数值分析05内积空间

复数取共轭
若L
2 [ a ,b ]
为复值函数，则定义内积 ( x, y ) a x(t ) y (t )dt （满足内积公理）
b
例 3 在 l { x x ( x1 , x2 ,),
2
| x
i 1

i
|2 , xi 为复数} 中，
x ( x1 , x2 ,), y ( y1 , y2 ,) l 2 ，定义
i 1 n
1 2
1 2

i 1
n
2 2 xi yi xi yi i 1 i 1
n n
1/2
1/2
② 内积可诱导范数
内积诱导 出的范数
2
在内积空间U中，若令 x ( x, x ) 即 x ( x, x )
可验证满足范数公理， 故U 是按内积导出的赋范线性空间。 进一步也可由范数导出距离
第0.5节 内积空间
§0.5.1 内积空间 §0.5.2 正交分解 §0.5.3 Hilbert空间中的Fourier分析
回顾
0.2节-----距离空间（距离公理） 元素间距离 0.3节-----赋范线性空间（范数公理） 元素的度量 两向量之间的夹角？ -----内积空间
§0.5.1 内积空间
问题：如何求 U 中 x 在 M 中的投影 x0？
情形 1
设 M spane1, e2 ,, en 是有限维线性子空间
情形 2
设 M spane1, e2 ,, en , 是无限维线性子空间
§0.5.3 Hilbert空间中的 Fourier分析
在 R3 中， e1 (1,0,0), e2 (0,1,0), e3 (0,0,1) 是三个相互正交的 3 R 则对于 ，有唯一分解 单位向量，
3）希尔伯特（Hilbert）空间
定义 完备的内积空间 U 称为 Hilbert 空间，记作 H
（即内积空间 U 按距离 ( x, y ) x y ( x y, x y ) 是完 备的，亦是 Banach 空间）
举例
例1
在 ——n 维（实或复数）向量空间中，
n
x ( x1 , x2 ,, xn ), y ( y1 , y2 ,, yn ) n ， 定义
若 x0 为 x 在 M 上的投影，则
x x0 inf x y
yM
（**）
而且 x0 是 M 中使（**）成立的唯一点。
(说明 x0 是 M 中逼近 x 的最好元）
问：当 U、M 满足什么条件时， x U 在 M 中有投影？
3）投影定理 设 M 是 Hilbert 空间中闭线性子空间，则
2 2 x ( t ), y ( t ) L L 例 2 在 [ a ,b ] 中， [ a ,b ] ，
定义内积 ( x, y ) a x (t ) y (t ) dt （满足内积公理）
b
范数
2
x ( x 2 (t ) dt ) ， a
b
1 2
则 L[ a ,b ] 按范数是完备的内积空间。
2
2ຫໍສະໝຸດ Baidu
x y x y
③ 内积导出的范数满足平行四边形公式
x y x y 2( x y )
2
2
2
2
证明：
x y x y ( x y, x y ) ( x y, x y )
2 2
x
2
( x, y ) ( y, x ) y
x1e1 x2 e2 x3e3 ，
其中 x1 ( , e1 ), x2 ( , e2 ), x3 ( , e3 ) （由正交性可得） ，
即通过正交性可得到 的唯一分解表达式。
同样在内积空间 U 中，由正交性也可以将 U 中的元素表示 为唯一分解的形式，这将十分有意义。
为向量A和向量B的夹角（ 0, ）
若B为单位向量，即 B 1时，A B A cos，
表示向量A在B方向的投影长度。 两向量内积为零， 那么就说这两个向量是正交的。
两向量正交意味着它们是相互垂直的。记为A B。
A

A B B (| B | 1)
内积空间中正交
x, y U , M , N U 1) 定义 （正交性） 设 U 是内积空间，
x H ，必存在唯一的 x0 M 及x1 M ，使得
x x0 x1
注：完备线性子空间一定是闭线性子空间，反之不成立；
完备空间中：是闭线性子空间 是完备线性子空间；
有限维赋范空间(内积空间)一定是完备并可分的空间。
推广： 当 M 是内积空间 U 的完备线性子空间时， 定理仍 然成立。
2 2
2
x
2
( x, y ) ( y, x ) y
2
2( x y )
x-y
y x+y
x y
判别定理
若赋范线性空间 X 的范数 满足平行四边
2 2 2 2
形公式 x y x y 2( x y ) ，则由范数可诱导 出内积使得 X 成为内积空间。
证： 1.当 X 为实赋范线性空间时，定义
1）定义（内积和内积空间） 设 U 是数域 K（实或
复数域）上的线性空间， 若 x , y U ，存在唯一的数
( x, y ) K ，满足下列三条（内积公理） ：
①正定性： ( x, x ) 0 ， ( x, x ) 0 x 0
② 共轭对称性： ( x, y ) ( y, x)
（*）式称为 x 关于 M 的正交分解。
2) 性质
（1）设 U 是内积空间， x, y U , 若 x y ，则
x y x y
2
2
2
称为“商高定理” ，即勾股定理。
（2）设 U 是内积空间， M U ，则 M 为 U 的闭线 性子空间。
（3）设 U 是内积空间， x U , M U 为线性子空间，
2 x(t)+y(t) x(t) 1 y(t) x(t)-y(t) 0 1 t
0.5. 2 正交分解与投影定理
解析几何中内积：
设矢量A a1 , a2 ,..., an ，B b1 , b1 ,..., bn
A B＝a1b1＋a2b2＋＋an bn
A B A B cos
模
③ 因为 x y ( x y, x y) ( x, x) ( x, y) ( x, y) ( y, y)
x
2
2
2 Re( x , y ) y
2
x 2 x y y ( x y )2
Re( x, y ) ( x, y ) x y
i 1
积 ( x, y ) xi yi 为规范正交系。
2 L 例 3 在 [ , ] 中，若规定内积
( x, y ) x(t ) y (t )dt ，
③ 对第一变元的线性性：
( x y, z ) ( x, z ) ( y, z ), z U 则称 ( x, y ) 为 x, y 的内积，U 为内积空间。
当 K 是实数域时，称 U 为实内积空间；
当 K 为复数域时，称 U 为复内积空间；
通常 U 指的是复内积空间。
注：当 U 为内积空间时， x , y , z U , , K 有
内积 ( x, y ) xi yi （满足内积公理）
i 1
n
范数
n
x ( x, x )

i 1
n
xi ，
2
则 按范数是完备的内积空间，即 Hilbert 空间。
特别的，在 R 中，内积 ( x, y ) xi yi ，范数 x
n
n
i 1
2 x i。 i 1
n
①② ( x, y z ) ( x, y ) ( x, z )
第二变元的 共轭线性性
② ( x, x) ( x, x) 为实数
K为实数域时，第 二变元也是线性的
内积空间的例子：
n
Rn
( x, y ) xi yi
i 1
L [a , b]
2
( f (t ), g (t )) f (t ) g (t )dt
a
b
2）内积的性质
| ( x, y ) | ( x, x ) ( y , y ) ①内积满足 Cauchy-Schwarz 不等式：
1 2
1 2
证：x, y E , K , ( x y , x y ) 0,
即( x, x ) ( x, y ) ( y , x ) | |2 ( y , y ) 0 ( x, y ) 取 ，设y ( y, y )
（4） U 中与 M 正交的所有元素的全体 称为 M 的正交补，记作 M ，
即
M { y y M , y U }。

（5） 设 M 为 U 的线性子空间，
x U , 若x0 M , x1 M ，使得
x x0 x1
（ *）
则称 x0 为 x 在 M 上的正交投影，
注：规范正交系{e1 , e2 ,, en ,} 中任一有限组 {en1 , en2 , , enk } 线性无关。
例1
在 Rn 中，元素组
e1 (1,0,,0), e2 (0,1, 0),, en (0,0, ,1)
为 Rn 中的规范正交系。
例2
在 l 2 中，元素列 e1 (1,0,0,), e2 (0,1,0,), 按内
内积 ( x, y ) xi yi （满足内积公理）
i 1

范数 x ( xi ) ，
2 i 1

1 2
则 l 是 Hilbert 空间。
2
例4 内积
x (t ) 不能从内积导出 空间 C[ a ,b ] 中的范数 x tmax [ a ,b ]
（因为不满足平行四边形公式） ， 也不能按该范数定义
注： 若赋范线性空间 X 的范数不满足平行四边形公式， 则 X 不能成为内积空间。
定理：赋范线性空间成为内积空间 范数满足平行 四边形公式
④内积的连续性
利用Cauchy-Schwarz 不等式求证
内积空间 U 中， 内积 ( x, y ) 是两个变元 x, y 的连续函数， 即当 xn x, yn y （按范数）时，数列 ( xn , yn ) ( x, y )
| ( x, y ) |2 则( x, x ) 0 | ( x, y ) |2 ( x, x ).( y , y ) ( y, y )
2）内积的性质
| ( x, y ) | ( x, x ) ( y , y ) ①内积满足 Cauchy-Schwarz 不等式：
特别地： R n中 ( x, y ) xi yi
( x, y ) x y ( x y , x y )
则U 也是距离空间。
（Cauchy—Schwarz 不等式） ： x, yU ， 有 x, y x y
验证 x ( x, x) 满足范数的三条公理。
① 显然
② x ( x, x) x
（1）若 ( x, y ) 0 ，称 x 与 y 正交，记作 x y ；
（2） 若 y N , 有( x, y ) 0 ， 称 x 与 N 正交， 记作 x N ；
（3）若 x M , y N , 有( x, y) 0 ，称 M 与 N 正交， 记作 M N ；
1 2 2 ( x, y) ( x y x y ) 4
则由平行四边形公式验证其满足内积的三条公理；
2. 当 X 为复赋范线性空间时，定义
虚数单位
1 i 2 2 2 2 ( x, y ) ( x y x y ) ( x iy x iy ) 4 4
则由平行四边形公式验证其满足内积的三条公理。
1．正交系及规范正交系
1）定义
设在 U 空间中有一组非零的元素列（或点列）{en } ，
①若 (ei , e j ) 0 (i j ) ，则称{en } 为正交系； 0 , i j (ei , e j ) {en } 为规范正交系 ②若 ，则称 1 , i j
（或标准正交系） 。