数值分析之曲线拟合

xi 强度 ¿ Ç È ¶ yi ± à Å º
1.4 1.3 1.8 2.5 2.8 2.5 3 2.7 4 3.5 4.2 3.5 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
定义2 设 ψn(x) 是[a,b]上首项系数 an≠0 的 n次多项 式,ρ(x)为[a,b]上权函数，如果多项式序列 满足关系式:
则称为多项式序列 为在[a,b]上带权ρ(x)正交， 称ψn(x)为[a,b]上带权ρ(x)的n次正交多项式。
只要给定区间[a,b]及权函数ρ(x), 均可由一族 线性无关的幂函数 { 1 , x , … , xn , … } 利用逐个正交化手续(Gram-Schmidt正交化方法)：
第三章
曲线拟合的最小二乘法 /函数平方逼近初步
§ 3.1 拟合与逼近问题
曲线拟合问题: (建立试验数据的模型)
在实际应用中，往往并不需要曲线通过给定的数据点， 而只要求用曲线(函数)近似代替给定的列表函数时，其 误差在某种度量意义下最小。
函数逼近问题: (连续函数的逼近)
在实际应用中常需为解析式子比较复杂的函数寻找一个 简单函数来近似代替它，并要求其误差在某种度量意义 下最小。
2 x ii i 1 n
2. 连续函数空间 C[a, b] 上的内积 : 设 f , g C[a , b], 定义内积: ( f , g ) f ( x ) g ( x )dx;
a b
及加权内积 ( f , g ) ( x ) f ( x ) g ( x )dx,
可统称为最佳逼近问题
一. 问题的提出
插值法是使用插值多项式来逼近未知或复杂函数的， 它要求插值函数与被插函数在插值节点上函数值相同 ， 而在其他点上没有要求。在非插值节点上有时函数值 会相差很大。若要求在被插函数的定义区间上都有 较好的近似，就是最佳逼近问题。 必须找到一种度量标准来衡量什么是最佳逼近.
(0 ,0 ) G (1 ,0 ) (n ,0 ) (1 ,1 ) (1 ,n ) (n ,1 ) (n ,n )
则G非奇异的充分必要条件是:
0 ,1,2 , ,n线性无关.
正交多项式
1.正交函数族与正交多项式 定义1 若f(x),g(x)∈C[a,b], ρ(x)为[a,b]上的权函数 且满足:
wenku.baidu.com 最佳逼近
最佳一致逼近是在函数空间 M中选 P(x) 满足 max f ( x) p( x) min (*)
a xb
b
但由于绝对值函数不宜进行分析运算，常替之以

a
( x) ( f
( x) p( x))
2
dx min
来讨论，于是最佳逼近问题变为最佳平方逼近问题 这即为连续函数的最佳平方逼近.
性质4. pn(x) 在区间[-1，1]内有n个不同的实零点。
§ 3.2 曲线拟合(最小二乘法)
一. 实例讲解
实例：考察某种纤维的强度y与其拉伸倍数x的关系，下表是 实际测定的24个纤维样品的强度与相应的拉伸倍数的记录:
± à Å º À ­ ì É ± ¶ Ê ý 1 1.9 2 2 3 2.1 4 2.5 5 2.7 6 2.7 7 3.5 8 3.5 9 4 10 4 11 4.5 12 4.6
对于离散的问题，最佳平方逼近问题为:
( f ( xi ) p( xi ))
i 0 i
m
2
min
就是常说的曲线拟合的最小二乘法.
二. 预备知识
内积:
设X是数域K上的线性空间,若对u,v X, 有K中一个数与之对应,记为(u,v),其满足: (1) (u, u) 0, 且 (u, u)=0 u=0; (2) (u, v)=(u, v); (3) ( u, v)= (u, v), K; (4) (u+v, w)=(u, w)+(v, w), w X, 则 (u, v) 称为u 与 v 的内积; 而定义了内积的 线性空间 X 称为内积空间.
由于(x2 -1)n 是2n次多项式，求n阶导数后得到
于是得首项 xn 的系数
显然最高项系数为1的勒让德多项式为:
勒让德多项式有下述几个重要性质： 性质1. 正交性
性质2.奇偶性 pn(-x)=(-1)n pn (x) 性质3.递推关系 (n+1)pn+1(x)=(2n+1)xpn(x)-npn-1(x) (n=1,2,……) (*) 由p0(x)=1，p1(x)=x，利用 (*) 就可推出pn(x)的 表达式:
构造出正交多项式序列
。
2.勒让德多项式
定义3 当区间为 [-1,1], 权函数 ρ(x) ≡1 时, 由 {1,x,…,xn ,…}正交化得到的多项式就称为勒让德 (Legendre) 多项式,并用 P0(x),P1(x)，…，Pn(x)，… 表示。 这是勒让德于1785年引进的。1814年罗德利克 (Rodrigul) 给出了简单的表达式：
a b
( x )为权函数.
2 范数 : f
2
( f , f ) ( ( x ) f 2 ( x )dx )
a
1 2
b
1 2
定理3.1.1 设0 , 1 , 2 , , n C[a, b],由他们的内积构成的
(0 ,1 ) (0 ,n )
矩阵(称Gram矩阵)
常采用的内积与范数
1. 向量R n空间上的内积:
n (x, y)= i xi yi i=1 T x ( x , x , , x ) 1 2 n T y ( y , y , , y ) 1 2 n
由内积定义范数（满足三个条件） 2 范数 : x (x, x)
则称f(x)与g(x)在[a,b]上带权ρ(x)正交。
若函数族 ψ0(x), ψ1(x), …, ψn(x), … 满足关系
则称{ψk(x)}是[a,b]上带权ρ(x)的正交函数族。
例如，三角函数族 1 ,cosx , sinx , cos2x , sin2x , … 就是在区间 [-π, π] 上的正交函数族。