专题2.2 以解析几何中离心率、最值、范围为背景解答题-2019年高考数学备考系列(江苏专版)(解析版)

专题二 压轴解答题

第二关 以解析几何中离心率、最值、范围为背景解答题

【名师综述】解析几何中的范围、最值和离心率问题仍是高考考试的重点与难点，试题难度较大．注意

分类讨论思想、函数与方程思想、化归与转化思想等的应用，如解析几何中的最值问题往往需建立求解目标函数，通过函数的最值研究几何中的最值．

类型一 离心率问题

典例1．【2019江苏南京模拟】设双曲线与直线相交于两个不同的点求

双曲线的离心率的取值范围． 【答案】

【解析】由双曲线C 与直线l 相交于两个不同的点，知方程组有两个不同的实数解． 消去y 并整理得：

，所以

，解得

且

．所以双

曲线的离心率．

因为且，所以且，故离心率e 的取值范围为．

【名师指点】本题考查双曲线的几何性质及其应用，对于双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式

；②只需要根据一个

条件得到关于

的齐次式，结合

转化为

的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或

转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 (的取值范围)．

【举一反三】已知椭圆()22

2210x y a b a b

+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 且与x 轴垂直的直线交椭

圆于A B 、两点，直线2AF 与椭圆的另一个交点为C ，若23ABC BCF S S ∆∆=，则椭圆的离心率为________．

【答案】

5

5

类型二最值、范围问题

典例2．【2019江苏扬州第一学期期末检测】在平面直角坐标系中，椭圆M：(a＞b＞0)的离心率

为，左右顶点分別为A，B，线段AB的长为4．P在椭圆M上且位于第一象限，过点A，B分别作l1⊥PA，l2⊥PB，直线l1，l2交于点C．

（1）若点C的横坐标为﹣1，求P点的坐标；

（2）直线l1与椭圆M的另一交点为Q，且，求的取值范围．

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）由题意得，解得a＝2，c＝1，∴b2＝a2﹣c2＝3，

∴椭圆M的方程是1，且A（﹣2，0），B（2，0），设P（x0，y0），则k P A，

∵l1⊥P A，∴直线AC的方程为y（x+2），同理：直线BC的方程为y（x﹣2）．

联立方程，解得，又∵y0，∴点C的坐标为（﹣x0，y0），∵点C的横坐标为﹣1，∴x0＝1，又∵P为椭圆M上第一象限内一点∴y0

∴P点的坐标为．

（2）设Q（x Q，y Q）∵λ，∴，解得：，

∵点Q在椭圆M上，∴，又，

整理得：，解得：x0＝2或，

∵P为椭圆M上第一象限内一点，∴，解得：，故λ的取值范围为（，）．【名师指点】求最值、范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围．在建立函数的过程中要根据题目的其他已知条件，把需要的量都用我们选用的变量表示，有时为了运算的方便，在建立关系的过程中也可以采用多个变量，只要在最后结果中把多变量归结为单变量即可，同时要特别注意变量的取值范围．

例3．【2019江苏清江中学第二次调研】在平面直角坐标系中，已知点F为抛物线的焦点，点A在抛物线E上，

点B在x轴上，且是边长为2的等边三角形．

（1）求抛物线E的方程；

（2）设C是抛物线E上的动点，直线为抛物线E在点C处的切线，求点B到直线距离的最小值，并求此时点C的坐标．

【答案】（1）（2）最小值为2，

【解析】（1）因为是边长为2的等边三角形，所以，将代入得，，

解得或（舍去）．所以抛物线的方程．

(2)设点，直线的方程为，

由，得，

因为直线为抛物线在点处的切线，所以，解得，

所以直线的方程为，所以点到直线的距离为

，当且仅当，即时取得最小值2，

此时．学-科网

【举一反三】

1．【2019江苏南通三县第一学期期末联考】如图，A是椭圆的左顶点，点P，Q在椭圆上且均在x轴上方．

（1）若直线AP与OP垂直，求点P的坐标；

（2）若直线AP，AQ的斜率之积为，求直线PQ的斜率的取值范围．

【答案】(1) (2)

【解析】（1）设，则，

因为直线AP与OP垂直，所以，即，得①

又点P 在椭圆上，所以②

由①②得或-2（舍去），代入②得，因为点P 在x 轴上方，所以．

（2）由于直线AP ，AQ 的斜率之积为，点P ，Q 在椭圆上且均在x 轴上方． 所以可设直线AP ，AQ 的斜率分别为

，则

，所以直线AP 的方程为

，

联立得，设，

则，即，同理可得，．

所以直线PQ 的斜率为，

因为

，所以

，注意到，点P ，Q 不重合，所以等号不成立，

所以，所以直线PQ 的斜率的取值范围为．

2．已知椭圆()222210x y a b a b

+=>>的离心率33e =，左、右焦点分别为12,F F ，且2F 与抛物线2

4y x

=的焦点重合．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若过1F 的直线交椭圆于,B D 两点，过2F 的直线交椭圆于,A C 两点，且AC BD ⊥，求AC BD +的最小值．学科-网

【答案】（1）椭圆的标准方程为22132

x y +=；（2）AC BD +的最小值为163

5．

【解析】

（1）抛物线2

4y x =的焦点为()1,0，所以1c =，

又因为13

c e a a =

==，所以3a =