数值分析法曲线拟合法插值建模法

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数值计算方法插值与拟合

数值计算方法插值与拟合数值计算方法在科学计算和工程应用中起着重要的作用，其中插值和拟合是其中两个常用的技术。

插值是指通过已知的离散数据点来构造出连续函数或曲线的过程，拟合则是找到逼近已知数据的函数或曲线。

本文将介绍插值和拟合的基本概念和常见的方法。

一、插值和拟合的基本概念插值和拟合都是通过已知数据点来近似表达未知数据的方法，主要区别在于插值要求通过已知数据点的函数必须经过这些数据点，而拟合则只要求逼近这些数据点。

插值更加精确，但是可能会导致过度拟合；拟合则更加灵活，能够通过调整参数来平衡拟合精度和模型复杂度。

二、插值方法1. 线性插值线性插值是一种简单的插值方法，通过已知数据点构造出线段，然后根据插值点在线段上进行线性插值得到插值结果。

2. 拉格朗日插值拉格朗日插值是一种基于多项式插值的方法，通过已知数据点构造出一个多项式，并根据插值点求解插值多项式来得到插值结果。

3. 分段线性插值分段线性插值是一种更加灵活的插值方法，通过将插值区间分成若干小段，然后在每个小段上进行线性插值。

三、拟合方法1. 最小二乘法拟合最小二乘法是一种常用的拟合方法，通过最小化实际观测点和拟合函数之间的残差平方和来确定拟合函数的参数。

2. 多项式拟合多项式拟合是一种基于多项式函数的拟合方法，通过选择合适的多项式次数来逼近已知数据点。

3. 曲线拟合曲线拟合是一种更加灵活的方法，通过选择合适的曲线函数来逼近已知数据点，常见的曲线包括指数曲线、对数曲线和正弦曲线等。

四、插值与拟合的应用场景插值和拟合在实际应用中具有广泛的应用场景，比如图像处理中的图像重建、信号处理中的滤波器设计、金融中的风险评估等。

五、插值与拟合的性能评价插值和拟合的性能可以通过多种指标进行评价，常见的评价指标包括均方根误差、相关系数和拟合优度等。

六、总结插值和拟合是数值计算方法中常用的技术，通过已知数据点来近似表达未知数据。

插值通过已知数据点构造出连续函数或曲线，拟合则找到逼近已知数据的函数或曲线。

数学建模插值及拟合详解Word版

数学建模插值及拟合详解Word版插值和拟合实验⽬的：了解数值分析建模的⽅法，掌握⽤Matlab进⾏曲线拟合的⽅法，理解⽤插值法建模的思想，运⽤Matlab⼀些命令及编程实现插值建模。

实验要求：理解曲线拟合和插值⽅法的思想，熟悉Matlab相关的命令，完成相应的练习，并将操作过程、程序及结果记录下来。

实验内容：⼀、插值1．插值的基本思想·已知有n +1个节点（xj,yj），j = 0,1,…, n，其中xj互不相同，节点(xj, yj)可看成由某个函数 y= f（x）产⽣；·构造⼀个相对简单的函数 y=P(x)；·使P通过全部节点，即 P (xk) = yk，k=0,1,…, n ；·⽤P (x)作为函数f ( x )的近似。

2．⽤MATLAB作⼀维插值计算yi=interp1(x，y，xi，'method')注：yi—xi处的插值结果；x，y—插值节点；xi—被插值点；method—插值⽅法（‘nearest’：最邻近插值；‘linear’：线性插值；‘spline’：三次样条插值；‘cubic’：⽴⽅插值；缺省时：线性插值）。

注意：所有的插值⽅法都要求x是单调的，并且xi不能够超过x的范围。

练习1：机床加⼯问题x035791112131415y0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6⽤程控铣床加⼯机翼断⾯的下轮廓线时每⼀⼑只能沿x⽅向和y⽅向⾛⾮常⼩的⼀步。

表3-1给出了下轮廓线上的部分数据但⼯艺要求铣床沿x⽅向每次只能移动0.1单位.这时需求出当x坐标每改变0.1单位时的y坐标。

试完成加⼯所需的数据，画出曲线.步骤1：⽤x0，y0两向量表⽰插值节点；步骤2：被插值点x=0:0.1:15; y=y=interp1(x0,y0,x,'spline');步骤3：plot(x0,y0,'k+',x,y,'r')grid on答：x0=[0 3 5 7 9 11 12 13 14 15 ];y0=[0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6 ];x=0:0.1:15;y=interp1(x0,y0,x,'spline');plot(x0,y0,'k+',x,y,'r')grid on0510150.511.522.53．⽤MATLAB 作⽹格节点数据的插值(⼆维) z=inte rp2(x0,y0,z0,x,y,’method’) 注：z —被插点值的函数值；x0，y0，z0—插值节点；x ，y —被插值点；method —插值⽅法（‘nearest’ ：最邻近插值；‘linear’ ：双线性插值； ‘cubic’ ：双三次插值；缺省时：双线性插值）。

数值分析之曲线拟合

xi 强度 ¿ Ç È ¶ yi
5.5 5 5.5 6.4 6 5.3 6.5 7 8.5 8 8.1 8.1
9
纤维强度随拉伸倍数增加而增加并且24个点大致分布在一条直线附近
因此可以认为强度 y与拉伸倍数x的主要关系应是线性关系
8 7 6 5 4 3 2 1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y( x) 0 1 x
即
[ a ( x ) ( x ) f ( x )] 0
i 0 j 0 n j j i k i i k i
m
n
a ( x ) ( x ) f ( x )
i 0 j 0 j j i k i i 0 i k i
m
m
a ( x ) ( x ) f ( x )
定义2 设 ψn(x) 是[a,b]上首项系数 an≠0 的 n次多项式,ρ(x)为[a,b]上权函数，如果多项式序列满足关系式:
则称为多项式序列为在[a,b]上带权ρ(x)正交，称ψn(x)为[a,b]上带权ρ(x)的n次正交多项式。
只要给定区间[a,b]及权函数ρ(x), 均可由一族线性无关的幂函数 { 1 , x , … , xn , … } 利用逐个正交化手续(Gram-Schmidt正交化方法)：
j 0
n
* 2 称为最小二乘解的平方误差
在确定了拟合函数 S( x)后, 如何求拟合系数 a j ( j 0,1,, n)
使得S *( x ) a* j j ( x ) 满足拟合条件(3)呢？
j 0 n
2
三、法方程组
由
S ( x ) a j j ( x )

常用数值分析方法3插值法与曲线拟合

8/37
p1(x)y1yx2 2 xy11(xx1)（变形）
xx1xx22y1xx2xx11y2
A1(x)
A2(x)
插值基函数
X.Z.Lin
3.2.3 抛物线插值
已知：三点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）求：其间任意 x 对应的 y 值
y (x3, y3)
y=f(x) (x2, y2) y=p2(x)
（1）算术平均值
n
xi
x i1 n
（2）标准偏差
n xi2 N xi 2 n
i1
i1
n1
（3）平均标准偏差
E
n
（4）剔出错误数据??可可疑疑数数据据
Q 数据排序（升）：x1，x2，…，xn；
最大与最小数据之差；
值可疑数据与其最邻近数据之间的差
法求Q值：
Qxnxn1 或 Qx2x1
3.1 实验数据统计处理
3.1.1 误差
系统误差经常性的原因
影响比较恒定
偶然误差
偶然因素
正态分布规律
校正
过失误差
统计分析
-3σ -2σ -σ 0 σ 2σ 3σ 图6.1 平行试验数据的正态分布图
操作、计算失误
错误数据
剔出
21:39 07.02.2021
2/37
X.Z.Lin
3.1.2 数据的统计分析
A3(x)(x(x3 xx11))((xx3xx22))
21:39 07.02.2021
9/37
X.Z.Lin
3.2.4 Lagrange插值的一般形式
已知：n点（x1，y1）、（x2，y2）……（xn，yn）求：其间任意 x 对应的 y 值

数学建模案例分析插值与拟合方法建模1数据插值方法及应用

第十章插值与拟合方法建模在生产实际中,常常要处理由实验或测量所得到的一批离散数据，插值与拟合方法就是要通过这些数据去确定某一类已经函数的参数，或寻求某个近似函数使之与已知数据有较高的拟合精度.插值与拟合的方法很多,这里主要介绍线性插值方法、多项式插值方法和样条插值方法，以及最小二乘拟合方法在实际问题中的应用。

相应的理论和算法是数值分析的内容，这里不作详细介绍,请参阅有关的书籍.§1 数据插值方法及应用在生产实践和科学研究中，常常有这样的问题：由实验或测量得到变量间的一批离散样点，要求由此建立变量之间的函数关系或得到样点之外的数据。

与此有关的一类问题是当原始数据),(,),,(),,(1100n n y x y x y x 精度较高，要求确定一个初等函数)(x P y =（一般用多项式或分段多项式函数）通过已知各数据点（节点），即n i x P y i i ,,1,0,)( ==，或要求得函数在另外一些点(插值点)处的数值，这便是插值问题。

1、分段线性插值这是最通俗的一种方法,直观上就是将各数据点用折线连接起来.如果b x x x a n =<<<= 10那么分段线性插值公式为n i x x x y x x x x y x x x x x P i i i i i i i i i i ,,2,1,,)(11111 =≤<--+--=----- 可以证明，当分点足够细时，分段线性插值是收敛的。

其缺点是不能形成一条光滑曲线。

例1、已知欧洲一个国家的地图，为了算出它的国土面积，对地图作了如下测量：以由西向东方向为x 轴,由南向北方向为y 轴，选择方便的原点，并将从最西边界点到最东边界点在x 轴上的区间适当的分为若干段，在每个分mm ）.根据地图的比例，18 mm 相当于40 km 。

根据测量数据，利用MATLAB 软件对上下边界进行线性多项式插值，分别求出上边界函数)(2x f ,下边界函数)(1x f ，利用求平面图形面积的数值积分方法—将该面积近似分成若干个小长方形，分别求出这些长方形的面积后相加即为该面积的近似解。

曲线拟合和插值运算原理和方法

实验10 曲线拟合和插值运算一．实验目的学会MATLAB 软件中软件拟合与插值运算的方法。

二．实验内容与要求在生产和科学实验中，自变量x 与因变量y=f(x)的关系式有时不能直接写出表达式，而只能得到函数在若干个点的函数值或导数值。

当要求知道观测点之外的函数值时，需要估计函数值在该点的值。

要根据观测点的值，构造一个比较简单的函数y=t (x),使函数在观测点的值等于已知的数值或导数值，寻找这样的函数t(x),办法是很多的。

根据测量数据的类型有如下两种处理观测数据的方法。

（1）测量值是准确的，没有误差，一般用插值。

（2）测量值与真实值有误差，一般用曲线拟合。

MATLAB 中提供了众多的数据处理命令，有插值命令，拟合命令。

1.曲线拟合已知离散点上的数据集[(1x ,1y ),………(n x ,n y )]，求得一解析函数y=f (x),使f(x)在原离散点i x 上尽可能接近给定i y 的值，之一过程叫曲线拟合。

最常用的的曲线拟合是最小二乘法曲线拟合，拟合结果可使误差的平方和最小，即使求使21|()|n i ii f x y =-∑ 最小的f(x).格式：p=polyfit(x,Y ,n).说明：求出已知数据x,Y 的n 阶拟合多项式f(x)的系数p ，x 必须是单调的。

[例 1.9]>>x=[0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0]; %给出数据点的x 值>>y=[1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60]; %给出数据点的y 值>>p=polyfit (x,y,2); %求出二阶拟合多项式f(x)的系数>>x1=0.5:0.05:3.0; %给出x 在0.5~3.0之间的离散值>>y1=polyval(p,1x ); %求出f(x)在1x 的值>>plot(x,y,‟*r ‟, 11,x y ‟-b ‟) %比较拟合曲线效果计算结果为：p=0.5614 0.8287 1.1560即用f(x)=0.56142x +0.8287x+1.1560拟合已知数据，拟合曲线效果如图所示。

插值法和曲线拟合的主要差异

插值法和曲线拟合的主要差异引言在数学和统计学中，插值法和曲线拟合是两种常用的数据处理方法。

它们在数据分析、模型构建和预测等领域发挥着重要作用。

本文将详细介绍插值法和曲线拟合的定义、原理、应用以及它们之间的主要差异。

插值法定义插值法是一种通过已知数据点之间的函数关系来推断未知数据点的方法。

它基于一个假设，即已知数据点之间存在一个连续且光滑的函数，并且通过这个函数可以准确地估计其他位置上的数值。

原理插值法通过对已知数据点进行插值操作，得到一个近似函数，然后使用这个函数来估计未知数据点的数值。

常见的插值方法有拉格朗日插值、牛顿插值和样条插值等。

应用插值法在各个领域都有广泛应用，如地图制作中根据少量已知地理坐标点推算其他位置上的坐标；传感器测量中根据离散采样点推断连续时间序列上未采样到的数据；图像处理中通过已知像素点推测其他位置上的像素值等。

主要特点•插值法可以精确地通过已知数据点估计未知数据点的数值，适用于需要高精度估计的场景。

•插值法对输入数据的要求较高，需要保证已知数据点之间存在连续且光滑的函数关系。

•插值法只能在已知数据点之间进行插值，无法对整个数据集进行全局拟合。

曲线拟合定义曲线拟合是一种通过选择合适的函数形式，并调整函数参数来使得函数与给定数据集最为接近的方法。

它不仅可以对已知数据进行拟合，还可以根据拟合结果进行预测和模型构建。

原理曲线拟合首先选择一个适当的函数形式，如多项式、指数函数、对数函数等。

然后使用最小二乘法或最大似然估计等方法来确定函数参数，使得函数与给定数据集之间的误差最小化。

应用曲线拟合广泛应用于各个领域，如经济学中根据历史数据构建经济模型进行预测；物理学中通过实验数据来验证理论模型；生物学中根据实验测量数据拟合生长曲线等。

主要特点•曲线拟合可以对整个数据集进行全局拟合，能够更好地描述数据的整体趋势。

•曲线拟合可以选择不同的函数形式和参数，灵活性较高。

•曲线拟合可能存在过拟合或欠拟合的问题，需要通过模型评估和调整来提高拟合效果。

《数值分析》第5章曲线拟合与函数插值

例如用函数
y Aebx
(5.8)
去拟合一组给定的数据，其中 A和 b是待定参这数时. ，可以在 (5.8) 式两端取
对数，得
ln y ln A bx
记 y ln y，a ln A，则上式可写成 y a b. x这样，仍可用最小二乘法解出
和 a (从而b 也就确定了和 A) ，于b 是得到拟合函数
区间 [a,b]上是存在的，但往往不知道其具体的解析表达式，只能通过观察、
测量或实验得到一些离散点上的函数值.
我们希望对这种理论上存在的函数用一个比较简单的表达式近似地给出整体上的描述.
此外，有些函数虽然有明确的解析表达式，但却过于复杂而不便于进行理论分析和数值计算，我们同样希望构造一个既能反映函数特性又便于计算的简单函数，近似替代原来的函数.
图5-1 人口增长的线性模型
5.1.1 最小二乘问题
设人口 y 与年份 x之间的函数关系为
y a bx
（5.1）
其中 a和 b 是待定参数. 由图5-1可知， (xi , yi并) 不是严格地落在一条直线上，
因此，不论怎样选择和 a，都b不可能使所有的数据点
(x均i ,满yi )足关系
式 (5.1) .
s0 10, s1 545, s2 29785, u0 18.09, u1 987.78
于是正规方程组为
10 545 a 18.09 545 29785 b 987.78
5.1.2 最小二乘拟合多项式
解得 a 0.570，4 b 0.02，27于是 A ea 1.76，90所求拟合函数为
21 91
441
a1
163
91 441 2275 a2 777
解得 a0 26.8，a1 14.08，57 a2 ，2因此所求拟合多项式为

数值分析中的插值和拟合

数值分析中的插值和拟合数值分析是一门运用数学方法和计算机技术来解决实际问题的学科，其中的插值和拟合是其中的两个重要概念。

一、插值在数值分析中，插值是指在已知数据点的情况下，利用一定的数学方法来估计在此数据范围之外任意一点的函数值。

常用的插值方法有拉格朗日插值、牛顿插值和分段线性插值等。

以拉格朗日插值为例，假设已知数据点(x0, y0), (x1, y1), …, (xn, yn) ，其中 xi 不相同，Lagrange 插值问题就是要找到一个函数p(x)，使得：p(xi) = yi (0 <= i <= n)并且 p(x) 在区间 [x0, xn] 上为连续函数。

然后，根据拉格朗日插值多项式的定义，拉格朗日插值多项式Lk(x) 可以定义为：$$ L_k(x) = \prod_{i=0, i \neq k}^n \frac{x - x_i}{x_k - x_i}$$然后，定义插值多项式 p(x) 为：$$ p(x) = \sum_{k=0}^n y_k L_k(x) $$这样，我们就可以通过计算插值多项式来估计任意一点 x 的函数值了。

二、拟合拟合是在给定一组离散数据点的情况下，通过一定的数学方法来找到一个函数 f(x)，使得该函数可以较好地描述这些数据点之间的关系。

拟合方法主要包括最小二乘法和非线性拟合等。

以最小二乘法为例，假设有 m 个数据点(x1, y1), (x2, y2), …, (xm, ym) ，要找到一个函数 f(x)，使得该函数与这些数据点的误差平方和最小，即：$$ S = \sum_{i=1}^m (y_i - f(x_i))^2 $$最小二乘法就是要找到一个函数 f(x)，使得 S 最小。

假设这个函数为：$$ f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ... + a_n x^n $$则 S 可以表示为：$$ S = \sum_{i=1}^m (y_i - a_0 - a_1 x_i - a_2 x_i^2 - ... - a_nx_i^n)^2 $$接下来，我们需要求解系数a0, a1, …, an，在满足式子 (2) 的情况下，使得 S 最小。

数值分析知识点总结

数值分析知识点总结数值分析是一门研究数值计算方法的学科，它旨在研究如何使用计算机算法来解决数学问题。

数值分析广泛应用于科学与工程领域，如物理学、化学、计算机科学、经济学等，有助于我们在计算机上进行精确、高效、可靠的数值计算。

以下是数值分析的一些重要知识点。

1.数值误差：数值计算中存在着各种误差，包括舍入误差、截断误差、传播误差等。

舍入误差是由于计算机对无限小数进行近似表示而产生的误差，截断误差是由于计算方法不完全而导致的误差，传播误差是由于误差在计算过程中的传播而产生的误差。

2.插值与外推：插值是一类问题，它的目标是通过已知数据点的近似值来估计未知点的值。

插值方法包括拉格朗日插值、牛顿插值等。

外推是在已知数据点外估计函数值的方法，例如外推法、Richardson外推法等。

3.数值积分与微分：数值积分是计算函数在给定区间上的定积分的近似值的方法。

常见的数值积分方法有梯形法则、辛普森法则、龙贝格法则等。

数值微分是通过计算函数在给定点的导数的近似值来估计函数的变化率。

4.线性方程组的求解：线性方程组是数值计算中的重要问题之一，其解决方法包括直接法和迭代法。

直接法是通过代数运算求解线性方程组的精确解，如高斯消元法、LU分解法等。

迭代法是通过迭代计算逼近线性方程组的解，如雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法等。

5.非线性方程的求解：非线性方程求解是指求解形式为f(x)=0的方程的根。

常用的非线性方程求解方法有二分法、牛顿法、割线法等。

6.常微分方程的数值解法：常微分方程的数值解法是指通过计算机算法来近似求解微分方程的解。

常用的数值解法包括欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法等。

7.特征值与特征向量的计算：特征值和特征向量是矩阵与线性变换中的重要概念。

求解特征值和特征向量可以帮助我们理解矩阵或线性变换的性质。

常用的特征值计算方法有幂法、反幂法等。

8.曲线拟合与回归分析：曲线拟合是通过给定的散点数据来拟合出一个函数曲线的方法。

数值分析中常用的插值方法

数值分析中常用的插值方法在数值计算中，许多问题都可以用插值方法来近似求解，比如曲线拟合、函数逼近和图像重建等。

插值方法是指在已知数据点的情况下，通过一些数值计算技巧，在每个数据点处构造一个多项式函数，使得该函数在每个数据点处都能通过数据点。

在数据点之间计算函数值时，就可以使用这个多项式函数进行估算。

接下来，我们就来详细介绍一些常见的插值方法。

一、拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一个经典的插值方法，它的思想是通过给定的数据点，构造一个经过这些点的多项式函数进行逼近。

具体来讲，拉格朗日插值法会首先构造一个基函数，该函数满足只在其对应的数据点处等于1，其余的数据点处等于0。

然后，根据基函数和数据点，构造一个多项式函数，使得该函数在每个数据点处都能通过数据点。

最终得到的多项式函数就是插值函数。

优点：简单易懂，使用较为广泛。

缺点：多项式次数较高时造成的误差会较大，且在数据点密集的区域可以出现龙格现象，使得插值函数在某些区间内呈现大幅度振荡。

二、牛顿插值法牛顿插值法是一种递推式的插值方法，它通过利用已知的数据点和前面已经计算出来的差商，得到一个逐步逼近的插值函数。

具体来讲，牛顿插值法会先将已知的数据点连成一条曲线，然后逐个向这条曲线添加新的数据点，每次添加一个新的数据点后，将差商计算出来并加入到之前的差商序列中，最终得到一个多项式函数，它在每个数据点处都能通过数据点。

牛顿插值法的优缺点与拉格朗日插值法相似，但是由于牛顿插值法是递推式的，可以方便的添加新的数据点，因此在数据点多变的情况下，牛顿插值法具有很大的优势。

三、分段插值法分段插值法是一种将插值区间划分为多个子区间的插值方法，在每个子区间内使用插值方法进行插值，然后将所有子区间内的插值函数拼接起来，得到最终的插值函数。

分段插值法主要分为两种：线性分段插值和三次样条插值。

1.线性分段插值线性分段插值的思路很简单，即在每个数据点处构造两条直线，在数据点之间的区间内使用一条直线作为插值函数。

数学建模插值和拟合问题的总结

插值和数据拟合一、插值方法问题：已知n+1个节点(x j ,y j )(j=0,1,…,n)，a=x 0<x 1<…< x n =b ，求任一插值点x*处的插值y*方法：构造一个相对简单的函数y=f(x)，使得f 通过所有节点，即f(x j )= y j ,再用y=f(x)计算x*的值。

1. 拉格朗日多项式插值设f(x)是n 次多项式，记作1110()n n n n n L x a x a x a x a --=++++要求对于节点(,)j j x y 有(),0,1,,n j j L x y j n ==将n+1个条件带入多项式，就可以解出多项式的n+1个系数。

实际上，我们有n 次多项式011011()()()()()()()()()i i n i i i i i i i n x x x x x x x x l x x x x x x x x x -+-+----=----满足1,()0,,,0,1,,i j i jl x i j i j n =⎧=⎨≠=⎩则0()()nn i i i L x y l x ==∑就是所要的n 次多项式，称为拉格朗日多项式。

由拉格朗日多项式计算的插值称为拉格朗日插值。

一般来讲，并不是多项式的阶数越高就越精确，一般采用三阶、二阶或一阶（线性）多项式，对相邻点进行分段插值。

2. 样条插值在分段插值时，会造成分段点处不光滑，如果要求在分段点处光滑，即不仅函数值相同，还要一阶导数和二阶导数相同，则构成三阶样条插值。

一般用于曲线绘制，数据估计等。

例对21,[5,5](1)y x x =∈-+，用n=11个等分节点做插值运算，用m=21个等分插值点作图比较结果。

见inter.m 程序二、曲线拟合三、给药方案１．问题一种新药用于临床必须设计给药方案，在快速静脉注射的给药方式下，就是要确定每次注射剂量多大，间隔时间多长．我们考虑最简单的一室模型，即整个机体看作一个房室，称为中心室，室内血液浓度是均匀的．注射后浓度上升，然后逐渐下降，要求有一个最小浓度1c 和一个最大浓度2c ．设计给药浓度时，要使血药浓度保持在1c ~2c 之间．２．假设（１）药物排向体外的速度与中心室的血药浓度成正比，比例系数是k(>0)，称为排出速度．（２）中心室血液容积为常数V ，t=0的瞬间注入药物的剂量为d ，血药浓度立即为dV．３．建模设中心室血药浓度为c(t)，满足微分方程(0)dckc dtd c V=-=用分离变量法解微分方程，有()ktd c te V-=(*) ４．方案设计每隔一段时间τ，重复注入固定剂量D ，使血药浓度c(t)呈周期变化，并保持在1c ~2c 之间．如图：设初次剂量加大到D 0，易知0221,D Vc D Vc Vc ==-，2121()11ln[],()()ln c Vc t t t c t c k d k c τ=-=-= 那么，当12,c c 确定后，要确定给药方案0{,,}D D τ，就要知道参数V 和k ．５．由实验数据做曲线拟合确定参数值已知1210,25(/)c c g ml μ==，一次注入300mg 药物后，间隔一定ln lndc kt V=- 记12ln ,,lndy c a k a V==-=，则有 12y a t a =+求解过程见medicine_1.m得120.2347, 2.9943a a =-=，由d=300(mg)代入算出k=0.2347,V=15.02(L) 从而有0375.5(),225.3(), 3.9()D mg D mg τ===小时四、口服给药方案１．问题口服给药相当于先有一个将药物从肠胃吸收入血液的过程，可简化为一个吸收室，一个中心室，记t 时刻，中心室和吸收室的血液浓度分别是1()()c t c t 和，容积分别是V ,V1，中心室的排除速度为k ，吸收速度为k1，且k,k1分别是中心室和吸收室血液浓度变化率与浓度的比例系数，t=0口服药物的剂量为d ，则有11111,(0)dc dk c c dt V =-= (1) 111,(0)0V dckc k c c dt V=-+= (2) 解方程(1)有111()k td c te V -=代入方程(2)有111()()k t kt k d c t e e V k k--=--其中三个参数1,,dk k b V=,可由下列数据拟合得到：（非线性拟合）。

数值分析法--曲线拟合法、插值建模法

数值分析法相关知识在生产和科学实验中，自变量x 与因变量y 间的函数关系()y f x =有时不能写出解析表达式，而只能得到函数在若干点的函数值或导数值，或者表达式过于复杂而需要较大的计算量。

当要求知道其它点的函数值时，需要估计函数值在该点的值。

为了完成这样的任务，需要构造一个比较简单的函数()y x ϕ=，使函数在观测点的值等于已知的值，或使函数在该点的导数值等于已知的值，寻找这样的函数()y x ϕ=有很多方法。

根据测量数据的类型有以下两类处理观测数据的方法。

（1）测量值是准确的，没有误差，一般用插值。

（2）测量值与真实值有误差，一般用曲线拟合。

曲线拟合法已知离散点上的数据集1122{(,),(,),,(,)}n n x y x y x y ，即已知在点集12{,,,}n x x x 上的函数值12{,,,}n y y y ，构造一个解析函数（其图形为一曲线）使()f x 在原离散点i x 上尽可能接近给定的i y 值，这一过程称为曲线拟合。

曲线拟合的一般步骤是先根据实验数据，结合相关定律，将要寻求的最恰当的拟合曲线方程形式预测出来，再用其他的数学方法确定经验公式中的参数。

对于事先给定的一组数据，确定经验公式一般可分为三步进行：(1)、确定经验公式的形式：根据系统和测定的数据的特点，并参照已知图形的特点确定经验公式的形式。

（2）、确定经验公式中的待定系数：计算待定系数的方法有许多常用的法有图示法、均值法、差分法、最小二乘法、插值法等。

（3）、检验：求出经验公式后，还要将测定的数据与用经验公式求出的理论数据作比较，验证经验公式的正确性，必要时还要修正经验公式。

关于确定经验公式的形式，可从以下几个方面入手：（1）、利用已知的结论确定经验公式形式，如由已知的胡克定律可以确定在一定条件下，弹性体的应变与应力呈线性关系等。

（2）、从分析实验数据的特点入手，将之与已知形式的函数图形相对照，确定经验公式的形式。

数值分析解决实际问题

数值分析解决实际问题数值分析是一种利用数值计算方法解决实际问题的数学分支。

它通过数值计算和近似方法，对实际问题进行数值求解和模拟，从而得到问题的近似解或数值解。

数值分析在科学研究、工程设计、经济决策等领域都有广泛的应用。

本文将介绍数值分析的基本原理和常用方法，并通过实例说明数值分析如何解决实际问题。

一、数值分析的基本原理数值分析的基本原理是将实际问题转化为数学模型，然后利用数值计算方法对模型进行求解。

数值计算方法是一种近似计算的方法，通过将问题离散化，将连续的问题转化为离散的问题，然后利用数值计算方法对离散问题进行求解，从而得到连续问题的近似解。

二、数值分析的常用方法1. 插值法插值法是一种通过已知数据点来估计未知数据点的方法。

常用的插值方法有拉格朗日插值法和牛顿插值法。

插值法在实际问题中常用于数据的拟合和曲线的绘制。

2. 数值积分法数值积分法是一种通过数值计算来求解定积分的方法。

常用的数值积分方法有梯形法则、辛普森法则和龙贝格法则。

数值积分法在实际问题中常用于求解曲线下面积、计算物体的质量和求解概率密度函数等。

3. 数值微分法数值微分法是一种通过数值计算来求解导数的方法。

常用的数值微分方法有前向差分法、后向差分法和中心差分法。

数值微分法在实际问题中常用于求解速度、加速度和力等。

4. 数值方程求解法数值方程求解法是一种通过数值计算来求解方程的根的方法。

常用的数值方程求解方法有二分法、牛顿法和割线法。

数值方程求解法在实际问题中常用于求解非线性方程和求解方程组等。

5. 数值优化法数值优化法是一种通过数值计算来求解最优化问题的方法。

常用的数值优化方法有梯度下降法、牛顿法和拟牛顿法。

数值优化法在实际问题中常用于求解最小化问题和最大化问题等。

三、数值分析解决实际问题的实例1. 求解微分方程假设有一个弹簧振子的运动方程为m*d^2x/dt^2+kx=0，其中m为质量，k为弹簧常数，x为位移。

我们可以将该微分方程转化为差分方程，然后利用数值计算方法求解差分方程，从而得到弹簧振子的位移随时间的变化。

数值分析实验插值与拟合

数值分析实验插值与拟合插值是指根据已知的数据点，通过其中一种数学方法来构造一个函数，使得该函数在已知的数据点上与被插值函数相等。

插值方法可以分为两类：基于多项式的插值和非多项式插值。

基于多项式的插值方法中，最常用的是拉格朗日插值和牛顿插值。

拉格朗日插值方法通过一个n次多项式来逼近被插值函数，该多项式通过n个已知数据点中的所有点。

牛顿插值方法则通过一个n次多项式来逼近被插值函数，该多项式通过n个已知数据点中的前m+1个点。

非多项式插值方法中，最常用的是分段线性插值和样条插值。

分段线性插值方法将插值区间划分为多个小段，在每一段内使用线性函数来逼近被插值函数。

样条插值方法则使用分段低阶多项式来逼近被插值函数，保证了插值函数和原函数在插值区间内的连续性、光滑性。

拟合是指在给定的离散数据点集合上，通过选取一个函数，使得该函数与数据点之间的误差最小化。

拟合方法可以分为两类：线性拟合和非线性拟合。

线性拟合方法中，最简单的是最小二乘法。

最小二乘法拟合是通过最小化观测数据与拟合函数的残差平方和来选择最佳函数参数。

在实验中，最小二乘法常用于线性回归问题，例如估计一个直线或者平面来拟合数据。

非线性拟合方法中，最常用的是非线性最小二乘法和局部加权回归。

非线性最小二乘法通过将非线性拟合问题转化为线性问题，使用最小二乘法来寻找最佳参数。

局部加权回归方法则通过给予不同数据点不同的权重，以更好地逼近数据点。

在数值分析实验中，插值与拟合可以应用于各种实际问题。

例如，在地理信息系统中，通过已知的地理坐标点来插值出未知点的地理信息。

在气象学中，通过已知的气象数据点来插值出未知点的气象信息。

在工程学中，通过已知的测量数据点来拟合出一个最佳的拟合函数来预测未来的测量值。

需要注意的是，插值和拟合的精度在很大程度上取决于数据的分布和拟合函数的选择。

如果数据点过于稀疏或者数据点中存在异常值，可能导致插值和拟合结果不准确。

因此，在进行插值和拟合之前，需要对数据进行预处理，例如去除异常值、平滑数据等。

数值计算中的插值和拟合方法

在数值计算中，插值和拟合是两种常用的方法，用于通过已知数据点推测未知数据点的数值。

插值是一种通过已知数据点构建一个函数，以便在这些数据点之间进行预测。

而拟合是一种将一个函数与已知数据点进行匹配，以便预测未知数据点的数值。

插值的目标是通过经过已知数据点的连续函数来准确地估计未知数据点的数值。

最简单的插值方法是线性插值，它假设两个相邻数据点之间的函数值是线性变化的。

线性插值可以用于计算两个已知数据点之间的任何位置的函数值。

如果我们有更多的数据点，可以使用更高阶的插值方法，如二次插值或三次插值。

这些方法使用多项式来表示数据点之间的函数，以便更准确地预测未知数据点。

然而，插值方法并不总是最理想的选择。

在某些情况下，通过已知数据点精确地构建一个连续函数是不可能的。

这可能是因为数据点之间的差异太大，或者数据点的数量太少。

在这种情况下，拟合方法可以提供更好的预测结果。

拟合的目标是找到一个函数，使其与已知数据点的误差最小。

最常用的拟合方法是最小二乘拟合，它通过最小化数据点的残差的平方和来找到最佳拟合函数。

最小二乘拟合可以用于各种不同的函数类型，如线性拟合、多项式拟合、指数拟合等。

根据数据点的分布和特性，我们可以选择适当的拟合函数来获得最准确的预测结果。

在实际应用中，插值和拟合方法经常同时使用。

例如，在地理信息系统中，我们可能需要通过已知地点的气温数据来估计未知地点的气温。

我们可以使用插值方法来构建一个连续函数，以便在已知地点之间预测未知地点的气温。

然后，我们可以使用拟合方法来匹配这个连续函数与其他已知数据点，以提高预测的准确性。

插值和拟合方法在科学、工程、金融等各个领域都有广泛的应用。

在科学研究中，它们可以用于数据分析和预测，以帮助我们理解和解释实验结果。

在工程中，它们可以用于控制系统设计、信号处理和机器学习等领域。

在金融领域，它们可以用于市场预测和风险管理等重要任务。

总而言之，插值和拟合是数值计算中常用的方法，用于通过已知数据点推测未知数据点的数值。

数值分析中的插值与拟合

数值分析中的插值与拟合插值和拟合是数值分析中常用的技术，用于估计或预测数据集中缺失或未知部分的数值。

在本文中，我们将讨论插值和拟合的概念、方法和应用。

一、插值插值是通过已知数据点之间的连续函数来估计中间数据点的数值。

插值方法可以根据不同的数据和需求选择合适的插值函数，常用的插值方法包括拉格朗日插值、牛顿插值和埃尔米特插值。

1.1 拉格朗日插值拉格朗日插值是一种基于多项式的插值方法。

通过已知的n个数据点，可以构建一个n-1次的插值多项式。

这个多项式通过已知数据点上的函数值来准确地经过每一个点。

1.2 牛顿插值牛顿插值方法也是一种多项式插值方法，通过差商的概念来构建插值多项式。

差商是一个递归定义的系数，通过已知数据点的函数值计算得出。

牛顿插值可以通过递推的方式计算出插值多项式。

1.3 埃尔米特插值埃尔米特插值是一种插值方法，适用于已知数据点和导数值的情况。

它基于拉格朗日插值的思想，通过引入导数信息来逼近数据的真实分布。

埃尔米特插值可以更准确地估计数据点之间的值，并且可以保持导数的连续性。

二、拟合拟合是通过一个模型函数来逼近已知数据点的数值。

拟合方法旨在找到最适合数据集的函数形式，并通过最小化误差来确定函数的参数。

常见的拟合方法包括最小二乘法、多项式拟合和曲线拟合。

2.1 最小二乘法最小二乘法是一种常用的拟合方法，通过最小化数据点到拟合函数的误差平方和来确定最佳拟合曲线或曲面。

最小二乘法适用于线性和非线性拟合问题，可以用于拟合各种类型的非线性函数。

2.2 多项式拟合多项式拟合是一种基于多项式函数的拟合方法。

通过多项式的线性组合来近似已知数据集的数值。

多项式拟合可以通过最小二乘法或其他优化算法来确定拟合函数的系数。

2.3 曲线拟合曲线拟合是一种用曲线函数来逼近已知数据点的拟合方法。

曲线函数可以是非线性的，并且可以根据数据的特点进行选择。

曲线拟合可以通过优化算法来确定拟合函数的参数。

三、应用插值和拟合在数值分析中有广泛的应用。

常用数值分析方法

常用数值分析方法常用数值分析方法指的是应用数值计算方法研究和解决实际问题的一类方法。

它涉及到计算机科学、数学、算法及相关工程应用等多个领域的交叉应用，被广泛应用于科学研究、工程设计、经济分析、物理模拟、天气预测等领域。

以下是常用的数值分析方法的介绍。

1.插值法：插值法是通过已知数值点的函数值来推导任意点的函数值。

其中最常用的方法是拉格朗日插值法和牛顿插值法。

插值法在数值计算、图像处理、信号处理等领域有广泛应用。

2.数值微分与积分：数值微分和积分方法是通过一系列近似计算来求解微分和积分问题，常用的方法有数值微分公式、数值积分公式和龙格-库塔方法等。

这些方法在工程数学、物理学、金融学等领域得到了广泛应用。

3.非线性方程求解：非线性方程求解方法用于求解形如f(x)=0的非线性方程，在科学计算和工程设计中具有重要作用。

常用的方法有二分法、牛顿法、割线法、迭代法等。

4.数值优化：数值优化方法是求解最优化问题的一种方法，常用的算法有梯度下降法、共轭梯度法、拟牛顿法、模拟退火算法、遗传算法等。

这些方法被广泛应用于机器学习、数据挖掘、工程设计等领域。

5.差分方程与差分法：差分方程是运用差分近似的数值方法来求解常微分方程的一种方法。

常用的差分法有向前差分法、向后差分法、中心差分法等。

差分法在数值模拟、物理仿真等领域有广泛应用。

6.线性代数方程组的数值解法：数值解线性代数方程组是数值分析中的经典问题之一、常用的算法有高斯消元法、LU分解法、迭代法（如雅可比法、高斯-赛德尔法、稀疏矩阵迭代法）等。

7.数值逼近与最小二乘拟合：数值逼近和最小二乘拟合方法是通过一系列近似计算来拟合和逼近已知的数据集。

常用的方法有多项式拟合、最小二乘法、曲线拟合、样条插值等。

这些方法在数据分析、信号处理、模糊识别等方面有广泛应用。

8.数值统计：数值统计方法是通过数值计算和统计学方法来处理和分析实际数据。

常用的方法有假设检验、参数估计、方差分析、回归分析等。

数值分析知识点大全总结

数值分析知识点大全总结一、数值计算方法数值计算方法是数值分析的基础，它涵盖了数值逼近、数值积分、插值与拟合、数值微分与数值积分、解线性方程组、求解非线性方程与方程组、解常微分方程等内容。

下面我们将逐一介绍这些方面的知识点。

1. 数值逼近数值逼近是研究如何用简单的函数来近似一个复杂的函数的方法。

常见的数值逼近方法包括多项式逼近、三角函数逼近、曲线拟合等。

其中，最为重要的是多项式逼近，它可以用来近似任意函数，并且具有较好的数学性质。

2. 数值积分数值积分是研究如何用离散的数据来估计连续函数的积分值的方法。

常见的数值积分方法包括梯形公式、辛普森公式、龙贝格公式等。

其中，辛普森公式是一种较为精确的数值积分方法，它可以用来估计任意函数的积分值，并且具有较好的数值稳定性。

3. 插值与拟合插值与拟合是研究如何用离散的数据来构造连续函数的方法。

常见的插值方法包括拉格朗日插值、牛顿插值等。

而拟合方法则是研究如何用简单的函数来拟合复杂的数据，常见的拟合方法包括最小二乘法、最小二乘多项式拟合等。

4. 数值微分与数值积分数值微分与数值积分是研究如何用差分方法来估计导数与积分的值的方法。

常见的数值微分方法包括向前差分、向后差分、中心差分等。

而数值积分方法则可以直接用差分方法来估计积分的值。

5. 解线性方程组解线性方程组是研究如何用迭代法或直接法来求解线性方程组的方法。

常见的迭代法包括雅各比迭代法、高斯-赛德尔迭代法等。

而直接法则是指用消元法来求解线性方程组的方法。

6. 求解非线性方程与方程组求解非线性方程与方程组是研究如何用迭代法来求解非线性方程与方程组的方法。

常见的迭代法包括牛顿法、割线法等。

其中，牛顿法是一种非常高效的求解非线性方程与方程组的方法，它具有收敛速度快的特点。

7. 解常微分方程值积分方法包括龙格-库塔法、变步长欧拉法、变步长龙格-库塔法等。

其中，龙格-库塔法是一种较为精确的数值积分方法，它可以用来求解各种类型的常微分方程。