常用函数傅里叶变换
常用的傅里叶变换+定理+各种变换的规律(推荐)
਼ᰦ F ^g x exp j 2Sf a x ` G f x f a ࠭ᮠ൘オฏѝⲴ〫ˈᑖᶕ仁ฏѝⲴᒣ〫
㪉
[ f ( x)] F (P ) ᷍ x0 㬨⤜㸋㒄⭥㬖⧄㭞᷍䋓䇱
[ f ( x r x0 )] exp(r j 2SP x0 ) F (P ) ᷉㠞䄧㾵䐫᷊ [exp p(r j 2SP0 x) f ( x)] F (P P0 ) ᷉㼁䄧㾵䐫᷊
重 要
名称
连续傅里叶变换对 傅里叶变换 F (ω ) 连续时间函数 f (t )
= sinc ( u)
2
结论: 三角形函数的傅里叶变换是 sinc 函数的平方
9
七、符号函数的傅里叶变换
1 F [sgn( x )] = jπ u
二维 留待推算
1 1 F [sgn( x )sgn( y )] = • jπ u jπ v
八、exp[ jπx ] 函数的傅里叶变换 1 F {exp[ jπx ]} = δ ( u − ) 2
3
二、梳状函数的傅里叶变换
F [comb( x )] = comb( u)
普遍型
x F comb = a comb( au) a
结论
comb 函数的
傅里叶变换 仍是
二维情况
x y F comb comb a b = ab comb( au) comb( bv )
= sinc( u)
−1 / 2
∫ exp(− j 2πux )ห้องสมุดไป่ตู้x
a x ≤ 2 其它
rect（x）
F.T.
sinc（u）
5
普遍型
x F rect a
常用傅里叶变换表
常用傅里叶变换表傅里叶变换（Fourier Transform）是一种重要的信号处理方法，可以将一个信号表示为频域上的复合波。
在实际应用中，我们常常需要用到一些常用的傅里叶变换表来简化计算过程。
下面是常用的傅里叶变换表。
1. 频域采样点数与时间域采样点数的对应关系：当时间域采样点数为 N 时，对应的频域采样点数为 N/2+1。
采样点数越多，则频域分辨率越高，对于高频信号的分析会更准确。
2. 傅里叶变换对称性：傅里叶变换具有一定的对称性，包括对称性、共轭对称性和反对称性。
利用这些对称性，我们可以简化计算过程。
- 偶函数的频谱是实数，在频域中左右对称；- 奇函数的频谱是虚数，具有共轭对称；- 复合偶函数和复合奇函数的频谱会具有反对称性。
3. 常用信号的傅里叶变换表：以下是一些常见的信号的傅里叶变换表：- 矩形脉冲信号（Rectangular Pulse）的傅里叶变换：矩形脉冲信号在时域上是一个宽度有限且幅度为常数的信号。
其傅里叶变换在频域上是一个 sinc 函数，表达式为：F(w) = wwww(ww/2) / (ww/2)其中，w是信号的宽度，w是频率。
- 高斯函数（Gaussian Function）的傅里叶变换：高斯函数在时域上是一个钟形曲线，其傅里叶变换仍然是一个高斯函数。
傅里叶变换的表达式如下：F(w) = ww^(−w^2w^2/4w^2)其中，w是高斯函数的标准差，w是时间尺度。
- 正弦函数（Sine Function）的傅里叶变换：正弦函数在时域上是一个连续的周期函数。
其傅里叶变换也是一个周期函数，表达式为：F(w) = 0.5j (w(w−w)−w(w+w))其中，w是正弦函数的频率。
4. 傅里叶变换的性质：傅里叶变换具有很多重要的性质，包括线性性质、平移性质、尺度性质、卷积定理等。
这些性质在信号处理中起到了重要的作用，可以简化傅里叶变换的计算过程。
- 线性性质：傅里叶变换具有线性性质，即线性组合的函数的傅里叶变换等于各个函数的傅里叶变换之和。
傅里叶变换性质及常见函数傅里叶变换总结,表格打印版
（为虚、奇函数）
7
奇偶性
（为实、偶函数）
（为实、偶函数）
（为实、奇函数）
（为虚、奇函数）
8
尺度展缩
，
9
时域延迟
，
10
频移
▲初值：
（条件:）
（条件:）
（条件： ）
11
时域微分
▲ 函数的性质
·
·
＊
＊
·
·
＊ ；
＊
·
·
＊
＊
·
12
时域积分
பைடு நூலகம்13
频域微分
14
频域积分
15
时域卷积
16
频域卷积
17
时域抽烟
序号
性质名称
▲信号功率:
（直流分量+各次谐波分量）
▲能量信号:
1.一个信号只能是功率信号或
能量信号二者之一,但也可
以两者都不是。
2.直流信号与周期信号为功率
信号；收敛和有界的非周期
信号为能量信号。
3.功率信号能量为∞,能量信
号功率为0.
1
唯一性
2
齐次性
3
叠加性
4
线性
5
折叠性
6
对称性
（一般函数）
（为实、偶函数）
18
频域抽样
常用时间信号傅里叶变换
常用非周期信号的傅里叶变换
周期信号的傅里叶变换
序号
↔
1
1
↔
2
↔
3
单位直流信号1
↔
4
5
6
一般周期信号
↔
其中
或,
或 ，
chap1常用函数及其傅立叶变换
在空域中 g s(x,y)h (x,y)g (x,y)
所以有：
nm
n
m
g ( x ,y ) n m g ( 2 B x ,2 B y ) s i n c [ 2 B x ( x 2 B x ) ] s i n c [ 2 B y ( y 2 B y ) ]
F(u)
sinc( u ) sinc 2 ( u ) 1 (u u 0 ) 1 / j u comb( u )
函数
函数的定义：
(t ) lim Ne N 2t2 N
(t) lim N rect( Nt ) N
(t) lim N sinc( Nt ) N
则 F . T . g ( x , y ) h ( x , y ) G ( f x ,f y ) H ( f x ,f y )
No
四、常用函数及其傅立叶变换式
矩形函数 rect(
1
x)
1
/
2
0
x 1/2 x 1/2 x 1/2
Sinc函数 sinc( 符号函数 sgn(
则系统称为线性空间不变系统。
对于线性空 间不变系统，叠加积分：
g (x ,y ) f(,)h (x ,y )d d f(x ,y ) h (x ,y )
1.3 二维线性不变系统
二、二维线性不变系统的传递函数 1、空间频率
F(fx,fy) f(x,y)ej2(xx fyy f)dxdy
其中 H (fx ,fy ) F .T . h ( x ,y ) 叫线性空间不变系统的传
递函数
1.3 二维线性不变系统
常用傅里叶变换
时域信号角频率表示的傅里叶变换弧频率表示的傅里叶变换注释1 线性2 时域平移3 频域平移，变换2的频域对应4 如果值较大，则会收缩到原点附近，而会扩散并变得扁平.当|?a?|?趋向无穷时，成为狄拉克δ函数。
5 傅里叶变换的二元性性质。
通过交换时域变量和频域变量得到.6 傅里叶变换的微分性质7 变换6的频域对应8 表示和的卷积—这就是卷积定理9 变换8的频域对应。
[编辑]平方可积函数傅里叶变换傅里叶变换10 矩形脉冲和归一化的sinc函数11 变换10的频域对应。
矩形函数是理想的低通滤波器，sinc函数是这类滤波器对反因果冲击的响应。
12 tri?是三角形函数13 变换12的频域对应14 高斯函数exp( ? αt2)的傅里叶变换是他本身.只有当Re(α) > 0时，这是可积的。
15 光学领域应用较多161718 a>019 变换本身就是一个公式20 J0(t)?是0阶第一类贝塞尔函数。
21 上一个变换的推广形式;?T n(t)?是第一类切比雪夫多项式。
22 U n?(t)是第二类切比雪夫多项式。
[编辑]分布时域信号角频率表示的傅里叶变换弧频率表示的傅里叶变换注释23 δ(ω)代表狄拉克δ函数分布.这个变换展示了狄拉克δ函数的重要性：该函数是常函数的傅立叶变换24 变换23的频域对应25 由变换3和24得到.26 由变换1和25得到，应用了欧拉公式:?cos(at) = (e iat?+?e???iat) / 2.27 由变换1和25得到28 这里,?n是一个自然数.δ(n)(ω)是狄拉克δ函数分布的n阶微分。
这个变换是根据变换7和24得到的。
将此变换与1结合使用，我们可以变换所有多项式。
29 此处sgn(ω)为符号函数；注意此变换与变换7和24是一致的.30 变换29的推广.31 变换29的频域对应.32 此处u(t)是单位阶跃函数;此变换根据变换1和31得到.33 u(t)是单位阶跃函数，且a?> 0.34 狄拉克梳状函数——有助于解释或理解从连续到离散时间的转变.[编辑]二元函数三元函数。
常用函数的傅里叶变换
常用函数的傅里叶变换傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的方法，常用于信号处理、通信、图像处理等领域。
在实际应用中，有很多常用的函数需要进行傅里叶变换，本文将介绍一些常用函数的傅里叶变换公式。
1. 正弦函数和余弦函数正弦函数和余弦函数是最基本的周期函数，它们的傅里叶变换公式如下：$$begin{aligned}mathcal{F}(sin(omega_0t)) &= frac{j}{2}[delta(omega-omega_0)-delta(omega+omega_0)]mathcal{F}(cos(omega_0t)) &= frac{1}{2}[delta(omega-omega_0)+delta(omega+omega_0)]end{aligned}$$其中，$omega_0$表示正弦函数和余弦函数的基频，$delta(omega)$表示狄拉克脉冲函数，$j$表示虚数单位。
2. 矩形函数矩形函数是一个限制在有限区间的常数函数，它的傅里叶变换公式如下：$$mathcal{F}(mathrm{rect}(t/T)) = Tmathrm{sinc}(omega T) $$其中，$mathrm{sinc}(x)=frac{sin(pi x)}{pi x}$为正弦积分函数。
3. 三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们的傅里叶变换公式如下：$$begin{aligned}mathcal{F}(sin^2(omega_0t)) &= frac{j}{4}[delta(omega-2omega_0)-delta(omega)-delta(omega+2omega_0)]mathcal{F}(cos^2(omega_0t)) &= frac{1}{4}[delta(omega-2omega_0)+2delta(omega)+delta(omega+2omega_0)]mathcal{F}(tan(omega_0t)) &= -jfrac{pi}{2}mathrm{sgn}(omega-omega_0)-jfrac{pi}{2}mathrm{sgn}(omega+omega_0)end{aligned}$$其中，$mathrm{sgn}(x)$为符号函数。
常用傅里叶变换
时域信号角频率表示的傅里叶变换弧频率表示的傅里叶变换注释1线性2时域平移3频域平移，变换2的频域对应4如果值较大，则会收缩到原点附近，而会扩散并变得扁平.当| a| 趋向无穷时，成为狄拉克δ函数。
5傅里叶变换的二元性性质。
通过交换时域变量和频域变量得到.6傅里叶变换的微分性质7变换6的频域对应8表示和的卷积—这就是卷积定理9变换8的频域对应。
[编辑]平方可积函数时域信号角频率表示的傅里叶变换弧频率表示的傅里叶变换注释1 0矩形脉冲和归一化的sinc函数1 1变换10的频域对应。
矩形函数是理想的低通滤波器，sinc函数是这类滤波器对反因果冲击的响应。
1 2tri是三角形函数1 3变换12的频域对应1 4高斯函数exp( − αt2)的傅里叶变换是他本身.只有当Re(α) > 0时，这是可积的。
1 5光学领域应用较多161718a>01变换本身就是9一个公式2 0J0(t)是0阶第一类贝塞尔函数。
2 1上一个变换的推广形式; T n(t)是第一类切比雪夫多项式。
2 2U n(t)是第二类切比雪夫多项式。
[编辑]分布时域信号角频率表示的傅里叶变换弧频率表示的傅里叶变换注释23δ(ω)代表狄拉克δ函数分布.这个变换展示了狄拉克δ函数的重要性：该函数是常函数的傅立叶变换24变换23的频域对应25由变换3和24得到.26由变换1和25得到，应用了欧拉公式: cos(at) = (e iat+ e−iat)/ 2.27由变换1和25得到28这里, n是一个自然数.δ(n)(ω)是狄拉克δ函数分布的n阶微分。
这个变换是根据变换7和24得到的。
将此变换与1结合使用，我们可以变换所有多項式。
29此处sgn(ω)为符号函数；注意此变换与变换7和24是一致的.30变换29的推广. 31变换29的频域对应.32此处u(t)是单位阶跃函数;此变换根据变换1和31得到.33u(t)是单位阶跃函数，且a> 0.34狄拉克梳状函数——有助于解释或理解从连续到离散时间的转变.[编辑]二元函数时域信号角频弧频率表示的傅里叶变换注释率表示的傅里叶变换两个函数都是高斯函数，而且可能都没有单位体积.此圆有单位半径，如果把circ(t)认作阶梯函数u(1-t); Airy分布用J1(1阶第一类贝塞尔函数)表达; f r是频率矢量的量值{f x,f y}.三元函数角频率时域信号弧频率表示的注释表示的傅里叶傅里叶变换变换此球有单位半径；f r是频率矢量的量值{f x,f y,f z}.（学习的目的是增长知识，提高能力，相信一分耕耘一分收获，努力就一定可以获得应有的回报）。
常用傅里叶变换公式大全
常用傅里叶变换公式大全傅里叶变换是一种重要的数学工具，它可以将时域信号转换为频域信号，从而更好地理解信号的特性。
下面就是常用的傅里叶变换公式大全：1、傅里叶变换：$$F(u)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-2\pi iux}dx$$2、傅里叶反变换：$$f(x)=\int_{-\infty}^{\infty}F(u)e^{2\pi iux}du$$3、离散傅里叶变换：$$F(u)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}f(n)e^{-2\pi iun}$$4、离散傅里叶反变换：$$f(n)=\frac{1}{N}\sum_{u=-\infty}^{\infty}F(u)e^{2\pi iun}$$5、快速傅里叶变换：$$F(u)=\sum_{n=0}^{N-1}f(n)W_N^{nu}$$6、快速傅里叶反变换：$$f(n)=\frac{1}{N}\sum_{u=0}^{N-1}F(u)W_N^{-nu}$$7、离散余弦变换：$$F(u)=\sum_{n=0}^{N-1}f(n)\cos\frac{(2n+1)u\pi}{2N}$$8、离散余弦反变换：$$f(n)=\frac{1}{N}\sum_{u=0}^{N-1}F(u)\cos\frac{(2n+1)u\pi}{2N}$$9、离散正弦变换：$$F(u)=\sum_{n=0}^{N-1}f(n)\sin\frac{(2n+1)u\pi}{2N}$$10、离散正弦反变换：$$f(n)=\frac{1}{N}\sum_{u=0}^{N-1}F(u)\sin\frac{(2n+1)u\pi}{2N}$$以上就是常用的傅里叶变换公式大全，它们可以帮助我们更好地理解信号的特性，并且可以用来解决许多实际问题。
因此，傅里叶变换在科学研究和工程应用中都有着重要的作用。
常用傅里叶变换
常用傅里叶变换Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT时域信号角频率表示的傅里叶变换弧频率表示的傅里叶变换注释1 线性2 时域平移3频域平移，变换2的频域对应4如果值较大，则会收缩到原点附近，而会扩散并变得扁平.当|?a?|?趋向无穷时，成为。
5傅里叶变换的二元性性质。
通过交换时域变量和频域变量得到.6傅里叶变换的微分性质7 变换6的频域对应8表示和的卷积—这就是9变换8的频域对应。
[]平方可积函数时域信号角频率表示的傅里叶变换弧频率表示的傅里叶变换注释10 和归一化的11变换10的频域对应。
矩形函数是理想的低通滤波器，是这类滤波器对冲击的响应。
12 tri?是13变换12的频域对应14 exp( ? αt2)的傅里叶变换是他本身.只有当Re(α) > 0时，这是可积的。
15 领域应用较多161718 a>019 变换本身就是一个公式20 J0(t)?是。
21 上一个变换的推广形式;?T n(t)?是。
22????U n?(t)是。
[]分布时域信号角频率表示的傅里叶变换弧频率表示的傅里叶变换注释23δ(ω)代表分布.这个变换展示了狄拉克δ函数的重要性：该函数是常函数的傅立叶变换24 变换23的频域对应25 由变换3和24得到.26由变换1和25得到，应用了:?cos(at) =(e iat?+?e???iat) / 2.27 由变换1和25得到28这里,?n是一个.δ(n)(ω)是狄拉克δ函数分布的n阶微分。
这个变换是根据变换7和24得到的。
将此变换与1结合使用，我们可以变换所有。
29 此处sgn(ω)为；注意此变换与变换7和24是一致的.30 变换29的推广.31 变换29的频域对应.32 此处u(t)是;此变换根据变换1和31得到.33 u(t)是，且a?> 0.34 ——有助于解释或理解从连续到的转变.[]二元函数时域信号角频率表示的傅里叶变换弧频率表示的傅里叶变换注释两个函数都是高斯函数，而且可能都没有单位体积.此圆有单位半径，如果把circ(t)认作阶梯函数u(1-t); Airy分布用J1?(1阶)表达; f r是频率矢量的量值{f x,f y}.三元函数时域信号角频率表示的傅里叶变换弧频率表示的傅里叶变换注释此球有单位半径；f r是频率矢量的量值{f x,f y,f z}.。
常用函数傅里叶变换
信号与系统的基本思想：把复杂的信号用简单的信号表示，再进行研究。
怎么样来分解信号？任何信号可以用Delta 函数的移位加权和表示。
只有系统是线性时不变系统，才可以用单位冲激函数处理，主要讨论各个单位冲激函数移位加权的响应的叠加能得到总的响应。
线性系统（齐次性，叠加定理）时不变系统对一个系统输入单位冲激函数，得到的响应为h(t).表征线性时不变系统的非常重要的东西，只要知道了系统对单位冲击函数的响应，就知道了它对任何信号的响应，因为任何信号都可以表示为单位冲激函数的移位加权和。
例如：d(t)__h(t) 那么a*d(t-t0)__a*h(t-t0)-()=()(t-)d f t f τδττ∝∝⎰ 的响应为-y()=()(-)t f h t d τττ∝∝⎰ 记为y(t)=f(t)*h(t),称为f(t)和h(t)的卷积总结为两点：对于现行时不变系统，任何信号可以用单位冲激信号的移位加权和表示，任何信号的响应可以用输入函数和单位冲激函数响应的卷积来表示连续时间信号和系统的频域分析时域分析的重点是把信号分解为单位冲激函数的移位加权和，只讨论系统对单位冲激函数的响应。
而频域的分析是把信号分解为各种不同频率的正弦函数的加权和，只讨论系统对sinwt 的响应。
都是把信号分解为大量单一信号的组合。
周期函数可以展开为傅里叶级数，将矩形脉冲展开成傅里叶级数，得到傅里叶级数的系数n A sin F =T x x τ 其中0=2nw x τ。
取样函数sin ()=x S a x 。
产生一种震荡，0点的值最大，然后渐渐衰减直至0 第一：对于傅里叶级数的系数，n 是离散的，所以频谱也是离散状的每条谱线都出现在基波频率的整数倍上，其包络是取样函数。
第二：谱线的间距是0w .。
零点是0=2nw x τ，02w =Tπ是谱的基波频率。
如果τ不变，T 增大，那么0w 减小，当T 非常大的时候，0w 非常小，谱线近似连续，越来越密，幅度越来越小。
傅里叶变换的性质及常用函数的傅里叶变换
f (t ) p(t )
1 F (w ) * P(w ) 2p
√
√
f ( -t )
f (t ) f * ( -t )
*
F (-w )
F (-w )
*
f (t ) 是实函数 f o (t ) = Od { f (t )} f e (t ) = Ev{ f (t )}
j Im{F (w )} Re{F (w )}
a + jw (a + jw ) 2 + w 02
w0 (a + jw ) 2 + w 02
1 (a + jw ) 2 1 (a + jw ) k 2p T 1 ,t > 0 (t - jt ) 2
2pwe -tw u (w )
t k -1e - at u (t ), Re{a} > 0 (k - 1)!
f (at ), a ¹ 0
aF1 (w ) + bF2 (w )
1 w F( ) a a
f (t ) f (t - t 0 )
g (w )
g (t )
2pf (-w ) F (w - w 0 )
√ √ √
√
F (w )e - jwt
0
频移 频域 微分 性质 频域 积分 性质 频域 卷积 性质 奇偶 虚实 性质
√ √
d T (t ) =
l = -¥
å d (t - lT )
t - ( )2 t
+ - k
p te
-(
+¥
2p ) T
e
wt 2 ) 2
√
[u (t +
t
2
) - u (t -
傅里叶变换简表
傅里叶变换简表
傅里叶变换（Fourier Transform）是一种将信号从时域（时间域）转换到频域（频率域）的数学方法。
傅里叶变换在信号处理、图像处理、通信等领域都有广泛的应用。
下面是傅里叶变换的简表：
傅里叶变换函数：
傅里叶变换F(k) = ∫[f(x) * e^(-2πikx)] dx
反变换函数：
反傅里叶变换f(x) = ∫[F(k) * e^(2πikx)] dk
常见信号的傅里叶变换：
1. 矩形函数（方波）的傅里叶变换：
F(k) = T * sin(πkT) / (πk)
2. 三角波的傅里叶变换：
F(k) = 2AT * sinc(2πATk)
3. 周期函数的傅里叶级数展开：
f(x) = a0 + Σ(an * cos(nωt) + bn * sin(nωt))
4. 高斯函数的傅里叶变换：
F(k) = σ * sqrt(2π) * e^(-π^2σ^2k^2)
5. 常见频率域运算的傅里叶变换：
a. 时移：f(x - x0) 的傅里叶变换F(k) * e^(2πikx0)
b. 频移：e^(2πik0x) 的傅里叶变换 F(k - k0)
c. 放大：f(ax) 的傅里叶变换 F(k/a) / a
d. 缩小：f(bx) 的傅里叶变换 F(k/b) * b
这只是一些傅里叶变换的简单例子，实际上傅里叶变换的应用十分广泛，还有很多复杂的数学关系和公式。
需要根据具体的问题和需求来进行深入研究和学习。
傅里叶变换常用公式
1、门函数F(w)=2w w sin=Sa() w
222、指数函数（单边）f(t)=e-atu(t) F(w)=1,实际上是一个低通滤波器a+jw
3、单位冲激函数F（w）=1,频带无限宽，是一个均匀谱
4、常数1 常数1是一个直流信号，所以它的频谱当然只有在w=0的时候才有值，体现为（w)。
F(w)=2(w) 可以由傅里叶变换的对称性得到
5、正弦函数F(ejw0t)=2(w-w0),相当于是直流信号的移位。
F(sinw0t)=F((ejw0t-e-jw0t)/2)=((w-w0)-(w+w0))
F(sinw0t)=F((e
6、单位冲击序列jw0t-e-jw0t)/2j)=j((w-w0)-(w+w0)) T(t)=(t-Tn) -这是一个周期函数，每隔T出现一个冲击，周期函数的傅里叶变换是离散的F(T(t))=w0(w-nw0)=w0
w0(w) n=-单位冲击序列的傅里叶变换仍然是周期序列，周期是w0=2T
1、线性性傅里叶变换是积分运算，而积分运算是加法。
2、时移特性信号在时域的时移，相当于信号在频域的各频率分量相移，即
3、频移特性（调制定理）f(t-t0)--e-jwt0F(w) 傅里叶变换公式。
常见函数的傅里叶变换
常见函数的傅里叶变换傅里叶变换是一种将一个函数映射到频域的数学工具。
通过它，我们可以将一个信号或者一个函数进行频域分析，对其进行处理、滤波、特征提取等。
在信号处理、图像处理、通信等领域中，傅里叶变换非常重要。
本文将介绍几种常见的函数的傅里叶变换及其应用。
一、常数函数常数函数f(x)=c，其中c为常数，其傅里叶变换为：F(k)=c\int_{-\infty}^\infty e^{-2\piikx}dx=c\delta(k)其中\delta(k)是狄拉克δ 函数，表示在k=0时存在一个单位脉冲。
显然，常数函数的傅里叶变换是一个单位脉冲。
在实际应用中，常数函数的傅里叶变换用于求解不同函数的卷积。
二、正弦函数正弦函数f(x)=sin(2πwx)，其傅里叶变换为：F(k)=\int_{-\infty}^\infty sin(2\pi wx)e^{-2\pi ikx}dx=-\frac{iw}{2} (\delta(k-w)+\delta(k+w))正弦函数的傅里叶变换具有许多实用性质，例如：1. 它反映了信号在频域中的分布，即将正弦函数分解成不同频率的正弦函数的和。
2. 它可以用来提取频率信息。
3. 它还可以用来滤波。
三、余弦函数余弦函数f(x)=cos(2πwx)，其傅里叶变换为：F(k)=\int_{-\infty}^\infty cos(2\pi wx)e^{-2\pi ikx}dx=\frac{w}{2} (\delta(k-w)+\delta(k+w))与正弦函数相似，余弦函数也可以用来分解信号，并且可以用来提取频率信息和滤波。
四、矩形脉冲函数矩形脉冲函数f(x)=rect(x)（即在[-0.5, 0.5]内为1，在其他地方为0），其傅里叶变换为：F(k)=\int_{-\infty}^\infty rect(x)e^{-2\piikx}dx=\int_{-0.5}^{0.5}e^{-2\piikx}dx=\frac{sin(\pi kw)}{\pi kw}矩形脉冲函数的傅里叶变换也称为sinc函数。
相关函数的傅里叶变换
相关函数的傅里叶变换
傅里叶变换是一种将信号从时域转换为频域的数学工具。
在信号处理领域，有许多函数与傅里叶变换密切相关。
以下是一些常见的函数及其傅里叶变换：
1. 正弦函数和余弦函数：这两个函数的傅里叶变换是由一个单
独的脉冲组成，其中脉冲的频率等于正弦或余弦函数的频率。
2. 方波函数：方波函数的傅里叶变换是一组离散的频率分量，
其中每个分量的幅度和相位取决于方波的幅度和周期。
3. 矩形脉冲函数：矩形脉冲函数的傅里叶变换是一个sinc函数，其中sinc函数的宽度取决于脉冲的宽度，而高度取决于脉冲的幅度。
4. 高斯函数：高斯函数的傅里叶变换是另一个高斯函数，其中
幅度和宽度取决于原始高斯函数的幅度和宽度。
这些函数的傅里叶变换在信号处理中广泛应用，并且可以用于多种类型的信号分析和合成。
熟悉这些函数及其傅里叶变换可以帮助信号处理工程师更好地理解和应用傅里叶变换。
- 1 -。
常用傅里叶变换+定理+各种变换规律(推荐)
物理意义
= exp(−i 2πux0 )
δ ( x − x0 )
一个位于 x0 点的 光脉冲
F.T.
经傅氏变换
exp(−i 2πux0 ) 一束 空间频率为 u 的
单位振幅平面波
3
二、梳状函数的傅里叶变换
F [comb( x)] = comb(u)
普遍型
F
comb
x a
=
a comb(au)
二维情况
2
2
2
comb(P)
rect(x)
sinc(P)
tri(x) cir (r )
sinc2 (P)
1
J1 (U )
一、δ 函数的傅里叶变换：
设： [δ ( x)] = ∆(u) ， [g( x)] = G(u)
由卷积定理知： g( x) ∗ δ ( x) = g( x)
等号两边作 傅里叶变换：
F.T.
㵍㬒⫇䊻㰖⳦巛㠞䄧㬒⭥䊬㰄Ⳟⳉ 㠞䄧巛㰖⳦㉚㬨ⰵ䓵⢅㑠 [ 巛 P 㡑䔘䇤᱄
㪉 [ f (x)] F(P) 䋓
[ f (ax r x0 )] b
®f[Fra biblioteka(x
r
x0
)]½¾
¯ b a¿
b exp(r j2S x0 P) F(b P)
a
a
a
᷊᷉㘇〞ⰵ䇇㻖
㪉 [ f (x)] F(P) 䋓䇱
常用函数的傅里叶变换
f (x)
F(P)
G (x)
1
exp(Sx2 ) x exp(Sx2 )
exp(SP 2 ) jP exp(SP 2 )
cos(Sx)
sin(Sx)
comb( x)
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信号与系统的基本思想：把复杂的信号用简单的信号表示，再进行研究。
怎么样来分解信号？任何信号可以用Delta 函数的移位加权和表示。
只有系统是线性时不变系统，才可以用单位冲激函数处理，主要讨论各个单位冲激函数移位加权的响应的叠加能得到总的响应。
线性系统（齐次性，叠加定理）
时不变系统
对一个系统输入单位冲激函数，得到的响应为h(t).表征线性时不变系统的非常重要的东西，只要知道了系统对单位冲击函数的响应，就知道了它对任何信号的响应，因为任何信号都可以表示为单位冲激函数的移位加权和。
例如：d(t)__h(t) 那么a*d(t-t0)__a*h(t-t0)
-()=
()(t-)d f t f τδττ∝∝⎰ 的响应为-y()=()(-)t f h t d τττ∝
∝
⎰ 记为y(t)=f(t)*h(t),称为f(t)和h(t)的卷积
总结为两点：对于现行时不变系统，任何信号可以用单位冲激信号的移位加权和表示，任何信号的响应可以用输入函数和单位冲激函数响应的卷积来表示
连续时间信号和系统的频域分析
时域分析的重点是把信号分解为单位冲激函数的移位加权和，只讨论系统对单位冲激函数的响应。
而频域的分析是把信号分解为各种不同频率的正弦函数的加权和，只讨论系统对sinwt 的响应。
都是把信号分解为大量单一信号的组合。
周期函数可以展开为傅里叶级数，将矩形脉冲展开成傅里叶级数，得到傅里叶级数的系数
n A sin F =
T x x τ 其中0=2
nw x τ。
取样函数sin ()=x S a x 。
产生一种震荡，0点的值最大，然后渐渐衰减直至0 第一：对于傅里叶级数的系数，n 是离散的，所以频谱也是离散状的每条谱线都出现在基波频率的整数倍上，其包络是取样函数。
第二：谱线的间距是0w .。
零点是0=2nw x τ，02w =T
π是谱的基波频率。
如果τ不变，T 增大，那么0w 减小，当T 非常大的时候，0w 非常小，谱线近似连续，越来越密，幅度越来越小。
傅里叶变换：非周期函数
正变换：--F jw)=
()iwt f t e dt ∝
∝⎰（ 反变换：-1()=()2jnwt f t F jw e dw π
∝∝
⎰ 常用函数的傅里叶变换（典型非周期信号的频谱）
1、 门函数
2()=sin =()22
w w F w Sa w τττ 2、 指数函数（单边）
-()=(t)at f t e u
1F()=+w a jw
,实际上是一个低通滤波器 3、 单位冲激函数
F （w ）=1,频带无限宽，是一个均匀谱
4、 常数1
常数1是一个直流信号，所以它的频谱当然只有在w=0的时候才有值，体现为w)σ（。
F(w)=2(w)πσ
可以由傅里叶变换的对称性得到
5、 正弦函数
00F()=2(-)jw t e w w πσ,相当于是直流信号的移位。
00-000(sin )=((-)/2)=((-)-(w+w ))jw t jw t F w t F e e w w πσσ
00-000(sin )=((-)/2)=
((-)-(w+w ))jw t jw t F w t F e e j w w j πσσ
6、 单位冲击序列 -()=(-)T t t Tn σσ∝
∝∑ 这是一个周期函数，每隔T 出现一个冲击，周期函数的傅里叶变换是离散的
0000=-(())=w (-)=(w)T w n F t w nw w σσσ∝
∝∑ 单位冲击序列的傅里叶变换仍然是周期序列，周期是02=w T
π
傅里叶变换的性质
1、 线性性
傅里叶变换是积分运算，而积分运算是加法。
2、时移特性
信号在时域的时移，相当于信号在频域的各频率分量相移，即
0-0(-)--()jwt f t t e F w
3、频移特性（调制定理）。