例 5： 对于（0，3）上的一切实数x,不等式()122-<-x m x 恒成立，求实数m 的取值范围。 52
1
≤≤m
3 构建函数法
当参数难以分离而不等式是有关某个变量的一次或二次函数时，可以通过构建函数来解决。我们知道，函数概念是高中数学的一个很重要的概念，其思想和方法已渗透到数学的各个分支。在某些数学问题中，通过数式类比，构造适当的函数模型，然后利用函数的有关性质结论解题。如何通过构造一次函数，二次函数模型，并利用它们的性质来确定参数的取值范围。
（1） 构造一次函数 例6： 若对一切
2≤p ，不等式()p x x p x +>++222
2log 21log log 恒成立，求实数x 的取值范围。
x 取()+∞⋃⎪⎭
⎫
⎝⎛,821,
0 （2） 造二次函数 例7： 对于⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πθ
，022sin 2cos 2<--+m m θθ恒成立，求实数m 的范围。 m 取⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞-,21 4 数形结合法
某些含参不等式恒成立问题，既不能分离参数求解，又不能转化为某个变量的一次或二次函数时，则可采用数形结合法。对于解含参不等式恒成立问题，我们可以先把不等式（或经过变形后的不等式）两端的式子分别看成两个函数，且画出两函数的图象，然后通过观察两图象（特别是交点时）的位置关系，从而列出关于含参数的不等式。
例8、已知对于一切x ，y ∈R ，不等式02182812
2
2
≥--+-+
a y x xy x
x
恒成立，求实数a 的取值范围。 a 取]6,(-∞ 例9：若不等式0log 32
<-x x a 在⎪⎭
⎫ ⎝⎛∈31,0x 内恒成立，求实数a 的取值范围。解： a 取⎪⎭⎫⎢
⎣⎡1,271 5. 观察.试探.猜想.证明法
当前面的方法都难以解决问题时，我们可以考虑从特殊到一般的思想，先考虑一些变量的特殊值，找出相应的满足题设的参数的取值，然后猜想出参数的取值范围，并将问题转化为：在已知参数取值范围的情况下，证明所给问题恒成立。 例10： 已知对一切实数θ，不等式()03cos sin 424>+-+-a a θθ恒成立，试求实数a 的取值范围。82
3>
a 参考答案
1 分离参数法
分析一下这道题的特征：因为分母n 是正数，要使得()x f 当(]1,∞-∈x 有意义，分子()()a
n n x x
x +-+++121 就必
须也是正数。并容易看出，可以将a 分离出来。 分析： 当(]1,∞-∈
x 时，()x f 有意义，故有()⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛->⇔>+-+++x
x x x
x
x
n n n a a n n 1121012
1
令()⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝
⎛-++⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=x
x
x
n n n x 1121 ϑ，只要对()x ϑ
在(]1,∞-上的最大值，此不等式成立即可。故我们可以利用函数的最值
分离出参数a 。 解：由(]1,∞-∈
x 时，()x f 有意义得：()
012
1>+-+++a n n x
x
x
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛->⇔x
x x n n n a 1121 ，由指数
函数单调性知上式右边的函数()⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡
⎪⎭⎫ ⎝
⎛-++⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=x
x
x
n n n x 1121 ϑ的最大值是()⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n n n 1211 ϑ
＝
()n -121
，故 a>()n -12
1 一般地，利用最值分离参数法来确定不等式
()0,≥λx f , （ D x ∈λ为实参数）恒成立中参数取值范围的基本步骤:
（1） 将参数与变量分离，即化为()()()()()x f f x f f 2221≤≥λλ或的形式；
（2） 求
()x f 2在∈x D 时的最大（或最小）值；
（3） 解不等式()()()()x f x f f m in 2m ax 21≤≥或λ 得λ的取值范围。
思想方法：把不等式中恒成立问题转化为求函数最值问题。适用题型：（1） 参数与变量能分离；（2） 函数的最值易求出。
例 2：解：∵ f(x)在R 上为奇函数，且在
[)+∞,0上是增函数，∴f(x)在()+∞∞-,上为增函数，又 ∵ ()()0c o s 2432c o s >-+-θθm m f f ，∴ ()32cos -θf ＞－()θcos 24m m f -＝()m m f 4cos 2-θ
∴ m m 4cos 232cos ->-θθ 即()θθ2cos 3cos 22->-m ， ∵ 2－cos θ[
]3,1∈， ∴ 2θθθθcos 2cos 24cos 22cos 32
--=-->m ，∴m>θθθ
θcos 22cos 2cos 2cos 22
--
+=--]cos 22
cos 2[4θ
θ-+--=
令2－[]3,1,cos ∈=t t θ， ∴ m>4－⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+t t 2，即4－m最小值，∵()t
t t g 2
+=≥22等号成立条件t=t 2,即[
]3,12∈=t 成立，∴()22min =t g ，∴4－m<22即m>4－22，∴m 的取值范围为（4－22，＋∞）
例 3：简析略解：此例看不出明显的恒成立问题，我们可以设法转化: 设集合A ＝
}(){b a b a b a x x +-=<-,|，
B=⎩
⎨⎧
⎪⎭⎫
⎝⎛+-=⎭⎬⎫<-21,2121|
222a a a x x
由题设知A ⊆B ，则：
212
-≥-a b a
212
+≤+a b a
于是得不等式组： 212
++-≤a a b
2
12
+-≤a a b
又
=-+-212a a 43212
+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
--a ，最小值为163； ,4121212
2+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-a a a 最小值为41；
∴
163≤b , 即 ：b 的取值范围是⎥⎦
⎤ ⎝⎛163,0
2 主参换位法
分析：若把它看成x 的二次函数，由于a, x 都要变，则函数的最小值很难求出，思路受阻。若视a 为主元，则给解题带来转机。 例4 ：解：设
()()4422+-+-=x x a x a g ，把它看成关于a 的直线，题意知，直线恒在横轴下方。 所以 ()01≥-g
()01>g ，解得： 1例 5：分析： 一般的思路是求x 的表达式，利用条件求m 的取值范围。但求x 的表达式时，两边必须除以有关m 的式子，涉及对m 讨论，显得麻烦。 解：若设
()()()()()m x m x m x x f 212122-+-=---=，把它看成是关于x 的直线
3 构建函数法
