝1＋i ⇒ zi ＝1＋2i ⇒ z ＝1＋2i i＝(1＋2i)i i 2＝2－i ．应选C ．【解析二】(z －1)i ＝1＋i ⇒ z －1＝1＋i i⇒ z ＝1＋i i＋1 ⇒z ＝(1＋i)i i 2＋1＝2－i ．应选C ．8．〔2021全国Ⅰ卷，理1，5分〕设复数z 满足1+z1z-＝i ，那么|z|＝( )〔A 〕1 〔B 〔C 〔D 〕2 【答案】A 【解析一】1+z1z-＝i ⇒ 1＋z ＝i(1－z) ⇒ 1＋z ＝i －zi ⇒ z ＋zi ＝－1＋i ⇒ (1＋i)z ＝－1＋i ⇒9．〔2021全国Ⅱ卷，文2，5分〕假设a 为实数，且2＋ai 1＋i＝3＋i ，那么a ＝( )A ．－4B ．－3C ．3D ．4 【答案】D【解析】由得2＋ai ＝(1＋i)(3＋i)＝2＋4i ，所以a ＝4，应选D ．10．〔2021全国Ⅱ卷，理2，5分〕假设a 为实数，且(2＋ai)(a －2i)＝－4i ，那么a ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2 【答案】B【解析】(2＋ai)(a －2i)＝－4i ⇒ 2a －4i ＋a 2i ＋2a ＝－4i ⇒ 2a －4i ＋a 2i ＋2a ＋4i ＝0⇒ 4a ＋a 2i ＝0 ⇒ a ＝0．11．〔2021全国Ⅰ卷，文3，5分〕设z ＝11＋i＋i ，那么|z|＝( )A ．12 B ．√22 C ．√32 D ．2 【答案】B 【解析】z ＝11＋i＋i ＝1－i 2＋i ＝12＋12i ，因此|z|＝√(12)2＋(12)2＝√12＝√22，应选B ．12．(1＋i )3(1－i )2＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i 【答案】D 【解析】(1＋i )3(1－i )2＝(1＋i )2(1＋i)(1－i )2·＝(1＋i 2＋2i)(1＋i)1＋i 2－2i＝＝2i(1＋i)－2i＝－(1＋i)＝－1－i ，应选D ．13．〔2021全国Ⅱ卷，文2，5分〕1＋3i 1－i＝( )A ．1＋2iB ．－1＋2iC ．1－2iD ．－1－2i【答案】B 【解析】1＋3i 1－i＝(1＋3i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝－2＋4i 2＝－1＋2i ，应选B ．14．〔2021全国Ⅱ卷，理2，5分〕设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，那么z 1z 2＝( )A ．－5B ．5C ．－4＋iD ．－4－i【答案】A【解析】由题意得z 2＝－2＋i ，∴z 1z 2＝(2＋i)(－2＋i)＝－5，应选A ．15．〔2021全国Ⅰ卷，文2，5分〕1＋2i (1－i )2＝( )A ．－1－12i B ．－1＋12i C ．1＋12i D ．1－12i 【答案】B 【解析】1＋2i(1－i )2＝1＋2i －2i＝(1＋2i )i (－2i )i＝－2＋i 2＝－1＋12i ，应选B ．16．〔2021全国Ⅰ卷，理2，5分〕假设复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，那么z 的虚部为( )A ．－4B ．－45 C ．4 D ．45 【答案】D【解析】∵|4＋3i|＝√42＋32＝5，∴(3－4i)z ＝5，∴z＝53－4i＝5(3＋4i )25＝35＋45i ，虚部为45，应选D ．17．〔2021全国Ⅱ卷，文2，5分〕|21＋i|＝( )A ．2√2B ．2C ．√2D ．1【答案】C 【解析】|21＋i|＝|2(1－i )2|＝|1－i|＝22)1(1-+＝√2．选C ．18〔2021全国Ⅱ卷，理2，5分〕设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，那么z ＝( )A ．－1＋iB ．－1－iC ．1＋iD ．1－i 【答案】A【解析】由题意得z ＝2i1－i＝2i ·(1＋i )(1−i )(1＋i)＝2i ＋2i 22＝2i−22＝－1＋i ，应选A ．19．〔2021全国卷，文2，5分〕复数z ＝－3＋i 2＋i的共轭复数是( ) A ．2＋i B ．2－I C ．－1＋iD ．－1－i【答案】D【解析】z ＝－3＋i 2＋i＝(－3＋i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝－5＋5i 5＝－1＋i ，∴z ＝－1－i ，应选D ．20．〔2021全国卷，文2，5分〕复数5i1－2i＝( )A ．2－iB ．1－2iC ．－2＋iD ．－1＋2i【答案】C 【解析】5i 1－2i＝5i (1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝5(i －2)5＝－2＋i ，应选C ．21．〔2021北京，文2，5分〕复数( ) 〔A 〕i 〔B 〕1＋i 〔C 〕 〔D 〕【答案】A 【解析】，应选A ．22．〔2021北京，理9，5分〕设，假设复数在复平面内对应的点位于实轴上，那么_____________． 【答案】－1【解析】(1＋i)(a ＋i)＝a ＋i ＋ai ＋i 2＝a ＋i ＋ai －1＝(a －1)＋(1＋a)i ，由题意得虚部为0，即(1＋a)＝0，解得a ＝－1． 23．〔2021江苏，文/理2，5分〕复数其中i 为虚数单位，那么z 的实部是____．【答案】524．〔2021山东，文2，5分〕假设复数21iz =-，其中i 为虚数单位，那么z ＝( ) 〔A 〕1＋i〔B 〕1−i〔C 〕−1＋i 〔D 〕−1−i【答案】B25．〔2021山东，理1，5分〕假设复数z 满足232i,z z +=- 其中i 为虚数单位，那么z ＝( )〔A 〕1＋2i 〔B 〕1-2i 〔C 〕12i -+ 〔D 〕12i --【答案】B26．〔2021上海，文/理2，5分〕设32iiz +=，其中i 为虚数单位，那么z 的虚部等于_______． 【答案】-312i=2i+-i -1i -12i (12i)(2i)2i 4i 2i 2i (2i)(2i)5+++++-===--+a ∈R (1i)(i)a ++a =(12i)(3i),z =+-【解析】32i 23i,iz +==-故z 的虚部等于−3．27．〔2021四川，文1，5分〕设i 为虚数单位，那么复数(1＋i)2＝( )(A) 0 (B)2 (C)2i (D)2＋2i 【答案】C【解析】22(1i)12i i 2i +=++=，应选C ．28．〔2021天津，文9，5分〕i 是虚数单位，复数z 满足(1i)2z +=，那么z 的实部为_______．【答案】1【解析】2(1)211i i iz z +=⇒==-+，所以z 的实部为1．29．〔2021天津，理9，5分〕,a b ∈R ，i 是虚数单位，假设(1+i)(1-b i)＝a ，那么ab的值为____．【答案】2【解析】由(1i)(1i)1(1)i b b b a +-=++-=，可得110b a b +=⎧⎨-=⎩，所以21a b =⎧⎨=⎩，2ab=，故答案为2．。
高考数学压轴专题专题备战高考《复数》真题汇编及答案
【高中数学】数学《复数》复习知识点一、选择题1．设i 是虚数单位，则复数734i i ++在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】D【解析】因为734ii ++(7)(34)2525=1(34)(34)25i i ii i i +--==-+-，所以所对应的点为(1,1)-，位于第四象限，选D. 2．设i 是虚数单位，若复数()103a a R i -∈-是纯虚数，则a 的值为（ ）A ．-3B ．-1C ．1D ．3【答案】D【解析】【分析】【详解】 因,故由题设, 故,故选D ．考点：复数的概念与运算.3．已知i 是虚数单位，复数z 满足()12i z i +=，则z 的虚部是（ ）A ．1B ．iC ．1-D ．i -【答案】A【解析】()12i z i +=22(1)112ii i z i i -⇒===++，所以z 的虚部是1，选A.4．已知复数i z x y =+（x ，y ∈R ），且23z +=1y x -的最大值为（）A 3B 6C ．26+D ．26【答案】C【解析】【分析】根据模长公式，求出复数z 对应点的轨迹为圆，1y x -表示(,)x y 与(0,1)连线的斜率，其最值为过(0,1)点与圆相切的切线斜率，即可求解.【详解】∵复数i z x y =+（x ，y ∈R），且2z +==()2223x y ++=. 设圆的切线l ：1y kx =+=化为2420k k --=，解得2k =∴1y x-的最大值为2 故选:C.【点睛】 本题考查复数的几何意义、轨迹方程、斜率的几何意义，考查数形结合思想，属于中档题.5．已知复数z 满足121i z i i +⋅=--（其中z 为z 的共轭复数），则z 的值为( ) A ．1B ．2 CD 【答案】D【解析】【分析】 按照复数的运算法则先求出z ，再写出z ，进而求出z .【详解】 21(1)21(1)(1)2i i i i i i i ++===--+Q ， 1222(2)121i i z i i z i z i i i i i+-∴⋅=-⇒⋅=-⇒==--=---，12||z i z ∴=-+⇒==故选：D【点睛】本题考查复数的四则运算、共轭复数及复数的模，考查基本运算能力，属于基础题.6．已知i 是虚数单位，则复数242i z i-=+的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】A【解析】【分析】先将复数化为代数形式，再根据共轭复数的概念确定对应点，最后根据对应点坐标确定象限.【详解】 解：∵()()()()242232424242105i i i z i i i i ---===-++-， ∴32105z i =+， ∴复数z 的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为（32105，），所在的象限为第一象限． 故选：A ． 点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi7．已知2a i b i i +=+ ，,a b ∈R ，其中i 为虚数单位，则+a b =（ ） A ．-1B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】【分析】利用复数除法运算法则化简原式可得2ai b i -=+，再利用复数相等列方程求出,a b 的值，从而可得结果.【详解】 因为22222a i ai i ai b i i i+--==-=+- ，,a b ∈R ， 所以2211b b a a ==⎧⎧⇒⎨⎨-==-⎩⎩，则+1a b =，故选B. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.8．已知z C ∈，2z i z i ++-=，则z 对应的点Z 的轨迹为（ ）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．线段【答案】D【解析】【分析】由复数模的几何意义，结合三角不等式可得出点Z 的轨迹.【详解】 2z i z i ++-=的几何意义为复数z 对应的点Z 到点()0,1A -和点()0,1B 的距离之和为2，即ZA ZB AB +=，另一方面，由三角不等式得ZA ZB AB +≥.当且仅当点Z 在线段AB 上时，等号成立.因此，点Z 的轨迹为线段.故选：D.【点睛】本题考查复数模的几何意义，将问题转化为距离之和并结合三角不等式求解是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.9．欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由著名数学家欧拉发明的，他将指数函数定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式，若将2i e π表示的复数记为z ，则(12)z i +的值为（ ）A ．2i -+B ．2i --C ．2i +D ．2i -【答案】A【解析】【分析】 根据欧拉公式求出2cossin 22i z e i i πππ==+=，再计算(12)z i +的值.【详解】 ∵2cos sin 22i z e i i πππ==+=，∴(12)(12)2z i i i i +=+=-+.故选：A.【点睛】此题考查复数的基本运算，关键在于根据题意求出z .10．设2i 2i 1i z =++-，则复数z =（ ） A ．12i - B ．12i + C ．2i + D ．2i -【答案】A【解析】【分析】根据复数的运算法则，求得12z i =+，再结合共轭复数的概念，即可求解．【详解】 由题意，可得复数()()()2i 1i 2i 2i 2i 12i 1i 1i 1i z +=++=++=+--+， 所以12i z =-．故选：A ．【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的共轭复数的概念及应用，其中解答中熟记复数的运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了运算能力．11．在复平面内，复数121i z i -=+对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】C【解析】 试题分析：1213122i i i -=--+在复平面内所对应的点坐标为，位于第三象限，故选C ．考点：复数的代数运算及几何意义．12．若复数1a i z i +=-，且3·0z i >，则实数a 的值等于（ ） A ．1B ．-1C ．12D ．12- 【答案】A【解析】【分析】由3·0z i >可判定3·z i 为实数，利用复数代数形式的乘除运算化简复数z ，再由实部为0，且虚部不为0列式求解即可.【详解】 ()()()()()i 1i 11i i 1i 1i 1i 2a a a a z ++-+++===--+Q ， 所以3·z i =()()()()341i 1i 1i 122a a a a -++--++=，因为3·0z i >，所以3·z i 为实数，102a --= 可得1a =，1a =时3,?10z i =>,符合题意，故选A. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.13．（2018江西省景德镇联考）若复数2i 2a z -=在复平面内对应的点在直线0x y +=上，则z =（ ）A ．2BC ．1 D．【答案】B【解析】分析：化简复数z ，求出对应点坐标，代入直线方程，可求得a 的值，从而可得结果. 详解：因为复数2i 22a a z i -==-， 所以复数2i 2a z -=在复平面内对应的点的坐标为,12a ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 由复数2i 2a z -=在复平面内对应的点在直线0x y +=上， 可得10212a a z i -=⇒==-，,z ==,故选B.14．欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式可知，4ii e e ππ表示的复数在复平面中位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】B【解析】【分析】 根据欧拉公式计算4i i e e ππ，再根据复数几何意义确定象限.【详解】因为444iie cos isincos isineππππππ+===+，所以对应点22-（，，在第二象限，选B.【点睛】本题考查复数除法以及复数几何意义，考查基本分析求解能力，属基本题.15．设复数z a bi=+（i为虚数单位，,a b∈R），若,a b满足关系式2ab t=-，且z在复平面上的轨迹经过三个象限，则t的取值范围是( )A．[0,1]B．[1,1]-C．(0,1)(1,)⋃+∞D．(1,)-+∞【答案】C【解析】【分析】首先根据复数的几何意义得到z的轨迹方程2xy t=-，再根据指数函数的图象，得到关于t的不等式，求解.【详解】由复数的几何意义可知，设复数对应的复平面内的点为(),x y，2ax ay b t=⎧⎨==-⎩，即2xy t=-，因为z在复平面上的轨迹经过三个象限，则当0x=时，11t-<且10t-≠，解得0t>且1t≠，即t的取值范围是()()0,11,+∞U.故选：C【点睛】本题考查复数的几何意义，以及轨迹方程，函数图象，重点考查数形结合分析问题的能力，属于基础题型.16．设复数4273izi-=-，则复数z的虚部为（）A．1729-B．1729C．129-D．129【答案】C【解析】【分析】根据复数运算法则求解1712929z i=-，即可得到其虚部.【详解】 依题意，()()()()427342281214634217173737358582929i i i i i i z i i i i -+-+-+-=====---+ 故复数z 的虚部为129-故选：C【点睛】此题考查复数的运算和概念辨析，关键在于熟练掌握运算法则，准确计算，正确辨析虚部的概念.17．下列命题中，正确命题的个数是( )①若，，则的充要条件是；②若，且，则； ③若，则． A ． B ． C ． D ．【答案】A【解析】对①，由于x ，y ∈C ，所以x ，y 不一定是x ＋yi 的实部和虚部，故①是假命题； 对②，由于两个虚数不能比较大小，故②是假命题；③是假命题，如12＋i 2＝0，但1≠0，i≠0.考点：复数的有关概念.18．已知复数134z i=+，则下列说法正确的是（ ） A ．复数z 的实部为3B ．复数z 的虚部为425iC ．复数z 的共轭复数为342525i + D ．复数的模为1【答案】C【解析】【分析】直接利用复数的基本概念得选项.【详解】 1343434252525i z i i -===-+， 所以z 的实部为325，虚部为425- ，z 的共轭复数为342525i +15=， 故选C.【点睛】该题考查的是有关复数的概念和运算，属于简单题目.19．已知复数z 在复平面内对应点是()1,2-，i 为虚数单位，则21z z +=-（ ） A ．1i --B ．1i +C ．312i -D ．312i + 【答案】D【解析】 21z z +=-323122i i i -=+- ，选D.20．复数52i -的共轭复数是( ) A ．2i + B ．2i -C ．2i -+D ．2i -- 【答案】C【解析】【分析】 先化简复数代数形式，再根据共轭复数概念求解.【详解】 因为522i i =---，所以复数52i -的共轭复数是2i -+，选C. 【点睛】本题考查复数运算以及共轭复数概念，考查基本求解能力.。
高考数学 真题分类汇编：专题(15)复数(理科)及答案
专题十五 复数1.【20xx 高考新课标2，理2】若a 为实数且(2)(2)4ai a i i +-=-，则a =（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】B【解析】由已知得24(4)4a a i i +-=-，所以240,44a a =-=-，解得0a =，故选B ．【考点定位】复数的运算．【名师点睛】本题考查复数的运算，要利用复数相等列方程求解，属于基础题．2.【20xx 高考四川，理2】设i 是虚数单位，则复数32i i-( ) （A ）-i （B ）-3i （C ）i. （D ）3i【答案】C【解析】32222i i i i i i i i-=--=-+=，选C. 【考点定位】复数的基本运算.【名师点睛】复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可.3.【20xx 高考广东，理2】若复数()32z i i =- ( i 是虚数单位 )，则z =（ ）A ．32i -B ．32i +C ．23i +D ．23i -【答案】D ．【解析】因为()3223z i i i =-=+，所以z =23i -，故选D ．【考点定位】复数的基本运算，共轭复数的概念．【名师点睛】本题主要考查复数的乘法运算，共轭复数的概念和运算求解能力，属于容易题；复数的乘法运算应该是简单易解，但学生容易忘记和混淆共轭复数的概念，z a bi =+的共轭复数为z a bi =-．4.【20xx 高考新课标1，理1】设复数z 满足11z z+-=i ，则|z|=( )（A ）1 （B （C （D ）2【答案】A【解析】由11z i z +=-得，11i z i -+=+=(1)(1)(1)(1)i i i i -+-+-=i ，故|z|=1，故选A. 【考点定位】本题主要考查复数的运算和复数的模等.【名师点睛】本题将方程思想与复数的运算和复数的模结合起来考查，试题设计思路新颖，本题解题思路为利用方程思想和复数的运算法则求出复数z ，再利用复数的模公式求出|z|,本题属于基础题，注意运算的准确性.5.【20xx 高考北京，理1】复数()i 2i -=（ ）A ．12i +B ．12i -C ．12i -+D ．12i --【答案】A考点定位：本题考查复数运算，运用复数的乘法运算方法进行计算，注意21i =-.【名师点睛】本题考查复数的乘法运算，本题属于基础题，数的概念的扩充部分主要知识点有：复数的概念、分类，复数的几何意义、复数的运算，特别是复数的乘法与除法运算，运算时注意21i =-，注意运算的准确性,近几年高考主要考查复数的乘法、除法，求复数的模、复数的虚部、复数在复平面内对应的点的位置等.6.【20xx 高考湖北，理1】 i 为虚数单位，607i 的共轭复数．．．．为（ ） A ．i B ．i - C ．1 D ．1-【答案】A【解析】i i i i -=⋅=⨯31514607,所以607i 的共轭复数．．．．为i ，选A . 【考点定位】共轭复数.【名师点睛】复数中，i 是虚数单位,24142434111()n n n n i i i i i i i n +++=-==-=-=∈Z ；，，，7.【20xx 高考山东，理2】若复数z 满足1z i i=-，其中i 为虚数为单位，则z =（ ） （A ）1i - （B ）1i + （C ）1i -- （D ）1i -+【答案】A 【解析】因为1z i i=-，所以，()11z i i i =-=+ ，所以，1z i =- 故选：A. 【考点定位】复数的概念与运算.【名师点睛】本题考查复数的概念和运算，采用复数的乘法和共轭复数的概念进行化简求解. 本题属于基础题，注意运算的准确性.8.【20xx 高考安徽，理1】设i 是虚数单位，则复数21i i-在复平面内所对应的点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限【答案】B 【解析】由题意22(1)2211(1)(1)2i i i i i i i i +-+===-+--+，其对应的点坐标为(1,1)-，位于第二象限，故选B.【考点定位】1.复数的运算；2.复数的几何意义.【名师点睛】复数的四则运算问题主要是要熟记各种运算法则，尤其是除法运算，要将复数分母实数化（分母乘以自己的共轭复数），这也历年考查的重点；另外，复数z a bi =+在复平面内一一对应的点为(,)Z a b .9.【20xx 高考重庆，理11】设复数a +bi （a ，b ∈R ），则（a +bi ）（a -bi ）=________.【答案】3【解析】由a +得=，即223a b +=，所以22()()3a bi a bi a b +-=+=.【考点定位】复数的运算.【名师点晴】复数的考查核心是代数形式的四则运算，即使是概念的考查也需要相应的运算支持．本题首先根据复数模的定义得a +，复数相乘可根据平方差公式求得()()a bi a bi +-22()a bi =-22a b =+，也可根据共轭复数的性质得()()a bi a bi +-22a b =+．10.【20xx 高考天津，理9】i 是虚数单位，若复数()()12i a i -+ 是纯虚数，则实数a 的值为 .【答案】2-【解析】()()()12212i a i a a i -+=++-是纯虚数，所以20a +=，即2a =-.【考点定位】复数相关概念与复数的运算.【名师点睛】本题主要考查复数相关概念与复数的运算.先进行复数的乘法运算，再利用纯虚数的概念可求结果，是容易题.11.【20xx 江苏高考，3】设复数z 满足234z i =+（i 是虚数单位），则z 的模为_______.【解析】22|||34|5||5||z i z z =+=⇒=⇒=【考点定位】复数的模【名师点晴】在处理复数相等的问题时，一般将问题中涉及的两个复数均化成一般形式，利用复数相等的充要条件“实部相等，虚部相等”进行求解.本题涉及复数的模，利用复数模的性质求解就比较简便：2211121222||||||||||||.||z z z z z z z z z z ==⋅=，， 12.【20xx 高考湖南，理1】已知()211i i z -=+（i 为虚数单位），则复数z =（ ） A.1i + B.1i - C.1i -+ D.1i --【答案】D.【考点定位】复数的计算.【名师点睛】本题主要考查了复数的概念与基本运算，属于容易题，意在考查学生对复数代数形式四则运算的掌握情况，基本思路就是复数的除法运算按“分母实数化”原则，结合复数的乘法进行计算，而复数的乘法则是按多项式的乘法法则进行处理.13.【20xx 高考上海，理2】若复数z 满足31z z i +=+，其中i 为虚数单位，则z = ．【答案】1142i +【解析】设(,)z a bi a b R =+∈，则113()1412142a bi a bi i a b z i ++-=+⇒==⇒=+且 【考点定位】复数相等，共轭复数【名师点睛】研究复数问题一般将其设为(,)z a bi a b R =+∈形式，利用复数相等充要条件：实部与实部，虚部与虚部分别对应相等，将复数相等问题转化为实数问题：解对应方程组问题.复数问题实数化转化过程中，需明确概念，如(,)z a bi a b R =+∈的共轭复数为(,)z a bi a b R =-∈，复数加法为实部与实部，虚部与虚部分别对应相加.【20xx 高考上海，理15】设1z ，2C z ∈，则“1z 、2z 中至少有一个数是虚数”是“12z z -是虚数”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【答案】B【解析】若1z 、2z 皆是实数，则12z z -一定不是虚数，因此当12z z -是虚数时，则“1z 、2z 中至少有一个数是虚数”成立，即必要性成立；当1z 、2z 中至少有一个数是虚数，12z z -不一定是虚数，如12z z i ==，即充分性不成立，选B.【考点定位】复数概念，充要关系【名师点睛】形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．判断概念必须从其定义出发，不可想当然.。
2023届高考复习数学专项(复数及推理与证明)好题练习(附答案)
2023届高考复习数学专项（复数及推理与证明）好题练习1.若复数：：：满足(l�i)z=3+i<其中i是虚数单位），则()A.二的实部是2B.=的虚部是2iC.乞=1-2i2.已知复数z=3-4i, 则下列命题中正确的为（）A.l z l= 5B.z=3+4iC. z的虚部为-4iD.z在复平而上对应点在第四象限3.下面四个命题中的真命题为（）1A.若复数z满足-ER,则zERB.若复数z满足/ER,则zERC.若复数Z1,Z2满足z亿2ER,则z1=D.若复数zE R,则豆ER Z2D.lzl=✓S4.已知复数二满足i2k+1z=2+i,-(kE z), 则z在复平面内对应的点可能位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.设z是复数，则下列命题中的真命题是()A.若z2�o.则z是实数B.若z2<o,则z是虚数C.若z是虚数，则z2�oo.若z是纯虚数，则z2<o6.已知Z1与Z-2是共枙虚数，以下四个命题一定正确的是（）2 2A. Z l <i z2B. zi z2=z Z2C.z1+z2E Rz+l.7设复数z满足——=i,则下列说法错误的是（）A.z为纯虚数B.z的虚部为一-i2C.在复平而内，z对应的点位千第二象限D.z=-—ZtD .• —ERZ28.某大学进行自主招生测试，盂要对逻辑思维和阅读表达进行能力测试．学校对参加测试的200名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名.其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如图所示，下列叙述正确的是（ ）A ．甲同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前B ．乙同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前C ．甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中，甲同学更靠前D ．甲同学的总成绩排名比丙同学的总成绩排名更靠前 9．在0,0a b >>的条件下，下列四个结论正确的是（ ） A ．22a b aba b+≥+B ．2a b +≤C ．22a b a b b a+≤+D ．设,,a b c 都是正数，则三个数111,,a b c b c a+++至少有一个不小于2 10．如图是国家统计局发布的2018年3月到2019年3月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图（注：2019年2月与2018年2月相比较称同比，2019年2月与2019年1月相比较称环比），根据该折线图，下列结论正确的是（ ）A．2018年3月至2019年3月全国居民消费价格同比均上涨B．2018年3月至2019年3月全国居民消费价格环比有涨有跌C．2019年3月全国居民消费价格同比涨幅最大D．2019年3月全国居民消费价格环比变化最快参考答案1.若复数：：：满足(l�i)z=3+i<其中i是虚数单位），则()D.lzl=✓S A. 二的实部是2 B.=的虚部是2i C.乞=1-2i【参考答案】CD3 +i(3 +i)(l +i) 2 + 4i—= = = 1+2i,【答宋解析】z=l—1 2 2即二的实部是1,虚部是2'故A错误，B铅误，又亏=1—2i,121 =✓1三了-= Js'故C,D均正确故选CD2. 已知复数z=3-4i, 则下列命题中正确的为（）A.l z l= 5B.z=3+4iC. z的虚部为-4iD. z在复平面上对应点在第四象限【参考答案】ABD【答案解析】:;=3-4i, 则仁l=F五二正=5.故A正确；�=3+4i, 故B正确；二的虚部为4,故C铅误；二在复平面上对应点的坐标为(3,-4), 在第四象限，故D正确．:．命题中正确的个数为3.故选ABD.3.下而四个命题中的真命题为（）1A. 若复数z满足-E R,则zE RB.若复数z满足/E R,则zE RC. 若复数Z1,Z2满足z亿2R,则z=22D.若复数zE R,则�E R【参考答案】AD1【答案解析】若复数二满足-E R,则二E R,故命题A为真命题；复数z ＝i 满足z 2＝﹣1∈R ，则z ∉R ，故命题B 为假命题； 若复数z 1＝i ，z 2＝2i 满足z 1z 2∈R ，但z 1≠，故命题C 为假命题；若复数z ∈R ，则＝z ∈R ，故命题D 为真命题． 故选：AD ．4.已知复数z 满足212k i z i +=+，()k z ∈，则z 在复平面内对应的点可能位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【参考答案】BD【答案解析】212k i z i +=+ ，212k iz i ++∴=15i i i === ，37i i i ===-当k 为奇数时 ()2122212k i ii i z i i i i i++++∴====-+--⨯ 在复平面上对应的点为()1,2-位于第二象限； 当k 为偶数时 ()2122212k i ii i z i i i i i++++∴====-⨯ 在复平面上对应的点为()1,2-位于第四象限；故复数z 在复平面内对应的点位于第二象限或第四象限. 故选BD5．设z 是复数，则下列命题中的真命题是（ ） A ．若z 2≥0，则z 是实数 B ．若z 2＜0，则z 是虚数C ．若z 是虚数，则z 2≥0 D ．若z 是纯虚数，则z 2＜0 【参考答案】ABD【答案解析】设z ＝a +bi ，a ，b ∈R ，z 2＝a 2﹣b 2+2abi ， 对于A ，z 2≥0，则b ＝0，所以z 是实数，真命题；对于B ，z 2＜0，则a ＝0，且b ≠0，⇒z 是虚数；所以B 为真命题； 对于C ，z 是虚数，则b ≠0，所以z 2≥0是假命题．对于D ，z 是纯虚数，则a ＝0，b ≠0，所以z 2＜0是真命题；故选ABD．6．已知z1与z2是共轭虚数，以下四个命题一定正确的是（ ）A．z12＜|z2|2B．z1z2＝|z1z2| C．z1+z2∈R D．∈R【参考答案】BC【答案解析】解：z1与z2是共轭虚数，设z1＝a+bi，z2＝a﹣bi（a，b∈R）．z12＜|z2|2；＝a2﹣b2+2abi，复数不能比较大小，因此A不正确；z1z2＝|z1z2|＝a2+b2，B正确；z1+z2＝2a∈R，C正确；＝＝＝+i不一定是实数，因此D不一定正确．故选：BC．7.设复数z满足，则下列说法错误的是（ ）A．z为纯虚数B．z的虚部为C．在复平面内，z对应的点位于第二象限D．|z|＝【参考答案】ABC【答案解析】∵z+1＝zi，设z＝a+bi，则（a+1）+bi＝﹣b+ai，∴，解得．∴z＝．∴|z|＝，复数z的虚部为，8．某大学进行自主招生测试，需要对逻辑思维和阅读表达进行能力测试.学校对参加测试的200名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名.其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如图所示，下列叙述正确的是（）A ．甲同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前B ．乙同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前C ．甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中，甲同学更靠前D ．甲同学的总成绩排名比丙同学的总成绩排名更靠前 【参考答案】AC【答案解析】根据图示，可得甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中，甲同学更靠前, 他的阅读表达成绩排名靠后.故选AC.9．在0,0a b >>的条件下，下列四个结论正确的是（ ）A ．22a b aba b+≥+ B ．2a b +≤C ．22a b a b b a +≤+D ．设,,a b c 都是正数，则三个数111,,a b c b c a+++至少有一个不小于2 【参考答案】ABD 【答案解析】选项A:222()4()22022()2()220,0a b ab a b ab a b a b ab a b aba b a b a b a b a b a b++--++-==∴-≥∴≥+++>+>+ ,故本选项是正确的；选项B:因为0,0a b >>,22222222()()02244a b a b a b ab a b ++++--=-=≥,所以2a b +≤,因此本选项是正确的； 选项C:222233222()()()()()a b a b ab a b a b a b a b a b b a a b b a ab ab ab +---+-+-+-+===-,因为0,0a b >>,所以22222()()()0a b b a b a a b a b a b b a ab b a+-+-+=-≤⇒+≥+,因此本选项是不正确的；选项D:根据本选项特征,用反证法来解答.假设三个数111,,a b c b c a+++至少有一个不小于2不成立,则三个数111,,a b c b c a+++都小于2,所以这三个数的和小于6,而111111()(()6a b c a b cb c a a b c+++++=+++++≥++=（当且仅当1a b c===时取等号）,显然与这三个数的和小于6矛盾,故假设不成立,即三个数111,,a b cb c a+++至少有一个不小于2,故本选项是正确的.故选：ABD10．如图是国家统计局发布的2018年3月到2019年3月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图（注：2019年2月与2018年2月相比较称同比，2019年2月与2019年1月相比较称环比），根据该折线图，下列结论正确的是（）A．2018年3月至2019年3月全国居民消费价格同比均上涨B．2018年3月至2019年3月全国居民消费价格环比有涨有跌C．2019年3月全国居民消费价格同比涨幅最大D．2019年3月全国居民消费价格环比变化最快【参考答案】ABD【答案解析】对于选项A，从图可以看出同比涨跌幅均为正数，故A正确；对于选项B，从图可以看出环比涨跌幅有正数有负数，故B正确；对于选项C，从图可以看出同比涨幅最大的是2018年9月份和2018年10月份，故C错误；对于选项D，从图可以看出2019年3月全国居民消费价格环比变化最快，故D正确.故选ABD.。
高考数学专题《复数》习题含答案解析
专题10.2 复数1．（2020·全国高考真题（理））复数113i-的虚部是（ ）A ．310-B ．110-C ．110D ．310【答案】D 【解析】因为1131313(13)(13)1010i z i i i i +===+--+，所以复数113z i =-的虚部为310.故选：D.2．（2020·全国高考真题（文））（1–i ）4=（ ）A ．–4B ．4C ．–4i D ．4i【答案】A 【解析】422222(1)[(1)](12)(2)4i i i i i -=-=-+=-=-.故选：A.3．（2021·北京·高考真题）在复平面内，复数z 满足(1)2i z -=，则z =（ ）A ．1i --B ．1i-+C ．1i-D ．1i+【答案】D 【分析】由题意利用复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可得：()()()()2121211112i i z i i i i ++====+--+.故选：D.4．（2021·全国·高考真题）已知2i z =-，则()i z z +=（ ）A ．62i -B ．42i-C ．62i+D ．42i+【答案】C 【分析】练基础利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.【详解】因为2z i =-，故2z i =+，故()()()2222=4+42262z z i i i i i i i+=-+--=+故选：C.5．（2021·全国·高考真题（文））已知2(1)32i z i -=+，则z =（ ）A ．312i--B ．312i-+C ．32i-+D ．32i--【答案】B 【分析】由已知得322iz i+=-，根据复数除法运算法则，即可求解.【详解】2(1)232i z iz i -=-=+，32(32)23312222i i i i z i i i i ++⋅-+====-+--⋅.故选：B.6．（2021·全国·高考真题（理））设()()2346z z z z i ++-=+，则z =（ ）A ．12i -B ．12i+C ．1i+D ．1i-【答案】C 【分析】设z a bi =+，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于a 、b 的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数z .【详解】设z a bi =+，则z a bi =-，则()()234646z z z z a bi i ++-=+=+，所以，4466a b =⎧⎨=⎩，解得1a b ==，因此，1z i =+.故选：C.7．（2021·全国·高考真题（文））设i 43i z =+，则z =（ ）A ．–34i -B ．34i-+C ．34i-D ．34i+【答案】C 【分析】由题意结合复数的运算法则即可求得z 的值.【详解】由题意可得：()2434343341i i i i z i i i ++-====--.故选：C.8．（2021·浙江·高考真题）已知a R ∈，()13ai i i +=+，(i 为虚数单位)，则a =（ ）A ．1-B ．1C ．3-D ．3【答案】C 【分析】首先计算左侧的结果，然后结合复数相等的充分必要条件即可求得实数a 的值.【详解】()213ai i i ai i a a i i +=-=-+=++=，利用复数相等的充分必要条件可得：3,3a a -=∴=-.故选：C.9．（2019·北京高考真题（文））已知复数z =2+i ，则（ ）ABC ．3D ．5【答案】D 【解析】∵ 故选D.10．（2019·全国高考真题（文））设，则=（ ）A．2B CD ．1【答案】C 【解析】因为，所以，所以，故选C ．1．（2010·山东高考真题（文））已知 ，，其中 为虚数单位，则=（ ）A ．-1B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】z z ⋅=z 2i,z z (2i)(2i)5=+⋅=+-=3i12iz -=+z 312iz i -=+(3)(12)17(12)(12)55i i z i i i --==-+-z ==2a ib i i+=+,a b ∈R i +a b 练提升因为 ，，所以，则，故选B.2．（全国高考真题（理））复数的共轭复数是( )A ．B ．ｉC ．D ．【答案】A 【解析】，故其共轭复数为.所以选A.3．（2018·全国高考真题（理））设，则（ ）A ．B ．C ．D【答案】C 【解析】，则，故选c.4．（2009·重庆高考真题（理））已知复数的实部为，虚部为2，则的共轭复数是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】由题意得：所以，共轭负数为2+i 故选B5．（2017·山东高考真题（理））已知，是虚数单位，若，，22222a i ai i ai b i i i+--==-=+-,a b ∈R 2211b b a a ==⎧⎧⇒⎨⎨-==-⎩⎩+1a b =212ii+-i -35i-35i()()()()2i 12i 5i i12i 12i 5++==-+i -1i2i 1iz -=++||z =0121()()()()1i 1i 1i2i 2i 1i 1i 1i z ---=+=++-+i 2i i =-+=1z =z 1-5iz2i -2i+2i--2i-+R a ∈i z a =4z z ⋅=则（ ）A ．1或B或C ．D【答案】A 【解析】由得，所以，故选A.6．（2021·广东龙岗·高三期中）已知复数z 满足()2i 34i z +=+（其中i 为虚数单位），则复数z =（ ）A ．2i -B ．2i-+C ．2i+D ．2i--【答案】C 【分析】根据复数除法运算求出z ，即可得出答案.【详解】()2i 35z +=+= ，()()()52i 52i 2i 2i 2i z -∴===-++-，则2i z =+.故选：C.7．（2021·安徽·合肥一六八中学高一期中）欧拉公式i s co in s i x e x x +=(i 是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，i 3e π表示的复数位于复平面中的（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【分析】先由欧拉公式计算可得312e π=，然后根据复数的几何意义作出判断即可.【详解】根据题意i s co in s i xe x x +=，故i3is n 1cos 33i 2e πππ=+=，对应点12⎛ ⎝，在第一象限.故选：A .8．【多选题】（2021·全国·模拟预测）已知复数z =（i 为虚数单位），则下列说法正确的是（）A ．复数z 在复平面内对应的点坐标为()sin 3cos3,sin 3cos3+-a =1-,4z a z z =+⋅=234a +=1a =±B ．z 的虚部为C ．2z z ⋅=D ．z ⋅为纯虚数【答案】CD 【分析】根据复数的概念、共轭复数的概念、复数的几何意义以及四则运算法则即可求解.【详解】复数3cos3i sin 3cos3z =++-．因为334ππ<<，所以sin 3cos3304π⎛⎫+=+< ⎪⎝⎭，sin 3cos30->，所以原式()()sin 3cos3i sin 3cos3=-++-，所以选项A 错误；复数z B错误；222z z ⋅=+=，所以选项C 正确；z ⋅=()i 1sin 61sin 62i⋅=++-=，所以选项D 正确.故选：CD.9．【多选题】（2021·河北武强中学高三月考）已知复数cos isin z θθ=+（其中i 为虚数单位），下列说法正确的是（ ）A ．1z z ⋅=B ．1z z+为实数C ．若83πθ=，则复数z 在复平面上对应的点落在第一象限D ．若(0,)θπ∈，复数z 是纯虚数，则2πθ=【答案】ABD 【分析】对选项A ，根据计算1z z ⋅=即可判断A 正确，对选项B ，根据12cos z zθ+=即可判断B 正确，对选项C ，根据88cosisin 33z ππ=+在复平面对应的点落在第二象限，即可判断C 错误，对选项D ，根据z 是纯虚数得到2πθ=即可判断D 正确.【详解】对选项A ，()()()2222cos isin cos isin cos isin cos sin 1z z θθθθθθθθ⋅=+-=-=+=，故A 正确.对选项B ，因为11cos isin cos isin z z θθθθ+=+++()()cos isin cos isin cos isin cos isin θθθθθθθθ-=+++-cos isin cos isin 2cos θθθθθ=++-=，所以1z z+为实数.故B 正确.对选项C ，因为83πθ=为第二象限角，所以8cos03π<，8sin 03π>，所以88cos isin 33z ππ=+在复平面对应的点落在第二象限.故C 错误.对选项D ，复数z 是纯虚数，则cos 0sin 0θθ=⎧⎨≠⎩，又因为(0,)θπ∈，所以2πθ=，故D 正确.故选：ABD10．（2021·福建·厦门一中模拟预测）在复平面内，复数(,)z a bi a b R =+∈对应向量OZ（O为坐标原点），设||OZ r =，以射线Ox 为始边，OZ 为终边旋转的角为θ，则(cos sin )z r i θθ=+，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：1111(cos sin )z r i θθ=+，2222(cos sin )z r i θθ=+，则12121212[cos()sin()]z z rr i θθθθ=+++，由棣莫弗定理可以推导出复数乘方公式：[(cos sin )](cos sin )n n r i r n i n θθθθ+=+，已知4)z i =，则||z =______；若复数ω满足()*10n n ω-=∈N ，则称复数ω为n 次单位根，若复数ω是6次单位根，且ω∉R ，请写出一个满足条件的ω=______．【答案】16 ()22cossin 1,2,4,566k k i k ππ+= 【分析】2(cos sin )66i i ππ+=+，则4222(cos sin )33z i ππ=+，再由||||z z =求解，由题意知61ω=，设cos sin i ωθθ=+，即可取一个符合题意的θ，即可得解．【详解】解： 2(cos sin )66i i ππ=+，∴4422)2(cos sin )33z i i ππ==+，则4||||216z z ===．由题意知61ω=，设cos sin i ωθθ=+，则6cos 6sin 61i ωθθ=+=，所以sin 60cos 61θθ=⎧⎨=⎩，又ω∉R ，所以sin 0θ≠，故可取3πθ=，则cossin33i ππω=+故答案为：16，cossin33i ππω=+（答案不唯一）．1．（2021·江苏·高考真题）若复数z 满足()1i 3i z +=-，则z 的虚部等于（ ）A ．4B ．2C ．-2D ．-4【答案】C 【分析】利用复数的运算性质，化简得出12z i =-.【详解】若复数z 满足()1i 3i z +=-，则()()()()3i 1i 3i 12i 1i 1i 1i z ---===-++-，所以z 的虚部等于2-.故选：C.2．（2021·全国·高考真题）复数2i13i--在复平面内对应的点所在的象限为（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【分析】利用复数的除法可化简2i13i--，从而可求对应的点的位置.【详解】()()2i 13i 2i 55i 1i13i 10102-+-++===-，所以该复数对应的点为11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，该点在第一象限，故选：A.3．（2020·全国高考真题（理））若z=1+i ，则|z 2–2z |=（ ）A ．0B ．1C D ．2练真题【答案】D 【解析】由题意可得：()2212z i i =+=，则()222212z z i i -=-+=-.故2222z z -=-=.故选：D.4．（2020·全国高考真题（文））若312i i z =++，则||=z （ ）A ．0B ．1CD ．2【答案】C 【解析】因为31+21+21z i i i i i =+=-=+，所以z ==故选：C ．5.（2019·全国高考真题（理））设z =-3+2i ，则在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 【解析】由得则对应点（-3，-2）位于第三象限．故选C ．6.（2018·江苏高考真题）若复数满足，其中i 是虚数单位，则的实部为________．【答案】2【解析】因为，则，则的实部为.z 32,z i =-+32,z i =--32,z i =--z i 12i z ⋅=+z i 12i z ⋅=+12i2i iz +==-z 2。
2024年高考数学高频考点题型总结一轮复习 复数(精练：基础+重难点)
2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结第26练复数（精练）一、单选题1．（2022·全国·统考高考真题）(22i)(12i)+-=（）A ．24i -+B ．24i --C ．62i+D ．62i-【答案】D【分析】利用复数的乘法可求()()22i 12i +-.【详解】()()22i 12i 244i 2i 62i +-=+-+=-，故选：D.2．（2021·全国·统考高考真题）已知2i z =-，则()i z z +=（）A ．62i -B ．42i -C ．62i+D ．42i+【答案】C【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.【详解】因为2z i =-，故2z i =+，故()()()2222=4+42262z z i i i i i i i+=-+--=+故选：C.3．（2021·全国·高考真题）已知()21i 32i z -=+，则z =（）A ．31i2--B ．31i2-+C ．3i2-+D ．3i2--【答案】B【分析】由已知得32i2iz +=-，根据复数除法运算法则，即可求解.【详解】()21i 2i 32i z z -=-=+，()32i i 32i 23i 31i 2i 2i i 22z +⋅+-+====-+--⋅.故选：B.4．（2022·全国·统考高考真题）已知12z i =-，且0z az b ++=，其中a ，b 为实数，则（）A ．1,2a b ==-B ．1,2a b =-=C ．1,2a b ==D ．1,2a b =-=-【答案】A【分析】先算出z ,再代入计算,实部与虚部都为零解方程组即可【详解】12z i=-【A组在基础中考查功底】一、单选题根据复数模的几何意义可知，如图可知，i z +的最小值是点故选：B.26．（2022·全国·高三专题练习）设A ．13i22-C ．31i 22--【答案】C【分析】首先利用诱导公式将复数出其共轭复数；【详解】解：因为sin15z =+ 所以()22sin15i cos15z =+= 22sin 15cos 152sin15cos15=-+ cos30sin 30i =-+ 31i 22=-+所以2z 的共轭复数是3122--故选：C【B 组在综合中考查能力】一、单选题1．（2023春·安徽亳州·高三校考阶段练习）已知A ．3±B ．3【答案】C。
高考数学《复数》真题练习含答案
高考数学《复数》真题练习含答案一、选择题1．[2024·新课标Ⅰ卷]若z z －1＝1＋i ，则z ＝( ) A ．－1－i B ．－1＋iC ．1－iD ．1＋i答案：C解析：由z z －1 ＝1＋i ，可得z －1＋1z －1 ＝1＋i ，即1＋1z －1 ＝1＋i ，所以1z －1＝i ，所以z －1＝1i＝－i ，所以z ＝1－i ，故选C. 2．[2024·新课标Ⅱ卷]已知z ＝－1－i ，则|z |＝( )A ．0B ．1C ．2D ．2答案：C解析：由z ＝－1－i ，得|z |＝（－1）2＋（－1）2 ＝2 .故选C.3．[2023·新课标Ⅱ卷]在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：A解析：因为(1＋3i)(3－i)＝3－i ＋9i －3i 2＝6＋8i ，所以该复数在复平面内对应的点为(6，8)，位于第一象限，故选A.4．[2023·新课标Ⅰ卷]已知z ＝1－i 2＋2i，则z －z － ＝( ) A ．－i B ．iC ．0D ．1答案：A解析：因为z ＝1－i 2＋2i ＝（1－i ）22（1＋i ）（1－i ） ＝－12 i ，所以z － ＝12 i ，所以z －z － ＝－12 i －12i ＝－i.故选A. 5．|2＋i 2＋2i 3|＝( )A ．1B ．2C ．5D ．5答案：C解析：|2＋i 2＋2i 3|＝|2－1－2i|＝|1－2i|＝5 .故选C.6．设z ＝2＋i 1＋i 2＋i5 ，则z － ＝( ) A ．1－2i B ．1＋2iC ．2－iD ．2＋i答案：B解析：z ＝2＋i 1＋i 2＋i 5 ＝2＋i 1－1＋i ＝－i ()2＋i －i 2 ＝1－2i ，所以z － ＝1＋2i.故选B.7．[2022·全国甲卷(理)，1]若z ＝－1＋3 i ，则z z z －－1＝( ) A ．－1＋3 i B ．－1－3 iC ．－13 ＋33 iD ．－13 －33i 答案：C解析：因为z ＝－1＋3 i ，所以z z z －－1＝－1＋3i （－1＋3i ）（－1－3i ）－1 ＝－1＋3i 1＋3－1 ＝－13 ＋33i.故选C. 8．[2023·全国甲卷(文)]5（1＋i 3）（2＋i ）（2－i ）＝( ) A ．－1 B ．1C ．1－iD ．1＋i答案：C解析：由题意知，5（1＋i 3）（2＋i ）（2－i ） ＝5（1－i ）22－i2 ＝5（1－i ）5 ＝1－i ，故选C. 9．(多选)[2024·山东菏泽期中]已知复数z ＝cos θ＋isin θ⎝⎛⎭⎫－π2<θ<π2 (其中i 为虚数单位)，下列说法正确的是( )A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．|z |＝cos θC ．z ·z － ＝1D ．z ＋1z为实数 答案：CD解析：复数z ＝cos θ＋isin θ⎝⎛⎭⎫－π2<θ<π2 (其中i 为虚数单位)， 复数z 在复平面上对应的点(cos θ，sin θ)不可能落在第二象限，所以A 不正确； |z |＝cos 2θ＋sin 2θ ＝1，所以B 不正确；z ·z － ＝(cos θ＋isin θ)(cos θ－isin θ)＝cos 2θ＋sin 2θ＝1，所以C 正确；z ＋1z ＝cos θ＋isin θ＋1cos θ＋isin θ＝cos θ＋isin θ＋cos θ－isin θ＝2cos θ为实数，所以D 正确.二、填空题10．若a ＋b i i(a ，b ∈R )与(2－i)2互为共轭复数，则a －b ＝________． 答案：－7解析：a ＋b i i ＝i （a ＋b i ）i 2 ＝b －a i ，(2－i)2＝3－4i ，因为这两个复数互为共轭复数，所以b ＝3，a ＝－4，所以a －b ＝－4－3＝－7.11．i 是虚数单位，复数6＋7i 1＋2i＝________． 答案：4－i解析：6＋7i 1＋2i ＝（6＋7i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝6－12i ＋7i ＋145 ＝20－5i 5＝4－i. 12．设复数z 1，z 2 满足|z 1|＝|z 2|＝2，z 1＋z 2＝3 ＋i ，则|z 1－z 2|＝________． 答案：23解析：设复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则a 2＋b 2＝4，c 2＋d 2＝4，又z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ＝3 ＋i ，∴a ＋c ＝3 ，b ＋d ＝1，则(a ＋c )2＋(b ＋d )2＝a 2＋c 2＋b 2＋d 2＋2ac ＋2bd ＝4，∴8＋2ac ＋2bd ＝4，即2ac ＋2bd ＝－4，∴|z 1－z 2|＝（a －c ）2＋（b －d ）2 ＝a 2＋b 2＋c 2＋d 2－（2ac ＋2bd ） ＝8－（－4） ＝23 .[能力提升] 13．(多选)[2024·九省联考]已知复数z ，w 均不为0，则( )A ．z 2＝|z |2B ．z z － ＝z 2|z |2C ．z －w ＝z － －w －D ．⎪⎪⎪⎪z w ＝||z ||w 答案：BCD解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，w ＝c ＋d i(c ，d ∈R )；对A ：z 2＝(a ＋b i)2＝a 2＋2ab i －b 2＝a 2－b 2＋2ab i ，|z |2＝(a 2＋b 2 )2＝a 2＋b 2，故A 错误；对B: z z － ＝z 2z －·z ，又z － ·z ＝||z 2，即有z z － ＝z 2|z |2 ，故B 正确； 对C ：z －w ＝a ＋b i －c －d i ＝a －c ＋(b －d )i ，则z －w ＝a －c －(b －d )i ，z － ＝a －b i ，w －＝c －d i ，则z － －w － ＝a －b i －c ＋d i ＝a －c －(b －d )i ，即有z －w ＝z － －w － ，故C 正确； 对D ：⎪⎪⎪⎪z w ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋b i c ＋d i ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪（a ＋b i ）（c －d i ）（c ＋d i ）（c －d i ） ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ac ＋bd －（ad －bc ）i c 2＋d 2 ＝（ac ＋bd c 2＋d 2）2＋（ad －bc c 2＋d 2）2 ＝a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2＋a 2d 2－2abcd ＋b 2c 2（c 2＋d 2）2 ＝a 2c 2＋b 2d 2＋a 2d 2＋b 2c 2（c 2＋d 2）2 ＝a 2c 2＋b 2d 2＋a 2d 2＋b 2c 2c 2＋d 2 ，||z ||w ＝a 2＋b 2c 2＋d2 ＝a 2＋b 2×c 2＋d 2c 2＋d 2 ＝（a 2＋b 2）（c 2＋d 2）c 2＋d 2 ＝a 2c 2＋b 2c 2＋a 2d 2＋b 2d 2c 2＋d 2 ，故⎪⎪⎪⎪z w ＝||z ||w ，故D 正确．故选BCD. 14．[2022·全国乙卷(理)，2]已知z ＝1－2i ，且z ＋a z ＋b ＝0，其中a ，b 为实数，则( )A ．a ＝1，b ＝－2B ．a ＝－1，b ＝2C ．a ＝1，b ＝2D ．a ＝－1，b ＝－2答案：A解析：由z ＝1－2i 可知z － ＝1＋2i.由z ＋a z － ＋b ＝0，得1－2i ＋a (1＋2i)＋b ＝1＋a ＋b＋(2a －2)i ＝0.根据复数相等，得⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＋b ＝0，2a －2＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2.故选A. 15．[2023·全国甲卷(理)]设a ∈R ，(a ＋i)(1－a i)＝2，则a ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2答案：C解析：∵(a ＋i)(1－a i)＝a ＋i －a 2i －a i 2＝2a ＋(1－a 2)i ＝2，∴2a ＝2且1－a 2＝0，解得a ＝1，故选C.16．已知z (1＋i)＝1＋a i ，i 为虚数单位，若z 为纯虚数，则实数a ＝________． 答案：－1解析：方法一 因为z (1＋i)＝1＋a i ，所以z ＝1＋a i 1＋i ＝（1＋a i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝（1＋a ）＋（a －1）i 2，因为z 为纯虚数， 所以1＋a 2 ＝0且a －12≠0，解得a ＝－1. 方法二 因为z 为纯虚数，所以可设z ＝b i(b ∈R ，且b ≠0)，则z (1＋i)＝1＋a i ，即b i(1＋i)＝1＋a i ，所以－b ＋b i＝1＋a i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－b ＝1b ＝a ，解得a ＝b ＝－1.。
高中数学复数专题 (含答案)
高考复数专题（1）姓名：1、若a 为实数且(2)(2)4ai a i i +-=-，则a = 02、设i 是虚数单位，则复数32i i-= i.3、若复数()32z i i =- ( i 是虚数单位 )，则z = 23i -4、设复数z 满足11zz+-=i ，则|z|= 15、若复数R ∈i1ai1＋－，则实数a ＝ －16、复数()i 2i -= 12i +7、 i 为虚数单位，607i 的共轭复数．．．．为 i8、若复数z 满足1zi i =-，其中i 为虚数为单位，则z = 1i -9.设复数a +bi （a ，b ∈R，则（a +bi ）（a -bi ）=______3__.高考复数专题（1）作业 姓名：10.i 是虚数单位，若复数()()12i a i -+ 是纯虚数，则实数a 的值为 2- .11.设复数z 满足234z i =+（i 是虚数单位），则z 的模为12.已知()211i i z-=+（i 为虚数单位），则复数z = 1i --13.若复数z 满足31z z i +=+，其中i 为虚数单位，则z12i + ． 14、复数3＋2i2－3i＝ i15、在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是 2＋4i16、若复数(m 2－3m －4)＋(m 2－5m －6)i 表示的点在虚轴上，则实数m 的值是 －1和417已知复数z ＝11＋i，则z －·i 在复平面内对应的点位于第 二象限18、设i 是虚数单位，则复数21ii-在复平面内所对应的点位于第 二象限高考复数专题（2）姓名：1、复数z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，则z ＝z 1·z 2在复平面内对应的点位于第 四 象限2、已知复数a ＝3＋2i ，b ＝4＋xi (其中i 为虚数单位)，若复数a b ∈R ，则实数x 的值为 83 3、设z ＝1－i (i 是虚数单位)，则z 2＋2z ＝ 1－i4、在复平面内，复数21－i对应的点到直线y ＝x ＋1的距离是 225、设复数z 满足关系式z ＋|z －|＝2＋i ，则z 等于 34＋i6 、若复数z ＝a ＋i 1－2i(a ∈R ，i 是虚数单位)是纯虚数，则|a ＋2i |等于 227、若复数z 1＝a －i ，z 2＝1＋i (i 为虚数单位)，且z 1·z 2为纯虚数，则实数a 的值为 ________－18、若a 是复数z 1＝1＋i 2－i的实部，b 是复数z 2＝(1－i )3的虚部，则ab 等于________．－25 9、如果复数2－bi1＋2i(i 是虚数单位)的实数与虚部互为相反数，那么实数b 等于________． －23高考复数专题（2）作业 姓名：10、已知a R ∈，若(1)(32)ai i -+为纯虚数，则a 的值为 32-11、复数(3i －1)i 的共轭复数．．．．是 －3＋i12、已知复数z 满足()()12z i i i -⋅+=-，则z z ⋅=213、已知复数z 满足()1i 2i z -=+，则z 的共轭复数在复平面内对应的点在． 第 四 象限14、设复数z 满足关系i i z 431+-=⋅，那么z =__34i +_______,|z|=___54_______.15、设i 是虚数单位，复数=++iii 123 116、若i x x x )23()1(22+++- 是纯虚数，则实数x 的值是 117、已知复数11z i i=+-，则复数z 的模｜z ｜＝218、复数201511i i +⎛⎫⎪-⎝⎭＝ －i高考复数专题（3）姓名：1、复数21ii-等于 －1＋i 2、复数i215+的共轭复数为 1+2i3、已知i 是虚数单位，则复数3(12)z i i =⋅-+的虚部为4、设复数i z 431-=，i z 322+-=，则复数12z z -在复平面内对应的点位于第 二 象限5、若i 是虚数单位，则复数21i z i-=+的实部与虚部之积为 34-6、纯虚数z 满足23z -=，则z 为7、设m ∈R ，222(1)m m m i +-+-是纯虚数,其中i 是虚数单位，则m = 一28、复平面内，复数2)31(i +对应的点位于第 二 象限9、已知复数13i z =+，21i z =-，则复数12zz 在复平面内对应的点位于第 一 象限高考复数专题（3）作业 姓名：10、复数12z a i =+，22z i =-+，如果12||||z z <，则实数a 的取值范围是 11<<-a11、已知ni m i n m ni im+-=+则是虚数单位是实数其中,,,,11的虚部为 112、若)54(cos 53sin -+-=θθi z 是纯虚数，则θtan 的值为 43-13、设a 是实数，且211ii a +++是实数，则=a 114、200811i i +⎛⎫ ⎪-⎝⎭＝ 115、若复数iia 213++（a R ∈，i 为虚数单位）是纯虚数,则实数a 的值为 -616、已知复数z = (1 – i )(2 – i )，则| z |的值是 ． 1017、复数z 满足i i i z +=-2)(，则 z =i -118、复数z ＝－3+i2+i 的共轭复数是 －1－i高考复数专题（4）姓名：1、复数11i =+ 1122i -2、若复数i z +=1 （i 为虚数单位) z -是z 的共轭复数 ， 则2z +z -²的虚部为 03、复数z = i （i+1）（i 为虚数单位）的共轭复数是 -1-i4、若i bi -+13= a+b i （a ，b 为实数，i 为虚数单位），则a+b =____________.35、设i 为虚数单位，则复数34ii+= 43i -6、复数（2+i ）2等于 3+4i7、在复平面内，复数103ii+对应的点的坐标为 (1 ,3)8、i 是虚数单位，复数ii-+435= 1+i9、设a b ∈R ，，117ii 12ia b -+=-（i 为虚数单位），则a b +的值为 8 ．高考复数专题（4）作业 姓名：10、计算：31ii-=+ i 21-（i 为虚数单位）11、设1z i =+（i 是虚数单位），则22z z+= 1i +12、在复平面内，复数(12)z i i =+对应的点位于第 二象限13、复数31ii--等于 2i +14、复数8+15i 的模等于 1715、已知1iZ＋=2+i,则复数z= 1-3i16、i 是虚数单位，若17(,)2ia bi ab R i+=+∈-，则乘积ab 的值是 －317、i 是虚数单位，i(1+i)等于 -1+i18、若复数2(1)(1)z x x i =-+-为纯虚数，则实数x 的值为 1-高考复数专题（5）姓名：1、i 是虚数单位，52i i-= -1+2i2、复数 32(1)i i += 23、设a ∈R ，且2()a i i +为正实数，则a = 1-4、已知复数z=1－i, 则12-z z等于 25、若复数(1)(2)bi i ++是纯虚数（i 是虚数单位，b 是实数），则b = 26、复数211i ii +-+的值是 07、i 是虚数单位，32i 1i=-（ 1i - ）8、已知复数11i z =-，121i z z =+，则复数2z = i ．9、复数322ii +的虚部为____45__．高考复数专题（5）姓名：10、31i i -的共轭复数是 3322i --11、复数1ii+在复平面中所对应的点到原点的距离为 2212、复数()2化简得到的结果是 －l13、若a 为实数，i iai 2212-=++，则a 等于 2 214、若cos sin z i θθ=+（i 为虚数单位），则21z =-的θ值可能是 2π15、若i R b a i b i i a ,)2(∈+=+、，其中是虚数单位，则a+b = －116、2(1)i i += -217、设i 为虚数单位，则=⎪⎭⎫⎝⎛+20081i i 2100418、若复数()()22ai i --是纯虚数（i 是虚数单位），则实数a = 4高考复数专题（6）姓名：1、复数312i i ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的虚部为________. －12、若复数()2i bi ⋅+是纯虚数，则实数b = 03、i i -210= -2+4i4、复数3223ii+=- i5、若(2)a i i b i -=+，其中i R b a ,,∈是虚数单位，则a ＋b ＝__________ 36、已知x ，y ∈R ，i 是虚数单位，且(x －1)i －y ＝2＋i ，则(1＋i )x －y 的值为 －47、若复数z 满足(2)117i(i z i -=+为虚数单位)，则z 为 3+5i8、已知i 是虚数单位，则31ii+-= 1+2i9、在复平面内，复数z=sin2+icos2对应的点位于第 四 象限10、 若复数12,z z 在复平面内对应的点关于y 轴对称，且i z -=21，则复数21z z = i 5453+-高考复数专题（6）姓名：11、已知复数z 满足28z z i +=+,其中i 为虚数单位,则z = 1712、设a ∈R ，且（a +i ）2i 为正实数，则a 等于 -113、若i3i34m m +-(m ∈R )为纯虚数，则)i 2i 2(m m -+ 2 008的值为 114、设复数z 1=1－2i, z 2=1+i, 则复数z =21z z 在复平面内对应的点位于第 三象限15、若(a －2i)i = b －i ，其中a 、b ∈R ,i 是虚数单位，则a 2+b 2等于 516、 |1|11|1|i ii i +++++＝ 217、设复数z 1=1+i, z 2=x －i(x ∈R ),若z 1·z 2为实数，则x 等于 118、若复数z 满足 Z =i （2－z ）（i 是虚数单位），则z = . 1+i19、复数3ii)2i)(1(+--的共轭复数是 . －3+i20、若复数()()i 2ai 1＋＋的实部和虚部相等，则实数a 等于 21。
2023届高考数学复习：历年经典好题专项(复数)练习(附答案)
,
1 i
√2
=
.
参考答案
10
3-i
10(3 i)
=3+i,故选
(3-i)(3 i)
1.D z=
D.
2.D ∵z=2+i,∴ =2-i.
∴z =(2+i)(2-i)=5. 故选 D.
3.D 复数 z 满足|z+1|=|z-i|,∴
1)
(
(-1) ,化简得 x+y=0,故选 D.
A.x=0
B.y=0
C.x-y=0
D.x+y=0
4.(多选)对任意 z1,z2,z∈C,下列结论成立的是(
*
m n
)
)
m+n
A.当 m,n∈N 时,有 z z =z
=0,则 z1=0 且 z2=0
B.当 z1,z2∈C 时,若
C.互为共轭复数的两个复数的模相等,且||2=|z|2=zꞏ
D.z1=z2 的充要条件是|z1|=|z2|
R)的一个根为 1+i(i 为虚数单位),则
A.1-i
B.-1+i
C.2i
D.2+i
=(
1 i
)
π
2
π
2
16.(多选)(历年山东济南高三考前模拟)已知复数 z=1+cos 2θ+isin 2θ - <θ<
,则下列说法正确的是
(
)
A.复数 z 在复平面上对应的点可能落在第二象限
B.z 可能为实数
C.|z|=2cos θ
故选 D.
1 7i
2 i
zi-7i=1-2z,即 z=
历年(2019-2024)全国高考数学真题分类(复数)汇编(附答案)
历年(2019-2024)全国高考数学真题分类(复数)汇编考点01 求复数的实部与虚部1．（2020∙全国∙高考真题）复数113i-的虚部是（ ） A ．310-B ．110-C ．110D ．3102．（2020∙江苏∙高考真题）已知i 是虚数单位，则复数(1i)(2i)z =+-的实部是 .考点02 复数相等1．（2023∙全国甲卷∙高考真题）设()()R,i 1i 2,a a a ∈+-=，则=a （ ） A ．‐1B ．0 ∙C ．1D ．22．（2022∙浙江∙高考真题）已知,,3i (i)i a b a b ∈+=+R （i 为虚数单位），则（ ） A ．1,3a b ==-B ．1,3a b =-=C ．1,3a b =-=-D ．1,3a b ==3．（2022∙全国乙卷∙高考真题）设(12i)2i a b ++=，其中,a b 为实数，则（ ） A ．1,1a b ==-B ．1,1a b ==C ．1,1a b =-=D ．1,1a b =-=-4．（2022∙全国乙卷∙高考真题）已知12z i =-，且0z az b ++=，其中a ，b 为实数，则（ ） A ．1,2a b ==-B ．1,2a b =-=C ．1,2a b ==D ．1,2a b =-=-5．（2021∙全国乙卷∙高考真题）设()()2346i z z z z ++-=+，则z =（ ） A ．12i -B ．12i +C ．1i +D ．1i -考点03 共轭复数1．（2024∙全国甲卷∙高考真题）设z ，则z z ⋅=（ ）A ．2-BC ．D ．22．（2024∙全国甲卷∙高考真题）若5i z =+，则()i z z +=（ ） A ．10iB ．2iC ．10D ．23．（2023∙北京∙高考真题）在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(-，则z 的共轭复数z =（ ）A ．1B ．1C ．1-D ．1-4．（2023∙全国乙卷∙高考真题）设252i1i i z +=++，则z =（ ）A ．12i -B ．12i +C ．2i -D ．2i +5．（2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知1i22iz -=+，则z z -=（ ） A ．i -B ．iC ．0D ．16．（2022∙全国甲卷∙高考真题）若1i z =+．则|i 3|z z +=（ ）A ．B ．C ．D ．7．（2022∙全国甲卷∙高考真题）若1z =-，则1zzz =-（ ）A ．1-B ．1-C ．13-D ．13-8．（2022∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）若i(1)1z -=，则z z +=（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．29．（2021∙全国乙卷∙高考真题）设()()2346i z z z z ++-=+，则z =（ ） A ．12i -B ．12i +C ．1i +D ．1i -10．（2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知2i z =-，则()i z z +=（ ）A ．62i -B ．42i -C ．62i +D ．42i +考点04 复数的模1．（2024∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）已知1i z =--，则z =（ ）A ．0B ．1C D ．22．（2023∙全国乙卷∙高考真题）232i 2i ++=（ ）A ．1B ．2CD ．53．（2022∙全国甲卷∙高考真题）若1i z =+．则|i 3|z z +=（ ）A ．B ．C ．D ．4．（2022∙北京∙高考真题）若复数z 满足i 34i z ⋅=-，则z =（ ） A ．1B ．5C ．7D ．255．（2020∙全国∙高考真题）若312i i z =++，则||=z （ ） A ．0 B ．1CD ．26．（2020∙全国∙高考真题）若z=1+i ，则|z 2–2z |=（ ）A ．0B ．1CD ．27．（2020∙全国∙高考真题）设复数1z ，2z 满足12||=||=2z z ，12i z z +=，则12||z z -= . 8．（2019∙全国∙高考真题）设3i12iz -=+，则z =A ．2 BC D ．19．（2019∙天津∙高考真题）i 是虚数单位，则51ii-+的值为 . 10．（2019∙浙江∙高考真题）复数11iz =+（i 为虚数单位），则||z = .考点05 复数的几何意义1．（2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）在复平面内，()()13i 3i +-对应的点位于（ ）． A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．（2023∙北京∙高考真题）在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(-，则z 的共轭复数z =（ ）A ．1B ．1C ．1-D ．1-3．（2021∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）复数2i13i--在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．（2020∙北京∙高考真题）在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i z ⋅=（ ）． A ．12i +B ．2i -+C ．12i -D ．2i --5．（2019∙全国∙高考真题）设z =‐3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限6．（2019∙全国∙高考真题）设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则 A ．22+11()x y += B ．22(1)1x y -+=C ．22(1)1y x +-=D ．22(+1)1y x +=参考答案考点01 求复数的实部与虚部1．（2020∙全国∙高考真题）复数113i-的虚部是（ ） A ．310-B ．110-C ．110D ．310【答案】D【详细分析】利用复数的除法运算求出z 即可. 【答案详解】因为1131313(13)(13)1010i z i i i i +===+--+， 所以复数113z i =-的虚部为310. 故选：D.【名师点评】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题. 2．（2020∙江苏∙高考真题）已知i 是虚数单位，则复数(1i)(2i)z =+-的实部是 . 【答案】3【详细分析】根据复数的运算法则，化简即可求得实部的值. 【答案详解】∵复数()()12z i i =+-∴2223z i i i i =-+-=+ ∴复数的实部为3.故答案为：3.【名师点评】本题考查复数的基本概念，是基础题．考点02 复数相等1．（2023∙全国甲卷∙高考真题）设()()R,i 1i 2,a a a ∈+-=，则=a （ ） A ．‐1 B ．0 ∙ C ．1 D ．2【答案】C【详细分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出．【答案详解】因为()()()22i 1i i i 21i 2a a a a a a a +-=-++=+-=，所以22210a a =⎧⎨-=⎩，解得：1a =． 故选：C.2．（2022∙浙江∙高考真题）已知,,3i (i)i a b a b ∈+=+R （i 为虚数单位），则（ ） A ．1,3a b ==-B ．1,3a b =-=C ．1,3a b =-=-D ．1,3a b ==【详细分析】利用复数相等的条件可求,a b .【答案详解】3i 1i a b +=-+，而,a b 为实数，故1,3a b =-=， 故选：B.3．（2022∙全国乙卷∙高考真题）设(12i)2i a b ++=，其中,a b 为实数，则（ ） A ．1,1a b ==- B ．1,1a b == C ．1,1a b =-= D ．1,1a b =-=-【答案】A【详细分析】根据复数代数形式的运算法则以及复数相等的概念即可解出．【答案详解】因为,a b ÎR ，()2i 2i a b a ++=，所以0,22a b a +==，解得：1,1a b ==-． 故选：A.4．（2022∙全国乙卷∙高考真题）已知12z i =-，且0z az b ++=，其中a ，b 为实数，则（ ） A ．1,2a b ==- B ．1,2a b =-= C ．1,2a b == D ．1,2a b =-=-【答案】A【详细分析】先算出z ,再代入计算,实部与虚部都为零解方程组即可 【答案详解】12z i =-12i (12i)(1)(22)i z az b a b a b a ++=-+++=+++-由0z az b ++=,结合复数相等的充要条件为实部、虚部对应相等，得10220a b a ++=⎧⎨-=⎩,即12a b =⎧⎨=-⎩ 故选:A5．（2021∙全国乙卷∙高考真题）设()()2346i z z z z ++-=+，则z =（ ） A ．12i - B ．12i + C ．1i + D ．1i -【答案】C【详细分析】设i z a b =+，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于a 、b 的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数z .【答案详解】设i z a b =+，则i z a b =-，则()()2346i 46i z z z z a b ++-=+=+， 所以，4466a b =⎧⎨=⎩，解得1a b ==，因此，1i z =+. 故选：C.考点03 共轭复数1．（2024∙全国甲卷∙高考真题）设z ，则z z ⋅=（ ）A ．2-BC ．D ．2【详细分析】先根据共轭复数的定义写出z ，然后根据复数的乘法计算.【答案详解】依题意得，z =，故22i 2zz =-=. 故选：D2．（2024∙全国甲卷∙高考真题）若5i z =+，则()i z z +=（ ） A ．10i B ．2i C ．10 D ．2【答案】A【详细分析】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解. 【答案详解】由5i 5i,10z z z z =+⇒=-+=，则()i 10i z z +=. 故选：A3．（2023∙北京∙高考真题）在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(-，则z 的共轭复数z =（ ）A ．1B ．1C ．1- D ．1-【答案】D【详细分析】根据复数的几何意义先求出复数z ，然后利用共轭复数的定义计算.【答案详解】z 在复平面对应的点是(-，根据复数的几何意义，1z =-，由共轭复数的定义可知，1z =-. 故选：D4．（2023∙全国乙卷∙高考真题）设252i1i i z +=++，则z =（ ）A ．12i -B ．12i +C ．2i -D ．2i +【答案】B【详细分析】由题意首先计算复数z 的值，然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可. 【答案详解】由题意可得()252i 2i 2i 2i2i 112i 1i i 11i i 1z +++-=====-++-+-，则12i z =+. 故选：B.5．（2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知1i22iz -=+，则z z -=（ ） A ．i - B ．i C ．0D ．1【答案】A【详细分析】根据复数的除法运算求出z ，再由共轭复数的概念得到z ，从而解出． 【答案详解】因为()()()()1i 1i 1i 2i 1i 22i 21i 1i 42z ----====-++-，所以1i 2z =，即i z z -=-．6．（2022∙全国甲卷∙高考真题）若1i z =+．则|i 3|z z +=（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【详细分析】根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出．【答案详解】因为1i z =+，所以()()i 3i 1i 31i 22i z z +=++-=-，所以i 3z z += 故选：D.7．（2022∙全国甲卷∙高考真题）若1z =-，则1zzz =-（ ）A ．1- B ．1- C ．13-D ．13-【答案】C【详细分析】由共轭复数的概念及复数的运算即可得解.【答案详解】1(1113 4.z zz =-=--=+=113z zz ==-- 故选 ：C8．（2022∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）若i(1)1z -=，则z z +=（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2【答案】D【详细分析】利用复数的除法可求z ，从而可求z z +.【答案详解】由题设有21i1i i iz -===-，故1+i z =，故()()1i 1i 2z z +=++-=，故选：D9．（2021∙全国乙卷∙高考真题）设()()2346i z z z z ++-=+，则z =（ ） A ．12i - B ．12i + C ．1i + D ．1i -【答案】C【详细分析】设i z a b =+，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于a 、b 的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数z .【答案详解】设i z a b =+，则i z a b =-，则()()2346i 46i z z z z a b ++-=+=+， 所以，4466a b =⎧⎨=⎩，解得1a b ==，因此，1i z =+. 故选：C.10．（2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知2i z =-，则()i z z +=（ ）A ．62i -B ．42i -C ．62i +D ．42i +【答案】C【详细分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.【答案详解】因为2z i =-，故2z i =+，故()()()2222=4+42262z z i i i i i i i +=-+--=+故选：C.考点04 复数的模1．（2024∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）已知1i z =--，则z =（ ）A ．0B ．1CD ．2【答案】C【详细分析】由复数模的计算公式直接计算即可.【答案详解】若1i z =--，则z ==故选：C.2．（2023∙全国乙卷∙高考真题）232i 2i ++=（ ）A ．1B ．2CD ．5【答案】C【详细分析】由题意首先化简232i 2i ++，然后计算其模即可. 【答案详解】由题意可得232i 2i 212i 12i ++=--=-，则232i 2i 12i ++=-=故选：C.3．（2022∙全国甲卷∙高考真题）若1i z =+．则|i 3|z z +=（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【详细分析】根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出．【答案详解】因为1i z =+，所以()()i 3i 1i 31i 22i z z +=++-=-，所以i 3z z += 故选：D.4．（2022∙北京∙高考真题）若复数z 满足i 34i z ⋅=-，则z =（ ） A ．1 B ．5C ．7D ．25【答案】B【详细分析】利用复数四则运算，先求出z ，再计算复数的模．【答案详解】由题意有()()()34i i 34i 43i i i i z ---===--⋅-，故|5|z ==．故选：B ．5．（2020∙全国∙高考真题）若312i i z =++，则||=z （ ） A ．0 B ．1C D ．2【答案】C【详细分析】先根据2i 1=-将z 化简，再根据复数的模的计算公式即可求出．【答案详解】因为31+2i i 1+2i i 1i z =+=-=+，所以 z ==． 故选：C ．【名师点评】本题主要考查复数的模的计算公式的应用，属于容易题．6．（2020∙全国∙高考真题）若z=1+i ，则|z 2–2z |=（ ）A ．0B ．1CD ．2【答案】D【详细分析】由题意首先求得22z z -的值，然后计算其模即可.【答案详解】由题意可得：()2212z i i =+=，则()222212z z i i -=-+=-.故2222z z -=-=.故选：D.【名师点评】本题主要考查复数的运算法则和复数的模的求解等知识，属于基础题.7．（2020∙全国∙高考真题）设复数1z ，2z 满足12||=||=2z z ，12i z z +=，则12||z z -= .【答案】【详细分析】方法一：令1,(,)z a bi a R b R =+∈∈，2,(,)z c di c R d R =+∈∈，根据复数的相等可求得2ac bd +=-，代入复数模长的公式中即可得到结果.方法二：设复数12z ,z 所对应的点为12Z ,Z ,12OP OZ OZ =+, 根据复数的几何意义及复数的模，判定平行四边形12OZ PZ 为菱形，12OZ OZ 2OP ===，进而根据复数的减法的几何意义用几何方法计算12z z -. 【答案详解】方法一：设1,(,)z a bi a R b R =+∈∈，2,(,)z c di c R d R =+∈∈，12()z z a c b d i i ∴+=+++=+，1a cb d ⎧+=⎪∴⎨+=⎪⎩12||=||=2z z ，所以224a b +=，224cd +=， 222222()()2()4a c b d a c b d ac bd ∴+++=+++++=2ac bd ∴+=-12()()z z a c b d i ∴-=-+-===.故答案为：方法二：如图所示，设复数12z ,z 所对应的点为12Z ,Z ,12OP OZ OZ =+,由已知122OZ OZ OP ====,∴平行四边形12OZ PZ 为菱形，且12,OPZ OPZ 都是正三角形，∴12Z 120OZ ∠=︒，222221212121||||||2||||cos12022222()122Z Z OZ OZ OZ OZ =+-︒=+-⋅⋅⋅-=∴1212z z Z Z -==.【名师点评】方法一：本题考查复数模长的求解，涉及到复数相等的应用；考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.方法二：关键是利用复数及其运算的几何意义，转化为几何问题求解 8．（2019∙全国∙高考真题）设3i12iz -=+，则z =A ．2 BC D ．1【答案】C【详细分析】先由复数的除法运算（分母实数化），求得z ，再求z ．【答案详解】因为312iz i -=+，所以(3)(12)17(12)(12)55i i z i i i --==-+-，所以z =，故选C ． 【名师点评】本题主要考查复数的乘法运算，复数模的计算．本题也可以运用复数模的运算性质直接求解． 9．（2019∙天津∙高考真题）i 是虚数单位，则51ii-+的值为 .【详细分析】先化简复数，再利用复数模的定义求所给复数的模．【答案详解】5(5)(1)231(1)(1)i i i i i i i ---==-=++-． 【名师点评】本题考查了复数模的运算，是基础题. 10．（2019∙浙江∙高考真题）复数11iz =+（i 为虚数单位），则||z = .【答案】2【详细分析】本题先计算z ，而后求其模.或直接利用模的性质计算. 容易题，注重基础知识、运算求解能力的考查.【答案详解】1|||1|2z i ==+.【名师点评】本题考查了复数模的运算，属于简单题.考点05 复数的几何意义1．（2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）在复平面内，()()13i 3i +-对应的点位于（ ）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【详细分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义详细分析判断.【答案详解】因为()()213i 3i 38i 3i 68i +-=+-=+，则所求复数对应的点为()6,8，位于第一象限.故选：A.2．（2023∙北京∙高考真题）在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(-，则z 的共轭复数z =（ ）A ．1B ．1C ．1- D ．1-【答案】D【详细分析】根据复数的几何意义先求出复数z ，然后利用共轭复数的定义计算.【答案详解】z 在复平面对应的点是(-，根据复数的几何意义，1z =-，由共轭复数的定义可知，1z =-.故选：D3．（2021∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）复数2i13i --在复平面内对应的点所在的象限为（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【详细分析】利用复数的除法可化简2i13i --，从而可求对应的点的位置. 【答案详解】()()2i 13i 2i 55i 1i 13i 10102-+-++===-，所以该复数对应的点为11,22⎛⎫⎪⎝⎭，该点在第一象限，故选：A.4．（2020∙北京∙高考真题）在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i z ⋅=（ ）．A ．12i +B ．2i -+C ．12i -D ．2i -- 【答案】B【详细分析】先根据复数几何意义得z ，再根据复数乘法法则得结果.【答案详解】由题意得12z i =+，2iz i ∴=-.故选：B.【名师点评】本题考查复数几何意义以及复数乘法法则，考查基本详细分析求解能力，属基础题. 5．（2019∙全国∙高考真题）设z =‐3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】C【详细分析】先求出共轭复数再判断结果.【答案详解】由32,z i =-+得32,z i =--则32,z i =--对应点（‐3，‐2）位于第三象限．故选C ．【名师点评】本题考点为共轭复数，为基础题目．6．（2019∙全国∙高考真题）设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则A ．22+11()x y +=B ．22(1)1x y -+=C ．22(1)1y x +-=D ．22(+1)1y x += 【答案】C【详细分析】本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x ，y ）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C ．【答案详解】,(1),z x yi z i x y i =+-=+-1,z i -==则22(1)1y x +-=．故选C ．【名师点评】本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，利用方程思想解题．。
高考数学专题02 复数(解析版)
专题02 复数一、单选题1．（2022·河北深州市中学高三期末）已知复数()()2i 1i z a =++（其中i 为虚数单位，a R ∈）在复平面内对应的点为()1,3，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．2C ．1-D ．0【答案】A 【解析】 【分析】先利用复数的乘法化简，再利用复数的几何意义求解. 【详解】因为()()()2i 1i 22i z a a a =++=-++， 又因为复数在复平面内对应的点为()1,3，所以2123a a -=⎧⎨+=⎩，解得1a = 故选：A2．（2022·河北保定·高三期末）()()2212i 1i --+=（ ） A ．32i -- B ．36i -- C ．32i - D ．36i -【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的四则运算计算即可. 【详解】22(12i)(1i)34i 2i 36i --+=---=--.故选：B3．（2022·河北张家口·高三期末）已知12z i =-，则5iz=（ ） A ．2i -+ B ．2i - C ．105i -D ．105i -+【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法化简可得结果. 【详解】()()()5i 12i 5i 5i2i 12i 12i 12i z +===-+--+， 故选：A.4．（2021·福建·莆田二中高三期末）复数()()cos2isin3cos isin θθθθ+⋅+的模为1，其中i 为虚数单位，[]0,2πθ∈，则这样的θ一共有（ ）个. A ．9 B ．10C ．11D ．无数【答案】C 【解析】 【分析】先根据复数()()cos2isin3cos isin θθθθ+⋅+的模为1及复数模的运算公式，求得22cos 2sin 31θθ+=即22cos 2cos 3θθ=，接下来分cos2cos3θθ=与cos2cos3θθ=-两种情况进行求解，结合[]0,2πθ∈，求出θ的个数. 【详解】()()cos2isin3cos isin =cos2isin3cos isin 1θθθθθθθθ+⋅++⋅+=，其中cos isin 1θθ+=，所以cos2isin31θθ+=，即22cos 2sin 31θθ+=，222cos 21sin 3cos 3θθθ=-=，当cos2cos3θθ=时，①1232πk θθ=+，1k Z ∈，所以12πk θ=-，1k Z ∈，因为[]0,2πθ∈，所以0θ=或2π；②2232πk θθ=-+，2k Z ∈，所以22π5k θ=，2k Z ∈，因为[]0,2πθ∈，所以0θ=，2π5，4π5，6π5，8π5或2π；当cos2cos3θθ=-时，①()32321πk θθ=++，3k Z ∈，即()321πk θ=-+，3k Z ∈，因为[]0,2πθ∈，所以πθ=，②()42321πk θθ=-++，4k Z ∈，即()421π5k θ+=，4kZ ∈，因为[]0,2πθ∈，所以π5θ=，3π5，π，7π5，9π5，综上：π5mθ=，0,1,10m =，一共有11个. 故选：C5．（2022·山东省淄博实验中学高三期末）设复数z 满足()23i 32i z -=+，则z =（ ）A．12 B C ．1 D 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件结合复数除法计算复数z ，进而计算z 的模作答. 【详解】因复数z 满足()23i 32i z -=+，则32i (32i)(23i)13ii 23i (23i)(23i)13z +++====--+， 所以1z =. 故选：C6．（2022·山东枣庄·高三期末）已知i 为虚数单位，则2022i =（ ）． A ．1 B ．1- C ．I D ．i -【答案】B 【解析】 【分析】由于41i =，故2022i 可以化简为2i ，即可得到答案. 【详解】20224505+22i i ==i ⨯=1-.故选：B.7．（2022·山东德州·高三期末）已知复数z 满足()121i iz +=-，其中i 为虛数单位，则复数z 在复平面内所对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的模长公式以及四则运算得出z =，最后确定复数z 在复平面内所对应的点的象限. 【详解】21i 22|2i |i i +=+=-=z =则复数z 在复平面内所对应的点坐标为⎝⎭，在第一象限.故选：A8．（2022·山东淄博·高三期末）已知复数z 是纯虚数，11iz+-是实数，则z =（ ） A ．－i B ．iC ．－2iD ．2i【答案】B 【解析】 【分析】由题意设i()z b b R =∈，代入11iz+-中化简，使其虚部为零，可求出b 的值，从而可求出复数z ，进而可求得其共轭复数 【详解】由题意设i()z b b R =∈， 则11i (1i)(1i)(1)(1)i1i 1i (1i)(1i)2z b b b b ++++-++===---+， 因为11iz+-是实数，所以10b +=，得1b =-， 所以i z =-， 所以i z =， 故选：B9．（2022·山东临沂·高三期末）已知复数26i1iz +=-，i 为虚数单位，则z =（ ）A．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】利用复数除法运算求得z ，然后求得z . 【详解】 ()()()()()()()()26i 1i 26i 1i 13i 1i 24i1i 1i 2z ++++===++=-+-+，z =故选：C10．（2022·湖北武昌·高三期末）已知复数1i z =-，则2iz=-（ ） A ．13i 55-B ．13i 55--C ．13i 55-+D ．1355i +【答案】D 【解析】 【分析】先得出z ，由复数的乘法运算可得答案. 【详解】复数1i z =-，则1i z =+则()()()()1i 2i 1i 13i 2i 2i 2i 2i 5z ++++===---+ 故选：D11．（2022·湖北·黄石市有色第一中学高三期末）已知复数数列{}n a 满足12i a =，1i i 1n n a a +=++，N n *∈，（i 为虚数单位），则10a =（ ） A ．2i B ．2i - C ．1i + D ．1i -+【答案】D 【解析】 【分析】推导出数列{}i n a -是等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得10a 的值. 【详解】由已知可得()1i i i n n a a +-=-，因此，数列{}i n a -是以1i i a -=为首项，以i 为公比的等比数列，所以，91010i i i i 1a -=⋅==-，故101i a =-+.故选：D.12．（2022·湖北江岸·高三期末）已知()12i 43i z -=-，则z =（ ） A ．10i +B ．2i +C ．2i -D ．25i +【解析】 【分析】利用复数的除法化简复数z ，利用共轭复数的定义可得结果. 【详解】 由已知可得()()()()43i 12i 43i 105i2i 12i 12i 12i 5z -+-+====+--+，因此，2i z =-. 故选：C.13．（2022·湖北襄阳·高三期末）下面是关于复数22i 1i z =-（i 为虚数单位）的命题，其中真命题为（ ）A ．2z =B ．复数z 在复平面内对应点在直线y x =上C ．z 的共轭复数为11i 22-D ．z 的虚部为1i 2-【答案】B 【解析】 【分析】化简复数为代数形式，然后求模，写出对应点的坐标．得其共轭复数及虚部，判断各选项即得． 【详解】∵22i 11i 1i 1i 2z ---===--，所以z =A 错误；所以复数z 在复平面内对应点坐标为11(,)22--，在直线y x =上，B 正确；所以z 的共轭复数为11i 22-+，C 错误；所以z 的虚部为12-，D 错误．故选：B ．14．（2022·湖北省鄂州高中高三期末）复数4i1iz =+，则z =（ ） A ．22i -- B ．22i -+C ．22i +D ．22i -【答案】D 【解析】先计算z ，再根据共轭复数的概念即可求解. 【详解】根据复数除法的运算法则可得41i z i =+()()()414422112i i i i i i -+===+-+ ，所以可得其共轭复数22z i =-.故选：D.15．（2022·湖北·高三期末）已知复数121i,i z z =-=，则复数12z z 的共轭复数的模为（ ） A ．12 B2C ．2 D【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法运算得121i z z =--，再根据共轭复数的概念与模的公式计算即可. 【详解】解：因为121i,i z z =-=， 所以()121iii 1i 1i z z -==--=--， 所以复数12z z 的共轭复数为1i -+.故选：D16．（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）若1i z =-+．设zz ω=，则ω=（ ） A ．2i B ．2C ．22i +D ．22i -【答案】B 【解析】 【分析】根据1i z =-+求出1i z =--，结合复数的乘法运算即可. 【详解】由1i z =-+，得1i z =--，所以2(1i)(1i)=(i 1)=2zz ω==-+----. 故选：B17．（2022·湖南常德·高三期末）已知复数z 满足：()1i i z +=，则z z ⋅=（ ）A ．12 B C ．1D ．i 2【答案】A 【解析】 【分析】首先根据复数的除法运算求出z ，然后根据复数的乘法运算即可求出结果. 【详解】 因为(1)z i i +=， 所以()()i 1i i 1i 11i 1i (1i)1i 222z -+====+++-， 因此11111i i 22222z z ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⋅=.故选：A.18．（2022·湖南娄底·高三期末）复数()i 3i z =-⋅在复平面内对应的点位于（ ）． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A 【解析】 【分析】由复数乘法法则计算出z ，然后可得其对应点的坐标，得所在象限． 【详解】∵()3i i 13i z =-=+⋅，∴z 在复平面内对应的点为()1,3，位于第一象限． 故选：A ．19．（2022·湖南郴州·高三期末）已知i 为虚数单位，复数z 满足()i 123i 4z +=+，则z 的共轭复数z =（ ） A ．12i - B ．12i +C ．2i -D ．2i +【答案】B 【解析】根据复数的模和除法运算，即可得到答案； 【详解】 |43i |55(12i)12i 12i 12i 5z +-====-++ ∴12i z =+，故选：B20．（2022·广东揭阳·高三期末）复数z 满足()1i 1i(i z +=-为虚数单位)，则z 的模为（ ） A．12-B ．12C ．1 D【答案】C 【解析】 【分析】先做除法运算求出复数z ，再根据复数模的计算公式求其模. 【详解】由()1i 1i z +=-得1ii 1iz -==-+，从而i 1z =-= 21．（2022·广东潮州·高三期末）已知i 为虚数单位，复数21i 1i -=+z ，则z 的虚部为（ ）A ．0B ．－1C ．－iD ．1【答案】B 【解析】 【分析】化简复数z 1i =-， z 的虚部为i 前面的系数，即可得到答案. 【详解】21i 22(1-i)1i 1i 1i (1i)(1-i)z -====-+++.则z 的虚部为－1.故选：B.22．（2022·广东罗湖·高三期末）已知复数()1i i =+⋅z （i 为虚数单位），则z 的共轭复数z =（ ） A ．1i + B ．1i -C ．1i -+D ．1i --【答案】D 【解析】求出复数z，进而可得其共轭复数.【详解】()1i i=1+iz=+⋅-，则1iz=--故选：D.23．（2022·广东清远·高三期末）已知i为虚数单位，复数z的共轭复数z满足(1i)|1|+=z，则z=（）A．1i-B．1i+C．22i-D．22i+【答案】B【解析】【分析】结合复数除法运算求出z，进而得出z.【详解】因为21i1i===-+z，所以1iz=+．故选：B24．（2022·广东汕尾·高三期末）若复数z满足1i12iz+=+其中（i为虚数单位），则复数z的共轭复数为（）A．3i5--B．3i5-+C．3i5-D．3i5+【答案】D 【解析】【分析】化简可得3i5z-=，根据共轭复数的概念，即可得答案.【详解】因为1i(1i)(12i)3i12i(12i)(12i)5z++--===++-，所以3i5z+ =，故选：D．25．（2022·江苏通州·高三期末）20221i1i-⎛⎫=⎪+⎝⎭（）A ．1B ．iC ．－1D ．－i【答案】C 【解析】 【分析】由复数的除法和复数的乘方运算计算． 【详解】21i (1i)i 1i (1i)(1i)--==-+-+， 所以2022202221i (i)i 11i -⎛⎫=-==- ⎪+⎝⎭．故选：C ．26．（2022·江苏宿迁·高三期末）已知复数z 满足()1i 4i z +=，则z =（ ） A．2 B C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法化简复数z ，利用复数的模长公式可求得结果. 【详解】由已知可得()()()()4i 1i 4i2i 1i 22i 1i 1i 1i z -===-=+++-，因此，z = 故选：C.27．（2022·江苏扬州·高三期末）若复数z ＝202112i +（i 为虚数单位），则它在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】 【分析】 化简复数z ＝202112i +，得到其对应点的坐标即可解决.【详解】z 202112i ==+12i =+2i 21i 555-=-， 则z 在复平面上对应的点为21(,)55Z -，Z 位于第四象限.故选：D28．（2022·江苏海安·高三期末）已知复数z 满足(1－i)z ＝2＋3i （i 为虚数单位），则z ＝（ ） A ．－12＋52iB ．12＋52iC ．12－52iD ．－12－52i 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的运算法则求解. 【详解】 ∵(1－i)z ＝2＋3i, ∴()()()()23i 1i 23i 15i 15i 1i 1i 1i 222z +++-+====-+-+-. 故选：A.29．（2022·江苏如东·高三期末）已知复数z 满足202120222023i 4i 3i z =-，则z ＝（ ） A ．4＋3i B ．4－3iC ．3＋4iD ．3－4i【答案】C 【解析】 【分析】将202120222023i 4i 3i z =-中的202120222023i ,i ,i ，根据41i = 化简，即可得答案. 【详解】 因为41i =，故由202120222023i 4i 3i z =-可得：23i 4i 3i z =-，即4i 334i z =+=+， 故选：C.30．（2022·江苏苏州·高三期末）设i 为虚数单位，若复数(1i)(1i)a -+是纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．2【答案】A【解析】 【分析】用复数的乘法法则及纯虚数的定义即可. 【详解】(1i)(1i)1i i 1(1)i a a a a a -+=+-+=++-为纯虚数，10a ∴+=，1a ∴=-，故选:A ．31．（2022·江苏无锡·高三期末）已知3i1ia ++（i 为虚数单位，a ∈R ）为纯虚数，则=a （ ） A ．1- B ．1C ．3-D ．3【答案】C 【解析】 【分析】先利用复数除法法则进行化简，结合纯虚数条件列出方程，求出a 的值. 【详解】3i (3i)(1i)i 3i+31i 22a a a a ++--+==+3(3)i2a a ++-=为纯虚数， 30a ∴+=，3a ∴=-，故选：C. 二、多选题32．（2022·河北唐山·高三期末）已知复数i z a b =+（,a b ∈R 且0b ≠），z 是z 的共扼复数，则下列命题中的真命题是（ ） A ．z z +∈R B ．z z -∈RC ．z z ⋅∈RD ．zz∈R【答案】AC 【解析】 【分析】由题知i z a b =-，进而根据复数的加减乘除运算依次讨论各选项即可得答案. 【详解】解：对于A 选项，i z a b =+，i z a b =-，所以2z z a +=∈R ，故正确； 对于B 选项，i z a b =+，i z a b =-，2i z z b -=∉R ，故错误；对于C 选项，i z a b =+，i z a b =-，22z z a b ⋅=+∈R ，故正确；对于D 选项，i z a b =+，i z a b =-，()22222222i i i i z a b ab z a a b a b a b b a b --===+-+-+， 所以当0a =时，z z ∈R ，当0a ≠时，zz ∉R ，故错误.故选：AC33．（2022·山东莱西·高三期末）已知复数()21i z a a =+-，i 为虚数单位，a R ∈，则下列正确的为（ ）A ．若z 是实数，则1a =-B ．复平面内表示复数z 的点位于一条抛物线上C ．zD ．若21z z =+，则1a =±【答案】BC 【解析】 【分析】以实数定义求出参数a 判断选项A ；以复数z 对应点的坐标判断选项B ；求出复数z 的模判断选项C ；以复数相等求出参数a 判断选项D. 【详解】选项A ：由复数()21i z a a =+-是实数可知210a -=，解之得1a =±.选项A 判断错误；选项B ：复数()21i z a a =+-在复平面内对应点2(,1)Z a a -，其坐标满足方程21y x =-，即点2(,1)Z a a -位于抛物线21y x =-上. 判断正确；选项C ：由()21i z a a =+-，可得z ===判断正确； 选项D ：21z z =+ 即()()221i =2121i a a a a +-+--可得()2221121a a a a =+⎧⎪⎨-=--⎪⎩，解之得1a =-.选项D 判断错误. 故选：BC34．（2022·广东东莞·高三期末）已知复数123,,z z z ，1z 是1z 的共轭复数，则下列结论正确的是（ ） A ．若120z z +=，则12=z zB ．若21z z =，则12=z zC ．若312z z z =，则312z z z =D ．若1211z z +=+，则12=z z【答案】ABC 【解析】 【分析】若i z a b =+ ，则i z a b =-，z z ==，利用复数代数运算，可以判断AB ；利用复数的三角运算，可以判断C ；利用数形结合，可以判断D. 【详解】 对于A ：若120z z += ，则12z z =-，故122z z z =-=， 所以A 正确； 对于B ：若21z z =，则12=z z ， 所以B 正确； 对于C ：设11(cos i sin )z r αα=+ ，22(cos i sin )z r ββ=+则()()31212cos()i sin z z z r r αβαβ==+++ ，故312z z z = ， 所以C 正确； 对于D ：如下图所示，若11OA z =+ ，21OB z =+，则1OC z =，2OD z =，故12z z ≠ ， 所以D 错误.故选：ABC35．（2022·江苏如皋·高三期末）关于复数12z =- (i 为虚数单位)，下列说法正确的是（ ）A ．|z |＝1B ．z ＋z 2＝－1C ．z 3＝－1D ．(z ＋1)3＝i【答案】AB 【解析】 【分析】根据复数模的计算公式求得复数的模，可判断A;根据复数的乘方运算可判断B,C,D. 【详解】由复数12z =-,可得||1z == ，故A 正确；2211112222z z +=--=-- ，故B 正确；3222111()1222z z z =⋅=--+--=，故C 错误；3221111(1)(1)(1)(((12222z z z ⎛⎫+=++=+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，故D 错误， 故选：AB.36．（2022·江苏苏州·高三期末）下列命题正确的是（ ） A ．若12,z z 为复数，则1212z z z z =⋅ B ．若,a b 为向量，则a b a b ⋅=⋅C ．若12,z z 为复数，且1212z z z z +=-，则120z z =D ．若,a b 为向量，且a b a b +=-，则0a b ⋅= 【答案】AD 【解析】 【分析】根据复数运算、向量运算的知识对选项进行分析，从而确定正确选项. 【详解】令1i z a b =+，()2i ,,,R z c d a b c d =+∈，，12()i z z ac bd ad bc =-++，12z z ===1z =2z =1212z z z z ∴=⋅，A 对；cos a b a b θ⋅=⋅⋅，cos a b a b a b θ∴⋅=⋅⋅=⋅不一定成立，B 错； 12()()i z z a c b d +=+++，12()()i z z a c b d -=-+-，1212z z z z -=+，0ac bd ∴+=，12(i)(i)()i 0z z a b c d ac bd ad bc =++=-++≠，C 错．将a b a b +=-两边平方并化简得0a b ⋅=，D 对. 故选：AD 三、填空题37．（2021·福建·莆田二中高三期末）设x ∈R ，记[]x 为不大于x 的最大整数，{}x 为不小于x 的最小整数．设集合{}|23,A z z z C =≤⎡⎤≤∈⎣⎦,{}{}|23,B z z z C =≤≤∈，则A B 在复平面内对应的点的图形面积是______ 【答案】5π 【解析】 【分析】依题意表示出集合{}|24,A z z z C =≤<∈，{}|13,B z z z C =<≤∈，从求出A B ，再根据复数的几何意义求出复数z 的轨迹，即可得解； 【详解】解：依题意由23z ≤⎡⎤≤⎣⎦，所以24z ≤<，由{}23z ≤≤，所以13z <≤，所以{}{}|23,|24,A z z z C z z z C =≤⎡⎤≤∈=≤<∈⎣⎦，{}{}{}|23,|13,B z z z C z z z C =≤≤∈=<≤∈，所以{}|23,A B z z z C =≤≤∈设()i ,z x y x y R =+∈，由23z ≤≤，所以23≤，所以2249x y ≤+≤，所以复数z 再复平面内对应的点为在复平面内到坐标原点的距离大于等于2且小于等于3的圆环部分，所以圆环的面积()22325S ππ=-=故答案为：5π38．（2022·广东佛山·高三期末）在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(3,5)-.则(1i)z -=___________. 【答案】28i -- 【解析】 【分析】根据给定条件求出复数，再利用复数的乘法运算计算作答. 【详解】在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(3,5)-，则35i z =-，所以(1i)(1i)(35i)28i z -=--=--. 故答案为：28i --39．（2022·江苏常州·高三期末）i 是虚数单位，已知复数z 满足等式2i0i z z+=，则z 的模z =________．【解析】 【分析】以复数运算规则和复数模的运算性质对已知条件进行变形整理，是本题的简洁方法. 【详解】 由2i 0i z z +=，可得2i i z z =- 则有2ii z z-=，即i 2i 2z z ⨯=⨯-=，故有z =。
新高考数学计算题型精练 复数的四则运算(解析版)
新高考数学计算题型精练复数的四则运算1．34i i +的共轭复数为（）．A ．1i +B ．1i-C ．1i-+D ．1i--【答案】A【详解】因为34i i 1i +=-，则其共轭复数为1i +．故选:A 2．若22i i 1i z +=+，则z =（）A ．13i22+B ．13i22-C ．13i22-+D ．13i22--【答案】B 【详解】因为2i 1(2i 1)(1i)13i 13i 1i (1i)(1i)222z ---+====+++-，所以13i 22z =-．故选：B 3．已知i i z z +=，则z =（）A2B ．0C ．12D ．1【答案】A【详解】设i z a b =+，则()21i i i i a b a b b a ++=+=-+，故1a b b a =-⎧⎨+=⎩，解之得1212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以2z ==.故选:A 4．已知i1i z=+（其中i 为虚数单位），若z 是z 的共轭复数，则z z -=（）A ．1-B ．1C ．i-D ．i【答案】D 【详解】由i 1i z=+，则()()()i 1i i 1i 1i 1i 1i 2z -+===++-，则1i 2z -=，所以i z z -=．故选：D ．5．543i=-（）A ．43i-+B ．43i +C ．43i55-+D ．43i55+【答案】D【详解】()()()()543i 543i 543i 43i 43i 43i 2555++===+--+.故选：D 6．若复数z 满足i 43i z ⋅=+，则z =（）A ．2BC ．3D ．5【答案】D【详解】()43i i 43i 4i 3i 43i 34i i i i 1z z +⋅+-⋅=+∴====-⋅- ，，5z ∴=.故选：D.7．若a 为实数，且7i2i 3ia +=-+，则=a （）A ．2B ．1C ．1-D ．2-【答案】C【详解】由题意得，()()2i 3i 7i1iia -+--===-，故选：C ．8．2(1=（）A ．2+B ．2-C ．2-+D ．2--【答案】C【详解】22(113i 2+=++=-+；故选：C.9．已知复数3i2i 12iz +=++，则z =（）A ．1BC ．2D ．【答案】B【详解】因为()()3i 12i 3i2i 2i 1i 2i 1i 12i 5z +-+=+=+=-+=++，所以z =．故选:B10．()1i 1z -=，则z =（）A ．1i +B ．1i -C ．22i +D ．22i-【答案】B【详解】()1i 12z -=-= ，()()()()21i 21i 21i 1i 1i 1i 2z ++∴====+--+，1i z ∴=-.故选：B.11．设11iz =+，则z z -=（）A ．i-B ．iC ．1D ．0【详解】由题意可得11i 11i 1i 222z -===-+，则11i 22z =+，所以1111i i i 2222z z ⎛⎫⎛⎫-=--+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A12．已知i 为虚数单位，复数13i2iz -=+，则z =（）A ．2BC D【答案】C 【详解】()()()()13i 2i 13i 17i 17i 2i 2i 2i 555z -----====--++-，则z =故选：C.13．已知i 为虚数单位，复数z满足(13i)i z =，则z =（）A ．i -B iC 1i2D 1i 2【答案】D【详解】依题意，2i 1i422z -===-，所以1i 22z =+.故选：D 14．若复数()43i i z =-，则z =（）A ．25B ．20C ．10D ．5【答案】D【详解】因为()43i i 34i z =-=+，所以5z ==，故选:D.15．设复数z 满足()1i 4z -=，则z =（）A ．B ．1C D ．2【答案】A【详解】由()1i 4z -=，得()()()41i 444i 22i 1i 1i 1i 2z ⨯++====+--⨯+，所以z ==故选：A.16．已知复数()()()1i 2i z a a =-+∈R 在复平面对应的点在实轴上，则=a （）A ．12B ．12-C ．2D ．-2【详解】依题意，()()()()1i 2i 22i z a a a =-+=++-，因为复数z 在复平面对应的点在实轴上，所以20a -=，解得2a =.故选：C.17．已知复数z 满足(1)(23i)32i z --=+，则z =（）A ．0B ．iC ．1i-+D ．1i+【答案】D【详解】∵(1)(23i)32i z --=+，∴()()()()32i 23i 32i 13i1111i 23i 23i 23i 49z +++=+==+=+--++，故选：D.18．若复数z 满足i 12i z ⋅=-，则z =（）A ．2i --B ．2i-+C ．2i+D ．2i-【答案】B【详解】由已知可得，12i 2i i z -==--，从而2i z =-+.故选：B.19．设i 为虚数单位，若复数z 满足3i i 1iz -=-，则z 的虚部为（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】D【详解】由()()()()3i 1i 3i 42i2i i 1i 1i 1i 2z -+-+====+--+，则2i 1z =-，所以z 的虚部为2．故选：D ．20．已知复数z 满足(2i)24i z +=-，则z 的虚部为（）A ．2i -B ．2iC ．2-D ．2【答案】C 【详解】()()()()24i 2i 24i 10i2i 2i 2i 2i 5z ----====-++-，故虚部为2-.故选：C 21．已知i 12iz=-，i 为虚数单位，则z =（）A ．2i -+B ．2i-C ．2i+D ．2i--【答案】C 【详解】因为i 12iz=-，则()i i 122i z =-=+.故选：C.22．已知复数z 满足()()1i 2i 2i z --=，则z 的虚部为（）A ．1-B ．i-C ．3D ．3i【答案】C【详解】因为()()()2i 1i 2i2i 2i i 12i 13i 1i 1i 1i z +=+=+=-+=-+--+，所以z 的虚部为3，故选：C.23．已知复数()i z a a =+∈R 满足5z z ⋅=，则a 的值为（）A B ．2C ．D ．2±【答案】D【详解】因为i z a =+，所以2(i)(i)15z z a a a ⋅=+-=+=，解得2a =±，故选：D 24．已知复数z 是方程2220x x +=-的一个根，则z =（）A ．1B ．2C D【答案】C【详解】因为方程2220x x +=-是实系数方程，且()224240∆=--⨯=-<，所以该方程有两个互为共轭复数的两个虚数根，即22i1i 2z ±==±，所以z ==故选：C 25．若复数()2iR 2ia z a -=∈+是纯虚数，则=a （）A ．-2B ．2C ．-1D ．1【答案】D【详解】由题意设i z b =（0b ≠），2ii 2ia zb -==+，即()2i i 2i 2i a b b b -=+=-+，则22a b b =-⎧⎨=-⎩，解得：1,1a b ==-.故选：D 26．已知复数z 满足()1i 3i z +=-，则复数z =（）A ．2BC ．D【答案】B【详解】因为()1i 3i z +=-，则()()()()3i 1i 3i 24i12i 1i 1i 1i 2z ----====-++-，因此，z ==故选：B.27．已知复数1i 22z =+，则3z =（）A ．34B C ．1D 【答案】C【详解】法一：由复数乘法运算得231111i i i i =i 22222222z ⎫⎫⎛⎫=++=++⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则31z =，法二：由1||12z ==，则31z =，故选：C 28．已知复数z 满足i 43i z ⋅=+，则z =___________．【答案】5【详解】由i 43i z ⋅=+得2243i 4i 3i 4i 334i i i 1z ++-====--，因为5z ==，所以5z z ==，故答案为：5．29．3ii+=______【答案】13i -【详解】()23i i3i 13i i i ++==-.故答案为：13i -30．复数z 满足26i z z +=-（i 是虚数单位），则z 的虚部为___________.【答案】-1【详解】令i z a b =+，则i z a b =-，所以()()22i i 3i=6i z z a b a b a b +=++-=+-，故z 的虚部为1-.故答案为：-1.31．设复数z 满足()1i 2i z +=（i 为虚数单位），则z =____________．【答案】1i+【详解】∵()1i 2i z +=，则()()()i 1i ii i i i 221111z -===+++-.故答案为：1i +.32．复数1z ，2z 在复平面上对应的点分别为()12,1Z ，()21,2Z -，则12z z +=________.【答案】3i -/-i+3【详解】因为复数1z ，2z 在复平面上对应的点分别为()12,1Z ，()21,2Z -，所以12i z =+，212i z =-，所以123i z z +=-，故答案为：3i -.33．若复数21iz =+（i 为虚数单位），则i z -=___________.【详解】()()()()21i 21i 21i 1i 1i 1i 2z --====-++-，所以i 12i z -=-==.故答案34．若复数z 满足(1i)12i z -=+（i 是虚数单位），则复数z =_____________．【答案】13i 22-+．【详解】由(1i)12i z -=+可得()()()()12i 1i 12i 13i 13i 1i 1i 1i 222z +++-+===--+--+.故答案为：13i 22-+.35．若()12i 1z +=，则()1i z +=______【答案】62i55-【详解】因为()12i 12z +===，所以()212i 224i 12i 145z --===++，故()()24i 22i 4i 4621i 1i i 5555z -+-++=⨯+==-.故答案为：62i 55-.36．若复数z 满足2136i z -=+（其中i 是虚数单位），则z =______.【答案】23i-【详解】由2136i z -=+，得246i z =+，∴23i z =+，则23i z =-．故答案为：23i -．37．已知复数i 12i 2iz=-++，则z 的虚部为______．【答案】4-【详解】解：由题意得(12i)(2i)(43i)i34i i i iz -++-+===+⋅，则34i z =-，所以z 的虚部为－4，故答案为：-438．已知复数z 满足210z z ++=，则z z ⋅=_____________.【答案】1【详解】因为22131024z z z ⎛⎫++=++= ⎪⎝⎭，即2213i 242z ⎛⎫⎛⎫+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，12z =-或1i 22z =-+，若12z =-，则122z =-+，则111312244z z ⎛⎫⎛⎫⋅=---=+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，若1i 22z =-+，则12z =-，则1113i 1222244z z ⎛⎫⎛⎫⋅=-+-=+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.综上所述，1z z ⋅=.故答案为：1.39．已知复数z 满足()1i i z -=（i 为虚数单位），则z 的虚部为_____________．【答案】12/0.5【详解】由()1i i z -=得：()()()i 1i i 1i 11i 1i 1i 1i 222z +-+====-+--+，z ∴的虚部为12.故答案为：12.40．在复平面内，复数z 所对应的点为(1,1)，则z z ⋅=___________．【答案】2【详解】由题意可知1i z =+，所以()()1i 1i 2z z ⋅=+-=，故答案为：241．已知复数z 满足()12i |43i |z +=-（其中i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数为___________.【答案】12i+【详解】由()12i 43i 5z +=-==，得()()()()2512i 512i 512i 12i 12i 12i 14i z --====-++--，则复数z 的共轭复数为12i z =+；故答案为：12i +42．复数312i3i ++的值是_____________．【答案】17i 1010+【详解】解：312i 12i (12i)(3i)17i 17i 3i 3i 10101010+++++====++-．故答案为：17i 1010+.。
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《复数》知识点总复习含答案
【高中数学】数学复习题《复数》知识点练习一、选择题1．设复数4273i z i -=-，则复数z 的虚部为（ ） A ．1729- B ．1729 C ．129- D ．129【答案】C【解析】【分析】 根据复数运算法则求解1712929z i =-，即可得到其虚部. 【详解】 依题意，()()()()427342281214634217173737358582929i i i i i i z i i i i -+-+-+-=====---+ 故复数z 的虚部为129-故选：C【点睛】此题考查复数的运算和概念辨析，关键在于熟练掌握运算法则，准确计算，正确辨析虚部的概念.2．已知i 是虚数单位，44z 3i (1i)=-+，则z (= )A ．10BC ．5D 【答案】B【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【详解】4244z 3i 3i 13i (1i)(2i)=-=-=--+Q ，z ∴== 故选B ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3．已知复数z 满足()1z i i =-，(i 为虚数单位)，则z =( )A B C ．2 D ．3【解析】()11z i i i =-=+，故2z =，故选A.4．若复数z 满足232,z z i +=-其中i 为虚数单位，则z=A ．1+2iB ．1-2iC ．12i -+D ．12i --【答案】B 【解析】试题分析：设i z a b =+，则23i 32i z z a b +=+=-，故，则12i z =-，选B.【考点】注意共轭复数的概念【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，有时对复数的运算与概念、复数的几何意义等进行综合考查，也是考生必定得分的题目之一.5．a 为正实数，i 为虚数单位，2a i i+=，则a=（ ） A ．2B 3C 2D ．1【答案】B【解析】【分析】【详解】 2||21230,3a i a a a a i+=+=∴=±>∴=Q ，选B.6．设i 是虚数单位，则()()3211i i -+等于( ) A ．1i -B ．1i -+C ．1i +D ．1i --【答案】B【解析】【分析】化简复数得到答案.【详解】 ()()3221(1)(1)2(1)1221i i i i i i i ii -----===-++ 故答案选B本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力.7．复数21i z i+=-，i 是虚数单位，则下列结论正确的是A ．z =B ．z 的共轭复数为31+22iC ．z 的实部与虚部之和为1D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限 【答案】D【解析】【分析】 利用复数的四则运算，求得1322z i =+，在根据复数的模，复数与共轭复数的概念等即可得到结论．【详解】 由题意()()()()22121313111122i i i i z i i i i i ++++====+--+-，则22z ==，z 的共轭复数为1322z i =-， 复数z 的实部与虚部之和为2，z 在复平面内对应点位于第一象限，故选D ．【点睛】复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化，其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为a bi -．8．（2018江西省景德镇联考）若复数2i 2a z -=在复平面内对应的点在直线0x y +=上，则z =（ ）A ．2B C ．1 D ．【答案】B【解析】分析：化简复数z ，求出对应点坐标，代入直线方程，可求得a 的值，从而可得结果. 详解：因为复数2i 22a a z i -==-， 所以复数2i 2a z -=在复平面内对应的点的坐标为,12a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由复数2i 2a z -=在复平面内对应的点在直线0x y +=上， 可得10212a a z i -=⇒==-，,z ==,故选B.9．已知(,)a bi a b R +∈是11i i +-的共轭复数,则a b +=（ ） A ．1-B ．12-C ．12D ．1 【答案】A【解析】【分析】 先利用复数的除法运算法则求出11i i+-的值，再利用共轭复数的定义求出a +bi ，从而确定a ，b 的值，求出a +b ．【详解】 ()()21(1)21112i i i i i i ++===-+-i ， ∴a +bi ＝﹣i ，∴a ＝0，b ＝﹣1，∴a +b ＝﹣1，故选：A ．【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．10．在复平面内与复数21i z i =+所对应的点关于虚轴对称的点为A ，则A 对应的复数为（ ）A ．1i --B ．1i -C ．1i +D ．1i -+ 【答案】D【解析】【分析】根据复数的运算法则求出1z i =+，即可得到其对应点关于虚轴对称点的坐标，写出复数.【详解】 由题()()()2122211112i i i i z i i i i -+====+++-，在复平面对应的点为（1,1）， 关于虚轴对称点为（-1,1），所以其对应的复数为1i -+.故选：D【点睛】此题考查复数的几何意义，关键在于根据复数的乘法除法运算准确求解，熟练掌握复数的几何意义.11．若复数z 满足2(12)1i z z +=+，则其共轭复数z 为（ ）A ．1188i +B ．1188i -+C ．1188i --D ．1188i - 【答案】B【解析】【分析】 计算得到18i z --=，再计算共轭复数得到答案. 【详解】 21111(12)1,,44888i i z z z z i i --+=+∴===-+-Q . 故选：B .【点睛】本题考查了复数的化简，共轭复数，意在考查学生的计算能力.12．设i 是虚数单位，则复数734i i ++在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】D【解析】 因为734i i ++(7)(34)2525=1(34)(34)25i i i i i i +--==-+-， 所以所对应的点为(1,1)-，位于第四象限，选D.13．已知z C ∈，2z i z i ++-=，则z 对应的点Z 的轨迹为（ ）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．线段【答案】D【解析】【分析】由复数模的几何意义，结合三角不等式可得出点Z 的轨迹.【详解】 2z i z i ++-=的几何意义为复数z 对应的点Z 到点()0,1A -和点()0,1B 的距离之和为2，即ZA ZB AB +=，另一方面，由三角不等式得ZA ZB AB +≥.当且仅当点Z 在线段AB 上时，等号成立.因此，点Z 的轨迹为线段.故选：D.【点睛】本题考查复数模的几何意义，将问题转化为距离之和并结合三角不等式求解是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.14．已知复数z 满足21zi z i +=-，则z =A ．12i +B ．12i -C ．1i +D ．1i - 【答案】C【解析】【分析】设出复数z ，根据复数相等求得结果.【详解】设(),z a bi a b R =+∈，则z a bi =-， 故()()()()22221zi z a bi i a bi b a a b i i +=++-=-++-=-，故2121b a a b -+=⎧⎨-=-⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩. 所以1z i =+.故选：C .【点睛】本题考查复数的运算，共轭复数的求解，属综合基础题.15．在复平面内，复数21i z i =+ (i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】分析：首先求得复数z ，然后求解其共轭复数即可. 详解：由复数的运算法则有：()()()()2121211112i i i i i z i i i i --====+++-， 则1z i =-，其对应的点()1,1-位于第四象限.本题选择D 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16．如果复数z 满足336z i z i ++-=，那么1z i ++的最小值是（ ）A ．1B C ．2 D 【答案】A【解析】 分析：先根据已知336z i z i ++-=找到复数z 对应的点Z 的轨迹，再利用数形结合求 1z i ++的最小值.详解：设复数z 对应的点Z(x,y),6=，它表示点Z 到A （0，-3）和B （0,3）的距离和为6，所以点Z 的轨迹为线段AB,因为1z i ++Z 到点C （-1,-1）的距离，所以当点Z 在点D(0，-1)时，它和点C （-1,-1）的距离最小，且这个最小距离为1. 故答案为：A点睛：（1）本题主要考查复数的几何意义，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合的思想方法.(2)z a bi ++表示复数z 对应的点到（-a,-b ）的距离，类似这样的结论还有一些，大家要结合直角坐标理解它的几何意义，并做到能利用它解题.17．已知i 是虚数单位，复数z 满足()12i z i +=，则z 的虚部是（ ）A ．1B ．iC ．1-D ．i -【答案】A【解析】 ()12i z i +=22(1)112i i i z i i -⇒===++，所以z 的虚部是1，选A. 18．已知复数z 在复平面内对应点是()1,2-，i 为虚数单位，则21z z +=-（ ） A ．1i --B ．1i +C ．312i -D ．312i + 【答案】D【解析】 21z z +=-323122i i i -=+- ，选D.19．已知下列三个命题：①若复数z 1，z 2的模相等，则z 1，z 2是共轭复数；②z 1，z 2都是复数，若z 1+z 2是虚数，则z 1不是z 2的共轭复数；③复数z 是实数的充要条件是z z =.则其中正确命题的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C【解析】【分析】 运用复数的模、共轭复数、虚数等知识对命题进行判断.【详解】对于①中复数1z 和2z 的模相等,例如1=1+z i ,2z ,则1z 和2z 是共轭复数是错误的;对于②1z 和2z 都是复数,若12+z z 是虚数,则其实部互为相反数,则1z 不是2z 的共轭复数,所以②是正确的;对于③复数z 是实数,令z a =,则z a =所以z z =,反之当z z =时,亦有复数z 是实数,故复数z 是实数的充要条件是z z =是正确的.综上正确命题的个数是2个.故选C【点睛】本题考查了复数的基本概念,判断命题是否正确需要熟练掌握基础知识,并能运用举例的方法进行判断,本题较为基础.20．已知复数z 满足()11z i i +=-，则z = （ ）A ．iB ．1C ．i -D ．1-【答案】B【解析】 ()()1i 1i z +=-，则()()()21i 1i 2i 1i 1i 1i 2z ---====-++-i ，1z ∴=，故选B.。
高考数学专题复习题：复数的四则运算
高考数学专题复习题：复数的四则运算一、单项选择题（共15小题） 1．若(22i)i z −=，则z =（ ） A ．11i 44+B ．11i 44−−C ．11i 44−D ．11i 44−+2．已知i 为虚数单位，则()()21i 21i ++−的值为（ ） A ．4 B ．2C ．0D ．4i3．复数103iz =−+（i 为虚数单位），z 的共轭复数为（ ） A ．3i −−B ．3i −+C ．3i −D ．3i +4．复数()()23i 1i z =−+的共轭复数z =（ ） A ．26i +B ．26i −C ．26i −+D ．26i −−5．已知复数z 满足i 2i z =−，其中i 为虚数单位，则2iz=+（ ） A ．43i5+−B ．43i5+ C ．35i4+−D ．34i5+ 6．复数()21i1iz −=+的共轭复数为（ ）A ．1i −−B ．12i −−C ．1i −+D ．12i −+7．若复数z 满足(1i)(1z −=+z 的共轭复数，则z 的虚部为（ ） A ．1B ．1−C ．iD ．i −8．已知复数z 满足210z z ++=且z 是z 的共轭复数，则z z +=（ ） A．1−B ．1C D ．9．已知i 为虚数单位，复数1i22iz −=+，则z 的共轭复数z =（ ） A ．11i 22−B ．11i 22+C ．1i 2D ．1i 2−10．若复数z 满足()i 12i z −=，则z =（ ） A ．1i − B ．1i +C ．1i −−D ．1i −+11．复数5i 2z =−的共轭复数为（ ） A ． i 2+B ．i 2−C ．2i −−D ．2i −−12．已知复数123i z z ==，则12z z =（ ） A．B．C．3i D．3i13．已知()2i m −为纯虚数，则实数m =（ ） A ．0B ．1C ．1−D ．1±14．2020i =（ ） A ．iB ．i −C ．1D ．1−15．已知2i +是实系数方程20x px q +−=的一个复数根，则p q +=（ ） A ．9−B ．1−C ．1D ．9二、多项选择题（共5小题）16．已知方程1n x =在复数范围内有n 个根，且这n 个根在复平面内对应的点n 等分单位圆.下列复数是方程91x =的根的是（ ） A ．1 B ．iC．12−D ．cos40isin40+17．已知12,z z 是两个复数，下列结论中正确的是（ ） A ．若12z z =，则12z z ∈RB ．若12z z +为实数，则12z z =C ．若12,z z 均为纯虚数，则12z z 为实数D ．若12z z 为实数，则12,z z 均为纯虚数18．已知复数12ω=−，ω为ω的共轭复数，则（ ） A ．1ωω⋅= B ．22ωωωω+=+ C ．210ωω++=D ．2320241ωωωω++++=19．如果设12,z z 是关于x 的方程()20,x px q p q ++=∈R 的两个根，其中11i z =+，那么（ ） A ．12z z =B ．2212z z =C ．2p =−D ．2q =20．设方程210x x ++=在复数范围内的两根分别为12,z z ，则下列关于12,z z 的说法正确的有（ ） A ．212z z =B ．33120z z −= C ．22120z z −= D ．121z z =三、填空题（共10小题）21．若复数12,z z 是方程22100−+=x x 的两根，则211222z z z z ++=________. 22．i 是虚数单位，复数112i12i−=−________. 23．已知复数z 满足()2i 21z z +=−，则复数z =________. 24．i 是虚数单位，化简1i1i+−的结果为________. 25．复数2iiz −=（i 为虚数单位），则z =________. 26．写出一个满足()1i z +⋅∈R ，且2z >的复数z ，z =________. 27．已知复数z 满足()34i 5z −=，则z =________. 28．若2i1ia +−是纯虚数，则实数a 的值为________. 29．在复数范围内，方程416x =的解集为________. 30．若复数z 满足i(1)2z −=，则z =________．。
高考数学复数多选题专项训练知识点-+典型题及答案
高考数学复数多选题专项训练知识点-+典型题及答案一、复数多选题1．已知i 为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ）．A ．234i i i i 0+++=B ．3i 1i +>+C ．若()2z=12i +，则复平面内z 对应的点位于第四象限D ．已知复数z 满足11z z -=+，则z 在复平面内对应的点的轨迹为直线 答案：AD【分析】根据复数的运算判断A ；由虚数不能比较大小判断B ；由复数的运算以及共轭复数的定义判断C ；由模长公式化简，得出，从而判断D.【详解】，则A 正确；虚数不能比较大小，则B 错误；，则，解析：AD【分析】根据复数的运算判断A ；由虚数不能比较大小判断B ；由复数的运算以及共轭复数的定义判断C ；由模长公式化简11z z -=+，得出0x =，从而判断D.【详解】234110i i i i i i +++=--+=，则A 正确；虚数不能比较大小，则B 错误；()221424341z i i i i =++=+-+=，则34z i =--，其对应复平面的点的坐标为(3,4)--，位于第三象限，则C 错误； 令,,z x yi x y R =+∈，|1||1z z -=+∣，=，解得0x =则z 在复平面内对应的点的轨迹为直线，D 正确；故选：AD【点睛】本题主要考查了判断复数对应的点所在的象限，与复数模相关的轨迹（图形）问题，属于中档题.2．复数21i z i+=-，i 是虚数单位，则下列结论正确的是（ ）A ．|z |=B ．z 的共轭复数为3122i +C ．z 的实部与虚部之和为2D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限 答案：CD【分析】根据复数的四则运算，整理复数，再逐一分析选项，即得.【详解】由题得，复数，可得，则A 不正确；的共轭复数为，则B 不正确；的实部与虚部之和为，则C 正确；在复平面内的对应点为，位于第一解析：CD【分析】根据复数的四则运算，整理复数z ，再逐一分析选项，即得.【详解】 由题得，复数22(2)(1)13131(1)(1)122i i i i z i i i i i ++++====+--+-，可得||z ==，则A 不正确；z 的共轭复数为1322i -，则B 不正确；z 的实部与虚部之和为13222+=，则C 正确；z 在复平面内的对应点为13(,)22，位于第一象限，则D 正确.综上，正确结论是CD.故选：CD【点睛】本题考查复数的定义，共轭复数以及复数的模，考查知识点全面.3．以下命题正确的是（ ）A ．0a =是z a bi =+为纯虚数的必要不充分条件B ．满足210x +=的x 有且仅有iC ．“在区间(),a b 内()0f x '>”是“()f x 在区间(),a b 内单调递增”的充分不必要条件D ．已知()f x =()1878f x x '= 答案：AC【分析】利用纯虚数的概念以及必要不充分条件的定义可判断A 选项的正误；解方程可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系结合充分不必要条件的定义可判断C 选项的正误；利用基本初等函数的导数公式解析：AC【分析】利用纯虚数的概念以及必要不充分条件的定义可判断A 选项的正误；解方程210x +=可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系结合充分不必要条件的定义可判断C 选项的正误；利用基本初等函数的导数公式可判断D 选项的正误.综合可得出结论.【详解】对于A 选项，若复数z a bi =+为纯虚数，则0a =且0b ≠，所以，0a =是z a bi =+为纯虚数的必要不充分条件，A 选项正确；对于B 选项，解方程210x +=得x i =±，B 选项错误；对于C 选项，当(),x a b ∈时，若()0f x '>，则函数()f x 在区间(),a b 内单调递增， 即“在区间(),a b 内()0f x '>”⇒“()f x 在区间(),a b 内单调递增”.反之，取()3f x x =，()23f x x '=，当()1,1x ∈-时，()0f x '≥，此时，函数()y f x =在区间()1,1-上单调递增，即“在区间(),a b 内()0f x '>”⇐/“()f x 在区间(),a b 内单调递增”.所以，“在区间(),a b 内()0f x '>”是“()f x 在区间(),a b 内单调递增”的充分不必要条件.C 选项正确；对于D 选项，()11172488f x x x ++===，()1878f x x -'∴=，D 选项错误. 故选：AC.【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及充分条件与必要条件的判断、实系数方程的根以及导数的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.4．以下为真命题的是（ ）A ．纯虚数z 的共轭复数等于z -B ．若120z z +=，则12z z =C ．若12z z +∈R ，则1z 与2z 互为共轭复数D ．若120z z -=，则1z 与2z 互为共轭复数 答案：AD【分析】根据纯虚数的概念即可判断A 选项；根据实数、复数的运算、以及共轭复数的定义即可判断BCD 选项.【详解】解：对于A ，若为纯虚数，可设，则，即纯虚数的共轭复数等于，故A 正确；对于B解析：AD【分析】根据纯虚数的概念即可判断A 选项；根据实数、复数的运算、以及共轭复数的定义即可判断BCD 选项.【详解】解：对于A ，若z 为纯虚数，可设()0z bi b =≠，则z bi z =-=-，即纯虚数z 的共轭复数等于z -，故A 正确；对于B ，由120z z +=，得出12z z =-，可设11z i =+，则21z i =--， 则21z i =-+，此时12z z ≠，故B 错误；对于C ，设12,z a bi z c di =+=+，则()()12a c b d i R z z =++++∈，则0b d +=， 但,a c 不一定相等，所以1z 与2z 不一定互为共轭复数，故C 错误；对于D ，120z z -=，则12z z =，则1z 与2z 互为共轭复数，故D 正确.故选：AD.【点睛】本题考查与复数有关的命题的真假性，考查复数的基本概念和运算，涉及实数、纯虚数和共轭复数的定义，属于基础题.5．已知复数z 满足(2i)i z -=(i 为虚数单位)，复数z 的共轭复数为z ，则（ ） A ．3||5z = B ．12i 5z +=- C ．复数z 的实部为1- D ．复数z 对应复平面上的点在第二象限 答案：BD【分析】因为复数满足，利用复数的除法运算化简为，再逐项验证判断.【详解】因为复数满足，所以所以，故A 错误；，故B 正确；复数的实部为 ，故C 错误；复数对应复平面上的点在第二象限解析：BD【分析】因为复数z 满足(2i)i z -=，利用复数的除法运算化简为1255z i =-+，再逐项验证判断. 【详解】因为复数z 满足(2i)i z -=， 所以()(2)1222(2)55i i i z i i i i +===-+--+所以z ==，故A 错误；1255z i =--，故B 正确； 复数z 的实部为15- ，故C 错误； 复数z 对应复平面上的点12,55⎛⎫- ⎪⎝⎭在第二象限，故D 正确. 故选：BD【点睛】本题主要考查复数的概念，代数运算以及几何意义，还考查分析运算求解的能力，属于基础题.6．已知复数z 的共轭复数为z ，且1zi i =+，则下列结论正确的是（ ）A ．1z +=B ．z 虚部为i -C ．202010102z =-D ．2z z z += 答案：ACD【分析】先利用题目条件可求得，再根据复数的模的计算公式，以及复数的有关概念和复数的四则运算法则即可判断各选项的真假．【详解】由可得，，所以，虚部为；因为，所以，．故选：ACD ．【解析：ACD【分析】先利用题目条件可求得z ，再根据复数的模的计算公式，以及复数的有关概念和复数的四则运算法则即可判断各选项的真假．【详解】由1zi i =+可得，11i z i i+==-，所以12z i +=-==，z 虚部为1-；因为2422,2z i z =-=-，所以()5052020410102z z ==-，2211z z i i i z +=-++=-=．故选：ACD ．【点睛】 本题主要考查复数的有关概念的理解和运用，复数的模的计算公式的应用，复数的四则运算法则的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题．7．已知复数12z =-+（其中i 为虚数单位），则以下结论正确的是（ ）A ．20zB ．2z z =C ．31z =D ．1z =答案：BCD【分析】利用复数的运算法则直接求解．【详解】解：复数（其中为虚数单位），，故错误；，故正确；，故正确；．故正确．故选：．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查复数的运算法则解析：BCD【分析】利用复数的运算法则直接求解．【详解】解：复数12z =-（其中i 为虚数单位），2131442z ∴=-=--，故A 错误； 2z z ∴=，故B 正确；31113()()12244z =--+=+=，故C 正确；||1z ==．故D 正确． 故选：BCD ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．8．设复数z 满足12z i =--,i 为虚数单位,则下列命题正确的是( )A ．|z |=B ．复数z 在复平面内对应的点在第四象限C ．z 的共轭复数为12i -+D ．复数z 在复平面内对应的点在直线2y x =-上答案：AC【分析】根据复数的模、复数对应点的坐标、共轭复数等知识，选出正确选项.【详解】,A 正确;复数z 在复平面内对应的点的坐标为,在第三象限,B 不正确;z 的共轭复数为,C 正确;复数z 在复平面内对解析：AC【分析】根据复数的模、复数对应点的坐标、共轭复数等知识，选出正确选项.【详解】||z ==A 正确;复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)--,在第三象限,B 不正确;z 的共轭复数为12i -+,C 正确;复数z 在复平面内对应的点(1,2)--不在直线2y x =-上,D 不正确.故选:AC【点睛】本小题主要考查复数的有关知识，属于基础题.9．设i 为虚数单位，复数()(12)z a i i =++，则下列命题正确的是（ ）A ．若z 为纯虚数，则实数a 的值为2B ．若z 在复平面内对应的点在第三象限，则实数a 的取值范围是(,)122- C ．实数12a =-是z z =（z 为z 的共轭复数）的充要条件 D ．若||5()z z x i x R +=+∈，则实数a 的值为2 答案：ACD【分析】首先应用复数的乘法得，再根据纯虚数概念、复数所在象限，以及与共轭复数或另一个复数相等，求参数的值或范围，进而可确定选项的正误【详解】∴选项A ：为纯虚数，有可得，故正确选项B解析：ACD【分析】首先应用复数的乘法得2(12)z a a i =-++，再根据纯虚数概念、复数所在象限，以及与共轭复数或另一个复数相等，求参数的值或范围，进而可确定选项的正误【详解】()(12)2(12)z a i i a a i =++=-++∴选项A ：z 为纯虚数，有20120a a -=⎧⎨+≠⎩可得2a =，故正确 选项B ：z 在复平面内对应的点在第三象限，有20120a a -<⎧⎨+<⎩解得12a <-，故错误 选项C ：12a =-时，52z z ==-；z z =时，120a +=即12a =-，它们互为充要条件，故正确 选项D ：||5()z z x i x R +=+∈时，有125a +=，即2a =，故正确故选：ACD【点睛】本题考查了复数的运算及分类和概念，应用复数乘法运算求得复数，再根据复数的概念及性质、相等关系等确定参数的值或范围10．已知复数z 满足220z z +=，则z 可能为（ ）.A ．0B ．2-C ．2iD ．2i+1- 答案：AC【分析】令，代入原式，解出的值，结合选项得出答案．【详解】令，代入，得，解得，或，或，所以，或，或.故选：AC【点睛】本题考查复数的运算，考查学生计算能力，属于基础题．解析：AC【分析】令()i ,z a b a b R =+∈，代入原式，解出,a b 的值，结合选项得出答案．【详解】令()i ,z a b a b R =+∈，代入220z z +=，得222i 0a b ab -+=，解得00a b =⎧⎨=⎩，或02a b =⎧⎨=⎩，或02a b =⎧⎨=-⎩， 所以0z =，或2i z =，或2i z =-.故选：AC【点睛】本题考查复数的运算，考查学生计算能力，属于基础题．11．下列说法正确的是（ ）A ．若2z =，则4z z ⋅=B ．若复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z =C ．若复数z 的平方是纯虚数，则复数z 的实部和虛部相等D ．“1a ≠”是“复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数”的必要不充分条件 答案：AD【分析】由求得判断A ；设出，，证明在满足时，不一定有判断B ；举例说明C 错误；由充分必要条件的判定说明D 正确.【详解】若，则，故A 正确；设，由，可得则，而不一定为0，故B 错误；当时解析：AD【分析】 由z 求得z z ⋅判断A ；设出1z ，2z ，证明在满足1212z z z z +=-时，不一定有120z z =判断B ；举例说明C 错误；由充分必要条件的判定说明D 正确.【详解】 若2z =，则24z z z ⋅==，故A 正确；设()11111,z a bi a b R =+∈，()22222,z a b i a b R =+∈ 由1212z z z z +=-，可得()()()()222222121212121212z z a a b b z z a a b b +=+++=-=-+-则12120a a b b +=，而()()121122121212121212122z z a bi a b i a a bb a b i b a i a a a b i b a i =++=-++=++不一定为0，故B 错误；当1z i =-时22z i =-为纯虚数，其实部和虚部不相等，故C 错误；若复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数，则210a -≠，即1a ≠± 所以“1a ≠”是“复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数”的必要不充分条件，故D 正确； 故选：AD【点睛】本题考查的是复数的相关知识，考查了学生对基础知识的掌握情况，属于中档题.12．已知复数1cos 2sin 222z i ππθθθ⎛⎫=++-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位），则（ ） A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．z 可能为实数C ．2cos z θ=D ．1z 的实部为12- 答案：BC【分析】由可得，得，可判断A 选项，当虚部，时，可判断B 选项，由复数的模计算和余弦的二倍角公式可判断C 选项，由复数的运算得，的实部是，可判断D 选项.【详解】因为，所以，所以，所以，所以A 选解析：BC【分析】 由22ππθ-<<可得2πθπ-<<，得01cos22θ<+≤，可判断A 选项，当虚部sin 20θ=，,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，可判断B 选项，由复数的模计算和余弦的二倍角公式可判断C 选项，由复数的运算得11cos 2sin 212cos 2i z θθθ+-=+，1z 的实部是1cos 2122cos 22θθ+=+，可判断D 选项.【详解】 因为22ππθ-<<，所以2πθπ-<<，所以1cos21θ-<≤，所以01cos22θ<+≤，所以A 选项错误；当sin 20θ=，,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，复数z 是实数，故B 选项正确；2cos z θ===，故C 选项正确：()()111cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 212cos 2i i z i i i θθθθθθθθθθθ+-+-===+++++-+，1z 的实部是1cos 2122cos 22θθ+=+，故D 不正确. 故选：BC【点睛】本题主要考查复数的概念，复数模的计算，复数的运算，以及三角恒等变换的应用，属于中档题.13．已知复数z 满足2724z i =--，在复平面内，复数z 对应的点可能在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案：BD【分析】先设复数，根据题中条件，由复数的乘法运算，以及复数相等的充要条件求出，即可确定对应的点所在的象限.【详解】设复数，则，所以，则，解得或，因此或，所以对应的点为或，因此复解析：BD【分析】先设复数(),z a bi a b R =+∈，根据题中条件，由复数的乘法运算，以及复数相等的充要条件求出z ，即可确定对应的点所在的象限.【详解】设复数(),z a bi a b R =+∈，则2222724z a abi b i =+-=--，所以2222724z a abi b i =+-=--，则227224a b ab ⎧-=-⎨=-⎩，解得34a b =⎧⎨=-⎩或34a b =-⎧⎨=⎩， 因此34z i =-或34z i =-+，所以对应的点为()3,4-或()3,4-，因此复数z 对应的点可能在第二或第四象限.故选：BD.【点睛】本题主要考查判定复数对应的点所在的象限，熟记复数的运算法则，以及复数相等的条件即可，属于基础题型.14．已知复数12z =-+（其中i 为虚数单位，，则以下结论正确的是（ ）．A ．20zB ．2z z =C ．31z =D ．1z = 答案：BCD【分析】计算出，即可进行判断.【详解】，，故B 正确，由于复数不能比较大小，故A 错误；，故C 正确；，故D 正确.故选：BCD.【点睛】本题考查复数的相关计算，属于基础题.解析：BCD【分析】 计算出23,,,z z z z ，即可进行判断.【详解】12z =-+， 221313i i=2222z z ，故B 正确，由于复数不能比较大小，故A 错误； 33131313i i i 1222222z ，故C 正确； 2213122z，故D 正确.故选：BCD.【点睛】 本题考查复数的相关计算，属于基础题.15．下面关于复数的四个命题中，结论正确的是（ ）A ．若复数z R ∈，则z R ∈B ．若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈C ．若复数z 满足1R z ∈，则z R ∈D ．若复数1z ，2z 满足12z z R ∈，则12z z = 答案：AC【分析】根据复数的运算法则，以及复数的类型，逐项判断，即可得出结果.【详解】A 选项，设复数，则，因为，所以，因此，即A 正确；B 选项，设复数，则，因为，所，若，则；故B 错；C 选项，设解析：AC【分析】根据复数的运算法则，以及复数的类型，逐项判断，即可得出结果.【详解】A 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则(i ,)z a b a b =-∈R ，因为z R ∈，所以0b =，因此z a R =∈，即A 正确；B 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则()22222z a bi a b abi =+=-+，因为2z ∈R ，所0ab =，若0,0a b =≠，则z R ∉；故B 错；C 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则22222211a bi a b i z a bi a b a b a b -===-++++， 因为1R z∈，所以220b a b =+，即0b =，所以z a R =∈；故C 正确； D 选项，设复数1(,)z a bi a b R =+∈，2(,)z c di c d R =+∈，则()()()()12z z a bi c di ac bd ad bc i =++=-++，因为12z z R ∈，所以0ad bc +=，若11a b =⎧⎨=⎩，22c d =⎧⎨=-⎩能满足0ad bc +=，但12z z ≠，故D 错误.故选：AC.【点睛】本题主要考查复数相关命题的判断，熟记复数的运算法则即可，属于常考题型.16．已知复数(),z x yi x y R =+∈，则（ ）A ．20zB ．z 的虚部是yiC ．若12z i =+，则1x =，2y =D ．z =答案：CD【分析】取特殊值可判断A 选项的正误；由复数的概念可判断B 、C 选项的正误；由复数模的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，取，则，A 选项错误；对于B 选项，复数的虚部为，B 选项错误；解析：CD【分析】取特殊值可判断A 选项的正误；由复数的概念可判断B 、C 选项的正误；由复数模的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，取z i ，则210z =-<，A 选项错误；对于B 选项，复数z 的虚部为y ，B 选项错误；对于C 选项，若12z i =+，则1x =，2y =，C 选项正确；对于D 选项，z =D 选项正确. 故选：CD.【点睛】本题考查复数相关命题真假的判断，涉及复数的计算、复数的概念以及复数的模，属于基础题.17．已知复数122z =-，则下列结论正确的有（ ）A ．1z z ⋅=B ．2z z =C ．31z =-D ．202012z =-+ 答案：ACD【分析】分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D 选项的时候注意利用复数乘方的性质.【详解】因为，所以A 正确；因为，，所以，所以B 错误；因为，所以C 正确；因为，所以，所以D 正确解析：ACD【分析】分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D 选项的时候注意利用复数乘方的性质.【详解】因为111312244z z ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭=⎝⋅，所以A 正确；因为221122z ⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭=，122z =+，所以2z z ≠，所以B 错误；因为3211122z z z ⎛⎫⎛⎫=⋅=-=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以C 正确；因为6331z z z =⋅=，所以()2020633644311122zz z z z ⨯+⎛⎫===⋅=-⋅=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以D 正确，故选：ACD.【点睛】本题考查复数乘法与乘方的计算，其中还涉及到了共轭复数的计算，难度较易.18．（多选题）已知集合{},n M m m i n N ==∈，其中i 为虚数单位，则下列元素属于集合M 的是（ ）A ．()()11i i -+B ．11i i -+C ．11i i +-D ．()21i - 答案：BC【分析】根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项.【详解】根据题意，中，时，；时，；时，；时，，.选项A 中，；选项B 中，；选项C 中，；选项D 中，.解析：BC【分析】根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项.【详解】 根据题意，{},n M m m i n N ==∈中， ()4n k k N =∈时，1n i =；()41n k k N =+∈时，n i i =；()42n k k N =+∈时，1n i =-；()43n k k N =+∈时，n i i =-，{}1,1,,M i i ∴=--.选项A 中，()()112i i M -+=∉；选项B 中，()()()211111i i i i i i M --==-+-∈+；选项C 中，()()()211111i i i i i i M ++==-+∈-； 选项D 中，()212i i M -=-∉.故选：BC.【点睛】此题考查复数的基本运算，涉及复数的乘方和乘法除法运算，准确计算才能得解.19．下面是关于复数21i z =-+（i 为虚数单位）的命题，其中真命题为（ ） A ．||2z = B ．22z i =C ．z 的共轭复数为1i +D ．z 的虚部为1- 答案：BD【分析】把分子分母同时乘以，整理为复数的一般形式，由复数的基本知识进行判断即可.【详解】解：，，A 错误；，B 正确；z 的共轭复数为，C 错误；z 的虚部为，D 正确.故选：BD.【点解析：BD【分析】 把21iz =-+分子分母同时乘以1i --，整理为复数的一般形式，由复数的基本知识进行判断即可.【详解】 解：22(1)11(1)(1)i z i i i i --===---+-+--，||z ∴=A 错误；22i z =，B 正确；z 的共轭复数为1i -+，C 错误；z 的虚部为1-，D 正确.故选：BD.【点睛】本题主要考查复数除法的基本运算、复数的基本概念，属于基础题.20．已知复数12ω=-（i 是虚数单位），ω是ω的共轭复数，则下列的结论正确的是（ ）A ．2ωω=B ．31ω=-C ．210ωω++=D ．ωω> 答案：AC【分析】根据复数的运算进行化简判断即可.【详解】解：∵所以，∴，故A 正确，，故B 错误，，故C 正确，虚数不能比较大小，故D 错误，故选：AC.【点睛】本题主要考查复数的有关概念解析：AC【分析】根据复数的运算进行化简判断即可.【详解】解：∵12ω=-所以12ω=--，∴2131442ωω=--=--=，故A 正确，3211131222244ωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫==---+=--= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故B 错误，2111102222ωω++=---++=，故C 正确， 虚数不能比较大小，故D 错误，故选：AC .【点睛】本题主要考查复数的有关概念和运算，结合复数的运算法则进行判断是解决本题的关键．属于中档题．21．已知i 为虚数单位，下列说法正确的是( )A ．若,x y R ∈，且1x yi i +=+，则1x y ==B ．任意两个虚数都不能比较大小C ．若复数1z ，2z 满足22120z z +=，则120z z == D ．i -的平方等于1答案：AB【分析】利用复数相等可选A ，利用虚数不能比较大小可选B ，利用特值法可判断C 错误，利用复数的运算性质可判断D 错误．【详解】对于选项A ，∵，且，根据复数相等的性质，则，故正确；对于选项B ，解析：AB【分析】利用复数相等可选A ，利用虚数不能比较大小可选B ，利用特值法可判断C 错误，利用复数的运算性质可判断D 错误．【详解】对于选项A ，∵,x y R ∈，且1x yi i +=+，根据复数相等的性质，则1x y ==，故正确；对于选项B ，∵虚数不能比较大小，故正确；对于选项C ，∵若复数1=z i ，2=1z 满足22120z z +=，则120z z ≠≠，故不正确； 对于选项D ，∵复数()2=1i --，故不正确；故选：AB ．【点睛】本题考查复数的相关概念，涉及复数的概念、复数相等、复数计算等知识，属于基础题.22．已知复数z 满足23z z iz ai ⋅+=+，a R ∈，则实数a 的值可能是（ ）A ．1B ．4-C ．0D ．5 答案：ABC【分析】设，从而有，利用消元法得到关于的一元二次方程，利用判别式大于等于0，从而求得a 的范围，即可得答案.【详解】设，∴，∴，∴，解得：，∴实数的值可能是.故选：ABC.【点解析：ABC【分析】设z x yi =+，从而有222()3x y i x yi ai ++-=+，利用消元法得到关于y 的一元二次方程，利用判别式大于等于0，从而求得a 的范围，即可得答案.【详解】设z x yi =+，∴222()3x y i x yi ai ++-=+， ∴222223,23042,x y y a y y x a ⎧++=⇒++-=⎨=⎩， ∴244(3)04a ∆=--≥，解得：44a -≤≤， ∴实数a 的值可能是1,4,0-.故选：ABC.【点睛】本题考查复数的四则运算、模的运算，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.。
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一、复数选择题1．复数21i=+（ ） A ．1i -- B ．1i -+ C ．1i - D ．1i +2．复数()1z i i =⋅+在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．设复数(,)z a bi a R b R =+∈∈，它在复平面内对应的点位于虚轴的正半轴上，且有1z =，则a b +=（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．24．若复数()()24z i i =--，则z =（ ）A ．76i --B ．76-+iC ．76i -D ．76i + 5．若复数z 满足421i z i +=+，则z =（ ） A ．13i + B ．13i -C ．3i +D ．3i - 6．已知复数()211i z i-=+，则z =（ ） A ．1i --B ．1i -+C ．1i +D ．1i - 7．复数12i z i=+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 8．若()()324z ii =+-，则在复平面内，复数z 所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限9．复数z 对应的向量OZ 与(3,4)a =共线，对应的点在第三象限，且10z =，则z =（ ）A ．68i +B ．68i -C ．68i --D ．68i -+ 10．设21i z i +=-，则z 的虚部为（ ） A ．12 B ．12- C ．32 D ．32- 11．已知()312++=+a i i bi (,a b ∈R ，i 为虚数单位)，则实数+a b 的值为（ ） A ．3 B ．5 C ．6D ．8 12．复数()()212z i i =-+，则z 的共轭复数z =（ ）A ．43i +B ．34i -C ．34i +D ．43i -13．复数12z i =-(其中i 为虚数单位)，则3z i +=（ ）A ．5B C ．2 D 14．复数21i i +的虚部为（ ） A ．1- B ．1 C ．i D ．i -15．若i 为虚数单位，,a b ∈R ，且2a i b i i +=+，则复数a bi -的模等于（ ）A B C D二、多选题16．已知复数z 满足220z z +=，则z 可能为（ ）A ．0B ．2-C ．2iD ．2i - 17．下列四个命题中，真命题为（ ）A ．若复数z 满足z R ∈，则z R ∈B ．若复数z 满足1R z ∈，则z R ∈C ．若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈D ．若复数1z ，2z 满足12z z R ⋅∈，则12z z = 18．下面关于复数的四个命题中，结论正确的是（ ） A ．若复数z R ∈，则z R ∈B ．若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈C ．若复数z 满足1R z∈，则z R ∈ D ．若复数1z ，2z 满足12z z R ∈，则12z z =19．已知复数122z =-+（其中i 为虚数单位，，则以下结论正确的是（ ）． A ．20zB ．2z z =C ．31z =D ．1z = 20．下列关于复数的说法，其中正确的是（ ）A ．复数(),z a bi a b R =+∈是实数的充要条件是0b =B ．复数(),z a bi a b R =+∈是纯虚数的充要条件是0b ≠C ．若1z ，2z 互为共轭复数，则12z z 是实数D ．若1z ，2z 互为共轭复数，则在复平面内它们所对应的点关于y 轴对称21．已知复数1z i =+（其中i 为虚数单位），则以下说法正确的有（ ）A ．复数z 的虚部为iB ．z =C ．复数z 的共轭复数1z i =-D ．复数z 在复平面内对应的点在第一象限22．已知1z ，2z 为复数，下列命题不正确的是（ ）A ．若12z z =，则12=z zB ．若12=z z ，则12z z =C ．若12z z >则12z z >D ．若12z z >，则12z z >23．已知i 为虚数单位，则下列选项中正确的是（ ）A ．复数34z i =+的模5z =B ．若复数34z i =+，则z （即复数z 的共轭复数）在复平面内对应的点在第四象限C ．若复数()()2234224m m m m +-+--i 是纯虚数，则1m =或4m =-D ．对任意的复数z ，都有20z24．设i 为虚数单位，复数()(12)z a i i =++，则下列命题正确的是（ ）A ．若z 为纯虚数，则实数a 的值为2B ．若z 在复平面内对应的点在第三象限，则实数a 的取值范围是(,)122- C ．实数12a =-是z z =（z 为z 的共轭复数）的充要条件 D ．若||5()z z x i x R +=+∈，则实数a 的值为225．已知复数12z =-+（其中i 为虚数单位），则以下结论正确的是（ ） A ．20z B ．2z z = C ．31z = D ．1z =26．下面四个命题，其中错误的命题是（ ）A ．0比i -大B ．两个复数当且仅当其和为实数时互为共轭复数C ．1x yi i +=+的充要条件为1x y ==D ．任何纯虚数的平方都是负实数 27．若复数21iz =+，其中i 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）A ．z 的虚部为1-B ．||z =C ．2z 为纯虚数D ．z 的共轭复数为1i -- 28．复数21i z i +=-，i 是虚数单位，则下列结论正确的是（ ）A ．|z |=B ．z 的共轭复数为3122i +C ．z 的实部与虚部之和为2D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限 29．给出下列命题，其中是真命题的是（ ）A ．纯虚数z 的共轭复数是z -B ．若120z z -=，则21z z =C ．若12z z +∈R ，则1z 与2z 互为共轭复数D ．若120z z -=，则1z 与2z 互为共轭复数30．对任意1z ，2z ，z C ∈，下列结论成立的是（ ）A ．当m ，*n N ∈时，有m n m n z z z +=B ．当1z ，2zC ∈时，若22120z z +=，则10z =且20z = C ．互为共轭复数的两个复数的模相等，且22||||z z z z ==⋅D ．12z z =的充要条件是12=z z【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、复数选择题1．C【分析】根据复数的除法运算法则可得结果.【详解】.故选：C解析：C【分析】根据复数的除法运算法则可得结果.【详解】21i =+2(1)(1)(1)i i i -=+-2(1)12i i -=-. 故选：C2．B【分析】先利用复数的乘法化简复数z ，再利用复数的几何意义求解.【详解】因为复数，所以在复数z 复平面上对应的点位于第二象限故选：B解析：B【分析】先利用复数的乘法化简复数z ，再利用复数的几何意义求解.【详解】因为复数()11z i i i =⋅+=-+，所以在复数z 复平面上对应的点位于第二象限故选：B3．C【分析】根据复数的几何意义得．【详解】∵它在复平面内对应的点位于虚轴的正半轴上，∴，又，∴，∴．故选：C ．解析：C【分析】根据复数的几何意义得,a b ．【详解】∵z 它在复平面内对应的点位于虚轴的正半轴上，∴0a =，又1z =，∴1b =， ∴1a b +=．故选：C ．4．D【分析】由复数乘法运算求得，根据共轭复数定义可求得结果.【详解】，.故选：.解析：D【分析】由复数乘法运算求得z ，根据共轭复数定义可求得结果.【详解】()()2248676z i i i i i =--=-+=-，76z i ∴=+.故选：D .5．C【分析】首先根据复数的四则运算求出，然后根据共轭复数的概念求出.【详解】，故.故选：C.解析：C【分析】首先根据复数的四则运算求出z ，然后根据共轭复数的概念求出z .【详解】()()()()421426231112i i i i z i i i i +-+-====-++-，故3z i =+. 故选：C.6．B【分析】根据复数的除法运算法则求出复数，然后根据共轭复数的概念即可得解. 【详解】由题意可得，则.故答案为：B解析：B【分析】根据复数的除法运算法则求出复数z，然后根据共轭复数的概念即可得解.【详解】由题意可得()()()()()212111111i i iz i i ii i i---===--=--++-，则1z i=-+.故答案为：B7．A【分析】对复数进行分母实数化，根据复数的几何意义可得结果.【详解】由，知在复平面内对应的点位于第一象限，故选：A.【点睛】本题主要考查了复数除法的运算以及复数的几何意义，属于基础题解析：A【分析】对复数z进行分母实数化，根据复数的几何意义可得结果.【详解】由()()()1221 12121255i iiz ii i i-===+++-，知在复平面内对应的点21,55⎛⎫⎪⎝⎭位于第一象限，故选：A.【点睛】本题主要考查了复数除法的运算以及复数的几何意义，属于基础题.8．D【分析】根据复数的运算，先化简复数，再由复数的几何意义确定对应点的坐标，进而可得出结果.【详解】，则复数对应的点的坐标为，位于第四象限．故选：D ．解析：D【分析】根据复数的运算，先化简复数，再由复数的几何意义确定对应点的坐标，进而可得出结果.【详解】()()324(2)(4)76z i i i i i =+-=--=-，则复数z 对应的点的坐标为()7,6-，位于第四象限．故选：D ． 9．D【分析】设，根据复数对应的向量与共线，得到，再结合求解.【详解】设，则复数对应的向量，因为向量与共线，所以，又，所以，解得或，因为复数对应的点在第三象限，所以，所以，，解析：D【分析】设(,)z a bi a R b R =+∈∈，根据复数z 对应的向量OZ 与(3,4)a =共线，得到43a b =，再结合10z =求解.【详解】设(,)z a bi a R b R =+∈∈，则复数z 对应的向量(),OZ a b =，因为向量OZ 与(3,4)a =共线，所以43a b =， 又10z =，所以22100+=a b ，解得68a b =-⎧⎨=-⎩或68a b =⎧⎨=⎩， 因为复数z 对应的点在第三象限，所以68a b =-⎧⎨=-⎩， 所以68z i =--，68z i =-+，故选：D10．C【分析】根据复数的除法运算，先化简复数，即可得出结果.【详解】因为，所以其虚部为.故选：C.解析：C【分析】根据复数的除法运算，先化简复数，即可得出结果.【详解】 因为()()()()21223113111222i i i i z i i i i ++++-====+--+， 所以其虚部为32. 故选：C.11．D【分析】利用复数的乘法运算及复数相等求得a,b 值即可求解【详解】，故 则故选：D解析：D【分析】利用复数的乘法运算及复数相等求得a,b 值即可求解【详解】()312++=+a i i bi ，故332a i bi -+=+ 则32,38a b a b -==∴+= 故选：D12．D【分析】由复数的四则运算求出，即可写出其共轭复数.【详解】∴，故选：D解析：D【分析】由复数的四则运算求出z ，即可写出其共轭复数z .【详解】2(2)(12)24243z i i i i i i =-+=-+-=+ ∴43z i =-，故选：D13．B【分析】首先求出，再根据复数的模的公式计算可得；【详解】解：因为，所以所以.故选：B.解析：B【分析】首先求出3z i +，再根据复数的模的公式计算可得；【详解】解：因为12z i =-，所以31231z i i i i +=-+=+所以3z i +==故选：B . 14．B【分析】将分母乘以其共轭复数进行分母实数化，化成的代数形式即得结果.【详解】，故虚部为1.故选：B.解析：B【分析】将分母乘以其共轭复数进行分母实数化，化成(),a bi a b R +∈的代数形式即得结果.【详解】22(1)11(1)(1)i i i i i i i -==+++-，故虚部为1. 故选：B.15．C【分析】首先根据复数相等得到，，再求的模即可.【详解】因为，所以，.所以.故选：C解析：C【分析】首先根据复数相等得到1a =-，2b =，再求a bi -的模即可.【详解】因为()21a i b i i bi +=+=-+，所以1a =-，2b =. 所以12a bi i -=--==故选：C 二、多选题16．ACD【分析】令代入已知等式，列方程组求解即可知的可能值.【详解】令代入，得：，∴，解得或或∴或或．故选：ACD【点睛】本题考查了已知等量关系求复数，属于简单题. 解析：ACD【分析】令z a bi =+代入已知等式，列方程组求解即可知z 的可能值.【详解】令z a bi =+代入22||0zz +=，得：2220a b abi -+=， ∴22020a b ab ⎧⎪-+=⎨=⎪⎩，解得0,0a b =⎧⎨=⎩或0,2a b =⎧⎨=⎩或0,2,a b =⎧⎨=-⎩∴0z =或2z i =或2z i =-．故选：ACD【点睛】本题考查了已知等量关系求复数，属于简单题.17．AB【分析】利用特值法依次判断选项即可得到答案.【详解】对选项A ，若复数满足，设，其中，则，则选项A 正确；对选项B ，若复数满足，设，其中，且，则，则选项B 正确；对选项C ，若复数满足，设解析：AB【分析】利用特值法依次判断选项即可得到答案.【详解】对选项A ，若复数z 满足z R ∈，设z a =，其中a R ∈，则z R ∈，则选项A 正确； 对选项B ，若复数z 满足1R z ∈，设1a z =，其中a R ∈，且0a ≠， 则1z R a=∈，则选项B 正确； 对选项C ，若复数z 满足2z ∈R ，设z i ，则21z R =-∈，但z i R =∉，则选项C 错误；对选项D ，若复数1z ，2z 满足12z z R ⋅∈，设1z i =，2z i =，则121z z ⋅=-∈R ， 而21z i z =-≠，则选项D 错误；故答案选：AB【点睛】本题主要考查复数的运算，同时考查复数的定义和共轭复数，特值法为解决本题的关键，属于简单题.18．AC【分析】根据复数的运算法则，以及复数的类型，逐项判断，即可得出结果.【详解】A 选项，设复数，则，因为，所以，因此，即A 正确；B 选项，设复数，则，因为，所，若，则；故B 错；C 选项，设解析：AC【分析】根据复数的运算法则，以及复数的类型，逐项判断，即可得出结果.【详解】A 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则(i ,)z a b a b =-∈R ，因为z R ∈，所以0b =，因此z a R =∈，即A 正确；B 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则()22222z a bi a b abi =+=-+，因为2z ∈R ，所0ab =，若0,0a b =≠，则z R ∉；故B 错；C 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则22222211a bi a b i z a bi a b a b a b -===-++++， 因为1R z∈，所以220b a b =+，即0b =，所以z a R =∈；故C 正确； D 选项，设复数1(,)z a bi a b R =+∈，2(,)z c di c d R =+∈，则()()()()12z z a bi c di ac bd ad bc i =++=-++，因为12z z R ∈，所以0ad bc +=，若11a b =⎧⎨=⎩，22c d =⎧⎨=-⎩能满足0ad bc +=，但12z z ≠，故D 错误.故选：AC.【点睛】本题主要考查复数相关命题的判断，熟记复数的运算法则即可，属于常考题型.19．BCD【分析】计算出，即可进行判断.【详解】，，故B 正确，由于复数不能比较大小，故A 错误；，故C 正确；，故D 正确.故选：BCD.【点睛】本题考查复数的相关计算，属于基础题.解析：BCD【分析】 计算出23,,,z z z z ，即可进行判断.【详解】12z =-+， 221313i i=22z z ，故B 正确，由于复数不能比较大小，故A 错误； 33131313i i i 1222z ，故C 正确； 2213122z，故D 正确.故选：BCD.【点睛】 本题考查复数的相关计算，属于基础题.20．AC【分析】根据复数的有关概念和充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：对于：复数是实数的充要条件是，显然成立，故正确；对于：若复数是纯虚数则且，故错误；对于：若，互为共轭复数解析：AC【分析】根据复数的有关概念和充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：对于A ：复数(),z a bi a b R =+∈是实数的充要条件是0b =，显然成立，故A 正确；对于B ：若复数(),z a bi a b R =+∈是纯虚数则0a =且0b ≠，故B 错误；对于C ：若1z ，2z 互为共轭复数，设()1,z a bi a b R =+∈，则()2,z a bi a b R =-∈，所以()()2122222z a bi a bi a b b z i a =+-=-=+是实数，故C 正确； 对于D ：若1z ，2z 互为共轭复数，设()1,z a bi a b R =+∈，则()2,z a bi a b R =-∈，所对应的坐标分别为(),a b ，(),a b -，这两点关于x 轴对称，故D 错误；故选：AC【点睛】本题主要考查复数的有关概念的判断，利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，属于基础题．21．BCD根据复数的概念判定A 错，根据复数模的计算公式判断B 正确，根据共轭复数的概念判断C 正确，根据复数的几何意义判断D 正确.【详解】因为复数，所以其虚部为，即A 错误；，故B 正确；解析：BCD【分析】根据复数的概念判定A 错，根据复数模的计算公式判断B 正确，根据共轭复数的概念判断C 正确，根据复数的几何意义判断D 正确.【详解】因为复数1z i =+，所以其虚部为1，即A 错误；z ==B 正确；复数z 的共轭复数1z i =-，故C 正确；复数z 在复平面内对应的点为()1,1，显然位于第一象限，故D 正确.故选：BCD.【点睛】本题主要考查复数的概念，复数的模，复数的几何意义，以及共轭复数的概念，属于基础题型.22．BCD【分析】根据两个复数之间不能比较大小，得到C 、D 两项是错误的，根据复数的定义和复数模的概念，可以断定A 项正确，B 项错误，从而得到答案.【详解】因为两个复数之间只有等与不等，不能比较大小解析：BCD【分析】根据两个复数之间不能比较大小，得到C 、D 两项是错误的，根据复数的定义和复数模的概念，可以断定A 项正确，B 项错误，从而得到答案.【详解】因为两个复数之间只有等与不等，不能比较大小，所以C 、D 两项都不正确；当两个复数的模相等时，复数不一定相等， 比如11i i -=+，但是11i i -≠+，所以B 项是错误的；因为当两个复数相等时，模一定相等，所以A 项正确；【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有两个复数之间的关系，复数模的概念，属于基础题目.23．AB【分析】求解复数的模判断；由共轭复数的概念判断；由实部为0且虚部不为0求得值判断；举例说明错误．【详解】解：对于，复数的模，故正确；对于，若复数，则，在复平面内对应的点的坐标为，在第四解析：AB【分析】求解复数的模判断A ；由共轭复数的概念判断B ；由实部为0且虚部不为0求得m 值判断C ；举例说明D 错误．【详解】解：对于A ，复数34z i =+的模||5z ==，故A 正确；对于B ，若复数34z i =+，则34z i =-，在复平面内对应的点的坐标为(3,4)-，在第四象限，故B 正确；对于C ，若复数22(34)(224)m m m m i +-+--是纯虚数，则223402240m m m m ⎧+-=⎨--≠⎩，解得1m =，故C 错误； 对于D ，当z i 时，210z =-<，故D 错误．故选：AB ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，属于基础题． 24．ACD【分析】首先应用复数的乘法得，再根据纯虚数概念、复数所在象限，以及与共轭复数或另一个复数相等，求参数的值或范围，进而可确定选项的正误【详解】∴选项A ：为纯虚数，有可得，故正确选项B解析：ACD首先应用复数的乘法得2(12)z a a i =-++，再根据纯虚数概念、复数所在象限，以及与共轭复数或另一个复数相等，求参数的值或范围，进而可确定选项的正误【详解】()(12)2(12)z a i i a a i =++=-++∴选项A ：z 为纯虚数，有20120a a -=⎧⎨+≠⎩可得2a =，故正确 选项B ：z 在复平面内对应的点在第三象限，有20120a a -<⎧⎨+<⎩解得12a <-，故错误 选项C ：12a =-时，52z z ==-；z z =时，120a +=即12a =-，它们互为充要条件，故正确 选项D ：||5()z z x i x R +=+∈时，有125a +=，即2a =，故正确故选：ACD【点睛】本题考查了复数的运算及分类和概念，应用复数乘法运算求得复数，再根据复数的概念及性质、相等关系等确定参数的值或范围25．BCD【分析】利用复数的运算法则直接求解．【详解】解：复数（其中为虚数单位），，故错误；，故正确；，故正确；．故正确．故选：．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查复数的运算法则解析：BCD【分析】利用复数的运算法则直接求解．【详解】解：复数12z =-（其中i 为虚数单位），2131442z ∴=-=--，故A 错误；2z z ∴=，故B 正确；31113()()12244z =--+=+=，故C 正确；||1z ==．故D 正确． 故选：BCD ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．26．ABC【分析】根据虚数不能比大小可判断A 选项的正误；利用特殊值法可判断B 选项的正误；利用特殊值法可判断C 选项的正误；利用复数的运算可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，由于虚数不能比大小，解析：ABC【分析】根据虚数不能比大小可判断A 选项的正误；利用特殊值法可判断B 选项的正误；利用特殊值法可判断C 选项的正误；利用复数的运算可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，由于虚数不能比大小，A 选项错误；对于B 选项，()()123i i ++-=，但1i +与2i -不互为共轭复数，B 选项错误； 对于C 选项，由于1x yi i +=+，且x 、y 不一定是实数，若取x i =，y i =-，则1x yi i +=+，C 选项错误；对于D 选项，任取纯虚数()0,ai a a R ≠∈，则()220ai a =-<，D 选项正确. 故选：ABC.【点睛】本题考查复数相关命题真假的判断，涉及共轭复数的概念、复数相等以及复数的计算，属于基础题.27．ABC【分析】首先利用复数代数形式的乘除运算化简后得：，然后分别按照四个选项的要求逐一求解判断即可.【详解】因为，对于A ：的虚部为，正确；对于B ：模长，正确；对于C ：因为，故为纯虚数，解析：ABC【分析】首先利用复数代数形式的乘除运算化简z 后得：1z i =-，然后分别按照四个选项的要求逐一求解判断即可.【详解】 因为()()()2122211i 1i 12i i z i i --====-++-， 对于A ：z 的虚部为1-，正确；对于B ：模长z =对于C ：因为22(1)2z i i =-=-，故2z 为纯虚数，正确；对于D ：z 的共轭复数为1i +，错误.故选：ABC .【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的有关概念，考查逻辑思维能力和运算能力，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于常考题.28．CD【分析】根据复数的四则运算，整理复数，再逐一分析选项，即得.【详解】由题得，复数，可得，则A 不正确；的共轭复数为，则B 不正确；的实部与虚部之和为，则C 正确；在复平面内的对应点为，位于第一解析：CD【分析】根据复数的四则运算，整理复数z ，再逐一分析选项，即得.【详解】 由题得，复数22(2)(1)13131(1)(1)122i i i i z i i i i i ++++====+--+-，可得||z ==，则A 不正确；z 的共轭复数为1322i -，则B 不正确；z 的实部与虚部之和为13222+=，则C 正确；z 在复平面内的对应点为13(,)22，位于第一象限，则D 正确.综上，正确结论是CD.故选：CD【点睛】本题考查复数的定义，共轭复数以及复数的模，考查知识点全面.29．AD【分析】A ．根据共轭复数的定义判断.B.若，则，与关系分实数和虚数判断.C.若，分可能均为实数和与的虚部互为相反数分析判断.D. 根据，得到，再用共轭复数的定义判断.【详解】A ．根据共轭解析：AD【分析】A ．根据共轭复数的定义判断.B.若120z z -=，则12z z =，1z 与2z 关系分实数和虚数判断.C.若12z z +∈R ，分12,z z 可能均为实数和1z 与2z 的虚部互为相反数分析判断.D. 根据120z z -=，得到12z z =，再用共轭复数的定义判断.【详解】A ．根据共轭复数的定义，显然是真命题；B ．若120z z -=，则12z z =，当12,z z 均为实数时，则有21z z =，当1z ，2z 是虚数时，21≠z z ，所以B 是假命题；C ．若12z z +∈R ，则12,z z 可能均为实数，但不一定相等，或1z 与2z 的虚部互为相反数，但实部不一定相等，所以C 是假命题；D. 若120z z -=，则12z z =，所以1z 与2z 互为共轭复数，故D 是真命题.故选：AD【点睛】本题主要考查了复数及共轭复数的概念，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 30．AC【分析】根据复数乘法的运算律和复数的模及共轭复数的概念可判断出答案A 和C 正确；C 中可取，进行判断；D 中的必要不充分条件是.【详解】解：由复数乘法的运算律知，A 正确；取，；，满足，但且不解析：AC【分析】根据复数乘法的运算律和复数的模及共轭复数的概念可判断出答案A 和C 正确；C 中可取11z =，2z i =进行判断；D 中12z z =的必要不充分条件是12=z z .【详解】解：由复数乘法的运算律知，A 正确；取11z =，；2z i =，满足22120z z +=，但10z =且20z =不成立，B 错误； 由复数的模及共轭复数的概念知结论成立，C 正确； 由12z z =能推出12=z z ，但12||||z z =推不出12z z =， 因此12z z =的必要不充分条件是12=z z ，D 错误.故选：AC【点睛】 本题主要考查复数乘法的运算律和复数的基本知识以及共轭复数的概念，属于基础题.。