高二数学段考试题
2024-2025学年第一学期数学阶段检测(二)(选择性必修一)(A4)
2024-2025学年第一学期阶段检测（二）高二数学试题注意事项：1．试卷共19题，满分150分，考试时间120分钟。
2.答卷前，考生务必将自己的考号、姓名等相关信息填写在答题卡上。
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡的指定区域，写在本试题卷上无效。
4．试卷包括试题卷（共4页）和答题卡（共6页）两部分，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
5.本套试卷的范围：选择性必修一全册．．．．．．．．。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．如图，空间四边形OABC 中，OA a = ，OB b = ，OC c =，M 在线段OA 上，且3OA AM =，点N 为BC 中点，则MN =A ．121232a b c -+B ．211322a b c-++ C ．111222a b c+-D ．2132b a c+-2．“2a =”是“直线210x ay +-=与直线220ax y +-=平行”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知直线420mx y +-=与250x y n -+=互相垂直，垂足为()1,P p ，则m n p -+的值是A ．24B ．0C ．20D ．4-4．双曲线22:1C x y -=的一条渐近线被圆22(1)1x y -+=所截得的弦长为A ．2B ．1C ．32D 5．已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -内有一内切球O ，点P 在球O 的表面上运动，则PA PC ⋅的取值范围为A ．[]22-,B ．[]0,2C ．[]2,4-D ．[]0,46．曲线C ：()10=>xy x 上到直线1620x y ++=距离最短的点坐标为A ．1,44⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．14,4⎛⎫⎪⎝⎭C ．14,4⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．1,44⎛⎫-- ⎪⎝⎭7．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，直线l 过点F 且倾斜角为2π3，若抛物线C 上存在点M 与点3,02N ⎛⎫- ⎪⎝⎭关于直线l 对称，则抛物线C 的准线方程为A ．12x =-B ．=1x -C ．2x =-D ．14x =-8．已知椭圆()22222122:10,x y C a b c a b a b+=>>=-的右焦点为F ，过点F 作圆222:20C x y cx ++=的切线与椭圆1C 相交于,A B 两点，且2FB AF =，则椭圆1C 的离心率是A B 6C D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分.9．已知曲线C 的方程为()221R 15x y m m m+=∈+-，则A ．当2m =时，曲线C 为圆B ．当7m =时，曲线C 为双曲线，其渐近线方程为12y x =±C ．当m>2时，曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆D ．当7m =时，曲线C10．下列说法正确的有A ．直线30x +=的倾斜角为150︒B ．直线()32y k x -=-必过定点()2,3C ．方程()2y k x =-与方程2yk x =-表示同一条直线D ．经过点()2,1P ，且在,x y 轴上截距相等的直线方程为30x y +-=11．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E F G M N 、、、、均为所在棱的中点，动点P 在正方体表面运动，则下列结论中正确的为A ．P 在BC 中点时，平面PEF ⊥平面GMNB ．异面直线EF GN 、所成角的余弦值为14C ．E F G M N 、、、、在同一个球面上D ．111112A P t A A A M t A B =+- ，则P三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知空间四点()4,1,3=A ，()2,3,1=B ，()3,7,5=-C ，(),1,3=-D x 共面，则x =．13．已知点P 是直线80-+=x y 上的一个动点，过点P 作圆()()22:114C x y -+-=的两条切线，与圆切于点,M N ，则cos MPN ∠的最小值是．14．已知双曲线E ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F .过点2F 的直线与y 轴交于点B ，与E 交于点A ，且2232F B F A =-，点1F 在以AB 为直径的圆上，则E 的渐近线方程为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（本题满分13分）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的焦距为10,F 为双曲线的右焦点，且点F 到渐近线的距离为4．（1）求双曲线C 的方程；（2）若点()120A ,，点P 为双曲线C 左支上一点，求PA PF +的最小值．16．（本题满分15分）已知以点()1,2A -为圆心的圆与______，过点()2,0B -的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点．从①直线270x y ++=相切；②圆()22320x y -+=关于直线210x y --=对称．这2个条件中任选一个，补充在上面问题的横线上并回答下列问题．（1）求圆A 的方程；（2）当MN =l 的方程．17．（本题满分15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，//,,2AB CD AB BC BC CD ⊥==，4,PA PD AB PB ====（1）证明：平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）若E 为PC 的中点，求平面ADE 与平面ABCD 的夹角的余弦值.18．（本题满分17分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的右焦点为F ，点P ⎛ ⎝⎭在椭圆C 上．且离心率为2．（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 斜率存在，交椭圆C 于A ，B 两点，A ，B ，F 三点不共线，且直线AF 和直线BF 关于PF 对称．（i ）证明：直线l 过定点；（ⅱ）求ABF △面积的最大值．19．（本题满分17分）如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是一个椭圆的长轴和短轴，则称它们为“孪生”曲线，若双曲线2C 与椭圆1C 是“孪生”曲线，且椭圆()2212:1039x y C b b +=<<，12e e =12,e e 分别为曲线12,C C 的离心率）（1）求双曲线2C 的方程；（2）设点,A B 分别为双曲线2C 的左、右顶点，过点()5,0M 的动直线l 交双曲线2C 右支于,P Q 两点，若直线,AP BQ 的斜率分别为,AP BQk k ①是否存在实数λ，使得AP BQ k k λ=，若存在求出λ的值；若不存在，请说明理由；②试探究AP BQ k k +的取值范围．。
广东省揭阳市惠来县第一中学2024-2025学年高二上学期第一次阶段考试数学试题
广东省揭阳市惠来县第一中学2024-2025学年高二上学期第一次阶段考试数学试题一、单选题1．已知集合{0,2,5}M =，集合{}*N 05N x x =∈≤<∣，则M N = （）A ．{}0,2,5B ．{}0,2C ．{}2,5D ．{}22．复数z 满足1i 1zz =+-，则z =（）A ．1B ．2C D ．43．设,,x y z 的平均数为,M x 与y 的平均数为,N N 与z 的平均数为P .若x y z <<，则M 与P 的大小关系是（）A ．M P =B ．M P <C ．M P>D ．不能确定4，轴截面面积为1，则该圆锥的母线与底面所成的角为（）A ．15︒B ．30︒C ．45︒D ．60︒5．小刚参与一种答题游戏，需要解答A ，B ，C 三道题.已知他答对这三道题的概率分别为a ，a ，12，且各题答对与否互不影响，若他恰好能答对两道题的概率为14，则他三道题都答错的概率为（）A ．12B ．13C ．14D ．166．已知0a b >>，114a b a b+=-+，且54a b m -≥恒成立，则m 的取值范围为（）A ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(],2-∞C ．9,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．(],4∞-7．如图，边长为2的正方形ABCD 沿对角线AC 折叠，使1AD BC ⋅=，则三棱锥D ABC -的体积为（）A ．3B C ．3D ．48．()f x 是定义在R 上的函数，若()01f =，且对任意x ∈R ，满足()()22f x f x +≤+，()()88f x f x +≥+，则()2024f =（）A ．2023B ．2024C ．2025D ．2026二、多选题9．已知向量()1,1,0a = ，()0,1,1b = ，()1,2,1c =，则下列结论正确的是（）A ．向量a 与向量b 的夹角为π3B ．()c a b ⊥- C ．向量a 在向量b 上的投影向量为11,0,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．向量c 与向量a ，b共面10．把函数()()π14sin cos 0π6f x x x ωωω⎛⎫=+⋅+<< ⎪⎝⎭的图象向右平移π12个单位长度，得到的函数是一个奇函数，则下列说法正确的是（）A ．()f x 的最小正周期为2πB ．()π3f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．当π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的值域为[]1,2D ．若方程()1f x =在区间()π,m -上恰有六个不等实根，则实数m 的取值范围为7π2π,3⎛⎤ ⎥⎝⎦11．如图，点P 是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的表面上一个动点，则（）A ．当P 在平面11BCCB 上运动时，四棱锥11P AA D D -的体积不变B ．当P 在线段AC 上运动时，1D P 与11A C 所成角的取值范围是ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．若F 是11A B 的中点，当P 在底面ABCD 上运动，且满足PF ∥平面11B CD 时，PF 长D ．使直线AP 与平面ABCD 所成的角为45︒的点P的轨迹长度为π+三、填空题12．电影《孤注一掷》的上映引发了电信诈骗问题热议，也加大了各个社区反电信诈骗的宣传力度.已知某社区共有居民480人，其中老年人200人，中年人200人，青少年80人，若按年龄进行等比例的分层随机抽样，共抽取36人作为代表，则中年人比青少年多人13．邢台一中高二年级研究性学习小组为了实地测量某塔的高度，选取与塔底中心O 在同一个水平面内的两个测量基点A 与B ，在A 点测得：塔顶P 的仰角为45°，O 在A 的北偏东60°处，B 在A 的正东方向36米处，且在B 点测得O 与A 的张角为45°，则此塔的高度约为米（四舍五入，保留整数.1.414≈1.732≈）.14．已知函数()()2ln 1,1,21,1,x x f x x x x ⎧->⎪=⎨++≤⎪⎩若关于x 的方程()()1f x m m =≠有4个解，分别为1x ，2x ，3x ，4x ，其中1234x x x x <<<，则3411x x +=，12341111x x x x +++的取值范围是．四、解答题15．已知空间中三点()()()2,0,2,1,1,2,3,0,4A B C ----，设,a AB b AC ==(1)已知()a kb b +⊥ ，求k 的值；(2)若6c = ，且c BC λ= ，求c 的坐标.16．已知ABC V 的内角,,A B C 所对的边分别是sin sin ,,,sin a c A Ba b c a b C--=+.(1)求角B ；(2)若ABC V 外接圆的面积为12π，且ABC V 为锐角三角形，求ABC V 周长的取值范围.17．某年级数学兴趣小组组织游戏闯关活动，共设置了20道数学问题，满分100分.结束后在所有的答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成六段：()40,50，()50,60，……，90,100，得到如图所示的频率分布直方图.(1)求频率分布直方图中a 的值，并估计该年级全体学生这次数学成绩的中位数；(2)活动中，甲、乙两位同学独立参加竞赛，已知甲同学答对了12道，乙同学答对了8道，假设每道数学问题难度相当，被答对的可能性都相同.任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率.18．《九章算术》是我国古代的一部数学经典著作，在其中一篇《商功》中有如下描述：“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱．如图，在堑堵111ABC A B C -中，AB BC ⊥，1BC =，AB =12CC =，P 为棱AC 的中点，Q 为棱11A C 的中点．(1)证明：平面1//PBC 平面1AB Q ；(2)求二面角11Q AB A --的正切值；(3)求1CC 与平面1PBC 所成角的正弦值．19．已知()f x 是指数函数，且过点()()()1,23a f x g x f x b -⎛= +⎝是定义域为R 的奇函数(1)求,a b 的值；(2)若存在[]1,2c ∈-，使不等式()21206g c c m --+<成立，求实数m 的取值范围；(3)若函数()()()2412x x h x g g t +=++⨯恰有2个零点，求实数t 的取值范围．。
安徽省汤池中学2020学年高二数学上学期第二次段考试题 理 新人教A版
安徽省汤池中学2020学年高二数学上学期第二次段考试题 理 新人教A 版时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 焦距为6，离心率53=e ，焦点在x 轴上的椭圆标准方程是 （ ） 2211625x y A +=.22145x y B +=. 22154x y C +=. 2212516x y D +=.2.若三条直线2380x y ++= ，10x y --=和0x ky +=交于一点则k 的值为（ ）2A -. 12B . -2C . 12D . 3.如图，4A 1B 1C 1D 1，A 1C 的中点E 到AB 的中点F 的距离为( )A. 4 2B. 2 2 C ． 4D. 24. 若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与直线线l ：y －kx －k ＝0有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是( ) A ．(－33，33) B ．(－33，0)∪(0，33) C ．[－33，33]D ．(－∞，－33)∪(33，＋∞) 5. 已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －7≤0，x ≥1，y ≥1，则S ＝y x -的最大值是 ( )A ．1B ．2C ．3D ．46. 已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下面四个命题：①α∥β⇒l ⊥m ； ②α⊥β⇒l ∥m ；③l ∥m ⇒α⊥β； ④l ⊥m ⇒α∥β. 其中正确的命题有( )A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④7. 点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是( )A ． (x ＋2)2＋(y －1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ． (x ＋4)2＋(y －2)2＝4 D ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝18. 圆01222=--+x y x 关于直线032=+-y x 对称的圆的方程是（ ）Ａ．2)2()3(22=-++y x Ｂ．21)2()3(22=++-y x Ｃ．21)2()3(22=-++y x Ｄ．2)2()3(22=++-y x9. 过椭圆22165x y +=内的一点(2,1)P -的弦，恰好被P 点平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）A ．53130x y -+= B. 53130x y +-= C.53130x y --= D53130x y ++=10.已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0，设该圆过点P (5,3)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．105．205．206D ．40 6第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、 填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分,把答案填在答题卡的相应位置. 11. 如图，在空间直角坐标系中，BC ＝4，原点O 是BC 的中点，点D 在平面yOz 内，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，则点D 的坐标为 12. 如果点P 在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x ＋y －2≤0，2y －1≥0上，点Q 在曲线x 2＋(y ＋4)2＝1上，那么|PQ |的最小值为13. 椭圆1244922=+y x 上一点P 与椭圆的两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则△21F PF 的面积为14. 正四面体的侧面与底面所成的二面角的余弦值是________15.过点（2,1）作直线ｌ与两坐标轴交于A 、B ，设三角形AOB 的面积为S ，下列说法中正确的有（1）当S =2时，直线l 有2条符合条件的直线, （2）当S =3时，直线l 有3条符合条件的直线, （3）当S =4时，直线l 有4条符合条件的直线, （4）当S =4时，直线l 有3条符合条件的直线, （5）当S =5时，直线l 有4条符合条件的直线。
河南省天一大联考2024_2025学年高二数学上学期阶段性测试试题二文
河南省天一大联考2024-2025学年高二数学上学期阶段性测试试题（二）文考生留意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有－项是符合题目要求的。
1.已知集合A＝{x|x2－5x＋6≥0}，B＝{x|－1≤x<3}，则A∩B＝A.[－1，2]B.[－1，3]C.[2，3]D.[－1，＋∞)2.假如b<a<0，那么下列不等式错误的是A.a3>b3B.|b|>|a|C.ln2a<ln2bD.11 b a <3.命题“∀x∈[2，＋∞)，log2(x－1)>0”的否定为A.∀x∈[2，＋∞)，log2(x－1)<0B.∃x0∈[2，＋∞)，log2(x0－1)≤0C.∀x∈(－∞，2)，log2(x－1)<0D.∃x0∈(－∞，2)，log2(x0－1)≤04.“函数f(x)＝(2a－1)x是增函数”是“a>2”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知{a n}是等差数列，且a2，a4038是函数f(x)＝x2－16x－2024的两个零点，则a2024＝A.8B.－8C.2024D.－20246.已知双曲线C，则该双曲线的实轴长为7.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若(a－b－c)(a－b＋c)＋ab＝0且sinA＝－12，则B＝A.2πB.3πC.4πD.6π 8.已知抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，准线为l ，点M(2，y 0)在抛物线C 上，⊙M 与直线l 相切于点E ，且∠EMF ＝3π，则⊙M 的半径为 A.23 B.43 C.2 D.83 9.函数y =f(x)的导函数y=f'(x)的图象如右图所示，则y =f(x)的图象可能是10.已知函数f(x)的导函数为f'(x)，在(0，＋∞)上满意xf'(x)>f(x)，则下列肯定成立的是A.2024f(2024)>2024/(2024)B.f(2024)>f(2024)C.2024f(2024)<2024f(2024)D.f(2024)<f(2024)11.已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线x －ty ＝0与椭圆E 交于A ，B 两点。
浙江省杭州市2023_2024学年高二数学上学期12月阶段联考试题含解析
考生须知：1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､学号和姓名；考场号､座位号写在指定位置；3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题纸.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1.准线方程为2y =的抛物线的标准方程是（）A.24x y = B.24x y =-C.28x y= D.28x y=-2.直线210x ay +-=和直线()3110a x ay ---=垂直，则a =（）A.1B.12C.1或12D.1或12-3.已知在等比数列{}n a 中，4816a a ⋅=，则6a 的值是（）A.4B.-4C.±4D.164.如图，在三棱台111ABC A B C -中，且112AB A B =，设1,,AB a AC b AA c ===，点D 在棱11B C 上，满足112B D DC = ，若AD xa yb zc =++，则（）A.11,,163x y z === B.111,,632x y z ===C.11,,136x y z === D.111,,362x y z ===5.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且202220230,0S S ><，则下列说法错误的是（）A.10120a < B.10110a >C.数列{}n a 是递减数列D.{}n S 中1010S 最大6.已知圆221:20(0)C x ax y a -+=>，直线:0l x =，圆1C 上恰有3个点到直线l 的距离等于1，则圆1C 与圆222:(1)(1C x y -+=的位置关系是（）A.内切B.相交C.外切D.相离7.已知圆22:(4)1C x y +-=上有一动点P ，双曲线22:197x y M -=的左焦点为F ，且双曲线的右支上有一动点Q ，则PQ QF +的最小值为（）A.1- B.5- C.7D.58.阅读材料：空间直角坐标系O xyz -中，过点()000,,P x y z 且一个法向量为(),,n a b c =的平面α的方程为()()()0000a x x b y y c z z -+-+-=，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面α的方程为21x y z -+=，点()3,1,1Q -，则点Q 到平面α距离为（）A.6B.2C.102D.34二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知()()2,2,2,1,2,1a b =-=-，则下列说法正确的是（）A.()1,4,1a b +=-B.a∥bC.a b⊥D.3cos ,23a ab -=10.已知直线()():2220l mx m y m m R ++--=∈，圆22:(1)(2)25C x y -+-=，点P 为圆C 上的任意一点，下列说法正确的是（）A.直线l 恒过定点()1,1B.直线l 与圆C 恒有两个公共点C.直线l 被圆C 截得最短弦长为D.当1m =-时，点P 到直线l 距离最大值是252+11.已知数列{}{},n n a b 满足()*123111,23n n n a a a a b n N S n++++=∈ 是{}n a 的前n 项和，下列说法正确的是（）A.若2n a n n =+，则232n n nb +=B.若n b n =，则{}n a 为等差数列C.若1n b n =+，则{}n a 为等差数列D.若2nn b =，则()122nn S n =-⋅+12.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线l 与x 轴交于点M ，过M 的直线l 与抛物线C 相交于()()1122,,,A x y B x y 两点，点D 是点A 关于x 轴的对称点，则下列说法正确的是（）A.124y y =- B.4AF BF +的最小值为10C.,,B F D 三点共线D.0MB MD ⋅>三､填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.13.在空间直角坐标系O xyz -中，已知点()()3,1,4,2,1,5M N -，则MN =__________.14.过点()0,0作圆22:430C x y y +-+=的两条切线，切点为A B ､，则劣弧长 AB =__________.15.如图，已知正方形0000A B C D 的边长为2，分别取边00000000,,,D A A B B C C D 的中点1111,,,A B C D ，并连接形成正方形1111A B C D ，继续取边11111111,,,D A A B B C C D 的中点2222,,,A B C D ，并连接形成正方形2222A B C D ，继续取边22222222,,,D A A B B C C D 的中点3333,,,A B C D ，并连接形成正方形3333,A B C D ，依此类推；记011A A B 的面积为1122,a A A B 的面积为2,a ，依此类推，()*1n n n A A B n N -∈ 的面积为n a ，若12310231024n a a a a +++=，则n =__________.16.设12F F ､是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点，点,P Q 为椭圆C 上的两点，且满足21260,2PF Q PF QF ∠==，则椭圆C 的离心率为__________.四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（本题满分10分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12,3,4AB AD AA ===，点,E F 分别为棱1,AB DD的中点，（1）求证：1C F ⊥平面BCF ；（2）求直线1C F 与平面1DEC 所成角的正弦值.18.（本题满分12分）已知数列{}n a 满足11a =，点()*111,n n n N a a +⎛⎫∈⎪⎝⎭在直线210x y -+=上.（1）求证：数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求出{}n a 的通项公式；（2）求满足11635n a ≤≤的n 的取值构成的集合.19.（本题满分12分）已知动点P 与两个定点()()1,0,4,0A B 的距离的比是2.（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）直线l 过点()2,1，且被曲线C 截得的弦长为3，求直线l 的方程.20.（本题满分12分）已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，满足343,10a S ==.数列{}n b 满足12b =，*112,n n n nb a n N b a ++=∈.（1）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（2）设数列{}nc 满足()*1(1)32,n n n n n c n N a b +-+=∈，求数列{}n c 的前n 项和n T .21.（本题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，2,,AB PA E F ==分别为,PB PD 的中点.（1）求平面CEF 与底面ABCD 所成角的余弦值；（2）求平面CEF 与四棱锥P ABCD -表面的交线围成的图形的周长.22.（本题满分12分）已知双曲线C 的中心为坐标原点，上顶点为()0,2，离心率为2.（1）求双曲线C 的渐近线方程；（2）记双曲线C 的上､下顶点为12,,A A P 为直线1y =上一点，直线1PA 与双曲线C 交于另一点M ，直线2PA 与双曲线C 交于另一点N ，求证：直线MN 过定点，并求出定点坐标.2023学年第一学期金华卓越联盟12月阶段联考高二年级数学参考答案命题人：东阳二中吕夏雯陆琳琳；审题人：汤溪中学张拥军一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.D 【解析】242pp =⇒=，又抛物线开口向下，所以抛物线的方程为28,D x y =-正确.2.C 【解析】()()311201a a a a -⋅+⋅-=⇒=或1,C 2a =正确.3.C 【解析】2486616,4,C a a a a ⋅==∴=±正确.4.A 【解析】1111111111111212,,3333AD AA A D A D A B AC AD AA A B AC =+=+∴=++又111111111,,,2263A B a AC b AA c AD a b c ===∴=++ ，A 正确.5.D 【解析】()()120222022101110121011101220221011002a a S a a a a +==+>⇒+>()1202320231012101220232023002a a S a a +==<⇒<，则10110a >所以数列{}n a 单调递减，{}n S 中1011S 最大.D 正确.6.B 【解析】圆上3个点到直线的距离是1，则圆心到直线的距离应是1,12aa a -∴=-，则2a =，圆1C 的圆心为()2,0，半径是2，圆2C 的圆心为(，半径是1，则12C C =，所以两圆的位置关系是相交.B 正确.7.D 【解析】圆心()0,4C ，取双曲线的左焦点()224,0,1,6F PQ QC QF QF ≥-=+ ，则()22216555PQ QF QC QF QC QF CF +≥-++=++≥+=PQ QF ∴+的最小值为5+，D 正确.8.A 【解析】平面α的法向量()1,1,2n =-，在平面α上任取一点()1,0,1A -，则()4,1,0QA =- ，556A 66QA n d n ⋅== 正确.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.ACD 【解析】()1,4,1a b +=- ，选项A 正确，a b λ≠ ，选项B 错误；()()2122210a b -⋅+⋅+⋅-=∴⊥选项C 正确；()12324,2,4cos ,23236a b a a b -=--∴->=⋅，选项D 正确，正确答案是A.C.D 10.ABD 【解析】直线():2220l m x y y +-+-=，所以恒过定点()1,1.选项A 正确；因为定点()1,1在圆C 内，所以直线l 与圆C 恒有两个公共点.选项B 正确；l 被圆C 截得的最短弦长2516-=C 错误；当1m =-时，:0l x y -=，点P 到直线l 的距离的最大值是25522+=+，选项D 正确.正确答案是A.B.D11.ABD 【解析】当2n a n n =+，则11n a n n =+，所以()221322n n n n n b +++==，选项A 正确；已知12311123n a a a a n n++++= ，当1n =时，11a =，当2n ≥时，12311111231n a a a n n -++++=-- ，则(11,1n n a a n n n=∴==时也成立），所以{}n a 为等差数列，选项B 正确；已知123111123n a a a a n n++++=+ ，当1n =时，12a =，当2n ≥时，1231111231n a a a a n n -++++=- ，则(11,1n n a a n n n=∴==时不成立），所以{}n a 不是等差数列，选项C 不正确；已知123111223n n a a a a n++++= ，当1n =时，12a =，当2n ≥时，112311112231n n a a a a n --++++=- ，则1112,2(1n n n n a a n n n--=∴=⋅=时不成立)，所以12,1;2,2n n n a n n -=⎧=⎨⋅≥⎩当1n =时，12S =，1n =时，12112,222322n n a S n -==+⋅+⋅++⋅ ()2122222122n nn S n n -=⋅+⋅++-⋅+⋅ ()()22314122022222212212n n n nnn S n n n ----=++++-⋅=+-⋅=-⋅-- 所以()122,1nn S n n =-⋅+=时也成立，选项D 正确.正确答案是A.B.D 12.CD【解析】设直线:1l x my =-，联立方程组224,4401y x y my x my ⎧=-+=⎨=-⎩，则121244y y m y y +=⎧⎨=⎩，选项A 不正确；221212144y y x x =⋅=，所以()121244114559AF BF x x x x +=+++=++≥=当且仅当2142x x ==时等号成立，所以4AF BF +的最小值为9，选项B 不正确；()11,D x y -，设:l x ny t =+，联立方程组224,440y x y ny t x ny t ⎧=--=⎨=+⎩，则121244y y my y t -+=⎧⎨-=-⎩，所以1t =，即直线BD 过点F ，选项C 正确；对于D 选项，()()22111,,1,MB x y MD x y =+=+-，22121212114214440MB MD x x x x y y m m ∴⋅=+++-=+-++=+>，选项D 正确.正确答案是C.D三､填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.【解析】()1,2,1,MN MN =-∴==.14.23π【解析】圆C ：22(2)1x y +-=，2,63COB COA ACB ππ∠∠∠∴==∴=，故劣弧长23AB π=.15.10【解析】由题意可知三角形的面积构成首项为12，公比为12的等比数列，12311122110231,1012102412nnn a a a a n ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴+++==-=∴=-.16.9【解析】如图，过1F 作12F M QF = ，连接2MF ，因为122PF QF = ，所以12260F PF PF Q ∠∠==，设2QF t =，则11222,,22,2PF t MF t PF a t MF a t ===-=-，在2PMF 中，222222||||PM PF PM PF MF +-=，即22222294846644t a at t at t a at t +-+-+=-+，化简得1210859,,99a t PF a PF a ===，所以1006480221299c t a ==，所以离心率219c a =.四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.【解析】（1）方法一：因为F 是1DD 的中点，所以111112,D F D C FD DC D FC ==== 和FDC 是等腰直角三角形，所以1145D FC CFD ∠∠==，1C F CF ∴⊥，因为BC ⊥平面111,CDD C C F ⊂平面11CDD C ，所以1BC C F ⊥，,BC CF ⊂平面11BCF C F ∴⊥平面BCF方法二：以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，1DD 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，()()()()()()()110,3,0,2,3,0,0,0,2,0,2,4,2,0,0,0,2,2,0,2,2,C B F C CB CF C F ==-=--所以111440,0,C F CF C F CB C F ⋅=-=⋅=∴⊥平面BCF ；（2）()()13,1,0,0,2,4DE DC == ，设平面1DEC 的法向量为(),,n x y z =，则130240DE n x y DC n y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，所以取()2,6,3n =- ，又()10,2,2C F =--，11132sin cos ,14||C F n C F n C F n θ⋅∴==== .直线1C F 与平面1DEC所成角的正弦值为14.18.【解析】（1）由已知得111212121,21111n n n n nn a a a a a a ++++=+∴==++，且11120a +=≠，所以数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，112n n a ∴+=，则1;21n n a =-（2）因为11635n a ≤≤，所以111,52163,626463215n n n ≤≤≤-≤∴≤≤-，得2log 66n ≤≤，又因为*n N ∈，所以n 的取值构成的集合是{}3,4,5,6.19.【解析】（1）设点(),P x y=，化简得2210210x y x +-+=，所以动点P 的轨迹C 的方程为22(5)4x y -+=；（2）由（1）可知点P 的轨迹C 是以()5,0为圆心，2为半径的圆，可计算得圆心()5,0到直线l的距离1d ==，①当直线l 的斜率不存在时，圆心到直线l 的距离是3，不符合条件，②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()12y k x -=-，即210kx y k --+=，所以1d ==，化简得229611k k k ++=+，解得0k =或34k =-，所以直线l 的方程是1y =或34100x y +-=.20.【解析】（1）设数列{}n a 的公差为1123,4610a d d a d +=⎧∴⎨+=⎩，解得11,1,n a d a n ==∴=.()11211,2n n n n b n b n b b n n ++++=∴= ，且121b =，所以n b n ⎧⎫⎨⎩⎭是等比数列，2,2n nn n b b n n∴=∴=⋅（也可用累乘法求{}n b 的通项公式）（2）()()()()1111(1)3211(1)(1)(1)12212212n n n nn n n n n n n c n n n n n n ++++⎛⎫-+--==-+=- ⎪ ⎪+⋅⋅+⋅⋅+⋅⎝⎭，()1111(1)212n n n T n ++∴=---+⋅21.【解析】（1）以A 为原点，以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，平面ABCD 的法向量为()0,0,1m =，()()()()()2,2,0,1,0,1,0,1,1,1,2,1,1,1,0C E F CE EF =--=- ，设平面CEF 的法向量为(),,n x y z = ，所以200CE n x y z EF n x y ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，所以取()1,1,3n = ，所以cos ,||||11m n m n m n ⋅〈〉=== ，所以平面CEF 与底面ABCD所成角的余弦值为11；（2）由对称性可知平面CEF 与棱PA 交于一点，设交点()()40,0,,1,0,1,1330,3Q t QE t QE n t t =-⋅=+-=∴= ，103QE QF ∴==又CE CF ==，所以围成的图形的周长为210263+22.【解析】（1）设双曲线方程为22221(0,0)y x a b a b-=>>，由上顶点坐标可知2a =，则由52c e a ==可得225,1c b c a ==-，双曲线的渐近线方程为2y x =±.（2）由（1）可得()()120,2,0,2A A -，设()()1122,,,M x y N x y ，设直线MN 的方程为y kx m =+，与2214y x -=联立可得()2224240k x kmx m -++-=，且()22Δ1640k m =-+>，则212122224,44km m x x x x k k --+==--，()2212122248,44k m m y y y y k k -+-∴+==--设()1213,1,,A P A P P t k k t t ∴=-=，2111233,4A P A P MA MA MA k k k k k ∴=-=-⋅= ，得2212MA NA k k ⋅=-2221221222441641612,124y y k m m k x x m ++---+-∴⋅=-=--，化简得22(2)3,4m m +=-。
2022-2023学年湖北省鄂东南三校联考高二下学期阶段考试(二)数学试题【含答案】
2022-2023学年湖北省鄂东南三校联考高二下学期阶段考试（二）数学试题一、单选题1．“谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”，节约粮食是我国的传统美德．已知学校食堂中午有2种主食、6种素菜、5种荤菜，小华准备从中选取1种主食、1种素菜、1种荤菜作为午饭，并全部吃完，则不同的选取方法有（ ）A ．13种B ．22种C ．30种D ．60种【答案】D【分析】根据分步乘法计数原理可求出结果.【详解】根据分步乘法计数原理，共有（种）不同的选取方法，26560⨯⨯=故选：D ．2．若直线与直线平行，则实数（ ）．410mx y -+=230x y +-=m =A ．2B ．C ．D ．2-1212-【答案】B【分析】根据直线平行的关系计算求解即可.【详解】解：两直线的斜率分别是，，由两直线平行可知，解得．4m12-142m =-2m =-故选：B ．3．已知数列满足，，则（ ）．{}n a 13a =()111n na n a *+=-∈N 4a =A ．B ．C ．3D ．2312-32【答案】C【分析】根据递推关系直接求解即可.【详解】解：因为，，13a =()111n na n a *+=-∈N 所以，，，．211213a a =-=321112a a =-=-43113a a =-=故选：C4．某班举办古诗词大赛，其中一个环节要求默写《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》，并要求《将进酒》与《望岳》默写次序相邻，则不同的默写次序有（ ）A ．6种B ．12种C ．18种D ．24种【答案】B【分析】根据排列中相邻问题捆绑法即可求解.【详解】可先将《将进酒》与《望岳》捆绑起来看作一个元素，与剩下两首诗词全排列，有种33A 排法，然后捆绑的《将进酒》与《望岳》也有排列，有种排法，根据乘法原理，得种22A 2323A A 12=排法，即不同的默写次序有12种.故选：B.5．若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数（ ）．ln x ay x +=()1,a :250l x y -+==a A ．B ．1C ．D ．21232【答案】C【分析】函数求导，计算，利用切线与直线垂直，求得a 值.()11k f =':250l x y -+=【详解】因为，21ln x ay x --'=所以曲线在点处的切线的斜率为，直线l 的斜率，ln x a y x +=()1,a ()111k f a ='=-22k =由切线与直线l 垂直知，即，解得．121k k =-()211a -=-32a =故选：C ．6．记椭圆：的左顶点为，右焦点为，过点且倾斜角为的直线与C 22221(0)x y a b a b +=>>A F A 30 l 椭圆交于另一点，若，则椭圆的离心率为（ ）C B BF AF ⊥CA B C D 1【答案】A【分析】由条件列关于的方程，由此可求离心率.,,a b c 【详解】因为椭圆的左顶点为，右焦点为，22221x y a b +=A F 所以，()(),0,,0A a F c -因为点在轴上方，又，所以将代入椭圆可得，即，B x BF AF ⊥x c =C 2b y a =2,b B c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭因为直线的倾斜角为，l 30所以，又，2b ac a +222b a c =-化简，所以解得)222a ac a c +-)211e e +=-e =故选：A.7．已知等比数列的前项和为，且，若，，则（ ）{}n a n n S 0n a >68S =1838S =24S =A ．27B ．45C ．65D ．73【答案】C【分析】根据等比数列前项和的性质可得，，，成等比数列，然后根据n 6S 126S S -1812S S -2418S S -等比中项的性质，代入数据求出，进而即可求出答案.1220S =【详解】由等比数列前项和的性质可得，，，成等比数列，n 6S 126S S -1812S S -2418S S -所以有，即，()()212661812S S S S S -=-()()212128838S S -=⨯-整理可得，解得（舍）或.2121282400S S --=1212S =-1220S =又因为，()()()181212624182S S S S S S -=--所以有，解得.()()224(3820)20838S -=--2465S =故选：C.8．已知函数的定义域为R ，为的导函数，且，则不等式()f x ()f x '()f x ()()0xf x f x '+>的解集是（ ）()()()2222x f x x f x ++>A ．B ．()2,1-()(),21,-∞-⋃+∞C ．D ．()(),12,-∞-⋃+∞()1,2-【答案】D 【分析】构造，由导函数得到其单调性，从而由单调性解不等式求出答案.()()g x xf x =【详解】根据题意，构造函数，则，()()g x xf x =()()()0g x xf x f x ''=+>所以函数在R 上单调递增，又，即，()g x ()()()2222x f x x f x ++>()()22g x g x +>所以，即，解得.22x x +>220x x --<12x -<<故选：D.二、多选题9．下列运算错误的是（ ）A ．B ．'2(2)2log e x x='=C ．D ．(sin1)cos1'=31(log )ln 3x x '=【答案】AC【分析】利用基本初等函数的求导公式，逐项计算判断作答.【详解】对于A ，，A 错误；(2)2ln 2x x'=对于B ，，B 正确；11221()2x x -'=='=对于C ，，C 错误；(sin1)0'=对于D ，，D 正确.31(log )ln 3x x '=故选：AC10．某校环保兴趣小组准备开展一次关于全球变暖的研讨会，现有10名学生，其中5名男生5名女生，若从中选取4名学生参加研讨会，则（ ）A ．选取的4名学生都是女生的不同选法共有5种B ．选取的4名学生中恰有2名女生的不同选法共有400种C ．选取的4名学生中至少有1名女生的不同选法共有420种D ．选取的4名学生中至多有2名男生的不同选法共有155种【答案】AD【分析】A 选项只在女生5人中选取4人，直接列式求解；B 选项男、女生选取各2人，则分别选取即可列式求解；C 用间接法列式求解；D 分情况讨论.【详解】选取的4名学生都是女生的不同选法共有种，故A 正确；45C 5=恰有2名女生的不同选法共有=100种，故B 错误；2255C C 至少有1名女生的不同选法共有种，故C 错误；44105C C 205-=选取的4名学生中至多有2名男生的不同选法共有种，故D 正确.041322555555C C C C C C 155++=故选：AD.11．已知抛物线：的焦点为，为上一点，且，直线交于C 22(0)y px p =>F ()4,A n C 5AF =AF C另一点，记坐标原点为，则（ ）B O A ．B ．C ．D ．2p =8n =1(,1)4B -3OA OB ⋅=- 【答案】AD【分析】根据条件先求出抛物线的标准方程，再逐项分析求解.【详解】依题意，抛物线C 的准线为，2:2(0)y px p =>2px =-因为为C 上一点，且，则，()4,A n ||5AF =452pAF =+=解得，故A 正确；2p =可得抛物线C :，焦点为，24y x =()1,0F 因为A 为C 上一点，则4，所以 ，故B 错误；24n =⨯4n =±若，则线的方程为，()4,4A AF ()413y x =-代入，得，整理得，解得或，2:4C y x =()216149x x -=241740x x -+=14x =4x =因为B 与A 分别在x 轴的两侧，可得；1,14B ⎛⎫- ⎪⎝⎭同理：若，可得；()4,4A -1,14B ⎛⎫ ⎪⎝⎭综上所述：或，故C 错误；1,14B ⎛⎫- ⎪⎝⎭1,14B ⎛⎫ ⎪⎝⎭若，则，则；()4,4A ()1,,144,4OB OA ⎛⎫=⎝=- ⎪⎭ 143OA OB ⋅=-=-同理：若，可得；()4,4A -3OA OB ⋅=-故D 正确；故选：AD.12．已知是数列的前项和，，，，则（ ）nS {}n a n ()113202,n n n a a a n n *+--+=≥∈N 11a =24a =A ．583S =B ．数列是等比数列{}1n n aa +-C ．1323n n a -=⋅-D ．3223nn S n =⋅--【答案】ABD【分析】根据递推关系式依次求得数列的前项，加和即可知A 正确；将递推关系式转化为{}n a 5，结合，由等比数列定义可得B 正确；利用累加法可求得C 错误；()112n n n n a a a a +--=-213a a -=采用分组求和的方式，结合等比数列求和公式可求得D 正确.【详解】对于A ，，，，()113202,n n n a a a n n *+--+=≥∈N 11a =24a =，，，3213210a a a ∴=-=4323222a a a =-=5433246a a a =-=，A 正确；51410224683S ∴=++++=对于B ，由得：，()113202,n n n a a a n n *+--+=≥∈N ()112n n n n a a a a +--=-又，数列是以为首项，为公比的等比数列，B 正确；213a a -=∴{}1n n a a+-32对于C ，由B 知：，1132n n n a a -+-=⋅当时，2n ≥()()()()11223211n n n n n n n a a a a a a a a a a -----=-+-+-+⋅⋅⋅+-+=，()()1231112322213321132212n n n n n ------++⋅⋅⋅++=⨯=-+=⋅--又满足，，C 错误；11a =1322n n a -=⋅-()1322n n a n -*∴=⋅-∈N 对于D ，，D 正确.()011123222232322312nn n n S n n n --=++⋅⋅⋅+-=⨯-=⋅---故选：ABD.三、填空题13．已知等差数列的前n 项和为，若，则__________．{}n a n S 785a a +=14S =【答案】35【分析】根据给定条件，利用等差数列性质结合前n 项和公式求解作答.【详解】因为是等差数列，，所以．{}n a 114785a a a a +=+=()1141414352a a S +==故答案为：3514．若圆与圆外切，则________．221:5C x y +=222:480C x y x y m +---=m =【答案】15-【分析】由题意分别求两圆的圆心和半径，根据两圆外切可得，代入运算求解．1212C C r r =+【详解】由题意可得：圆的圆心分别为，半径分别是12,C C 12(0,0),(2,4)C C，)1220r r m ==>-因为圆外切，所以，12,C C 1212C C r r =+．=1520m =->-故答案为：.15-15．在中国空间站某项建造任务中，需6名航天员在天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱这三个舱内同时进行工作，由于空间限制，每个舱至少1人，至多3人，则不同的安排方案共有___________种.【答案】450【分析】安排方案可以分为两类，第一类，每个舱各安排2人，第二类，分别安排3人，2人，1人，结合分堆分配问题解决方法求解即可.【详解】满足条件的安排方案可以分为两类，第一类，每个舱各安排2人，共有（种）不同的方案；2223642333C C C A 90A ⋅=方案二：一个实验舱安排3人，一个实验舱2人，一个实验舱1人，共有（种）不同的方案.32136313C C C A 360=所以共有不同的安排方案.()90360450+=种故答案为：450.16．设函数 在区间[上有零点，则实数的取值范围是___________.()e 2xf x mx =-1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦m 【答案】3e e ,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】参数分离，构造新函数，根据所构造的新函数的值域求解.【详解】令 ，则，函数 在区间[，3]上有零点等价于()e 20x f x mx =-=e 2xm x =()e 2x f x mx =-12直线与曲线在上有交点， y m =()e 2xg x x =1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则 ，当时，单调递减，当 时，单()()'21e 2x x g x x -=1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭()()'0,g x g x ＜(]1,3x ∈()()'0,g x g x ＞调递增，， ，显然， ，()()mine 12g x g ==()1321e e ,326g g ⎛⎫== ⎪⎝⎭132e e 6∴()3e e ,26g x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦即当时，函数在上有零点；m 3e e ,26⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x 1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦故答案为： .3e e ,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦四、解答题17．已知的展开式中前三项的二项式系数和为.nx ⎛⎝37(1)求；n (2)求展开式中的常数项.【答案】(1)；8n =(2).1792【分析】（1）写出前三项二项式系数，根据和为，列方程求出的值；37n （2）利用通项，并令的指数为0，求出常数项．x 【详解】（1）因为的展开式中前三项的二项式系数分别是，，，nx ⎛⎝0C n 1C n 2C n 所以，()012711C C 32C n n n n n n -=+++=+即，2720n n +-=解得或8n =()9n =-舍去（2）的展开式中通项为，8x ⎛ ⎝()()4883188C C 208N kk k k k kk T x x k k --+⎛==-≤≤∈ ⎝，由时，可得，即第7项为常数项，4803k -=6k =所以展开式中的常数项为.()66618C 21792T +=-=18．已知等差数列的前项和为，且.{}n a n 632n S a a =，7499S S a -=+(1)求数列的通项公式；{}n a (2)设数列的前项和为，求.1n S⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T n T 【答案】(1)n a n=(2)21n n T n =+【分析】（1）根据等差数列公式，运用条件列方程求出；1,a d（2）运用裂项相消法求解.【详解】（1）设数列{}的公差为，n a d 由，得 ，解得 ，637492,9a a S S a =-=+()()()111115227214689a d a d a d a d a d ⎧+=+⎪⎨+-+=++⎪⎩11,1a d == ；∴n a n =（2），()()11111,2221n n n n a a n n S S n n ++⎛⎫===- ⎪+⎝⎭ ；11111112212233411n n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+-++-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 综上，.2,1n n na n T n ==+19．已知函数的两个极值点满足.()()323129R f x ax x x a =++-∈12,x x 122x x =-(1)求的值；a (2)求在区间上的最值.()f x []3,3-【答案】(1)2a =-(2)最大值为36，最小值为-16【分析】（1）有2个极值点等价于导函数有2个零点，根据条件运用韦达定理求解；()f x ()'f x （2）根据导函数求出的单调区间，根据单调性以及闭区间两端的函数值求解.()f x 【详解】（1），令，则有2个零点，显然 ，()'23612f x ax x =++()'0f x =()'f x 12,x x 0a ≠由韦达定理得 ，又代入①得： ，121224x x a x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩①②122x x =-1242,x x a a =-=再代入②得： ， ，符合题意，284,2a a a -==-2646120∆=+⨯⨯＞；()3223129f x x x x ∴=-++-（2） ，得下表：()()()'26612621f x x x x x =-++=--+x()3,1---1()1,2-2()2,3()'f x0＜00＞00＜()f x 单调递减极小值-16单调递增极大值11单调递减又，，()336f -=()30f =所以在区间上的最大值为36，最小值为-16；()f x []3,3-综上，，在区间上的最大值为36，最小值为-16.2a =-()f x []3,3-20．如图，在四棱柱中，底面是矩形，平面平面，点是1111ABCD A B C D -ABCD 11AA D D ⊥ABCD E 的中点，.AD 1122A A A D AD AB ====(1)求证：平面平面；1A EB ⊥ABCD (2)求直线与平面所成角的正弦值.1A D 1A BC 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）先证明，根据面面垂直的性质定理证明⊥平面，再由面面垂直判1A E AD ⊥1A E ABCD 定定理证明平面平面； 1A EB ⊥ABCD （2）建立空间直角坐标系，求直线的方向向量与平面的法向量，利用空间向量夹角公式1A D 1A BC 求直线与平面夹角.1A D 1A BC【详解】（1）因为，点是的中点，所以，11A A A D =E AD 1A E AD ⊥又平面平面，平面平面，11AA D D ⊥ABCD 11AA D D ABCD AD =平面，1A E ⊂11AA D D 所以⊥平面ABCD ，又平面，1A E 1A E ⊂1A EB 所以平面平面；1A EB ⊥ABCD （2）取的中点，连结，BC F EF 因为四边形为矩形，且，ABCD 22AD AB ==所以四边形为正方形，，CDEF EF AD ⊥以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，E EF ED 1EA x yz 则，()()()(11,1,0,1,1,0,0,1,0,B C D A -所以，()((110,2,0,,0,1,BC BA A D ==-= 设平面的法向量，1A BC (),,m x y z = 则 有，即，100m BC m BA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩200y x y =⎧⎪⎨-++=⎪⎩令，则1z =0,y x ==所以平面的一个法向量，1A BC )m = 设直线与平面所成角为，1A D 1A BC θ则1sin cos ,m A θ= 直线与平面1A D 1A BC21．已知双曲线是上一点.()2222:10,0x y C a b a b -=>>()4P C (1)求的方程；C (2)已知直线与交于两点，为坐标原点，若，判断直线是():0l y kx m m =+>C ,E F O 4OE OF ⋅= l 否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.【答案】(1)22124x y -=(2)直线恒过定点l(0,【分析】（1）根据离心率、双曲线关系和双曲线所过点可构造方程求得，进而得到双曲,,a b c 22,ab 线方程；（2）将直线方程与双曲线方程联立可得韦达定理的结论，代入向量数量积的坐标运算中，整理可求得.m =【详解】（1）双曲线的离心率，，则， C ==c e a 22223c a b a ∴=+=222b a =又为上一点，，解得：，，()4P C 22101612a a ∴-=22a =24b ∴=双曲线的方程为：.∴C 22124x y -=（2）设，，()11,E x y ()22,F x y 由得：，22124y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩()2222240k x kmx m ----=，则；()()2222220Δ44240k k m k m ⎧-≠⎪∴⎨=+-+>⎪⎩222224k m k ⎧≠⎨>-⎩，，12222km x x k ∴+=-212242m x x k +=--()()()()221212121212121OE OF x x y y x x kx m kx m k x x km x x m ∴⋅=+=+++=++++ ，()()2222222142422k m k m m k k ++=-++=--整理可得：，又，，则212m =0m >m ∴=:l y kx =+直线恒过定点.∴l (0,22．已知函数，.()()ln f x x x a =-a ∈R (1)若函数在上单调递增，求a 的取值范围；()f x []1,4(2)若，求证：.0a >()()2ln f x x x a ≤--【答案】(1)；(,1]-∞(2)证明见解析.【分析】（1）对求导后，问题转化为在[1,4]上恒成立，进而求得的最小值即可()f x ()0f x '≥()f x '求解；（2）由可得只需证明，令，求导后求得0x >ln 2ln x a x a -≤--()2ln ln g x x a a x =+---；令，求导后求得，从而可得，()(1)1ln g x g a a ≥=--()1ln (0)h a a a a =-->()(1)0h a h ≥=()0g x ≥问题得证.【详解】（1），因为函数在[1,4]上单调递增，()ln 1=-+'f x x a ()f x 所以在[1,4]上恒成立，()0f x '≥又在[1,4]上单调递增，所以，()ln 1=-+'f x x a min ()1f x a '=-+所以，解得，所以的取值范围是.10a -+≥1a ≤a (,1]-∞（2）因为，所以要证，只需证，0,0a x >>()(2ln )f x x x a ≤--ln 2ln x a x a -≤--令，则.()2ln ln g x x a a x =+---11()1x g x x x -'=-=当时，，函数单调递减；01x <<()0g x '<()g x 当时， ，函数单调递增.1x >()0g x '>()g x 所以，()(1)1ln g x g a a ≥=--令，则，()1ln (0)h a a a a =-->11()1a h a a a -'=-=当时，单调递减，当时，单调递增.01a <<()0,()h a h a '<1a >()0,()h a h a '>所以时，取最小值, 则,1a =()h a ()(1)0h a h ≥=所以时，，因此.0a >()0h a ≥()0g x ≥所以.()(2ln )f x x x a ≤--。
广东省深圳市龙华高级中学格致中学2022-2023学年高二下学期5月段考数学试题
龙华高级中学、格致中学2022—2023学年下学期5月段考试卷高二数学注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮檫干净后，再选涂其他答案.3. 非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上；如需改动，划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 在数学测验中，某校学生的成绩服从正态分布()2110,N σ，则下列结论中不正确的是（ ） （参考数据：若()2~,X N µσ，则()0.6827P X µσµσ−≤≤+≈，(22)0.9545P X µσµσ−≤≤+≈，(33)0.9973P X µσµσ−≤≤+≈.）A. 这次测试的平均成绩为110B.σ越小，测试成绩在()100,120内的概率越大C. 测试成绩小于100分和大于120分的概率相等D. 当20σ=时，测试成绩小于130分的概率为0.6827 2. 曲线()ln f x x x x =−在(),0a 处的切线方程为（ ） A. 0y =B. y x =C. e y x =−D. e y x =−+3. 已知等比数列{}n a 的公比为q ，且116a ，24a ，3a 成等差数列，则q 的值是（ ） A. 5B. 4C. 3D. 24. 有7件产品，其中4件正品，3件次品，现不放回从中取2件产品，每次一件，则在第一次取得次品的条件下，第二次取得正品的概率为（ ） A.47B.23C.13D.165. 已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占80%，乙厂产品占20%，甲厂产品的合格率是75%，乙厂产品的合格率是80%，则从该地市场上买到一个合格产品的概率是（ ） A. 0.95B. 0.8C. 0.76D. 0.756. 现要从A ，B ，C ，D ，E 这5人中选出4人，安排在甲、乙、丙、丁4个岗位上，如果A 不能安排在甲岗位上，则安排的方法有（ ）A. 56种B. 64种C. 72种D. 96种7. 若1x ，2x 是函数321()1(0,0)3f x x ax bx a b =+++>>的导函数的两个不同零点，且1x ，2x ，2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则a b +=（ ）A. 132B. 92C. 52D. 48. 已知当1x >时，关于x 的不等式1ln a x a x++>恒成立，则实数a 的值不可能是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.）9. 已知()1nx +的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则（ ） A. 8n =B. ()1nx +的展开式中2x 项的系数为56 C. 奇数项的二项式系数和为128D. ()21nx y+−的展开式中2xy 项的系数为5610. 袋子中装有大小、形状完全相同的6个白球和4个黑球，现从中有放回地随机取球3次，每次取一个球，每次取到白球得0分，黑球得5分，设3次取球总得分为X ，则（ ） A. 3次中恰有2次取得白球的概率为36125B. 44(5)125P X >= C. ()6E X =D. ()1825D X =11. 已知数列{}n a 满足11a =，112,2,nn n n n a n a a n ++ − = + 为奇数为偶数，则下列说法正确的是（ ） A. 37a = B. 20222a a = C. 202320232a = D. 23213265n n S n ++=−−12. 设函数e (21)()x x f x x+=，则（ ） A. ()12e f ′=B. 函数()f x 的图象过点11,e −的切线方程为1ey =C. 函数()f x 既存在极大值又存在极小值，且其极大值大于其极小值D. 方程()f x k =有两个不等实根，则实数k的取值范围为()10,e +∞第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13. 已知在备选的10道题中，甲能答对其中的5道题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2道题才算合格，则甲合格的概率为______.14. 将8个人分成三组，其中一组由2人组成，另外两组都由3人组成，则不同的分组方法种数为______. 15. 若前n 项和为n S 的等差数列{}n a 满足712812a a a +=−，则17S =______.16. 已知函数(1)e ,0()ln ,0x x x f x x x x+≤= > ，函数2()()(2)()2g x f x a f x a =−++，若函数()g x 恰有三个零点，则a 的取值范围是______.四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos 2a Bc b =+，ABC △的面积为（1）求A ；（2）若2b c −=，求ABC △的周长.18. 已知各项都是正数的数列{}n a ，前n 项和n S 满足()2*2n n n a S a n =−∈N .（1）求数列{}n a 的通项公式.（2）记n P 是数列1n S 的前n 项和，n Q 是数列112n a −的前n 项和.①求n P 和n Q ；②当2n ≥时，试比较n P 与n Q 的大小.19. 如图，在正三棱柱111ABC A B C −中，2AB =，D 是棱AB 的中点.（1）证明：平面1A CD ⊥平面11ABB A ；（2）若[]11,2AA ∈，求平面1ACD 与平面11A CC 的夹角余弦值的取值范围. 20. 课外体育活动中，甲、乙两名同学进行投篮游戏，每人投3次，投进一次得2分，否则得0分.已知甲每次投进的概率为12，且每次投篮相互独立；乙第一次投篮，投进的概率为12，从第二次投篮开始，若前一次投进，则这次投进的概率为35，若前一次没投进，则这次投进的概率为25.（1）求甲3次投篮的得分超过3分的概率； （2）乙3次投篮的得分为X ，求X 的分布列和期望.21. 已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>1F 、2F ，P 为C 的上顶点，且12PF F △的周长为4+. （1）求椭圆C 的方程；（2）设过定点()0,2M 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A 、B ，且AOB ∠为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围.22. 已知函数2()ln 2(0)f x ax x x x a =−−>. （1）若4a =，求()f x ′的极值；（2）()()2g x f x x =+，若函数()g x 有两个零点1x ，2x ，且21e x x >，求证：()12ln ln 3a x x +⋅>.龙华高级中学、格致中学2022—2023学年下学期5月段考高二数学答案一、选择题1.【答案】D【详解】对于A 选项：正态分布()2,N µσ中，括号里面表示随机变量服从均值为µ，方差为2σ的正态分布，因为成绩服从正态分布()2110,N σ，所以A 是正确的.对于B 选项：正态分布中根据密度曲线特点，数据集中在均值附近，方差（或标准差）越小越稳定，曲线越“瘦高”，数据越集中，所以σ越小，测试成绩在()100,120内的概率越大，所以B 是正确的.对于C 选项：根据正态曲线对称特点，测试成绩小于100分和大于120分的概率相等，所以C 是正确的. 对于D 选项：当20σ=时，测试成绩小于130分的概率为0.84135，所以D 错误. 2.【答案】C【详解】由题意ln 0a a a −=，解得e a =.由()ln f x x x x =−，得()ln f x x ′=，则()e 1f ′=，又()e 0f =， ∴曲线()ln f x x x x =−在(),0a 处的切线方程为e y x =−.3.【答案】B【详解】等比数列{}n a 的公比为q ，116a ，24a ，3a 成等差数列，则132168a a a +=， 即21118160a q a q a −+=，整理得()240q −=，解得4q =，所以q 的值是4. 4.【答案】B【详解】设第一次取得次品为事件A ，第二次取得正品为事件B ， 则342()767P AB ×==×，363()767P A ×==×，所以()()272()733P AB P B A P A ==×=. 5.【答案】C【详解】设买到的灯泡是甲厂产品为事件A ，买到的灯泡是乙厂产品为事件B ， 则()0.8P A =，()0.2P B =，记事件C ：从该地市场上买到一个合格灯泡，则()0.75P C A =，()0.8P C B =，所以()()()()()()()0.80.750.20.80.76P C P AC P BC P A P C A P B P C B =+=+=×+×=. 6.【答案】D【分析】根据A 是否入选进行分类讨论即可求解. 【详解】由题意可知：根据A 是否入选进行分类：若A 入选：则先给A 从乙、丙、丁3个岗位上安排一个岗位有13C 3=种，再给剩下三个岗位安排人有34A 43224=××=种，共有32472×=种方法； 若A 不入选：则4个人4个岗位全排有44A 432124=×××=种方法， 所以共有722496+=种不同的安排方法. 7.【答案】A【详解】∵2()2f x x ax b ′=++，∴1220x x a +=−<，120x x b =>， 所以1x ，2x 为两个不等的负数，不妨设120x x <<，则必有1x ，2x ，2成等差数列，1x ，2，2x 成等比数列，故有2122x x =+，124x x =，解得14x =−，21x =−，可得52a =，4b =，132a b +=. 8.【答案】D【分析】化为ln 10x x ax a −++>恒成立，构造函数()ln 1(1)f x x x ax a x =−++>，求导后讨论a ，当1a ≤时，()()10f x f >=，符合题意；当1a >时，求出()f x 的最小值()11min ()e e 1a a f x f a −−==−++，化为1e 10a a −−++>，再构造函数1()e 1(1)a g a a a −=−++>，利用导数可得结果.【详解】当1x >时，关于x 的不等式1ln a x a x++>恒成立，即ln 10x x ax a −++>恒成立， 令()ln 1(1)f x x x ax a x =−++>，则()ln 1f x x a ′=+−，当10a −≥，即1a ≤时，由1x >，得ln 0x >，所以()0f x ′>，所以()f x 在()1,+∞上为增函数，所以()()10f x f >=，符合题意； 当10a −<，即1a >时，由()0f x ′<，得10e a x −<<，由()0f x ′>，得1e a x −>， 所以()f x 在()10,e a −上为减函数，在()1e ,a −+∞上为增函数，所以()11111min ()e e ln e e 1e 1a a a a a f x f a a a −−−−−==−⋅++=−++，所以只需1e 10a a −−++>即可， 设1()e 1(1)a g a a a −=−++>，则1()e 1a g a −′=−+， 当1a >时，1e 1a −>，所以()0g a ′<，所以()g a 在()1,+∞上为减函数，因为(2)e 30g =−+>，2(3)e 40g =−+<，所以存在()02,3a ∈，使得()00g a =， 当01a a <<时，()0g a >，当0a a >时，()0g a <，要使()1e ()0a f g a −=>，只需0a a <，结合选项可知，实数a 的值不可能是3.二、多项选择题9.【答案】AC【详解】因为(1)n x +的展开式通项为1C C k k k k r n n T x x +==， 所以(1)n x +的展开式的第1k +项的二项式系数为C kn， 所以26C C n n =，解得8n =，A 正确；2x 的系数为28C 28=，B 错误；奇数项的二项式系数和为1722128n −==，C 正确；根据二项式定理，()821x y+−表示8个()21x y +−相乘，所以()21x y +−中有1个选择x ，1个选择2y −，6个选择1， 所以()21nx y+−的展开式中2xy 项的系数为11787C C (1)56−=−，D 错误. 10.【答案】BC【详解】设3次取球取到白球的个数为ξ，每次取到白球的概率63105P ==， 由题意可得：3~3,5B ξ，且05(3)155X ξξξ=×+−=−，对于A ：2233254(2)C 55125P ξ ==××=，故A 错误； 对于B ：令1555X ξ=−>，解得2ξ<，故0ξ=或1ξ=，所以[](5)(0)(1)1(3)(4)P X P P P P ξξξξ>==+==−=+=35434411255125 =−+=，故B 正确；对于C ：因为39()355E ξ=×=，所以9()(155)155()15565E X E E ξξ−−−×，故C 正确；对于D ：因为3318()315525D ξ=××−=，所以18()(155)25()251825D X D D ξξ=−==×=，故D 错误.11.【答案】ABD【详解】2121a a =−=−，33227a a =+=，故选项A 正确； 对于*k ∈N ，有2122212k k k a a +++=−，212122k k k a a ++=+， 两式相加，得222k k a a +=，则202220202a a a === ，故选项B 正确；由222k k a a +=，知2022202021a a a ====− ，则2023202320232022212a a =+=−+，故选项C 错误； 由偶数项均为－1，可得n 为偶数时，1112n n a ++=−+，则()()()35212112345211(1)12(1)1212n n n S a a a a a a +++=++++++=+−+−++−+−+++−+()223352128122651(1)(2)22221123n n n n n n ++−−−=+−×++++=−++=− ， 则23213265n n S n ++=−−，故选项D 正确. 12.【答案】AD【详解】由题意可知22e (21)e (21)e ()(21)(1)x x x x x x x f x x x x x ′′ +−+ ′==−+， 对于A ，由2e ()(21)(1)xf x x x x′=−+，得12e (1)(211)(11)2e 1f ′=×−+=，故A 正确；对于B ，设切点为0001,e 2x x x +，()()()000020e 211x k f x x x x −+， 切线方程()()()00002001e e 2211x x y x x x x x x −+=−+−， 代入点11,e− ，得()()()0000020011e e 22111e x x x x x x x −+=−+−−，化简整理得()032200001e 210e x x x x x +−−+=，令()()0322000001e 21ex h x x x x x =+−−+，(1)0h −=，所以函数()f x 在11,e −的切线方程为1ey =，因为11024e h+<，1(1)e 0e h =+>，函数()0h x 图象连续不断，所以存在01,12x ∈ ，使得()00h x =，所以过点11,e − 的直线与函数()f x 在1,12之间存在切点，过点11,e − 的切线不止一条，故B 错误；对于C ，()f x 的定义域为()(),00,−∞+∞ ，令()0f x ′=，即2e (21)(1)0x x x x −+=，解得1x =−，或12x =， 当1(,1),2x ∈−∞−+∞时，()0f x ′>，当1(1,0)0,2x∈−时，()0f x ′<， 所以()f x 在(),1−∞−和1,2 +∞上单调递增，在()1,0−和10,2上单调递减. 当1x =−时，()f x 取得极大值为[]1e 2(1)11(1)(1)ef −×−+−==−， 当12x =时，()f x取得极小值为121e 2112122f ×+==因为1e<C 错误； 对于D ，由C 选项知，作出()f x 的图象如图所示，要使方程()f x k =有两个不等实根，只需要y k =与()f x 有两个交点，由图可知，10,)e k ∈+∞ ，所以实数k的取值范围为10,)e +∞.故D 正确.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题13.【答案】12【详解】从10道题中抽取3道题的取法有310C 120=种，至少抽到甲能答对的5道题中的两道题的取法有213555C C C 60+=，所以概率为6011202=. 14.【答案】280【详解】先从8个人中选出3人为一组，再从5人中选出3人为一组，剩余两人为一组.满足条件的分组方法种数为33285222C C C 5610280A 2×==.15.【答案】68【详解】解：由等差数列的性质知712910a a a a +=+， 因为前n 项和为n S 的等差数列{}n a 满足712812a a a +=−， 所以712910812a a a a a +=+=−，即891012a a a ++=， 所以94a =，所以()117917917172176822a a a S a +×====. 16.【答案】211,00,e e−【详解】①当0x ≤时，()(1)e xf x x =+，所以()e (1)e (2)e xxxf x x x ′=++=+， 当2x <−时，()0f x ′<，函数()f x 在(),2−∞−上单调递减， 当20x −<≤时，()0f x ′>，函数()f x 在(]2,0−上单调递增，且()01f =，()22e f −−=−，()10f −=，当1x <−时，()0f x <，当10x −<≤时，()0f x >， 当x →−∞时，与一次函数1y x =+相比，函数e xy −=呈爆炸性增长， 从而1()0exx f x −+=→，()0f x ′→， ②当0x >时，ln ()x f x x =，21ln ()xf x x −′=， 当0e x <<时，()0f x ′>，函数()f x 在()0,e 上单调递增，当e x <<+∞时，()0f x ′<，函数()f x 在()e,+∞上单调递减，且()1e ef =，()10f =， 当1x >时，()0f x >，当01x <<时，()0f x <，当x →+∞时，与对数函数ln y x =相比，一次函数y x =呈爆炸性增长， 从而ln ()0x f x x=→，()0f x ′→，当0x >，且0x →时，ln ()xf x x =→+∞， 根据以上信息，可作出函数()f x 的大致图象如下：函数2()()(2)()2g x f x a f x a =−++的零点个数与方程2()(2)()20f x a f x a −++=的解的个数一致， 方程2()(2)()20f x a f x a −++=，可化为()()()()20f x f x a −−=，所以()f x a =或()2f x =， 由图象可得()2f x =没有解，方程2()(2)()20f x a f x a −++=的解的个数与方程()f x a =解的个数相等，而方程()f x a =的解的个数与函数()y f x =的图象与函数y a =的图象的交点个数相等， 由图可知：当211,00,e e a∈−时，函数()y f x =的图象与函数y a =的图象有3个交点. 四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.【答案】（1）23π；（2）6+【详解】（1）由正弦定理得，2sin cos 2sin sin A B C B =+，A B C π++=，∴2sin cos 2sin cos 2cos sin sin A B B A B A B =++，由sin 0B >可得1cos 2A =−，又0A π<<，∴23A π=.……5分（2）由题意可得1sin 2bc A =8bc =，又2b c −=，∴42b c = =，由余弦定理得22212cos 164242282a b c bc A+−+−×××−，∴a =∴ABC △的周长为6+……5分18.【详解】（1）当1n =时，211112a S a a −，所以11a =或10a =（舍去），当2n ≥时，有2211122n n n n n n a S a a S a −−−=−=−，两式相减得221112n n n n n n n a a a a a a a −−−−=−+=+， 整理得()()111n n n n n n a a a a a a −−−+−=+，因为{}n a 的各项都是正数，所以11n n a a −−=，所以{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列，所以11(1)n a n n =+⋅−=；……5分 （2）由（1）得(1)2n n n S +=，则12112(1)1n S n n n n ==− ++，所以12111111111212122311n n P S S S n n n=+++=−+−++−=− ++，由（1）得111122n a n −−=， 所以2111111121211222212nn n n Q − −=++++==− −，……10分因为(1)2(11)110(2)2n n n n n n n +=+=+++>+>≥ ， 所以1121n n <+，故111121n n−>−+，所以当2n ≥时，n n P Q <.……12分 19.【详解】（1）证明：在正三棱柱中，1AA ⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ， 所以1AA CD ⊥.因为AC BC =，且D 是棱AB 的中点，所以CD AB ⊥. 因为AB ，1AA ⊂平面11ABB A ，且1AB AA A = ，所以CD ⊥平面11ABB A . 又因为CD ⊂平面1ACD ，所以平面1A CD ⊥平面11ABB A .……5分 （2）解：分别取AC ，11A C 的中点O ，E ，连接OE ，OB ，由正三棱柱性质得1AO A E =，1AO A E ∥，所以四边形1AOEA 为平行四边形，所以1AA OE ∥，因为1AA ⊥平面ABC ，所以OE ⊥平面ABC ， 因为AC ，OB ⊂平面ABC ，所以OE AC ⊥，OE OB ⊥，因为在等边三角形ABC 中，OB AC ⊥， 所以OB ，OC ，OE 两两垂直，如图建立空间直角坐标系，……7分 设()112AA t t =≤≤，则()0,1,0C，1,02D−，()10,1,A t −，()10,2,A Ct =−，3,02CD=−， 设平面1ACD 的法向量(),,n x y z =，则120302n A C y tz n CD x y ⋅=−=⋅=−=， 令2z =，y t =，x =，得),,2n t =，……9分平面11A CC 的一个法向量()1,0,0m =，设平面1ACD 与平面11A CC 夹角为α，则c os m n m n α==⋅=⋅11分 因为12t ≤≤，所以cos α∈.……12分20.【详解】（1）甲3次投篮投进的次数为ξ，则1~3,2B ξ，故甲3次投篮的得分超过3分的概率23231111(2)(3)C 12222P P P ξξ ==+==××−+= .……4分（2）记“乙第()1,2,3i i =次投篮投进”为事件i A ，1,2,3i =， 由题意可得：X 的可能取值为0，2，4，6，则有：()()()1231229(0)11125550P X P A P A P A ===−×−×−=，()()()()()()()()()123123123(2)P X P A P A P A P A P A P A P A P A P A ==++132123122811111125525525525=×−×−+−××−+−×−×= ， ()()()()()()()()()123123123(4)P X P A P A P A P A P A P A P A P A P A ==++133132123811125525525525 =××−+×−×+−××= ， ()()()1231339(6)25550P X P A P A P A ===××=， 所以X 的分布列为：21.【分析】（1）由椭圆的定义以及离心率可得出a 、c 的值，进而可求得b 的值，由此可得出椭圆C 的方程；（2）分析可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为2y kx =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，由0∆>结合0OAOB ⋅>可求得k 的取值范围.【详解】（1）设椭圆C的半焦距为c .因为12PF F △的周长为1212224PF PF F F a c ++=+=+因为椭圆C c a = 由①②解得2a =，c =则1b =，所以椭圆C 的方程为2214x y +=.……4分（2）若直线l x ⊥轴，此时，直线l 为y 轴，则A 、O 、B 三点共线，不合乎题意， 设直线l 的方程为2y kx =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立()22221141612042x y k x kx y kx +=⇒+++= =+ ，()()222(16)4411216430k k k ∆=−+×=−>，解得234k >， 由韦达定理可得1221641kx x k +=−+，1221241x x k =+，……8分则()()()2121212122224y y kx kx k x x k x x =++=+++，又AOB ∠为锐角，A 、O 、B 不共线，则cos 0AOB ∠>，即()()212121212124OA OB x x y y k x x k x x ⋅=+=++++ ()2222221213216416404141k k k k k k +−++−=>++，解得204k <<，所以，2344k <<，解得2k −<<2k <<，所以实数k 的取值范围为2,2−.……12分22.【分析】（1）求出函数()f x 的导数()f x ′，再利用导数求出()f x ′的极值作答. （2）根据函数零点的意义，转化为线1y a=与函数()ln x x x ϕ=图象有两个交点，求出e a >，再借助零点建立两个方程消去a ，构造函数证明12ln 2x x >即可作答.【详解】（1）当4a =时，2()4ln 2f x x x x x =−−定义域为()0,+∞， 求导得()4(1ln )224ln 22f x x x x x ′=+−−=−+， 令()4ln 22h x x x =−+，求导得4()2h x x′=−， 当02x <<时，()0h x ′>，当2x >时，()0h x ′<， 即函数()h x 在()0,2上单调递增，在()2,+∞上单调递减，当2x =时，()h x 取得极大值()24ln 22h =−，无极小值，所以()f x ′的极大值为4ln 22−，无极小值.……4分（2）依题意，2()ln g x ax x x =−，0x >，因为函数()g x 有两个零点1x ，2x ，且21e x x >， 而0a >，则21ln ()0ln 0xg x ax x x a x=⇔−=⇔=，因此函数()g x 的两个零点1x ，2x ，分别是直线1y a =与函数ln ()x x xϕ=图象的两个交点横坐标， 21ln ()xx xϕ−′=，当0e x <<时，()0x ϕ′>，当e x >时，()0x ϕ′<， 则函数ln ()x x xϕ=在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减，max 1()e x ϕ=， 而()10ϕ=，1x >时，恒有()0x ϕ>，于是110ea <<，即e a >.……8分令21e x t x =>，显然有122111221221ln ln ln ln a x x x x a x x x a x x a x x x =+ = ⇔ =−=， 则有2212121222122111ln ln ln ln 11x x x x x x t x x t x x x x x t x +++=⋅=⋅=−−−，令2(1)4()ln ln 211t F t t t t t −=−=+−++，e t >，22214(1)()0(1)(1)t F t t t t t −′=−=>++，即函数()F t 在()e,+∞上单调递增，4()(e)10e 1F t F >=−>+， 即有2(1)ln 1t t t −>+，从而121ln ln 21t x x t t +=>−，又ln 1a >，所以12ln ln 3a x x +>.……12分。
山东省枣庄市第三中学2022-2023学年高二10月阶段检测数学试题及答案
枣庄三中高二年级10月阶段检测考试数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分150分，考试用时120分钟。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡和答题纸规定的地方。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设x ，y R ∈，向量(a x = ，1，1)，(1b = ，y ，1)，(2c = ，4-，2)，且a c ⊥ ，//b c，则||(a b += )A ．B C ．4D ．32．若直线30x my ++=与直线460mx y ++=平行，则(m =)A ．12B ．12-C ．12或12-D ．不存在3.在正四面体ABC P -中，棱长为2，且E 是棱AB 的中点，则PE BC ⋅的值为（）A ．-1B ．1C ．3D ．374.直线04cos =++y x α的倾斜角的取值范围（）A ．[)π,0B ．⎪⎭⎫⎝⎛⋃⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ,24,0C ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡⋃⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ,434,0D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π5.如图所示,在棱长为1的正方体ABCD-A1B 1C 1D 1中,E,F 分别为棱AA 1,BB 1的中点,G 为棱A 1B 1上的一点,且A 1G =λ(0≤λ≤1),则点G 到平面D 1EF 的距离为()A B .22C .23D .556.已知长方体1111ABCD A B C D -中，1B C ，1C D 与底面ABCD 所成的角分别为60 和45 ，则异面直线1B C 和1C D 所成角的余弦值为A .4B .14C .6D .67.如图，等边三角形ABC 的边长为4，M ，N 分别为AB ，AC 的中点，沿MN 将△AMN 折起，使得平面AMN 与平面MNCB 所成的二面角为30°，则四棱锥A －MNCB 的体积为A .32B .32C .D .38.已知点o2,−3)，o −3,−2)．若直线G m +−−1=0与线段B 相交，则实数的取值范围是（）A ．3,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．[)3,4,4⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦D ．34,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)9．有下列四个命题，其中正确的命题有()A ．已知A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则0AB BC CD DA +++=B ．若两个非零向量,AB CD 满足AB CD +=0 ，则AB CDC ．分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量可以是共面向量D ．对于空间的任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP xOA yOB zOC =++(x ，y ，z ∈R)，则P ，A ，B ，C 四点共面10.已知直线G m ++1=0，1,0，3,1，则下列结论正确的是（）A ．直线l 恒过定点0,1B ．当=0时，直线l 的斜率不存在C ．当=1时，直线l 的倾斜角为34D．当=2时，直线l 与直线B 垂直11.如图，PA ⊥平面ABCD ，正方形ABCD 边长为1，E 是CD 的中点，F 是AD 上一点，当BF ⊥PE 时，则()A ．AF ∶FD ＝1∶1B ．AF ∶FD ＝2∶1C ．若PA ＝1，则异面直线PE 与BC 所成角的余弦值为23D ．若PA ＝1，则直线PE 与平面ABCD 所成角为30°12.在棱长为1的正方体中1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1AD 上运动，则下列命题正确的是（）A ．异面直线1C P 和1CB 所成的角为定值B ．直线CD 和平面1BPC 平行C ．直线CP 和平面11ABCD 所成的角为定值D ．三棱锥1D BPC -的体积为定值.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13.已知(1A ，2，0)，(3B ，1，2)，(2C ，0，4)，则点C 到直线AB 的距离为_____.14.如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC A 1B 1C 1，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为________．15.若A (a ，0)，B (0，b )，C (2-，2-)三点共线，则11a b+=.16.在空间直角坐标系中，定义：平面α的一般方程为)0,,,,(0222≠++∈=+++C B A R D C B A D Cz By Ax ,点),,(000z y x P 到平面α的距离222000CB A DCz By Ax d +++++=,则在底面边长与高都为2的正四棱锥中，底面中心O 到侧面的距离等于________.四、解答题(本大题共6题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)在三角形ABC 中，已知点A (4，0)，B (－3，4)，C (1，2)．(1)求BC 边上中线所在的直线方程；(2)若某一直线过B 点，且y 轴上截距是x 轴上截距的2倍，求该直线的一般式方程．18．(12分)如图，四面体ABCD 中，E ，F 分别为AB ，DC 上的点，且AE ＝BE ，CF ＝2DF ，设DA DB DC ===a,(1)以{}a,b,c 为基底表示FE；(2)若∠ADB ＝∠BDC ＝∠ADC ＝60°，且433DA DB DC == =,,，求FE.19．(12分)如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，M 是PA 的中点，PD ⊥平面ABCD ，且4PD CD ==，2AD =．（1）求AP 与平面CMB 所成角的正弦．（2）求二面角M CB P --的余弦值．20.(12分)已知两直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4(0<a <2)与两坐标轴的正半轴围成四边形．当a 为何值时，围成的四边形面积取最小值？并求最小值．21．(12分)如图所示,在直三棱柱ABC -A1B 1C 1中,∠ABC =90°,BC =2,CC 1=4,EB 1=1,D ,F ,G 分别为CC 1,B 1C 1,A 1C 1的中点,EF 与B 1D 相交于点H .(1)求证:B 1D ⊥平面ABD .(2)求证:平面EGF ∥平面ABD .(3)求平面EGF 与平面ABD 的距离.22．(12分)如图，已知SA 垂直于梯形ABCD 所在的平面，矩形SADE 的对角线交于点F ，G 为SB 的中点，2ABC BAD π∠=∠=，112SA AB BC AD ====.(1)求证：BD //平面A E G ；(2)求平面SCD 与平面ESD 夹角的余弦值；(3)在线段EG 上是否存在一点H ，使得BH 与平面SCD 所成角的大小为6π？若存在，求出GH 的长；若不存在，说明理由.枣庄三中高二年级10月阶段检测考试数学答案一单选题DBAC DAAC 二、多项选择题9.BD 10.BD 11.AC 12.ABD 三、填空题13.14.5515.12-16.552四、解答题(17.（1）∵B （－3，4），C （1，2），∴线段BC 的中点D 的坐标为（－1，3），…………………………………………………2分又BC 边上的中线经过点A （4，0），∴y =x －4），即3x +5y －12＝0，故BC 边上中线所在的直线方程3+5−12=0.…………………………………………5分（2）当直线在x 轴和y 轴上的截距均为0时，可设直线的方程为y ＝kx ，代入点B （－3，4），则4＝－3k ，解得k =−43，所以所求直线的方程为y =−43x ，即4x +3y ＝0；……………………………………………7分当直线在x 轴和y 轴上的截距均不为0时，可设直线的方程为+2=1，代入点B （－3，4），则−3+42=1，解得m =−1，所以所求直线的方程为2x +y +2＝0，………………………………………………………9分综上所述，该直线的一般式方程为4x +3y ＝0或2x +y +2＝0．……………………………10分18.如图所示，连接DE .因为FE ―→＝FD ―→＋DE ―→，FD ―→＝－DF ―→＝－13DC ―→，DE ―→＝12(DA ―→＋DB ―→)，所以FE ―→＝12a ＋12b －13c .………………………………………………………6分|FE ―→|2＋12b －13c ＝14a 2＋14b 2＋19c 2＋12a ·b －13a ·c －13b ·c ＝14＋14×＋19×＋12×××12－13×××12－13×××12＝274.所以|FE ―→|＝332.………………………………………………12分19.（1）∵ABCD 是矩形，∴AD CD ⊥，又∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD AD ⊥，PD CD ⊥，即PD ，AD ，CD 两两垂直，∴以D 为原点，DA ，DC ，DP 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图空间直角坐标系，…1分由4PD CD ==，2AD =，得()2,0,0A ，()2,4,0B ，()0,4,0C ，()0,0,0D ，()0,0,4P ，()1,0,2M ，则()2,0,4AP =- ，()2,0,0BC =- ，()1,4,2MB =-，.………………………………2分设平面CMB 的一个法向量为()1111,,n x y z = ，则1100BC n MB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111120420x x y z -=⎧⎨+-=⎩，令11y =，得10x =，12z =，∴()10,1,2n =.………………………………………………4分∴1114cos ,5AP n AP n AP n ⋅==⋅，故AP 与平面CMB 所成角的正弦值为45．.……6分（2）由（1）可得()0,4,4PC =-，.………………………………………………7分设平面PBC 的一个法向量为()2222,,n x y z=，则2200BC n PC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22220440x y z -=⎧⎨-=⎩，令21y =，得20x =，21z =，∴()20,1,1n =，……10分∴12cos ,10n n ==，故二面角M CB P --的余弦值为10……………12分20.解：两直线l 1：a (x －2)＝2(y －2)，l 2：2(x －2)＝－a 2·(y －2)，都过点(2,2)，………2分如图：设两直线l 1，l 2的交点为C ，且它们的斜率分别为k 1和k 2，则k 1＝a 2∈(0,1)，k 2＝－2a2∈∞∵l 1与y 轴的交点A 的坐标为(0,2－a )，l 2与x 轴的交点B 的坐标为(2＋a 2,0)．…………6分∴S OACB ＝S △OAC ＋S △OCB ＝12(2－a )·2＋12·(2＋a 2)·2＝a 2－a ＋4＋154.……………10分∴当a ＝12时，四边形OACB 的面积最小，其值为154.……………………………………12分21.如图所示,建立空间直角坐标系,设A 1(a ,0,0),则B 1(0,0,0),F(0,1,0),E(0,0,1),A(a,0,4),B(0,0,4),D(0,2,2),G (2,1,0).(1)B 1D →=(0,2,2),AB →=(-a ,0,0),BD →=(0,2,-2).∴B 1D →·AB →=0+0+0=0,B 1D →·BD →=0+4-4=0.∴B 1D ⊥AB,B 1D ⊥BD.又AB∩BD=B,∴B 1D ⊥平面ABD.………………………………4分(2)∵AB →=(-a ,0,0),BD →=(0,2,-2).GF →=(-2,0,0),EF →=(0,1,-1),∴GF →=12AB →,EF →=12BD →.∴GF ∥AB,EF ∥BD.又GF∩EF=F,AB∩BD=B,∴平面EGF ∥平面ABD.…………………………………8分(3)方法一:由(1)(2)知DH 为平面EFG 与平面ABD 的公垂线段.设B 1H →=λB 1D →=(0,2λ,2λ),则EH →=(0,2λ,2λ-1),EF →=(0,1,-1).∵EH →与EF →共线,∴2λ1=2λ−1−1,即λ=14,∴B H →=(0,12,12),∴HD →=(0,32,32),∴|HD →∴平面EGF 与平面ABD ………………………………12分方法二:由(2)知平面EGF ∥平面ABD,设平面ABD 的法向量为n=(x,y,z),则n ⊥AB →,n ⊥BD →,∴解得x =0,y =z,取z=1,则n=(0,1,1),∵ED →=(0,2,1),∴d=即平面EGF 与平面ABD ………………………………………………12分22.(1)连接FG .在△SBD 中，F 、G 分别为,SD SB 的中点，所以//FG BD .又因为FG ⊂平面A E G ,BD ⊄平面A E G ，所以//BD 平面A E G .……………………4分（2）因为SA ⊥平面ABCD ,,AB AD ⊂平面ABCD ，所以,SA A S B A A D ⊥⊥.又2BAD π∠=，所以AB AD ⊥.以,,AB AD AS为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -.则()0,0,0A ,()()()()()1,0,0,1,1,0,0,2,020110,0,,1,0,,2,1,,2B G C D S E ⎛⎫ ⎪⎝⎭.()1,1,0CD =-,()1,1,1SC =- .设平面SCD 的一个法向量为(),,m x y z = .则00m CD m SC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即00x y z y z -+=⎧⎨+-=⎩，令1x =,得1,2y z ==.所以平面SCD 的一个法向量为()1,1,2m =.又平面ESD 的一个法向量为()1,0,0AB =.所以cos ,6||||m AB m AB m AB ⋅===⨯ 所以平面SCD 与平面ESD夹角的余弦值为.………………………………………8分（3）假设存在点H ,设11(,2,)22GH GE λλλλ==- ,则1111(,2,)2222BH BG GE λλλλ=+=--+ .由（2）知,平面SCD 的一个法向量为()1,1,2m =.则1sin cos ,62m BH π== ，即2(10)λ-=,所以1λ=.故存在满足题意的点H ,此时||2GH GE == (12)分。
贵州省贵阳市清华中学2024-2025学年高二上学期10月阶段考试数学试卷(含答案)
贵阳市清华中学2024—2025学年度第一学期10月阶段考试试卷高二数学（考试时间：120分钟；试卷满分150分）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、座位号填写在答题卡上．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．在平面直角坐标系Oxy 中，直线的倾斜角等于（）A．B ．C ．D ．2．在空间直角坐标系Oxyz 中，点关于Oyz 坐标平面的对称点的坐标是（ ）A ．B ．C ．D ．3．王伟在“国庆”节七天假期中每天的运动时长（单位：分钟）统计数据如下表，则（）日期10月1日10月2日10月3日10月4日10月5日10月6日10月7日运动时长589210070804560A ．王伟这七天每天运动时长的平均数是73B ．王伟这七天每天运动时长的中位数是75C ．王伟这七天每天运动时长的第80百分位数是92D ．王伟这七天每天运动时长的极差是454．下列三角函数式的值不等于的是（ ）A ． B ．C ．D ．5．下列函数中，其图象不关于原点对称的是（ ）A ．B ．C ．D ．10x -=6π3π23π56π(1,2,3)P -'P (1,2,3)--(1,2,3)--(1,2,3)--(1,2,3)-12cos 75cos15sin 75sin15︒︒-︒︒2sin 75cos 75︒︒22cos 301︒-2tan 22.51tan 22.5︒-︒13()f x x =3()sin 2f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭()2x xe ef x --=1()ln1x f x x -=+6．如图，在棱长为1的正方体中，E ，F 分别是，的中点，则直线EF 到平面的距离为（ ）ABCD7．已知，，，则实数a ，b ，c 的大小关系正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．口袋中有2个红球和2个白球（形状和大小完全相同），从中随机不放回地依次摸出2个球，设事件“第1次摸出的是红球”，“第2次摸出的是红球”，“摸出的两个球均为红球”，“摸出的两个球颜色不同”。
广东省佛山市南海区南海中学2023-2024学年高二上学期第二次阶段考试数学试题
【详解】由 x²²+2 y -5 x0- = 可得， ( x -1)2 + y2 = 6 ，
所以圆心为 (1, 0) ，半径为 6 ， 故选:B. 2．A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合两直线垂直的判定分析判断即可.
【详解】当直线 x + ay + 2 = 0 与直线 ax + (a + 2) y +1 = 0 互相垂直时，
(1)求 BC 边所在直线的方程； (2) BC 边上中线 AD 的方程为 2x - 3y + 6 = 0 ，且 S△ABC = 7 ，求点 A 的坐标．
18．已知圆心为 M 的圆经过 O (0, 0) ， M1 (1,1) ， M2 (4, 2) 这三个点．
(1)求圆 M 的标准方程；
(2)直线 l 过点 P (0, 5) ，若直线 l 被圆 M 截得的弦长为 6，求直线 l 的方程．
2
）
试卷第31 页，共33 页
A．当 E 点运动时， A1C ^ AE 总成立 B．存在点 E 的位置，使得 BF // AE C．当 E 点运动时，四面体 ABFE 的体积不变 D．存在点 E 的位置，使得点 B 到 AE 的距离为 2 2
3
三、填空题
13．已知直线
l
经过点
A
(
-1,
0)
，且其一个方向向量为
广东省佛山市南海区南海中学 2023-2024 学年高二上学期
第二次阶段考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题 1．圆 x²²+2 y -5 x0- = 的圆心和半径分别为（ ）
高二数学试卷带答案解析
高二数学试卷带答案解析考试范围：xxx；考试时间：xxx分钟；出题人：xxx姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.已知某车间加工零件的个数与所花费时间之间的线性回归方程为,则加工600个零件大约需要的时间为A． B． C． D．2.椭圆＋＝1的右焦点到直线y＝x的距离是 ()A． B． C．1 D．3.某单位200名职工中，年龄在岁以上占，岁占，岁以下占；现要从中抽取40名职工作样本。
若用系统抽样法，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组(1～5号，6～10号，…，196～200号)．若第组抽出的号码为，则第8组抽出的号码应是___①_；若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取__②_人．①②两处应填写的数据分别为（）．A． B． C． D．4.在对某样本进行实验时，测得如下数据：则与之间的回归直线方程为（）3254A、B、C、D、5.在展开式中的系数为，则（）A． B． C． D．6.设函数，则( )A．为的极小值点B．为的极大值点C．为的极小值点D．为的极大值点7. ABCD为长方形，AB=4，BC=2，O为AB的中点。
在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离小于2的概率为（）A． B． C． D．8.下列关于函数、函数的定义域、函数的值域、函数的对应法则的结构图正确的是（）9.（2012春•武汉校级期末）若三直线2x+3y+8=0，x﹣y﹣1=0和x+ky=0相交于一点，则k=（）A．﹣2 B． C．2 D．10.某天上午要排语文、数学、体育、计算机四节课，其中体育不排在第一节，那么这天上午课程表的不同排法共有（）A．6种 B．9种 C．18种 D．24种11.《九章算术》是我国古代数学名著，在其中有道“竹九问题”“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升.问中间二节欲均容各多少？”意思为 :今有竹九节，下三节容量和为4升，上四节容量之和为3升，且每一节容量变化均匀（即每节容量成等差数列）.问每节容量各为多少？在这个问题中，中间一节的容量为（）A． B． C． D．12.函数是定义在R上的偶函数，且满足时，，若方程恰有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．13.已知为上的可导函数，且，均有，则有（）A．，B．，C．，D．，14.设x>0,y>0,M=,N=+,则M,N的大小关系是()A．M>NB．M<NC．M=ND．不确定15.在如图所示的“茎叶图”表示的数据中，众数和中位数分别是（）.A．23与26B．31与26C．24与30D．26与3016.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．17.若，，分别为正三角形的边，，的中点，以△为底面，把△，△，△折起使，，重合为一点，则下列关于线段与的论述不正确的为（）A．垂直 B．长度相等 C．异面 D．夹角为18.若,则等于（）A B CD19.已知函数（且）是上的减函数，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．20.已知集合则A ．B ．C ．D ．二、填空题 21.若数列{}，(n ∈N )是等差数列,则有数列b =(n ∈N )也是等差数列，类比上述性质，相应地：若数列{c }是等比数列,且c ＞0(n ∈N ),则有d ="____________" (n ∈N )也是等比数列。
高二数学试卷带答案解析
高二数学试卷带答案解析考试范围：xxx ；考试时间：xxx 分钟；出题人：xxx 姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.已知圆:，点是直线上一点，若圆上存在一点，使得，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．2.i 为虚数单位，若，则=（ ）A ．1B ．C ．D ．23.抛物线的焦点坐标是 （ ） A ．B ．C ．D ．4.已知抛物线的准线与圆相切，则的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 5.若是虚数单位，则乘积的值是A ．B ．C ．D ．6.已知，则下列命题为真命题的是（ ） A ．B ．C ．D ．7.在等差数列中，已知则等于（ ）A ．15B ．33C ．51D ．638.若DABC 中，sinA:sinB:sinC=2:3:4，那么cosC=（ ） A ． B ． C ．D ．9.在等差数列｛｝中，已知，，则等于（ ）A ．40B ．42C ．43D ．4510.三位老师和三位学生站成一排，要求任何两位学生都不相邻，则不同的排法总数为（ ） A ．720 B ．144 C ．36 D ．12 11.在区间上随机取两个数，则事件“≤”的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．12.数列1,2,4,8,16,32，…的一个通项公式是（ ） A ．a n =2n-1 B ．a n = C ．a n = D ．a n =13.设，若是的等比中项，则的最小值为（ ）A ．8B ．C ．1D ．414.若，则A． B． C． D．15.方程表示的曲线是（）A．一个椭圆 B．一个圆 C．两个圆 D．两个半圆16.的值是( )A． B． C． D．17.若向量，则“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件18.椭圆的焦点，P为椭圆上的一点，已知，则△的面积为（）A 8B9 C10 D1219.下列推理正确的是（）A．把与类比，则有B．把与类比，则有C．把与类比，则有D．把与类比，则有20.在中，，则的周长为（）A．B．C．D．二、填空题21.如图，在三棱柱中，侧面，且与底面成角，，则该棱柱体积的最小值为．22.设、分别为具有公共焦点、的椭圆和双曲线的离心率，是两曲线的一个公共点，且满足，则的值为．23.平面内有7个点，其中有5个点在一条直线上，此外无三点共线，经过这7个点可连成不同直线的条数是．24.对于四面体ABCD，①相对棱AB与DC所在的直线是异面直线；②若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，则这两条高的垂足重合；③分别作三组对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点；④任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积。
贵州省遵义市2024-2025学年高二上学期12月考试试题 数学(含答案)
贵州高二数学考试注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教B 版必修第一册至必修第四册，选择性必修第一册到2.3节.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 以下关于复数的四个命题中，错误的是（）A. B. 复数在复平面内对应的点位于第四象限C. 复数的共轭复数D. 复数的虚部为2. 在平面直角坐标系内，已知直线的斜率为，则直线的倾斜角为（）A. B.C.D. 3. 命题“，，使得”的否定是（）A. ，，使得 B. ，，使得C. ，，使得 D. ，，使得4. 如图，这是正四棱台被截去一个三棱锥后所留下的几何体，其中，，则该几何体的体积为（）534i z =+1z =z z 34i 5z -=z 45-l 0l ππ2π4x ∀∈R n ∃∈N e x n ≤x ∀∈R n ∃∈N e x n >x ∃∈R n ∀∈N e x n >x ∃∈R n ∃∈N e xn >x ∀∈R n ∀∈N e xn >14AB AA ==112AD =A.B.C. D. 5. 过点且以直线的方向向量为法向量的直线方程为（）A. B. C. D. 6. 经过点，且倾斜角是直线的倾斜角的2倍的直线方程为（）A. B. C. D. 7. 已知点为圆：上的动点，点为圆：上的动点，下列说法正确的有（）A. 两个圆心所在直线的斜率为B. 两圆恰有3条公切线C. 两圆公共弦所在直线的方程为D.的最小值为8. 已知函数的定义域为，当时，，则的解集为（）A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知函数的最小正周期为，则以下命题正确的有（）A.B. 函数的图象关于直线对称C. 将函数图象向右平移个单位长度，得到的图象关于轴对称D. 若方程在上有两个不等实数根，则的()2,4P -2310x y ++=32140x y -+=3280x y --=2380x y +-=23140x y ++=()1,1-210x y -+=1x =-4370x y -+=20x y -+=1y =A 1C 228120x y y +-+=B 2C 228280x y x y +-++=45-4520x y -+=AB 5-()y f x =R 12x x ≠()()12123f x f x x x -<-()()212690f x f x ---+<(),3-∞()1,+∞3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()()cos 0f x x x ωωω=->π2ω=()f x π6x =-()f x π6y ()34f x =12,x x ()12cos x x +=10. 已知、、是三条不同的直线，、是两个不同的平面，下列选项正确的有（）A. 若，，，则B. 若，，，，则C. 若，，，则D. 若与不垂直，则垂直于内无数条直线11. 定义域为的函数对任意的非零实数，都满足.当时，.下列结论正确的是（）A. B. 满足C. D. 上单调递增三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知向量，，，若，则的值为______.13. 如图，在四面体中，，，点，分别在，上，且，，则______.14. 如图，在三棱锥中，，，，为的中点，过作平面，则平面截三棱锥外接球所得截面面积的最小值为___.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知直线经过直线和的交点，且与直线垂直，若直线在m n l αβ//l αl β⊂m αβ= //l m l m ⊥l n ⊥m α⊂n ⊂αl α⊥αβ⊥m α⊂n β⊂m n ⊥l αl α{}0x x ≠()f x x y ()()()f xy f x f y =+01x <<()0f x <()lg f x x =()f x ()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()10f -=()f x (),0-∞()3,2a = ()1,2b =- ()4,1c = ()()2a kc b a +⊥-k O ABC -OA OB OC 3===60AOC BOC AOB ∠=∠=∠=︒M N OA BC 2OM MA =2BN NC =MN =P ABC -2PA PB PC ===AB BC ==AB BC ⊥E PB E ααP ABC -l 2380x y -+=10x y +-=32180x y -+=m与直线关于点对称，求直线的方程.16. 2021年9月24日，中国轻工业联合会、中国乐器协会授予正安县“吉他之都”称号.遵义市某中学同学们利用暑假到正安参加社会实践活动，对县城20至50岁的市民是否会弹吉他进行调查.若会弹吉他，则称为“吉他达人”，否则称为“非吉他达人”.同学们随机抽取2800人进行调查，统计后发现“吉他达人”有1000人，进一步对“吉他达人”各年龄段人数进行统计后，得到了各年龄段“吉他达人”人数的频率分布直方图：（1）根据直方图估计“吉他达人”年龄的平均数；（2）若从年龄在的“吉他达人”中采用分层抽样法抽取5人参加“吉他音乐节”表演，再从这5人中随机选取2人作为领队，求2位领队来自同一组的概率.17. 在中，角，，的对边分别为，，，且满足.（1）求；（2）若，求面积最大值.18. 已知，是圆的一条直径的两个端点，为圆上任意一点，直线分别与轴、轴交于，两点.角的终边与单位圆交于点.（1）求圆在点处的切线方程；（2）求面积最大值；（3）求的取值范围.19. 如图，在四棱锥中，平面，，，.（1）证明：平面平面.的的的l ()1,1-m [)20,30ABC V A B C a b c cos sin b A A a c +=+B 2b =ABC V ()0,0E ()2,0F -M P M 20x y +-=x y A B 2π3221x y +=C M C PAB 22PA PB +P ABCD -PA ⊥PBC 24AB DC ==BC =AB BC ⊥//DC AB ABCD ⊥PAB（2）若，求点到平面的距离.（3）求满足题设条件的所有几何体中，与平面所成角的正弦值的最大值.π3ABP ∠=C PAD PD ABCD贵州高二数学考试一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】C2.【答案】D3.【答案】B4.【答案】A5.【答案】A6.【答案】B7.【答案】D8.【答案】C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.【答案】ABC10.【答案】AD11.【答案】BC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.【答案】5 613.14. 【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.【分析】先求出交点坐标，根据垂直关系求出直线的方程，然后采用相关点法求解出直线的方程.【详解】因为，所以，所以交点是，设直线的方程为，代入，则，所以，因为直线与直线关于点对称，设直线上任意一点的坐标为，关于的对称点为，且在直线上，所以，即，所以直线的方程为.16.【小问1详解】由题意可得：平均数为【小问2详解】由的频率为可得两组人数比为，故5人中，来自的人数分别为2和3，所以从这5人中随机选取2人作为领队，求2位领队来自同一组的概率为,故2位领队来自同一组的概率为.17.【小问1详解】因为，所以，πl m 238010x y x y -+=⎧⎨+-=⎩12x y =-⎧⎨=⎩()1,2-l 230x y m ++=()1,2-4m =-:2340l x y +-=m l ()1,1-m (),x y (),x y ()1,1-()2,2x y ---()2,2x y ---l ()()223240x y --+--=2320x y ++=m 2320x y ++=22.50.227.50.332.50.237.50.1542.50.147.50.0531.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=31.5[)[)0,20,2525,30.2,0.32:3[)[)0,20,2525,3222325C C 2C 5+=25cos sin b A A a c +=+sin cos sin sin sin B A B A A C +=+所以，因为，所以，所以，所以，因为，所以，所以.【小问2详解】因为，所以，所以，所以，所以时取等号，所以18.【小问1详解】由题设，且圆的半径为1，则圆，又，即，显然在圆上，则，所以圆在点处的切线的斜率为，整理得.【小问2详解】由题设，，则()sin cos sin sin sin B A B A A A B =++sin sin sin cos B A A A B =+()0,πA ∈sin 0A >cos 1B B -=π2sin 16B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭π1sin 62B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ππ5π,666B ⎛⎫⎛⎫-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ66B -=π3B =2b =222222cos 4b a c ac B a c ac =+-⇔+-=2242a c ac ac +=+≥4ac ≤1sin 2ABC S ac B ==≤ 2a c ==ABC V (1,0)M -M :M 22(1)1x y ++=2π2π,(cossin 33C 1(2C -M CM k ==M C 12y x -=+10x +-=(2,0),(0,2)A B ||AB =到的距离，则到，所以面积的最大值为【小问3详解】设是的中点，则，且，故，由，，且，所以，，所以，对于，当同向共线时最大，反向共线时最小，所以，综上，.19.【小问1详解】由平面，平面，则，又，由都在面内，则面，面，所以平面平面.【小问2详解】由（1）易知，又，过作于，由面面，面面，面，所以面，过作，易知，故可构建如下图示空间直角坐标系，又，，则，M 20x y +-=d =P 20x y +-=1+PAB 11)32⨯=D AB 2MA MB MD +=(1,1)D ||DM = PB PM MB =+ PA PM MA =+2221,9,5PM MA MB === 2222PB PM MB PM MB =++⋅ 2222PA PM MA PM MA =++⋅2222222()PA PB PM MA MB PM MA MB +=+++⋅+ 164PM MD =+⋅PM MD ⋅,PM MD [PM MD ⋅∈22PA PB +∈[16-+PA ⊥PBC ⊂BC PBC PA BC ⊥AB BC ⊥PA AB A = PAB ⊥BC PAB ⊂BC ABCD ABCD ⊥PAB PA PB ⊥π3ABP ∠=P PO AB ⊥O ABCD ⊥PAB ABCD PAB AB =PO ⊂PAB ⊥PO ABCD O //Oz BC Oz AB ⊥24AB DC ==BC =//DC AB (0,3,0),(0,1,(0,1,A P C D --所以，若是面的一个法向量，则，令，则，所以点到平面的距离.【小问3详解】同（2）构建空间直角坐标系，易知是与面所成角的平面角，显然在以为直径的圆上，令，显然，可得或，当时，，，则，所以；当时，，，则，所以；综上，与平面.(0,2,(0,2,0)AP AD DC ===(,,)m x y z = PAD 3020m AP y m AD y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 1z =-(1)m =-C PAD ||||m DC m ⋅=ODP ∠PD ABCD P AB (0,2]OP a =∈24OP OA OB OA OB ⎧=⋅⎨+=⎩22OA OB ⎧=⎪⎨=⎪⎩22OA OB ⎧=⎪⎨=⎪⎩22OA OB ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩(0,D (,0,0)P a DP ==sin OP ODP DP ∠==22OA OB ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩D (,0,0)P a DP ==sin OP ODP DP ∠==PD ABCD1第11页。
青岛大元学校网课高二数学阶段性测试,答案 (2)
网课单元检测考试高二数学试题2020.02第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.【解答】解：根据题意，利用分步计数原理，首先用捆绑法将丙丁两人捆绑在一起作为一个人，将甲、乙拿出后全部排列有A44种排法，排列后的5个空选2个空将甲乙两人去插如可得有A52种排法，将丙丁两人捆绑在一起进行排列有A22种排法，所以满足条件的排法有：A44A52A22＝960种排法，故选：C．2.【解答】解：根据题意，三个区域至少有一个安保小组，所以可以把5个安保小组分成三组，有两种分法：按照1、1、3分组或按照1、2、2分组；若按照1、1、3分组，共有种分组方法；若按照1、2、2分组，共有种分组方法，根据分类计数原理知共有60+90＝150种分组方法．故选：A．3.【解答】解：根据题意，如图，假设5个区域依次为A、B、C、D、E，分4步分析：①，对于A区域，有4种涂法，②，对于B区域，与A相邻，有3种涂法，③，对于C区域，与A、B相邻，有2种涂法，④，对于D区域，若其与B区域同色，则E有2种涂法，若D区域与B区域不同色，则E有1种涂法，则D、E区域有2+1＝3种涂色方法，则不同的涂色方案共有4×3×2×3＝72种；故选：B．4.【解答】解：根据题意，依次分析四人的结账方式：对于甲，只会用现金结账，有1种方式，对于乙，只会用现金和银联卡结账，有2种方式，对于丙，与甲、乙结账方式不同，若乙用现金，则丙有3种方式，若乙用银行卡，则丙有2种方式，对于丁，用哪种结账方式都可以，有4种方式，则他们结账方式的组合有1×2×3×4+1×1×2×4＝20种，故选：D．5.【解答】解：设事件A＝{学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场}，事件B＝{学生丙第一个出场}，所以P（AB）＝＝P（A）＝＝，所以P（B|A）＝＝＝．故选：A．6．【解答】解：离散型随机变量X服从二项分布X～B（n，p），所以有E（X）＝4＝np，D（X）＝q＝np（1﹣p），所以4p+q＝4，即p+＝1，（p＞0，q＞0）所以＝（）（p+）＝+≥+＝+1＝，当且仅当q＝2p＝时取得等号．故选：C．7.【解答】解：在（x﹣2）8的二项展开式中，二项式系数的最大值为＝70，含x5项的为x5，即系数为﹣448，因此．故选：B．8.【解答】解：∵（x﹣3）2（x+1）8＝a0+a1x+a2x2+…+a10x10，令x＝0，可得a0＝9，令x＝1，可得9+a1+a3+…+a9+a10＝210，令x＝﹣1，可得9﹣a1+a2﹣a3+…﹣a9+a10＝0，∴两式相减得：2（a1+a3+…+a9）＝210．∴a1+a3+…+a9＝29，则log2（a1+a3+…+a9）＝log229＝9故选：D．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.【解答】解：由离散型随机变量X的分布列的性质得：p＝1﹣0.4﹣0.1﹣0.2﹣0.2＝0.1，E（X）＝0×0.1+1×0.4+2×0.1+3×0.2+4×0.2＝2，D（X）＝（0﹣2）2×0.1+（1﹣2）2×0.4+（2﹣2）2×0.1+（3﹣2）2×0.2+（4﹣2）2×0.2＝1.8，∵离散型随机变量Y满足Y＝2X+1，∴E（Y）＝2E（X）+1＝5，D（Y）＝4D（X）＝7.2．故选：CD．10.【解答】解：∵随机变量X服从正太分布N（100，102），∴曲线关于x＝100对称，根据题意可得，P（90＜x＜110）＝0.6826，P（80＜x＜120）＝0.9544，∴P（x≥90）＝0.5+＝0.8413，故C正确；P（x≤120）＝0.5+．，故D错误．而A，B，c都正确．故选：ABC．11.【解答】解：根据题意，四个不同的小球放入三个分别标有1〜3号的盒子中，且没有空盒，则三个盒子中有1个中放2个球，剩下的2个盒子中各放1个，有2种解法：（1）分2步进行分析：①、先将四个不同的小球分成3组，有C42种分组方法；②、将分好的3组全排列，对应放到3个盒子中，有A33种放法；则没有空盒的放法有C A种；（2）分2步进行分析：①、在4个小球中任选2个，在3个盒子中任选1个，将选出的2个小球放入选出的小盒中，有C C种情况②、将剩下的2个小球全排列，放入剩下的2个小盒中，有A22种放法；则没有空盒的放法有C C A22种；故选：BC．12.【解答】解：设随机变量X服从二项分布B（6，），则P（X＝3）＝C36（）3×（1﹣）3＝，A正确；∵随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），∴正态曲线的对称轴是x＝2．∵P（X＜4）＝0.9，∴P（2＜X＜4）＝0.4，∴P（0＜X＜2）＝P（2＜X＜4）＝0.4，B正确；二项式（﹣x 2）10的展开式中的通项公式为T r +1＝（）10﹣r （﹣x 2）r ＝（﹣1）r，由＝0，解得r ＝2，可得常数项是＝45，C 正确；E （2X +3）＝2E （X ）+3；D （2X +3）＝4D （X ）．故D 不正确． 故选：ABC ．第Ⅱ卷（非选择题 共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13解：根据题意，分2种情况讨论：①，“御”排在第一，将剩下的“五艺”全排列，安排在剩下的5周，有A 55＝120种排法， ②，“御”不排在第一，则“御”的排法有4种，“乐”的排法有4种，将剩下的“四艺”全排列，安排在剩下的4周，有A 44＝24种情况， 则此时有4×4×24＝384种排法， 则一共有120+384＝504种排法； 答案 50414【解析】5215(1)r r rrr T C a x -+=-，令，可得530a -=6a ⇒=-答案 -615【解答】解：由题意可得，正态分布中μ＝100，σ＝10，其对称轴为：x ＝100， 据此可估计该班数学成绩在110分以上的人数为 ．故答案为：9．16【解答】解：箱中装有10个不同的小球，其中2个红球、3个黑球和5个白球， 现从该箱中有放回地依次取出3个小球． 则3个小球颜色互不相同的概率是： P ＝＝．变量ξ为取出3个球中红球的个数，则ξ～B （3，），1=r∴ξ的方差D（ξ）＝3×＝．故答案为：，．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17【解答】解：（1）令x＝1，则有（2﹣a）5＝243，∴a＝﹣1；（2）的展开式中各项的二项式系数分别为，C，，，，，其中均为最大，故所求项为第3项＝80x和第4项＝．18.【解答】解：（Ⅰ）令x＝0，解得＝16；（Ⅱ）令x＝1，即81＝a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8；令x＝﹣1，即2401＝a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6﹣a7+a8；两式相加，得1241＝a0+a2+a4+a6+a8；而＝192，故a0+a2+a4+a6+a8＝1241﹣192＝1049．19.【解答】解：（1）根据题意，分2步进行分析：①，在3名男选手中选2名男运动员，有C32＝3种选法．②，在5名选中女选手2名女运动员，有C52＝10种选法．共有3×10＝30种选法；（2）根据题意，至少有1名男选手”的反面为“全是女选手”．从8人中任选4人，有C84＝70种选法，其中全是女选手的选法有C54＝5种．所以“至少有1名男选手”的选法有70﹣5＝65种，（3）根据题意，分2种情况讨论：①，当有男队长时，其他人选法任意，有C73＝35种选法．②，不选男队长时，必选女队长，共有C63＝20种选法，其中不含男选手的选法有C43＝4种，所以不选男队长时，共有20﹣4＝16种选法．故既要有队长，又要有男选手的选法有35+16＝51种．20【解答】解：（1）一堆产品中有一等品2件，二等品3件，三等品4件，现从中任取3件产品．基本事件总数n＝＝84，一、二、三等品各取到一个包含的基本事件个数m＝2×3×4＝24，∴一、二、三等品各取到一个的概率p＝＝＝．（2）记X表示取到一等品的件数，则X的可能取值为0，1，2，P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，∴X的分布列为：X0 1 2P数学期望E（X）＝＝．21【解答】解：（1）因为学生总数为1000人，该年级分文、理科按男女用分层抽样抽取10人，则抽取了理科男生4人，女生2人，文科男生1人，女生3人．所以．（2）X的可能取值为0，1，2，3，，，，，X的分布列为X0 1 2 3P．22【解答】解：（I）X的取值为0，1，2，3，，，，．因此X的分布列为X0 1 2 3P．（II）由题意得：事件A“甲比乙答对题目数恰好多2”发生，即：“甲答对2道，乙答对题0道”和“甲答对3道，乙答对题1道”两种情况，∴事件A发生的概率为：．。
重庆市2024年高二下学期期末考试数学试题+答案(康德卷)
2024年春高二(下)期末联合检测试卷数 学数学测试卷共4页，满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名、班级填写在答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。
若在试题卷上作答，答案无效。
3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知()f x'是函数()f x的导函数，则满足()f x'()f x=的函数()f x是A．2()f x x=B．()e xf x=C．()lnf x x=D．()tanf x x=2．如图是学校高二1、2班本期中期考试数学成绩优秀率的等高堆积条形图，如果再从两个班中各随机抽6名学生的中期考试数学成绩统计，那么A．两个班6名学生的数学成绩优秀率可能相等B．1班6名学生的数学成绩优秀率一定高于2班C．2班6名学生中数学成绩不优秀的一定多于优秀的D．“两班学生的数学成绩优秀率存在差异”判断一定正确3．对于函数32()f x x bx cx d=+++，若系数b c d，，可以发生改变，则改变后对函数()f x的单调性没有影响的是A．b B．c C．d D．b c，4．某地根据以往数据，得到当地16岁男性的身高y cm与其父亲身高x cm的经验回归方程为14ˆ2917y x=+，当地人小王16岁时身高167cm，他父亲身高170cm，则小王身高的残差为A．3-cm B．2-cm C．2cm D．3cm5．若函数2()(1)e xf x x bx=++，在1x=-时有极大值16e-，则()f x的极小值为A．0B．3e--C．e-D．32e-6．甲、乙、丙、丁、戊五个人站成一排照相，若甲不站最中间的位置，则不同的排列方式有A．48种B．96种C．108种D．120种不优秀优秀7． 若王阿姨手工制作的工艺品每一件售出后可以获得纯利润4元，她每天能够售出的工艺品（单位：件）均值为50，方差为1.44，则王阿姨每天能够获得纯利润的标准差为A ．1.2B ．2.4C ．2.88D ．4.88．若样本空间Ω中的事件123A A A ，，满足1131()()4P A P A A ==，22()3P A =，232()5P A A =，231()6P A A =，则13()P A A = A ．114B ．17C ．27D ．528二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
高二数学-湖北省部分省级示范高中2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题
湖北省部分省级示范高中2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．过点()1,0且与直线220x y +-=垂直的直线方程为（）A ．210x y --=B ．210x y -+=C ．220x y --=D ．210x y +-=2．已知数列{}n a ，则“2415a a a a +=+”是“{}n a 为等差数列”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．圆22:1O x y +=与圆22:2270M x y x y ++--=的位置关系为（）A ．外离B ．相切C ．相交D ．内含4．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，O 是底面ABCD 的中心，E ，F 分别是1BB ，1DD 的中点，求直线EF 与直线1OB 夹角的余弦值是（）A ．13B ．223C ．13-D ．223-5．已知抛物线24x y =的焦点为F ，点M 在抛物线上，且3MF =，则M 点到y 轴的距离为（）A ．23B ．22C ．2D ．16．1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲，西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2020这2020个数中，被2除余1，且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则18a =（）A ．161B ．171C ．181D ．1917．两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T ，且523n n S n T n +=+，则220715a a b b ++等于（）A ．10724B ．724C ．14912D ．14938．已知双曲线2222:1(0,b 0)x y C a a b-=>>的右焦点为F ，过点F 作双曲线的一条渐近线的垂线l ，垂足为M ，若直线l 与双曲线C 的另一条渐近线交于点N ，且34ON OM OF +=（O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为（）A ．32B ．33C ．233D ．62二、多选题9．已知数列{}n a 的前n 项和()2*29N n S n n n =-+∈，则下列结论正确的是（）A ．数列{}n a 是等差数列B ．78>a a C ．n S 的最大值为10D ．230a a +=11A B 的中点，则（）长度的取值范围是6,22⎡⎤⎣⎦的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线的斜率的分别相交于,A B 和,C D ，直线,AD BC 的倾斜角分别为,αβ四、解答题(1)证明：EF AD ⊥；(2)若四棱锥P ABCD -的体积为求PGPB的值；若不存在，请说明理由22．已知抛物线2:2(C y px p =>(1)求抛物线C 的方程；(2)过点()2,0的直线l 与抛物线C 个交点为B ，试问在x 轴上是否存在一定点由.。
湖北省荆州市部分学校2024-2025学年高二上学期10月联考数学试题含答案
2024年湖北部分名校高二10月联考高二数学试卷（答案在最后）考试时间：2024年10月10日下午15:00-17:00试卷满分：150分注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知()1i 13iz +=+，则复数z 的虚部为（）A.1B.1- C.iD.2【答案】B 【解析】【分析】根据除法运算求得2i z =+，即可得复数z 的虚部.【详解】由题意可得：()()()()13i 1i 13i 42i2i 1i 1i 1i 2z +-++====+++-，所以2i z =-的虚部为1-.故选：B.2.一组数据23，11，14，31，16，17，19，27的上四分位数是（）A.14B.15C.23D.25【答案】D 【解析】【分析】根据上四分位数的概念求值即可.【详解】把数据按从小到大的顺序排列：11，14，16，17，19，23，27，31.因为3864⨯=，∴上四分位数是2327252+=.故选：D3.我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”现有一类似问题：不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示．用锯去锯这木材，若锯口深4CD =-锯道AB =则图中弧 ACB与弦AB 围成的弓形的面积为（）A.4πB.8C.4π8-D.8π8-【答案】C 【解析】【分析】根据弓形的面积等于扇形的面积减去三角形的面积，结合扇形的面积公式即可得解.【详解】由题意4AD BD OD OC CD OA ===-=-+，在Rt AOD 中，222AD OD OA +=，即(2284OA OA +-+=，解得4OA =，故OD =π2AOB ∠=，因此221π1444π8222AOB AOB S S S =-=⨯⨯-⨯=-弓形扇形△.故选：C.4.已知πcos 410θ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 23πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.410+ B.310+ C.410- D.310-【答案】A 【解析】【分析】以π4θ+为整体，利用诱导公式结合倍角公式求sin 2,cos 2θθ，结合两角和差公式运算求解.【详解】因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭ππ3π,444，且πcos 410θ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，可得πsin 410⎛⎫+==⎪⎝⎭θ，则2ππππ4sin 2sin 2cos 212cos 42445⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-+=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦θθθθ，πππππ3cos 2cos 2sin 22sin cos 424445⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+=++=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦θθθθθ，所以π14sin 2sin 2232210+⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭θθθ，故选：A.5.平行六面体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是边长为2的正方形，且1160A AD A AB ∠=∠=︒，13AA =，M 为11A C ，11B D 的交点，则线段BM 的长为（）A.3B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据空间向量的线性运算可得11122BM AA AD AB =+-，进而结合数量积运算求模长.【详解】由题意可知：()11111111111112222BM BB B D BB A D A B AA AD =+=+-=+-uuu r uuu r uuuu r uuu r uuuu r uuu u r uuu r uuu r uu u r，则2222211111111122442BM AA AD AB AA AD AB AA AD AA AD AB AD⎛⎫=+-=+++⋅-⋅-⋅ ⎪⎝⎭uuu r uuu r uuu r uu u r uuu r uuu r uu u r uuu r uuu r uuu r uuu r uu u r uuu r11911323201122=+++⨯⨯-⨯⨯-=，所以BM =uuu r故选：C.6.如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为{1,2,3,4,5,6,7,8}Ω=，记事件A =“得到的点数为奇数”，记事件B =“得到的点数不大于4”，记事件C =“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（）A.事件B 与C 互斥B.()58P A B ⋃=C.()()()()P ABC P A P B P C =D.,,A B C 两两相互独立【答案】C 【解析】【分析】对于A ：根据互斥事件的概念分析判断；对于BC ：先求A B ，ABC ，结合古典概型分析判断；对于D ：根据独立事件改了乘法公式可知事件A 与C 不相互独立.【详解】由题意得，事件A 的样本点为{}1,3,5,7，事件B 的样本点为{}1,2,3,4，事件C 的样本点为{}2,3,5,7，对于选项A ：事件B 与C 共有样本点2，3，所以不互斥，故A 错误；对于选项B ：A B 事件样本点n S ，所以()6384P A B ⋃==，故B 错误；对于选项D ：因为()4182P A ==，()12P C =，且AC 事件样本点{}3,5,7，则()38P AC =，可得()()()P AC P A P C ≠，所以事件A 与C 不相互独立，故D 错误；对于选项C ：因为ABC 事件样本点{}3，可得()18P ABC =，所以()()()()P ABC P A P B P C =，故C 正确.故选：C.7.若某圆台有内切球（与圆台的上下底面及每条母线均相切的球），且母线与底面所成角的正弦值为2，则此圆台与其内切球的表面积之比为（）A.43B.2C.136D.73【答案】C 【解析】【分析】根据圆台的内切球的性质以及线面夹角可得213r r =，且14BC r =，以及内切球O的半径r =，再结合圆台和球的面积公式运算求解.【详解】设上底面半径为1r ，下底面半径为2r ，如图，取圆台的轴截面，作CM AB ⊥，垂足为M，设内切球O 与梯形两腰分别切于点,E F ，可知12=+BC r r ，21BM r r =-，由题意可知：母线与底面所成角为π3B ∠=，则211212r r BM BC r r -==+，可得213r r =，即14BC r =，12BM r =，可得1CM =，可知内切球O的半径1r =，可得()222111111π9ππ3426πS r r r r r r =+++⨯=圆台，)22114π12πS r =⨯=球，所以212126π1312π6S r S r ==台球.故选：C.8.在ABC V 中，2BC =，π3BAC ∠=，O 是ABC V 的外心，则OA BC BA CA ⋅+⋅ 的最大值为（）A.2B.103C.113D.4【答案】B【解析】【分析】根据题意结合向量运算可得22OA BC BA CA c ⋅+⋅=-+uu r uu u r uu r uu r，利用正弦定理求边c 的最大值即可.【详解】设角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，因为O 是ABC V 的外心，记BC 中点为D ，则有OD BC ⊥，即0OD BC ⋅=，可得()OA BC BA CA OD DB BA BC BA CA⋅+⋅=++⋅+⋅uu r uu u r uu r uu r uuu r uu u r uu r uu u r uu r uu rDB BC BA BC BA CA=⋅+⋅+⋅uu u r uu u r uu r uu u r uu r uu r 222122BC BA c =-+=-+，在ABC V中，由正弦定理可得：sin sin 2c a C BAC ===∠则c C =≤sin 1C =，即π2C =时，等号成立，所以OA BC BA CA ⋅+⋅的最大值为21023-+=.故选：B.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.“1a =-”是“直线210a x y -+=与直20x ay --=互相垂直”的充要条件B.“2a =-”是“直线220ax y a ++=与直线()110x a y +++=互相平行”的充要条件C.直线sin 20x y α++=的倾斜角θ的取值范围是π3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭D.若点()1,0A ，()0,2B ，直线l 过点()2,1P 且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是112k -≤≤【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ：根据直线垂直结合充分、必要条件分析判断；对于B ：由题意可得[]tan sin 1,1k θα==-∈-，进而可得倾斜角的范围；对于C ：根据直线平行结合充分、必要条件分析判断；对于D ：根据图形结合斜率公式分析求解.【详解】对于选项A ：当1a =-时，直线10x y -+=与直线20x y +-=斜率分别为1，1-，斜率之积为1-，故两直线相互垂直，即充分性成立；若“直线210a x y -+=与直线20x ay --=互相垂直”，则20a a +=，故0a =或1a =-，所以得不到1a =-，即必要性不成立，故A 错误；对于选项B ：由直线平行得()212a a a a ⎧+=⎨≠⎩，解得2a =-，所以“2a =-”是“直线220ax y a ++=与直线()110x a y +++=互相平行”的充要条件，故B 正确；对于选项C ：直线的倾斜角为θ，则[]tan sin 1,1k θα==-∈-，因为0πθ≤<，所以π3π0,,π44θ⎡⎤⎡⎫∈⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭，故C 正确；对于选项D ：如图所示：可得12PB k =-，1PA k =，结合图象知112k -≤≤，故D 正确；故选：BCD.10.已知函数()cos f x x =，()sin g x x =，下列说法正确的是（）A.函数()()()m x f x g x =⋅在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减B.函数()()()m x f x g x =⋅的最小正周期为2πC.函数()()()n x f x g x =+的值域为⎡-⎣D.函数()()()n x f x g x =+的一条对称轴为π4x =【答案】BC 【解析】【分析】根据三角恒等变换、三角函数的单调性、周期性、值域、对称性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A 选项，当π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()sin g x x =，()1sin cos sin 22m x x x x ==，此时()2π,2πx ∈，而sin y x =在()π,2π上不单调，故A 错误；B 选项，函数()()()()2πcos 2πsin 2πcos sin m x x x x x m x +=+⋅+==，而()sin cos ,2π2ππsin cos ,2ππ2π2πx x k x k m x x x k x k ≤≤+⎧=⎨-+<<+⎩1sin 2,2π2ππ,Z 21sin 2,2ππ2π2π,Z 2x k x k k x k x k k ⎧≤≤+∈⎪⎪=⎨⎪-+<<+∈⎪⎩，所以()m x 的最小正周期为2π，故B 正确；C 选项，当[]()2π,2ππZ x k k k ∈+∈时，()ππ5π2π+,2πZ 444x k k k ⎡⎤+∈+∈⎢⎥⎣⎦，πsin 42x ⎛⎫ ⎪⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎝⎦⎭，所以()πcos sin 1,4⎛⎫⎡=+=+∈- ⎪⎣⎝⎭n x x x x ，当()()2ππ,2π2πZ x k k k ∈++∈时，()π5π9π2π,2πZ 444x k k k ⎛⎫+∈++∈ ⎪⎝⎭，πcos ,142x ⎛⎤⎛⎫+∈- ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，所以()(πcos sin 1,4⎛⎫=-=+∈- ⎪⎝⎭n x x x x ，综上，函数()()()n x f x g x =+的值域为⎡-⎣，故C 正确；D 选项，因为1π3ππ2444⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，πππcos sin 444⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭n ，3π3π3πcos sin 0444n ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以π4x =不是()n x 的一条对称轴.故选：BC11.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 、H 分别为棱AD 、AB 、BC 、11B C 的中点，则下列结论正确的有（）A.三棱锥E FGH -的外接球的表面积为πB.过点E ，F ，H 作正方体的截面，则截面面积为334C.若P 为线段11B D 上一动点(包括端点)，则直线1PA 与平面1A BD 所成角的正弦值的范围为,33⎣⎦D.若Q 为线段CD 上一动点(包括端点)，过点1A ，G ，Q 的平面分别交1BB ，1DD 于M ，N ，则BM DN +的范围是1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ：由条件确定三棱锥的外接球的球心位置，求出球的半径，由此可得结论；对于B ：分析可知截面为EFKHLJ ，其截面正六边形，即可得面积；对于C ：根据体积关系求得点P 到平面1A BD 的距离h ，可得1sin hPA =θ，进而分析范围；对于D ：根据平面性质作截面，设CQ CD λλ==，结合平面几何性质分析求解即可.【详解】对于选项A ：由题意可得：,12EF FG EG GH ====，且GH ⊥平面ABCD ，则222EF FG EG +=，即π2EFG ∠=，可知三角形EFG 外接圆的半径为1122r EG ==，所以三棱锥E FGH -的外接球的球心为EH 的中点，可得三棱锥E FGH -的外接球的半径为2R ==，所以其表面积为24π2πR =，故A 错误；对于选项B ：取1111,,BB C D DD 的中点分别为,,K L J ，可知过点E ，F ，H 作正方体的截面为EFKHLJ ，其截面正六边形，边长为2所以其面积为122336sin 602224S =⨯⨯⨯︒=，故B 正确；对于选项C ：设点P 到平面1A BD 的距离为h ，由正方体的性质可得：//BD 11B D ，11B D 不在平面1A BD 内，BD ⊂平面1A BD ，则11//B D 平面1A BD ，当点P 在线段11B D 上运动时，则点P 到平面1A BD 的距离即为点1D 到平面1A BD 的距离，由11D A BD -的体积可得111111132322h ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯，解得h ，设直线1PA 与平面1A BD 所成角θ，则11sin h PA =θ，若P 为11B D 的中点时，111PA B D ⊥，()111min122PA B D ==；当点P 为线段11B D 的端点时，()1max 1PA =；即112PA ≤≤，所以1sin ,33h PA θ=∈⎣⎦，故C 正确；对于选项D ：设,QG AB S QG AD T ==I I ，可知平面1A GQ 即为平面1A ST ，则1111,A S BB M AT DD N ==I I，可得1122BG CG BC ===，设CQ CD λλ==，当01λ<<时，由相似三角形知识可得：11BM λλ=+，11211112DN λλλλλλ--==-++，即1BM λλ=+，11DN λλ-=+，且当0λ=或1λ=时，也符合1BM λλ=+，11DN λλ-=+；则11111BM DN λλλλλ-+=+=+++，且01λ≤≤，可得11,112BM DN λ⎡⎤+=∈⎢⎥+⎣⎦，所以BMDN +的取值范围是1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D 正确.故选：BCD.【点睛】方法点睛：1、对于三棱锥体积的求解可采用等体积法求解，通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决锥体的体积，特别时三棱锥的体积.2、对于线面角的计算问题可以通过根据直线与平面所成角的定义，结合垂线段与斜线段的长度比求得线面角的正弦值；3、对于球的组合体问题：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知()2,1A ，()4,3B 两点到直线10x ay -+=的距离相等，则a =__________．【答案】1或2【解析】【分析】根据题意利用点到直线的距离公式列式求解即可.=353a a -=-，可得353a a -=-或353a a -=-，解得1a =或2a =.故答案为：1或2.13.在空间直角坐标系中已知()1,2,1A ，()1,0,2B ，()1,1,4C -，CD 为三角形ABC 边AB 上的高，则CD =__________．【答案】3【解析】【分析】应用空间向量法求点到直线距离.【详解】()2,1,3AC =-- ，()0,2,1AB =-，则AC =AC AB AD AB⋅=== ，所以3CD ===，故答案为：314.对任意两个非零的平面向量a 和b，定义：22a b a b a b⋅⊕=+，2a b a b b⋅=，若平面向量a ，b满足0a b >> ，且a b ⊕ 和a b 都在集合|,044n n n ⎧⎫∈<≤⎨⎬⎩⎭Z 中，则a b ⊕= __________，cos ,a b =__________．【答案】①.14##0.25②.8或3【解析】【分析】设a 与b 的夹角为θ，分析可得cos 2a b θ⊕< ，进而可得14a b ⊕= ，且1cos θ2>，分析可得1cos 2a b >>θr r e ，即可得34a b = 或1，结合向量夹角公式运算求解.【详解】设a 与b的夹角为θ，因为a b ⊕ 和a b 都在集合|,044n n n ⎧⎫∈<≤⎨⎬⎩⎭Z 中，所以其取值可能为113,,,1424⎧⎫⎨⎬⎩⎭，因为0a b >> ，则222a b a b +> ，可得22cos cos 22a b a ba b a b a bθθ⋅⊕=<=+，因为cos 1θ≤，即cos 122θ≤，可得12a b ⊕< ，所以14a b ⊕= ；又因为cos 2a b θ⊕< ，即cos 124θ>，解得1cos θ2>，因为0a b >>，可得22cos cos 1cos 2a b a a b a b b b b θθθ⋅===>>，即34a b = 或1，当14a b ⊕= 且34a b = 时，即2214a b a b ⋅=+r r r r 且234a b b⋅=r rr ，可得23,4a b b a ⋅==r r r r，所以2234cos ,8a b b a b b a ⋅===⋅r r r r r r r r ；当14a b ⊕= 且1a b =时，即2214a b a b ⋅=+r r r r 且21a b b⋅=r rr ，可得2,a b b a ⋅==r r r r r，所以22cos ,3b a b a a b b ⋅===⋅r rr r r r r r ；综上所述：32cos ,8a b =或33.故答案：14；8或3.四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3sin cos 3a C Cb =+.（1）求角B ；（2）若D 是ABC V 边AC 上的一点，且满足BA BD BD BCBA BC⋅⋅=，9425a c +=，求BD 的最大值．【答案】（1）π3B =（2【解析】【分析】（1）根据题意可得3sin cos 3a b C b C =+，利用正弦定理结合三角恒等变换可得tan B =，即可得结果；（2）根据题意结合向量夹角公式可得π6ABD CBD ∠==，利用面积关系可得311BD a c=+，利用乘“1”法结合基本不等式运算求解.【小问1详解】因为3cos 3a C C b =+，即3sin cos 3a b C b C =+，由正弦定理可得sin sin sin cos 3A B C B C =+，且()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，即sin cos cos sin sin sin sin cos 3B C B C B C B C +=+，可得cos sin sin sin 3B C B C =，且()0,πC ∈，则sin 0C ≠，可得tan B =，又因为0πB <<，所以π3B =.【小问2详解】因为BA BD BD BCBA BC ⋅⋅=，即BA BD BD BC BA BD BC BD⋅⋅= ，可得cos cos ABD CBD ∠=∠，即ABD CBD ∠=∠，可知BD 平分ABC ∠，则π6ABD CBD ∠==，因为ABC ABD BCD S S S =+△△△，即131111222222ac BD a BD c ⨯=⨯⨯+⨯⨯，整理可得311BD a c=+，又因为9425a c +=，则()11114919413131252525c a a c BD a c a c ⎛⎛⎫⎛⎫=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当49c aa c=，即53a =，52c =时取等号，可得BD ≤，所以BD 16.已知ABC V 的顶点()1,1A ，边AC 上的高BH 所在直线的方程为80-+=x y ，边AB 上的中线CM 所在直线的方程为53100x y --=．（1）求直线AC 的方程；（2）求ABC V 的面积．【答案】（1）20x y +-=（2）24【解析】【分析】（1）根据两直线垂直，求直线方程.（2）先确定B 、C 点的坐标，可求线段AC 的长度，利用点到直线的距离求点B 到直线AC 的距离，即三角形的高，就可以求出三角形的面积.【小问1详解】由于边AC 上的高BH 所在直线方程为80-+=x y ，所以设直线AC 的方程为0x y c ++=，由于点()1,1A 在直线AC 上，即110c ++=，解得2c =-，所以直线AC 的方程为20x y +-=.【小问2详解】由于点C 既满足直线53100x y --=的方程，又满足20x y +-=的方程，所以5310020x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得2x y =⎧⎨=⎩，故()2,0C ，所以AC ==设(),B a b ，由于点B 满足直线80-+=x y ，故80a b -+=，设AB 的中点坐标为11,22a b ++⎛⎫⎪⎝⎭，满足53100x y --=，所以115310022a b ++⨯-⨯-=，整理得53180a b --=，所以8053180a b a b -+=⎧⎨--=⎩，解得2129a b =⎧⎨=⎩，所以()21,29B ，则点()21,29B 到直线20x y +-=的距离d ==，故112422ABC S AC d =⨯⨯==△.17.某中学举行了一次“数学文化知识竞赛”，高二年级学生参加了这次竞赛.为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩x 作为样本进行统计.将成绩进行整理后，分为五组（5060x ≤<，6070x ≤<，7080x ≤<，8090x ≤<，90100x ≤≤），其中第1组的频数的平方为第2组和第4组频数的积.请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：（1）若根据这次成绩，年级准备淘汰60%的同学，仅留40%的同学进入下一轮竞赛，请问晋级分数线划为多少合理？（2）从样本数据在8090x ≤<，90100x ≤<两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取6名同学，再从这6名同学中随机选出2人，求选出的两人恰好来自不同小组的概率．（3）某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：12310,,,,x x x x ，已知这10个分数的平均数90x =，标准差5s =，若剔除其中的96和84两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差．【答案】（1）73分合理（2）815（3）22.25【解析】【分析】（1）由题意知可得，20.160.8a =计算可求得a ；根据小长方形的面积和为1求得b ，利用频率分布直方图计算第60百分位数即可；（2）利用分层抽样可得两层应分别抽取4人和2人，分别记为a ，b ，c ，d 和A ，B ，列出所有基本事件，根据古典概型计算即可得出结果；（3）根据平均数和方差的计算公式求解即可.【小问1详解】由第1组的频数的平方为第2组和第4组频数的积可知，20.160.8a =，解得0.032a =，又()0.0080.0160.0320.04101b ++++⨯=，解得0.004b =，所以0.032a =，0.004b =，成绩落在[)50,70内的频率为：0.160.320.48+=，落在[)50,80内的频率为：0.160.320.400.88++=，设第60百分位数为m ，则()700.040.60.48m -=-，解得73m =，所以晋级分数线划为73分合理；【小问2详解】由图可知，按分层抽样法，两层应分别抽取4人和2人，分别记为a ，b ，c ，d 和A ，B ，则所有的抽样有：()Ω,,,,,,,,,,,,,,AB Aa Ab Ac Ad Ba Bb Bc Bd ab ac ad bc bd cd =，共15个样本点，A =“抽到的两位同学来自不同小组”，则{},,,,,,,A Aa Ab Ac Ad Ba Bb Bc Bd =共8个样本点，所以()815P A =.【小问3详解】因为90x =，所以12101090900x x x +++=⨯= ，所以()2222221210190510s x x x =+++-= ，所以222121081250x x x +++= ，剔除其中的96和84两个分数，设剩余8个数为1x ，2x ，3x ，…，8x ，平均数与标准差分别为0x ，0s ，则剩余8个分数的平均数：1238090096849088x x x x x ++++--=== ，方差：()()22222222012811908125096849022.2588s x x x =+++-=---= 18.在ABC V 中，90C ∠=︒，3BC =，6AC =，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，满足DE BC ∥，且DE 经过ABC V 的重心．将ADE V 沿DE 折起到1A DE △的位置，使1A C CD ⊥，存在动点M 使()110A M A D λλ=>如图所示．（1）求证：1A C ⊥平面BCDE ；（2）当12λ=时，求二面角C MB E --的正弦值；（3）设直线BM 与平面1A BE 所成线面角为θ，求sin θ的最大值．【答案】（1）证明见解析（2）20（3）148【解析】【分析】（1）先证DE ⊥平面1A CD ，可得1DE A C ⊥，进而可得1A C ⊥平面BCDE ；（2）建系标点，分别求平面BMC 、平面BME 的法向量，利用空间向量求二面角；（3）根据题意可得()2,3,BM λ=-和平面1A BE 的法向量，利用空间向量求线面夹角.【小问1详解】因为90C ∠=︒，则AC BC ⊥，且DE BC ∥，可得AC DE ⊥，将ADE V 沿DE 折起到1A DE △的位置，始终有1DE A D ⊥，DECD ⊥，因为1A D CD D = ，1A D ，CD ⊂平面1A CD ，所以DE ⊥平面1ACD ，由1A C ⊂平面1A CD ，可得1DE A C ⊥，且1A C CD ⊥，CD DE D = ，CD ，DE ⊂平面BCDE ，所以1A C ⊥平面BCDE .【小问2详解】由（1）可知，1AC ，CD ，CB 两两垂直，翻折前，因为DE 经过ABC V 的重心，且DE BC ∥，所以2AD CD =，所以2CD =，4=AD ，223DE BC ==，翻折后14A D =，由勾股定理得1AC ===以C 为原点，直线CD ，CB ，1CA 分别为x ，y ，z轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0C，(10,0,A ，()2,0,0D，(M ，()0,3,0B ，()2,2,0E ，可得(CM =，(1,3,MB =- ，()2,1,0BE =-，设平面BMC 的法向量 =1,1,1，则11111030m CM x m MB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩ ，令11z =，则110x y==，可得()m =，设平面BME 的法向量 =2,2,2，则222223020n MB x y n BE x y ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令21x =，则222,y z ==，可得1,n ⎛= ⎝，可得10cos ,20m nm n m n⋅====⋅，且[],0,πm n ∈，则sin ,20m n ===，所以二面角C MB E --的正弦值为39020.【小问3详解】由（2）可知(10,3,BA =- ，()2,1,0BE =-，(12,0,A D =- 设平面1A BE 的法向量()333,,p x y z =，则133333020p BA y p BE x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令31x =，则331,y z ==，可得(1,p =，且((()110,3,2,0,2,3,BM BA A D λλλ=+=-+-=-，因为直线BM 与平面1A BE 线面角为θ，则sin cos ,p BM p BM p BM θ⋅==⋅8=当且仅当74λ=时，等号成立，所以sin θ的最大值为148.19.对于一组向量123,,,n a a a a （*n ∈N 且3n ≥），令123n n S a a a a =++++ ，如果存在{}()1,2,3,,m a m n ∈ ，使得m n m a S a ≥- ，那么称m a，是该向量组的“H 向量”．（1）设()()*,n a x n n n =+∈N ，若3a 是向量组1a ，2a ，3a 的“H 向量”，求实数x 的取值范围；（2）若()*ππcos ,sin 22n n n a n ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭N ，向量组1a ，2a ，3a ， ，11a 是否存在“H 向量”？若存在求出所有的“H 向量”，若不存在说明理由；（3）已知1a ，2a ，3a 均是向量组1a ，2a ，3a 的“H 向量”，其中1x a ⎫=⎪⎭，2x a -⎫=⎪⎭，求证：222123a a a ++ 可以写成一个关于e x 的二次多项式与一个关于e x -的二次多项式的乘积．【答案】（1）[]2,0-（2）存在“H 向量”，分别为2a ，6a ，10a （3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意分析可得312a a a ≥+ ，结合模长公式列式求解即可；（2）根据题意可得1n a = ，4n n a a +=uuu r u u r ，结合111m s a -= 可得π1cos 22m ≤-，即可分析证明；（3）根据题意分析可得1230a a a ++=，3x x a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，结合模长公式分析证明即可.【小问1详解】由题意可得：33312a S a a a ≥-=+ ，因为(),n a x n n =+ ，则()()()121,2,223,3a a x x x x +=+++=+ ，()33,3a x =+ ，则22312a a a ≥+ ，即()()2239239x x ++≥++，整理得()360x x +≤，解得20x -≤≤，所以实数x 的取值范围为[]2,0-.【小问2详解】存在，理由如下：假设存在“H 向量”m a ，因为ππcos ,sin 122n n n a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，且444ππcos π,sin πcos ,sin 2222n n n n n n a a +++⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，则由题意，只需要使得111m S a -= ，又因为()()()()()12340,11,00,11,00,0a a a a +++=+-+-+= ，则()11123111231,0S a a a a a a a =++++=++=- ，可得11ππ1cos ,sin 22m m m S a ⎛⎫-=--- ⎪⎝⎭，由ππ1cos ,sin 122m m ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭1≤，整理得π22cos 12m +≤，解得π1cos 22m ≤-，又因为{}*|11m x m ∈∈≤N ，即2m =，6，10满足上式，所以存在“H 向量”，分别为2a ，6a ，10 a 满足题意；【小问3详解】由题意得：123a a a ≥+ ，22123a a a ≥+ ，即()22123a a a ≥+ ，222123232a a a a a ≥++⋅ ，同理222213132a a a a a ≥++⋅ ，222312122a a a a a ≥++⋅ ，三式相加并化简得：2221231213230222a a a a a a a a a ≥+++⋅+⋅+⋅，即()21230a a a ++≤ ，1230a a a ++≤ ，所以1230a a a ++= ，由1230a a a ++=，可得3x x a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得()()222222222123e e e e e e 1e e 2222222x x x x x x x x a a a ----+++=++=++++ ()()()222e e 1e e 1e e 1e e 1x x x x x x x x ----=++=+-=+++-()()2211e 1e 1e e 1e e 1e e x x x x x x x x ----⎛⎫⎛⎫=+++-=++-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以222123a a a ++ 可以写成一个关于e x 的二次多项式与一个关于e x -的二次多项式的乘积.【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.。
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高二数学段考试题班别 姓名一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．平行四边形ABCD 的相邻两边AB 与BC 的长分别为a 和b ，将平行四边形分别绕AB 和BC 旋转一周，形成两个几何体，它们的体积之比是 （ ）A ．baB ．ab C ．3)(abD ．3)(ba 2．长方体的全面积为72，则长方体的对角线长的最小值是（ ）A ．6B ．62C ．12D ．1223．设M 、O 、A 、B 、C 是空间的点，则使M 、A 、B 、C 一定共面的等式是 （ ） A ．0=+++OM B ．OM --=2C ．413121++=D ．0=++4．正六棱柱AC 1的所有棱长均为1，过棱AB 和D 1E 1作截面，则此截面的面积是（ ）A ．2B ．3C ．13+D ．433 5．正四棱锥S —ABCD 中，BC=6，SA=5，那么SA 和BC 的间距为 （ ）A ．4B ．34C ．32D ．723 6．设地球半径为Rkm ，在地球北纬30°圈上有甲、乙两个卫星地面接受站，它们的球面距离为R π33km ，则甲、乙两地的经度差ϕ满足（ ）A ．ο90≤ϕ B ．οο12090<<ϕ C ．ο120=ϕD ．ο120>ϕ7．已知与则),1,2,1(),1,1,0(-=-（ ）A ．90°B ．30°C ．60°D ．150°8．如图，一正方体棱长为3cm ，在每个面正中央有一个入口为正方形的孔通到对面，孔的边长为1cm ，孔的各棱平行于正方体各棱，则所得几何体的总表面积为 （ ） A ．54cm 2 B ．72cm 2 C ．76cm 2 D ．84cm 29．圆锥的母线长为l ，高为h ，，如果过圆锥顶点的截面的最大值为22l ，则（ ）A ．22≥l h B ．22=l hC ．22≤l h D ．22<l h 10．已知点A （1，0，0），B （0，1，0），C （0，0，1），若存在点D ，使得DB ∥AC ，DC∥AB ，则D 点的坐标是 （ ） A ．（-1，1，1）B ．)21,21,21(-C ．（-1，1，1）或（1，-1，-1）D ．)1,1,1()21,21,21(---或11．已知球的半径为R ，则该球内接圆锥体积的最大值是 （ ）A ．3278R π B ．38132R π C ．38164R π D ．32716R π 12．a ，b 表示不同的直线，γβα,,表示不同的平面，有下面四个命题 （ ）①若;,,,βααβα⊥⊥⊂=⋂则b a a b ②若;,,,b a b a ⊥=⋂=⋂⊥则γβγαβα③;,内的无数条直线不可能垂直平面则不垂直于平面若ααa a④βαβα//,//,,则若b a b a ⊥⊥上述四个命题中，正确的命题序号是（ ）A ．①④B ．①③C ．②④D ．④二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．棱锥的底面是一个锐角为30°，斜边长为2的直角三角形，并且各侧面和底面都成60°的二面角，则此棱锥的全面积为 .14．在三棱锥S —ABC 中，∠ASC=∠BSC=30°，∠ASB=45°，二面角A —SC —B 的平面角的余弦值为 . 15．已知A （1，-1，3），B （0，2，0），C （-1，0，1）若点D 在OZ 轴上，且,BC AD ⊥则||AD .16．将边长为a 的正方形剪去图中的阴影部分（如图），再沿图中虚线折成一个正三棱锥，这个正三棱锥与底面所成角的余弦值是 .三、解答题（本大题共6题，共74分）17．已知：b a ,为空间两个向量，求证)()()(2b b a a b a ⋅⋅⋅≤⋅，当且仅当b a //时，等号成立。
（12分）18．圆锥的内切半球的大圆在圆锥底面上，已知圆锥的全面积与半球的面积之比为18：5，如图，求圆锥的底面半径与母线长之比。
（12分）19．三棱锥P—ABC中，PA=PB，CB⊥面PAB，M、N分别在PC、AB上，且PM=MC，AN=3NB（1）求证：MN⊥AB （2）当∠APB=90°，BC=2，AB=4时，求MN的长。
（12分）20．如图，二面角AllAABAl'⊥'∈∈--于交为,,,60βαβαο，BllBB'⊥'于交。
若3,1,2=''='='BABBAA（1）求||AB；（2）求AB与l所成的角.(12分)21．如图，将四面体P —ABC 沿PA ，PB ，PC 剪开展平，恰好得3221321,P P P P P P P =∆且 （1）求证：四面体P —ABC 中，PA ⊥BC ；（2）若P 1P 2=26，P 1P 3=20，求四面体的体积（12分）22．已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB=AC=a ，∠BAC=90°，顶点A 1在底面ABC 上的射影M 为BC 的中点，且点M 到侧面AA 1B 1B 的距离为a 43， （1）求证平面A 1AM ⊥平面A 1BC ； （2）求二面角A 1—AB —C 的大小； （3）求111C B A ABC V -；（4）求点B 到平面ACC 1A 1的距离.(14分)高二数学段考试题参考答案一、选择题1．B 2．A 3．D 4．B 5．D 6．D 7．D 8．B 9．C 10．A 11．B 12．D 二、填空题13．233 14．322- 15．3 16．6623-三、解答题 17．证明.,//,0,1,cos ),)(()()()()(0]||||)[(4,0||)(2||0||))((2222222222等号成立时即或即即当且仅当恒成立对任意即有对任意实数b a b a b a b b a a b a b b a a b a b a b a R x x b x b a a b x a b x a b x a x π>=<>=<⋅⋅=⋅⋅⋅⋅≤⋅∴≤⋅-⋅=∆∴∈≥+⋅+≥+=+⋅+Θ18．解：设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，球半径为R ， 作圆锥的轴截面SAB ，E 、F 为切点，656105)(36)(36536365182,2,:053636,5182)(,.,22222222222222222222或即由题意即故即中在半球圆锥全面积=∴=+-∴=+-=+=+==+-=+-=⋅-=⋅=⊥∆l r l rl r a l rl r Rrl r R S rl r S l rl r Rrl r r l lr R lR r r AS AE AO AS OE AOS Rt πππππππππ19．解：设.||41||4121214141)214141()(214141,4341)(41),(21,,,0,0|,|||,,,2222MN AB a b a c b c a b c b a a b MN AB cb a PM PN MN b a b a b BN PB PNc b PM c b PC ⊥∴=-=⋅+⋅--=-+⋅-=⋅∴-+=-=∴+=-+=+=+=+=-==⋅=⋅====且则.22168841|214141|1||2||22||||0,4,2,90)2(的长为即且时MN c b a MN c b a c b c a b a AB BC APB =++=-+=∴====⋅=⋅=⋅===∠οΘ20．解：.45,45,2263,cos )2(.6||60)60180cos(12201)3(2222||2222222角成与即上取在οοοοΘΘl AB B A AB B A AB B A l AB B B B A B B A A B A A A B A A A AB AB AB BB B A A A AB >''∠∴='''''<''=∴=+-⨯⨯⨯++++='⋅'+'⋅+'⋅+'+=⋅=∴'+''+'=21．解：（1）由题知A ，B ，C 是△P 1P 2P 3各边中点，∵P 1P 2=P 2P 3.11935010)5121021(3131,12,10,20,13,13,26)2(.,,,,,,,223121=⨯-⨯⨯=⋅=∴==∴==∴======∴=⊥∴⊂⊥∴⊥⊥==∴∆BC S V PD AD BC D PA BC P P AB PC PB AC AB P P PA BC PAD PA PAD BC BCPD BC AD AD D BC PC PB AC AB APD PABC 中点是又平面平面则连结中点取从而ΘΘΘ22．解（1）证BCA AM A AM A AM BC A AM BC AM BC M AC AB AM M A ABC M A 111111,,,,⊥∴⊂⊥∴⊥∴=⊥∴⊥平面平面平面中点为又平面ΘΘ .23,2,43,)4(43,2360tan )3(60,60,23sin 221,//43,.,,,,)2(11111311111111111111111111111a A ACC B AC A M AC A B BC M a AB A M AC A M S S V V aM A S V a MD M A C AB A MDH DM MH MDH a AC MD CA MD a MH B B AA MH H D A MH B B AA DM A DM A AB C AB A DM A AB D A D A D AB MD ABA AC A AMB A AMC A BC A C B A ABC 的距离为到平面即点倍的距离的到平面的距离为点到平面点的中点为又的距离且等于到平面的距离等于点到平面点的大小为即二面角又由题设条件知面则于作面面面的平面角是二面角则连于作柱∴∴===⋅=∴=⋅=--=∠∴==∠∴==∴=⊥⊥⊥∴⊥∴--∠∴⊥⊥∆∆--∆-ΘΘΘοοο。