复变函数与积分变换第三章习题课
复变函数第3篇习题课
y
C2
解 设C1 : z x, x : 1 1
C1 1 O
|z|z dz C1
0 1
1
x
|x|x dx
1
C2 : z ei t , t : 0 d z eit i d t
|z|z dz
C2
ei
t
e i
t
i d t
idt i
0
0
i 原式= | z | z d z | z | z d z
解(C解3i1C)Cg自C22C：1CC：1z原C11zz2z：：C22点d1dzzCz3沿xz2虚3ix•iy3iy轴,,0,1,03yx(至(i3yx::x::0i0,00i再yi))1水223dd13平((x3C至1 zCi3i21y)zd)2izd6z3019(ii原y032原)3式x62 式d2i=(d=i6yx)6232962363ii i
故 被积函数 在 | z | 1 上 处处解析
积分结果为0. 6
49页8 直接得到下列积分的结果，并说明理由
Ñ (3) ez (z2 1) d z |z|1
解 结果为 0 , 因为 被积函数 ez (z2 1) 在 | z | 1上 处处解析， 所以 积分结果为0.
Ñ (4)
|z| 1 2
1 (z2 1) (z3 1)
dz
解 结果为 0 , 由 (z2 1) (z3 1) 0 得到
z 1, z 1 3 i
2 这2些点都在圆 | z | 1 的外部。
故
被积函数
在
|
z
|
1
上
2
处处解析
2
积分结果为0. 7
49页9 沿指定曲线的正向计算下列积分
复变函数3-习题课
o
x
( 4) 设C由C1 , C 2连结而成, 则
C
f ( z )dz
C
f ( z )dz
1
C
f ( z )dz;
2
(5) 设曲线 C 的长度为 L, 函数 f ( z ) 在 C 上满足 f ( z ) M , 那末
C
f ( z )dz
C
f ( z ) ds ML.
4
3.积分的计算
（1）利用定义计算 C （2）化成线积分
f ( z )dz lim f ( k ) zk .
n k 1
n
f ( z ) u( x, y) iv ( x, y)
C f ( z )dz C u( x, y )dx v( x, y )dy i C v( x, y )dx u( x, y )dy.
任何在 D 内解析的函数,它的实部和虚部 都是 D 内的调和函数.
8
共轭调和函数 设 u( x , y ) 为区域 D 内给定的调和函数 , 我
们把使 u iv 在 D 内构成解析函数的调和 函数 v ( x , y ) 称为 u( x , y ) 的共轭调和函数 . u v u v 即 在 D 内满足方程 , 的两个调 x y y x
和函数中, v 称为 u 的共轭调和函数.
定理 区域D内的解析函数的虚部为实部的共轭 调和函数. 注意：
1. v是u的共轭调和函数，但 u不一定是 v的共轭调和函数
2.对于任意两个调和函数 u, v, f ( z ) u iv不一定是解析函数。
9
例1 设C为圆周 z 1 2证明下列不等式.
z 1 c z 1 dz 8.
复变函数与积分变换习题册(含答案)
第1章 复数与复变函数 (作业1)一、填空题 1、ieπ2的值为 。
2、k 为任意整数，则34+k 的值为 。
3、复数i i (1)-的指数形式为 。
4、设b a ,为实数，当=a , b= 时，).35)(1()3()1(i i b i a ++=-++ 二、判断题（正确的划√，错误的划 ） 1、2121z z z z +=+ （ ）2、()()())z Re(iz Im ;z Im iz Re =-= （ ）3、()()i i i 125432+=++ （ ） 三、选择题1．当ii z -+=11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1-2．复数)(tan πθπθ<<-=2i z 的三角表示式是（ ）（A ）)]2sin()2[cos(secθπθπθ+++i （B ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(secθπθπθ+++-i （D ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 3．使得22z z =成立的复数z 是（ ）（A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 4.若θi re i i=+--2)1(3，则（ ） （A ）πθ-==3arctan ,5r （B ）πθ-==3arctan ,210r （C ）3arctan ,210-==πθr （D ）3arctan ,5-==πθr 5. 设复数z 位于第二象限，则z arg 等于（ ）。
(A) x y arctan 2+π (B) x y arctan +π (C) x y arctan 2-π (D) xy arctan +-π 四、计算与证明题 1、设ii i i z -+-=11，求.),Im(),Re(z z z z2、当x y ,等于什么实数时，等式()i iy i x +=+-++13531成立？3、求复数ii-+23的辐角。
复变函数习题答案第3章习题详解
解：分四种情形讨论：
1）若是 与 都在 的外部，那么 在 内解析，柯西—古萨大体定理有
2）若是 与 都在 的内部，由柯西积分公式有
3）若是 在 的内部， 都在 的外部，那么 在 内解析，由柯西积分公式有
和 知足拉普拉斯方程： ，
，
故 是 的解析函数。
23．设 为区域 内的调和函数及 ，问 是不是 内的解析函数？什么缘故？
解：设 ，那么 ，
，
，
因为 为区域 内的调和函数，具有二阶持续偏导且知足拉普拉斯方程
， 是 内的解析函数。
24．函数 是 的共轭调和函数吗？什么缘故？
解： ， ， ， ，
故函数 不是 的共轭调和函数。
证明：因为 在 内解析，故积分 与途径无关，取从原点沿实轴到 ，再从 沿圆周 到 的曲线作为 ，那么：
13．设 和 为相交于 、 两点的简单闭曲线，它们所围的区域别离为 与 。 与 的公共部份为 。若是 在 与 内解析，在 、 上也解析，证明： 。
证明：如下图， 在 与 内解析，在 、 上也解析，由柯西—古萨大体定理有：
第三章习题详解
1．沿以下线路计算积分 。
1)自原点至 的直线段；
解：连接自原点至 的直线段的参数方程为：
2)自原点沿实轴至 ，再由 铅直向上至 ；
解：连接自原点沿实轴至 的参数方程为：
连接自 铅直向上至 的参数方程为：
3)自原点沿虚轴至 ，再由 沿水平方向向右至 。
解：连接自原点沿虚轴至 的参数方程为：
25．设 和 都是调和函数，若是 是 的共轭调和函数，那末 也是 的共轭调和函数。这句话对吗？什么缘故？
复变函数习题答案第3章习题详解.docx
第三章习题详解1・沿下列路线计算积分J；' z2dz o1）自原点至3 + i的直线段；解：连接自原点至34-1的直线段的参数方程为：z =（3+》0<r<l dz =（3 + i）dt2）自原点沿实轴至3,再由3铅直向上至3 +八解：连接自原点沿实轴至3的参数方程为：z = t 0</<1 dz = dt3 1=-33 «3连接自3铅直向上至3 +,的参数方程为：z = 3 + ir O<Z<1 dz = idt J J z2dz = £(3 + it)2 idt = -(34-17)3=-(3 + i)3彳" 3 n 3・・・ f z2dz = £t2dt 4- £(3 + it)2id/ = 133 4-1(3 4-1)3 - i33 = |(3 + i)33)自原点沿虚轴至i,再由i沿水平方向向右至3+i。
解：连接自原点沿虚轴至i的参数方程为：z = it 0</<1 dz = idtJ：Z2dz = J；(it)2 idt = | (i/)3= * 尸连接自i沿水平方向向右至3 + i的参数方程为：z = t^i 0<^<1 dz = dtr*edz=jo edz+广eaz=y+敦+厅-|/3=|（1+厅2.分别沿y =兀与y =兀2算出积分J；'（兀2 + iy^dz的值。
解：•/ j = x x2 + iy = x2 + ix ••• dz = (1 + i)dx・・・『(x2 + iy)dz = (1+ (x2 + ix)dx = (1 +•/ y = x2A x2 + iy = x2 4- ix2 = (1 + i)x2:. rfz = (1 + ilx)dxf 衣=［（3+03&二（3+讥♦3+i0=(3 + 厅0 d^ed Z=[\2dt=护而（W 宙討…T + 一 11.1.11 5. i = 1—i3 3 2 26 6/(z) =1 _ 1 z 2+2z + 4~ (z + 2)2在c 内解析，根据柯西一古萨定理,$匹J z 2 + 2z + 4/. £1+，(x 2+ iy)dz = (1 + /)£ * (1 + ilx)dx = (14-彳+ 设/(z)在单连通域〃内处处解析，C 为B 内任何一条正向简单闭曲线。
《复变函数》第四版习题解答第3章
-1-
∫ ∫
C
Re[ f (z )]dz = Im[ f (z )]dz =
∫ ∫
2π
0 2π
Re e iθ de iθ = cos θ (− sin θ + i cos θ )dθ = π i ≠ 0
[ ]
∫
2π
0
C
0
Im e iθ deiθ = sin θ (− sin θ + i cos θ )dθ = −π ≠ 0
3．设 f ( z ) 在单连域 D 内解析，C 为 D 内任何一条正向简单闭曲线，问
∫
解
C
Re[ f (z )]dz =
∫
C
Im[ f (z )]dz = 0
是否成立，如果成立，给出证明；如果不成立，举例说明。 未必成立。令 f ( z ) = z ， C : z = 1 ，则 f ( z ) 在全平面上解析，但是
e z dz v ∫C z 5 ， C :| z |= 1
= 2πe 2 i
解
（1）由 Cauchy 积分公式， ∫ 解 1： ∫ 解 2： ∫
C
ez dz = 2π i e z z−2
z =2
（2）
C
1 dz 1 = ∫ z + a dz = 2π i 2 2 C z−a z+a z −a
2
=
z =a
=0
（8）由 Cauchy 积分公式， （9）由高阶求导公式， ∫
v ∫
C
sin zdz = 2π i sin z |z =0 = 0 z
2
sin z
C
π⎞ ⎛ ⎜z − ⎟ 2⎠ ⎝
dz = 2π i(sin z )'
复变函数与积分变换第三章
1
tdt
o
C
0
0
x
(3 4i)2 . 2
另解：因为Czdz C ( x iy)(dx idy)
y
C zdz C xdx ydy iC ydx xdy
A
这两个积分都与路线C 无关
所以不论C 是怎样从原点连接到点3 4i 的 o
x
曲线,
zdz (3 4i)2 .
1到1+i直线段的参数方程为 z(t) 1 it (0 t 1),
于是 Re z 1, dz idt, y
1
1
i
C Re zdz 0 tdt 0 1 idt
1 i.
2
o
1 i
y x2 x
1
积分路径不同,积分结果也可能不同.
例3.2
计算积分
z z
x
C
(z
1 z0
)n1
dz
2π 0
ire i r n1ei(n1)
d
i rn
2π ein d ,
0
当 n 0时,
C
(z
1 z0 )n1
dz
i rn
2π ein d ,
0
y
z
C
1 (z z0 )n1 dz i
2π d
0
2i;
当 0时，均是
n
n
实函数的曲线积分.
i[ v(k ,k )xk u(k ,k )yk ]
k 1
k 1
f (z)在C上连续, u( x, y), v( x, y)在C上连续
(完整版)第三章复变函数的积分(答案)
复变函数练习题 第三章 复变函数的积分系 专业 班 姓名 学号§1 复变函数积分的概念 §4 原函数与不定积分一．选择题1．设为从原点沿至的弧段，则[]C 2y x =1i +2()Cx iy dz +=⎰（A ）（B ） （C ） （D ）1566i -1566i -+1566i --1566i +2. 设是，从1到2的线段，则 []C (1)z i t =+t arg Czdz =⎰（A ）（B ）（C ）（D ）4π4i π(1)4i π+1i+3．设是从到的直线段，则[]C 012i π+z Cze dz =⎰（A ）（B ） （C ） （D ）12e π-12e π--12ei π+12eiπ-4．设在复平面处处解析且，则积分[]()f z ()2iif z dz i πππ-=⎰()iif z dz ππ--=⎰（A ） （B ）（C ）（D ）不能确定2i π2i π-0二．填空题1．设为沿原点到点的直线段，则2。
C 0z =1z i =+2Czdz =⎰2．设为正向圆周，则C |4|1z -=2232(4)A Cz z dz z -+=-⎰10.i π三．解答题1．计算下列积分。
（1）323262121()02iziiz i i i edzee e ππππππ---==-=⎰（2）22222sin 1cos2sin 2224sin 2.244iiiii i zdzz z z dz i e e e e i i i i ππππππππππππππ------⎛⎫==- ⎪⎝⎭⎛⎫--=-=-=+⎪⎝⎭⎰⎰（3）110sin (sin cos )sin1cos1.z zdzz z z =-=-⎰（4）20222cos sin 1sin sin().222iiz z dzz i ππππ==⋅=-⎰2．计算积分的值，其中为正向圆周：||C z dz z ⎰A C （1）2200||22,022224.2i i i z Cz e e ie d id i θθππθθπθθπ-==≤≤⋅==⎰⎰积分曲线的方程为则原积分I =（2）2200||44,024448.4i i i z Cz e e ie d id i θθππθθπθθπ-==≤≤⋅==⎰⎰积分曲线的方程为则原积分I =3．分别沿与算出积分的值。
复变函数与积分变换第3章积分PPT课件
0
0
22
例2 计算 zdz, zdz的值, 其中
C1
C2
C1是单位圆 z 1的上半圆周, 顺时针方向;
C2是单位圆 z 1的下半圆周，逆时针方 向.
解: 1)C1 : z ei ,0 .
zdz
0 e i ie i d i
0
dt i
C1
2)C2 : z ei , 0.
第三章 复变函数的积分
（与实函数中二型线积分类比）
• §3.1复积分的概念 • §3.2 Cauchy积分定理 • §3.3 Cauchy积分公式 • §3.4解析函数的高阶导数
§3.1复积分的概念
1. 积分的定义 2. 积分存在的条件及其计算法 3. 积分性质
1. 积分的定义
y
定义 设(1)w f (z) z D (2)C为区域D内点A 点B
zdz
0 e i ie i d i
0
dt i
C2
可见，在本题中，C的起点与终点虽然相同，但路径
不同，积分的值也不同．
练习 计算 z dz. (1)C : i i的直线段； C
（2）C：左半平面以原点为中心逆时针方向的单位半圆周。
解（1）线段 的参数方程为 z it t :1 1
i
例3
计算
C
(z
dz z0
)n1
这里C表示以
z0为中心,
r为半径的正向圆周, n为整数.
解 C : z z0 rei 0 2
y z z0 rei
dz C (z z0 )n1
2 0
ire i r e n1 i(n1)
d
o
z
z0
2 i 0 r ne in
积分变换与复变函数课后重点题目,考试必备
从而
z2 iC 2 u 2 xy 2 ( x y 2 )2 (2) x f ( z ) z 2 i
u x e ( x sin y sin y y cos y ) e x ( x sin y sin y y cos y ) y v x e ( y cos y x sin y) ex (sin y) ex ( y cos y x sin y sin y) x v x e (cos y y ( sin y ) x cos y ) e x (cos y y sin y x cos y ) y
解 (1)设
⑤解：
lim
（3）
z i
z iy . 1 y 1
2π 2π i sin cos 9 9
解：∵
lim
解：
2 2π
2π 2π i sin 1 cos 9 9
3
z i
z i z i 1 1 lim lim z (1 z 2 ) = z i z (i z )( z i) z i z (i z ) 2.
2 (4) f ( z ) z z . 解：设 z x iy ，则
f ( z) ( x iy) ( x iy)2 x3 xy 2 i( y3 x2 y)
u( x, y) x3 xy 2 , v( x, y) y 3 x 2 y
u 3x 2 y 2 , x u 2 xy, y v 2 xy, x v 3 y 2 x2 y
y y2 , x
u 2 xy, y
⑵-1 的三次根 解：
3
1 cos π isin π 3 cos
复变函数与积分变换第三章习题解答
fc Re[f (z)}Lz= s:·T Re[产�/0 = J�os0(- sin0+icos0}10= 冗 i-:t:O
、
f clm[J(z)}lz=
1 单位圆上 z=- 的性质 ， 及柯西积分公式说明 4. 利用
s::r
il) i(J lm[e �e = fo�in0(-sin0+icos0}10 =- -:t:O
宣
(4) (5) ( 6)由柯西基本定理知 ： 其结果均为0
1 正气衣 =f 一 (z+iXz +4) 如fz+il: lz 气 z +j z- J 3
2
I
1
=2冗i
(8)由
Cauchy 积分公式，
(9)由 高阶求导公式， (10)由高阶求导公式
fc ,'�"�『心 �2 i(sin,)
兀
f sinzdz =2
I。
: z 由=JJ3r +i t)\3+i肋
+I 2
(2)
I:
打
/dz = �··(. 止+f c, z油+f C2/dz•
2
l。
1 I 26. I =...:.(3+i)3 t3 1 =-(3+i)1=6+—I 3 3 3 0
=(3 + i)3
I
t d,
2
C3
{
x = 3, y =t,
(Ost 釭）； c, 之参数方程为{ y = t,
-4 -
故 Re [
共部分为 B 。 如果 f伈）在B1 -B 与B2 -B内解析 ， 在 证明
1 3. 设 cl 与 C 2为相交干 M、N两点的简单闭曲线
复变函数讲义-3-习题课
f (z) M ,那末 f (z)dz f (z)ds ML.
C
C
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29
例9 设C为圆周 z − 1 = 2证明下列不等式.
c
z z
+ 1dz −1
8.
证明 因为 z − 1 = 2，
所以 z + 1 = z − 1 + 2 z − 1 + 2 = 2,
24
2)若封闭曲线C包含0而不包含1,则
由柯西积分公式得
C
ez z(1 −
z)3
dz
=
ez
C
(1 − z)3 d z z
= 2i ez (1 − z)3 z=0
= 2i.
y
O
•
1x
C
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25
3)若封闭曲线C包含1而不包含0,则
f (z) = ez 在C内解析, 由高阶导数公式得 z
机动 目录 上页 下页 返回 结束
20
(2) a在曲线C内，b不在曲线C内
由高阶导数公式，有
1
C
(
z
−
1 a)n (
z
−
b)
dz
=
C
(
z−b z − a)n
dz
=
2i
1 (n−1)
(n − 1)! z − b
z=a
=
2i (−1)n−1
(n − 1)!
(n − 1)! (z − b)n
2
一、定积分与不定积分
定积分(参数方程法)常用于函数在积分曲线上有 奇点或在积分区域内部有无穷多奇点情况；不定 积分注意所要求条件
最新复变函数习题答案第3章习题详解
第三章习题详解1． 沿下列路线计算积分⎰+idz z 302。
1) 自原点至i +3的直线段；解：连接自原点至i +3的直线段的参数方程为：()t i z +=3 10≤≤t ()dt i dz +=3()()()⎰⎰+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=+131033233023313313i t i dt t i dz z i2) 自原点沿实轴至3，再由3铅直向上至i +3；解：连接自原点沿实轴至3的参数方程为：t z = 10≤≤t dt dz =3303323233131=⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎰⎰t dt t dz z连接自3铅直向上至i +3的参数方程为：it z +=3 10≤≤t idt dz =()()()331031023323313313313-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=⎰⎰+i it idt it dz z i()()()333310230230233133********i i idt it dt t dz z i+=-++=++=∴⎰⎰⎰+ 3) 自原点沿虚轴至i ，再由i 沿水平方向向右至i +3。
解：连接自原点沿虚轴至i 的参数方程为：it z = 10≤≤t idt dz =()()310312023131i it idt it dz z i=⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎰⎰连接自i 沿水平方向向右至i +3的参数方程为：i t z += 10≤≤t dt dz =()()()33103102323113131i i i t dt i t dz z ii-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=⎰⎰+()()333332023021313113131i i i i dz z dz z dz z iiii+=-++=+=∴⎰⎰⎰++ 2． 分别沿x y =与2x y =算出积分()⎰++idz iy x102的值。
解：x y = ix x iy x +=+∴22()dx i dz +=∴1 ()()()()()⎪⎭⎫⎝⎛++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=+∴⎰⎰+i i x i x i dx ix x i dz iy x i213112131111023102102 2x y = ()22221x i ix x iy x +=+=+∴ ()dx x i dz 21+=∴()()()()()⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=+∴+1104321022131142311211i i x i x i dx x i x i dz iy xi而()i i i i i 65612121313121311+-=-++=⎪⎭⎫⎝⎛++3． 设()z f 在单连通域B 内处处解析，C 为B 内任何一条正向简单闭曲线。
复变函数及积分变换第三章
i
i
i
(z
1)e z dz
ze z
i 0
ezdz ezdz
0
0
0
iei sin1 i cos1.
例3.6 设D为直线
和直线
z
3 2
3 10 10
i
10 10
t,
t
z
4
2
5 i
5
t,
t
所围成的区域.
1
求积分i 3
5 z2
dz z
5 2
的值.
解： 尽管 z2 z 2 在复平面上存在两个奇点1和-2，但
§3.1 复变函数积分的概念
1.复变函数积分的定义
设平面上光滑或分段光滑曲线C的两个端点为A 和B.对曲线C而言，有两个可能方向：从点A到点B和 从点B到点A.若规定其中一个方向(例如从点A到点B 的方向)为正方向，则称C为 有向曲线.此时称点A为 曲线C的起点，点B为曲线C的终点.若正方向指从起 点到终点的方向，那么从终点B到起点A的方向则称 为曲线C的负方向，记作C.
2π 0
i r nein
d
i rn
2π
2π
ein d.
0
当n=0时 I i d 2πi
当n≠0时，
I
0i rn
2π
(cos n
0
i sin n )d
0
dz
2πi, n 0;
zz0 r (z z0 )n1
0,
n 0.
§3.2 柯西-古萨定理(CauchyGoursat)及其推广
分与路径无关.即积分 f (z)dz 不依赖于连接起点z0与
终点z1的曲线C,而只与Cz0、z1的位置有关.
复变函数与积分变换练习册参考答案
分析：显然原方程可化简为一个典型的二项方程。
⎛ 1+ z ⎞ 解：由直接验证可知原方程的根 z ≠ 1 。所以原方程可改写为 ⎜ ⎟ = 1。 ⎝ 1− z ⎠
令
5
ω=
1+ z ， ……………(1) 1− z
2π i 5
则 ω = 1 ， ……………………(2)
5
方程(2)的根为 ω = 1, e
(5) lim
z →1
zz + 2 z − z − 2 3 = 。 2 z2 −1 zz + 2 z − z − 2 ( z + 2)( z − 1) z +2 3 = lim = lim = 。 2 z →1 ( z − 1)( z + 1) z →1 z + 1 2 z −1
提示： lim
z →1
(1 − cos α ) 2 + sin 2 α = 4sin 2
α
2
= 2sin
α
2
；因为当 0 < α < π 时，
sin α > 0 ， 1 − cos α > 0 ，则 arg z = arctan
= arctan(tan +i sin
π −α
2
)=
π −α
2 e
π −α i 2
sin α α = arctan(cot ) 1 − cos α 2
。
6、 ( 2)
=e
2 ln 2 − 2kπ
7、方程 sinh z = i 的解为 三、计算和证明 1、试证函数
1 在复平面上任何点都不解析。 z
利用 C-R 条件，即用解析的充要条件判别，即 u =
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9)当0 < z 1 < +∞时， 1 (1) 1 2 k +1 sin ( ) =∑ 1 z k =0 (2k + 1)! 1 z
∞ k
(1) 1 =∑ . 2 k +1 k = 0 ( 2k + 1)! ( z 1)
∞ 1 zn (1) n } ∑ n 2 + 3i n =0 (2 + 3i )
∞ (1) n z n +1 i ∞ z n +1 }, = {∑ +∑ n +1 n +1 6 n =0 (2 + 3i ) n = 0 ( 2 + 3i )
z < 13.
7.求下列各函数在z0处的泰勒展开式， 并指出收敛半径：
n =0 n =0 ∞ ∞ n 1
,
z + 1 < 1.
9.把下列函数在指定的圆环域内展开成 罗朗级数：
1 1) ,0 < z + 2 < 2; 3 z ( z + 2) z 1 3) 2 ,0 < z < 1,0 < z + 2 < 2; z ( z + 2) 1 9) sin ,0 < z 1 < ∞; 1 z
§3.1 复数项级数 定理1 定理
lim α n = α lim an = a, lim bn = b.
n →∞ n →∞ n →∞
其中, α n = an + ibn , α = a + ib.
定理2 定理
∞
级数 ∑α n = ∑ (an + ibn ) 收敛的充要条件
n=1 n=1
∞
∞
∑ an 和 ∑ bn 都收敛. n=1 n =1
∞ ∞ n in 1 i = ∑ 发散，因此， 条件收敛。 ∑n n n =1 n n =1
3.试确定下列幂级数的收敛半径： nz 2 n 2 ∑ n ; 4)∑ z . ） n =0 2 n = 0 n!
解： n 2 cn = n , ） 2
cn +1 n + 1 2n 1 l = lim = lim n +1 = , n →∞ c n →∞ n 2 2 n
∞
定理3 定理
复数项级数 ∑ α n收敛的必要条件是 lim α n = 0.
n =1 n →∞ ∞
lim α n ≠ 0 级数 ∑ α n发散.
n→ ∞ n =1
∞
定理5 定理
如果 ∑ α n 收敛 , 那末 ∑ α n 也收敛 .
n =1 n =1
∞
∞
且不等式
∑α n ≤ ∑ α n 成立. n=1 n =1
∞
0 < z + 2 < 2.
3)当0 < z < 1时， z 1 1 z + 23 1 3 1 = 2( )= 2 2 2 z ( z + 2) z z+2 z z z+2 1 3 1 1 3 = 2 2 = 2 2 z 2z 1+ z z 2z 1+ 2 z ∑ (1) 2n , n =0
n ∞ n
∞
n
1 nπ nπ = ∑ (cos + i sin ) 2 2 n =1 n
∞
1 1 k = ∑ { (1) + (1) k 1} 2k 1 k =1 2k
∞
(1) (1) ∑ 2k 与∑ 2k 1 都收敛， k =1 k =1
∞ k ∞
k 1
in 因此∑ 收敛。 n =1 n
∞
∑
n =1
∞
∞ n ∞ n
1 R = = 2. l
2 4)cn = , n!
cn +1 2 n +1 n! l = lim = lim n = 0, n →∞ c n →∞ ( n + 1)! 2 n
n
R = ∞.
6.把下列各函数展开成z的幂级数， 并指出它们的收敛半径：
za z 2 1) , (a > 0); 3) cos z ; 8) 2 ; z+a z 4 z + 13
解： 1 n 2n zn = +i = xn + iyn 2 2 1+ n 1+ n
2
lim lim xn = 1, lim yn = 0, 因此， ∞ zn = 1. n→
n →∞ n →∞
2.判别下列级数的绝对收敛性与收敛性： i 1∑ ; ） n =1 n
∞ in 1 π π n 解： ∑ n = ∑ n (cos 2 + i sin 2 ) n =1 n =1 ∞
z z 8) 2 = z 4 z + 13 ( z 2 3i )( z 2 + 3i )
z 1 1 = [ ] 6i z 2 3i z 2 + 3i
1 1 z = { 2 + 3i + 2 + 3i } z 6i 1 z 1+ 2 + 3i 2 + 3i
z 1 ∞ zn = { ∑ (2 + 3i) n 6i 2 + 3i n =0
z < +∞.
z < +∞. z < +∞.
z < 1. z < 1.
+∞ 1 n 4. =∑z , 1 z n =0 +∞ 1 5. = ∑ (1) n z n , 1 + z n =0
§3.4n }是否收敛？ { 如果收敛，求出极限：
1 + ni 1) z n = ; 1 ni
解： 1 1 1 1 ） = 3 z ( z + 2) ( z + 2) 3 z + 2 2 1 1 1 = ( z + 2) 3 2 1 z + 2 2 ∞ 1 1 ( z + 2) n = 3 ∑ 2 ( z + 2) n = 0 2 n ( z + 2) n 3 = ∑ , n +1 2 n =0
1 n z = 2 3∑ (1) n +1 . z 2 n =0
∞
n2
当0 < z + 2 < 2时，
1 1 1 z 1 1 1 1 = ( 2)= { + ( )'} 2 z ( z + 2) z + 2 z z z+2 z z 1 1 1 = +( )'} { z +2 z +22 z +22 1 1 1 1 = { +( )'} z + 2 2 1 z + 2 z +22 2 1 1 ∞ ( z + 2) n 1 ∞ n { ∑ = + ∑ n ( z + 2) n 1} 2 n =0 2 z + 2 2 n =0 2 n
解：
∞ 1 za n z n 1 ） = 1 2 = 1 2∑ (1) ( ) , z z+a a n =0 +1 a
z < a.
(1) k 2 2 k ∞ (1) k 4 k 3) cos z 2 = ∑ (z ) = ∑ z , k = 0 ( 2k )! k = 0 ( 2 k )!
∞
z < +∞.
∞
∞
§3.2 幂级数
§3.3 泰勒级数
一些简单函数的泰勒展开式：
zn 1.e z = ∑ , n = 0 n! +∞ (1) n z 2 n +1 2. sin z = ∑ , n = 0 ( 2n + 1)!
(1) n z 2 n 3. cos z = ∑ , (2n)! n =0
+∞
+∞
z +1 1 1) , z0 = 2; 3) 2 , z0 = 1; z +3 z
解： 1 2 1 z +1 1 ） = 1 2 = 1 z +3 z 2+5 5 1+ z 2 5 2 ∞ ( z 2) n = 1 ∑ (1) n , z2 n 5 n =0 5
< 5.
1 1 1 1 3) 2 = ( )' = ( )' = ( )' z z z +11 1 ( z + 1) = (∑ ( z + 1) n )' = ∑ n( z + 1)
∞
k +1